Доста често е възможно да се разграничат важни характеристикидвижения механична система, без да се прибягва до интегрирането на системата диференциални уравнениядвижение. Това се постига чрез прилагане на общи теореми на динамиката.

5.1. Основни понятия и дефиниции

Външни и вътрешни сили.Всяка сила, действаща върху точка от механична система, е задължително или активна сила, или реакция на свързване. Цялата съвкупност от сили, действащи върху точките на системата, може да се раздели на два класа по различен начин: на външни сили и вътрешни сили (индексите e и i са от латинските думи externus - външен и internus - вътрешен). Външни сили се наричат ​​сили, действащи върху точките на системата от точки и тела, които не са част от разглежданата система. Силите на взаимодействие между точките и телата на разглежданата система се наричат ​​вътрешни.

Това разделение зависи от това какви материални точки и тела са включени от изследователя в разглежданата механична система. Ако съставът на системата се разшири, за да включва допълнителни точки и тела, тогава някои сили, които са били външни за предишната система, могат да станат вътрешни за разширената система.

Свойства на вътрешните сили.Тъй като тези сили са сили на взаимодействие между части на системата, те са включени в цялостната система от вътрешни сили по „двойки“, организирани в съответствие с аксиомата действие-реакция. Всяка такава "две" от сили

главен вектор и Основната точкаспрямо произволен център са равни на нула. Тъй като пълната система от вътрешни сили се състои само от "двойки", тогава

1) основният вектор на системата от вътрешни сили е равен на нула,

2) основният момент на системата от вътрешни сили спрямо произволна точка е равен на нула.

Масата на системата е аритметична сумамаса mk на всички точки и тела, образуващи системата:

център на тежестта(център на инерцията) на механична система е геометрична точка C, чийто радиус вектор и координати се определят от формулите

където са радиус векторите и координатите на точките, които образуват системата.

За твърдо тялоразположени в еднородно поле на тежестта, позициите на центъра на масата и центъра на тежестта съвпадат, в други случаи това са различни геометрични точки.

Заедно с инерционната референтна система често се разглежда едновременно неинерционна отправна система, движеща се напред. Координатните му оси (осите на Кьониг) са избрани така, че референтната точка С винаги да съвпада с центъра на масата на механичната система. В съответствие с определението центърът на масата е фиксиран в осите на Кьониг и се намира в началото на координатите.

Моментът на инерция на систематаспрямо оста се нарича скаларна стойност, равна на сумата от произведенията на масите mk на всички точки на системата по квадратите на техните разстояния до оста:

Ако механичната система е твърдо тяло, за да намерите 12, можете да използвате формулата

където е плътността, обемът, зает от тялото.

МИНИСТЕРСТВО НА ЗЕМЕДЕЛИЕТО И ХРАНИТЕ НА РЕПУБЛИКА БЕЛАРУС

Учебна институция „БЕЛАРУСКИ ДЪРЖАВЕН АГРАР

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ"

Катедра Теоретична механика и теория на механизмите и машините

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНИКА

методически комплекс за студенти от групата специалности

74 06 Селскостопанска техника

В 2 части Част 1

УДК 531.3(07) LBC 22.213ya7 T 33

Съставено от:

Кандидат на физико-математическите науки, доцент Ю. С. Биза, кандидат технически науки, доцент Н. Л. Ракова, ст.преп.И. А. Тарасевич

Рецензенти:

Катедра по теоретична механика на Учебно заведение "Белоруски национален технически университет" (гл.

Катедра по теоретична механика на БНТУ доктор на физико-математическите науки, професор А. В. Чигарев);

Водещ научен сътрудник на лаборатория "Виброзащита на механични системи" Държавна научна институция "Обединен институт по машиностроене

Национална академия на науките на Беларус”, кандидат на техническите науки, доцент А. М. Гоман

Теоретична механика. Раздел „Динамика“: образователен

Метод Т33. комплекс. В 2 части Част 1 / Състав: Ю. С. Биза, Н. Л. Ракова, И. А. Тарасевич. – Минск: БГАТУ, 2013. – 120 с.

ISBN 978-985-519-616-8.

