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Les matériel méthodologique est pour référence et couvre un large éventail de sujets. L'article donne un aperçu des graphiques des principales fonctions élémentaires et considère la question la plus importante - comment construire un graphique correctement et RAPIDEMENT... Au cours de l'étude des mathématiques supérieures sans connaître les graphiques des principales fonctions élémentaires, il sera difficile, il est donc très important de se rappeler à quoi ressemblent les graphiques d'une parabole, d'une hyperbole, d'un sinus, d'un cosinus, etc. valeurs des fonctions. Nous parlerons également de certaines des propriétés des fonctions principales. Je ne prétends pas à l'exhaustivité et à la rigueur scientifique des matériaux, l'accent sera mis, tout d'abord, dans la pratique - ces choses avec lesquelles on doit traiter littéralement à chaque étape, dans n'importe quel sujet de mathématiques supérieures... Des graphiques pour les nuls ? Vous pouvez le dire.
À la demande générale des lecteurs table des matières cliquable:
De plus, il y a un synopsis ultra-court sur le sujet
- maîtriser 16 types de graphiques en étudiant SIX pages !
Sérieusement, six, même moi j'ai été surpris. Ce synopsis contient des graphismes améliorés et est disponible pour un prix symbolique, une version de démonstration peut être consultée. Il est pratique d'imprimer le fichier pour que les graphiques soient toujours à portée de main. Merci de soutenir le projet !
Et tout de suite nous commençons :
Comment tracer correctement les axes de coordonnées ?
En pratique, les tests sont presque toujours rédigés par les élèves dans des cahiers séparés, alignés dans une cage. Pourquoi avez-vous besoin de lignes en damier ? Après tout, le travail, en principe, peut être effectué sur des feuilles A4. Et la cage est nécessaire uniquement pour une conception de haute qualité et précise des dessins.
Tout dessin d'un graphique d'une fonction commence par des axes de coordonnées.
Les dessins sont disponibles en 2D et 3D.
Considérons d'abord le cas bidimensionnel système de coordonnées rectangulaires cartésiennes:
1) Dessiner axes de coordonnées... L'axe s'appelle abscisse
et l'axe est axe des y
... Nous essayons toujours de les dessiner soigné et pas tordu... Les flèches ne doivent pas non plus ressembler à la barbe de Papa Carlo.
2) Nous signons les axes avec des lettres majuscules "X" et "Y". N'oubliez pas de signer les axes.
3) Réglez l'échelle le long des axes : dessiner zéro et deux uns... Lorsque vous effectuez un dessin, l'échelle la plus pratique et la plus courante est : 1 unité = 2 cellules (dessin à gauche) - si possible, respectez-la. Cependant, il arrive de temps en temps que le dessin ne rentre pas sur la feuille du cahier - alors on réduit l'échelle : 1 unité = 1 cellule (dessin à droite). Rarement, mais il arrive que l'échelle du dessin doive être réduite (ou augmentée) encore plus
PAS BESOIN de "gribouiller avec une mitrailleuse"... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Pour avion coordonné- pas un monument à Descartes, et un étudiant - pas une colombe. nous mettons zéro et deux unités le long des axes... parfois à la place de unités, il est pratique de "marquer" d'autres valeurs, par exemple "deux" en abscisse et "trois" en ordonnée - et ce système (0, 2 et 3) définira également de manière unique la grille de coordonnées.
Il est préférable d'estimer les dimensions estimées du dessin AVANT que le dessin ne soit construit.... Ainsi, par exemple, si la tâche vous oblige à dessiner un triangle avec des sommets,, alors il est tout à fait clair que l'échelle populaire de 1 unité = 2 cellules ne fonctionnera pas. Pourquoi? Regardons le point - ici, vous devez mesurer quinze centimètres de profondeur et, évidemment, le dessin ne tiendra pas (ou à peine) sur une feuille de cahier. Par conséquent, nous sélectionnons immédiatement une échelle plus petite de 1 unité = 1 cellule.
