Урок No4

Тема: „Описателна статистика. Индикатори за разнообразие на признаци в съвкупността"

Основните критерии за разнообразието на даден признак в статистическа съвкупност са: граница, амплитуда, средна стандартно отклонение, коефициент на трептене и коефициент на вариация. В предишния урок беше обсъдено, че средните стойности предоставят само обобщена характеристика на характеристиката, която се изучава в съвкупността и не вземат предвид стойностите на нейните отделни варианти: минимални и максимални стойности, над средното, под средно и т.н.

Пример. Средни стойности на две различни числови последователности: -100; -20; 100; 20 и 0,1; -0,2; 0,1 са абсолютно еднакви и равниЗА.Въпреки това диапазоните на разсейване на тези данни за относителна средна последователност са много различни.

Определянето на изброените критерии за разнообразието на дадена характеристика се извършва преди всичко, като се вземе предвид нейната стойност в отделни елементи на статистическата съвкупност.

Индикаторите за измерване на вариациите на даден признак са абсолютенИ роднина. Абсолютните показатели за вариация включват: диапазон на вариация, граница, стандартно отклонение, дисперсия. Коефициентът на вариация и коефициентът на колебание се отнасят до относителни мерки за вариация.

Лимит (lim)–Това е критерий, който се определя от екстремните стойности на вариант в серия от варианти. С други думи, този критерий е ограничен от минималните и максималните стойности на атрибута:

Амплитуда (Am)или диапазон на вариация –Това е разликата между екстремните варианти. Изчисляването на този критерий се извършва чрез изваждане на минималната му стойност от максималната стойност на атрибута, което ни позволява да оценим степента на разсейване на опцията:

Недостатъкът на границата и амплитудата като критерии за променливост е, че те напълно зависят от екстремните стойности на характеристиката в вариационната серия. В този случай колебанията в стойностите на атрибутите в рамките на серия не се вземат предвид.

Най-пълното описание на разнообразието на признак в статистическа съвкупност се предоставя от стандартно отклонение(сигма), което е обща мярка за отклонението на дадена опция от нейната средна стойност. Често се нарича стандартно отклонение стандартно отклонение.

Стандартното отклонение се основава на сравнение на всяка опция със средната аритметична стойност на дадена популация. Тъй като в съвкупността винаги ще има опции както по-малко, така и повече от него, сумата от отклонения със знак "" ще се анулира от сумата от отклонения със знак "", т.е. сумата от всички отклонения е нула. За да се избегне влиянието на знаците на разликите, се вземат отклонения от средноаритметичното на квадрат, т.е. . Сумата от квадратите на отклоненията не е равна на нула. За да получите коефициент, способен да измерва променливостта, вземете средната стойност на сумата от квадрати - тази стойност се нарича отклонения:

По същество дисперсията е средният квадрат на отклоненията на отделните стойности на дадена характеристика от нейната средна стойност. дисперсия – квадрат на стандартното отклонение.

Дисперсията е размерна величина (наименувана). Така че, ако вариантите на числова серия са изразени в метри, тогава дисперсията дава квадратни метри; ако опциите са изразени в килограми, тогава дисперсията дава квадрата на тази мярка (kg 2) и т.н.

Стандартно отклонение– корен квадратен от дисперсията:

, тогава при изчисляване на дисперсията и стандартното отклонение в знаменателя на дробта, вместотрябва да се постави.

Изчисляването на стандартното отклонение може да бъде разделено на шест етапа, които трябва да се извършват в определена последователност:

Приложение на стандартното отклонение:

а) за преценка на променливостта на вариационните серии и сравнителна оценка на типичността (представителността) на средните аритметични стойности. Това е необходимо при диференциална диагноза при определяне на стабилността на симптомите.

б) да се реконструира вариационната серия, т.е. възстановяване на неговата честотна характеристика въз основа на три сигма правила. В интервала (М±3σ) 99,7% от всички варианти на серията се намират в интервала (М±2σ) - 95,5% и в диапазона (М±1σ) - 68,3% опция за ред(фиг. 1).

в) за идентифициране на „изскачащи“ опции

г) да се определят параметрите на нормата и патологията с помощта на сигма оценки

д) да се изчисли коефициентът на вариация

е) да се изчисли средната грешка на средноаритметичното.

За да се характеризира всяка популация, която иманормален тип разпределение , достатъчно е да знаете два параметъра: средно аритметично и стандартно отклонение.

Фигура 1. Правило на трите сигми

Пример.

В педиатрията стандартното отклонение се използва за оценка на физическото развитие на децата чрез сравняване на данните за конкретно дете със съответните стандартни показатели. За стандарт се приема средноаритметичното на физическото развитие на здрави деца. Сравнението на показателите със стандартите се извършва с помощта на специални таблици, в които стандартите са дадени заедно със съответните им сигма скали. Смята се, че ако показателят за физическо развитие на детето е в рамките на стандарта (средно аритметично) ±σ, тогава физическо развитиедетето (според този показател) отговаря на нормата. Ако индикаторът е в рамките на стандарта ±2σ, тогава има леко отклонение от нормата. Ако индикаторът надхвърли тези граници, тогава физическото развитие на детето се различава рязко от нормата (възможна е патология).

В допълнение към показателите за вариация, изразени в абсолютни стойности, статистическите изследвания използват показатели за вариация, изразени в относителни стойности. Коефициент на трептене -това е отношението на диапазона на вариация към средната стойност на признака. Коефициент на вариация -е отношението на стандартното отклонение към среднознак. Обикновено тези стойности се изразяват в проценти.

Формули за изчисляване на показателите за относителна вариация:

От горните формули става ясно, че колкото по-голям е коеф V е по-близо до нула, толкова по-малка е вариацията на характеристичните стойности. Колкото повече V, толкова по-променлив е знакът.

В статистическата практика най-често се използва коефициентът на вариация. Използва се не само за сравнителна оценка на вариацията, но и за характеризиране на хомогенността на популацията. Популацията се счита за хомогенна, ако коефициентът на вариация не надвишава 33% (за разпределения, близки до нормалните). Аритметично съотношението на σ и средната аритметична неутрализира влиянието абсолютна стойносттези характеристики, а процентното съотношение прави коефициента на вариация безразмерна (неназована) величина.

Получената стойност на коефициента на вариация се оценява в съответствие с приблизителните градации на степента на разнообразие на признака:

Слаб - до 10%

Средно - 10 - 20%

Силен - повече от 20%

Използването на коефициента на вариация е препоръчително в случаите, когато е необходимо да се сравнят характеристики, които са различни по размер и размер.

Разликата между коефициента на вариация и други критерии за разсейване е ясно демонстрирана пример.

Таблица 1

Състав на работниците в промишленото предприятие

Въз основа на статистическите характеристики, дадени в примера, можем да направим заключение за относителната хомогенност на възрастовия състав и образователното ниво на служителите на предприятието, като се има предвид ниската професионална стабилност на анкетирания контингент. Лесно е да се види, че опитът да се преценят тези социални тенденции чрез стандартното отклонение би довел до погрешно заключение, а опитът да се сравнят счетоводните характеристики „трудов опит“ и „възраст“ със счетоводния показател „образование“ като цяло би бил неправилно поради разнородността на тези характеристики.

Медиана и процентили

За ординални (рангови) разпределения, където критерият за средата на реда е медианата, стандартното отклонение и дисперсията не могат да служат като характеристики на дисперсията на варианта.

Същото важи и за отворените вариационни серии. Това обстоятелство се дължи на факта, че отклоненията, от които се изчисляват дисперсията и σ, се измерват от средната аритметична стойност, която не се изчислява в отворени вариационни серии и в серии от разпределения на качествени характеристики. Следователно, за компресирано описание на разпределения се използва друг параметър на разсейване - квантил(синоним - "перцентил"), подходящ за описание на качествени и количествени характеристики във всякаква форма на тяхното разпределение. Този параметър може да се използва и за преобразуване на количествени характеристики в качествени. В този случай такива рейтинги се присвояват в зависимост от това на кой ред от квантил отговаря дадена опция.

В практиката на биомедицинските изследвания най-често се използват следните квантили:

– медиана;

, – квартили (четвърти), където – долен квартил, – горен квартил.

Квантилите разделят областта на възможните промени в вариационна серия на определени интервали. Медиана (квантил) е опция, която е в средата на вариационна серия и разделя тази серия наполовина на две равни части ( 0,5 И 0,5 ). Квартилът разделя серия на четири части: първата част (долният квартил) е опция, разделяща опции, чиито числени стойности не надвишават 25% от максимално възможните в тази серия, квартил разделя опции с числена стойност до 50% от максимално възможната. Горният квартил () разделя опциите до 75% от максимално възможните стойности.

При асиметрично разпределение променлива спрямо средната аритметична стойност, медианата и квартилите се използват за нейното характеризиране.В този случай се използва следната форма за показване на средната стойност - мех (;). например, изследваният признак – „периодът, в който детето започва да ходи самостоятелно” – има асиметрично разпределение в изследваната група. В същото време долният квартил () съответства на началото на ходенето - 9,5 месеца, медианата - 11 месеца, горният квартил () - 12 месеца. Съответно, характеристиката на средния тренд на посочения признак ще бъде представена като 11 (9,5; 12) месеца.

Оценка на статистическата значимост на резултатите от изследването

Статистическата значимост на данните се разбира като степента, в която те съответстват на показаната реалност, т.е. статистически значими данни са тези, които не изкривяват и правилно отразяват обективната реалност.

