La racine carrée d'un nombre x est un nombre a, qui, multiplié par lui-même, donne le nombre x : a * a = a^2 = x, √x = a. Comme pour tous les nombres, vous pouvez effectuer les opérations arithmétiques d’addition et de soustraction avec des racines carrées.

Instructions

• Premièrement, en ajoutant racines carrées essayez d'extraire ces racines. Cela sera possible si les nombres sous le signe racine sont des carrés parfaits. Par exemple, donnons l’expression √4 + √9. Le premier nombre 4 est le carré du nombre 2. Le deuxième nombre 9 est le carré du nombre 3. Il s'avère donc que : √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• S'il n'y a pas de carrés complets sous le signe racine, essayez de supprimer le multiplicateur du nombre sous le signe racine. Par exemple, donnons l’expression √24 + √54. Factoriser les nombres : 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Le nombre 24 a un facteur 4, qui peut être soustrait sous le signe racine carrée. Le nombre 54 a un facteur 9. Ainsi, il s'avère que : √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . DANS dans cet exemple En supprimant le facteur sous le signe racine, il a été possible de simplifier l'expression donnée.
• Soit la somme de deux racines carrées le dénominateur d'une fraction, par exemple A / (√a + √b). Et que votre tâche soit de « vous débarrasser de l’irrationalité du dénominateur ». Ensuite, vous pouvez utiliser la méthode suivante. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √a - √b. Ainsi, au dénominateur on obtient la formule de multiplication abrégée : (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Par analogie, si le dénominateur contient la différence entre les racines : √a - √b, alors le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être multipliés par l'expression √a + √b. Par exemple, soit la fraction 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Prenons un exemple plus complexe de suppression de l'irrationalité du dénominateur. Soit la fraction 12 / (√2 + √3 + √5). Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √2 + √3 - √5 :
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Enfin, si vous n’avez besoin que d’une valeur approximative, vous pouvez utiliser une calculatrice pour calculer les racines carrées. Calculez les valeurs séparément pour chaque nombre et notez-les avec la précision requise (par exemple, deux décimales). Et puis effectuez les opérations arithmétiques requises, comme avec les nombres ordinaires. Par exemple, disons que vous devez connaître la valeur approximative de l'expression √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Le sujet sur les racines carrées est obligatoire dans programme scolaire cours de mathématiques. Vous ne pouvez pas vous en passer lors de la résolution d'équations quadratiques. Et plus tard, il devient nécessaire non seulement d'extraire les racines, mais également d'effectuer d'autres actions avec elles. Parmi eux sont assez complexes : l'exponentiation, la multiplication et la division. Mais il en existe aussi des plus simples : la soustraction et l’addition de racines. D’ailleurs, ils n’en ont l’air qu’à première vue. Les exécuter sans erreurs n’est pas toujours facile pour quelqu’un qui commence tout juste à les connaître.

Qu'est-ce qu'une racine mathématique ?

Cette action s'est produite en opposition à l'exponentiation. Les mathématiques suggèrent deux opérations opposées. Il y a une soustraction pour une addition. La multiplication s'oppose à la division. L’action inverse d’un degré est l’extraction de la racine correspondante.

Si le degré est deux, alors la racine sera carrée. C'est le plus courant en mathématiques scolaires. Il n'y a même pas d'indication qu'il est carré, c'est-à-dire que le chiffre 2 n'est pas attribué à côté de lui. La notation mathématique de cet opérateur (radical) est présentée sur la figure.

Sa définition découle harmonieusement de l'action décrite. Pour extraire la racine carrée d'un nombre, vous devez savoir ce que donnera l'expression radicale lorsqu'elle sera multipliée par elle-même. Ce nombre sera la racine carrée. Si nous écrivons cela mathématiquement, nous obtenons ce qui suit : x*x=x 2 =y, ce qui signifie √y=x.

Quelles actions pouvez-vous réaliser avec eux ?

