Aujourd'hui nous aborderons les équations trigonométriques homogènes. Tout d'abord, découvrons la terminologie : qu'est-ce qu'une équation trigonométrique homogène. Il a les caractéristiques suivantes :

1. il doit contenir plusieurs termes ;
2. tous les termes doivent avoir le même degré ;
3. toutes les fonctions incluses dans une identité trigonométrique homogène doivent nécessairement avoir le même argument.

Algorithme de résolution

Distinguons les termes

Et si tout est clair avec le premier point, cela vaut la peine de parler du second plus en détail. Que signifie le même degré de termes ? Jetons un coup d'œil à la première tâche :

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Le premier terme de cette équation est 3cosx 3 \ cos x. Veuillez noter qu'il n'y a qu'une seule fonction trigonométrique ici - cosx\ cos x - et plus d'autres fonctions trigonométriques n'est pas présent ici, donc le degré de ce terme est 1. De même avec le second - 5sinx 5 \ sin x - seul le sinus est présent ici, c'est-à-dire que le degré de ce terme est également égal à un. Ainsi, devant nous se trouve une identité constituée de deux éléments, dont chacun contient une fonction trigonométrique, et en même temps un seul. C'est une équation du premier degré.

Passons à la deuxième expression :

4péché2 x + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Le premier membre de cette construction est 4péché2 X 4 ((\ péché) ^ (2)) x.

On peut maintenant écrire la solution suivante :

péché2 x = sinx⋅sinx

((\ sin) ^ (2)) x = \ sin x \ cdot \ sin x

En d'autres termes, le premier terme contient deux fonctions trigonométriques, c'est-à-dire que son degré est de deux. Traitons le deuxième élément - péché2x\ péché 2x. Rappelons-nous cette formule - la formule du double angle :

sin2x = 2sinx⋅cosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cdot \ cos x

Et encore une fois, dans la formule résultante, nous avons deux fonctions trigonométriques - sinus et cosinus. Ainsi, la valeur exponentielle de ce terme est également deux.

Nous passons au troisième élément - 3. Du cours de mathématiques lycée nous nous souvenons que n'importe quel nombre peut être multiplié par 1, donc nous écrivons :

˜ 3=3⋅1

Et l'unité utilisant l'identité trigonométrique de base peut s'écrire sous la forme suivante :

1=péché2 x⋅ car2 X

1 = ((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x

On peut donc réécrire 3 comme suit :

3=3(péché2 x⋅ car2 X)=3péché2 x + 3 car2 X

3 = 3 \ gauche (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x \ droite) = 3 ((\ sin) ^ (2)) x + 3 (( \ cos) ^ (2)) x

Ainsi, notre terme 3 a été scindé en deux éléments dont chacun est homogène et possède le second degré. Le sinus dans le premier terme apparaît deux fois, le cosinus dans le second également deux fois. Ainsi, 3 peut également être représenté comme un terme avec un exposant de puissance de deux.

La troisième expression est la même :

péché3 x + péché2 xcosx = 2 car3 X

Voyons. Le premier terme est péché3 X((\ sin) ^ (3)) x est une fonction trigonométrique du troisième degré. Le deuxième élément est péché2 xcosx((\ sin) ^ (2)) x \ cos x.

péché2 ((\ sin) ^ (2)) est un lien avec une valeur de puissance de deux, multipliée par cosx\ cos x est le premier terme. Au total, le troisième terme a également une valeur de puissance de trois. Enfin, il y a un autre lien sur la droite - 2car3 X 2 ((\ cos) ^ (3)) x est un élément du troisième degré. Ainsi, nous avons devant nous une équation trigonométrique homogène du troisième degré.

Nous avons noté trois identités de degrés différents. Notez à nouveau la deuxième expression. Dans la notation originale, l'un des membres a un argument 2x 2x. Nous sommes obligés de nous débarrasser de cet argument en le transformant selon le sinus d'une formule à double angle, car toutes les fonctions incluses dans notre identité doivent nécessairement avoir le même argument. Et c'est une exigence pour les équations trigonométriques homogènes.

Nous utilisons la formule de l'identité trigonométrique principale et notons la solution finale

Nous avons compris les termes, passons à la solution. Quel que soit l'exposant exponentiel, la résolution des égalités de ce type s'effectue toujours en deux étapes :

1) prouver que

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0. Pour cela, il suffit de rappeler la formule de l'identité trigonométrique principale (péché2 x⋅ car2 x = 1)\ left (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x = 1 \ right) et substituer dans cette formule cosx = 0\ cosx = 0. On obtient l'expression suivante :

péché2 x = 1sinx = ± 1

\ begin (align) & ((\ sin) ^ (2)) x = 1 \\ & \ sin x = \ pm 1 \\\ end (align)

En substituant les valeurs obtenues, c'est-à-dire au lieu de cosx\ cos x vaut zéro, et au lieu de péché\ sin x - 1 ou -1, dans l'expression originale, nous obtenons une égalité numérique invalide. C'est la justification qui

cosx ≠ 0

2) la deuxième étape découle logiquement de la première. Dans la mesure où

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0, nous divisons nos deux côtés de la construction par carm X((\ cos) ^ (n)) x, où m n est l'exposant de puissance même d'une équation trigonométrique homogène. Qu'est-ce que cela nous donne :

\ [\ début (tableau) ((35) (l))

péchécosx= tgxcosxcosx=1

\ begin (align) & \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \\ & \ frac (\ cos x) (\ cos x) = 1 \\\ end (align) \\ () \\ \ fin (tableau) \]

Pour cette raison, notre construction initiale encombrante est réduite à l'équation m n-puissance par rapport à la tangente, dont la solution est facile à écrire en utilisant le changement de variable. C'est tout l'algorithme. Voyons comment cela fonctionne dans la pratique.

Nous résolvons de vrais problèmes

Problème numéro 1

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Nous avons déjà découvert qu'il s'agit d'une équation trigonométrique homogène avec un exposant de puissance égal à un. Par conséquent, d'abord, découvrons que cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Supposons au contraire que

cosx = 0 → sinx = ± 1

\ cos x = 0 \ à \ sin x = \ pm 1.