Оценяването на статистическата значимост на резултатите от изследването означава да се определи с каква вероятност е възможно резултатите, получени от извадката от съвкупността, да се прехвърлят към цялата популация. Оценката на статистическата значимост е необходима, за да се разбере каква част от дадено явление може да се използва, за да се прецени явлението като цяло и неговите модели.

Оценката на статистическата значимост на резултатите от изследването се състои от:

1. грешки на представителността (грешки на средни и относителни стойности) - м;

2. доверителни граници на средни или относителни стойности;

3. надеждност на разликата в средните или относителните стойности според критерия t.

Стандартна грешка на средноаритметичната стойностили грешка в представителносттахарактеризира колебанията на средната стойност. Трябва да се отбележи, че колкото по-голям е размерът на извадката, толкова по-малък е разпределението на средните стойности. Стандартната грешка на средната стойност се изчислява по формулата:

В съвременната научна литература средноаритметичната стойност се записва заедно с грешката на представителност:

или заедно със стандартното отклонение:

Като пример разгледайте данните за 1500 градски клиники в страната (общо население). Средният брой обслужени пациенти в клиниката е 18 150 души. Случайният избор на 10% от обектите (150 клиники) дава среден брой пациенти, равен на 20 051 души. Грешката на извадката, очевидно поради факта, че не всички 1500 клиники са включени в извадката, е равна на разликата между тези средни стойности - общата средна ( Мген) и средно извадка ( Мизбран). Ако формираме друга извадка със същия размер от нашата популация, това ще даде различна стойност на грешката. Всички тези извадкови средни с достатъчно големи извадки обикновено се разпределят около общата средна с достатъчно големи голям бройповторения на извадка от същия брой обекти от популация. Стандартна грешка на средната стойност м- това е неизбежното разпръскване на извадковите средни около генералното средно.

В случай, че резултатите от изследването са представени в относителни количества (например проценти) - изчислени стандартна грешка на дроб:

където P е показателят в %, n е броят на наблюденията.

Резултатът се показва като (P ± m)%. например,процентът на възстановяване сред пациентите е (95,2±2,5)%.

В случай, че броят на елементите на съвкупността, тогава при изчисляване на стандартните грешки на средната и дробта в знаменателя на дробта, вместотрябва да се постави.

За нормално разпределение (разпределението на извадковите средни стойности е нормално), знаем каква част от съвкупността попада във всеки интервал около средната стойност. По-специално:

На практика проблемът е, че характеристиките на генералната съвкупност са ни непознати и извадката се прави именно с цел да ги оценим. Това означава, че ако направим проби с еднакъв размер пот общата популация, тогава в 68,3% от случаите интервалът ще съдържа стойността М(в 95,5% от случаите ще бъде на интервала и в 99,7% от случаите – на интервала).

Тъй като всъщност е взета само една извадка, това твърдение е формулирано по отношение на вероятността: с вероятност от 68,3%, средната стойност на атрибута в популацията се намира в интервала, с вероятност от 95,5% - в интервала и т.н.

На практика се изгражда интервал около стойността на извадката, така че с дадена (достатъчно висока) вероятност, вероятност за доверие –ще „покрие“ истинската стойност на този параметър в общата популация. Този интервал се нарича доверителен интервал.

Вероятност за довериеП – това е степента на увереност, че доверителният интервал действително ще съдържа истинската (неизвестна) стойност на параметъра в популацията.

Например, ако вероятността за доверие Ре 90%, това означава, че 90 проби от 100 ще дадат правилната оценка на параметъра в популацията. Съответно вероятността от грешка, т.е. неправилна оценка на общата средна стойност за извадката е равна в проценти: . За този пример това означава, че 10 проби от 100 ще дадат неправилна оценка.

Очевидно степента на доверие (вероятността на доверие) зависи от размера на интервала: колкото по-широк е интервалът, толкова по-висока е увереността, че неизвестна стойност за популацията ще попадне в него. На практика най-малко два пъти грешката на извадката се използва за конструиране на доверителен интервал, за да се осигури поне 95,5% увереност.

Определянето на доверителните граници на средните и относителните стойности ни позволява да намерим двете им екстремни стойности - минималната възможна и максималната възможна, в рамките на които изследваният показател може да се появи в цялата популация. Въз основа на това, доверителни граници (или доверителен интервал)- това са границите на средни или относителни стойности, извън които поради случайни колебания има незначителна вероятност.

Доверителният интервал може да бъде пренаписан като: , където t– критерий за доверие.

Доверителните граници на средноаритметичната стойност в популацията се определят по формулата:

М ген = М изберете + t m М

за относителна стойност:

Р ген = П изберете + t m Р

Къде М генИ Р ген- стойности на средни и относителни стойности за генералната съвкупност; М изберетеИ Р изберете- стойности на средни и относителни стойности, получени от извадката; м МИ м П- грешки на средни и относителни стойности; t- критерий за доверие (критерий за точност, който се установява при планиране на изследването и може да бъде равен на 2 или 3); t m- това е доверителен интервал или Δ - максималната грешка на показателя, получена при извадково изследване.

Трябва да се отбележи, че стойността на критерия tдо известна степен свързана с вероятността за безгрешна прогноза (p), изразена в %. Избира се от самия изследовател, ръководен от необходимостта да получи резултата с необходимата степен на точност. По този начин, за вероятността за безгрешна прогноза от 95,5%, стойността на критерия tе 2, за 99,7% - 3.

Дадените оценки на доверителния интервал са приемливи само за статистически популации с повече от 30 наблюдения. При по-малък размер на популацията (малки извадки) се използват специални таблици за определяне на критерия t. В тези таблици желаната стойност се намира в пресечната точка на линията, съответстваща на размера на популацията (n-1)и колона, съответстваща на нивото на вероятност за прогноза без грешки (95,5%; 99,7%), избрана от изследователя. В медицинските изследвания, когато се установяват граници на доверие за всеки индикатор, вероятността за безгрешна прогноза е 95,5% или повече. Това означава, че стойността на показателя, получена от извадковата съвкупност, трябва да бъде намерена в генералната съвкупност в поне 95,5% от случаите.

Въпроси по темата на урока:

Уместност на показателите за разнообразие на признаци в статистическа популация.

Обща характеристика на абсолютните вариационни показатели.

Стандартно отклонение, изчисление, приложение.

Относителни мерки на вариация.

Медиана, квартилен резултат.

Оценка на статистическата значимост на резултатите от изследването.

Стандартна грешка на средноаритметичната стойност, формула за изчисление, пример за използване.

Изчисляване на пропорцията и нейната стандартна грешка.

Концепцията за доверителна вероятност, пример за използване.

10. Концепцията за доверителен интервал, неговото приложение.

Тестови задачи по темата със стандартни отговори:

1. АБСОЛЮТНИТЕ ПОКАЗАТЕЛИ НА ВАРИАЦИЯТА СЕ ОТНАСЯТ КЪМ

1) коефициент на вариация

2) коефициент на трептене

4) медиана

2. ОТНОСИТЕЛНИТЕ ПОКАЗАТЕЛИ НА ВАРИАЦИЯТА СЕ ОТНАСЯТ КЪМ

1) дисперсия

4) коефициент на вариация

3. КРИТЕРИИ, КОИТО СЕ ОПРЕДЕЛЯТ ОТ ЕКСТРЕМАЛНИТЕ СТОЙНОСТИ НА ОПЦИЯ В СЕРИЯ ИЗМЕНЕНИЯ

2) амплитуда

3) дисперсия

4) коефициент на вариация

4. РАЗЛИКАТА НА ЕКСТРЕМНИТЕ ВАРИАНТИ Е

2) амплитуда

3) средно стандартно отклонение

4) коефициент на вариация

5. СРЕДНИЯТ КВАДРАТ НА ОТКЛОНЕНИЯТА НА ИНДИВИДУАЛНИТЕ СТОЙНОСТИ НА ХАРАКТЕРИСТИКА ОТ НЕЙНИТЕ СРЕДНИ СТОЙНОСТИ Е

1) коефициент на трептене

2) медиана

3) дисперсия

6. СЪОТНОШЕНИЕТО НА СКАЛАТА НА ВАРИАЦИЯТА КЪМ СРЕДНАТА СТОЙНОСТ НА ХАРАКТЕРА Е

1) коефициент на вариация

2) стандартно отклонение

4) коефициент на трептене

7. СЪОТНОШЕНИЕТО НА СРЕДНОТО КВАДРАТНО ОТКЛОНЕНИЕ КЪМ СРЕДНАТА СТОЙНОСТ НА ХАРАКТЕРИСТИКАТА Е

1) дисперсия

2) коефициент на вариация

3) коефициент на трептене

4) амплитуда

8. ОПЦИЯТА, КОЯТО Е В СРЕДАТА НА ВАРИАЦИОННАТА СЕРИЯ И Я РАЗДЕЛЯ НА ДВЕ РАВНИ ЧАСТИ Е

1) медиана

3) амплитуда

9. В МЕДИЦИНСКИТЕ ИЗСЛЕДВАНИЯ, ПРИ УСТАНОВЯВАНЕ НА ДОВЕРИТЕЛНИ ГРАНИЦИ ЗА ВСЯК ИНДИКАТОР, СЕ ПРИЕМА ВЕРОЯТНОСТТА ЗА БЕЗГРЕШНА ПРОГНОЗА