Soit dit en passant, environ des centimètres et des cellules de cahier. Est-il vrai que 30 cellules tétrades contiennent 15 centimètres ? Mesurez dans un cahier les intérêts de 15 centimètres avec une règle. En URSS, c'était peut-être vrai... Il est intéressant de noter que si vous mesurez ces mêmes centimètres horizontalement et verticalement, les résultats (en cellules) seront différents ! À proprement parler, les cahiers modernes ne sont pas à carreaux, mais rectangulaires. Cela semblera peut-être absurde, mais dessiner, par exemple, un cercle avec une boussole dans de telles dispositions est très gênant. Pour être honnête, dans de tels moments, vous commencez à penser à la justesse du camarade Staline, qui a été envoyé dans des camps pour des travaux de piratage dans la production, sans parler de l'industrie automobile nationale, des chutes d'avions ou de l'explosion de centrales électriques.
En parlant de qualité, ou une brève recommandation pour la papeterie. Aujourd'hui, la plupart des cahiers sont en vente, pour ne pas dire de gros mots, pleins d'homosexualité. Pour la raison qu'ils sont mouillés, et pas seulement par les stylos gel, mais aussi par les stylos à bille ! Ils économisent sur le papier. Pour l'inscription travaux de contrôle Je recommande d'utiliser les cahiers du PPM d'Arkhangelsk (18 feuilles, cage) ou "Pyaterochka", bien qu'ils soient plus chers. Il est conseillé de choisir un stylo gel, même la recharge de gel chinoise la moins chère est bien meilleure qu'un stylo à bille qui macule ou déchire le papier. Le seul "compétitif" stylo à bille dans ma mémoire est "Erich Krause". Elle écrit clairement, magnifiquement et de manière stable - soit avec un noyau plein, soit avec un noyau presque vide.
en outre: Voir un système de coordonnées rectangulaires à travers les yeux de la géométrie analytique est couvert dans l'article Dépendance (non) linéaire des vecteurs. Base des vecteurs, des informations détaillées sur coordonner les quartiers peut être trouvé dans le deuxième paragraphe de la leçon Inégalités linéaires.
Boîtier en trois dimensions
C'est presque pareil ici.
1) Nous dessinons les axes de coordonnées. Standard: axe appliquer
- dirigé vers le haut, axe - dirigé vers la droite, axe - gauche et bas strictementà un angle de 45 degrés.
2) On signe les axes.
3) Réglez l'échelle le long des axes. Échelle de l'axe - la moitié de l'échelle sur les autres axes... Notez également que dans le dessin de droite j'ai utilisé un "serif" non standard le long de l'axe (cette possibilité a déjà été évoquée plus haut)... De mon point de vue, c'est plus précis, plus rapide et plus esthétique - il n'est pas nécessaire de chercher le milieu d'une cellule au microscope et de "sculpter" une unité juste à côté de l'origine.
Lorsque vous refaites le dessin 3D - donnez la priorité à l'échelle
1 unité = 2 cellules (dessin à gauche).
A quoi servent toutes ces règles ? Les règles sont là pour être brisées. Ce que je vais faire maintenant. Le fait est que les dessins ultérieurs de l'article seront réalisés par moi dans Excel et que les axes de coordonnées sembleront incorrects du point de vue conception correcte... Je pourrais dessiner tous les graphiques à la main, mais les dessiner est en fait terrible car Excel les dessinera beaucoup plus précisément.
Graphes et propriétés de base des fonctions élémentaires
La fonction linéaire est donnée par l'équation. Le graphique des fonctions linéaires est droit... Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points.
Exemple 1
Tracez la fonction. Trouvons deux points. Il est avantageux de choisir zéro comme l'un des points.
Si donc
Prenez un autre point, par exemple, 1.
Si donc
Lors du remplissage des devoirs, les coordonnées des points sont généralement résumées dans un tableau :
Et les valeurs elles-mêmes sont calculées oralement ou sur brouillon, calculatrice.
Deux points sont trouvés, exécutons le dessin :
Lors de l'élaboration d'un dessin, nous signons toujours des graphiques.
Il ne sera pas superflu de rappeler des cas particuliers d'une fonction linéaire :
Remarquez comment j'ai arrangé les signatures, les signatures ne doivent pas permettre de divergences lors de l'étude du dessin... Dans ce cas, il était hautement indésirable de mettre une signature près du point d'intersection des lignes, ou en bas à droite entre les graphiques.
1) Une fonction linéaire de la forme () est appelée proportionnalité directe. Par exemple, . Le graphe proportionnel direct passe toujours par l'origine. Ainsi, la construction d'une ligne droite est simplifiée - il suffit de trouver un seul point.
2) L'équation de la forme définit une ligne droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est défini par l'équation. Le graphe de la fonction est construit immédiatement, sans trouver de points. C'est-à-dire que l'enregistrement doit être compris comme suit : « le jeu est toujours égal à –4, pour toute valeur de x ».