En remplaçant la valeur résultante dans notre expression, nous obtenons :

3⋅0+5⋅(± 1) = 0± 5 = 0

\ begin (align) & 3 \ cdot 0 + 5 \ cdot \ left (\ pm 1 \ right) = 0 \\ & \ pm 5 = 0 \\\ end (align)

Sur cette base, nous pouvons dire que cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Divisez notre équation par cosx\ cos x, parce que notre expression entière a une valeur de puissance de un. On a:

3(cosxcosx) +5(péchécosx) =0 3 + 5tgx = 0tgx = - 3 5

\ begin (align) & 3 \ left (\ frac (\ cos x) (\ cos x) \ right) +5 \ left (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ right) = 0 \\ & 3 + 5tgx = 0 \\ & tgx = - \ frac (3) (5) \\\ fin (aligner)

Ce n'est pas une valeur de table, donc la réponse inclura arctgx arctgx :

x = arctg (−3 5 ) + π n, n∈Z

x = arctg \ gauche (- \ frac (3) (5) \ droite) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z

Dans la mesure où arctg arctg arctg est une fonction étrange, nous pouvons retirer le "moins" de l'argument et le mettre avant arctg. Nous obtenons la réponse finale :

x = −arctg 3 5 + π n, n∈Z

x = -arctg \ frac (3) (5) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z

Problème numéro 2

4péché2 x + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Comme vous vous en souvenez, avant de commencer à le résoudre, vous devez effectuer quelques transformations. Nous effectuons des transformations :

4péché2 x + 2sinxcosx − 3 (péché2 x + car2 X)=0 4péché2 x + 2sinxcosx − 3 péché2 x − 3 car2 x = 0péché2 x + 2sinxcosx − 3 car2 x = 0

\ begin (align) & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 \ left (((\ sin) ^ (2)) x + ((\ cos) ^ ( 2 )) x \ right) = 0 \\ & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ sin) ^ (2)) x-3 ((\ cos ) ^ (2)) x = 0 \\ & ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \\\ terminer (aligner)

Nous avons une structure composée de trois éléments. Dans le premier terme on voit péché2 ((\ sin) ^ (2)), c'est-à-dire que sa valeur exponentielle est deux. Dans le second terme, on voit péché\ sin x et cosx\ cos x - encore une fois, il y a deux fonctions, elles sont multipliées, donc la puissance totale est à nouveau de deux. Dans le troisième lien, nous voyons car2 X((\ cos) ^ (2)) x - similaire à la première valeur.

Prouvons que cosx = 0\ cos x = 0 n'est pas une solution à cette construction. Pour ce faire, supposons le contraire :

\ [\ début (tableau) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \\ pm 1 \\ 1 + 2 \ cdot \ gauche (\ pm 1 \ right) \ cdot 0-3 \ cdot 0 = 0 \\ 1 + 0-0 = 0 \ \ 1 = 0 \\\ fin (tableau) \]

Nous avons prouvé que cosx = 0\ cos x = 0 ne peut pas être une solution. Nous passons à la deuxième étape - nous divisons toute notre expression par car2 X((\cos) ^ (2)) x. Pourquoi au carré ? Parce que l'exposant de cette équation homogène est deux :

péché2 Xcar2 X+2sinxcosxcar2 X−3=0 t g2 x + 2tgx − 3 = 0

\ begin (align) & \ frac (((\ sin) ^ (2)) x) (((\ cos) ^ (2)) x) +2 \ frac (\ sin x \ cos x) (((\ cos) ^ (2)) x) -3 = 0 \\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx-3 = 0 \\\ fin (aligner)

Est-il possible de résoudre cette expression en utilisant le discriminant ? Sûr. Mais je propose de rappeler le théorème, théorème inverse Vieta, et on obtient que ce polynôme peut être représenté sous la forme de deux polynômes simples, à savoir :

(tgx + 3) (tgx − 1) = 0tgx = −3 → x = −arctg3 + n, n∈Ztgx = 1 → x = π 4 + π k, k∈Z

\ begin (align) & \ left (tgx + 3 \ right) \ left (tgx-1 \ right) = 0 \\ & tgx = -3 \ to x = -arctg3 + \ text() \! \! \ pi \ ! \! \ text () n, n \ in Z \\ & tgx = 1 \ to x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ in Z \\\ end (aligner)

De nombreux élèves demandent s'il vaut la peine d'écrire des coefficients séparés pour chaque groupe de solutions aux identités ou de ne pas s'embêter à écrire le même partout. Personnellement, je pense qu'il est préférable et plus fiable d'utiliser des lettres différentes, de sorte que dans le cas où vous entrez dans une université technique sérieuse avec des tests supplémentaires en mathématiques, les évaluateurs ne trouvent pas à redire à la réponse.

Problème numéro 3

péché3 x + péché2 xcosx = 2 car3 X

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x = 2 ((\ cos) ^ (3)) x

Nous savons déjà qu'il s'agit d'une équation trigonométrique homogène du troisième degré, aucune formule spéciale n'est nécessaire, et tout ce qui nous est demandé est de transférer le terme 2car3 X 2 ((\ cos) ^ (3)) x gauche. On réécrit :

péché3 x + péché2 xcosx − 2 car3 x = 0

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x-2 ((\ cos) ^ (3)) x = 0

Nous voyons que chaque élément contient trois fonctions trigonométriques, donc cette équation a une valeur de puissance égale à trois. Nous le résolvons. Tout d'abord, nous devons prouver que cosx = 0\ cos x = 0 n'est pas une racine :

\ [\ début (tableau) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \ pm 1 \\\ end (tableau) \]

Insérons ces nombres dans notre construction d'origine :

(± 1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 = 0± 1 = 0

\ begin (align) & ((\ left (\ pm 1 \ right)) ^ (3)) + 1 \ cdot 0-2 \ cdot 0 = 0 \\ & \ pm 1 + 0-0 = 0 \\ & \ pm 1 = 0 \\\ fin (aligner)

D'où, cosx = 0\ cos x = 0 n'est pas une solution. Nous avons prouvé que cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Maintenant que nous l'avons prouvé, nous divisons notre équation originale par car3 X((\cos) ^ (3)) x. Pourquoi en cubes ? Parce que nous venons de prouver que notre équation originale est du troisième degré :

péché3 Xcar3 X+péché2 xcosxcar3 X−2=0 t g3 x + t g2 x − 2 = 0

\ begin (align) & \ frac (((\ sin) ^ (3)) x) (((\ cos) ^ (3)) x) + \ frac (((\ sin) ^ (2)) x \ cos x) (((\ cos) ^ (3)) x) -2 = 0 \\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x-2 = 0 \\\ fin (aligner)

Introduisons une nouvelle variable :

tgx = t

On réécrit la construction :

t3 +t2 −2=0

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = 0

Avant nous équation cubique... Comment le résoudre? Au départ, lorsque je venais de compiler ce didacticiel vidéo, j'avais prévu de parler au préalable de la factorisation des polynômes et d'autres techniques. Mais en dans ce cas tout est beaucoup plus simple. Regardez, notre identité réduite, avec le terme de degré le plus élevé, est 1. De plus, tous les coefficients sont des entiers. Cela signifie que nous pouvons utiliser le corollaire du théorème de Bezout, qui stipule que toutes les racines sont des diviseurs du nombre -2, c'est-à-dire le terme libre.