Учебно-методическият комплекс представя материали за изучаване на раздел "Динамика", част 1, който е част от дисциплината "Теоретична механика". Включва курс от лекции, основни материали за изпълнение практически упражнения, задачи и образци на задачи за самостоятелна работа и контрол учебни дейностиредовни и задочни студенти.

УДК 531.3(07) LBC 22.213ya7

ВЪВЕДЕНИЕ

Теоретичната механика е наука за общите закони на механичното движение, баланса и взаимодействието на материалните тела.

Това е една от основните общонаучни физико-математически дисциплини. Това е теоретичната основа на съвременните технологии.

Изучаването на теоретична механика, наред с други физико-математически дисциплини, допринася за разширяването на научните хоризонти, формира способност за конкретно и абстрактно мислене и допринася за подобряване на общата техническа култура на бъдещия специалист.

Теоретичната механика, като научната основа на всички технически дисциплини, допринася за развитието на умения рационални решенияинженерни задачи, свързани с експлоатация, ремонт и проектиране на селскостопански и мелиоративни машини и съоръжения.

Според характера на разглежданите задачи механиката се дели на статика, кинематика и динамика. Динамиката е раздел от теоретичната механика, който изучава движението на материални тела под действието на приложени сили.

AT учебно-методическикомплекс (UMK) представя материали за изучаване на раздел "Динамика", който включва курс от лекции, основни материали за провеждане практическа работа, задачи и образци на изпълнение за самостоятелна работаи контрол на учебната дейност на редовните задочни студенти.

AT в резултат на изучаването на раздел "Динамика" ученикът трябва да се научи теоретична основадинамика и овладейте основните методи за решаване на задачи на динамиката:

Познайте методи за решаване на задачи на динамиката, общи теоремидинамика, принципи на механиката;

Да могат да определят законите на движението на тялото в зависимост от силите, действащи върху него; прилага законите и теоремите на механиката за решаване на задачи; определят статичните и динамичните реакции на връзките, които ограничават движението на телата.

Учебният план на дисциплината „Теоретична механика” предвижда общ брой аудиторни часове – 136, в това число 36 часа за изучаване на раздел „Динамика”.

1. НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧНО СЪДЪРЖАНИЕ НА УЧЕБНО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ КОМПЛЕКС

1.1. Терминологичен речник

Статиката е раздел от механиката, който очертава общото учение за силите, изучава се редукцията сложни системисили до най-простата форма и се установяват условия на равновесие различни системисили.

Кинематиката е раздел от теоретичната механика, в който се изучава движението на материалните обекти, независимо от причините, които причиняват това движение, т.е. независимо от силите, действащи върху тези обекти.

Динамиката е клон на теоретичната механика, който изучава движението на материални тела (точки) под действието на приложени сили.

Материална точка- материално тяло, разликата в движението на точките на което е незначителна.

Масата на тялото е скаларна положителна стойност, която зависи от количеството материя, съдържаща се в дадено тяло, и определя неговата мярка за инерция по време на транслационно движение.

Референтна система - координатна система, свързана с тялото, по отношение на която се изучава движението на друго тяло.

инерционна система- система, в която са изпълнени първият и вторият закон на динамиката.

Инерцията на силата е векторна мярка за действието на сила за известно време.

Количество на движение на материална точка е векторната мярка на нейното движение, която е равна на произведението на масата на точката и вектора на нейната скорост.

Кинетична енергияе скаларна мярка за механично движение.

Елементарна работа на силае безкрайно малка скаларна стойност, равна на скаларното произведение на вектора на силата и безкрайно малкия вектор на преместване на точката на приложение на силата.

Кинетична енергияе скаларна мярка за механично движение.

Кинетичната енергия на материална точка е скалар

положителна стойност, равна на половината от произведението на масата на точка и квадрата на нейната скорост.

Кинетичната енергия на механична система е аритметично

кинетичната сума от кинетичните енергии на всички материални точки на тази система.

Силата е мярка за механичното взаимодействие на телата, характеризираща неговата интензивност и посока.

1.2. Лекционни теми и тяхното съдържание

Раздел 1. Въведение в динамиката. Основни понятия

класическа механика

Тема 1. Динамика на материална точка

Законите на динамиката на материална точка (законите на Галилей - Нютон). Диференциални уравнения на движението на материална точка. Две основни задачи на динамиката за материална точка. Решение на втория проблем на динамиката; интеграционни константи и определянето им от началните условия.

