Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme ! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?

Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.

Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,

Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :

Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : un signe moins, le chiffre quatre, une désignation de degrés). Et je ne pense pas que cette fille soit une idiote qui ne connaît pas la physique. Elle a juste un fort stéréotype de perception des images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.

1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.

\[(\Large(\text(trapèze libre)))\]

Définitions

Un trapèze est un quadrilatère convexe dont deux côtés sont parallèles et les deux autres côtés ne sont pas parallèles.

Les côtés parallèles d’un trapèze sont appelés ses bases et les deux autres côtés sont appelés ses côtés.

La hauteur d'un trapèze est une perpendiculaire descendant de n'importe quel point d'une base à une autre base.

Théorèmes : propriétés d'un trapèze

1) La somme des angles sur le côté est \(180^\circ\) .

2) Les diagonales divisent le trapèze en quatre triangles, dont deux sont semblables et les deux autres sont de taille égale.

Preuve

1) Parce que \(AD\parallèle BC\), alors les angles \(\angle BAD\) et \(\angle ABC\) sont unilatéraux pour ces droites et la transversale \(AB\), donc, \(\angle MAUVAIS +\angle ABC=180^\circ\).

2) Parce que \(AD\parallel BC\) et \(BD\) sont sécants, alors \(\angle DBC=\angle BDA\) se trouvent transversalement.
Aussi \(\angle BOC=\angle AOD\) comme vertical.
Donc sous deux angles \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Prouvons que \(S_(\triangle AOB)=S_(\triangle COD)\). Soit \(h\) la hauteur du trapèze. Alors \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Alors: \

Définition

La ligne médiane d'un trapèze est un segment reliant les milieux des côtés.

Théorème

La ligne médiane du trapèze est parallèle aux bases et égale à leur demi-somme.

Preuve*

1) Montrons le parallélisme.

Traçons par le point \(M\) la droite \(MN"\parallel AD\) (\(N"\in CD\) ). Alors, d’après le théorème de Thalès (puisque \(MN"\parallèle AD\parallèle BC, AM=MB\)) le point \(N"\) est le milieu du segment \(CD\). Cela signifie que les points \(N\) et \(N"\) coïncideront.

2) Démontrons la formule.

Faisons \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Laisser \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Ensuite, d'après le théorème de Thales, \(M"\) et \(N"\) sont respectivement les milieux des segments \(BB"\) et \(CC"\). Cela signifie que \(MM"\) est la ligne médiane de \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) est la ligne médiane de \(\triangle DCC"\) . C'est pourquoi : \

Parce que \(MN\AD parallèle\BC parallèle\) et \(BB", CC"\perp AD\), alors \(B"M"N"C"\) et \(BM"N"C\) sont des rectangles. D'après le théorème de Thales, de \(MN\parallel AD\) et \(AM=MB\) il s'ensuit que \(B"M"=M"B\) . D'où \(B"M"N"C "\) et \(BM"N"C\) sont des rectangles égaux, donc \(M"N"=B"C"=BC\) .

Ainsi:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Théorème : propriété d'un trapèze arbitraire

Les milieux des bases, le point d'intersection des diagonales du trapèze et le point d'intersection des prolongements des côtés latéraux se trouvent sur une même droite.

Preuve*
Il est recommandé de vous familiariser avec la preuve après avoir étudié le thème « Similitude des triangles ».

1) Montrons que les points \(P\) , \(N\) et \(M\) se trouvent sur la même droite.

Traçons une droite \(PN\) (\(P\) est le point d'intersection des extensions des côtés latéraux, \(N\) est le milieu de \(BC\)). Laissez-le couper le côté \(AD\) au point \(M\) . Montrons que \(M\) est le milieu de \(AD\) .

Considérez \(\triangle BPN\) et \(\triangle APM\) . Ils sont similaires à deux angles (\(\angle APM\) – général, \(\angle PAM=\angle PBN\) comme correspondant à \(AD\parallel BC\) et \(AB\) sécant). Moyens: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Considérez \(\triangle CPN\) et \(\triangle DPM\) . Ils sont similaires à deux angles (\(\angle DPM\) – général, \(\angle PDM=\angle PCN\) comme correspondant à \(AD\parallel BC\) et \(CD\) sécant). Moyens: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

D'ici \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Mais \(BN=NC\) donc \(AM=DM\) .

2) Montrons que les points \(N, O, M\) se trouvent sur la même droite.

