تعريف. موضةيسمى M 0 لمتغير عشوائي منفصل قيمته الأكثر احتمالا. بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر ، يكون الوضع هو قيمة المتغير العشوائي الذي تكون عنده كثافة التوزيع حدًا أقصى.

إذا كان مضلع التوزيع لمتغير عشوائي منفصل أو منحنى التوزيع لمتغير عشوائي مستمر له حد أقصى أو أكثر ، فإن هذا التوزيع يسمى ثنائي النسقأو متعدد الوسائط.

إذا كان للتوزيع حد أدنى ولكن ليس حدًا أقصى ، فسيتم استدعاؤه مضاد.

تعريف. الوسيط M D لمتغير عشوائي X هي قيمته ، بالنسبة إلى احتمال الحصول على قيمة أكبر أو أصغر للمتغير العشوائي.

هندسيًا ، الوسيط هو حدود النقطة التي تنقسم عندها المنطقة التي يحدها منحنى التوزيع إلى النصف.

لاحظ أنه إذا كان التوزيع أحادي النسق ، فإن الوضع والوسيط يتطابقان مع التوقع الرياضي.

تعريف. لحظة الانطلاقترتيب ك المتغير العشوائي X يسمى التوقع الرياضي لـ X ك .

لمتغير عشوائي منفصل:.

.

اللحظة الأولية من الدرجة الأولى تساوي التوقع الرياضي.

تعريف. النقطة المركزيةترتيب كيسمى المتغير العشوائي X التوقع الرياضي للقيمة

لمتغير عشوائي منفصل: .

لمتغير عشوائي مستمر: .

دائمًا ما تكون اللحظة المركزية من الدرجة الأولى صفرًا ، بينما تكون اللحظة المركزية من الدرجة الثانية مساوية للتشتت. تميز اللحظة المركزية من الترتيب الثالث عدم تناسق التوزيع.

تعريف. يتم استدعاء نسبة اللحظة المركزية من الترتيب الثالث إلى الانحراف المعياري في الدرجة الثالثة معامل عدم التناسق.

تعريف. لتوصيف الحدة والتسطيح للتوزيع ، تسمى الكمية التفرطح.

بالإضافة إلى الكميات المدروسة ، تُستخدم أيضًا ما يسمى باللحظات المطلقة:

لحظة البداية المطلقة:.

لحظة مركزية مطلقة: .

كمية يتوافق مع مستوى معين من الاحتمالية ص، يطلقون على هذه القيمة التي تأخذ فيها دالة التوزيع قيمة مساوية ص، بمعنى آخر. أين ص- مستوى معين من الاحتمال.

بعبارات أخرى كمية هناك قيمة للمتغير العشوائي الذي

احتمالا ص، كنسبة مئوية ، يعطي اسم الكمية المقابلة ، على سبيل المثال ، يسمى 40 ٪ مقدر.

20. التوقع الرياضي والتباين في عدد حدوث حدث في تجارب مستقلة.

تعريف. توقع رياضييسمى المتغير العشوائي المستمر X ، الذي تنتمي قيمه المحتملة إلى المقطع ، تكاملاً محددًا

إذا تم أخذ القيم المحتملة للمتغير العشوائي في الاعتبار على محور الرقم بالكامل ، فسيتم العثور على التوقع الرياضي بواسطة الصيغة:

في هذه الحالة ، بالطبع ، من المفترض أن التكامل غير الصحيح يتقارب.

توقع رياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب قيمه المحتملة والاحتمالات المقابلة لها:

م(X) =X 1 ص 1 +X 2 ص 2 + … +X ص ص ص . (7.1)

إذا كان عدد القيم الممكنة لمتغير عشوائي لا نهائي ، إذن
إذا كانت السلسلة الناتجة تتقارب تمامًا.

ملاحظة 1.يسمى التوقع الرياضي أحيانًا متوسط ​​الوزن، نظرًا لأنه يساوي تقريبًا المتوسط ​​الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي لعدد كبير من التجارب.