La question se pose : quelle est la division de -2. Puisque 2 est un nombre premier, il n'y a pas tellement d'options. Il peut s'agir des nombres suivants : 1 ; 2 ; -1; -2. Les racines négatives tombent immédiatement. Pourquoi? Parce que les deux sont supérieurs à 0 en module, donc, t3 ((t) ^ (3)) sera plus grand en module que t2 ((t) ^ (2)). Et puisque le cube est une fonction impaire, donc le nombre dans le cube sera négatif, et t2 ((t) ^ (2)) - positif, et toute cette construction, pour t = -1 t = -1 et t = −2 t = -2, ne sera pas supérieur à 0. Soustrayez-en -2 et obtenez un nombre qui est certainement inférieur à 0. Il ne reste que 1 et 2. Remplaçons chacun de ces nombres :

˜ t = 1 → 1 + 1−2 = 0 → 0 = 0

˜t = 1 \ à \ texte () 1 + 1-2 = 0 \ à 0 = 0

Nous avons obtenu la bonne égalité numérique. D'où, t = 1 t = 1 est une racine.

t = 2 → 8 + 4−2 = 0 → 10 0

t = 2 \ à 8 + 4-2 = 0 \ à 10 \ ne 0

t = 2 t = 2 n'est pas une racine.

D'après le corollaire et le même théorème de Bezout, tout polynôme dont la racine est X0 ((x) _ (0)), représentent sous la forme :

Q (x) = (x = X0 ) P (x)

Q (x) = (x = ((x) _ (0))) P (x)

Dans notre cas, dans le rôle X x est la variable t t, et dans le rôle X0 ((x) _ (0)) - racine égale à 1. On obtient :

t3 +t2 −2 = (t − 1) P (t)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = (t-1) \ cdot P (t)

Comment trouver un polynôme P (t) P \ gauche (t \ droite) ? De toute évidence, vous devez effectuer les opérations suivantes :

P(t) = t3 +t2 −2 t − 1

P (t) = \ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1)

Nous substituons :

t3 +t2 + 0⋅t − 2t − 1=t2 + 2t + 2

\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \ cdot t-2) (t-1) = ((t) ^ (2)) + 2t + 2

Donc, notre polynôme d'origine s'est divisé sans reste. Ainsi, nous pouvons réécrire notre égalité d'origine sous la forme :

(t − 1) ( t2 + 2t + 2) = 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) = 0

Le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro. Nous avons déjà considéré le premier facteur. Regardons le deuxième :

t2 + 2t + 2 = 0

((t) ^ (2)) + 2t + 2 = 0

Les étudiants expérimentés ont probablement déjà compris que cette conception n'a pas de racines, mais calculons quand même le discriminant.

D = 4−4⋅2 = 4−8 = −4

D = 4-4 \ cdot 2 = 4-8 = -4

Le discriminant est inférieur à 0, donc l'expression n'a pas de racines. Au total, l'immense construction a été réduite à l'égalité habituelle :

\ [\ début (tableau) ((35) (l))

t = \ texte () 1 \\ tgx = \ texte () 1 \\ x = \ frac (\ texte () \! \! \ pi \! \! \ texte ()) (4) + \ texte () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ in Z \\\ end (tableau) \]

En conclusion, je voudrais ajouter quelques commentaires sur la dernière tâche :

1. si la condition sera toujours satisfaite cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0, et vaut-il la peine d'être vérifié. Bien sûr, pas toujours. Dans les cas où cosx = 0\ cos x = 0 est la solution de notre égalité, vous devez la sortir des parenthèses, puis une équation homogène à part entière restera entre parenthèses.
2. quelle est la division d'un polynôme par un polynôme. En effet, la plupart des écoles n'étudient pas cela, et lorsque les élèves voient une telle structure pour la première fois, ils subissent un léger choc. Mais, en fait, c'est simple et bon accueil, ce qui facilite grandement la résolution des équations diplômes supérieurs... Bien entendu, un tutoriel vidéo séparé lui sera consacré, que je publierai prochainement.

Points clés

Les équations trigonométriques homogènes sont un sujet de prédilection sur toutes sortes de travaux de contrôle... Ils sont résolus très simplement - il suffit de s'entraîner une fois. Pour clarifier de quoi nous parlons, nous allons introduire une nouvelle définition.

Une équation trigonométrique homogène est une équation dans laquelle chaque terme non nul est constitué du même nombre de facteurs trigonométriques. Il peut s'agir de sinus, de cosinus ou de leurs combinaisons - la méthode de résolution est toujours la même.

Le degré d'une équation trigonométrique homogène est le nombre de facteurs trigonométriques inclus en termes non nuls.

sinx + 15 cos x = 0

\ sin x + 15 \ text (cos) x = 0 - identité du 1er degré;

2 sin2x + 5sinxcosx − 8cos2x = 0

2 \ texte (péché) 2x + 5 \ sin xcosx-8 \ cos 2x = 0 - 2ème degré;

sin3x + 2sinxcos2x = 0

\ sin 3x + 2 \ sin x \ cos 2x = 0 - 3ème degré;

sinx + cosx = 1

\ sin x + \ cos x = 1 - et cette équation n'est pas homogène, puisqu'il y en a une à droite - un terme non nul, dans lequel il n'y a pas de facteurs trigonométriques;

sin2x + 2sinx − 3 = 0

\ sin 2x + 2 \ sin x-3 = 0 est aussi une équation inhomogène. Élément péché2x\ sin 2x - second degré (puisque vous pouvez représenter

sin2x = 2sinxcosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x), 2sinx 2 \ sin x est le premier, et le terme 3 est généralement nul, car il ne contient ni sinus ni cosinus.