10. АКО 90 ПРОБИ ОТ 100 ДАВАТ ПРАВИЛНАТА ОЦЕНКА НА ПАРАМЕТЪР В ПОПУЛАЦИЯТА, ТОВА ОЗНАЧАВА, ЧЕ ВЕРОЯТНОСТТА ЗА ДОВЕРИЕ ПРАВЕН

11. АКО 10 ПРОБИ ОТ 100 ДАВАТ НЕПРАВИЛНА ОЦЕНКА, ВЕРОЯТНОСТТА ЗА ГРЕШКА Е РАВНА

12. ГРАНИЦИ НА СРЕДНИ ИЛИ ОТНОСИТЕЛНИ СТОЙНОСТИ, ПРЕДВИЖДАНЕТО НА КОИТО ПОРАДИ СЛУЧАЙНИ КОЛЕБАНИЯ ИМА МАЛКА ВЕРОЯТНОСТ – ТОВА Е

1) доверителен интервал

2) амплитуда

4) коефициент на вариация

13. ЗА МАЛКА ИЗВАДКА СЕ СЧИТА ТАЗИ ПОПУЛАЦИЯ, В КОЯТО

1) n е по-малко или равно на 100

2) n е по-малко или равно на 30

3) n е по-малко или равно на 40

4) n е близо до 0

14. ЗА ВЕРОЯТНОСТ ЗА БЕЗГРЕШНА ПРОГНОЗА 95% КРИТЕРИЙНА СТОЙНОСТ tЕ

15. ЗА ВЕРОЯТНОСТ ЗА БЕЗГРЕШНА ПРОГНОЗА 99% КРИТЕРИЙНА СТОЙНОСТ tЕ

16. ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ, БЛИЗКИ ДО НОРМАЛНОТО, ПОПУЛАЦИЯТА СЕ СЧИТА ЗА ХОМОГЕННА, АКО КОЕФИЦИЕНТЪТ НА ВАРИАЦИЯ НЕ ПРЕВИШАВА

17. ОПЦИЯ, РАЗДЕЛИТЕЛНИ ОПЦИИ, ЧИИСТО ЧИСЛОВИТЕ СТОЙНОСТИ НЕ ПРЕВИШАВАТ 25% ОТ МАКСИМАЛНО ВЪЗМОЖНИТЕ В ДАДЕНА СЕРИЯ – ТОВА Е

2) долен квартил

3) горен квартил

4) квартил

18. ДАННИ, КОИТО НЕ ИЗКРИВЯВАТ И ПРАВИЛНО ОТРАЗЯВАТ ОБЕКТИВНАТА РЕАЛНОСТ, СЕ НАРИЧАТ

1) невъзможно

2) еднакво възможно

3) надежден

4) случаен

19. СЪГЛАСНО ПРАВИЛОТО НА "ТРИ Сигми", С НОРМАЛНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ХАРАКТЕРИСТИКА В ВРЪХ
ЩЕ БЪДАТ ЛОКАЛИЗАЦИИ

1) 68,3% опция

Стандартното отклонение е класически индикатор за променливост от описателната статистика.

Стандартно отклонение, стандартно отклонение, Стандартно отклонение, извадково стандартно отклонение (англ. standard deviation, STD, STDev) е много често срещан индикатор за дисперсия в описателната статистика. Но, защото техническият анализ е подобен на статистиката; този индикатор може (и трябва) да се използва в техническия анализ за откриване на степента на дисперсия на цената на анализирания инструмент във времето. Означава се с гръцкия символ сигма "σ".

Благодаря на Карл Гаус и Пиърсън, че ни позволиха да използваме стандартно отклонение.

Използване стандартно отклонение в техническия анализ, обръщаме това "индекс на дисперсия"" В "индикатор за волатилност“, запазвайки смисъла, но променяйки термините.

Какво е стандартно отклонение

Но освен междинните спомагателни изчисления, стандартното отклонение е доста приемливо за независимо изчислениеи приложения в техническия анализ. Като активен читател на нашето списание репей отбеляза, „ Все още не разбирам защо стандартното отклонение не е включено в набора от стандартни показатели на местните дилинг центрове«.

наистина стандартното отклонение може да измерва променливостта на даден инструмент по класически и „чист“ начин. Но за съжаление този показател не е толкова често срещан в анализа на ценни книжа.

Прилагане на стандартно отклонение

Ръчното изчисляване на стандартното отклонение не е много интересно, но полезно за опит. Стандартното отклонение може да бъде изразеноформула STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , която звучи като корен от сумата от квадратите на разликите между елементите на извадката и средната стойност, разделена на броя на елементите в извадката.

Ако броят на елементите в извадката надвишава 30, тогава знаменателят на дробта под корена приема стойността n-1. В противен случай се използва n.

Стъпка по стъпка изчисляване на стандартното отклонение:

1. изчислете средноаритметичната стойност на извадката от данни
2. извадете тази средна стойност от всеки примерен елемент
3. повдигаме на квадрат всички получени разлики
4. сумирайте всички получени квадрати
5. разделете полученото количество на броя на елементите в пробата (или на n-1, ако n>30)
6. изчислете корен квадратен от полученото частно (наречено дисперсия)

Най-съвършената характеристика на вариацията е средното квадратично отклонение, което се нарича стандарт (или стандартно отклонение). Стандартно отклонение() е равен на корен квадратен от средното квадратно отклонение на отделните стойности на атрибута от средното аритметично:

Стандартното отклонение е просто:

Претегленото стандартно отклонение се прилага към групирани данни:

Между средните квадратични и средните линейни отклонения при условия нормално разпределениеима следното съотношение: ~ 1,25.

Стандартното отклонение, което е основната абсолютна мярка за вариация, се използва при определяне на ординатните стойности на крива на нормално разпределение, при изчисления, свързани с организацията на наблюдението на извадката и установяване на точността на характеристиките на извадката, както и при оценката на граници на вариация на характеристика в хомогенна популация.

Дисперсия, нейните видове, стандартно отклонение.

Дисперсия на случайна променлива— мярка за разпространението на дадена случайна променлива, т.е. нейното отклонение от математическо очакване. В статистиката често се използва обозначението или. Корен квадратенна дисперсията се нарича стандартно отклонение, стандартно отклонение или стандартен спред.

Обща дисперсия (σ 2) измерва вариацията на черта в нейната цялост под влиянието на всички фактори, които са причинили тази вариация. В същото време, благодарение на метода на групиране, е възможно да се идентифицира и измери вариацията, дължаща се на груповата характеристика и вариацията, възникваща под въздействието на неотчетени фактори.

Междугрупова дисперсия (σ 2 м.гр) характеризира систематична вариация, т.е. разлики в стойността на изследваната характеристика, които възникват под влияние на характеристиката - факторът, който формира основата на групата.

Стандартно отклонение(синоними: стандартно отклонение, стандартно отклонение, квадратно отклонение; сродни термини: стандартно отклонение, стандартно разпространение) - в теорията на вероятностите и статистиката, най-често срещаният индикатор за дисперсията на стойностите на случайна променлива спрямо нейното математическо очакване. При ограничени масиви от извадки от стойности вместо математическото очакване се използва средноаритметичното от набора от извадки.

Стандартното отклонение се измерва в мерни единици на самата случайна променлива и се използва при изчисляване на стандартната грешка на средната аритметична стойност, при конструиране на доверителни интервали, при статистическо тестване на хипотези, при измерване на линейната зависимост между случайни променливи. Дефинира се като корен квадратен от дисперсията на случайна променлива.

Стандартно отклонение:

Стандартно отклонение(оценка на стандартното отклонение на случайна променлива хспрямо неговото математическо очакване въз основа на безпристрастна оценка на неговата дисперсия):

къде е дисперсията; — азелемент на селекцията; — размер на извадката; — средно аритметично от извадката:

Трябва да се отбележи, че и двете оценки са пристрастни. IN общ случайНевъзможно е да се изгради безпристрастна оценка. Въпреки това оценката, базирана на безпристрастната оценка на дисперсията, е последователна.

Същност, обхват и ред за определяне на мода и медиана.

В допълнение към средните мощности в статистиката за относителните характеристики на стойността на различна характеристика и вътрешна структураредовете на разпределение използват структурни средни, които са представени главно от мода и медиана.

Мода- Това е най-разпространеният вариант на сериала. Модата се използва например при определяне на размера на дрехите и обувките, които са най-търсени сред клиентите. Режимът за дискретна серия е този с най-висока честота. Когато изчислявате режима за серия от интервални вариации, първо трябва да определите модалния интервал (въз основа на максималната честота), а след това стойността на модалната стойност на атрибута, като използвате формулата:

- - модна стойност

- — долна граница на модалния интервал

- — размер на интервала

- — модална интервална честота

- — честота на интервала, предхождащ модала

- — честота на интервала след модала

Медиана -това е стойността на атрибута, който е в основата на класираната серия и разделя тази серия на две равни части.

За да определите медианата в дискретна серия при наличие на честоти, първо изчислете полусумата на честотите и след това определете коя стойност на варианта попада върху нея. (Ако сортираната серия съдържа нечетен брой характеристики, тогава средното число се изчислява по формулата:

M e = (n (общ брой характеристики) + 1)/2,

в случай на четен брой характеристики, медианата ще бъде равна на средната стойност на двете характеристики в средата на реда).