Soit \(N\) le milieu de \(BC\) et \(O\) le point d'intersection des diagonales. Traçons une ligne droite \(NO\) , elle coupera le côté \(AD\) au point \(M\) . Montrons que \(M\) est le milieu de \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) le long de deux angles (\(\angle OBN=\angle ODM\) situés transversalement à \(BC\parallel AD\) et \(BD\) sécants ; \(\angle BON=\angle DOM\) comme verticaux). Moyens: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

De même \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Moyens: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

D'ici \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Mais \(BN=CN\) donc \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Trapèze isocèle)))\]

Définitions

Un trapèze est dit rectangulaire si l’un de ses angles est droit.

Un trapèze est dit isocèle si ses côtés sont égaux.

Théorèmes : propriétés d'un trapèze isocèle

1) Un trapèze isocèle a des angles de base égaux.

2) Les diagonales d'un trapèze isocèle sont égales.

3) Deux triangles formés de diagonales et d'une base sont isocèles.

Preuve

1) Considérons le trapèze isocèle \(ABCD\) .

À partir des sommets \(B\) et \(C\), nous déposons respectivement les perpendiculaires \(BM\) et \(CN\) du côté \(AD\). Puisque \(BM\perp AD\) et \(CN\perp AD\) , alors \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , alors \(MBCN\) est un parallélogramme, donc \(BM = CN\) .

Considérons les triangles rectangles \(ABM\) et \(CDN\) . Puisque leurs hypoténuses sont égales et que la jambe \(BM\) est égale à la jambe \(CN\), alors ces triangles sont égaux, donc \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Parce que \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)- général, puis selon le premier signe. Par conséquent, \(AC=BD\) .

3) Parce que \(\triangle ABD=\triangle ACD\), puis \(\angle BDA=\angle CAD\) . Le triangle \(\triangle AOD\) est donc isocèle. De même, il est prouvé que \(\triangle BOC\) est isocèle.

Théorèmes : signes d'un trapèze isocèle

1) Si un trapèze a des angles de base égaux, alors il est isocèle.

2) Si un trapèze a des diagonales égales, alors il est isocèle.

Preuve

Considérons le trapèze \(ABCD\) tel que \(\angle A = \angle D\) .

Complétons le trapèze jusqu'au triangle \(AED\) comme indiqué sur la figure. Puisque \(\angle 1 = \angle 2\) , alors le triangle \(AED\) est isocèle et \(AE = ED\) . Les angles \(1\) et \(3\) sont égaux aux angles correspondants des lignes parallèles \(AD\) et \(BC\) et transversales \(AB\). De même, les angles \(2\) et \(4\) sont égaux, mais \(\angle 1 = \angle 2\), alors \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), donc le triangle \(BEC\) est également isocèle et \(BE = EC\) .

À la fin \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), c'est-à-dire \(AB = CD\), ce qui devait être prouvé.

2) Soit \(AC=BD\) . Parce que \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\), alors nous désignons leur coefficient de similarité par \(k\) . Alors si \(BO=x\) , alors \(OD=kx\) . Similaire à \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Parce que \(AC=BD\) , puis \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Cela signifie que \(\triangle AOD\) est isocèle et \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Ainsi, d'après le premier signe \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)- général). Alors, \(AB=CD\) , pourquoi.

Dans cet article, nous essaierons de refléter le plus complètement possible les propriétés d'un trapèze. Nous parlerons notamment de signes généraux et les propriétés d'un trapèze, ainsi que sur les propriétés d'un trapèze inscrit et sur un cercle inscrit dans un trapèze. Nous aborderons également les propriétés des isocèles et trapèze rectangulaire.

Un exemple de résolution d'un problème en utilisant les propriétés discutées vous aidera à le comprendre dans votre tête et à mieux mémoriser le matériel.

Trapèze et tout-tout-tout

Pour commencer, rappelons brièvement ce qu'est un trapèze et quels autres concepts lui sont associés.

Ainsi, un trapèze est une figure quadrilatère dont deux côtés sont parallèles entre eux (ce sont les bases). Et les deux ne sont pas parallèles : ce sont les côtés.

Dans un trapèze, la hauteur peut être abaissée - perpendiculairement aux bases. La ligne médiane et les diagonales sont tracées. Il est également possible de tracer une bissectrice sous n'importe quel angle du trapèze.

À propos diverses propriétés, associés à tous ces éléments et à leurs combinaisons, nous allons maintenant en parler.

Propriétés des diagonales trapézoïdales

Pour que ce soit plus clair, pendant que vous lisez, dessinez le trapèze ACME sur une feuille de papier et dessinez-y des diagonales.

