Bu yazımızda ondalık sayıları çarpma işlemine bakacağız. Genel prensiplerin formülasyonuyla başlayalım, ardından bir ondalık kesirin diğeriyle nasıl çarpılacağını göstereceğiz ve bir sütunla çarpma yöntemini ele alacağız. Tüm tanımlar örneklerle gösterilecektir. Daha sonra ondalık kesirlerin sıradan, karma ve doğal sayılarla (100, 10 vb. dahil) nasıl doğru şekilde çarpılacağına bakacağız.

Bu materyalde sadece pozitif kesirlerle çarpma kurallarına değineceğiz. Negatif sayılarla ilgili durumlar, rasyonel ve reel sayıların çarpılmasıyla ilgili makalelerde ayrı ayrı ele alınmaktadır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hadi formüle edelim genel prensipler Ondalık kesirlerin çarpılmasıyla ilgili problemleri çözerken takip edilmesi gereken.

Başlangıç ​​olarak, ondalık kesirlerin sıradan kesirleri yazmanın özel bir biçiminden başka bir şey olmadığını hatırlayalım; bu nedenle bunları çarpma işlemi, sıradan kesirler için benzer bir işleme indirgenebilir. Bu kural hem sonlu hem de sonsuz kesirler için geçerlidir: Bunları sıradan kesirlere dönüştürdükten sonra, daha önce öğrendiğimiz kurallara göre onlarla çarpmak kolaydır.

Bu tür sorunların nasıl çözüldüğünü görelim.

Örnek 1

1,5 ile 0,75'in çarpımını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle ondalık kesirleri sıradan kesirlerle değiştirelim. 0,75'in 75/100, 1,5'in ise 15/10 olduğunu biliyoruz. Kesri azaltıp tamamını seçebiliriz. Ortaya çıkan sonucu 125 1000 olarak 1, 125 olarak yazacağız.

Cevap: 1 , 125 .

Doğal sayılarda olduğu gibi sütun sayma yöntemini kullanabiliriz.

Örnek 2

Bir periyodik kesir olan 0, (3)'ü başka bir 2, (36) ile çarpın.

Öncelikle orijinal kesirleri sıradan kesirlere indirgeyelim. Alacağız:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Dolayısıyla 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33.

Ortaya çıkan ortak kesir yol açabilir ondalık biçim, bir sütunda payın paydaya bölünmesi:

Cevap: 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

Problem ifadesinde sonsuz periyodik olmayan kesirler varsa, o zaman bunların ön yuvarlamasını yapmamız gerekir (bunu nasıl yapacağınızı unuttuysanız sayıları yuvarlama hakkındaki makaleye bakın). Bundan sonra, zaten yuvarlatılmış ondalık kesirlerle çarpma işlemini gerçekleştirebilirsiniz. Bir örnek verelim.

Örnek 3

5, 382... ile 0, 2'nin çarpımını hesaplayın.

Çözüm

Problemimizde öncelikle yüzde birlere yuvarlanması gereken sonsuz bir kesir var. 5,382... ≈ 5,38 olduğu ortaya çıktı. İkinci faktörü yüzde birlere yuvarlamanın bir anlamı yok. Artık gerekli çarpımı hesaplayabilir ve cevabı yazabilirsiniz: 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076.

Cevap: 5,382…·0,2 ≈ 1,076.

Sütun sayma yöntemi yalnızca doğal sayılar için kullanılamaz. Eğer ondalık sayılarımız varsa onları da aynı şekilde çarpabiliriz. Kuralı türetelim:

Tanım 1

Ondalık kesirlerin sütunla çarpılması 2 adımda gerçekleştirilir:

1. Virgüllere dikkat etmeden sütun çarpımını yapın.

2. Her iki faktörün de ondalık basamakları birlikte içermesi nedeniyle, sağ taraftaki basamaklarla ayırarak son sayıya bir ondalık nokta yerleştirin. Sonuç bunun için yeterli sayı değilse sola sıfır ekleyin.

Pratikte bu tür hesaplamaların örneklerine bakalım.

Örnek 4

63, 37 ve 0, 12 sütunlarındaki ondalık sayıları çarpın.

Çözüm

Öncelikle ondalık noktaları göz ardı ederek sayıları çarpalım.

Şimdi virgülü doğru yere koymamız gerekiyor. Her iki faktördeki ondalık sayıların toplamı 4 olduğu için sağ taraftaki dört rakamı ayıracaktır. Sıfır eklemeye gerek yok çünkü yeterli işaret:

Cevap: 3,37 0,12 = 7,6044.

Örnek 5

3,2601 çarpı 0,0254'ün ne kadar olduğunu hesaplayın.

Çözüm

Virgülsüz sayıyoruz. Aşağıdaki sayıyı alıyoruz:

Orijinal kesirlerin toplamında 8 ondalık basamak olduğundan, sağ tarafa 8 rakamı ayıran virgül koyacağız. Ancak sonucumuzun yalnızca yedi rakamı var ve ek sıfırlar olmadan yapamayız:

Cevap: 3,2601 · 0,0254 = 0,08280654.

Ondalık sayı 0,001, 0,01, 01 vb. ile nasıl çarpılır?

Ondalık sayıları bu tür sayılarla çarpmak yaygındır, bu nedenle bunu hızlı ve doğru bir şekilde yapabilmek önemlidir. Bu çarpma işleminde kullanacağımız özel bir kuralı yazalım:

Tanım 2

Bir ondalık sayıyı 0, 1, 0, 01 vb. ile çarparsak, orijinal kesre benzer bir sayı elde ederiz ve virgül sola kaydırılır. gerekli miktar işaretler. Aktarılacak yeterli numara yoksa sola sıfır eklemeniz gerekir.