Литература:, стр. 180-196, , стр. 12-26.

Тема 2. Динамика на относителното движение на материала

Относително движение на материална точка. Диференциални уравнения на относително движение на точка; преносими и Кориолисови сили на инерцията. Принципът на относителността в класическата механика. Случай на относителна почивка.

Литература: , стр. 180-196, , стр. 127-155.

Тема 3. Геометрия на масите. Център на масата на механична система

Маса на системата. Центърът на масата на системата и нейните координати.

Литература:, с. 86-93, с. 264-265

Тема 4. Моменти на инерция на твърдо тяло

Моменти на инерция на твърдо тяло около оста и полюса. Радиус на инерция. Теорема за моментите на инерция спрямо успоредни оси. Аксиални инерционни моменти на някои тела.

Центробежните моменти на инерция като характеристика на асиметрията на тялото.

Литература: , стр. 265-271, , стр. 155-173.

Раздел 2. Общи теореми за динамиката на материална точка

и механична система

Тема 5. Теорема за движението на центъра на масата на системата

Теорема за движението на центъра на масата на системата. Последици от теоремата за движението на центъра на масата на системата.

Литература: , стр. 274-277, , стр. 175-192.

Тема 6. Обемът на движение на материална точка

и механична система

Количество на движение на материална точка и механична система. Елементарен импулс и импулс на сила за краен период от време. Теорема за промяната на импулса на точка и система в диференциални и интегрални форми. Закон за запазване на импулса.

Литература: , с. 280-284, , с. 192-207.

Тема 7. Момент на импулса на материална точка

и механична система спрямо центъра и оста

Моментът на импулса на точка около центъра и оста. Теорема за промяната на ъгловия импулс на точка. Кинетичен момент на механична система около центъра и оста.

Ъгловият импулс на въртящо се твърдо тяло около оста на въртене. Теорема за промяната на кинетичния момент на системата. Закон за запазване на импулса.

Литература: , стр. 292-298, , стр. 207-258.

Тема 8. Работа и сила на силите

Елементарна работа на силата, нейният аналитичен израз. Работата на силата по крайния път. Работата на гравитацията, еластичната сила. Равенство на нула на сбора от работата на вътрешните сили, действащи в твърдо тяло. Работата на силите, приложени към твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос. Мощност. Ефективност.

Литература: , стр. 208-213, , стр. 280-290.

Тема 9. Кинетична енергия на материална точка

и механична система

Кинетична енергия на материална точка и механична система. Изчисляване на кинетичната енергия на твърдо тяло в различни случаи на неговото движение. Теорема на Кьониг. Теорема за промяната на кинетичната енергия на точка в диференциална и интегрална форма. Теорема за промяната на кинетичната енергия на механична система в диференциална и интегрална форма.

Литература: , стр. 301-310, , стр. 290-344.

Тема 10. Потенциално силово поле и потенциал

Концепцията за силово поле. Потенциално силово поле и силова функция. Работата на сила върху окончателното преместване на точка в потенциално силово поле. Потенциална енергия.

Литература: , стр. 317-320, , стр. 344-347.

Тема 11. Динамика на твърдото тяло

Диференциални уравнения на транслационно движение на твърдо тяло. Диференциално уравнение на въртеливото движение на твърдо тяло около фиксирана ос. физическо махало. Диференциални уравнения на плоскостно движение на твърдо тяло.

Литература: , стр. 323-334, , стр. 157-173.

Раздел 1. Въведение в динамиката. Основни понятия

класическа механика

Динамиката е клон на теоретичната механика, който изучава движението на материални тела (точки) под действието на приложени сили.

материално тяло- тяло, което има маса.

Материална точка- материално тяло, разликата в движението на точките на което е незначителна. Това може да бъде или тяло, чиито размери могат да бъдат пренебрегнати по време на движението му, или тяло с крайни размери, ако се движи напред.

Частиците се наричат ​​още материални точки, на които твърдо тяло се разделя мислено при определяне на някои от неговите динамични характеристики. Примери за материални точки (фиг. 1): а - движението на Земята около Слънцето. Земята е материална точка; b е транслационното движение на твърдо тяло. Твърдото тяло е майка-

ал точка, тъй като V B \u003d V A; a B = a A ; в - въртене на тялото около оста.