1. Si vous trouvez les milieux de chacune des diagonales (appelons ces points X et T) et que vous les reliez, vous obtenez un segment. L'une des propriétés des diagonales d'un trapèze est que le segment HT se situe sur la ligne médiane. Et sa longueur peut être obtenue en divisant la différence des bases par deux : ХТ = (a – b)/2.
2. Devant nous se trouve le même trapèze ACME. Les diagonales se coupent au point O. Regardons les triangles AOE et MOK, formés par les segments des diagonales ainsi que les bases du trapèze. Ces triangles sont similaires. Le coefficient de similarité k des triangles s'exprime par le rapport des bases du trapèze : k = AE/KM.
   Le rapport des aires des triangles AOE et MOK est décrit par le coefficient k 2 .
3. Le même trapèze, les mêmes diagonales se coupant au point O. Seulement cette fois, nous considérerons les triangles que les segments des diagonales formaient avec les côtés du trapèze. Les aires des triangles AKO et EMO sont de taille égale - leurs aires sont les mêmes.
4. Une autre propriété d'un trapèze implique la construction de diagonales. Donc, si vous continuez les côtés de AK et ME en direction de la base la plus petite, tôt ou tard, ils se croiseront à un certain point. Ensuite, tracez une ligne droite passant par le milieu des bases du trapèze. Il coupe les bases aux points X et T.
   Si l'on prolonge maintenant la ligne XT, alors elle reliera entre eux le point d'intersection des diagonales du trapèze O, le point où se croisent les prolongements des côtés et le milieu des bases X et T.
5. Par le point d'intersection des diagonales, nous tracerons un segment qui reliera les bases du trapèze (T se trouve sur la plus petite base KM, X sur la plus grande AE). Le point d'intersection des diagonales divise ce segment dans le rapport suivant : TO/OX = KM/AE.
6. Maintenant, passant par le point d'intersection des diagonales, nous allons tracer un segment parallèle aux bases du trapèze (a et b). Le point d'intersection le divisera en deux parties égales. Vous pouvez trouver la longueur du segment en utilisant la formule 2ab/(a+b).

Propriétés de la ligne médiane d'un trapèze

Tracez la ligne médiane du trapèze parallèlement à ses bases.

1. La longueur de la ligne médiane d'un trapèze peut être calculée en additionnant les longueurs des bases et en les divisant en deux : m = (une + b)/2.
2. Si vous dessinez un segment (hauteur, par exemple) passant par les deux bases du trapèze, la ligne médiane le divisera en deux parties égales.

Propriété de la bissectrice du trapèze

Sélectionnez n’importe quel coin du trapèze et tracez une bissectrice. Prenons par exemple l'angle KAE de notre trapèze ACME. Après avoir terminé la construction vous-même, vous pouvez facilement vérifier que la bissectrice coupe de la base (ou de son prolongement en ligne droite à l'extérieur de la figure elle-même) un segment de même longueur que le côté.

Propriétés des angles trapézoïdaux

1. Quelle que soit la paire d'angles adjacents au côté que vous choisissez, la somme des angles de la paire est toujours de 180 0 : α + β = 180 0 et γ + δ = 180 0.
2. Relions les milieux des bases du trapèze avec un segment TX. Regardons maintenant les angles aux bases du trapèze. Si la somme des angles de l'un d'eux est de 90 0, la longueur du segment TX peut être facilement calculée en fonction de la différence des longueurs des bases, divisées en deux : TX = (AE – KM)/2.
3. Si des lignes parallèles sont tracées à travers les côtés d’un angle trapézoïdal, elles diviseront les côtés de l’angle en segments proportionnels.

Propriétés d'un trapèze isocèle (équilatéral)