Yani 45, 34'ü 0, 1 ile çarpmak için onu orijinaline aktarmanız gerekir. ondalık bir karakterle virgül. 4.534'e ulaşacağız.

Örnek 6

9,4'ü 0,0001 ile çarpın.

Çözüm

İkinci faktördeki sıfır sayısına göre virgülünü dört basamak kaydırmamız gerekecek ama birinci faktördeki sayılar bunun için yeterli değil. Gerekli sıfırları atarız ve 9,4 · 0,0001 = 0,00094 sonucunu elde ederiz.

Cevap: 0 , 00094 .

Sonsuz ondalık sayılar için aynı kuralı kullanırız. Yani, örneğin, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) veya 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... vesaire.

Böyle bir çarpma işlemi, iki ondalık kesirin çarpılması eyleminden farklı değildir. Sorun cümlesi son ondalık kesir içeriyorsa sütun çarpma yöntemini kullanmak uygundur. Bu durumda bir önceki paragrafta bahsettiğimiz tüm kuralları dikkate almak gerekir.

Örnek 7

15 · 2,27'nin ne kadar olduğunu hesaplayın.

Çözüm

Orijinal sayıları bir sütunla çarpıp iki virgülle ayıralım.

Cevap: 15 · 2,27 = 34,05.

Periyodik ondalık çarpma işlemini şu şekilde yaparsak: doğal sayı, öncelikle ondalık kesri sıradan bir kesirle değiştirmelisiniz.

Örnek 8

0, (42) ve 22'nin çarpımını hesaplayın.

Periyodik kesri sıradan forma indirgeyelim.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Periyodik ondalık kesir şeklinde nihai sonucu 9, (3) olarak yazabiliriz.

Cevap: 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Sonsuz kesirlerin hesaplamalardan önce yuvarlanması gerekir.

Örnek 9

4 · 2, 145...'in ne kadar olacağını hesaplayın.

Çözüm

Orijinal sonsuz ondalık kesri yüzde birlere yuvarlayalım. Bundan sonra bir doğal sayıyı ve son ondalık kesri çarpmaya geliyoruz:

4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60.

Cevap: 4 · 2, 145… ≈ 8, 60.

Bir ondalık sayı 1000, 100, 10 vb. ile nasıl çarpılır?

Ondalık kesirlerin 10, 100 vb. ile çarpılması problemlerde sıklıkla karşılaşılan bir durumdur, bu nedenle bu durumu ayrıca analiz edeceğiz. Çarpmanın temel kuralı şudur:

Tanım 3

Ondalık kesri 1000, 100, 10 vb. ile çarpmak için çarpana bağlı olarak virgülünü 3, 2, 1 hanelerine taşımanız ve soldaki fazladan sıfırları atmanız gerekir. Virgülü taşıyacak kadar sayı yoksa sağa ihtiyacımız kadar sıfır ekliyoruz.

Bunun tam olarak nasıl yapılacağını bir örnekle gösterelim.

Örnek 10

100 ile 0,0783'ü çarpın.

Çözüm

Bunun için virgülü 2 basamak sağa kaydırmamız gerekiyor. Sonumuz 007, 83 olacak. Soldaki sıfırlar atılıp sonuç 7, 38 olarak yazılabilir.

Cevap: 0,0783 100 = 7,83.

Örnek 11

0,02'yi 10 bin ile çarpın.

Çözüm: Virgülün dört hanesini sağa kaydıracağız. Orijinal ondalık kesirde bunun için yeterli işaretimiz yok, bu yüzden sıfır eklememiz gerekecek. Bu durumda üç 0 yeterli olacaktır. Sonuç 0, 02000, virgülü hareket ettirin ve 00200, 0'ı elde edin. Soldaki sıfırları dikkate almazsak cevabı 200 olarak yazabiliriz.

Cevap: 0,02 · 10.000 = 200.

Verdiğimiz kural sonsuz ondalık kesirlerde de aynı şekilde çalışacaktır ancak burada son kesrin periyoduna çok dikkat etmelisiniz çünkü bunda hata yapmak kolaydır.

Örnek 12

5,32 (672) çarpı 1000'in çarpımını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle periyodik kesri 5, 32672672672... olarak yazacağız, dolayısıyla hata yapma olasılığı daha az olacaktır. Bundan sonra virgülü gerekli sayıda karaktere (üç) taşıyabiliriz. Sonuç 5326, 726726... Noktayı parantez içine alıp cevabı 5,326, (726) olarak yazalım.

Cevap: 5, 32 (672) · 1.000 = 5.326, (726) .

Sorun koşulları on, yüz, bin vb. ile çarpılması gereken sonsuz periyodik olmayan kesirler içeriyorsa, çarpmadan önce bunları yuvarlamayı unutmayın.

Bu tür çarpma işlemini gerçekleştirmek için, ondalık kesri sıradan bir kesir olarak temsil etmeniz ve ardından zaten bilinen kurallara göre ilerlemeniz gerekir.

Örnek 13

0, 4'ü 3 5 6 ile çarpın

Çözüm

Öncelikle ondalık kesri sıradan kesire dönüştürelim. Elimizde: 0, 4 = 4 10 = 2 5.

Cevabı karışık sayı şeklinde aldık. Bunu periyodik kesir 1, 5 (3) olarak yazabilirsiniz.

Cevap: 1 , 5 (3) .

Hesaplamaya sonsuz periyodik olmayan bir kesir dahilse, bunu belirli bir sayıya yuvarlamanız ve sonra çarpmanız gerekir.