Частица на тялото е материална точка.

Инертността е свойството на материалните тела да променят скоростта на своето движение по-бързо или по-бавно под действието на приложените сили.

Масата на тялото е скаларна положителна стойност, която зависи от количеството материя, съдържаща се в дадено тяло, и определя неговата мярка за инерция по време на транслационно движение. В класическата механика масата е константа.

Силата е количествена мярка за механично взаимодействие между телата или между тяло (точка) и поле (електрическо, магнитно и др.).

Силата е векторна величина, характеризираща се с големина, точка на приложение и посока (линия на действие) (фиг. 2: А - точка на приложение; АВ - линия на действие на силата).

Ориз. 2

В динамиката, наред с постоянните сили, има и променливи сили, които могат да зависят от времето t, скоростта ϑ, разстоянието r или от комбинацията от тези величини, т.е.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ) ;

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ) .

електрически локомотив; c − F = F (r) е силата на отблъскване от центъра O или привличането към него.

Референтна система - координатна система, свързана с тялото, по отношение на която се изучава движението на друго тяло.

Инерциалната система е система, в която са изпълнени първият и вторият закон на динамиката. Това е фиксирана координатна система или система, движеща се равномерно и праволинейно.

Движението в механиката е промяна в позицията на тялото в пространството и времето спрямо други тела.

Пространството в класическата механика е триизмерно, подчиняващо се на евклидовата геометрия.

Времето е скаларна величина, която тече по същия начин във всяка референтна система.

Система от единици е набор от единици за измерване на физически величини. За измерване на всички механични величини са достатъчни три основни единици: единици дължина, време, маса или сила.

Всички други мерни единици за механични величини са производни на тези. Използват се два вида системи от единици: международната система от единици SI (или по-малка - CGS) и техническата система от единици - ICSC.

Тема 1. Динамика на материалната точка

1.1. Законите на динамиката на материална точка (законите на Галилей - Нютон)

Първият закон (на инерцията).

Материална точка, изолирана от външни влияния, запазва състоянието си на покой или се движи равномерно и праволинейно, докато приложените сили я принудят да промени това състояние.

Движението, извършено от точка при липса на сили или под действието на балансирана система от сили, се нарича движение по инерция.

Например, движението на тяло по гладка (силата на триене е нула) движение-

хоризонтална повърхност (фиг. 4: G - телесно тегло; N - нормална реакция на самолета).

Тъй като G = − N , то G + N = 0.

При ϑ 0 ≠ 0 тялото се движи със същата скорост; при ϑ 0 = 0 тялото е в покой (ϑ 0 е началната скорост).

Вторият закон (основен закон на динамиката).

Произведението на масата на точка и ускорението, което тя получава под действието на дадена сила, е равно по абсолютна стойност на тази сила и нейната посока съвпада с посоката на ускорение.

а б

Математически този закон се изразява с векторното равенство

При F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const - точката се движи равномерно и праволинейно, или при ϑ 0 = 0 - е в покой (законът за инерцията). Второ

законът ви позволява да установите връзка между масата m на тяло, разположено близо до земната повърхност, и теглото му G .G = mg, където g -

ускорение на гравитацията.

Третият закон (законът за равенството на действието и реакцията). Две материални точки действат една върху друга със сили, равни по големина и насочени по протежение на свързващата права линия

тези точки в противоположни посоки.

Тъй като силите F 1 = - F 2 се прилагат към различни точки, тогава системата от сили (F 1 , F 2 ) не е балансирана, т.е. (F 1 , F 2 ) ≈ 0 (фиг. 6).

масите на взаимодействащите точки са обратно пропорционални на техните ускорения.

Четвъртият закон (законът за независимостта на действието на силите). Ускорението, получено от точка под действието на едновременно

но няколко сили, е равно на геометричната сума от онези ускорения, които една точка би получила при действието на всяка сила поотделно върху нея.

Обяснение (фиг. 7).

t a n

a 1 a kF n

Получените R сили (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Тъй като ma = R ,F 1 = ma 1 , ...,F k = ma k , ...,F n = ma n , то

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k , т.е. четвъртият закон е еквивалентен на

k = 1

правилото за събиране на сили.