1. Dans un trapèze isocèle, les angles à n’importe quelle base sont égaux.
2. Maintenant, construisez à nouveau un trapèze pour pouvoir imaginer plus facilement de quoi nous parlons. Regardez attentivement la base AE - le sommet de la base opposée M est projeté jusqu'à un certain point sur la ligne qui contient AE. La distance du sommet A au point de projection du sommet M et la ligne médiane du trapèze isocèle sont égales.
3. Quelques mots sur la propriété des diagonales d'un trapèze isocèle : leurs longueurs sont égales. Et aussi les angles d'inclinaison de ces diagonales par rapport à la base du trapèze sont les mêmes.
4. Ce n'est qu'autour d'un trapèze isocèle qu'un cercle peut être décrit, puisque la somme des angles opposés d'un quadrilatère est de 180 0 - une condition préalable pour cela.
5. La propriété d'un trapèze isocèle découle du paragraphe précédent - si un cercle peut être décrit à proximité du trapèze, il est isocèle.
6. Des caractéristiques d'un trapèze isocèle découle la propriété de la hauteur d'un trapèze : si ses diagonales se coupent à angle droit, alors la longueur de la hauteur est égale à la moitié de la somme des bases : h = (une + b)/2.
7. Encore une fois, tracez le segment TX passant par les milieux des bases du trapèze - dans un trapèze isocèle, il est perpendiculaire aux bases. Et en même temps TX est l’axe de symétrie d’un trapèze isocèle.
8. Cette fois, abaissez la hauteur du sommet opposé du trapèze sur la base la plus grande (appelons-la a). Vous obtiendrez deux segments. La longueur d'un peut être trouvée si les longueurs des bases sont additionnées et divisées en deux : (une + b)/2. Nous obtenons le deuxième lorsque nous soustrayons le plus petit de la plus grande base et divisons la différence résultante par deux : (a-b)/2.

Propriétés d'un trapèze inscrit dans un cercle

Puisque nous parlons déjà d'un trapèze inscrit dans un cercle, attardons-nous plus en détail sur cette question. En particulier, où se trouve le centre du cercle par rapport au trapèze. Ici aussi, il est recommandé de prendre le temps de prendre un crayon et de dessiner ce qui sera évoqué ci-dessous. De cette façon, vous comprendrez plus rapidement et vous mémoriserez mieux.

1. L'emplacement du centre du cercle est déterminé par l'angle d'inclinaison de la diagonale du trapèze par rapport à son côté. Par exemple, la diagonale peut s'étendre du haut du trapèze à angle droit par rapport au côté. Dans ce cas, la plus grande base coupe le centre du cercle circonscrit exactement au milieu (R = ½AE).
2. La diagonale et le côté peuvent également se rejoindre sous angle aigu– alors le centre du cercle est à l’intérieur du trapèze.
3. Le centre du cercle circonscrit peut être à l'extérieur du trapèze, au-delà de sa plus grande base, s'il existe un angle obtus entre la diagonale du trapèze et le côté.
4. L'angle formé par la diagonale et la grande base du trapèze ACME (angle inscrit) est la moitié de l'angle au centre qui lui correspond : MAE = ½MOE.
5. En bref, deux façons de trouver le rayon d'un cercle circonscrit. Première méthode : regardez attentivement votre dessin – que voyez-vous ? Vous remarquerez facilement que la diagonale divise le trapèze en deux triangles. Le rayon peut être trouvé par le rapport du côté du triangle au sinus de l'angle opposé multiplié par deux. Par exemple, R = AE/2*sinAME. La formule peut être écrite de la même manière pour n’importe lequel des côtés des deux triangles.
6. Deuxième méthode : trouver le rayon du cercle circonscrit passant par l'aire du triangle formé par la diagonale, le côté et la base du trapèze : R = AM*ME*AE/4*S AME.

Propriétés d'un trapèze circonscrit à un cercle

Vous pouvez insérer un cercle dans un trapèze si une condition est remplie. En savoir plus ci-dessous. Et ensemble, cette combinaison de chiffres possède un certain nombre de propriétés intéressantes.

1. Si un cercle est inscrit dans un trapèze, la longueur de sa ligne médiane peut être facilement trouvée en additionnant les longueurs des côtés et en divisant la somme obtenue par deux : m = (c + d)/2.
2. Pour le trapèze ACME, décrit autour d'un cercle, la somme des longueurs des bases est égale à la somme des longueurs des côtés : AK + MOI = KM + AE.
3. De cette propriété des bases d'un trapèze découle l'énoncé inverse : un cercle peut être inscrit dans un trapèze dont la somme des bases est égale à la somme de ses côtés.
4. Le point tangent d'un cercle de rayon r inscrit dans un trapèze divise le côté en deux segments, appelons-les a et b. Le rayon d'un cercle peut être calculé à l'aide de la formule : r = √ab.
5. Et encore une propriété. Pour éviter toute confusion, dessinez également cet exemple vous-même. Nous avons le bon vieux trapèze ACME, décrit autour d'un cercle. Il contient des diagonales qui se coupent au point O. Les triangles AOK et EOM formés par les segments des diagonales et les côtés latéraux sont rectangulaires.
   Les hauteurs de ces triangles, abaissées jusqu'aux hypoténuses (c'est-à-dire les côtés latéraux du trapèze), coïncident avec les rayons du cercle inscrit. Et la hauteur du trapèze coïncide avec le diamètre du cercle inscrit.