Örnek 14

3, 5678 çarpımını hesaplayın. . . · 2 3

Çözüm

İkinci faktörü 2 3 = 0, 6666… olarak gösterebiliriz. Daha sonra her iki faktörü de bininci basamağa yuvarlayın. Bundan sonra, son iki ondalık kesir olan 3,568 ve 0,667'nin çarpımını hesaplamamız gerekecek. Bir sütunla sayalım ve cevabı alalım:

Orijinal sayıları bu rakama yuvarladığımız için nihai sonucun binde birlere yuvarlanması gerekir. 2,379856 ≈ 2,380 olduğu ortaya çıktı.

Cevap: 3, 5678. . . · 2 3 ≈ 2, 380

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Ondalık sayıların nasıl çarpılacağını anlamak için belirli örneklere bakalım.

Ondalık sayıları çarpma kuralı

1) Virgüllere dikkat etmeden çarpın.

2) Sonuç olarak, her iki faktörde de virgülden sonra ne kadar rakam varsa, virgülden sonra da o kadar rakam ayırıyoruz.

Örnekler.

Ondalık kesirlerin çarpımını bulun:

Ondalık kesirleri çarpmak için virgüllere dikkat etmeden çarpma işlemi yaparız. Yani 6,8 ile 3,4'ü değil, 68 ve 34'ü çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki faktörde de virgülden sonraki rakam kadar rakamı virgülden sonra ayırıyoruz. İlk faktörde virgülden sonra bir rakam var, ikincisinde de bir rakam var. Toplamda virgülden sonra iki sayıyı ayırdık. Böylece son cevabı bulduk: 6.8∙3.4=23.12.

Ondalık sayıları, virgülü dikkate almadan çarpıyoruz. Yani aslında 36,85'i 1,14 ile çarpmak yerine 3685'i 14 ile çarpıyoruz. 51590 elde ediyoruz. Şimdi bu sonuçta her iki çarpanda ne kadar rakam varsa o kadar rakamı virgülle ayırmamız gerekiyor. İlk sayının virgülden sonra iki basamağı vardır, ikincisinde ise bir basamak vardır. Toplamda üç rakamı virgülle ayırıyoruz. Girişin sonunda virgülden sonra sıfır olduğu için cevapta yazmıyoruz: 36.85∙1.4=51.59.

Bu ondalık sayıları çarpmak için virgüllere dikkat etmeden sayıları çarpalım. Yani 2315 ve 7 doğal sayılarını çarpıyoruz. 16205 elde ediyoruz. Bu sayıda, virgülden sonraki dört rakamı - her iki faktörde birlikte olduğu kadar (her birinde iki tane) ayırmanız gerekir. Son cevap: 23,15∙0,07=1,6205.

Ondalık kesrin bir doğal sayıyla çarpılması da aynı şekilde yapılır. Sayıları virgüllere dikkat etmeden çarpıyoruz yani 75'i 16 ile çarpıyoruz. Ortaya çıkan sonuç, her iki faktörde olduğu gibi virgülden sonra aynı sayıda işaret içermelidir - bir. Böylece 75∙1,6=120,0=120 olur.

Virgüllere dikkat etmediğimiz için ondalık kesirleri çarpmaya doğal sayıları çarparak başlıyoruz. Bundan sonra her iki faktörde bir arada ne kadar rakam varsa virgülden sonra ayırıyoruz. İlk sayının iki ondalık basamağı vardır, ikincisinde de iki basamak vardır. Toplamda sonuç, virgülden sonra dört basamak olmalıdır: 4,72∙5,04=23,7888.

Ondalık kesirlerle bir sonraki eylemi incelemeye geçelim, şimdi kapsamlı bir göz atacağız ondalık sayıları çarpma. Öncelikle ondalık sayıları çarpmanın genel ilkelerini tartışalım. Bundan sonra, ondalık kesirin ondalık kesirle çarpılmasına geçeceğiz, ondalık kesirlerin bir sütunla nasıl çarpılacağını göstereceğiz ve örneklerin çözümlerini ele alacağız. Daha sonra, ondalık kesirleri doğal sayılarla, özellikle 10, 100 vb. ile çarpmaya bakacağız. Son olarak ondalık sayıları kesirlerle ve karışık sayılarla çarpmaktan bahsedelim.

Hemen diyelim ki bu yazıda sadece pozitif ondalık kesirlerin çarpılmasından bahsedeceğiz (pozitif ve negatif sayılara bakın). Geri kalan durumlar rasyonel sayıların çarpımı ve makalelerinde tartışılmıştır. gerçek sayıları çarpma.

Sayfada gezinme.

Ondalık sayıları çarpmanın genel ilkeleri

Ondalık sayılarla çarpma işleminde uyulması gereken genel ilkeleri tartışalım.

Sonlu ondalık sayılar ve sonsuz periyodik kesirler, ortak kesirlerin ondalık biçimi olduğundan, bu tür ondalık sayıların çarpılması, esasen ortak kesirlerin çarpılması anlamına gelir. Başka bir deyişle, sonlu ondalık sayıları çarpma, sonlu ve periyodik ondalık kesirlerin çarpılması ve ayrıca periyodik ondalık sayıları çarpma ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürdükten sonra sıradan kesirleri çarpmaya gelir.

Belirtilen ondalık kesirlerin çarpılması ilkesinin uygulama örneklerine bakalım.

Örnek.

1,5 ile 0,75 arasındaki ondalık sayıları çarpın.

Çözüm.