ملاحظة 2.من تعريف التوقع الرياضي ، يترتب على ذلك أن قيمتها لا تقل عن أصغر قيمة ممكنة لمتغير عشوائي وليست أكبر من القيمة الأكبر.

ملاحظة 3.التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل هو غير عشوائي(مستمر. سنرى لاحقًا أن الأمر نفسه ينطبق على المتغيرات العشوائية المستمرة.

خصائص التوقع الرياضي.

التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه:

م(من) =من.(7.2)

دليل - إثبات. إذا نظرنا منكمتغير عشوائي منفصل يأخذ قيمة واحدة فقط منمع الاحتمال ص= 1 إذن م(من) =من 1 = من.

يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع:

م(CX) =سم(X). (7.3)

دليل - إثبات. إذا كان المتغير العشوائي Xمن خلال سلسلة التوزيع

ثم سلسلة التوزيع لـ CXيشبه:

ثم م(CX) =Cx 1 ص 1 +Cx 2 ص 2 + … +Cx ص ص ص =من(X 1 ص 1 +X 2 ص 2 + … +X ص ص ص) =سم(X).

توقع رياضييسمى المتغير العشوائي المستمر

(7.13)

ملاحظة 1.يظل التعريف العام للتباين كما هو بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر كما هو بالنسبة للمتغير المنفصل (التعريف 7.5) ، وصيغة حسابه هي:

(7.14)

يتم حساب الانحراف المعياري بالصيغة (7.12).

ملاحظة 2.إذا كانت جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي مستمر لا تتجاوز الفاصل الزمني [ أ, ب] ، ثم يتم حساب التكاملات في الصيغتين (7.13) و (7.14) ضمن هذين الحدين.

نظرية. التباين في عدد تكرارات حدث في التجارب المستقلة يساوي ناتج عدد المحاولات واحتمال حدوث حدث وعدم حدوثه في تجربة واحدة:.

دليل - إثبات. اسمحوا أن يكون عدد تكرارات الحدث في المحاكمات المستقلة. يساوي مجموع تكرارات الحدث في كل تجربة:. بما أن التجارب مستقلة ، فإن المتغيرات العشوائية مستقلة ، لذلك.

كما هو موضح أعلاه ، و.

ثم .

في هذه الحالة ، كما ذكرنا سابقًا ، يكون الانحراف المعياري هو.

58. معاملات عدم التناسق والتفرطح.

توزيع اللحظات المركزية

لمزيد من الدراسة لطبيعة التباين ، يتم استخدام متوسط ​​قيم درجات مختلفة من الانحرافات للقيم الفردية للسمة عن قيمتها الوسطية الحسابية. تسمى هذه المؤشرات لحظات مركزية توزيع الترتيب المقابل للقوة التي يتم رفع الانحرافات إليها ، أو مجرد لحظات.

مؤشرات شكل التوزيع

انحراف التوزيع

يعتمد مؤشر بيرسون على درجة عدم التناسق في الجزء الأوسط من سلسلة التوزيع ، ويعتمد مؤشر عدم التناسق ، بناءً على لحظة الترتيب الثالث ، على القيم القصوى للسمة.

تقييم أهمية عدم التماثل

لتقييم أهمية عدم التناسق ، يتم حساب مؤشر متوسط ​​الخطأ التربيعي لمعامل عدم التماثل