1.2. Диференциални уравнения на движението на материална точка

Нека няколко сили действат едновременно върху материална точка, сред които има както константи, така и променливи.

Записваме втория закон на динамиката във формата

точки, то (1.2) съдържа производни на r и е диференциално уравнение на движението на материална точка във векторна форма или основното уравнение на динамиката на материална точка.

Проекции на векторно равенство (1.2): - по оста на декартовите координати (фиг. 8, но)

По естествената ос (фиг. 8, б)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Уравнения (1.3) и (1.4) са диференциални уравнения на движението на материална точка в декартовите координатни оси и естествените оси, т.е. естествени диференциални уравнения, които обикновено се използват за криволинейно движение на точка, ако траекторията на точката и радиусът му на кривина е известен.

1.3. Два основни проблема на динамиката за материална точка и тяхното решение

Първата (директна) задача.

Познавайки закона за движението и масата на точката, определете силата, действаща върху точката.

За да разрешите този проблем, трябва да знаете ускорението на точката. В задачи от този тип може да се даде директно или да се даде законът за движение на точка, в съответствие с който може да се определи.

1. Така че, ако движението на точка е дадено в декартови координати

x = f 1 (t) , y = f 2 (t) и z = f 3 (t) тогава се определят проекциите на ускорението

Теорема за движението на центъра на масите.Диференциални уравнения на движение на механична система. Теорема за движението на центъра на масата на механична система. Закон за запазване на движението на центъра на масите.

Теорема за промяната на импулса.Обемът на движение на материална точка. Елементарен импулс на сила. Импулсът на сила за краен период от време и неговите проекции върху координатни оси. Теорема за промяната в импулса на материална точка в диференциални и крайни форми.

Обемът на движение на механичната система; изразяването му чрез масата на системата и скоростта на нейния център на масата. Теорема за промяната на импулса на механична система в диференциални и крайни форми. Закон за запазване на механичния импулс

(Понятието за тяло и точка с променлива маса. Уравнението на Мешчерски. Формулата на Циолковски.)

Теорема за промяната на момента на импулса.Моментът на импулса на материална точка спрямо центъра и спрямо оста. Теорема за промяната на ъгловия импулс на материална точка. Централна сила. Запазване на ъгловия импулс на материална точка в случай на централна сила. (Концепцията за скоростта на сектора. Законът за площите.)

Основният момент на импулса или кинетичният момент на механична система около центъра и около оста. Ъгловият импулс на въртящо се твърдо тяло около оста на въртене. Теорема за промяната на кинетичния момент на механична система. Законът за запазване на кинетичния момент на механична система. (Теорема за промяната на ъгловия импулс на механична система при относително движение спрямо центъра на масата.)

Теорема за промяната в кинетичната енергия.Кинетична енергия на материална точка. Елементарна работа на сила; аналитичен израз за елементарна работа. Работата на сила върху окончателното преместване на точката на нейното приложение. Работата на силата на тежестта, силата на еластичност и силата на гравитацията. Теорема за промяната на кинетичната енергия на материална точка в диференциални и крайни форми.

Кинетична енергия на механична система. Формули за изчисляване на кинетичната енергия на твърдо тяло по време на транслационно движение, по време на въртене около фиксирана ос и в общ случайдвижение (по-специално с плоскопаралелно движение). Теорема за промяната на кинетичната енергия на механична система в диференциални и крайни форми. Равенство на нула на сбора от работата на вътрешните сили в твърдо тяло. Работа и сила на силите, приложени към твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос.

Концепцията за силово поле. Потенциално силово поле и силова функция. Изразяване на проекциите на силата чрез функцията на силата. Повърхности с равен потенциал. Работата на сила върху окончателното преместване на точка в потенциално силово поле. Потенциална енергия. Примери за потенциални силови полета: еднородно гравитационно поле и гравитационно поле. Законът за запазване на механичната енергия.

Динамика на твърдото тяло.Диференциални уравнения на транслационно движение на твърдо тяло. Диференциално уравнение на въртене на твърдо тяло около фиксирана ос. физическо махало. Диференциални уравнения на плоскостно движение на твърдо тяло.