Çarpan ondalık kesirleri karşılık gelen normal kesirlerle değiştirelim. 1,5=15/10 ve 0,75=75/100 olduğundan . Kesri azaltabilir, ardından tüm kısmı uygunsuz kesirden ayırabilirsiniz ve elde edilen sıradan kesir 1 125/1 000'i 1,125 ondalık kesir olarak yazmak daha uygundur.

Cevap:

1,5·0,75=1,125.

Bir sütundaki son ondalık kesirleri çarpmanın uygun olduğuna dikkat edilmelidir; ondalık kesirleri çarpmanın bu yöntemi hakkında konuşacağız.

Periyodik ondalık kesirlerin çarpılmasına ilişkin bir örneğe bakalım.

Örnek.

Periyodik ondalık kesirlerin 0,(3) ve 2,(36) çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Periyodik ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürelim:

Daha sonra . Ortaya çıkan sıradan kesri ondalık kesire dönüştürebilirsiniz:

Cevap:

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Çarpılmış ondalık kesirler arasında sonsuz periyodik olmayan kesirler varsa, sonlu ve periyodik olanlar dahil tüm çarpılmış kesirler belirli bir rakama yuvarlanmalıdır (bkz. sayıları yuvarlama) ve yuvarlamadan sonra elde edilen son ondalık kesirleri çarpın.

Örnek.

5,382... ve 0,2 ondalık sayılarını çarpın.

Çözüm.

Öncelikle sonsuz periyodik olmayan bir ondalık kesri yuvarlayalım, yuvarlama yüzde birlere de yapılabilir, 5.382...≈5.38 elde ederiz. Son ondalık kesir olan 0,2'nin en yakın yüzlüğe yuvarlanmasına gerek yoktur. Böylece, 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Geriye son ondalık kesirlerin çarpımını hesaplamak kalıyor: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Cevap:

5,382…·0,2≈1,076.

Ondalık kesirleri sütunla çarpma

Sonlu ondalık kesirlerin çarpılması, bir sütundaki doğal sayıların çarpılmasına benzer şekilde bir sütunda yapılabilir.

Hadi formüle edelim ondalık kesirleri sütunla çarpma kuralı. Ondalık kesirleri sütunla çarpmak için şunları yapmanız gerekir:

• virgüllere dikkat etmeden, doğal sayılar sütunuyla çarpmanın tüm kurallarına göre çarpma yapın;
• Ortaya çıkan sayıda, her iki faktörde birlikte ondalık basamaklar olduğu kadar sağdaki basamaklar kadar ondalık noktayla ayırın ve çarpımda yeterli basamak yoksa sola gerekli sayıda sıfır eklenmelidir.

Ondalık kesirleri sütunlarla çarpma örneklerine bakalım.

Örnek.

63,37 ve 0,12 ondalık sayılarını çarpın.

Çözüm.

Bir sütundaki ondalık kesirleri çarpalım. Öncelikle virgülleri göz ardı ederek sayıları çarpıyoruz:

Geriye kalan tek şey ortaya çıkan ürüne virgül eklemek. Faktörlerin toplam dört ondalık basamağı olduğundan (ikisi 3,37'de ve iki tanesi 0,12'de) sağdaki 4 haneyi ayırması gerekiyor. Orada yeterli sayı var, dolayısıyla sola sıfır eklemenize gerek yok. Kaydı bitirelim:

Sonuç olarak 3,37·0,12=7,6044 elde ederiz.

Cevap:

3,37·0,12=7,6044.

Örnek.

3,2601 ve 0,0254 ondalık sayıların çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Virgülleri hesaba katmadan bir sütunda çarpma işlemi gerçekleştirdiğimizde aşağıdaki resmi elde ederiz:

Şimdi çarpılan kesirlerin ondalık basamaklarının toplam sayısı sekiz olduğundan, çarpımda sağdaki 8 rakamı virgülle ayırmanız gerekiyor. Ancak çarpımda sadece 7 rakam var, bu nedenle 8 rakamı virgülle ayırabilmeniz için sola olabildiğince sıfır eklemeniz gerekiyor. Bizim durumumuzda iki sıfır atamamız gerekiyor:

Bu, ondalık kesirlerin sütunla çarpılmasını tamamlar.

Cevap:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Ondalık sayıları 0,1, 0,01 vb. ile çarpmak

Çoğunlukla ondalık kesirleri 0,1, 0,01 vb. ile çarpmanız gerekir. Bu nedenle, ondalık kesirleri bu sayılarla çarpmak için yukarıda tartışılan ondalık kesirleri çarpma ilkelerinden yola çıkarak bir kural formüle etmeniz önerilir.

Bu yüzden, belirli bir ondalık sayının 0,1, 0,01, 0,001 vb. ile çarpılması Gösteriminde virgül sırasıyla 1, 2, 3 vb. basamaklarla sola kaydırılırsa ve virgülün taşınması için yeterli basamak yoksa orijinalden elde edilen bir kesir verir. sola gerekli sayıda sıfır ekleyin.

Örneğin 54,34 ondalık kesirini 0,1 ile çarpmak için 54,34 kesirindeki virgülünü 1 basamak sola kaydırmanız gerekir, bu size 5,434 kesirini yani 54,34·0,1=5,434 kesirini verecektir. Başka bir örnek verelim. Ondalık kesri 9,3 ile 0,0001 ile çarpın. Bunu yapmak için, 9.3 ile çarpılmış ondalık kesirde virgülünü 4 basamak sola kaydırmamız gerekir, ancak 9.3 kesirinin gösterimi o kadar çok basamak içermez. Dolayısıyla 9.3 kesirinin soluna o kadar çok sıfır atamamız gerekiyor ki virgülünü rahatlıkla 4 basamağa taşıyabiliriz, 9.3·0.0001=0.00093 elde ederiz.