إذا كانت النسبة لها قيمة أكبر من 2 ، وهذا يشير إلى الطبيعة المهمة لعدم التماثل

تفرطح التوزيع

مؤشر التفرطح
يمثل انحراف الجزء العلوي من التوزيع التجريبي لأعلى أو لأسفل ("الانحدار") من أعلى منحنى التوزيع الطبيعي ، ولكن! يمكن أن يبدو الرسم البياني للتوزيع حادًا بشكل تعسفي اعتمادًا على قوة تباين السمة: فكلما كان التباين أضعف ، كان منحنى التوزيع أكثر انحدارًا عند مقياس معين. ناهيك عن حقيقة أنه من خلال تغيير المقاييس على طول الإحداثي وعلى طول الإحداثي ، يمكن إجراء أي توزيع بشكل مصطنع "حاد" و "مائل". لإظهار ماهية تفرطح التوزيع وتفسيره بشكل صحيح ، تحتاج إلى مقارنة سلسلة بنفس قوة التباين (نفس قيمة σ) ومؤشرات تفرطح مختلفة. من أجل عدم الخلط بين التفرطح والانحراف ، يجب أن تكون جميع الصفوف المقارنة متناظرة. تظهر هذه المقارنة في الشكل.

نظرًا لأن تفرطح التوزيع الطبيعي هو 3 ، يتم حساب التفرطح باستخدام الصيغة

تقدير التفرطح المادي

لتقييم أهمية التفرطح ، يتم حساب مؤشر جذر متوسط ​​الخطأ التربيعي

إذا كانت النسبة لها قيمة أكبر من 3 ، وهذا يشير إلى الطبيعة المهمة للتفرطح

معامل عدم التماثليُظهر "انحراف" سلسلة التوزيع بالنسبة إلى المركز:

أين هي اللحظة المركزية من الترتيب الثالث ؛

هو مكعب الانحراف المعياري.

بالنسبة لطريقة الحساب هذه: إذا كان التوزيع في الجانب الأيمن (انحراف إيجابي) ، إذا كان التوزيع في الجانب الأيسر (انحراف سلبي)

بالإضافة إلى اللحظة المركزية ، يمكن حساب عدم التناسق باستخدام الوضع أو الوسيط:

أو ، (6.69)

بالنسبة لطريقة الحساب هذه: إذا كان التوزيع في الجانب الأيمن (عدم تناسق إيجابي) ، إذا كان التوزيع في الجانب الأيسر (عدم تناسق سلبي) (الشكل 4).

أرز. 4. التوزيعات غير المتماثلة

يتم استدعاء القيمة التي تظهر "برودة" التوزيع معامل التفرطح:

إذا ، في التوزيع هناك حدة - يكون التفرطح موجبًا إذا كان هناك في التوزيع اعلى مستوى - التفرطح سلبي (الشكل 5).

أرز. 5. فائض التوزيع

مثال 5توجد بيانات عن عدد الأغنام في مزارع المنطقة (الجدول 9).

1. متوسط ​​عدد الأغنام لكل مزرعة.

3. الوسيط.

4. مؤشرات الاختلاف

التشتت

· الانحراف المعياري؛

· معامل الاختلاف.

5. مؤشرات عدم التناسق والتفرطح.

المحلول.

1. نظرًا لأن قيمة الخيارات في المجموع تتكرر عدة مرات ، مع تكرار معين ، لحساب متوسط ​​القيمة ، فإننا نستخدم معادلة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

2. هذه السلسلة منفصلة ، لذا سيكون الوضع هو البديل بأعلى تردد -.

3. هذه السلسلة زوجية ، في هذه الحالة يتم إيجاد الوسيط لسلسلة منفصلة بواسطة الصيغة:

أي أن نصف المزارع في مجتمع الدراسة بها عدد من الأغنام يصل إلى 4.75 ألف رأس. ونصف فوق هذا الرقم.

4. لحساب مؤشرات التباين ، سنقوم بتجميع الجدول 10 ، الذي نحسب فيه الانحرافات ، ومربعات هذه الانحرافات ، ويمكن إجراء الحساب باستخدام معادلات حسابية بسيطة ومرجحة (في المثال ، نستخدم طريقة بسيطة واحد):

الجدول 10

دعنا نحسب التباين:

لنحسب الانحراف المعياري:

احسب معامل الاختلاف:

5. لحساب مؤشرات عدم التناسق والتفرطح ، سنبني الجدول 11 ، الذي نحسب فيه ،

الجدول 11

تخالف التوزيع هو:

وهذا يعني أنه يتم ملاحظة عدم تناسق الجانب الأيسر ، وهو ما يتم تأكيده أيضًا عند الحساب وفقًا للصيغة:

في هذه الحالة ، والتي تشير أيضًا لهذه الصيغة إلى عدم تناسق في الجانب الأيسر

تفرطح التوزيع هو:

في حالتنا ، يكون التفرطح سلبيًا ، أي لوحظ وجود قمة مسطحة.