Propriétés d'un trapèze rectangulaire

Un trapèze est dit rectangulaire si l’un de ses angles est droit. Et ses propriétés découlent de cette circonstance.

1. Un trapèze rectangulaire a un de ses côtés perpendiculaire à sa base.
2. Hauteur et côté latéral du trapèze adjacent à angle droit, sont égaux. Cela permet de calculer l'aire d'un trapèze rectangulaire (formule générale S = (une + b) * h/2) non seulement par la hauteur, mais aussi par le côté adjacent à l'angle droit.
3. Pour un trapèze rectangulaire, les propriétés générales des diagonales d'un trapèze déjà décrites ci-dessus sont pertinentes.

Preuve de certaines propriétés du trapèze

Égalité des angles à la base d'un trapèze isocèle :

• Vous avez probablement déjà deviné qu'ici nous aurons à nouveau besoin du trapèze AKME - dessinez un trapèze isocèle. Tracez une ligne droite MT à partir du sommet M, parallèle au côté de AK (MT || AK).

Le quadrilatère AKMT résultant est un parallélogramme (AK || MT, KM || AT). Puisque ME = KA = MT, ∆ MTE est isocèle et MET = MTE.

AK || MT, donc MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

D'où AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Maintenant, en nous basant sur la propriété d'un trapèze isocèle (égalité des diagonales), nous prouvons que le trapèze ACME est isocèle:

• Tout d’abord, traçons une ligne droite MX – MX || KÉ. On obtient un parallélogramme KMHE (base – MX || KE et KM || EX).

∆AMX est isocèle, puisque AM = KE = MX et MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, donc MAE = MXE.

Il s’est avéré que les triangles AKE et EMA sont égaux, puisque AM = KE et AE sont le côté commun des deux triangles. Et aussi MAE = MXE. On peut conclure que AK = ME, et il en résulte que le trapèze AKME est isocèle.

Tâche de révision

Les bases du trapèze ACME mesurent 9 cm et 21 cm, le côté latéral KA, égal à 8 cm, forme un angle de 150 0 avec la plus petite base. Vous devez trouver l'aire du trapèze.

Solution : À partir du sommet K, nous abaissons la hauteur jusqu'à la plus grande base du trapèze. Et commençons par regarder les angles du trapèze.

Les angles AEM et KAN sont unilatéraux. Cela signifie qu'au total, ils donnent 180 0. Par conséquent, KAN = 30 0 (basé sur la propriété des angles trapézoïdaux).

Considérons maintenant le ∆ANC rectangulaire (je pense que ce point est évident pour les lecteurs sans preuve supplémentaire). À partir de là, nous trouverons la hauteur du trapèze KH - dans un triangle, c'est une jambe opposée à l'angle de 30 0. Donc KH = ½AB = 4 cm.

On trouve l'aire du trapèze à l'aide de la formule : S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Épilogue

Si vous avez étudié attentivement et attentivement cet article, n'avez pas été trop paresseux pour dessiner des trapèzes pour toutes les propriétés données avec un crayon dans vos mains et les analyser dans la pratique, vous devriez avoir bien maîtrisé le matériau.

Bien sûr, il y a ici beaucoup d'informations, variées et parfois même confuses : il n'est pas si difficile de confondre les propriétés du trapèze décrit avec les propriétés de celui inscrit. Mais vous avez constaté vous-même que la différence est énorme.

Vous avez maintenant un résumé détaillé de tous propriétés générales trapèzes. Ainsi que les propriétés et caractéristiques spécifiques des trapèzes isocèles et rectangulaires. Il est très pratique à utiliser pour préparer les tests et examens. Essayez-le vous-même et partagez le lien avec vos amis !

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Dans cet article, nous essaierons de refléter le plus complètement possible les propriétés d'un trapèze. Nous parlerons notamment des caractéristiques générales et des propriétés d'un trapèze, ainsi que des propriétés d'un trapèze inscrit et d'un cercle inscrit dans un trapèze. Nous aborderons également les propriétés d'un trapèze isocèle et rectangulaire.

Un exemple de résolution d'un problème en utilisant les propriétés discutées vous aidera à le comprendre dans votre tête et à mieux mémoriser le matériel.

Trapèze et tout-tout-tout

Pour commencer, rappelons brièvement ce qu'est un trapèze et quels autres concepts lui sont associés.