принцип на д'Аламбер.принцип на д'Аламбер за материална точка; сила на инерцията. Принципът на д'Аламбер за механична система. Привеждане на силите на инерцията на точките на твърдо тяло към центъра; главен вектор и главен момент на инерционните сили.

(Определяне на динамичните реакции на лагерите при въртене на твърдо тяло около фиксирана ос. Случаят, когато оста на въртене е главната централна ос на инерция на тялото.)

Принципът на възможните премествания и общото уравнение на динамиката.Взаимоотношения, наложени на механична система. Възможни (или виртуални) премествания на материална точка и механична система. Броят на степените на свобода на системата. Идеални връзки. Принципът на възможните движения. Общо уравнение на динамиката.

Уравнения за движение на системата в обобщени координати (уравнения на Лагранж).Обобщени системни координати; обобщени скорости. Изразяване на елементарна работа в обобщени координати. Обобщени сили и тяхното изчисляване; случай на сили с потенциал. Условия на равновесие за системата в обобщени координати. Диференциални уравнения за движение на системата в обобщени координати или уравнения на Лагранж от 2-ри вид. Уравнения на Лагранж в случай на потенциални сили; Функция на Лагранж (кинетичен потенциал).

Концепцията за стабилност на равновесието. Малки свободни вибрации на механична система с една степен на свобода около положението на стабилно равновесие на системата и техните свойства.

Елементи на теорията на въздействието.Феномен на въздействие. Сила на удар и импулс на удар. Действие на ударна сила върху материална точка. Теорема за промяната в импулса на механична система при удар. Директен централен удар на тялото върху фиксирана повърхност; еластични и нееластични въздействия. Коефициент на възстановяване при удар и неговото експериментално определяне. Директен централен удар на две тела. Теорема на Карно.

БИБЛИОГРАФИЯ

Основен

Бутенин Н. В., Лунц Я-Л., Меркин Д. Р.Курс по теоретична механика. Т. 1, 2. М., 1985 г. и предишни издания.

Добронравов В. В., Никитин Н. Н.Курс по теоретична механика. М., 1983.

Старжински В. М.Теоретична механика. М., 1980 г.

Тарг С. М.Кратък курс по теоретична механика. М., 1986 г. и предишни издания.

Яблонски А. А., Никифорова В. М.Курс по теоретична механика. Част 1. М., 1984 г. и предишни издания.

Яблонски А.А.Курс по теоретична механика. Част 2. М., 1984 г. и предишни издания.

Мешчерски И.В.Сборник от задачи по теоретична механика. М., 1986 г. и предишни издания.

Сборник задачи по теоретична механика / Изд. К. С. Колесникова. М., 1983.

Допълнителен

Бат М. И., Джанелидзе Г. Ю., Келзон А. С.Теоретична механика в примери и задачи. Ч. 1, 2. М., 1984 г. и предишни издания.

Сборник задачи по теоретична механика / 5raznichen / co Н. А., Кан В. Л., Минцберг Б. Л.и др. М., 1987.

Новожилов И. В., Зацепин М. Ф.Стандартни изчисления в теоретичната механика на базата на компютър. М., 1986,

Сборник със задачи за курсови работипо теоретична механика / Изд. А. А. Яблонски. М., 1985 и предишни издания (съдържа примери за решаване на проблеми).

Използването на OZMS при решаване на проблеми е свързано с определени трудности. Следователно обикновено се установяват допълнителни връзки между характеристиките на движението и силите, които са по-удобни за практическо приложение. Тези съотношения са общи теореми на динамиката.Те, като следствие от ОЗМС, установяват зависимости между скоростта на промяна на някои специално въведени мерки за движение и характеристиките на външните сили.

Теорема за промяната на импулса. Нека представим концепцията за вектора на импулса (Р. Декарт) на материална точка (фиг. 3.4):

i i = t v г (3.9)

Ориз. 3.4.

За системата въвеждаме концепцията главен вектор на инерцията на систематакато геометрична сума:

Q \u003d Y, m "V r

В съответствие с OZMS: Xu, - ^ \u003d i), или X

R(E) .

Като се има предвид, че /w, = const получаваме: -Ym,!" = R(E),

или в окончателен вид

do / di \u003d A (E (3.11)

тези. първата производна по време на главния вектор на инерцията на системата е равна на главния вектор на външните сили.