À la base, une racine est une puissance fractionnaire avec un au numérateur. Et le dénominateur peut être n'importe quoi. Par exemple, la racine carrée en a deux. Par conséquent, toutes les actions pouvant être réalisées avec des pouvoirs seront également valables pour les racines.

Et les exigences de ces actions sont les mêmes. Si multiplication, division et exponentiation ne rencontrent pas de difficultés pour les élèves, alors ajouter des racines, comme les soustraire, prête parfois à confusion. Et tout cela parce que je veux effectuer ces opérations sans tenir compte du signe de la racine. Et c’est là que commencent les erreurs.

Quelles sont les règles d’addition et de soustraction ?

Vous devez d’abord vous rappeler deux « à ne pas faire » catégoriques :

• il est impossible d'effectuer des additions et des soustractions de racines, comme avec les nombres premiers, c'est-à-dire qu'il est impossible d'écrire des expressions radicales de la somme sous un seul signe et d'effectuer des opérations mathématiques avec elles ;
• Vous ne pouvez pas ajouter ni soustraire des racines avec des exposants différents, par exemple carré et cubique.

Un exemple clair de la première interdiction : √6 + √10 ≠ √16, mais √(6 + 10) = √16.

Dans le second cas, il vaut mieux se limiter à simplifier les racines elles-mêmes. Et laissez leur montant dans la réponse.

Passons maintenant aux règles

1. Trouvez et regroupez des racines similaires. Autrement dit, ceux qui ont non seulement les mêmes chiffres sous le radical, mais qui ont eux-mêmes le même indicateur.
2. Effectuez l’ajout des racines combinées en un seul groupe lors de la première action. C'est facile à mettre en œuvre car il suffit d'ajouter les valeurs qui apparaissent devant les radicaux.
3. Extrayez les racines des termes dans lesquels l'expression radicale forme un carré entier. Autrement dit, ne rien laisser sous le signe d’un radical.
4. Simplifiez les expressions radicales. Pour ce faire, vous devez les décomposer en facteurs premiers et voyez s'ils donnent le carré d'un nombre quelconque. Il est clair que cela est vrai si nous parlons deà propos de la racine carrée. Lorsque l'exposant est trois ou quatre, alors les facteurs premiers doivent donner le cube ou la quatrième puissance du nombre.
5. Supprimez sous le signe du radical le facteur qui donne tout le pouvoir.
6. Voir s'il apparaît à nouveau termes similaires. Si oui, répétez la deuxième étape.

Dans une situation où la tâche ne nécessite pas la valeur exacte de la racine, celle-ci peut être calculée à l'aide d'une calculatrice. Sans fin décimal, qui apparaîtra dans sa fenêtre, arrondissez. Le plus souvent, cela se fait au centième. Et puis effectuez toutes les opérations pour les fractions décimales.

Ce sont toutes les informations sur la façon d’ajouter des racines. Les exemples ci-dessous illustreront ce qui précède.

Première tâche

Calculez la valeur des expressions :

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18 ;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300 ;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Si vous suivez l'algorithme ci-dessus, vous pouvez voir qu'il n'y a rien pour les deux premières actions de cet exemple. Mais vous pouvez simplifier certaines expressions radicales.

Par exemple, décomposez 32 en deux facteurs 2 et 16 ; 18 sera égal au produit de 9 et 2 ; 128 est 2 sur 64. Compte tenu de cela, l'expression s'écrira comme ceci :

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Vous devez maintenant supprimer sous le signe radical les facteurs qui donnent le carré du nombre. C'est 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. L'expression prendra la forme :

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Nous devons simplifier un peu l'enregistrement. Pour cela, multipliez les coefficients avant les signes racine :

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Dans cette expression, tous les termes se sont avérés similaires. Il vous suffit donc de les plier. La réponse sera : 5√2.

b) Semblable à l’exemple précédent, l’ajout de racines commence par leur simplification. Les expressions radicales 75, 147, 48 et 300 seront représentées dans les paires suivantes : 5 et 25, 3 et 49, 3 et 16, 3 et 100. Chacune d'elles contient un nombre qui peut être retiré sous le signe racine :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Après simplification, la réponse est : 5√5 - 5√3. Il peut être laissé sous cette forme, mais il vaut mieux prendre le facteur commun 5 entre parenthèses : 5 (√5 - √3).

c) Et encore factorisation : 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Après avoir supprimé les facteurs sous le signe racine, on a :

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Après avoir ramené des termes similaires on obtient le résultat : 7√11.