مثال 6. بالنسبة للاقتصاد ، يتم تقديم بيانات حول أجور العمال (الجدول 12)

المحلول.

بالنسبة لسلسلة متغيرة الفاصل الزمني ، يتم حساب الوضع بالصيغة:

أين تباعد مشروط - الفاصل الزمني بأعلى تردد ، في حالتنا 3600-3800 ، بتردد

الحد الأدنى للفاصل الزمني الشرطي (3600) ؛

قيمة الفاصل الزمني (200) ؛

تردد الفاصل الذي يسبق الفاصل الزمني (25) ؛

التردد بعد الفاصل الزمني (29) ؛

تردد فاصل مشروط (68).

الجدول 12

بالنسبة لسلسلة تباين الفاصل الزمني ، يتم حساب الوسيط بالصيغة:

أين الفاصل الزمني الوسيط هذا هو الفاصل الذي يكون تردده التراكمي (التراكمي) مساوياً أو يتجاوز نصف مجموع الترددات ، في مثالنا هو 3600-3800.

الحد الأدنى للفاصل الوسيط (3600) ؛

قيمة الفاصل الوسيط (200) ؛

مجموع ترددات السلسلة (154) ؛

مجموع الترددات المتراكمة ، كل الفترات التي تسبق الوسيط (57) ؛

هو تردد الفاصل الوسيط (68).

مثال 7بالنسبة لثلاث مزارع في منطقة واحدة ، توجد معلومات عن كثافة رأس المال للمنتجات (عدد تكاليف الأصول الثابتة لكل 1 روبل من الإنتاج): I - 1.29 روبل ، II - 1.32 روبل ، III - 1.27 روبل. من الضروري حساب متوسط ​​كثافة رأس المال.

المحلول. نظرًا لأن كثافة رأس المال هي مؤشر عكسي لدوران رأس المال ، فإننا نستخدم صيغة المتوسط ​​التوافقي البسيط.

المثال 8بالنسبة لثلاث مزارع في منطقة واحدة ، توجد بيانات عن إجمالي محصول الحبوب ومتوسط ​​المحصول (الجدول 13).

المحلول. لا يمكن حساب متوسط ​​العائد باستخدام الوسط الحسابي ، حيث لا توجد معلومات عن عدد المساحات المزروعة ، لذلك نستخدم معادلة المتوسط ​​المرجح التوافقي:

المثال 9توجد بيانات عن متوسط ​​محصول البطاطس في قطع الأراضي الفردية وعدد التلال (الجدول 14)

الجدول 14

دعنا نجمع البيانات (الجدول 15):

الجدول 15

تجميع قطع الأرض على أساس "عدد الحشائش"

1. احسب تباين العينة الإجمالي (الجدول 16).

2.6 الانحراف والتفرطح

في الإحصاء الرياضي ، لتحديد الشكل الهندسي للكثافة الاحتمالية لمتغير عشوائي ، يتم استخدام خاصيتين رقميتين مرتبطتين باللحظات المركزية للأوامر الثالثة والرابعة.

التعريف 2.22 عينة الانحرافx 1 , x 2 , …, x نيسمى الرقم الذي يساوي نسبة لحظة أخذ العينات المركزية من الدرجة الثالثة إلى مكعب الانحراف المعياري س:

منذ و ، ثم يتم التعبير عن معامل عدم التماثل من حيث اللحظات المركزية بالصيغة التالية:

ينتج عن هذا صيغة تعبر عن معامل عدم التماثل من حيث اللحظات الأولية:

، مما يسهل العمليات الحسابية.

يتم تقديم الخاصية النظرية المقابلة بمساعدة اللحظات النظرية.