Schéma de solution général

Le schéma de résolution est toujours le même :

Faisons comme si cosx = 0\ cosx = 0. Puis sinx = ± 1\ sin x = \ pm 1 - cela découle de l'identité principale. Remplacer péché\ sin x et cosx\ cos x à l'expression originale, et si le résultat est un non-sens (par exemple, l'expression 5=0 5 = 0), passez au deuxième point ;

On divise tout par la puissance du cosinus : cosx, cos2x, cos3x... - dépend de la valeur de la puissance de l'équation. Nous obtenons l'égalité habituelle avec les tangentes, qui est résolue avec succès après avoir remplacé tgx = t.

tgx = tLes racines trouvées seront la réponse à l'expression originale.

Sujet de cours : "Équations trigonométriques homogènes"

(10ème année)

Cible: introduire le concept d'équations trigonométriques homogènes de degrés I et II ; formuler et élaborer un algorithme de résolution d'équations trigonométriques homogènes de degrés I et II; enseigner aux élèves à résoudre des équations trigonométriques homogènes de degrés I et II; développer la capacité d'identifier des modèles, de généraliser ; stimuler l'intérêt pour le sujet, développer un sens de la solidarité et une saine compétition.

Type de cours : leçon dans la formation de nouvelles connaissances.

Forme de réalisation : travailler en groupe.

Équipement: ordinateur, installation multimédia

Pendant les cours

Organisation du temps

Accueillir les élèves, mobiliser l'attention.

Au cours, le système d'évaluation des connaissances (l'enseignant explique le système d'évaluation des connaissances en remplissant la fiche d'évaluation par un expert indépendant choisi par l'enseignant parmi les élèves). La leçon est accompagnée d'une présentation. .

Mise à jour des connaissances de base.

Les devoirs sont examinés et évalués par un expert indépendant et des consultants avant la leçon et une feuille de notation est remplie.

L'enseignant résume les devoirs.

Prof: Nous continuons à étudier le sujet "Équations trigonométriques". Aujourd'hui, dans la leçon, nous apprendrons à vous connaître avec un autre type d'équations trigonométriques et des méthodes pour les résoudre, et nous allons donc répéter ce que nous avons appris. Lors de la résolution de tous les types d'équations trigonométriques, ils sont réduits à résoudre les équations trigonométriques les plus simples.

Les devoirs individuels faits en groupe sont vérifiés. Soutenance de la présentation "Solutions des équations trigonométriques les plus simples"

(Les travaux du groupe sont évalués par un expert indépendant)

Motivation d'apprentissage.

Prof: nous devons travailler sur la résolution des mots croisés. Après l'avoir résolu, nous apprendrons le nom d'un nouveau type d'équations, que nous apprendrons à résoudre aujourd'hui dans la leçon.

Les questions sont projetées sur le tableau. Les étudiants devinent, l'examinateur indépendant inscrit les points sur la feuille d'évaluation pour les étudiants répondants.

Après avoir résolu le jeu de mots croisés, les gars liront le mot «homogène».

Assimilation de nouvelles connaissances.

Prof: Le sujet de la leçon est « Equations trigonométriques homogènes ».

Écrivons le sujet de la leçon dans un cahier. Les équations trigonométriques homogènes sont du premier et du deuxième degré.

Écrivons la définition d'une équation homogène du premier degré. J'utilise un exemple pour montrer la solution de ce genre d'équation, vous composez un algorithme pour résoudre une équation trigonométrique homogène du premier degré.

Équation de la forme une péché + b cosx = 0 est appelée une équation trigonométrique homogène du premier degré.

Considérons la solution de l'équation lorsque les coefficients une et v différent de 0.

Exemple: sinx + cosx = 0

R En divisant les deux membres du terme de l'équation par cosx, on obtient

Attention! Il n'est possible de diviser par 0 que si cette expression ne devient nulle part à 0. Analysons. Si le cosinus est 0, alors le sinus sera égal à 0, étant donné que les coefficients sont différents de 0, mais nous savons que le sinus et le cosinus s'annulent en des points différents. Par conséquent, cette opération peut être effectuée lors de la résolution de ce type d'équation.

Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré : division des deux membres de l'équation par cosx, cosx 0

Équation de la forme une péché mx +b cos mx = 0 est aussi appelée équation trigonométrique homogène du premier degré et la division des deux côtés de l'équation par le cosinus mх est également résolue.

Équation de la forme une péché 2 x +b sinx cosx +c cos2x = 0 dit homogène équation trigonométrique second degré.

Exemple : péché 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x = 0

Le coefficient a est différent de 0 et donc, comme l'équation précédente, cosx n'est pas égal à 0 et vous pouvez donc utiliser la méthode consistant à diviser les deux côtés de l'équation par cos 2 x.

On obtient tg 2 x + 2tgx - 3 = 0

On résout en introduisant une nouvelle variable soit tgx = a, puis on obtient l'équation

a 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 - 4 (–3) = 16

un 1 = 1 un 2 = –3

Retour au remplacement

Réponse:

Si le coefficient a = 0, alors l'équation prendra la forme 2sinx cosx - 3cos2x = 0 que nous résolvons en mettant le facteur commun cosx en dehors des parenthèses. Si le coefficient c = 0, alors l'équation prendra la forme sin2x + 2sinx cosx = 0 en prenant le facteur commun sinx hors des parenthèses. Algorithme de résolution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré :

Voyez si l'équation contient le terme asin2 x.

Si le terme asin2 x est contenu dans l'équation (c'est-à-dire a 0), alors l'équation est résolue en divisant les deux côtés de l'équation par cos2x, puis en introduisant une nouvelle variable.

Si le terme asin2 x n'est pas contenu dans l'équation (c'est-à-dire a = 0), alors l'équation est résolue par la méthode de factorisation : cosx est sorti des parenthèses. Les équations homogènes de la forme a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 sont résolues de la même manière

L'algorithme pour résoudre les équations trigonométriques homogènes est écrit dans le manuel à la page 102.

Éducation physique

Formation des compétences pour la résolution d'équations trigonométriques homogènes

Ouvrir des livres de problèmes page 53

Les 1er et 2e groupes décident n°361-v

Les 3e et 4e groupes décident n° 363-v

Ils montrent la solution au tableau, expliquent, complètent. Un expert indépendant évalue.