Exemple avec des expressions fractionnaires

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Vous devrez factoriser les nombres suivants : 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Semblable à ceux déjà évoqués, vous devez supprimer les facteurs sous le signe racine et simplifions l'expression :

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Cette expression nécessite de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur. Pour ce faire, il faut multiplier le deuxième terme par √2/√2 :

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Pour terminer les actions, vous devez sélectionner toute la partie des facteurs devant les racines. Pour le premier c’est 1, pour le second c’est 2.

Addition et soustraction de racines- l'une des « pierres d'achoppement » les plus courantes pour ceux qui suivent des cours de mathématiques (algèbre) au lycée. Cependant, apprendre à les additionner et à les soustraire correctement est très important, car des exemples sur la somme ou la différence des racines sont inclus dans le programme de l'examen d'État unifié de base dans la discipline « mathématiques ».

Afin de maîtriser la résolution de tels exemples, vous avez besoin de deux choses : comprendre les règles et également acquérir de la pratique. Après avoir résolu une ou deux douzaines d'exemples typiques, l'étudiant amènera cette compétence à l'automatisme, et il n'aura alors plus rien à craindre à l'examen d'État unifié. Il est recommandé de commencer à maîtriser les opérations arithmétiques par l'addition, car les ajouter est un peu plus facile que les soustraire.

La façon la plus simple d’expliquer cela est d’utiliser la racine carrée comme exemple. En mathématiques, il existe un terme bien établi de « quadrature ». « Mettre au carré » signifie multiplier une fois un nombre spécifique par lui-même.. Par exemple, si vous mettez 2 au carré, vous obtenez 4. Si vous mettez 7 au carré, vous obtenez 49. Le carré de 9 est 81. Donc la racine carrée de 4 est 2, de 49 est 7 et de 81 est 9.

En règle générale, l'enseignement de ce sujet en mathématiques commence par les racines carrées. Afin de le déterminer immédiatement, l'étudiant lycée il faut connaître la table de multiplication par cœur. Ceux qui ne connaissent pas bien ce tableau doivent utiliser des indices. Habituellement, le processus d'extraction de la racine carrée d'un nombre est présenté sous la forme d'un tableau sur les couvertures de nombreux cahiers de mathématiques scolaires.

Les racines sont des types suivants :

• carré;
• cubique (ou soi-disant troisième degré);
• quatrième degré;
• cinquième degré.

Règles d'ajout

Afin de résoudre avec succès exemple typique, il faut garder à l’esprit que tous les nombres racines ne peuvent être empilés les uns avec les autres. Pour qu'ils puissent être pliés, ils doivent être amenés à motif uniforme. Si cela est impossible, alors le problème n’a pas de solution. De tels problèmes se retrouvent également souvent dans les manuels de mathématiques comme une sorte de piège pour les élèves.

L'addition n'est pas autorisée dans les tâches lorsque les expressions radicales diffèrent les unes des autres. Cela peut être illustré par un exemple clair :

• L'élève est confronté à la tâche : additionner la racine carrée de 4 et 9 ;
• un étudiant inexpérimenté qui ne connaît pas la règle écrit généralement : « racine de 4 + racine de 9 = racine de 13 ».
• Il est très facile de prouver que cette solution est incorrecte. Pour ce faire, vous devez trouver la racine carrée de 13 et vérifier si l'exemple est résolu correctement ;
• à l’aide d’une microcalculatrice, vous pouvez déterminer qu’il s’agit d’environ 3,6. Il ne reste plus qu'à vérifier la solution ;
• racine de 4=2 et racine de 9=3 ;
• La somme des nombres « deux » et « trois » est égale à cinq. Ainsi, cet algorithme de solution peut être considéré comme incorrect.