3) L'équation de la forme définit une ligne droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est défini par l'équation. Le graphe de fonction est également construit immédiatement. La notation doit être comprise comme suit : "x est toujours, pour toute valeur de y, est égal à 1".
Certains demanderont, pourquoi se souvenir de la 6e année ?! C'est ainsi, peut-être, qu'au fil des années de pratique, j'ai rencontré une douzaine d'étudiants qui étaient perplexes face à la tâche de construire un graphe comme ou.
Tracer une ligne droite est l'étape la plus courante du dessin.
La droite est considérée en détail au cours de la géométrie analytique, et ceux qui le souhaitent peuvent se référer à l'article Equation d'une droite sur un plan.
Graphique de fonction quadratique, cubique, graphique polynomial
Parabole. Diagramme de fonction quadratique  () est une parabole. Prenons le cas célèbre :
Rappelons quelques propriétés de la fonction.
Donc, la solution de notre équation : - c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. Pourquoi il en est ainsi, vous pouvez le découvrir à partir de l'article théorique sur la dérivée et de la leçon sur les extrema d'une fonction. En attendant, on calcule la valeur correspondante du "jeu":
Le sommet est donc au point
Maintenant nous trouvons d'autres points, en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il est à noter que la fonction  – n'est même pas, mais, néanmoins, la symétrie de la parabole n'a pas été annulée.
Dans quel ordre trouver le reste des points, je pense, cela ressortira clairement de la table finale:
Cet algorithme de construction peut être appelé au sens figuré un principe de « navette » ou de « va-et-vient » avec Anfisa Chekhova.
Exécutons le dessin :
Une autre caractéristique utile vient à l'esprit des graphiques examinés :
Pour une fonction quadratique  () ce qui suit est vrai :
Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.
Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.
Une connaissance approfondie de la courbe peut être obtenue dans la leçon Hyperbole et Parabole.
Une parabole cubique est donnée par une fonction. Voici un dessin familier de l'école :
Listons les principales propriétés de la fonction
Graphique de fonction
Il représente l'une des branches de la parabole. Exécutons le dessin :
Les principales propriétés de la fonction :
Dans ce cas, l'axe est asymptote verticale
pour le graphique de l'hyperbole à.
Ce sera une GRANDE erreur si vous négligez de permettre l'intersection du graphique avec l'asymptote lors de l'élaboration du dessin.
Aussi les limites unilatérales nous disent que l'hyperbole pas limité d'en haut et pas limité par le bas.
Examinons la fonction à l'infini : c'est-à-dire que si nous commençons à nous déplacer le long de l'axe vers la gauche (ou vers la droite) jusqu'à l'infini, alors les « jeux » seront infiniment proche approche de zéro, et, par conséquent, les branches de l'hyperbole infiniment proche approcher de l'axe.
L'axe est donc asymptote horizontale
pour le graphique de la fonction, si "x" tend vers plus ou moins l'infini.
La fonction est impair, et, par conséquent, l'hyperbole est symétrique par rapport à l'origine. Ce fait est évident d'après le dessin, de plus, il est facilement vérifié analytiquement :  .
Le graphe d'une fonction de la forme () représente deux branches de l'hyperbole.
Si, alors l'hyperbole est située dans les premier et troisième quarts de coordonnées(voir photo ci-dessus).
Si, alors l'hyperbole est située dans les deuxième et quatrième quarts de coordonnées.
La régularité indiquée du lieu de résidence de l'hyperbole est facile à analyser du point de vue des transformations géométriques des graphes.
Exemple 3
Construire la branche droite de l'hyperbole
Nous utilisons la méthode de construction point par point, alors qu'il est avantageux de sélectionner les valeurs de manière à ce qu'il soit entièrement divisé :
Exécutons le dessin :
Il ne sera pas difficile de construire la branche gauche de l'hyperbole, ici la fonction étrange ne fera qu'aider. En gros, dans le tableau de construction point par point, ajoutez mentalement un moins à chaque nombre, mettez les points correspondants et dessinez une deuxième branche.
Des informations géométriques détaillées sur la ligne considérée peuvent être trouvées dans l'article Hyperbole et parabole.
Graphique de la fonction exponentielle
Dans cette section, je considérerai immédiatement la fonction exponentielle, car dans les problèmes de mathématiques supérieures dans 95% des cas c'est l'exponentielle qui est rencontrée.
