Un cercle est un ensemble visible de nombreux points situés à la même distance du centre. Pour trouver son aire, vous devez savoir quels sont le rayon, le diamètre, le nombre π et la circonférence.

Grandeurs impliquées dans le calcul de l'aire d'un cercle

La distance limitée par le point central du cercle et l'un des points du cercle est appelée rayon de cette figure géométrique. Les longueurs de tous les rayons d'un cercle sont les mêmes. Un segment entre 2 points quelconques d'un cercle qui passe par point central, est appelé diamètre. La longueur du diamètre est égale à la longueur du rayon multipliée par 2.

Pour calculer l'aire d'un cercle, la valeur du nombre π est utilisée. Cette valeur est égale au rapport de la circonférence à la longueur du diamètre du cercle et a une valeur constante. Π = 3,1415926. La circonférence est calculée à l'aide de la formule L=2πR.

Trouver l'aire d'un cercle en utilisant le rayon

Par conséquent, l'aire d'un cercle est égale au produit du nombre π et du rayon du cercle élevé à la puissance 2. A titre d'exemple, prenons que la longueur du rayon du cercle est de 5 cm. L'aire du cercle S sera alors égale à 3,14*5^2=78,5 mètres carrés. cm.

Aire d'un cercle passant par le diamètre

L'aire d'un cercle peut également être calculée en connaissant le diamètre du cercle. Dans ce cas, S = (π/4)*d^2, où d est le diamètre du cercle. Prenons le même exemple, où le rayon est de 5 cm. Son diamètre sera alors de 5*2=10 cm. L'aire du cercle est S = 3,14/4*10^2=78,5 cm². Le résultat, égal au total des calculs du premier exemple, confirme l'exactitude des calculs dans les deux cas.

Aire d'un cercle par circonférence

Si le rayon d'un cercle est représenté par la circonférence, alors la formule aura la forme suivante : R=(L/2)π. Remplaçons cette expression dans la formule de l'aire d'un cercle et nous obtenons S=(L^2)/4π. Considérons un exemple dans lequel la circonférence est de 10 cm. Alors l'aire du cercle est S = (10^2)/4*3,14=7,96 mètres carrés. cm.

Aire d'un cercle sur la longueur d'un côté d'un carré inscrit

Si un carré est inscrit dans un cercle, alors la longueur du diamètre du cercle est égale à la longueur de la diagonale du carré. Connaissant la taille du côté du carré, vous pouvez facilement connaître le diamètre du cercle à l'aide de la formule : d^2=2a^2. Autrement dit, le diamètre à la puissance 2 est égal au côté du carré à la puissance 2 multiplié par 2.

Après avoir calculé la longueur du diamètre d'un cercle, vous pouvez connaître son rayon, puis utiliser l'une des formules pour déterminer l'aire d'un cercle.

Aire d'un secteur de cercle

Un secteur est une partie d'un cercle limité par 2 rayons et un arc entre eux. Pour connaître son aire, il faut mesurer l'angle du secteur. Après cela, vous devez créer une fraction dont le numérateur sera la valeur de l'angle du secteur et le dénominateur sera 360. Pour calculer l'aire du secteur, la valeur obtenue en divisant la fraction doit être multiplié par l'aire du cercle, calculée à l'aide de l'une des formules ci-dessus.

- Ce silhouette plate, qui est un ensemble de points équidistants du centre. Ils sont tous à la même distance et forment un cercle.

Un segment qui relie le centre d'un cercle aux points sur sa circonférence est appelé rayon. Dans chaque cercle, tous les rayons sont égaux. Une ligne droite reliant deux points d'un cercle et passant par le centre s'appelle diamètre. La formule de l'aire d'un cercle est calculée à l'aide d'une constante mathématique - le nombre π..

C'est intéressant : Nombre π. représente le rapport entre la circonférence d'un cercle et la longueur de son diamètre et est une valeur constante. La valeur π = 3,1415926 a été utilisée après les travaux de L. Euler en 1737.

L'aire d'un cercle peut être calculée à l'aide de la constante π. et le rayon du cercle. La formule pour l'aire d'un cercle en termes de rayon ressemble à ceci :

Regardons un exemple de calcul de l'aire d'un cercle à l'aide du rayon. Donnons un cercle de rayon R = 4 cm. Trouvons l'aire de la figure.