Solution d'exemples du livre de problèmes n°361-v
sinx - 3cosx = 0
nous divisons les deux côtés de l'équation par cosx 0, nous obtenons

n° 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
diviser les deux côtés de l'équation par cos2x, nous obtenons tg2x + tgx - 2 = 0

on résout en introduisant une nouvelle variable
soit tgx = a, alors on obtient l'équation
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
retour au remplacement

Travail indépendant.

Résoudre les équations.

2 cosx - 2 = 0

2cos2x - 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0

À la fin travail indépendant travaux de changement et contrôle mutuel. Les bonnes réponses sont projetées au tableau.

Puis ils louent expert indépendant.

Solution de travail autonome

Résumant la leçon.

Quel type d'équations trigonométriques avons-nous rencontré dans la leçon ?

Algorithme de résolution d'équations trigonométriques du premier et du deuxième degré.

Affectation à domicile : § Lire 20.3. n° 361 (d), 363 (b), difficulté supplémentaire n° 380 (a).

Mots croisés.

Si vous entrez les mots corrects, vous obtenez le nom de l'un des types d'équations trigonométriques.

La valeur d'une variable qui rend l'équation vraie ? (Racine)

Unité d'angle ? (Radian)

Un facteur numérique dans un produit ? (Coefficient)

Une branche des mathématiques qui étudie les fonctions trigonométriques ? (Trigonométrie)

Quel modèle mathématique faut-il pour introduire des fonctions trigonométriques ? (Cercle)

Quelle fonction trigonométrique est paire ? (Cosinus)

Comment appelle-t-on l'égalité correcte ? (Identité)

L'égalité avec une variable ? (L'équation)

Équations avec les mêmes racines? (Équivalent)

Ensemble des racines d'une équation ? (Solution)

Document d'évaluation

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n \ n

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Activité cognitive
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Résolution d'équations

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Travail

Devoirs - 12 points (3 équations 4 x 3 = 12 ont été attribuées à la maison)

Présentation - 1 point

Activité étudiante - 1 réponse - 1 point (4 points maximum)

Résolution d'équations 1 point

Travail indépendant - 4 points

Bilan au groupe :

« 5 » - 22 points ou plus
"4" - 18 - 21 points
"3" - 12 - 17 points

Arrêter! Essayons tout de même de comprendre cette formule encombrante.

En premier lieu devrait être la première variable au degré avec un certain coefficient. Dans notre cas c'est

Dans notre cas, c'est le cas. Comme nous l'avons découvert, cela signifie qu'ici le degré de la première variable converge. Et la deuxième variable au premier degré est en place. Coefficient.

Nous l'avons.

La première variable est en puissance, et la deuxième variable est au carré, avec un coefficient. C'est le dernier terme de l'équation.

Comme vous pouvez le voir, notre équation correspond à la définition d'une formule.

Regardons la deuxième partie (verbale) de la définition.

Nous avons deux inconnues et. Il converge ici.

Considérez tous les termes. En eux, la somme des degrés des inconnues doit être la même.

La somme des degrés est.

La somme des degrés est égale à (pour et pour).

La somme des degrés est.

Comme vous pouvez le voir, tout va bien !

Entraînons-nous maintenant à définir équations homogènes.

Déterminez lesquelles des équations sont homogènes :

Équations homogènes - équations numérotées :

Considérons l'équation séparément.

Si nous divisons chaque terme en développant chaque terme, nous obtenons

Et cette équation relève complètement de la définition des équations homogènes.

Comment résoudre des équations homogènes ?

Exemple 2.

Divisez l'équation par.

Par condition, y ne peut pas être égal à nous. Par conséquent, nous pouvons diviser en toute sécurité par

En remplaçant, on obtient un simple équation quadratique:

Comme il s'agit d'une équation quadratique réduite, nous utilisons le théorème de Vieta :

Après avoir effectué la substitution inverse, nous obtenons la réponse

Réponse:

Exemple 3.

Divisez l'équation par (par condition).

Réponse:

Exemple 4.

Trouvez si.

Ici, vous n'avez pas besoin de diviser, mais de multiplier. Multiplions l'équation entière par :

Faisons le remplacement et résolvons l'équation quadratique :

Après avoir effectué le remplacement inverse, nous obtenons la réponse :

Réponse:

Résolution d'équations trigonométriques homogènes.

La résolution d'équations trigonométriques homogènes n'est pas différente des solutions décrites ci-dessus. Seulement ici, entre autres, vous devez connaître un peu la trigonométrie. Et être capable de résoudre des équations trigonométriques (pour cela, vous pouvez lire la section).

Considérons de telles équations par des exemples.

Exemple 5.

Résous l'équation.

Nous voyons une équation homogène typique : et sont des inconnues, et la somme de leurs puissances dans chaque terme est égale.

De telles équations homogènes ne sont pas difficiles à résoudre, mais avant de diviser les équations en, considérons le cas où

Dans ce cas, l'équation prendra la forme :, alors. Mais sinus et cosinus ne peuvent pas être égaux en même temps, car selon l'identité trigonométrique de base. Par conséquent, nous pouvons en toute sécurité le diviser:

Puisque l'équation est réduite, alors par le théorème de Vieta :

Réponse:

Exemple 6.

Résous l'équation.

Comme dans l'exemple, vous devez diviser l'équation par. Prenons le cas où :

Mais sinus et cosinus ne peuvent pas être égaux en même temps, car selon l'identité trigonométrique de base. C'est pourquoi.

Faisons la substitution et résolvons l'équation quadratique :

Faisons le remplacement inverse et trouvons et :

Réponse:

Résolution d'équations exponentielles homogènes.

Les équations homogènes sont résolues de la même manière que celles considérées ci-dessus. Si vous avez oublié comment résoudre des équations exponentielles, consultez la section correspondante () !

Regardons quelques exemples.

Exemple 7.

Résous l'équation

Imaginons comment :

Nous voyons une équation homogène typique, avec deux variables et une somme de degrés. Divisez l'équation en :

Comme vous pouvez le voir, en faisant la substitution, on obtient l'équation quadratique réduite (dans ce cas, il n'y a pas lieu d'avoir peur de diviser par zéro - elle est toujours strictement supérieure à zéro) :

Par le théorème de Vieta :

Réponse: .

Exemple 8.