При изчисляване медианиза серия от интервални вариации, първо определете средния интервал, в който се намира медианата, и след това определете стойността на медианата, като използвате формулата:

- — необходимата медиана

- - долна граница на интервала, който съдържа медианата

- — размер на интервала

- — сбор от честоти или брой членове на серията

Сума от натрупаните честоти на интервали, предхождащи медианата

- — честота на средния интервал

Пример. Намерете модата и медианата.

Решение:
IN в този примермодалният интервал е във възрастовата група 25-30 години, тъй като този интервал е с най-висока честота (1054).

Нека изчислим величината на модата:

Това означава, че модалната възраст на студентите е 27 години.

Нека изчислим медианата. Медианният интервал е във възрастовата група 25-30 години, тъй като в рамките на този интервал има опция, която разделя населението на две равни части (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). След това заместваме необходимите числени данни във формулата и получаваме средната стойност:

Това означава, че половината от студентите са на възраст под 27,4 години, а другата половина са над 27,4 години.

В допълнение към режима и медианата могат да се използват индикатори като квартили, разделящи класираната серия на 4 равни части, децили- 10 части и процентили - на 100 части.

Понятието селективно наблюдение и неговия обхват.

Селективно наблюдениесе прилага при използване на непрекъснато наблюдение физически невъзможнопоради голямо количество данни или не е икономически целесъобразно. Физическата невъзможност възниква например при изследване на пътникопотоци, пазарни цени и семейни бюджети. Икономическа нецелесъобразност възниква при оценка на качеството на стоките, свързани с тяхното унищожаване, например дегустация, тестване на тухли за здравина и др.

Статистическите единици, избрани за наблюдение, съставляват рамката на извадката или извадката, а целият им масив съставлява генералната съвкупност (GS). В този случай броят на единиците в извадката се означава с п, а в целия ХС - Н. Отношение n/Nнаречен относителен размер или пропорция на извадката.

Качеството на резултатите от извадковото наблюдение зависи от представителността на извадката, т.е. от това доколко тя е представителна в ХС. За да се осигури представителност на извадката, е необходимо спазването принцип на случаен избор на единици, което предполага, че включването на HS единица в извадката не може да бъде повлияно от друг фактор освен случайност.

Съществува 4 начина за произволен изборза проба:

1. Всъщност произволноселекция или „метод на лото“, когато на статистическите количества се присвояват серийни номера, записани върху определени обекти (например варели), които след това се смесват в някакъв контейнер (например в торба) и се избират на случаен принцип. На практика този метод се осъществява с помощта на генератор произволни числаили математически таблици на произволни числа.
2. Механичниизбор, според който всеки ( N/n)-та стойност на генералната съвкупност. Например, ако съдържа 100 000 стойности и трябва да изберете 1000, тогава всяка 100 000 / 1000 = 100-та стойност ще бъде включена в извадката. Освен това, ако не са класирани, тогава първият се избира на случаен принцип от първите сто, а числата на останалите ще бъдат със сто по-високи. Например, ако първата единица е била № 19, то следващата трябва да е № 119, след това № 219, след това № 319 и т.н. Ако единиците на съвкупността са класирани, първо се избира номер 50, след това номер 150, след това номер 250 и т.н.
3. Извършва се избор на стойности от разнороден масив от данни стратифицирани(стратифициран) метод, когато популацията първо се разделя на хомогенни групи, към които се прилага случаен или механичен подбор.
4. Специален метод за вземане на проби е сериенселекция, при която произволно или механично избират не отделни стойности, а техните серии (последователности от някакво число до някакво число в редица), в рамките на които се извършва непрекъснато наблюдение.

Качеството на извадковите наблюдения също зависи от тип проба: повтаря сеили неповторимо.

При повторна селекцияСтатистическите стойности или техните серии, включени в извадката, се връщат към общата популация след употреба, като имат шанс да бъдат включени в нова извадка. Освен това всички стойности в популацията имат еднаква вероятност за включване в извадката.

Неповторима селекцияозначава, че статистическите стойности или техните серии, включени в извадката, не се връщат в общата популация след употреба и следователно за останалите стойности на последната вероятността да бъдат включени в следващата извадка се увеличава.

Неповтарящото се вземане на проби дава по-точни резултати, така че се използва по-често. Но има ситуации, когато не може да се приложи (проучване на пътникопотоци, потребителско търсене и т.н.) и тогава се извършва повторна селекция.

Максимална извадкова грешка при наблюдение, средна извадкова грешка, процедура за тяхното изчисляване.

Нека разгледаме подробно методите за формиране на извадкова съвкупност, изброени по-горе, и грешките, които възникват при това. представителност .
Съвсем произволноизвадката се основава на произволно избиране на единици от съвкупността без никакви систематични елементи. Технически действителният случаен подбор се извършва чрез теглене на жребий (например лотарии) или използване на таблица със случайни числа.

Правилният случаен подбор „в неговата чиста форма“ рядко се използва в практиката на селективното наблюдение, но е оригиналът сред другите видове подбор, той прилага основните принципи на селективното наблюдение. Нека разгледаме някои въпроси от теорията на метода за вземане на проби и формулата за грешка за проста случайна извадка.

Пристрастност при вземане на пробие разликата между стойността на параметъра в генералната съвкупност и неговата стойност, изчислена от резултатите от извадковото наблюдение. За средна количествена характеристика грешката на извадката се определя от

Показателят се нарича пределна извадкова грешка.
Средната стойност на извадката е случайна променлива, която може да приеме различни значенияв зависимост от това кои единици са включени в извадката. Следователно грешките на извадката също са случайни променливи и могат да приемат различни стойности. Следователно, определете средната стойност на възможни грешки - средна извадкова грешка, което зависи от:

Размер на извадката: колкото по-голямо е числото, толкова по-малка е средната грешка;

Степента на промяна в характеристиката, която се изследва: колкото по-малка е вариацията на характеристиката и, следователно, дисперсията, толкова по-малка е средната грешка на извадката.

При случаен повторен изборсредната грешка се изчислява:
.
На практика общата дисперсия не е точно известна, но в теория на вероятноститедоказано е, че
.
Тъй като стойността за достатъчно голямо n е близка до 1, можем да приемем, че . Тогава може да се изчисли средната извадкова грешка:
.
Но в случаите на малка извадка (с n<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

При произволно неповтарящо се вземане на пробидадените формули се коригират със стойността. Тогава средната неповтаряща се извадкова грешка е:
И .
защото винаги е по-малко, тогава множителят () винаги е по-малък от 1. Това означава, че средната грешка по време на неповтаряща се селекция винаги е по-малка, отколкото по време на повторна селекция.
Механично вземане на пробисе използва, когато общата съвкупност е подредена по някакъв начин (например избирателни списъци по азбучен ред, телефонни номера, номера на къщи, номера на апартаменти). Изборът на единици се извършва на определен интервал, който е обратен на процента на извадката. И така, при 2% извадка се избират всеки 50 единици = 1/0,02, при 5% извадка, всеки 1/0,05 = 20 единици от общата съвкупност.

Референтната точка се избира по различни начини: произволно, от средата на интервала, с промяна на референтната точка. Основното е да се избягват системни грешки. Например при 5% извадка, ако първата единица е 13-та, то следващите са 33, 53, 73 и т.н.

По отношение на точността, механичният подбор е близък до действителното произволно вземане на проби. Следователно, за да се определи средната грешка на механичното вземане на проби, се използват подходящи формули за случаен подбор.

При типична селекция изследваната популация е предварително разделена на хомогенни сходни групи. Например, когато се изследват предприятията, това могат да бъдат отрасли, подотрасли; когато се изследва населението, това могат да бъдат региони, социални или възрастови групи. След това се прави независима селекция от всяка група механично или чисто на случаен принцип.

Типичното вземане на проби дава по-точни резултати от другите методи. Типизирането на генералната съвкупност гарантира, че всяка типологична група е представена в извадката, което прави възможно елиминирането на влиянието на междугруповата вариация върху средната извадкова грешка. Следователно, когато се намира грешката на типична извадка съгласно правилото за добавяне на дисперсии (), е необходимо да се вземе предвид само средната стойност на груповите дисперсии. Тогава средната грешка на извадката е:
при повторен избор
,
с неповтаряща се селекция
,
Къде - средната стойност на дисперсиите в рамките на групата в извадката.

Избор на сериен (или гнездо). използва се, когато съвкупността е разделена на серии или групи преди началото на извадковото изследване. Тези серии могат да бъдат опаковки на готови продукти, студентски групи, екипи. Сериите за изследване се избират механично или чисто произволно, като в рамките на серията се извършва непрекъснат преглед на единици. Следователно средната извадкова грешка зависи само от междугруповата (междусерийната) дисперсия, която се изчислява по формулата:

където r е броят на избраните серии;
- средно от i-тата серия.

Средната грешка на серийната извадка се изчислява:

при повторен избор:
,
с неповтаряща се селекция:
,
където R е общият брой епизоди.

Комбиниранселекцияе комбинация от разгледаните методи за избор.