Ainsi, un trapèze est une figure quadrilatère dont deux côtés sont parallèles entre eux (ce sont les bases). Et les deux ne sont pas parallèles : ce sont les côtés.

Dans un trapèze, la hauteur peut être abaissée - perpendiculairement aux bases. La ligne médiane et les diagonales sont tracées. Il est également possible de tracer une bissectrice sous n'importe quel angle du trapèze.

Nous allons maintenant parler des différentes propriétés associées à tous ces éléments et de leurs combinaisons.

Propriétés des diagonales trapézoïdales

Pour que ce soit plus clair, pendant que vous lisez, dessinez le trapèze ACME sur une feuille de papier et dessinez-y des diagonales.

1. Si vous trouvez les milieux de chacune des diagonales (appelons ces points X et T) et que vous les reliez, vous obtenez un segment. L'une des propriétés des diagonales d'un trapèze est que le segment HT se situe sur la ligne médiane. Et sa longueur peut être obtenue en divisant la différence des bases par deux : ХТ = (a – b)/2.
2. Devant nous se trouve le même trapèze ACME. Les diagonales se coupent au point O. Regardons les triangles AOE et MOK, formés par les segments des diagonales ainsi que les bases du trapèze. Ces triangles sont similaires. Le coefficient de similarité k des triangles s'exprime par le rapport des bases du trapèze : k = AE/KM.
   Le rapport des aires des triangles AOE et MOK est décrit par le coefficient k 2 .
3. Le même trapèze, les mêmes diagonales se coupant au point O. Seulement cette fois, nous considérerons les triangles que les segments des diagonales formaient avec les côtés du trapèze. Les aires des triangles AKO et EMO sont de taille égale - leurs aires sont les mêmes.
4. Une autre propriété d'un trapèze implique la construction de diagonales. Donc, si vous continuez les côtés de AK et ME en direction de la base la plus petite, tôt ou tard, ils se croiseront à un certain point. Ensuite, tracez une ligne droite passant par le milieu des bases du trapèze. Il coupe les bases aux points X et T.
   Si l'on prolonge maintenant la ligne XT, alors elle reliera entre eux le point d'intersection des diagonales du trapèze O, le point où se croisent les prolongements des côtés et le milieu des bases X et T.
5. Par le point d'intersection des diagonales, nous tracerons un segment qui reliera les bases du trapèze (T se trouve sur la plus petite base KM, X sur la plus grande AE). Le point d'intersection des diagonales divise ce segment dans le rapport suivant : TO/OX = KM/AE.
6. Maintenant, passant par le point d'intersection des diagonales, nous allons tracer un segment parallèle aux bases du trapèze (a et b). Le point d'intersection le divisera en deux parties égales. Vous pouvez trouver la longueur du segment en utilisant la formule 2ab/(a+b).

Propriétés de la ligne médiane d'un trapèze

Tracez la ligne médiane du trapèze parallèlement à ses bases.

1. La longueur de la ligne médiane d'un trapèze peut être calculée en additionnant les longueurs des bases et en les divisant en deux : m = (une + b)/2.
2. Si vous dessinez un segment (hauteur, par exemple) passant par les deux bases du trapèze, la ligne médiane le divisera en deux parties égales.

Propriété de la bissectrice du trapèze

Sélectionnez n’importe quel coin du trapèze et tracez une bissectrice. Prenons par exemple l'angle KAE de notre trapèze ACME. Après avoir terminé la construction vous-même, vous pouvez facilement vérifier que la bissectrice coupe de la base (ou de son prolongement en ligne droite à l'extérieur de la figure elle-même) un segment de même longueur que le côté.

Propriétés des angles trapézoïdaux

1. Quelle que soit la paire d'angles adjacents au côté que vous choisissez, la somme des angles de la paire est toujours de 180 0 : α + β = 180 0 et γ + δ = 180 0.
2. Relions les milieux des bases du trapèze avec un segment TX. Regardons maintenant les angles aux bases du trapèze. Si la somme des angles de l'un d'eux est de 90 0, la longueur du segment TX peut être facilement calculée en fonction de la différence des longueurs des bases, divisées en deux : TX = (AE – KM)/2.
3. Si des lignes parallèles sont tracées à travers les côtés d’un angle trapézoïdal, elles diviseront les côtés de l’angle en segments proportionnels.