Ondalık kesirleri 0,1, 0,01, ... ile çarpmak için belirtilen kuralın sonsuz ondalık kesirler için de geçerli olduğunu unutmayın. Örneğin, 0.(18)·0,01=0,00(18) veya 93,938…·0,1=9,3938… .

Bir ondalık sayıyı bir doğal sayıyla çarpmak

Özünde ondalık sayıları doğal sayılarla çarpma ondalık sayıyı ondalık sayıyla çarpmaktan hiçbir farkı yoktur.

Son ondalık kesri bir sütundaki doğal bir sayıyla çarpmak en uygunudur; bu durumda, önceki paragraflardan birinde tartışılan bir sütundaki ondalık kesirleri çarpma kurallarına uymalısınız.

Örnek.

15·2.27 çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Bir doğal sayıyı bir sütundaki ondalık kesirle çarpalım:

Cevap:

15.2.27=34.05.

Periyodik bir ondalık kesiri doğal bir sayıyla çarparken, periyodik kesrin sıradan bir kesirle değiştirilmesi gerekir.

Örnek.

Ondalık kesir 0.(42)'yi doğal sayı 22 ile çarpın.

Çözüm.

Öncelikle periyodik ondalık kesri sıradan bir kesire dönüştürelim:

Şimdi çarpma işlemini yapalım: . Ondalık sayı olarak bu sonuç 9,(3) .

Cevap:

0,(42)·22=9,(3) .

Ve sonsuz, periyodik olmayan bir ondalık kesiri doğal bir sayıyla çarparken, önce yuvarlama yapmanız gerekir.

Örnek.

4·2,145… ile çarpın.

Çözüm.

Orijinal sonsuz ondalık kesri yüzde birlere yuvarladıktan sonra, bir doğal sayı ile son ondalık kesrin çarpımına ulaşırız. Elimizde 4·2.145…≈4·2.15=8.60 var.

Cevap:

4·2,145…≈8,60.

Bir ondalık sayıyı 10, 100, ile çarpmak...

Çoğu zaman ondalık kesirleri 10, 100 ile çarpmanız gerekir ... Bu nedenle, bu durumlar üzerinde ayrıntılı olarak durmanız tavsiye edilir.

Haydi seslendirelim ondalık kesirleri 10, 100, 1000 vb. ile çarpma kuralı. Ondalık kesri 10, 100, ... ile çarparken, ondalık noktayı sırasıyla sağa 1, 2, 3, ... haneye taşımanız ve soldaki fazladan sıfırları atmanız gerekir; çarpılacak kesrin gösteriminde ondalık noktayı hareket ettirmek için yeterli basamak yoksa, o zaman gerekli sayıda sıfırı sağa eklemeniz gerekir.

Örnek.

0,0783 ondalık kesirini 100 ile çarpın.

Çözüm.

0,0783 kesrini iki basamak sağa kaydırırsak 007,83 elde ederiz. Soldaki iki sıfırı düşürmek 7,38 ondalık kesirini verir. Böylece 0,0783·100=7,83 olur.

Cevap:

0,0783·100=7,83.

Örnek.

Ondalık kesri 0,02 ile 10.000 ile çarpın.

Çözüm.

0,02'yi 10.000 ile çarpmak için virgülü 4 basamak sağa kaydırmamız gerekir. Açıkçası, 0,02 kesirinin gösteriminde virgülün 4 basamak hareket ettirilmesi için yeterli basamak yoktur, bu nedenle virgülün hareket ettirilebilmesi için sağa birkaç sıfır ekleyeceğiz. Örneğimizde üç sıfır eklemek yeterli, elimizde 0,02000 var. Virgülün yerini değiştirdikten sonra 00200.0 girişini alıyoruz. Soldaki sıfırları attığımız zaman, 0,02 ondalık kesirinin 10.000 ile çarpılması sonucu elde edilen 200 doğal sayısına eşit olan 200.0 sayısını elde ederiz.

Ortaokul ve lise derslerinde öğrenciler “Kesirler” konusunu işliyorlardı. Ancak bu kavram öğrenme sürecinde verilenden çok daha geniştir. Günümüzde kesir kavramıyla oldukça sık karşılaşılmaktadır ve herkes herhangi bir ifadeyi, örneğin kesirleri çarpmayı hesaplayamaz.

Kesir nedir?

Tarihsel olarak kesirli sayılar ölçme ihtiyacından doğmuştur. Uygulamada görüldüğü gibi, genellikle bir parçanın uzunluğunu ve dikdörtgen bir dikdörtgenin hacmini belirleme örnekleri vardır.

Başlangıçta öğrencilere pay kavramı tanıtılır. Mesela bir karpuzu 8 parçaya bölerseniz her kişiye karpuzun sekizde biri düşer. Sekizin bu bir kısmına hisse denir.

Herhangi bir değerin ½'sine eşit olan paya yarım denir; ⅓ - üçüncü; ¼ - çeyrek. 5/8, 4/5, 2/4 formundaki kayıtlara sıradan kesirler denir. Ortak bir kesir pay ve paydaya bölünür. Aralarında kesir çubuğu veya kesir çubuğu bulunur. Kesirli çizgi yatay veya eğik bir çizgi olarak çizilebilir. İÇİNDE bu durumda bölme işaretini temsil eder.

Payda, miktarın veya nesnenin kaç eşit parçaya bölündüğünü temsil eder; pay ise kaç adet aynı hissenin alındığıdır. Kesir çizgisinin üstüne pay, altına ise payda yazılır.