التعريف 2.23 معامل الانحراف لمتغير عشوائيXيسمى رقميساوي نسبة اللحظة المركزية من الدرجة الثالثةلمكعب الانحراف المعياري:

إذا كان للمتغير العشوائي X توزيع متماثل فيما يتعلق بالتوقع الرياضي μ ، فإن انحرافه النظري يكون 0 ، ولكن إذا كان توزيع الاحتمال غير متماثل ، فإن الانحراف يكون غير صفري. تشير القيمة الموجبة لمعامل عدم التناسق إلى أن معظم قيم المتغير العشوائي تقع على يمين التوقع الرياضي ، أي أن الفرع الأيمن لمنحنى كثافة الاحتمال أطول من المتغير الأيسر. تشير القيمة السالبة للانحراف إلى أن الجزء الأطول من المنحنى على اليسار. هذا البيان يوضحه الشكل التالي.

الشكل 2.1 - عدم التماثل الإيجابي والسلبي

التوزيعات

مثال 2.29لنجد معامل عينة عدم التناسق وفقًا لدراسة المواقف العصيبة من المثال 2.28.

باستخدام القيم المحسوبة مسبقًا لحظات العينة المركزية ، نحصل عليها

.

الجولة = 0.07. توضح القيمة غير الصفرية لمعامل الانحراف الموجود انحراف التوزيع بالنسبة للمتوسط. تشير القيمة الموجبة إلى أن الفرع الأطول لمنحنى كثافة الاحتمال يقع على اليمين.

تتميز خصائص توزيع قيم المتغير العشوائي حول قيمته النمطية X mod بالثابت التالي.

التعريف 2.24 أخذ العينات التفرطحx 1 , x 2 , …, x نيسمى رقم , مساو

,

أينهي اللحظة المركزية الانتقائية من الدرجة الرابعة ،

س 4 - الدرجة الرابعة من المعيارالانحرافاتس.

المفهوم النظري للتفرطح مشابه لأخذ العينات.

التعريف 2.25 تفرطح متغير عشوائيXيسمى رقم ه ،مساو

,

أين– اللحظة المركزية النظرية من الدرجة الرابعة ،

–الانحراف المعياري للقوة الرابعة.

قيمة التفرطح هيميز الانحدار النسبي لأعلى منحنى كثافة التوزيع حول النقطة القصوى. إذا كان التفرطح رقمًا موجبًا ، فإن منحنى التوزيع المقابل له ذروة أكثر حدة. التوزيع الذي يحتوي على تفرطح سلبي له سطح أكثر سلاسة وانسيابية. يوضح الشكل التالي الحالات المحتملة.

الشكل 2.2 - التوزيعات ذات القيم الموجبة والصفرية والسلبية للتفرطح

يتم حساب عدم التناسق بواسطة دالة RMSK. الوسيطة الخاصة بها هي الفاصل الزمني للخلايا التي تحتوي على بيانات ، على سبيل المثال ، = SCOS (A1: A100) إذا كانت البيانات موجودة في الفاصل الزمني للخلايا من A1 إلى A100.

يتم حساب التفرطح من خلال وظيفة التفرطح ، التي تكون حجتها عبارة عن بيانات رقمية ، وعادة ما يتم تحديدها كفاصل زمني للخلايا ، على سبيل المثال: = التفرطح (A1: A100).

§2.3. أداة التحليل الإحصاء الوصفي

في تتفوقمن الممكن حساب جميع الخصائص النقطية للعينة مرة واحدة باستخدام أداة التحليل الإحصاء الوصفي، والذي يرد في حزمة التحليل.