Si les racines ont le même degré mais différent expressions numériques, il est retiré des parenthèses et mis entre parenthèses somme de deux expressions radicales. Ainsi, il est déjà extrait de ce montant.

Algorithme d'addition

Afin de décider correctement tâche la plus simple, nécessaire:

1. Déterminez ce qui nécessite exactement un ajout.
2. Découvrez s'il est possible d'ajouter des valeurs les unes aux autres, guidé par les règles existantes en mathématiques.
3. S'ils ne sont pas pliables, vous devez les transformer pour qu'ils puissent être pliés.
4. Après avoir effectué toutes les transformations nécessaires, vous devez effectuer l'addition et noter la réponse finale. Vous pouvez effectuer l'addition mentalement ou à l'aide d'une microcalculatrice, selon la complexité de l'exemple.

Quelles sont les racines similaires

Pour résoudre correctement un exemple d’addition, vous devez d’abord réfléchir à la façon dont vous pouvez le simplifier. Pour ce faire, vous devez avoir des connaissances de base sur ce qu’est la similarité.

La possibilité d'identifier des exemples similaires permet de résoudre rapidement des exemples d'addition similaires, en les présentant sous une forme simplifiée. Pour simplifier un exemple d'addition typique, vous devez :

1. Trouvez-en des similaires et séparez-les en un seul groupe (ou plusieurs groupes).
2. Réécrivez l’exemple existant de telle sorte que les racines qui ont le même indicateur se suivent clairement (c’est ce qu’on appelle le « regroupement »).
3. Ensuite, vous devez réécrire l'expression, cette fois de telle manière que des expressions similaires (qui ont le même indicateur et le même chiffre radical) se succèdent également.

Après cela, l’exemple simplifié est généralement facile à résoudre.

Afin de résoudre correctement tout exemple d'addition, vous devez comprendre clairement les règles de base de l'addition, ainsi que savoir ce qu'est une racine et ce qu'elle peut être.

Parfois, de tels problèmes semblent très difficiles à première vue, mais ils sont généralement facilement résolus en regroupant des problèmes similaires. La chose la plus importante est la pratique, et alors l’étudiant commencera à « résoudre des problèmes comme des fous ». L’ajout de racines est l’une des parties les plus importantes des mathématiques, les enseignants devraient donc consacrer suffisamment de temps à leur étude.

Vidéo

Cette vidéo vous aidera à comprendre les équations avec des racines carrées.

Fait 1.
\(\bullet\) Prenons quelques non nombre négatif\(a\) (c'est-à-dire \(a\geqslant 0\) ). Alors (arithmétique) racine carréeà partir du nombre \(a\) est appelé un tel nombre non négatif \(b\) , une fois au carré, nous obtenons le nombre \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(identique à )\quad a=b^2\] De la définition il résulte que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ces restrictions sont une condition importante l'existence d'une racine carrée et il faut s'en souvenir !
Rappelez-vous que tout nombre mis au carré donne un résultat non négatif. Autrement dit, \(100^2=10000\geqslant 0\) et \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) À quoi est égal \(\sqrt(25)\) ? Nous savons que \(5^2=25\) et \((-5)^2=25\) . Puisque par définition nous devons trouver un nombre non négatif, alors \(-5\) ne convient pas, donc \(\sqrt(25)=5\) (puisque \(25=5^2\) ).
Trouver la valeur de \(\sqrt a\) s'appelle prendre la racine carrée du nombre \(a\) , et le nombre \(a\) s'appelle l'expression radicale.
\(\bullet\) Basé sur la définition, l'expression \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etc. cela n'a pas de sens.