Permettez-moi de vous rappeler qu'il s'agit d'un nombre irrationnel : cela sera nécessaire lors de la construction d'un calendrier, que je vais en fait construire sans cérémonie. Trois points suffisent probablement :
Laissons le graphe de fonction seul pour le moment, nous en reparlerons plus tard.
Les principales propriétés de la fonction :
En principe, les graphiques de fonction se ressemblent, etc.
Je dois dire que le deuxième cas est moins courant dans la pratique, mais il se produit, j'ai donc jugé nécessaire de l'inclure dans cet article.
Graphique de fonction logarithmique
Considérons une fonction avec logarithme népérien.
Exécutons un dessin point par point :
Si vous avez oublié ce qu'est un logarithme, veuillez vous référer à vos manuels scolaires.
Les principales propriétés de la fonction :
Domaine: 
Plage de valeurs :.
La fonction n'est pas limitée par le haut :  , quoique lentement, mais la branche du logarithme monte à l'infini.
Examinons le comportement de la fonction près de zéro à droite :  ... L'axe est donc asymptote verticale
pour le graphique de la fonction avec "x" tendant vers zéro à droite.
Il est impératif de connaître et de retenir la valeur typique du logarithme.: .
En principe, le graphique du logarithme de base est le même :,, (logarithme décimal base 10), etc. De plus, plus la base est grande, plus le graphique sera plat.
Nous ne considérerons pas le cas, pour une raison quelconque, je ne me souviens pas de la dernière fois que j'ai construit un graphique avec une telle base. Et le logarithme semble être un invité très rare dans les problèmes de mathématiques supérieures.
À la fin du paragraphe, je dirai un autre fait : Fonction exponentielle et fonction logarithmiqueSont deux fonctions mutuellement inverses... Si vous regardez attentivement le graphique du logarithme, vous pouvez voir qu'il s'agit du même exposant, c'est juste qu'il se situe un peu différemment.
Graphiques de fonctions trigonométriques
Comment commence le tourment trigonométrique à l'école ? Droit. Du sinus
Traçons la fonction
Cette ligne s'appelle sinusoïde.
Permettez-moi de vous rappeler que "pi" est un nombre irrationnel :, et en trigonométrie, il éblouit les yeux.
Les principales propriétés de la fonction :
Cette fonction est un périodique avec un point. Qu'est-ce que ça veut dire? Regardons le segment. A gauche et à droite de celui-ci, exactement le même morceau du graphique est répété à l'infini.
Domaine:, c'est-à-dire que pour toute valeur de "x", il existe une valeur sinusoïdale.
Plage de valeurs :. La fonction est limité:, c'est-à-dire que tous les "gamers" siègent strictement dans le segment.
Cela n'arrive pas : ou, plus exactement, cela arrive, mais ces équations n'ont pas de solution. |
Parabole. Le graphique d'une fonction quadratique () est une parabole. Considérons le cas canonique :
Rappelons quelques propriétés de la fonction.
Domaine de définition - tout nombre réel (toute valeur "x"). Qu'est-ce que ça veut dire? Quel que soit le point sur l'axe que nous choisissons - pour chaque "x", il y a un point de parabole. Mathématiquement, il s'écrit comme ceci :. La portée de la définition de toute fonction est indiquée par ou par standard. La lettre désigne un ensemble de nombres réels ou, plus simplement, "n'importe quel x" (lorsque le travail est rédigé dans un cahier, ils écrivent non pas une lettre bouclée, mais une lettre en gras R).
La plage de valeurs est l'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la variable "jeu". Dans ce cas : - l'ensemble de tous valeurs positives y compris zéro. La plage de valeurs est généralement désignée par ou.
La fonction est même. Si la fonction est paire, alors son graphique est symétrique par rapport à l'axe. C'est très propriété utile, ce qui simplifie grandement le traçage, comme nous le verrons bientôt. Analytiquement, la parité d'une fonction s'exprime par une condition. Comment vérifier la parité d'une fonction ? Il devrait plutôt être remplacé dans l'équation. Dans le cas d'une parabole, le contrôle ressemble à ceci : donc la fonction est paire.