الإحصاء الوصفييُنشئ جدولاً للإحصائيات الرئيسية لمجموعة البيانات. سيحتوي هذا الجدول على الخصائص التالية: المتوسط ​​، الخطأ المعياري ، التباين ، الانحراف المعياري ، الوضع ، الوسيط ، نطاق تباين الفاصل الزمني ، القيم القصوى والدنيا ، الانحراف ، التفرطح ، حجم المجتمع ، مجموع كل عناصر المحتوى ، فاصل الثقة (مستوى الموثوقية ). أداة الإحصاء الوصفييبسط التحليل الإحصائي بشكل كبير من خلال التخلص من الحاجة إلى استدعاء كل وظيفة لحساب الخصائص الإحصائية بشكل منفصل.

من أجل الاتصال الإحصاء الوصفي، يتبع:

1) في القائمة خدمةاختر فريق تحليل البيانات;

2) في القائمة أدوات التحليلصندوق المحادثة تحليل البياناتاختر أداة الإحصاء الوصفيو اضغط نعم.

فى الشباك الإحصاء الوصفيمن الضروري:

· في مجموعة ادخال البياناتفي الميدان الفاصل الزمني للإدخالتحديد نطاق الخلايا التي تحتوي على البيانات ؛

إذا كان الصف الأول في نطاق الإدخال يحتوي على عنوان عمود ، ثم في تسميات الحقل في السطر الأوليجب وضع علامة

· في مجموعة خيارات الإخراجتفعيل المفتاح (ضع علامة في المربع) إحصائيات نهائية، إذا كنت بحاجة إلى قائمة كاملة من الخصائص ؛

تفعيل التبديل مستوى الموثوقيةوحدد الثقة في٪ إذا كنت تريد حساب فاصل الثقة (الافتراضي هو 95٪ ثقة). انقر نعم.

نتيجة لذلك ، سيظهر جدول بالقيم المحسوبة للخصائص الإحصائية المذكورة أعلاه. على الفور ، دون إلغاء تحديد هذا الجدول ، قم بتشغيل الأمر شكل® عمودي® عرض الاحتواء التلقائي.

عرض الحوار الإحصاء الوصفي:

مهام عملية

2.1. حساب إحصائيات النقاط الأساسية باستخدام الوظائف القياسية تتفوق

نفس الفولتميتر يقاس 25 ضعف الجهد في قسم الدائرة. نتيجة للتجارب تم الحصول على قيم الجهد التالية بالفولت:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

ابحث عن المتوسط ​​، عينة التباين المصحح ، الانحراف المعياري ، النطاق ، الوضع ، الوسيط. افحص الانحراف عن التوزيع الطبيعي بحساب الانحراف والتفرطح.

لإكمال هذه المهمة ، أكمل الخطوات التالية.

1. اكتب نتائج التجربة في العمود أ.

2. في الخلية B1 ، اكتب "Mean" ، في B2 - "Sample variation" ، في B3 - "الانحراف المعياري" ، في B4 - "تصحيح التباين" ، في B5 - "الانحراف المعياري المصحح" ، في B6 - "الحد الأقصى" ، في B7 - "الحد الأدنى" ، في B8 - "مدى التباين" ، في B9 - "الوضع" ، في B10 - "متوسط" ، في B11 - "عدم التناسق" ، في B12 - "التفرطح".

3. ضبط عرض هذا العمود بـ تطابق تلقائيالعرض.

4. حدد الخلية C1 وانقر فوق الزر مع تسجيل "=" في شريط الصيغة. باستخدام معالجات الوظيفةفي الفئة الإحصاءابحث عن وظيفة AVERAGE ، ثم حدد نطاق الخلايا بالبيانات واضغط نعم.

5. حدد الخلية C2 وانقر فوق علامة = في شريط الصيغة. باستخدام معالجات الوظيفةفي الفئة الإحصاءابحث عن وظيفة VARP ، ثم حدد الفاصل الزمني للخلايا مع البيانات واضغط نعم.

6. افعل نفس الشيء بنفسك لحساب باقي الخصائص.

7. لحساب نطاق التباين في الخلية C8 ، أدخل الصيغة: \ u003d C6-C7.

8. أضف سطرًا واحدًا أمام الجدول ، واكتب فيه عناوين الأعمدة المقابلة: "اسم الخصائص" و "القيم العددية".