Теорема за движението на центъра на масите. Център на тежестта на систематанаречена геометрична точка, чието положение зависи от т,и т.н. върху масовото разпределение /r/, в системата и се определя от израза на радиус вектора на центъра на масата (фиг. 3.5):

където g s -радиус вектор на центъра на масата.

Ориз. 3.5.

Да се ​​обадим = t с масата на системата.След умножаване на израза

(3.12) върху знаменателя и диференциране на двете части на полу-

ценно равенство ще имаме: g s t s = ^t.U = 0 или 0 = t s U s

По този начин главният импулсен вектор на системата е равен на произведението на масата на системата и скоростта на центъра на масата. Използвайки теоремата за промяна на импулса (3.11), получаваме:

t с dU s / dі \u003d A (E),или

Формула (3.13) изразява теоремата за движението на центъра на масите: центърът на масата на системата се движи като материална точка с масата на системата, която се влияе от главния вектор на външните сили.

Теорема за промяната на момента на импулса. Нека представим понятието момент на импулса на материална точка като векторно произведение на нейния радиус-вектор и импулс:

k o o = блх че, (3.14)

където към OI -ъглов импулс на материална точка спрямо фиксирана точка О(фиг. 3.6).

Сега дефинираме ъгловия импулс на механична система като геометрична сума:

K () \u003d X ko, \u003d ShchU,? O-15>

Диференцирайки (3.15), получаваме:

Ґ сік--- Х t i w. + г юх t i

Предвид това = U G U iх t i u i= 0 и формула (3.2), получаваме:

сіК a /с1ї - ї 0 .

Въз основа на втория израз в (3.6) най-накрая ще имаме теорема за промяната на ъгловия импулс на системата:

Първата производна по време на ъгловия импулс на механичната система спрямо фиксирания център O е равна на основния момент на външните сили, действащи върху тази система спрямо същия център.

При извеждане на съотношение (3.16) се приема, че О- фиксирана точка. Въпреки това, може да се покаже, че в редица други случаи формата на отношението (3.16) няма да се промени, по-специално, ако в случай на движение в равнина моментната точка е избрана в центъра на масата, моментният център на скорости или ускорения. Освен това, ако точката Осъвпада с движеща се материална точка, равенството (3.16), записано за тази точка, ще се превърне в тъждество 0 = 0.

Теорема за промяната в кинетичната енергия. Когато механичната система се движи, се променят както „външната”, така и вътрешната енергия на системата. Ако характеристиките на вътрешните сили, главния вектор и главния момент, не влияят на промяната в главния вектор и основния момент на броя на ускоренията, тогава вътрешните сили могат да бъдат включени в оценките на процесите на енергийното състояние на системата.Следователно, когато се разглеждат промените в енергията на системата, трябва да се вземат предвид движенията на отделни точки, към които се прилагат и вътрешни сили.

Кинетичната енергия на материална точка се определя като количество

T^myTsg. (3.17)

Кинетичната енергия на механична система е равна на сумата от кинетичните енергии на материалните точки на системата:

забележи това T > 0.

Ние дефинираме силата на силата като скаларно произведение на вектора на силата от вектора на скоростта:

Да разгледаме движението на определена система от материални обеми спрямо фиксирана координатна система.Когато системата не е свободна, тогава тя може да се счита за свободна, ако отхвърлим наложените на системата ограничения и заменим тяхното действие със съответните реакции.

Нека разделим всички сили, приложени към системата, на външни и вътрешни; и двете могат да включват реакции на изхвърлени

връзки. Означете с и главния вектор и главния момент на външните сили спрямо точка А.

1. Теорема за промяната на импулса.Ако е импулсът на системата, тогава (вижте)

т.е. теоремата е вярна: производната по време на инерцията на системата е равна на главния вектор на всички външни сили.

Замествайки вектора чрез неговия израз, където е масата на системата, е скоростта на центъра на масата, уравнението (4.1) може да получи различен вид:

Това равенство означава, че центърът на масата на системата се движи като материална точка, чиято маса е равна на масата на системата и към която е приложена сила, която е геометрично равна на главния вектор на всички външни сили на системата. Последното твърдение се нарича теорема за движението на центъра на масата (центъра на инерцията) на системата.