Fonction pas limité d'en haut... Analytiquement, la propriété s'écrit comme suit :. Au fait, voici un exemple de la signification géométrique de la limite d'une fonction pour vous : si on va le long de l'axe (gauche ou droite) jusqu'à l'infini, alors les branches de la parabole (la valeur de "jeu") vont aller vers le haut jusqu'à "plus l'infini" indéfiniment.
À examiner les limites des fonctions il est souhaitable de comprendre la signification géométrique de la limite.
Ce n'est pas un hasard si j'ai décrit les propriétés de la fonction avec autant de détails, toutes les choses ci-dessus sont utiles à savoir et à retenir lors du traçage de graphiques de fonctions, ainsi que lors de l'étude des graphiques de fonctions.
Exemple 2
Fonction de tracé 
.
Dans cet exemple, nous aborderons un problème technique important : Comment construire rapidement une parabole ? Dans les exercices pratiques, la nécessité de tracer une parabole se pose très souvent, notamment lors du calcul de l'aire d'une figure à l'aide Intégrale définie... Par conséquent, il est conseillé d'apprendre à exécuter le dessin rapidement, avec une perte de temps minimale. Je suggère l'algorithme de construction suivant.
Tout d'abord, nous trouvons le sommet de la parabole. Pour ce faire, nous prenons la dérivée première et l'assimilons à zéro :
Si les dérivés sont mauvais, vous devriez lire la leçon Comment trouver la dérivée ?
Donc, la solution de notre équation : - c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. On calcule la valeur correspondante "jeu":
Le sommet est donc au point
Maintenant nous trouvons d'autres points, en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il est à noter que la fonction – n'est même pas, mais, néanmoins, la symétrie de la parabole n'a pas été annulée.
Dans quel ordre trouver le reste des points, je pense, cela ressortira clairement de la table finale:
Cet algorithme de construction peut être appelé au sens figuré une "navette". Peut-être que tout le monde ne comprend pas l'essence de la navette, alors, à titre de comparaison, je vous rappelle la célèbre émission télévisée "tudy-syudy with Anfisa Chekhova".
Exécutons le dessin :
Une autre caractéristique utile vient à l'esprit des graphiques examinés :
Pour une fonction quadratique (), ce qui suit est vrai :
Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.
Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.
Parabole cubique
Une parabole cubique est donnée par une fonction. Voici un dessin familier de l'école :
Listons les principales propriétés de la fonction
La portée est n'importe quel nombre réel :.
La plage est n'importe quel nombre réel :.
La fonction est impair. Si la fonction est impaire, alors son graphique est symétrique par rapport à l'origine. Analytiquement, la bizarrerie d'une fonction est exprimée par la condition 
... Vérifions une fonction cubique, pour cela, au lieu de "x", nous substituons "moins x":
, donc la fonction est impaire.
Fonction pas limité... Dans le langage des limites de fonction, cela peut s'écrire comme ceci :,
Il est également plus efficace de construire une parabole cubique en utilisant l'algorithme de navette d'Anfisa Chekhova :
Vous avez sûrement remarqué où la fonction étrange se manifeste également. Si on trouve ça 
, puis lors du calcul, il n'est plus nécessaire de compter quoi que ce soit, nous l'écrivons automatiquement. Cette caractéristique est valable pour toute fonction impaire.
Parlons maintenant un peu des graphes polynomiaux.
Graphique de tout polynôme du troisième degré 
() a essentiellement la forme suivante :
Dans cet exemple, le coefficient au plus haut degré, donc le graphique est inversé. Les graphiques de polynômes de 5e, 7e, 9e et autres degrés impairs ont essentiellement la même forme. Plus le degré est élevé, plus les « coudes » intermédiaires sont nombreux.
Les polynômes des 4e, 6e et autres degrés pairs ont essentiellement un graphique comme suit :
Cette connaissance est utile lors de l'examen des graphiques de fonctions.
Graphique de fonction
Exécutons le dessin :
Les principales propriétés de la fonction :
Domaine : .
Plage de valeurs :.
C'est-à-dire que le graphique de la fonction est complètement dans le premier quart de coordonnées.
Fonction pas limité d'en haut... Ou en utilisant une limite : 
Lors de la construction des graphes les plus simples avec des racines, la méthode de tracé point par point est également appropriée, alors qu'il est avantageux de sélectionner de telles valeurs "x" afin que la racine soit extraite entièrement :
Parabole. Le graphique d'une fonction quadratique () est une parabole. Considérons le cas canonique :
Rappelons quelques propriétés de la fonction.