Средната извадкова грешка за всеки метод на извадка зависи главно от абсолютния размер на извадката и в по-малка степен от процента на извадката. Да приемем, че в първия случай са направени 225 наблюдения от популация от 4500 единици, а във втория от популация от 225 000 единици. Дисперсиите и в двата случая са равни на 25. Тогава в първия случай, с 5% селекция, грешката на извадката ще бъде:

Във втория случай, с 0,1% избор, той ще бъде равен на:

Така, с намаляване на процента на вземане на проби с 50 пъти, грешката на вземане на проби се увеличава леко, тъй като размерът на извадката не се променя.
Да приемем, че размерът на извадката е увеличен до 625 наблюдения. В този случай грешката на извадката е:

Увеличаването на извадката с 2,8 пъти със същия размер на популацията намалява размера на грешката на извадката с повече от 1,6 пъти.

Методи и методи за формиране на извадкова съвкупност.

В статистиката се използват различни методи за формиране на извадкови съвкупности, което се определя от целите на изследването и зависи от спецификата на обекта на изследване.

Основното условие за провеждане на извадково изследване е да се предотврати появата на систематични грешки, които възникват в резултат на нарушаване на принципа на равните възможности за всяка единица от генералната съвкупност да бъде включена в извадката. Предотвратяването на систематични грешки се постига чрез използването на научно обосновани методи за формиране на извадкова съвкупност.

Съществуват следните методи за избор на единици от популацията:

1) индивидуален подбор - за извадката се избират отделни единици;

2) групов подбор - извадката включва качествено хомогенни групи или серии от изследвани единици;

3) комбиниран подбор е комбинация от индивидуален и групов подбор.
Методите за подбор се определят от правилата за формиране на извадкова съвкупност.

Пробата може да бъде:

• всъщност произволносе състои в това, че извадковата съвкупност се формира в резултат на случаен (непреднамерен) подбор на отделни единици от генералната съвкупност. В този случай броят на единиците, избрани в извадката от популацията, обикновено се определя въз основа на приетата пропорция на извадката. Пропорцията на извадката е отношението на броя на единиците в извадковата съвкупност n към броя на единиците в генералната съвкупност N, т.е.

• механиченсе състои в това, че подборът на единици в извадковата съвкупност се извършва от генералната съвкупност, разделена на равни интервали (групи). В този случай размерът на интервала в популацията е равен на обратната пропорция на извадката. И така, при 2% проба се избира всяка 50-та единица (1:0,02), при 5% проба, всяка 20-та единица (1:0,05) и т.н. По този начин, в съответствие с приетата пропорция на селекция, генералната популация е, така да се каже, механично разделена на групи с еднакъв размер. От всяка група се избира само една единица за извадката.
• типичен -при което генералната съвкупност първо се разделя на хомогенни типични групи. След това от всяка типична група се използва чисто произволна или механична извадка за индивидуален избор на единици в извадковата популация. Важна характеристика на типичната извадка е, че тя дава по-точни резултати в сравнение с други методи за подбор на единици в извадката;
• сериен- при които генералната съвкупност е разделена на групи с еднакъв размер - серии. Сериите се избират в извадката. В рамките на серията се извършва непрекъснато наблюдение на единиците, включени в серията;
• комбинирани- вземането на проби може да бъде двуетапно. В този случай населението първо се разделя на групи. След това се избират групите, а в рамките на последните се избират отделните звена.

В статистиката се разграничават следните методи за избор на единици в извадкова съвкупност::

• единичен етапвземане на проби - всяка избрана единица незабавно се подлага на изследване по зададен критерий (правилно произволно и серийно вземане на проби);
• многоетапенизвадка - прави се селекция от генералната съвкупност на отделни групи и отделни единици се избират от групите (типична извадка с механичен метод за избиране на единици в извадката).

Освен това има:

• повторна селекция- по схемата на върната топка. В този случай всяка единица или серия, включена в извадката, се връща към генералната съвкупност и следователно има шанс да бъде включена отново в извадката;
• повторете избора- по схемата на невърната топка. Има по-точни резултати със същия размер на извадката.

Определяне на необходимия размер на извадката (с помощта на t-таблица на Student).

Един от научните принципи в теорията на пробите е да се гарантира, че са избрани достатъчен брой единици. Теоретично необходимостта от спазване на този принцип е представена в доказателствата на граничните теореми в теорията на вероятностите, които позволяват да се установи какъв обем единици трябва да се избере от съвкупността, така че да е достатъчен и да гарантира представителността на извадката.

Намаляването на стандартната грешка на извадката и следователно увеличаването на точността на оценката винаги е свързано с увеличаване на размера на извадката, следователно още на етапа на организиране на наблюдението на извадката е необходимо да се реши какъв е размерът на пробната съвкупност трябва да бъде такава, че да гарантира необходимата точност на резултатите от наблюдението. Изчисляването на необходимия размер на извадката се конструира с помощта на формули, получени от формулите за максималните грешки на извадката (A), съответстващи на определен тип и метод на подбор. И така, за произволен повторен размер на извадката (n) имаме:

Същността на тази формула е, че при случаен повторен избор на необходимия брой, размерът на извадката е право пропорционален на квадрата на коефициента на доверие (t2)и дисперсия на вариационната характеристика (?2) и е обратно пропорционална на квадрата на максималната извадкова грешка (?2). По-специално, с увеличаване на максималната грешка с фактор два, необходимият размер на извадката може да бъде намален с фактор четири. От трите параметъра два (t и?) се задават от изследователя.

В същото време изследователят, на базата наОт целта и задачите на извадковото изследване трябва да се реши въпросът: в каква количествена комбинация е по-добре да се включат тези параметри, за да се осигури оптимален вариант? В един случай той може да бъде по-доволен от надеждността на получените резултати (t), отколкото от мярката за точност (?), в друг - обратното. По-трудно е да се реши въпросът относно стойността на максималната грешка на извадката, тъй като изследователят няма този индикатор на етапа на проектиране на извадково наблюдение, поради което на практика е обичайно да се определя стойността на максималната грешка на извадката, обикновено в рамките на 10% от очакваното средно ниво на атрибута. Към установяването на прогнозната средна стойност може да се подходи по различни начини: използване на данни от подобни предишни проучвания или използване на данни от рамката на извадката и провеждане на малка пилотна извадка.

Най-трудното нещо за установяване при проектирането на извадково наблюдение е третият параметър във формула (5.2) - дисперсията на извадковата съвкупност. В този случай е необходимо да се използва цялата информация, с която изследователят разполага, получена от проведени преди това подобни и пилотни проучвания.

Въпрос относно дефинициятанеобходимият размер на извадката става по-сложен, ако извадковото изследване включва изучаване на няколко характеристики на извадковите единици. В този случай средните нива на всяка от характеристиките и тяхната вариация като правило са различни и следователно решаването на коя вариация на коя от характеристиките да се даде предпочитание е възможно само като се вземат предвид целта и задачите на проучване.

При проектирането на извадково наблюдение се приема предварително определена стойност на допустимата извадкова грешка в съответствие с целите на конкретно изследване и вероятността от заключения въз основа на резултатите от наблюдението.

Като цяло формулата за максималната грешка на средната стойност на извадката ни позволява да определим:

Големината на възможните отклонения на показателите на генералната съвкупност от показателите на извадката;

Необходимият размер на извадката, осигуряващ необходимата точност, при която границите на възможна грешка няма да надхвърлят определена зададена стойност;

Вероятността грешката в извадката да има определена граница.

Студентско разпределениев теорията на вероятностите това е еднопараметрично семейство от абсолютно непрекъснати разпределения.

Динамична серия (интервал, момент), затваряща динамична серия.

Серия Dynamics- това са стойностите на статистическите показатели, които са представени в определена хронологична последователност.

Всеки времеви ред съдържа два компонента:

1) показатели за периоди от време (години, тримесечия, месеци, дни или дати);

2) показатели, характеризиращи изследвания обект за периоди от време или на съответни дати, които се наричат ​​нива на серия.

Нивата на серията са изразеникакто абсолютни, така и средни или относителни стойности. В зависимост от естеството на показателите се изграждат времеви редове от абсолютни, относителни и средни стойности. Динамичните серии от относителни и средни стойности се изграждат въз основа на получени серии от абсолютни стойности. Има интервални и моментни серии от динамика.

Динамични интервални сериисъдържа стойности на индикатора за определени периоди от време. В интервални серии нивата могат да бъдат сумирани, за да се получи обемът на явлението за по-дълъг период или така наречените натрупани суми.

Серия от динамични моментиотразява стойностите на индикаторите в определен момент от време (дата от време). В моментните серии изследователят може да се интересува само от разликата в явленията, която отразява промяната в нивото на серията между определени дати, тъй като сумата от нивата тук няма реално съдържание. Кумулативните суми не се изчисляват тук.

Най-важното условие за правилното изграждане на динамичните редове е съпоставимостта на нивата на редовете, принадлежащи към различни периоди. Нивата трябва да бъдат представени в хомогенни количества и трябва да има еднаква пълнота на покриване на различните части на явлението.

За да сеЗа да се избегне изкривяване на реалната динамика, при статистическо изследване се извършват предварителни изчисления (затваряне на динамичните редове), които предхождат статистическия анализ на динамичните редове. Затварянето на динамични серии се разбира като комбинация в една серия от две или повече серии, чиито нива са изчислени по различна методология или не съответстват на териториалните граници и др. Затварянето на динамичните серии може също така да означава привеждане на абсолютните нива на динамичните серии до обща основа, което неутрализира несравнимостта на нивата на динамичните серии.

Концепцията за съпоставимост на динамичните редове, коефициенти, растеж и темпове на растеж.