Propriétés d'un trapèze isocèle (équilatéral)

1. Dans un trapèze isocèle, les angles à n’importe quelle base sont égaux.
2. Maintenant, construisez à nouveau un trapèze pour pouvoir imaginer plus facilement de quoi nous parlons. Regardez attentivement la base AE - le sommet de la base opposée M est projeté jusqu'à un certain point sur la ligne qui contient AE. La distance du sommet A au point de projection du sommet M et la ligne médiane du trapèze isocèle sont égales.
3. Quelques mots sur la propriété des diagonales d'un trapèze isocèle : leurs longueurs sont égales. Et aussi les angles d'inclinaison de ces diagonales par rapport à la base du trapèze sont les mêmes.
4. Ce n'est qu'autour d'un trapèze isocèle qu'un cercle peut être décrit, puisque la somme des angles opposés d'un quadrilatère est de 180 0 - une condition préalable pour cela.
5. La propriété d'un trapèze isocèle découle du paragraphe précédent - si un cercle peut être décrit à proximité du trapèze, il est isocèle.
6. Des caractéristiques d'un trapèze isocèle découle la propriété de la hauteur d'un trapèze : si ses diagonales se coupent à angle droit, alors la longueur de la hauteur est égale à la moitié de la somme des bases : h = (une + b)/2.
7. Encore une fois, tracez le segment TX passant par les milieux des bases du trapèze - dans un trapèze isocèle, il est perpendiculaire aux bases. Et en même temps TX est l’axe de symétrie d’un trapèze isocèle.
8. Cette fois, abaissez la hauteur du sommet opposé du trapèze sur la base la plus grande (appelons-la a). Vous obtiendrez deux segments. La longueur d'un peut être trouvée si les longueurs des bases sont additionnées et divisées en deux : (une + b)/2. Nous obtenons le deuxième lorsque nous soustrayons le plus petit de la plus grande base et divisons la différence résultante par deux : (a-b)/2.

Propriétés d'un trapèze inscrit dans un cercle

Puisque nous parlons déjà d'un trapèze inscrit dans un cercle, attardons-nous plus en détail sur cette question. En particulier, où se trouve le centre du cercle par rapport au trapèze. Ici aussi, il est recommandé de prendre le temps de prendre un crayon et de dessiner ce qui sera évoqué ci-dessous. De cette façon, vous comprendrez plus rapidement et vous mémoriserez mieux.

1. L'emplacement du centre du cercle est déterminé par l'angle d'inclinaison de la diagonale du trapèze par rapport à son côté. Par exemple, la diagonale peut s'étendre du haut du trapèze à angle droit par rapport au côté. Dans ce cas, la plus grande base coupe le centre du cercle circonscrit exactement au milieu (R = ½AE).
2. La diagonale et le côté peuvent également se rencontrer selon un angle aigu - le centre du cercle se trouve alors à l'intérieur du trapèze.
3. Le centre du cercle circonscrit peut être à l'extérieur du trapèze, au-delà de sa plus grande base, s'il existe un angle obtus entre la diagonale du trapèze et le côté.
4. L'angle formé par la diagonale et la grande base du trapèze ACME (angle inscrit) est la moitié de l'angle au centre qui lui correspond : MAE = ½MOE.
5. En bref, deux façons de trouver le rayon d'un cercle circonscrit. Première méthode : regardez attentivement votre dessin – que voyez-vous ? Vous remarquerez facilement que la diagonale divise le trapèze en deux triangles. Le rayon peut être trouvé par le rapport du côté du triangle au sinus de l'angle opposé multiplié par deux. Par exemple, R = AE/2*sinAME. La formule peut être écrite de la même manière pour n’importe lequel des côtés des deux triangles.
6. Deuxième méthode : trouver le rayon du cercle circonscrit passant par l'aire du triangle formé par la diagonale, le côté et la base du trapèze : R = AM*ME*AE/4*S AME.

Propriétés d'un trapèze circonscrit à un cercle

Vous pouvez insérer un cercle dans un trapèze si une condition est remplie. En savoir plus ci-dessous. Et ensemble, cette combinaison de chiffres possède un certain nombre de propriétés intéressantes.