La superficie de notre cercle sera de 50,24 mètres carrés. cm.

Il existe une formule aire d'un cercle passant par le diamètre. Il est également largement utilisé pour calculer les paramètres nécessaires. Ces formules peuvent être utilisées pour trouver.

Considérons un exemple de calcul de l'aire d'un cercle par son diamètre, connaissant son rayon. Donnons un cercle de rayon R = 4 cm. Tout d’abord, trouvons le diamètre qui, comme nous le savons, est le double du rayon.


Nous utilisons maintenant les données pour un exemple de calcul de l'aire d'un cercle en utilisant la formule ci-dessus :

Comme vous pouvez le constater, le résultat est la même réponse que dans les premiers calculs.

La connaissance des formules standard pour calculer l'aire d'un cercle vous aidera à déterminer facilement à l'avenir zone de secteur et trouvez facilement les valeurs manquantes.

Nous savons déjà que la formule de l'aire d'un cercle est calculée en multipliant la valeur constante π par le carré du rayon du cercle. Le rayon peut être exprimé en termes de circonférence et remplacer l'expression dans la formule par l'aire d'un cercle en termes de circonférence :
Remplaçons maintenant cette égalité dans la formule de calcul de l'aire d'un cercle et obtenons une formule pour trouver l'aire d'un cercle en utilisant la circonférence

Considérons un exemple de calcul de l'aire d'un cercle à l'aide de la circonférence. Soit un cercle de longueur l = 8 cm. Remplacez la valeur dans la formule dérivée :

La superficie totale du cercle sera de 5 mètres carrés. cm.

Aire d'un cercle circonscrit à un carré

Il est très facile de trouver l'aire d'un cercle circonscrit à un carré.

Pour ce faire, vous n'avez besoin que du côté du carré et de la connaissance de formules simples. La diagonale du carré sera égale à la diagonale du cercle circonscrit. Connaissant le côté a, on peut le trouver à l'aide du théorème de Pythagore : d'ici.
Après avoir trouvé la diagonale, nous pouvons calculer le rayon : .
Et puis nous substituerons le tout dans la formule de base pour l'aire d'un cercle circonscrit à un carré :

Comment trouver l'aire d'un cercle ? Trouvez d’abord le rayon. Apprenez à résoudre des problèmes simples et complexes.

Un cercle est une courbe fermée. Tout point sur la ligne circulaire sera à la même distance du point central. Un cercle est une figure plate, il est donc facile de résoudre des problèmes impliquant la recherche d’une aire. Dans cet article nous verrons comment trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un triangle, un trapèze, un carré et circonscrit autour de ces figures.

Pour trouver l'aire d'une figure donnée, vous devez savoir quels sont le rayon, le diamètre et le nombre π.

Rayon R est la distance limitée par le centre du cercle. Les longueurs de tous les rayons R d'un cercle seront égales.

Diamètre D est une ligne entre deux points quelconques d’un cercle qui passe par le point central. La longueur de ce segment est égale à la longueur du rayon R multipliée par 2.

Nombre π est une valeur constante égale à 3,1415926. En mathématiques, ce nombre est généralement arrondi à 3,14.

Formule pour trouver l'aire d'un cercle à l'aide du rayon :

Exemples de résolution de problèmes pour trouver l'aire S d'un cercle à l'aide du rayon R :

Tâche: Trouvez l'aire d'un cercle si son rayon est de 7 cm.

Solution: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

Répondre: L'aire du cercle est de 153,86 cm².

La formule pour trouver l'aire S d'un cercle passant par le diamètre D :

Exemples de résolution de problèmes de recherche de S si D est connu :

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Tâche: Trouvez le S d'un cercle si son D est de 10 cm.

Solution: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

Répondre: L'aire d'une figure circulaire plate est de 78,5 cm².

Trouver S d'un cercle si la circonférence est connue :

Nous trouvons d’abord à quoi est égal le rayon. La circonférence du cercle est calculée par la formule : L=2πR, respectivement, le rayon R sera égal à L/2π. Nous trouvons maintenant l'aire du cercle en utilisant la formule via R.