Résous l'équation

Imaginons comment :

Divisez l'équation en :

Faisons le remplacement et résolvons l'équation quadratique :

La racine ne satisfait pas à la condition. Faisons un remplacement inversé et trouvons :

Réponse:

ÉQUATIONS HOMOGÈNES. NIVEAU MOYEN

Tout d'abord, en prenant un problème comme exemple, permettez-moi de vous rappeler que sont les équations homogènes et quelle est la solution des équations homogènes.

Résoudre le problème:

Trouvez si.

Ici, vous pouvez remarquer une chose curieuse : si vous divisez chaque terme par, nous obtenons :

C'est-à-dire que maintenant il n'y a pas de séparation et, maintenant la variable dans l'équation est valeur requise... Et c'est une équation quadratique ordinaire qui peut être facilement résolue en utilisant le théorème de Vieta : le produit des racines est égal, et la somme est les nombres et.

Réponse:

Équations de la forme

dit homogène. C'est-à-dire qu'il s'agit d'une équation à deux inconnues, dont chaque terme a la même somme des puissances de ces inconnues. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus, ce montant est. La solution des équations homogènes s'effectue en divisant par une des inconnues à ce degré :

Et le remplacement ultérieur des variables :. Ainsi, on obtient une équation de degré à une inconnue :

Le plus souvent, nous rencontrerons des équations du second degré (c'est-à-dire quadratiques), et nous sommes capables de les résoudre :

Notez que diviser (et multiplier) toute l'équation par une variable n'est possible que si nous sommes convaincus que cette variable ne peut pas être nulle ! Par exemple, si on nous demande de trouver, nous comprenons tout de suite cela, puisqu'il est impossible de diviser par. Dans les cas où ce n'est pas si évident, il est nécessaire de vérifier séparément le cas où cette variable est égale à zéro. Par exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Nous voyons ici une équation homogène typique : et sont des inconnues, et la somme de leurs puissances dans chaque terme est égale.

Mais, avant de diviser par et d'obtenir une équation quadratique pour, nous devons considérer le cas où. Dans ce cas, l'équation prendra la forme :, d'où,. Mais sinus et cosinus ne peuvent pas être égaux à zéro en même temps, car selon l'identité trigonométrique principale :. Par conséquent, nous pouvons en toute sécurité le diviser:

J'espère que cette solution est complètement claire? Sinon, lisez la section. S'il n'est pas clair d'où il vient, vous devez revenir encore plus tôt - à la section.

Décider vous-même:

1. Trouvez si.
2. Trouvez si.
3. Résous l'équation.

Ici, je vais brièvement écrire directement la solution des équations homogènes :

Solutions:

Réponse: .

Et ici il ne faut pas diviser, mais multiplier :

Réponse:

Si vous n'avez pas encore fait d'équations trigonométriques, vous pouvez ignorer cet exemple.

Puisqu'ici nous devons diviser par, assurons-nous d'abord qu'il n'est pas égal à zéro :

C'est impossible.

Réponse: .

ÉQUATIONS HOMOGÈNES. BREF SUR LE PRINCIPAL

La solution de toutes les équations homogènes se réduit à diviser par l'une des inconnues en puissance et en plus en changeant les variables.

Algorithme:

Avec ce didacticiel vidéo, les étudiants seront en mesure d'explorer le sujet des équations trigonométriques homogènes.

Donnons des définitions :

1) une équation trigonométrique homogène du premier degré ressemble à a sin x + b cos x = 0 ;

2) une équation trigonométrique homogène du second degré ressemble à a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Considérons l'équation a sin x + b cos x = 0. Si a est égal à zéro, alors l'équation ressemblera à b cos x = 0 ; si b est égal à zéro, alors l'équation ressemblera à un sin x = 0. Ce sont les équations que nous avons appelées les plus simples et résolues plus tôt dans les rubriques précédentes.

Considérons maintenant l'option lorsque a et b ne sont pas égaux à zéro. En divisant les parties de l'équation par le cosinus x et effectuer la transformation. On obtient a tg x + b = 0, alors tg x sera égal à - b / a.

De ce qui précède, il s'ensuit que l'équation a sin mx + b cos mx = 0 est une équation trigonométrique homogène de degré I. Pour résoudre l'équation, ses parties sont divisées par cos mx.

Regardons l'exemple 1. Résolvez 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. Divisez d'abord les parties de l'équation par le cosinus (x / 2). Sachant que le sinus divisé par le cosinus est la tangente, on obtient 7 tg (x / 2) - 5 = 0. En transformant l'expression, on trouve que la valeur de la tangente (x / 2) est 5/7. La solution de cette équation a la forme х = arctan a + πn, dans notre cas х = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Considérons l'équation a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 :

1) avec un égal à zéro, l'équation ressemblera à b sin x cos x + c cos 2 x = 0. En transformant, nous obtenons l'expression cos x (b sin x + c cos x) = 0 et procédons à la résolution de deux équations. Après avoir divisé les parties de l'équation par le cosinus x, nous obtenons b tg x + c = 0, ce qui signifie tg x = - c / b. Sachant que x = arctan a + πn, alors la solution dans ce cas sera x = arctan (- c / b) + πn.

2) si a n'est pas égal à zéro, alors, en divisant les parties de l'équation par le cosinus au carré, on obtient une équation contenant la tangente, qui sera carrée. Cette équation peut être résolue en entrant une nouvelle variable.

3) pour avec égal à zéro, l'équation prendra la forme a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Cette équation peut être résolue en prenant le sinus x hors de la parenthèse.

1. voir s'il y a un péché 2 x dans l'équation ;

2. si le terme a sin 2 x est contenu dans l'équation, alors l'équation peut être résolue en divisant les deux parties par le cosinus au carré, puis en introduisant une nouvelle variable.

3. si un sin 2 x n'est pas contenu dans l'équation, alors l'équation peut être résolue en retirant cosx des parenthèses.

Considérons l'exemple 2. Retirons le cosinus des parenthèses et obtenons deux équations. La racine de la première équation est x = / 2 + πn. Pour résoudre la deuxième équation, on divise les parties de cette équation par le cosinus x, en transformant on obtient x = π / 3 + πn. Réponse : x = / 2 + n et x = π / 3 + πn.