1. Si un cercle est inscrit dans un trapèze, la longueur de sa ligne médiane peut être facilement trouvée en additionnant les longueurs des côtés et en divisant la somme obtenue par deux : m = (c + d)/2.
2. Pour le trapèze ACME, décrit autour d'un cercle, la somme des longueurs des bases est égale à la somme des longueurs des côtés : AK + MOI = KM + AE.
3. De cette propriété des bases d'un trapèze découle l'énoncé inverse : un cercle peut être inscrit dans un trapèze dont la somme des bases est égale à la somme de ses côtés.
4. Le point tangent d'un cercle de rayon r inscrit dans un trapèze divise le côté en deux segments, appelons-les a et b. Le rayon d'un cercle peut être calculé à l'aide de la formule : r = √ab.
5. Et encore une propriété. Pour éviter toute confusion, dessinez également cet exemple vous-même. Nous avons le bon vieux trapèze ACME, décrit autour d'un cercle. Il contient des diagonales qui se coupent au point O. Les triangles AOK et EOM formés par les segments des diagonales et les côtés latéraux sont rectangulaires.
   Les hauteurs de ces triangles, abaissées jusqu'aux hypoténuses (c'est-à-dire les côtés latéraux du trapèze), coïncident avec les rayons du cercle inscrit. Et la hauteur du trapèze coïncide avec le diamètre du cercle inscrit.

Propriétés d'un trapèze rectangulaire

Un trapèze est dit rectangulaire si l’un de ses angles est droit. Et ses propriétés découlent de cette circonstance.

1. Un trapèze rectangulaire a un de ses côtés perpendiculaire à sa base.
2. La hauteur et le côté d'un trapèze adjacent à un angle droit sont égaux. Cela permet de calculer l'aire d'un trapèze rectangulaire (formule générale S = (une + b) * h/2) non seulement par la hauteur, mais aussi par le côté adjacent à l'angle droit.
3. Pour un trapèze rectangulaire, les propriétés générales des diagonales d'un trapèze déjà décrites ci-dessus sont pertinentes.

Preuve de certaines propriétés du trapèze

Égalité des angles à la base d'un trapèze isocèle :

• Vous avez probablement déjà deviné qu'ici nous aurons à nouveau besoin du trapèze AKME - dessinez un trapèze isocèle. Tracez une ligne droite MT à partir du sommet M, parallèle au côté de AK (MT || AK).

Le quadrilatère AKMT résultant est un parallélogramme (AK || MT, KM || AT). Puisque ME = KA = MT, ∆ MTE est isocèle et MET = MTE.

AK || MT, donc MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

D'où AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Maintenant, en nous basant sur la propriété d'un trapèze isocèle (égalité des diagonales), nous prouvons que le trapèze ACME est isocèle:

• Tout d’abord, traçons une ligne droite MX – MX || KÉ. On obtient un parallélogramme KMHE (base – MX || KE et KM || EX).

∆AMX est isocèle, puisque AM = KE = MX et MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, donc MAE = MXE.

Il s’est avéré que les triangles AKE et EMA sont égaux, puisque AM = KE et AE sont le côté commun des deux triangles. Et aussi MAE = MXE. On peut conclure que AK = ME, et il en résulte que le trapèze AKME est isocèle.

Tâche de révision

Les bases du trapèze ACME mesurent 9 cm et 21 cm, le côté latéral KA, égal à 8 cm, forme un angle de 150 0 avec la plus petite base. Vous devez trouver l'aire du trapèze.

Solution : À partir du sommet K, nous abaissons la hauteur jusqu'à la plus grande base du trapèze. Et commençons par regarder les angles du trapèze.

Les angles AEM et KAN sont unilatéraux. Cela signifie qu'au total, ils donnent 180 0. Par conséquent, KAN = 30 0 (basé sur la propriété des angles trapézoïdaux).

Considérons maintenant le ∆ANC rectangulaire (je pense que ce point est évident pour les lecteurs sans preuve supplémentaire). À partir de là, nous trouverons la hauteur du trapèze KH - dans un triangle, c'est une jambe opposée à l'angle de 30 0. Donc KH = ½AB = 4 cm.

On trouve l'aire du trapèze à l'aide de la formule : S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Épilogue

Si vous avez étudié attentivement et attentivement cet article, n'avez pas été trop paresseux pour dessiner des trapèzes pour toutes les propriétés données avec un crayon dans vos mains et les analyser dans la pratique, vous devriez avoir bien maîtrisé le matériau.

Bien sûr, il y a ici beaucoup d'informations, variées et parfois même confuses : il n'est pas si difficile de confondre les propriétés du trapèze décrit avec les propriétés de celui inscrit. Mais vous avez constaté vous-même que la différence est énorme.

Vous disposez désormais d’un aperçu détaillé de toutes les propriétés générales d’un trapèze. Ainsi que les propriétés et caractéristiques spécifiques des trapèzes isocèles et rectangulaires. Il est très pratique à utiliser pour préparer les tests et examens. Essayez-le vous-même et partagez le lien avec vos amis !

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