Considérons la solution à l'aide d'un exemple de problème :

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Tâche: Trouvez l'aire d'un cercle si la circonférence L est connue - 12 cm.

Solution: On trouve d’abord le rayon : R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

Nous trouvons maintenant l'aire passant par le rayon : S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

Répondre: L'aire du cercle est de 11,46 cm².

Trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un carré est facile. Le côté d'un carré est le diamètre d'un cercle. Pour trouver le rayon, il faut diviser le côté par 2.

Formule pour trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un carré :

Exemples de résolution de problèmes de recherche de l'aire d'un cercle inscrit dans un carré :

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Tâche n°1 : Le côté d'une figure carrée est connu, qui mesure 6 centimètres. Trouvez la zone S du cercle inscrit.

Solution: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

Répondre: L'aire d'une figure circulaire plate est de 28,26 cm².

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Tâche n°2: Trouver S d'un cercle inscrit dans une figure carrée et son rayon si un côté est a=4 cm.

Décidez de cette façon: On trouve d’abord R=a/2=4/2=2 cm.

Trouvons maintenant l'aire du cercle S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

Répondre: L'aire d'une figure circulaire plate est de 12,56 cm².

Il est un peu plus difficile de trouver l'aire d'une figure circulaire décrite autour d'un carré. Mais connaissant la formule, vous pouvez rapidement calculer cette valeur.

La formule pour trouver S un cercle circonscrit à une figure carrée :

Exemples de résolution de problèmes pour trouver l'aire d'un cercle circonscrit autour d'une figure carrée :

Tâche

Un cercle inscrit dans une figure triangulaire est un cercle qui touche les trois côtés du triangle. Vous pouvez insérer un cercle dans n’importe quelle figure triangulaire, mais une seule. Le centre du cercle sera le point d'intersection des bissectrices des angles du triangle.

Formule pour trouver l'aire d'un cercle inscrit dans triangle isocèle:

Une fois le rayon connu, l'aire peut être calculée à l'aide de la formule : S=πR².

Formule pour trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle :

Exemples de résolution de problèmes :

Tâche n°1

Si dans ce problème vous devez également trouver l'aire d'un cercle d'un rayon de 4 cm, alors cela peut être fait en utilisant la formule : S=πR²

Tâche n°2

Solution:

Maintenant que le rayon est connu, nous pouvons trouver l'aire du cercle à l'aide du rayon. Voir la formule ci-dessus dans le texte.

Tâche n°3

Aire d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle et isocèle : formule, exemples de résolution de problèmes

Toutes les formules pour trouver l'aire d'un cercle se résument au fait qu'il faut d'abord trouver son rayon. Lorsque le rayon est connu, trouver la zone est simple, comme décrit ci-dessus.

L'aire d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle et isocèle se trouve par la formule suivante :

Exemples de résolution de problèmes :

Voici un autre exemple de résolution d'un problème à l'aide de la formule de Heron.

Résoudre de tels problèmes est difficile, mais ils peuvent être maîtrisés si vous connaissez toutes les formules. Les élèves résolvent de tels problèmes en 9e année.

Aire d'un cercle inscrit dans un trapèze rectangulaire et isocèle : formule, exemples de résolution de problèmes

Un trapèze isocèle a deux côtés égaux. Un trapèze rectangulaire a un angle égal à 90º. Voyons comment trouver l'aire d'un cercle inscrit dans un trapèze rectangulaire et isocèle en utilisant l'exemple de la résolution de problèmes.

Par exemple, un cercle est inscrit dans un trapèze isocèle qui, au point de contact, divise un côté en segments m et n.

Pour résoudre ce problème, vous devez utiliser les formules suivantes :

Trouver l'aire d'un cercle inscrit dans trapèze rectangulaire, est réalisé selon la formule suivante :

Si le côté latéral est connu, alors le rayon peut être trouvé à l'aide de cette valeur. La hauteur du côté d'un trapèze est égale au diamètre du cercle et le rayon est la moitié du diamètre. En conséquence, le rayon est R=d/2.