Sıradan kesirleri bir koordinat ışınında göstermek en uygunudur. Bir birim parça 4 eşit parçaya bölünüyorsa her parçayı etiketleyin Latince harf, o zaman sonuç mükemmel bir görsel yardımcı olabilir. Yani A noktası tüm birim parçanın 1/4'üne eşit bir payı gösterirken, B noktası belirli bir parçanın 2/8'ini işaret eder.

Kesir türleri

Kesirler sıradan, ondalık ve karışık sayılar olabilir. Ayrıca kesirler uygun ve yanlış olarak ikiye ayrılabilir. Bu sınıflandırma sıradan kesirler için daha uygundur.

Uygun kesir, payı şu şekilde olan bir sayıdır: paydadan daha az. Sırasıyla, uygunsuz kesir- Payı paydasından büyük olan bir sayı. İkinci tür genellikle karışık sayı olarak yazılır. Bu ifade bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur. Örneğin 1½. 1 - bütün kısım, ½ - kesirli. Ancak ifadeyle bazı manipülasyonlar yapmanız gerekiyorsa (kesirleri bölme veya çarpma, azaltma veya dönüştürme), karışık sayı uygunsuz bir kesire dönüştürülür.

Doğru bir kesirli ifade her zaman birden küçüktür ve yanlış bir kesirli ifade her zaman 1'den büyük veya 1'e eşittir.

Bu ifadeye gelince, kesirli ifadesinin paydası birkaç sıfırlı bir cinsinden ifade edilebilen herhangi bir sayının temsil edildiği bir kaydı kastediyoruz. Kesir uygunsa ondalık gösterimdeki tamsayı kısmı sıfıra eşit olacaktır.

Ondalık kesir yazmak için öncelikle kısmın tamamını yazmalı, virgül kullanarak kesirden ayırdıktan sonra kesir ifadesini yazmalısınız. Ondalık noktadan sonra payın, paydadaki sıfırlarla aynı sayıda dijital karakter içermesi gerektiği unutulmamalıdır.

Örnek. 7 21/1000 kesrini ondalık gösterimle ifade edin.

Uygunsuz bir kesri karışık bir sayıya (veya tam tersi) dönüştürmek için algoritma

Bir problemin cevabına uygunsuz bir kesir yazmak yanlıştır, bu nedenle tam sayıya dönüştürülmesi gerekir:

• payı mevcut paydaya bölün;
• V spesifik örnek eksik bölüm - bütün;
• ve kalan kısım, payda değişmeden kalacak şekilde kesirli kısmın payıdır.

Örnek. Uygunsuz kesri karışık sayıya dönüştürün: 47/5.

Çözüm. 47: 5. Kısmi bölüm 9, kalan = 2. Yani 47/5 = 9 2/5.

Bazen karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesir olarak göstermeniz gerekir. O zaman aşağıdaki algoritmayı kullanmanız gerekir:

• tamsayı kısmı kesirli ifadenin paydası ile çarpılır;
• elde edilen ürün paya eklenir;
• sonuç paya yazılır, payda değişmeden kalır.

Örnek. Sayıyı karışık biçimde uygunsuz bir kesir olarak sunun: 9 8 / 10.

Çözüm. Pay 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98'dir.

Cevap: 98 / 10.

Kesirlerin Çarpılması

Adi kesirler üzerinde çeşitli cebirsel işlemler yapılabilir. İki sayıyı çarpmak için payı payla, paydayı da paydayla çarpmanız gerekir. Üstelik paydaları farklı olan kesirlerle çarpmanın çarpımdan hiçbir farkı yoktur. kesirli sayılar aynı paydalarla.

Sonucu bulduktan sonra kesri azaltmanız gerekir. Ortaya çıkan ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirmek zorunludur. Elbette bir cevaptaki uygunsuz kesrin hata olduğu söylenemez ama buna doğru cevap demek de zordur.

Örnek. İki sıradan kesrin çarpımını bulun: ½ ve 20/18.

Örnekte görüldüğü gibi çarpım bulunduktan sonra indirgenebilir kesirli notasyon elde edilmiştir. Bu durumda hem pay hem de payda 4'e bölünür ve sonuç 5/9 cevabıdır.

Ondalık Kesirlerin Çarpılması

Ondalık kesirlerin çarpımı, prensip olarak sıradan kesirlerin çarpımından oldukça farklıdır. Yani kesirlerin çarpılması aşağıdaki gibidir:

• iki ondalık kesir, en sağdaki rakamlar birbirinin altında olacak şekilde üst üste yazılmalıdır;
• yazılı sayıları virgüllere rağmen yani doğal sayılar olarak çarpmanız gerekiyor;
• her sayıdaki ondalık noktadan sonraki basamak sayısını sayın;
• çarpma işleminden sonra elde edilen sonuçta, ondalık noktadan sonra her iki faktörün toplamında bulunan sayıda dijital sembolü sağdan saymanız ve bir ayırma işareti koymanız gerekir;
• Üründe daha az sayı varsa, bu sayıyı kapatacak kadar önlerine sıfır yazmanız, virgül koymanız ve sıfıra eşit olan kısmın tamamını eklemeniz gerekir.

Örnek. İki ondalık kesrin çarpımını hesaplayın: 2,25 ve 3,6.

Çözüm.

Karışık Kesirlerin Çarpılması

İkinin çarpımını hesaplamak için karışık kesirler kesirleri çarpmak için kuralı kullanmanız gerekir:

• karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürmek;
• payların çarpımını bulun;
• paydaların çarpımını bulun;
• sonucu yazın;
• ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirin.

Örnek. 4½ ile 6 2/5'in çarpımını bulun.