Domaine de définition - tout nombre réel (toute valeur "x"). Qu'est-ce que ça veut dire? Quel que soit le point sur l'axe que nous choisissons - pour chaque "x", il y a un point de parabole. Mathématiquement, il s'écrit comme ceci :. La portée de la définition de toute fonction est indiquée par ou par standard. La lettre désigne un ensemble de nombres réels ou, plus simplement, "n'importe quel x" (lorsque le travail est rédigé dans un cahier, ils écrivent non pas une lettre bouclée, mais une lettre en gras R).
La plage de valeurs est l'ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la variable "jeu". Dans ce cas : - l'ensemble de toutes les valeurs positives, y compris zéro. La plage de valeurs est généralement désignée par ou.
La fonction est même. Si la fonction est paire, alors son graphique est symétrique par rapport à l'axe. C'est une fonctionnalité très utile, qui simplifie grandement le traçage, comme nous le verrons bientôt. Analytiquement, la parité d'une fonction s'exprime par une condition. Comment vérifier la parité d'une fonction ? Il devrait plutôt être remplacé dans l'équation. Dans le cas d'une parabole, le contrôle ressemble à ceci : donc la fonction est paire.
Fonction pas limité d'en haut... Analytiquement, la propriété s'écrit comme suit :. Au fait, voici un exemple de la signification géométrique de la limite d'une fonction pour vous : si on va le long de l'axe (gauche ou droite) jusqu'à l'infini, alors les branches de la parabole (la valeur de "jeu") vont aller vers le haut jusqu'à "plus l'infini" indéfiniment.
À examiner les limites des fonctions il est souhaitable de comprendre la signification géométrique de la limite.
Ce n'est pas un hasard si j'ai décrit les propriétés de la fonction avec autant de détails, toutes les choses ci-dessus sont utiles à savoir et à retenir lors du traçage de graphiques de fonctions, ainsi que lors de l'étude des graphiques de fonctions.
Exemple 2
Tracez la fonction.
Dans cet exemple, nous aborderons un problème technique important : Comment construire rapidement une parabole ? Dans les exercices pratiques, la nécessité de tracer une parabole se pose très souvent, notamment lors du calcul aire d'une figure utilisant une intégrale définie... Par conséquent, il est conseillé d'apprendre à exécuter le dessin rapidement, avec une perte de temps minimale. Je suggère l'algorithme de construction suivant.
Tout d'abord, nous trouvons le sommet de la parabole. Pour ce faire, nous prenons la dérivée première et l'assimilons à zéro :
Si les dérivés sont mauvais, vous devriez lire la leçon Comment trouver la dérivée ?
Donc, la solution de notre équation : - c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. On calcule la valeur correspondante "jeu":
Le sommet est donc au point
Maintenant nous trouvons d'autres points, en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il est à noter que la fonction - n'est même pas, mais, néanmoins, la symétrie de la parabole n'a pas été annulée.
Dans quel ordre trouver le reste des points, je pense, cela ressortira clairement de la table finale:
Cet algorithme de construction peut être appelé au sens figuré une "navette". Peut-être que tout le monde ne comprend pas l'essence de la navette, alors, à titre de comparaison, je vous rappelle la célèbre émission télévisée "tudy-syudy with Anfisa Chekhova".
Exécutons le dessin :
Une autre caractéristique utile vient à l'esprit des graphiques examinés :
Pour une fonction quadratique (), ce qui suit est vrai :
Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.
Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.
Parabole cubique
Une parabole cubique est donnée par une fonction. Voici un dessin familier de l'école :
Listons les principales propriétés de la fonction
La portée est n'importe quel nombre réel :.
La plage est n'importe quel nombre réel :.
La fonction est impair. Si la fonction est impaire, alors son graphique est symétrique par rapport à l'origine. Analytiquement, la bizarrerie d'une fonction est exprimée par la condition 
... Vérifions une fonction cubique, pour cela, au lieu de "x", nous substituons "moins x":
, donc la fonction est impaire.
Fonction pas limité... Dans le langage des limites de fonction, cela peut s'écrire comme ceci :,
Il est également plus efficace de construire une parabole cubique en utilisant l'algorithme de navette d'Anfisa Chekhova :
Vous avez sûrement remarqué où la fonction étrange se manifeste également. Si on trouve ça 
, puis lors du calcul, il n'est plus nécessaire de compter quoi que ce soit, nous l'écrivons automatiquement. Cette caractéristique est valable pour toute fonction impaire.