Fait 2.
Pour des calculs rapides, il sera utile d'apprendre le tableau des carrés nombres naturels de \(1\) à \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fait 3.
Quelles opérations peut-on faire avec des racines carrées ?
\(\balle\) La somme ou la différence des racines carrées n'est PAS ÉGALE à la racine carrée de la somme ou de la différence, c'est-à-dire \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ainsi, si vous devez calculer, par exemple, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , vous devez d'abord trouver les valeurs de \(\sqrt(25)\) et \(\ sqrt(49)\ ) puis pliez-les. Ainsi, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Si les valeurs \(\sqrt a\) ou \(\sqrt b\) ne peuvent pas être trouvées lors de l'ajout de \(\sqrt a+\sqrt b\), alors une telle expression n'est pas transformée davantage et reste telle quelle. Par exemple, dans la somme \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) on peut trouver \(\sqrt(49)\) est \(7\) , mais \(\sqrt 2\) ne peut pas être transformé en de toute façon, c'est pourquoi \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Malheureusement, cette expression ne peut pas être simplifiée davantage\(\bullet\) Le produit/quotient des racines carrées est égal à la racine carrée du produit/quotient, soit \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (à condition que les deux côtés de l'égalité aient un sens)
Exemple: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
\(\bullet\) Grâce à ces propriétés, il est pratique de trouver les racines carrées de grands nombres en les factorisant.
Regardons un exemple. Trouvons \(\sqrt(44100)\) . Puisque \(44100:100=441\) , alors \(44100=100\cdot 441\) . Selon le critère de divisibilité, le nombre \(441\) est divisible par \(9\) (puisque la somme de ses chiffres est 9 et est divisible par 9), donc \(441:9=49\), c'est-à-dire \(441=9\ cdot 49\) . Ainsi nous avons obtenu :\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Regardons un autre exemple :
\[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\] \ \(\bullet\) Montrons comment saisir des nombres sous le signe racine carrée en utilisant l'exemple de l'expression \(5\sqrt2\) (notation courte pour l'expression \(5\cdot \sqrt2\)). Puisque \(5=\sqrt(25)\) , alors
Notez également que, par exemple,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)

3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Pourquoi est-ce ainsi ? Expliquons en utilisant l'exemple 1). Comme vous l'avez déjà compris, nous ne pouvons pas transformer d'une manière ou d'une autre le nombre \(\sqrt2\). Imaginons que \(\sqrt2\) soit un nombre \(a\) . En conséquence, l'expression \(\sqrt2+3\sqrt2\) n'est rien de plus que \(a+3a\) (un nombre \(a\) plus trois autres nombres identiques \(a\)). Et nous savons que cela est égal à quatre de ces nombres \(a\) , c'est-à-dire \(4\sqrt2\) .
Fait 4.
\(\bullet\) On dit souvent « vous ne pouvez pas extraire la racine » lorsque vous ne pouvez pas vous débarrasser du signe \(\sqrt () \ \) de la racine (radical) lors de la recherche de la valeur d'un nombre. . Par exemple, vous pouvez prendre la racine du nombre \(16\) car \(16=4^2\) , donc \(\sqrt(16)=4\) . Mais il est impossible d'extraire la racine du nombre \(3\), c'est-à-dire de trouver \(\sqrt3\), car il n'y a pas de nombre dont le carré donnera \(3\) . De tels nombres (ou expressions avec de tels nombres) sont irrationnels. Par exemple, les chiffres\(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)
etc. sont irrationnels.
\(\bullet\) Veuillez noter que tout nombre sera soit rationnel, soit irrationnel. Et ensemble, tous les nombres rationnels et irrationnels forment un ensemble appelé un ensemble de nombres réels. Cet ensemble est désigné par la lettre \(\mathbb(R)\) .
Cela signifie que tous les nombres que nous connaissons actuellement sont appelés nombres réels.