Bir sayıyı kesirle çarpmak (bir sayıyla kesir)

İki kesirin ve karışık sayıların çarpımını bulmanın yanı sıra, kesirle çarpmanız gereken görevler de vardır.

Yani, ondalık kesir ile doğal sayının çarpımını bulmak için ihtiyacınız olan:

• sayıyı kesrin altına, en sağdaki rakamlar üst üste gelecek şekilde yazın;
• virgüllere rağmen ürünü bulun;
• sonuçta, kesirdeki ondalık noktadan sonra yer alan basamak sayısını sağdan sayarak, tamsayı kısmını kesirli kısımdan virgül kullanarak ayırın.

Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmak için payın ve doğal faktörün çarpımını bulmanız gerekir. Cevap azaltılabilecek bir kesir üretiyorsa dönüştürülmelidir.

Örnek. 5/8 ile 12'nin çarpımını hesaplayın.

Çözüm. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Cevap: 7 1 / 2.

Önceki örnekte de görebileceğiniz gibi, ortaya çıkan sonucu azaltmak ve düzensiz kesir ifadesini tam sayılı sayıya dönüştürmek gerekiyordu.

Kesirlerin çarpımı aynı zamanda karışık formdaki bir sayı ile bir doğal faktörün çarpımının bulunmasıyla da ilgilidir. Bu iki sayıyı çarpmak için, karma faktörün tam kısmını sayıyla çarpmanız, payı aynı değerle çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Gerekirse ortaya çıkan sonucu mümkün olduğunca basitleştirmeniz gerekir.

Örnek. 9 5/6 ile 9'un çarpımını bulun.

Çözüm. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3/6 = 88 1 / 2.

Cevap: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 veya 0,1'in katlarıyla çarpma; 0,01; 0,001

Aşağıdaki kural önceki paragraftan kaynaklanmaktadır. Bir ondalık kesri 10, 100, 1000, 10000 vb. ile çarpmak için, ondalık noktayı birden sonraki faktörde sıfır sayısı kadar sağa kaydırmanız gerekir.

Örnek 1. 0,065 ile 1000'in çarpımını bulun.

Çözüm. 0,065x1000 = 0065 = 65.

Cevap: 65.

Örnek 2. 3,9 ile 1000'in çarpımını bulun.

Çözüm. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Cevap: 3900.

Bir doğal sayı ile 0,1'i çarpmanız gerekirse; 0,01; 0,001; 0.0001 vb. gibi durumlarda, ortaya çıkan çarpımda virgülü, birden önceki sıfır sayısı kadar sola kaydırmalısınız. Gerektiğinde doğal sayıdan önce yeterli sayıda sıfır yazılır.

Örnek 1. 56 ile 0,01'in çarpımını bulun.

Çözüm. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Cevap: 0,56.

Örnek 2. 4 ile 0,001'in çarpımını bulun.

Çözüm. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Cevap: 0,004.

Dolayısıyla farklı kesirlerin çarpımını bulmak belki sonucu hesaplamak dışında zorluk yaratmamalı; bu durumda hesap makinesi olmadan yapamazsınız.

Son derste ondalık sayıların nasıl toplanıp çıkarılacağını öğrendik (“Ondalık sayılarda toplama ve çıkarma” dersine bakın). Aynı zamanda sıradan "iki katlı" kesirlere kıyasla hesaplamaların ne kadar basitleştirildiğini de değerlendirdik.

Ne yazık ki ondalık sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinde bu etki oluşmaz. Bazı durumlarda ondalık gösterim bu işlemleri bile karmaşık hale getirir.

Öncelikle yeni bir tanım verelim. Onu sadece bu derste değil, sık sık göreceğiz.

Bir sayının anlamlı kısmı, sonlar da dahil olmak üzere sıfırdan farklı ilk rakam ile son rakam arasındaki her şeydir. bu yaklaşık yalnızca sayılar hakkında, ondalık nokta dikkate alınmaz.

Bir sayının anlamlı kısmında yer alan rakamlara anlamlı rakamlar denir. Tekrarlanabilirler ve hatta sıfıra eşit olabilirler.

Örneğin, birkaç ondalık kesri düşünün ve karşılık gelen önemli kısımları yazın:

1. 91,25 → 9125 (önemli rakamlar: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (önemli rakamlar: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (önemli rakamlar: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (anlamlı rakamlar: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (yalnızca tek bir anlamlı rakam vardır: 3).

Lütfen dikkat: Sayının önemli kısmının içindeki sıfırlar hiçbir yere gitmez. Ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürmeyi öğrendiğimizde zaten benzer bir şeyle karşılaştık ("Ondalık Sayılar" dersine bakın).

Bu nokta o kadar önemli ve burada o kadar sık ​​hata yapılıyor ki yakın gelecekte bu konuyla ilgili bir test yayınlayacağım. Mutlaka pratik yapın! Ve biz, önemli kısım kavramıyla donanmış olarak, aslında dersin konusuna geçeceğiz.

Ondalık Sayıların Çarpılması

Çarpma işlemi birbirini takip eden üç adımdan oluşur:

1. Her kesir için önemli kısmı yazın. Herhangi bir payda ve ondalık nokta olmadan iki sıradan tamsayı elde edeceksiniz;
2. Bu sayıları uygun bir şekilde çarpın. Sayılar küçükse veya bir sütun halindeyse doğrudan. İstenilen fraksiyonun önemli bir kısmını elde ediyoruz;
3. İlgili anlamlı kısmı elde etmek için orijinal kesirlerdeki ondalık noktanın nereye ve kaç basamak kaydırıldığını öğrenin. Önceki adımda elde edilen önemli kısım için ters kaydırmalar yapın.