Серия Dynamics- това са поредица от статистически показатели, характеризиращи развитието на природните и социалните явления във времето. Статистическите колекции, публикувани от Държавния комитет по статистика на Русия, съдържат голям брой динамични серии в таблична форма. Динамичните серии позволяват да се идентифицират моделите на развитие на изследваните явления.

Динамичните серии съдържат два вида индикатори. Индикатори за време(години, тримесечия, месеци и т.н.) или точки във времето (в началото на годината, в началото на всеки месец и т.н.). Индикатори за ниво на ред. Индикаторите на нивата на динамичните серии могат да бъдат изразени в абсолютни стойности (производство на продукт в тонове или рубли), относителни стойности (дял на градското население в%) и средни стойности (средни заплати на работниците в индустрията по години и т.н.). В таблична форма времевият ред съдържа две колони или два реда.

Правилното изграждане на времеви редове изисква изпълнението на редица изисквания:

1. всички индикатори на поредица от динамика трябва да бъдат научно обосновани и надеждни;
2. индикаторите на поредица от динамика трябва да бъдат сравними във времето, т.е. трябва да се изчисляват за едни и същи периоди от време или на едни и същи дати;
3. показателите за редица динамики трябва да са сравними на територията;
4. индикаторите на поредица от динамика трябва да бъдат сравними по съдържание, т.е. изчислени по единна методология, по един и същ начин;
5. показателите за редица динамики трябва да бъдат сравними в целия диапазон от взети под внимание стопанства. Всички показатели на серия от динамика трябва да бъдат дадени в едни и същи мерни единици.

Статистически показателиможе да характеризира или резултатите от процеса, който се изучава за определен период от време, или състоянието на явлението, което се изучава в определен момент от време, т.е. показателите могат да бъдат интервални (периодични) и моментни. Съответно, първоначално динамичните серии могат да бъдат интервални или моментни. Сериите от моментна динамика от своя страна могат да бъдат с равни или неравни времеви интервали.

Първоначалната серия от динамика може да се трансформира в серия от средни стойности и серия от относителни стойности (верижни и основни). Такива времеви редове се наричат ​​производни времеви редове.

Методологията за изчисляване на средното ниво в динамичните серии е различна в зависимост от вида на динамичните серии. Използвайки примери, ще разгледаме видовете динамични серии и формули за изчисляване на средното ниво.

Абсолютни увеличения (Δy) показват колко единици се е променило следващото ниво на серията в сравнение с предишното (гр. 3. - верижни абсолютни увеличения) или в сравнение с първоначалното ниво (гр. 4. - основни абсолютни увеличения). Формулите за изчисление могат да бъдат записани, както следва:

Когато абсолютните стойности на серията намаляват, ще има съответно „намаляване“ или „намаляване“.

Абсолютните показатели за растеж показват, че например през 1998 г. производството на продукт "А" се е увеличило с 4 хиляди тона спрямо 1997 г. и с 34 хиляди тона спрямо 1994 г.; за други години виж таблицата. 11,5 гр. 3 и 4.

Скорост на растежпоказва колко пъти нивото на серията се е променило спрямо предходното (гр. 5 - верижни коефициенти на растеж или спад) или спрямо първоначалното ниво (гр. 6 - основни коефициенти на растеж или спад). Формулите за изчисление могат да бъдат записани, както следва:

Скорост на растежпоказват какъв процент е следващото ниво от серията в сравнение с предходното (гр. 7 - темпове на растеж на веригата) или в сравнение с първоначалното ниво (гр. 8 - основни темпове на растеж). Формулите за изчисление могат да бъдат записани, както следва:

Така например през 1997 г. обемът на производството на продукт "А" в сравнение с 1996 г. е 105,5% (

Скорост на растежпокажете с какъв процент се е увеличило нивото на отчетния период в сравнение с предходния (колона 9 - верижни темпове на растеж) или в сравнение с първоначалното ниво (колона 10 - основни темпове на растеж). Формулите за изчисление могат да бъдат записани, както следва:

T pr = T r - 100% или T pr = абсолютен ръст / ниво от предходния период * 100%

Така например през 1996 г., в сравнение с 1995 г., продуктът "А" е произведен с 3,8% (103,8% - 100%) или (8:210)x100% повече, а в сравнение с 1994 г. - с 9% (109% - 100%).

Ако абсолютните нива в серията намаляват, тогава скоростта ще бъде по-малка от 100% и съответно ще има скорост на спад (скорост на нарастване със знак минус).

Абсолютна стойност от 1% увеличение(колона 11) показва колко единици трябва да бъдат произведени за даден период, така че нивото от предходния период да се увеличи с 1%. В нашия пример през 1995 г. е необходимо да се произведат 2,0 хиляди тона, а през 1998 г. - 2,3 хиляди тона, т.е. много повече.

Абсолютната стойност на 1% растеж може да се определи по два начина:

Нивото от предходния период се дели на 100;

Разделете абсолютните увеличения на веригата на съответните темпове на растеж на веригата.

Абсолютна стойност от 1% увеличение =

В динамика, особено за дълъг период, е важен съвместен анализ на темпа на растеж със съдържанието на всеки процент увеличение или намаление.

Имайте предвид, че разглежданата методология за анализиране на времеви редове е приложима както за времеви редове, чиито нива са изразени в абсолютни стойности (t, хиляди рубли, брой служители и т.н.), така и за времеви редове, нивата на които се изразяват в относителни показатели (% дефекти, % пепелно съдържание на въглища и др.) или средни стойности (среден добив в c/ha, средна работна заплата и др.).

Наред с разглежданите аналитични показатели, изчислени за всяка година в сравнение с предходното или изходно ниво, при анализиране на динамичните серии е необходимо да се изчислят средните аналитични показатели за периода: средното ниво на серията, средногодишното абсолютно увеличение (намаляване) и средния годишен темп на растеж и темп на растеж.

Методите за изчисляване на средното ниво на серия от динамика бяха обсъдени по-горе. В серията с интервална динамика, която разглеждаме, средното ниво на серията се изчислява с помощта на простата средноаритметична формула:

Средногодишен обем на производството на продукта за 1994-1998г. възлиза на 218,4 хил. тона.

Средният годишен абсолютен прираст също се изчислява с помощта на простата формула за средна аритметична стойност:

Годишните абсолютни прирасти варират през годините от 4 до 12 хил. тона (виж колона 3), а средногодишният прираст на производството за периода 1995 – 1998г. възлиза на 8,5 хиляди тона.

Методите за изчисляване на средния темп на растеж и средния темп на растеж изискват по-подробно разглеждане. Нека ги разгледаме на примера на годишните показатели на ниво серия, дадени в таблицата.

Средно ниво на динамичните серии.

Динамични серии (или времеви серии)- това са числените стойности на определен статистически показател в последователни моменти или периоди от време (т.е. подредени в хронологичен ред).

Наричат ​​се числените стойности на един или друг статистически показател, който съставлява динамичните серии нива на сериятаи обикновено се обозначава с буквата г. Първи термин от поредицата y 1наречен начален или основно ниво, и последният y n - окончателен. Моментите или периодите от време, за които се отнасят нивата, са обозначени с t.

Динамичните серии обикновено се представят под формата на таблица или графика, а по абсцисната ос се изгражда времева скала t, а по ординатната ос - скалата на серийните нива г.

Средни показатели на динамичния ред

Всяка серия от динамика може да се разглежда като определен набор ппроменящи се във времето индикатори, които могат да бъдат обобщени като средни стойности. Такива обобщени (средни) показатели са особено необходими, когато се сравняват промените в даден показател през различни периоди, в различни страни и т.

Обобщена характеристика на динамичните серии може да служи, на първо място, ниво на среден ред. Методът за изчисляване на средното ниво зависи от това дали серията е моментна или интервална (периодична).

В случай интервална серия, нейното средно ниво се определя по формулата на просто средно аритметично на нивата на серията, т.е.

=
Ако е наличен моментред, съдържащ пнива ( y1, y2, …, yn) с равни интервали между датите (времената), тогава такава серия може лесно да се преобразува в серия от средни стойности. В този случай индикаторът (нивото) в началото на всеки период е едновременно индикаторът в края на предходния период. Тогава средната стойност на индикатора за всеки период (интервалът между датите) може да се изчисли като половината от сумата на стойностите прив началото и в края на периода, т.е. Как. Броят на тези средни ще бъде . Както беше посочено по-рано, за серии от средни стойности средното ниво се изчислява, като се използва средноаритметичното.

Следователно можем да напишем:
.
След трансформиране на числителя получаваме:
,

Къде Y1И Yn— първо и последно ниво на реда; Yi— междинни нива.

Тази средна стойност е известна в статистиката като средно хронологиченза моментни серии. Получава името си от думата "cronos" (време, латински), тъй като се изчислява от индикатори, които се променят във времето.

При неравенствоинтервали между датите, хронологичната средна стойност за серия от моменти може да се изчисли като средноаритметично от средните стойности на нивата за всяка двойка моменти, претеглени от разстоянията (интервали от време) между датите, т.е.
.
В този случайпредполага се, че в интервалите между датите нивата са приемали различни стойности и ние сме едно от двете известни ( yiИ yi+1) определяме средните стойности, от които след това изчисляваме общата средна стойност за целия анализиран период.
Ако се приеме, че всяка стойност yiостава непроменена до следващия (i+ 1)- ти момент, т.е. Ако е известна точната дата на промяна на нивата, тогава изчислението може да се извърши с помощта на формулата за среднопретеглена аритметична стойност:
,

където е времето, през което нивото е останало непроменено.