Fait 5.
\(\bullet\) Le module d'un nombre réel \(a\) est un nombre non négatif \(|a|\) , égale à la distance du point \(a\) à \(0\) sur la ligne réelle. Par exemple, \(|3|\) et \(|-3|\) sont égaux à 3, puisque les distances des points \(3\) et \(-3\) à \(0\) sont les identique et égal à \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) est un nombre non négatif, alors \(|a|=a\) .
Exemple : \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) Si \(a\) est un nombre négatif, alors \(|a|=-a\) . Exemple : \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Ils disent que pour les nombres négatifs, le module « mange » le moins, tandis que les nombres positifs, ainsi que le nombre \(0\), restent inchangés par le module. MAIS Cette règle s'applique uniquement aux nombres. Si sous votre signe de module se trouve un \(x\) inconnu (ou une autre inconnue), par exemple \(|x|\) , dont nous ne savons pas s'il est positif, nul ou négatif, alors débarrassez-vous du module, nous ne pouvons pas. Dans ce cas, cette expression reste la même : \(|x|\) .\(\bullet\) Les formules suivantes sont valables : \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]
\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(fourni) a\geqslant 0\] Très souvent, l'erreur suivante est commise : on dit que \(\sqrt(a^2)\) et \((\sqrt a)^2\) sont une seule et même chose. Cela n'est vrai que si \(a\) est un nombre positif ou zéro. Mais si \(a\) est un nombre négatif, alors c'est faux. Il suffit de considérer cet exemple. Prenons à la place de \(a\) le nombre \(-1\) . Alors \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mais l'expression \((\sqrt (-1))^2\) n'existe pas du tout (après tout, il est impossible d'utiliser le signe racine (mettez des nombres négatifs !). Nous attirons donc votre attention sur le fait que \(\sqrt(a^2)\) n'est pas égal à \((\sqrt a)^2\) ! Exemple : 1)<0\) ;

\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , parce que \(-\sqrt2
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) Puisque \(\sqrt(a^2)=|a|\) , alors \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(l'expression \(2n\) désigne un nombre pair)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (notez que si le module n'est pas fourni, il s'avère que la racine du nombre est égale à \(-25\ ) ; mais rappelons-nous que par définition d'une racine cela ne peut pas arriver : lors de l'extraction d'une racine, nous devrions toujours obtenir un nombre positif ou zéro)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (puisque tout nombre à une puissance paire est non négatif)

Fait 6.
Comment comparer deux racines carrées ?
\(\bullet\) Pour les racines carrées, c'est vrai : si \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a\(\bullet\) Puisque \(\sqrt(a^2)=|a|\) , alors \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
1) comparez \(\sqrt(50)\) et \(6\sqrt2\) . Tout d’abord, transformons la deuxième expression en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Ainsi, puisque \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Entre quels entiers se trouve \(\sqrt(50)\) ?
Puisque \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) et \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Comparons \(\sqrt 2-1\) et \(0.5\) . Supposons que \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((ajouter un des deux côtés))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((carrer les deux côtés))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Nous voyons que nous avons obtenu une inégalité incorrecte. Par conséquent, notre hypothèse était incorrecte et \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Notez que l’ajout d’un certain nombre aux deux côtés de l’inégalité n’affecte pas son signe. Multiplier/diviser les deux côtés d'une inégalité par un nombre positif n'affecte pas non plus son signe, mais multiplier/diviser par un nombre négatif inverse le signe de l'inégalité !
Vous pouvez mettre au carré les deux côtés d’une équation/inégalité SEULEMENT SI les deux côtés ne sont pas négatifs. Par exemple, dans l'inégalité de l'exemple précédent, vous pouvez mettre au carré les deux côtés, dans l'inégalité \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Il ne faut pas oublier que \[\begin(aligned) &\sqrt 2\environ 1.4\\ &\sqrt 3\environ 1.7 \end(aligned)\] Connaître la signification approximative de ces nombres vous aidera lors de la comparaison des nombres !
\(\bullet\) Afin d'extraire la racine (si elle peut être extraite) d'un grand nombre qui n'est pas dans la table des carrés, vous devez d'abord déterminer entre quelles « centaines » elle se situe, puis – entre lesquelles « dizaines », puis déterminez le dernier chiffre de ce nombre. Montrons comment cela fonctionne avec un exemple.
Déterminons maintenant entre quelles « dizaines » notre nombre se situe (c’est-à-dire, par exemple, entre \(120\) et \(130\)). Également à partir de la table des carrés, nous savons que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., alors \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Nous voyons donc que \(28224\) est compris entre \(160^2\) et \(170^2\) . Par conséquent, le nombre \(\sqrt(28224)\) est compris entre \(160\) et \(170\) .
Essayons de déterminer le dernier chiffre. Rappelons-nous quels nombres à un chiffre, une fois mis au carré, donnent \(4\) à la fin ? Ce sont \(2^2\) et \(8^2\) . Par conséquent, \(\sqrt(28224)\) se terminera par 2 ou 8. Vérifions cela. Trouvons \(162^2\) et \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Par conséquent, \(\sqrt(28224)=168\) . Voilà !