Parlons maintenant un peu des graphes polynomiaux.
Graphique de tout polynôme du troisième degré 
() a essentiellement la forme suivante :
Dans cet exemple, le coefficient au plus haut degré, donc le graphique est inversé. Les graphiques de polynômes de 5e, 7e, 9e et autres degrés impairs ont essentiellement la même forme. Plus le degré est élevé, plus les « coudes » intermédiaires sont nombreux.
Les polynômes des 4e, 6e et autres degrés pairs ont essentiellement un graphique comme suit :
Cette connaissance est utile lors de l'examen des graphiques de fonctions.
Graphique de fonction
Exécutons le dessin :
Les principales propriétés de la fonction :
Domaine : .
Plage de valeurs :.
C'est-à-dire que le graphique de la fonction est complètement dans le premier quart de coordonnées.
Fonction pas limité d'en haut... Ou en utilisant une limite : 
Lors de la construction des graphes les plus simples avec des racines, la méthode de tracé point par point est également appropriée, alors qu'il est avantageux de sélectionner de telles valeurs "x" afin que la racine soit extraite entièrement :
En fait, j'aimerais analyser plus d'exemples avec des racines, par exemple, mais ils sont beaucoup moins courants. Je me concentre sur des cas plus courants et, comme le montre la pratique, quelque chose semble devoir être construit beaucoup plus souvent. S'il est nécessaire de découvrir à quoi ressemblent des graphiques avec d'autres racines, je vous recommande de consulter un manuel scolaire ou un livre de référence mathématique.
Graphique d'hyperbole
Encore une fois, nous rappelons l'hyperbole triviale « école ».
Exécutons le dessin :
Les principales propriétés de la fonction :
Domaine : .
Plage de valeurs :.
L'entrée signifie : "tout nombre réel sauf zéro"
À un moment donné, la fonction souffre d'une discontinuité infinie. Ou en utilisant unilatéral limites:,. Parlons un peu des limites unilatérales. L'entrée signifie que nous infiniment proche s'approchant de zéro le long de l'axe la gauche... Comment se comporte le graphique dans ce cas ? Il descend jusqu'à moins l'infini, infiniment proche approche de l'axe. C'est ce fait qui est enregistré par la limite. De même, la notation signifie que nous infiniment proche s'approchant de zéro le long de l'axe sur la droite... Dans ce cas, la branche de l'hyperbole monte de plus l'infini, infiniment proche approche de l'axe. Ou en bref :.
du genre
où En d'autres termes, une fonction cubique est donnée par un polynôme du troisième degré.
Propriétés analytiques
Application
La parabole cubique est parfois utilisée pour calculer la courbe de transition sur le transport, car son calcul est beaucoup plus facile que de tracer une clothoïde.
voir également
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Remarques (modifier)
Littérature
- L. S. Pontryagin, // "Quantum", 1984, n° 3.
- IN Bronstein, KA Semendyaev, "Handbook of Mathematics", maison d'édition "Science", M. 1967, p. 84
Extrait caractérisant la fonction cubique
- Eh bien, pour quoi que ce soit...
A ce moment, Petya, à qui personne ne faisait attention, s'approcha de son père et, tout rouge, se cassant, tantôt d'une voix grossière, tantôt d'une voix maigre, lui dit :
- Eh bien maintenant, papa, je dirai résolument - et maman aussi, comme tu voudras - je dirai résolument que tu me laisseras entrer service militaire parce que je ne peux pas... c'est tout...
La comtesse leva les yeux au ciel avec horreur, leva les mains et se tourna avec colère vers son mari.
- Alors j'ai accepté ! - elle a dit.
Mais le comte au même instant se remit de son excitation.
« Eh bien, eh bien », a-t-il dit. - Voici encore un guerrier ! Laisse les bêtises : tu dois étudier.
- Ce n'est pas un non-sens, papa. Obolensky Fedya est plus jeune que moi et marche aussi, et surtout, tout de même, je ne peux rien apprendre maintenant que... - Petya s'arrêta, rougit jusqu'à la sueur et dit la même chose : - quand la patrie est en danger.
- Plein, plein, non-sens...
- Mais tu as dit toi-même que nous allions tout sacrifier.
"Petya, je te le dis, tais-toi", cria le comte en se retournant vers sa femme qui, pâlissant, regardait d'un œil fixe son fils cadet.