В допълнение към средното ниво в динамичните редове се изчисляват и други средни показатели - средното изменение на нивата на реда (основен и верижен метод), средната скорост на изменение.

Базовата средна абсолютна промянае частното на последната основна абсолютна промяна, разделено на броя на промените. това е

Верига означава абсолютна промяна нива на серията е частното от разделянето на сумата от всички верижни абсолютни промени на броя на промените, т.е.

Знакът на средните абсолютни промени също се използва, за да се прецени естеството на промяната в средното явление: растеж, спад или стабилност.

От правилото за контролиране на базисните и верижните абсолютни изменения следва, че базисните и верижните средни изменения трябва да са еднакви.

Наред със средното абсолютно изменение се изчислява и относително средно по базисния и верижния метод.

Основна средна относителна промянаопределя се по формулата:

Верижна средна относителна промянаопределя се по формулата:

Естествено основните и верижните средни относителни промени трябва да са еднакви и като ги съпоставим със стойността на критерия 1, се прави извод за характера на изменението на явлението средно: растеж, спад или стабилност.
Чрез изваждане на 1 от основната или верижната средна относителна промяна, съответното средна скорост на изменение, по знака на който може да се съди и за характера на промяната в изследваното явление, отразена от тази поредица от динамика.

Сезонни колебания и индекси на сезонност.

Сезонните колебания са стабилни вътрешногодишни колебания.

Основният принцип на управление за постигане на максимален ефект е максимизиране на приходите и минимизиране на разходите. Чрез изучаване на сезонните колебания проблемът с максималното уравнение се решава на всяко ниво на годината.

При изучаване на сезонните колебания се решават два взаимосвързани проблема:

1. Идентифициране на спецификата на развитие на явлението във вътрешногодишна динамика;

2. Измерване на сезонните колебания с изграждане на сезонен вълнов модел;

За измерване на сезонните вариации обикновено се броят сезонните пуйки. Като цяло те се определят от съотношението на изходните уравнения на динамичния ред към теоретичните уравнения, които служат като база за сравнение.

Тъй като случайните отклонения се наслагват върху сезонните колебания, индексите на сезонността се осредняват, за да се елиминират.

В този случай за всеки период от годишния цикъл се определят обобщени показатели под формата на средни сезонни индекси:

Средните индекси на сезонни колебания са освободени от влиянието на случайни отклонения от основната тенденция на развитие.

В зависимост от характера на тенденцията, формулата за средния индекс на сезонност може да приеме следните форми:

1.За серии от вътрешногодишна динамика с ясно изразена основна тенденция на развитие:

2. За серии от вътрешногодишна динамика, в които няма възходяща или намаляваща тенденция или е незначителна:

Къде е общата средна стойност;

Методи за анализ на основния тренд.

Развитието на явленията във времето се влияе от различни по естество и сила на въздействие фактори. Някои от тях имат случаен характер, други имат почти постоянно въздействие и формират определена тенденция на развитие в динамиката.

Важна задача на статистиката е да идентифицира динамиката на тренда в серии, освободени от влиянието на различни случайни фактори. За тази цел динамичните редове се обработват чрез методите на уголемяване на интервали, пълзяща средна и аналитично изравняване и др.

Метод за увеличаване на интерваласе основава на уголемяване на времеви периоди, които включват нивата на поредица от динамика, т.е. е замяната на данни, свързани с малки периоди от време, с данни за по-големи периоди. Особено ефективно е, когато началните нива на серията се отнасят за кратки периоди от време. Например серии от индикатори, свързани с ежедневни събития, се заменят с серии, свързани със седмични, месечни и т.н. Това ще покаже по-ясно „ос на развитие на феномена“. Средната стойност, изчислена за разширени интервали, ни позволява да идентифицираме посоката и характера (ускоряване или забавяне на растежа) на основната тенденция на развитие.

Метод на пълзяща среднаподобно на предишното, но в този случай действителните нива се заменят със средни нива, изчислени за последователно движещи се (плъзгащи се) разширени интервали, покриващи мнива на серията.

например, ако приемем m=3,тогава първо се изчислява средната стойност на първите три нива на серията, след това - от същия брой нива, но започвайки от второто, след това - започвайки от третото и т.н. По този начин средната стойност се „плъзга“ по динамичния ред, премествайки се с един член. Изчислено от мчленове, подвижните средни се отнасят до средата (центъра) на всеки интервал.

Този метод елиминира само случайни колебания. Ако серията има сезонна вълна, тогава тя ще продължи дори след изглаждане с помощта на метода на пълзящата средна.

Аналитично подравняване. За да се елиминират случайните колебания и да се идентифицира тенденция, се използва изравняване на серийни нива с помощта на аналитични формули (или аналитично изравняване). Същността му е да замени емпиричните (действителните) нива с теоретични, които се изчисляват с помощта на определено уравнение, прието като модел на математически тренд, където теоретичните нива се разглеждат като функция на времето: . В този случай всяко действително ниво се разглежда като сбор от два компонента: , където е систематичен компонент и се изразява с определено уравнение, и е случайна променлива, която причинява колебания около тенденцията.

Задачата на аналитичното привеждане в съответствие се свежда до следното:

1. Определяне, въз основа на действителни данни, на типа хипотетична функция, която може най-адекватно да отрази тенденцията на развитие на изследвания показател.

2. Намиране на параметрите на посочената функция (уравнение) от емпирични данни

3. Изчисляване с помощта на намереното уравнение на теоретичните (подравнени) нива.

Изборът на определена функция се извършва, като правило, въз основа на графично представяне на емпирични данни.

Моделите са регресионни уравнения, чиито параметри се изчисляват по метода на най-малките квадрати

По-долу са най-често използваните регресионни уравнения за подравняване на времеви редове, като се посочва кои тенденции на развитие са най-подходящи за отразяване.

За намиране на параметрите на горните уравнения има специални алгоритми и компютърни програми. По-специално, за намиране на параметрите на уравнение на права линия може да се използва следният алгоритъм:

Ако периодите или моментите от време са номерирани така, че St = 0, тогава горните алгоритми ще бъдат значително опростени и ще се превърнат в

Подравнените нива на графиката ще бъдат разположени на една права линия, минаваща на най-близкото разстояние от действителните нива на тази динамична серия. Сумата от квадратите на отклоненията е отражение на влиянието на случайни фактори.

Използвайки го, изчисляваме средната (стандартна) грешка на уравнението:

Тук n е броят на наблюденията, а m е броят на параметрите в уравнението (имаме два от тях - b 1 и b 0).

Основната тенденция (тенденция) показва как систематичните фактори влияят върху нивата на поредица от динамики, а колебанията на нивата около тенденцията () служат като мярка за влиянието на остатъчните фактори.

За да се оцени качеството на използвания модел на времеви редове, той също се използва F тест на Фишер. Това е съотношението на две дисперсии, а именно съотношението на дисперсията, причинена от регресия, т.е. факторът, който се изследва, до дисперсията, причинена от случайни причини, т.е. остатъчна дисперсия:

В разширена форма формулата за този критерий може да бъде представена по следния начин:

където n е броят на наблюденията, т.е. брой нива на редове,

m е броят на параметрите в уравнението, y е действителното ниво на серията,

Подравнено ниво на ред - ниво на среден ред.

Един модел, който е по-успешен от другите, може не винаги да е достатъчно задоволителен. Той може да бъде разпознат като такъв само в случай, че неговият критерий F преминава известната критична граница. Тази граница се установява с помощта на таблици за F-разпределение.

Същност и класификация на показателите.

В статистиката индексът се разбира като относителен показател, който характеризира промяната в величината на явление във времето, пространството или в сравнение с всеки стандарт.

Основният елемент на индексната връзка е индексираната стойност. Под индексирана стойност се разбира стойността на характеристика на статистическа съвкупност, чиято промяна е обект на изследване.

С помощта на индексите се решават три основни задачи:

1) оценка на промените в сложно явление;

2) определяне на влиянието на отделни фактори върху промените в сложно явление;

3) сравнение на величината на дадено явление с величината на миналия период, величината на друга територия, както и със стандарти, планове и прогнози.

Индексите се класифицират по 3 критерия:

2) според степента на обхващане на елементите на съвкупността;

3) според методите за изчисляване на общи индекси.

По съдържаниеиндексирани количества, индексите се разделят на индекси на количествени (обемни) показатели и индекси на качествени показатели. Индекси на количествени показатели - индекси на физическия обем на промишлените продукти, физически обем на продажбите, численост на персонала и др. Индекси на качествени показатели - индекси на цени, разходи, производителност на труда, средна заплата и др.

Според степента на покритие на единиците на съвкупността индексите се разделят на два класа: индивидуални и общи. За да ги характеризираме, въвеждаме следните конвенции, приети в практиката на използване на индексния метод:

р- количество (обем) на всеки продукт във физическо изражение ; r- единична цена; z- себестойност на единица продукция; t— времето, изразходвано за производството на единица продукт (интензивност на труда) ; w- производство на продукция в стойностно изражение за единица време; v- произведена продукция в натурално изражение за единица време; Т— общо прекарано време или брой служители.