Afin de résoudre adéquatement l'examen d'État unifié en mathématiques, vous devez d'abord étudier le matériel théorique, qui vous présente de nombreux théorèmes, formules, algorithmes, etc. À première vue, cela peut sembler assez simple. Cependant, trouver une source dans laquelle la théorie de l'examen d'État unifié en mathématiques est présentée de manière simple et compréhensible pour les étudiants de tout niveau de formation est en fait une tâche assez difficile. Les manuels scolaires ne peuvent pas toujours être gardés à portée de main. Et trouver les formules de base pour l'examen d'État unifié en mathématiques peut être difficile, même sur Internet.

Pourquoi est-il si important d'étudier la théorie des mathématiques non seulement pour ceux qui passent l'examen d'État unifié ?

1. Parce que cela élargit vos horizons. L'étude du matériel théorique en mathématiques est utile à quiconque souhaite obtenir des réponses à un large éventail de questions liées à la connaissance du monde qui l'entoure. Tout dans la nature est ordonné et répond à une logique claire. C’est précisément ce que reflète la science, grâce à laquelle il est possible de comprendre le monde.
2. Parce qu'il développe l'intelligence. En étudiant les documents de référence pour l'examen d'État unifié en mathématiques, ainsi qu'en résolvant divers problèmes, une personne apprend à penser et à raisonner logiquement, à formuler ses pensées avec compétence et clarté. Il développe la capacité d'analyser, de généraliser et de tirer des conclusions.

Nous vous invitons à évaluer personnellement tous les avantages de notre approche de systématisation et de présentation du matériel pédagogique.

Contenu:

Vous pouvez ajouter et soustraire des racines carrées uniquement si elles ont la même expression radicale, c'est-à-dire que vous pouvez ajouter ou soustraire 2√3 et 4√3, mais pas 2√3 et 2√5. Vous pouvez simplifier les expressions radicales pour les réduire à des racines avec les mêmes expressions radicales (puis les ajouter ou les soustraire).