Résolvons l'exemple 3, l'équation de la forme 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 et trouvons ses racines, qui appartiennent au segment de - π à π. Parce que cette équation est inhomogène, il faut la ramener à une forme homogène. En utilisant la formule sin 2 x + cos 2 x = 1, nous obtenons l'équation sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. En divisant toutes les parties de l'équation par cos 2 x, nous obtenons tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 En utilisant l'entrée de la nouvelle variable z = tg 2x, on résout l'équation dont la racine sera z = 1. Alors tg 2x = 1, d'où il suit que x = π / 8 + ( n) / 2. Parce que par la condition du problème, vous devez trouver les racines qui appartiennent au segment de - π à π, la solution aura la forme - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

CODE TEXTE :

Équations trigonométriques homogènes

Aujourd'hui, nous allons analyser comment les "équations trigonométriques homogènes" sont résolues. Ce sont des équations d'un genre particulier.

Faisons connaissance avec la définition.

Équation de la forme et péché x +bcarX = 0 (et le sinus x plus le cosinus x est égal à zéro) s'appelle une équation trigonométrique homogène du premier degré ;

équation de la forme et péché 2 x +bpéché xcarX+ aveccar 2 X= 0 (et le sinus carré x plus être sinus x cosinus x plus se cosinus carré x est égal à zéro) est appelée une équation trigonométrique homogène du second degré.

Si a = 0, alors l'équation prend la forme bcarX = 0.

Si b = 0 , alors on obtient et sin x = 0.

Ces équations sont trigonométriques élémentaires, et nous avons considéré leur solution dans nos sujets précédents

Envisager le cas où les deux coefficients ne sont pas égaux à zéro. Séparer les deux côtés de l'équation unepéchéX+ bcarX = 0 terme par carX.

Nous pouvons le faire, puisque le cosinus x est non nul. Après tout, si carX = 0 , alors l'équation unepéchéX+ bcarX = 0 prendra la forme unepéchéX = 0 , une 0, donc péchéX = 0 ... Ce qui est impossible, car selon l'identité trigonométrique de base péché 2 x +car 2 X=1 .

Diviser les deux côtés de l'équation unepéchéX+ bcarX = 0 terme par carX, on obtient : + = 0

Effectuons les transformations :

1. Depuis = tg x, alors =un tg x

2 coupé par carX, alors

Ainsi, on obtient l'expression suivante a tg x + b = 0.

Effectuons la transformation :

1. déplacer b vers la droite de l'expression avec le signe opposé

a tg x = - b

2. Débarrassez-vous du multiplicateur et en divisant les deux côtés de l'équation par un

tg x = -.

Conclusion : équation de la forme et le péchémx +bcarmx = 0 (et le sinus em x plus be cosinus em x est égal à zéro) est aussi appelée équation trigonométrique homogène du premier degré. Pour le résoudre, divisez les deux parties en carmx.

EXEMPLE 1. Résoudre l'équation 7 sin - 5 cos = 0 (sept sinus x par deux moins cinq cosinus x par deux égale zéro)

Solution. Divisez les deux membres du terme de l'équation par cos, nous obtenons

1. = 7 tg (puisque le rapport sinus/cosinus est une tangente, alors sept sinus x par deux divisé par cosinus x par deux est égal à 7 tangente x par deux)

2. -5 = -5 (en réduisant cos)

C'est ainsi que nous avons obtenu l'équation

7tg - 5 = 0, nous transformons l'expression, déplaçons le moins cinq vers la droite, en changeant le signe.

Nous avons ramené l'équation sous la forme tg t = a, où t =, a =. Et puisque cette équation a une solution pour toute valeur une et ces solutions ont la forme

x = arctan a + πn, alors la solution de notre équation aura la forme :

Arctg + n, trouver x

x = 2 arctan + 2πn.

Réponse : x = 2 arctan + 2πn.

On passe à l'équation trigonométrique homogène du second degré

unesin 2 x + b sin x cos x +aveccos 2 x = 0.

Considérons plusieurs cas.

I. Si a = 0, alors l'équation prend la forme bpéchéXcarX+ aveccar 2 X= 0.

Lors de la résolution e puis les équations utilisent la méthode de factorisation. Sortir carX entre parenthèses et obtenez : carX(bpéchéX+ aveccarX)= 0 ... Où carX= 0 ou

b péché x +aveccosx = 0. Et nous savons déjà comment résoudre ces équations.

Nous divisons les deux côtés du terme de l'équation par cosx, nous obtenons

1 (puisque le rapport sinus/cosinus est tangent).

Ainsi, on obtient l'équation : b tg x + c = 0

Nous avons ramené l'équation sous la forme tg t = a, où t = x, a =. Et puisque cette équation a une solution pour toute valeur une et ces solutions ont la forme

x = arctan a + πn, alors la solution de notre équation sera :

x = arctan + n,.

II. Si un 0, alors nous divisons les deux membres de l'équation terme par terme par car 2 X.

(En argumentant de la même manière que dans le cas d'une équation trigonométrique homogène du premier degré, le cosinus x ne peut s'annuler).

III. Si c = 0, alors l'équation prend la forme unepéché 2 X+ bpéchéXcarX= 0. Cette équation est résolue par la méthode de factorisation (on enlève péchéX hors de la parenthèse).

Ainsi, lors de la résolution de l'équation unepéché 2 X+ bpéchéXcarX+ aveccar 2 X= 0 vous pouvez agir selon l'algorithme :

EXEMPLE 2. Résoudre l'équation sinxcosx - cos 2 x = 0 (sinus x fois cosinus x moins racine de trois fois cosinus carré x est zéro).

Solution. Factor (mettre cosx en dehors de la parenthèse). On a

cos x (sin x - cos x) = 0, c'est-à-dire cos x = 0 ou sin x - cos x = 0.

Réponse : x = + n, x = + n.

EXEMPLE 3. Résoudre l'équation 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 (trois sinus carré de deux x moins le produit double du sinus de deux x et du cosinus de deux x plus trois cosinus carré de deux x) et trouver ses racines appartenant à l'intervalle (- π; π).

Solution. Cette équation n'est pas homogène, faisons donc quelques transformations. Remplacez le chiffre 2 à droite de l'équation par le produit 2 1

Puisque par l'identité trigonométrique principale sin 2 x + cos 2 x = 1, alors

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = en ouvrant les parenthèses on obtient : 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Donc l'équation 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 prendra la forme :

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x = 0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x = 0.

Reçu une équation trigonométrique homogène du second degré. Appliquons la méthode de division par terme par cos 2 2x :

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Introduisons une nouvelle variable z = tg2x.