Ако тогава от (4.1) следва, че векторът на импулса е постоянен по големина и посока. Проектирайки го върху координатната ос, получаваме три скаларни първи интеграла от диференциалните уравнения на дублета на системата:

Тези интеграли се наричат ​​интеграли на импулса. Когато скоростта на центъра на масата е постоянна, тоест той се движи равномерно и праволинейно.

Ако проекцията на главния вектор на външните сили върху която и да е една ос, например върху оста, е равна на нула, тогава имаме един първи интеграл или ако две проекции на главния вектор са равни на нула, тогава има два интеграла на импулса.

2. Теорема за промяната на кинетичния момент.Нека A е произволна точка в пространството (движеща се или неподвижна), която не съвпада непременно с определена материална точка на системата през цялото време на движение. Означаваме скоростта му във фиксирана система от координати като

Ако точка А е фиксирана, тогава равенството (4.3) приема по-проста форма:

Това равенство изразява теоремата за промяната на ъгловия импулс на системата спрямо фиксирана точка: производната по време на ъгловия импулс на системата, изчислена спрямо някаква фиксирана точка, е равна на основния момент на всички външни сили относително до този момент.

Ако тогава, съгласно (4.4), векторът на ъгловия момент е постоянен по големина и посока. Проектирайки го върху координатната ос, получаваме скаларните първи интеграли на диференциалните уравнения на движението на системата:

Тези интеграли се наричат ​​интеграли на ъгловия импулс или интеграли на площите.

Ако точка А съвпада с центъра на масата на системата, тогава първият член от дясната страна на равенството (4.3) изчезва и теоремата за промяната на ъгловия импулс има същия вид (4.4), както в случая на фиксиран точка А. Забележете (вижте 4 § 3), че в разглеждания случай абсолютният ъглов импулс на системата от лявата страна на равенството (4.4) може да бъде заменен с равен ъглов импулс на системата при нейното движение спрямо центъра на маса.

Нека е някаква постоянна ос или ос с постоянна посока, минаваща през центъра на масата на системата, и нека е ъгловият импулс на системата спрямо тази ос. От (4.4) следва, че

където е моментът на външните сили около оста. Ако през цялото време на движение имаме първия интеграл

В трудовете на С. А. Чаплыгин бяха получени няколко обобщения на теоремата за промяната на ъгловия импулс, които след това бяха приложени при решаването на редица задачи за търкалянето на топки. По-нататъшни обобщения на теоремата за изменението на kpnetology момент и приложенията им в задачи за динамиката на твърдо тяло се съдържат в произведенията. Основните резултати от тези работи са свързани с теоремата за промяната на кинетичния момент спрямо движещия се, постоянно преминаващ през някаква движеща се точка A. Нека е единичен вектор, насочен по тази ос. Умножавайки скаларно по двете страни на равенството (4.3) и добавяйки члена към двете му части, получаваме

Когато кинематичното условие е изпълнено

уравнението (4.5) следва от (4.7). И ако условието (4.8) е изпълнено през цялото време на движение, тогава първият интеграл (4.6) съществува.

Ако връзките на системата са идеални и позволяват въртене на системата като твърдо тяло около оста и в броя на виртуалните премествания, тогава основният момент на реакциите около оста и е равен на нула, а след това стойността на дясната страна на уравнение (4.5) е основният момент на всички външни активни сили около оста и . Равенството на нула на този момент и изпълнимостта на отношението (4.8) ще бъдат в разглеждания случай достатъчни условия за съществуването на интеграла (4.6).

Ако посоката на оста и е непроменена, тогава условие (4.8) може да се запише като

Това равенство означава, че проекциите на скоростта на центъра на масата и скоростта на точка А върху оста и върху равнината, перпендикулярна на нея, са успоредни. В работата на С. А. Чаплыгин вместо (4.9) се изисква по-малко от общо състояниекъдето X е произволна константа.

Забележете, че условието (4.8) не зависи от избора на точка на . Наистина, нека P е произволна точка на оста. Тогава

и следователно

В заключение отбелязваме геометричната интерпретация на уравненията на Ресал (4.1) и (4.4): векторите на абсолютните скорости на краищата на векторите и са равни, съответно, на главния вектор и основния момент на всички външни сили, относителни до точка А.