Mesures

Partie 1 Comprendre les bases

1. 1 (expression sous le signe racine). Pour ce faire, divisez le nombre radical en deux facteurs, dont l'un est un nombre carré (un nombre à partir duquel vous pouvez prendre une racine entière, par exemple 25 ou 9). Après cela, extrayez la racine du nombre carré et écrivez la valeur trouvée devant le signe racine (le deuxième facteur restera sous le signe racine). Par exemple, 6√50 - 2√8 + 5√12. Les nombres devant le signe racine sont les facteurs des racines correspondantes, et les nombres sous le signe racine sont des nombres radicaux (expressions). Voici comment résoudre ce problème :
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Ici, vous divisez 50 en facteurs de 25 et 2 ; puis de 25 vous extrayez la racine égale à 5, et vous enlevez 5 sous la racine. Multipliez ensuite 5 par 6 (le multiplicateur à la racine) et obtenez 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Ici, vous divisez 8 en facteurs de 4 et 2 ; puis de 4 vous prenez la racine égale à 2, et vous en retirez 2 sous la racine. Multipliez ensuite 2 par 2 (le multiplicateur à la racine) et obtenez 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Ici, vous divisez 12 en facteurs de 4 et 3 ; puis de 4 vous prenez la racine égale à 2, et vous en retirez 2 sous la racine. Ensuite vous multipliez 2 par 5 (le multiplicateur à la racine) et vous obtenez 10√3.
2. 2 Soulignez les racines dont les expressions radicales sont les mêmes. Dans notre exemple, l'expression simplifiée ressemble à : 30√2 - 4√2 + 10√3. Dans celui-ci, vous devez souligner les premier et deuxième termes ( 30√2 Et 4√2 ), puisqu’elles ont le même nombre radical 2. Seules ces racines peuvent être additionnées et soustraites.
3. 3 Si l'on vous donne une expression comportant un grand nombre de termes, dont beaucoup ont les mêmes expressions radicales, utilisez des traits de soulignement simples, doubles ou triples pour désigner ces termes afin de faciliter la résolution de l'expression.
4. 4 Pour les racines dont les expressions radicales sont les mêmes, ajoutez ou soustrayez les facteurs devant le signe de la racine et laissez l'expression radicale la même (n'ajoutez ni ne soustrayez de nombres radicaux !). L’idée est de montrer combien de racines avec une certaine expression radicale sont contenues dans une expression donnée.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Partie 2 Pratiquons avec des exemples

1. 1 Exemple 1 : √(45) + 4√5.
   • Simplifiez √(45). Facteur 45 : √(45) = √(9 x 5).
   • Retirez-en 3 sous la racine (√9 = 3) : √(45) = 3√5.
   • Ajoutez maintenant les facteurs aux racines : 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Exemple 2 : 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Simplifiez 6√(40). Facteur 40 : 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Retirez-en 2 sous la racine (√4 = 2) : 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Multipliez les facteurs avant la racine et obtenez 12√10.
   • Maintenant, l’expression peut s’écrire 12√10 - 3√(10) + √5. Puisque les deux premiers termes ont les mêmes radicaux, vous pouvez soustraire le deuxième terme du premier et laisser le premier inchangé.
   • Vous obtiendrez : (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Exemple 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Ici, aucune des expressions radicales ne peut être factorisée, cette expression ne peut donc pas être simplifiée. Vous pouvez soustraire le troisième terme du premier (puisqu’ils ont les mêmes radicaux) et laisser le deuxième terme inchangé. Vous obtiendrez : (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Exemple 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Maintenant, vous pouvez simplement ajouter 3 + 2 pour obtenir 5.
   • Réponse finale : 5 - 3√2.
5. 5 Exemple 5. Résolvez une expression contenant des racines et des fractions. Vous ne pouvez additionner et calculer que des fractions qui ont un (même) dénominateur commun. L’expression (√2)/4 + (√2)/2 est donnée.
   • Trouvez le plus petit dénominateur commun de ces fractions. Il s'agit d'un nombre divisible également par chaque dénominateur. Dans notre exemple, le chiffre 4 est divisible par 4 et 2.
   • Multipliez maintenant la deuxième fraction par 2/2 (pour la ramener à un dénominateur commun ; la première fraction y a déjà été réduite) : (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Additionnez les numérateurs des fractions et laissez le dénominateur identique : (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Avant d'additionner ou de soustraire des racines, veillez à simplifier (si possible) les expressions radicales.

Avertissements

• N’ajoutez ou ne soustrayez jamais de racines avec des expressions radicales différentes.
• Ne faites jamais la somme ou la soustraction d'un nombre entier et d'une racine, par ex. 3 + (2x)1/2 .
  • Remarque : "x" à la puissance deux et la racine carrée de "x" sont la même chose (c'est-à-dire x 1/2 = √x).