За да се разграничи към кой период или обект принадлежат индексираните стойности, обичайно е да се поставят индекси в долния десен ъгъл на съответния символ. Така например в динамичните индекси, като правило, индексът 1 се използва за сравняваните периоди (текущи, отчетни) и за периодите, с които се прави сравнението,

Индивидуални индексислужат за характеризиране на промени в отделни елементи на сложно явление (например промяна в обема на производството на един вид продукт). Те представляват относителни стойности на динамика, изпълнение на задължения, сравнение на индексирани стойности.

Определя се индивидуалният индекс на физическия обем на продуктите

От аналитична гледна точка дадените индивидуални индекси на динамика са подобни на коефициентите (темповете) на нарастване и характеризират изменението на индексираната стойност в текущия период спрямо базисния период, т.е. показват колко пъти се е увеличила (намалила) или какъв процент е растеж (намаляване). Стойностите на индекса се изразяват в коефициенти или проценти.

Общ (съставен) индексотразява промените във всички елементи на едно сложно явление.

Агрегиран индексе основната форма на индекс. Нарича се агрегат, защото неговият числител и знаменател са набор от „агрегати“

Средни индекси, тяхното определение.

Освен агрегатните индекси в статистиката се използва и друга тяхна форма - среднопретеглени индекси. Към тяхното изчисляване се прибягва, когато наличната информация не позволява да се изчисли общият агрегатен индекс. Така, ако няма данни за цените, но има информация за себестойността на продуктите в текущия период и са известни индивидуалните индекси на цените за всеки продукт, тогава общият индекс на цените не може да се определи като агрегиран, но е възможно да го изчислим като средно на отделните. По същия начин, ако количествата на отделните видове произведени продукти не са известни, но са известни индивидуалните индекси и себестойността на продукцията за базовия период, тогава общият индекс на физическия обем на производството може да се определи като среднопретеглена стойност стойност.

Среден индекс -товаиндекс, изчислен като средна стойност на отделните индекси. Агрегираният индекс е основната форма на общ индекс, така че средният индекс трябва да бъде идентичен с агрегирания индекс. При изчисляване на средните индекси се използват две форми на средни стойности: аритметична и хармонична.

Средноаритметичният индекс е идентичен с агрегирания индекс, ако теглата на отделните индекси са членовете на знаменателя на агрегирания индекс. Само в този случай стойността на индекса, изчислена по формулата за средна аритметична стойност, ще бъде равна на съвкупния индекс.

За изчисляване на простата средна геометрична се използва формулата:

Геометрично претеглено

За определяне на среднопретеглената геометрична стойност се използва формулата:

Средните диаметри на колелата, тръбите и средните страни на квадратите се определят с помощта на средния квадрат.

Средноквадратичните стойности се използват за изчисляване на някои показатели, например коефициентът на вариация, който характеризира ритъма на производството. Тук стандартното отклонение от планираната продукция за определен период се определя по следната формула:

Тези стойности точно характеризират изменението на икономическите показатели спрямо базовата им стойност, взета в нейната средна стойност.

Квадратно просто

Средноквадратичният корен се изчислява по формулата:

Квадратно претеглено

Среднопретегленият квадрат е равен на:

22. Абсолютните показатели за вариация включват:

диапазон на вариация

средно линейно отклонение

дисперсия

стандартно отклонение

Диапазон на вариация (r)

Диапазон на вариация- е разликата между максималните и минималните стойности на атрибута

Той показва границите, в които се променя стойността на дадена характеристика в изследваната популация.

Трудовият стаж на петимата кандидати в предишна работа е: 2,3,4,7 и 9 години. Решение: обхват на вариация = 9 - 2 = 7 години.

За обобщено описание на разликите в стойностите на атрибутите, средните показатели за вариация се изчисляват въз основа на отчитане на отклоненията от средната аритметична стойност. Разликата се приема като отклонение от средната стойност.

В този случай, за да се избегне сумата от отклонения на варианти на характеристика от средната стойност да се превърне в нула (нулевото свойство на средната), трябва или да се игнорират знаците на отклонението, т.е. да се вземе тази сума по модул, или повдигнете на квадрат стойностите на отклонението

Средно линейно и квадратично отклонение

Средно линейно отклонениее средноаритметичното на абсолютните отклонения на индивидуалните стойности на характеристика от средната стойност.

Средното линейно отклонение е просто:

Трудовият стаж на петимата кандидати в предишна работа е: 2,3,4,7 и 9 години.

В нашия пример: години;

Отговор: 2,4 години.

Средно линейно отклонение, претегленоважи за групирани данни:

Поради своята конвенция средното линейно отклонение се използва на практика сравнително рядко (по-специално за характеризиране на изпълнението на договорните задължения по отношение на еднаквостта на доставката; при анализа на качеството на продукта, като се вземат предвид технологичните особености на производството).

Стандартно отклонение

Най-съвършената характеристика на вариацията е средното квадратично отклонение, което се нарича стандарт (или стандартно отклонение). Стандартно отклонение() е равен на корен квадратен от средното квадратно отклонение на отделните стойности на средната аритметична характеристика:

Стандартното отклонение е просто:

Претегленото стандартно отклонение се прилага към групирани данни:

Между средноквадратичното и средното линейно отклонение при нормални условия на разпределение възниква следното съотношение: ~ 1,25.

Стандартното отклонение, което е основната абсолютна мярка за вариация, се използва при определяне на ординатните стойности на крива на нормално разпределение, при изчисления, свързани с организацията на наблюдението на извадката и установяване на точността на характеристиките на извадката, както и при оценката на граници на вариация на характеристика в хомогенна популация.

Стойностите, получени от опит, неизбежно съдържат грешки поради голямо разнообразие от причини. Сред тях трябва да се прави разлика между систематични и случайни грешки. Систематичните грешки се причиняват от причини, които действат по много специфичен начин и винаги могат да бъдат елиминирани или взети под внимание съвсем точно. Случайните грешки се причиняват от много голям брой индивидуални причини, които не могат да бъдат точно отчетени и действат по различни начини при всяко отделно измерване. Тези грешки не могат да бъдат напълно изключени; те могат да се вземат предвид само средно, за което е необходимо да се познават законите, които управляват случайните грешки.

Измерваната величина ще означаваме с A, а случайната грешка при измерването с x. Тъй като грешката x може да приеме всякаква стойност, тя е непрекъсната случайна променлива, която се характеризира напълно със своя закон на разпределение.

Най-простият и най-точно отразяващ реалността (в преобладаващата част от случаите) е т.нар нормален закон за разпределение на грешката:

Този закон на разпределение може да бъде получен от различни теоретични предпоставки, по-специално от изискването, че най-вероятната стойност на неизвестно количество, за което серия от стойности със същата степен на точност се получава чрез пряко измерване, е средното аритметично на тези ценности. Извиква се количество 2 дисперсияот този нормален закон.

Средно аритметично

Определяне на дисперсията от експериментални данни. Ако за всяка стойност A, n стойности a i са получени чрез директно измерване със същата степен на точност и ако грешките на стойността A са предмет на нормалния закон за разпределение, тогава най-вероятната стойност на A ще бъде средно аритметично:

а - средно аритметично,

a i - измерена стойност на i-та стъпка.

Отклонение на наблюдаваната стойност (за всяко наблюдение) a i на стойност A от средно аритметично: a i - a.

За да определите дисперсията на нормалния закон за разпределение на грешката в този случай, използвайте формулата:

2 - дисперсия,
а - средно аритметично,
n - брой измервания на параметрите,

Стандартно отклонение

Стандартно отклонениепоказва абсолютното отклонение на измерените стойности от средно аритметично. В съответствие с формулата за мярка за точност на линейна комбинация средна квадратична грешкаСредната аритметична стойност се определя по формулата:

, Къде

а - средно аритметично,
n - брой измервания на параметрите,
a i - измерена стойност на i-та стъпка.

Коефициент на вариация

Коефициент на вариацияхарактеризира относителната мярка за отклонение на измерените стойности от средно аритметично:

, Къде

V - коефициент на вариация,
- стандартно отклонение,
a - средно аритметично.

Колкото по-висока е стойността коефициент на вариациятолкова по-голямо е разсейването и по-малката равномерност на изследваните стойности. Ако коефициент на вариацияпо-малко от 10%, тогава променливостта на серията вариации се счита за незначителна, от 10% до 20% се счита за средна, повече от 20% и по-малко от 33% се счита за значима и ако коефициент на вариациянадвишава 33%, това показва разнородността на информацията и необходимостта от изключване на най-големите и най-малките стойности.

Средно линейно отклонение

Един от показателите за обхвата и интензивността на вариацията е средно линейно отклонение(среден модул на отклонение) от средноаритметичното. Средно линейно отклонениеизчислено по формулата:

, Къде

_
a - средно линейно отклонение,
а - средно аритметично,
n - брой измервания на параметрите,
a i - измерена стойност на i-та стъпка.

За да се провери съответствието на изследваните стойности със закона за нормалното разпределение, се използва връзката индикатор за асиметрияна неговата грешка и отношение индикатор за ексцесна неговата грешка.

Индикатор за асиметрия

Индикатор за асиметрия(A) и неговата грешка (m a) се изчислява по следните формули:

, Къде

A - индикатор за асиметрия,
- стандартно отклонение,
а - средно аритметично,
n - брой измервания на параметрите,
a i - измерена стойност на i-та стъпка.

Индикатор за ексцесия

Индикатор за ексцесия(E) и неговата грешка (m e) се изчислява по следните формули:

, Къде