Exemples de résolution de problèmes :

Un trapèze peut s'inscrire dans un cercle lorsque la somme de ses angles opposés est de 180º. Par conséquent, vous ne pouvez inscrire qu’un trapèze isocèle. Le rayon de calcul de l'aire d'un cercle circonscrit à un trapèze rectangulaire ou isocèle est calculé à l'aide des formules suivantes :

Exemples de résolution de problèmes :

Solution: Grande base en dans ce cas passe par le centre, puisqu'un trapèze isocèle est inscrit dans un cercle. Le centre divise cette base exactement en deux. Si la base AB est 12, alors le rayon R peut être trouvé comme suit : R=12/2=6.

Répondre: Le rayon est de 6.

En géométrie, il est important de connaître les formules. Mais il est impossible de se souvenir de tous, c'est pourquoi même dans de nombreux examens, il est permis d'utiliser un formulaire spécial. Cependant, il est important de pouvoir trouver la bonne formule pour résoudre un problème particulier. Entraînez-vous à résoudre divers problèmes pour trouver le rayon et l'aire d'un cercle afin de pouvoir remplacer correctement les formules et obtenir des réponses précises.

Vidéo : Mathématiques | Calcul des aires d'un cercle et de ses parties

En géométrie tout autour est un certain ensemble de tous les points du plan qui sont éloignés d'un point, appelé son centre, d'une distance non supérieure à une distance donnée, appelée son rayon. En même temps frontière extérieure le cercle est cercle, et dans le cas où la longueur du rayon est nulle, cercle dégénère jusqu'à un certain point.

Déterminer l'aire d'un cercle

Si nécessaire aire d'un cercle peut être calculé à l'aide de la formule :

r- rayon du cercle

D- diamètre du cercle

S- aire d'un cercle

π - 3.14

Ce figure géométrique on le retrouve très souvent aussi bien en technologie qu'en architecture. Les concepteurs de machines et de mécanismes développent diverses pièces, dont les sections transversales de beaucoup d'entre elles sont exactement cercle. Par exemple, il s'agit d'arbres, de bielles, de bielles, de cylindres, d'essieux, de pistons, etc. Lors de la fabrication de ces pièces, les ébauches de divers matériaux(métaux, bois, plastiques), leurs sections représentent également exactement cercle. Il va sans dire que les développeurs doivent souvent calculer aire d'un cercleà travers le diamètre ou le rayon, en utilisant à cet effet des formules mathématiques simples découvertes dans l'Antiquité.

C'est à ce moment-là éléments ronds a commencé à être activement et largement utilisé en architecture. L’un des exemples les plus frappants est le cirque, qui est un type de bâtiment conçu pour accueillir divers événements de divertissement. Leurs arènes sont façonnées cercle, et leur construction a commencé dans les temps anciens. Le mot lui-même " cirque"traduit du latin signifie" cercle" Si dans l'Antiquité les cirques accueillaient des représentations théâtrales et des combats de gladiateurs, ils servent désormais de lieu où se déroulent presque exclusivement des spectacles de cirque avec la participation d'entraîneurs, d'acrobates, de magiciens, de clowns, etc. Le diamètre standard d'une arène de cirque est de 13 mètres. , et ce n'est absolument pas un hasard : le fait est que c'est lui qui fournit le minimum nécessaire paramètres géométriques une arène dans laquelle les chevaux de cirque peuvent galoper en rond. Si on calcule aire d'un cercleà travers le diamètre, il s'avère que pour une arène de cirque, cette valeur est de 113,04 mètres carrés.

Les éléments architecturaux pouvant prendre la forme d’un cercle sont les fenêtres. Bien sûr, dans la plupart des cas, elles sont rectangulaires ou carrées (en grande partie parce que cela est plus facile pour les architectes et les constructeurs), mais dans certains bâtiments, vous pouvez également trouver des fenêtres rondes. De plus, dans un tel véhicules, comme les navires aériens, maritimes et fluviaux, ils sont le plus souvent exactement ainsi.

Il n’est pas rare d’utiliser des éléments ronds pour la fabrication de meubles, comme des tables et des chaises. Il y a même un concept " table ronde ", ce qui implique une discussion constructive, au cours de laquelle une discussion approfondie de divers problèmes importants a lieu et des moyens de les résoudre sont développés. Quant à la fabrication des plans de travail eux-mêmes, qui ont une forme ronde, des outils et équipements spécialisés sont utilisés pour leur fabrication, sous réserve de la participation de travailleurs assez qualifiés.