- Et je te le dis. Alors Piotr Kirillovich dira ...
- Je te le dis - non-sens, le lait n'a pas encore tari, mais veut faire son service militaire ! Eh bien, eh bien, je vous le dis, - et le comte, emportant les papiers avec lui, probablement pour les relire dans son bureau avant de se reposer, sortit de la pièce.
- Piotr Kirillovich, eh bien, allons fumer une cigarette ...
Pierre était confus et indécis. Les yeux inhabituellement brillants et vifs de Natasha, qui s'adressaient sans cesse, plus qu'affectionnellement, à lui, l'amenèrent dans cet état.
- Non, je pense que je vais rentrer chez moi...
— Comment rentrer à la maison, mais tu voulais une soirée avec nous… Et cela commençait rarement à l'être. Et celui-ci à moi ... - dit le comte avec bonhomie, en désignant Natasha, - seulement avec vous, elle était joyeuse ...
— Oui, j'ai oublié… Il faut absolument que je rentre chez moi… Affaires… — dit Pierre précipitamment.
– Eh bien, au revoir, dit le comte en quittant complètement la pièce.
- Pourquoi partez-vous? Pourquoi êtes-vous contrarié? Pourquoi? .. - a demandé Pierre Natasha, regardant avec défi dans ses yeux.
"Parce que je t'aime! - il voulait dire, mais il ne le dit pas, il rougit aux larmes et baissa les yeux.
— Parce qu'il vaut mieux que je te rende visite moins souvent… Parce que… non, j'ai juste des choses à faire.
- De quoi ? non, dis-moi », commença Natasha avec détermination, et soudain elle se tut. Ils se regardèrent tous les deux avec peur et embarras. Il essaya de sourire, mais n'y parvint pas : son sourire exprimait l'angoisse, et il lui baisa silencieusement la main et partit.
Pierre a décidé de ne plus visiter les Rostov avec lui-même. Petya, après avoir reçu un refus décisif, se rendit dans sa chambre et là, s'isolant de tout le monde, pleura amèrement. Ils faisaient tout comme s'ils n'avaient rien remarqué, quand il venait prendre le thé, silencieux et sombre, les yeux pleins de larmes.
L'empereur arriva le lendemain. Plusieurs ménages de Rostov ont demandé un congé pour aller voir le tsar. Ce matin-là, Petya s'habilla longuement, se coiffa et arrangea ses cols comme ceux des grands. Il fronça les sourcils devant le miroir, fit des gestes, haussa les épaules, et finalement, sans le dire à personne, mit sa casquette et quitta la maison par le porche arrière, essayant de ne pas se faire remarquer. Petya décida d'aller directement à l'endroit où se trouvait le souverain, et d'expliquer directement à quelque chambellan (il lui sembla que le souverain était toujours entouré de chambellans) que lui, le comte Rostov, malgré sa jeunesse, veut servir la patrie, que la jeunesse ne peut pas être un obstacle à la dévotion et qu'il est prêt... Petya, pendant qu'il se préparait, préparait beaucoup de paroles merveilleuses qu'il dirait au chambellan.
La fonction y = x ^ 2 est appelée fonction quadratique. Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole. Forme générale la parabole est représentée sur la figure ci-dessous.
Fonction quadratique
Fig 1. Vue générale de la parabole
Comme vous pouvez le voir sur le graphique, il est symétrique par rapport à l'axe Oy. L'axe Oy est appelé axe de symétrie de la parabole. Cela signifie que si vous tracez une ligne droite parallèle à l'axe Ox au-dessus de cet axe. Ensuite, il traversera la parabole en deux points. La distance entre ces points et l'axe Oy sera la même.
L'axe de symétrie divise le graphique de la parabole en deux parties, pour ainsi dire. Ces parties sont appelées les branches de la parabole. Et le point de la parabole qui se trouve sur l'axe de symétrie s'appelle le sommet de la parabole. C'est-à-dire que l'axe de symétrie passe par le sommet de la parabole. Les coordonnées de ce point (0; 0).
Propriétés de base d'une fonction quadratique
1. Pour x = 0, y = 0 et y> 0 pour x0
2. Valeur minimum la fonction quadratique atteint son sommet. Ymin à x = 0 ; Il faut aussi noter que valeur maximum la fonction n'existe pas.
3. La fonction diminue dans l'intervalle (-∞; 0] et augmente dans l'intervalle)