Nous avons z 2 - 2 z + 1 = 0. C'est une équation quadratique. En remarquant sur le côté gauche de la formule de multiplication réduite - le carré de la différence (), nous obtenons (z - 1) 2 = 0, c'est-à-dire z = 1. Revenons au changement inverse :

Nous avons amené l'équation sous la forme tg t = a, où t = 2x, a = 1. Et puisque cette équation a une solution pour toute valeur une et ces solutions ont la forme

x = arctan x a + πn, alors la solution de notre équation sera :

2x = arctg1 + n,

x = +, (x est égal à la somme de pi par huit et pi en par deux).

Il nous reste à trouver de telles valeurs de x qui sont contenues dans l'intervalle

(- π; π), c'est-à-dire satisfaire la double inégalité - π х π. Parce que

x = +, alors - π + π. Divisez toutes les parties de cette inégalité par et multipliez par 8, nous obtenons

déplacer 1 vers la droite et vers la gauche, en changeant le signe en moins un

divisé par quatre nous obtenons,

pour plus de commodité, sélectionnez des parties entières en fractions

-

Cette inégalité est satisfaite par l'entier n suivant : -2, -1, 0, 1

Le dernier détail sur la façon de résoudre les tâches C1 de l'examen en mathématiques est solution d'équations trigonométriques homogènes. Nous vous expliquerons comment les résoudre dans cette dernière leçon.

Quelles sont ces équations ? Écrivons-les en termes généraux.

$$ a \ sin x + b \ cos x = 0, $$

où `a` et` b` sont des constantes. Cette équation est appelée équation trigonométrique homogène du premier degré.

Équation trigonométrique homogène du premier degré

Pour résoudre une telle équation, vous devez la diviser par `\ cos x`. Il prendra alors la forme

$$ \ nouvelle commande (\ tg) (\ mathop (\ mathrm (tg))) a \ tg x + b = 0. $$

La réponse à une telle équation s'écrit facilement en termes d'arc tangente.

Notez que `\ cos x 0`. Pour s'en assurer, nous substituons zéro dans l'équation au lieu du cosinus et nous obtenons que le sinus doit également être égal à zéro. Cependant, ils ne peuvent pas être égaux à zéro en même temps, ce qui signifie que le cosinus n'est pas nul.

Certaines des tâches de l'examen réel de cette année ont été réduites à une équation trigonométrique homogène. Suivez le lien vers. Nous allons prendre une version légèrement simplifiée du problème.

Premier exemple. Résolution d'une équation trigonométrique homogène du premier degré

$$ \ sin x + \ cos x = 0. $$

Divisez par `\ cos x`.

$$ \ tg x + 1 = 0, $$

$$ x = - \ frac (\ pi) (4) + \ pi k. $$

Encore une fois, une tâche similaire était sur l'examen d'État unifié :) bien sûr, vous devez toujours sélectionner les racines, mais cela ne devrait pas non plus causer de difficultés particulières.

Passons maintenant au type d'équation suivant.

Équation trigonométrique homogène du second degré

En général, cela ressemble à ceci :

$$ a \ sin ^ 2 x + b \ sin x \ cos x + c \ cos ^ 2 x = 0, $$

où `a, b, c` sont des constantes.

De telles équations sont résolues en divisant par `\ cos ^ 2 x` (qui encore une fois n'est pas égal à zéro). Prenons un exemple tout de suite.

Deuxième exemple. Résolution d'une équation trigonométrique homogène du second degré

$$ \ sin ^ 2 x - 2 \ sin x \, \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x = 0. $$

Divisez par `\ cos ^ 2 x`.

$$ (\ tg) ^ 2 x - 2 \ tg x -3 = 0. $$

Remplacez `t = \ tg x`.

$$ t ^ 2 - 2t -3 = 0, $$

$$ t_1 = 3, \ t_2 = -1. $$

Remplacement inversé

$$ \ tg x = 3, \ texte (ou) \ tg x = -1, $$

$$ x = \ arctan (3) + \ pi k, \ text (ou) x = - \ frac (\ pi) (4) + \ pi k. $$

La réponse a été reçue.

Troisième exemple. Résolution d'une équation trigonométrique homogène du second degré

$$ - \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x = -2. $$

Tout irait bien, mais cette équation n'est pas homogène - nous sommes gênés par le '-2' du côté droit. Que faire? Utilisons l'identité trigonométrique de base et notons '-2' avec.

$$ - \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x = -2 (\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x ), $$

$$ - \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x + 2 \ sin ^ 2 x + 2 \ cos ^ 2 x = 0, $$

$$ \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - \ cos ^ 2 x = 0. $$

Divisez par `\ cos ^ 2 x`.

$$ (\ tg) ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ tg x - 1 = 0, $$

Remplacement `t = \ tg x`.

$$ t ^ 2 + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) t - 1 = 0, $$

$$ t_1 = \ frac (\ sqrt (3)) (3), \ t_2 = - \ sqrt (3). $$

Après avoir effectué le remplacement inverse, nous obtenons :

$$ \ tg x = \ frac (\ sqrt (3)) (3) \ text (or) \ tg x = - \ sqrt (3). $$

$$ x = - \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, \ x = \ frac (\ pi) (6) + \ pi k. $$

C'est le dernier exemple de ce tutoriel.

Comme d'habitude, permettez-moi de vous rappeler : la formation est notre tout. Peu importe à quel point une personne est brillante, sans formation, les compétences ne se développeront pas. À l'examen, il y a beaucoup d'excitation, d'erreurs et de temps perdu (continuez cette liste vous-même). Assurez-vous de le faire!

Tâches de formation

Résoudre les équations :

• `10 ^ (\ sin x) = 2 ^ (\ sin x) \ cdot 5 ^ (- \ cos x)`. C'est une tâche du vrai USE 2013. La connaissance des propriétés des degrés n'a pas été annulée, mais si vous avez oublié, espionnez ;
• `\ sqrt (3) \ sin x + \ sin ^ 2 \ frac (x) (2) = \ cos ^ 2 \ frac (x) (2)`. La formule de la leçon 7 vous sera utile.
• `\ sqrt (3) \ sin 2x + 3 \ cos 2x = 0`.

C'est tout. Et comme d'habitude, au final : on pose des questions dans les commentaires, on met des likes, on regarde des vidéos, on apprend à résoudre l'examen.