Önemli kısmın kenarlarındaki sıfırların asla dikkate alınmadığını bir kez daha hatırlatayım. Bu kuralın göz ardı edilmesi hatalara yol açar.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 · 10.000.

İlk ifadeyle çalışıyoruz: 0,28 · 12,5.

1. Bu ifadedeki sayıların anlamlı kısımlarını yazalım: 28 ve 125;
2. Çarpımları: 28 · 125 = 3500;
3. İlk faktörde virgül 2 basamak sağa kaydırılır (0,28 → 28), ikincisinde ise 1 basamak daha kaydırılır. Toplamda üç haneli sola kaydırmanız gerekir: 3500 → 3.500 = 3,5.

Şimdi 6.3 · 1.08 ifadesine bakalım.

1. Önemli kısımları yazalım: 63 ve 108;
2. Çarpımları: 63 · 108 = 6804;
3. Yine sağa iki kaydırma: sırasıyla 2 ve 1 basamak. Toplam - yine 3 hane sağa, yani ters kaydırma 3 hane sola olacak: 6804 → 6,804. Bu sefer sonunda sıfır yok.

Üçüncü ifadeye ulaştık: 132,5 · 0,0034.

1. Önemli parçalar: 1325 ve 34;
2. Çarpımları: 1325 · 34 = 45.050;
3. İlk kesirde, ondalık nokta 1 basamak sağa, ikincisinde ise 4'e kadar hareket eder. Toplam: 5 sağa. 5 birim sola kaydırıyoruz: 45,050 → 0,45050 = 0,4505. Sıfır sondan çıkarıldı ve “çıplak” bir ondalık nokta bırakmayacak şekilde öne eklendi.

Aşağıdaki ifade: 0,0108 · 1600,5.

1. Önemli kısımları yazıyoruz: 108 ve 16 005;
2. Bunları çarpıyoruz: 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. Virgülden sonraki sayıları sayıyoruz: İlk sayıda 4, ikincisinde 1 var. Toplam yine 5. Elimizde: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854 var. Sonunda “ekstra” sıfır kaldırıldı.

Son olarak son ifade: 5,25 10.000.

1. Önemli parçalar: 525 ve 1;
2. Bunları çarpıyoruz: 525 · 1 = 525;
3. İlk kesir 2 basamak sağa, ikinci kesir ise 4 basamak sola kaydırılır (10.000 → 1.0000 = 1). Toplam 4 − 2 = sola doğru 2 basamak. Sağa 2 basamak ters kaydırma yapıyoruz: 525, → 52.500 (sıfır eklemek zorunda kaldık).

Son örneğe dikkat edin: virgül farklı yönlerde hareket ettiğinden, toplam kayma fark üzerinden bulunur. Bu çok önemli nokta! İşte başka bir örnek:

1,5 ve 12.500 sayılarını düşünün. Elimizde: 1,5 → 15 (sağa 1 kaydırma); 12.500 → 125 (2'yi sola kaydırın). 1 rakamı sağa, ardından 2 rakamını sola “adımlıyoruz”. Sonuç olarak 2 − 1 = 1 basamak sola adım attık.

Ondalık bölme

Bölünme belki de en zor operasyondur. Elbette burada çarpma işlemine benzeterek hareket edebilirsiniz: önemli kısımları bölün ve ardından ondalık noktayı "hareket ettirin". Ancak bu durumda, potansiyel tasarrufları boşa çıkaran birçok incelik ortaya çıkar.

Öyleyse bir göz atalım evrensel algoritma biraz daha uzun ama çok daha güvenilir:

1. Tüm ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürün. Biraz pratik yaparsanız bu adım birkaç saniyenizi alacaktır;
2. Ortaya çıkan kesirleri klasik şekilde bölün. Başka bir deyişle, ilk kesri “tersine çevrilmiş” ikinciyle çarpın (“Sayısal kesirlerle çarpma ve bölme” dersine bakın);
3. Mümkünse sonucu tekrar ondalık kesir olarak sunun. Bu adım aynı zamanda hızlıdır çünkü payda genellikle zaten onun katıdır.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

İlk ifadeyi ele alalım. Öncelikle kesirleri ondalık sayıya çevirelim:

Aynısını ikinci ifade için de yapalım. İlk kesrin payı yine çarpanlara ayrılacaktır:

Üçüncü ve dördüncü örneklerde önemli bir nokta var: Ondalık gösterimden kurtulduktan sonra indirgenebilir kesirler ortaya çıkıyor. Ancak bu indirimi yapmayacağız.

Son örnek ilginçtir çünkü ikinci kesrin payı bir asal sayı içermektedir. Burada çarpanlara ayıracak hiçbir şey yok, bu yüzden bunu doğrudan ele alıyoruz:

Bazen bölme işlemi tam sayıyla sonuçlanır (son örnekten bahsediyorum). Bu durumda üçüncü adım hiç gerçekleştirilmez.

Ek olarak, bölerken genellikle ondalık sayılara dönüştürülemeyen "çirkin" kesirler ortaya çıkar. Bu, sonuçların her zaman ondalık biçimde temsil edildiği çarpma işleminden bölmeyi ayırır. Elbette bu durumda son adım yine gerçekleştirilmez.

3. ve 4. örneklere de dikkat edin. Ondalık sayılardan elde edilen sıradan kesirleri bilinçli olarak azaltmıyoruz. Aksi takdirde, bu, son cevabı tekrar ondalık biçimde temsil eden ters görevi karmaşıklaştıracaktır.

Unutmayın: Bir kesrin temel özelliği (matematiğin diğer kuralları gibi) kendi başına onun her yerde, her zaman, her fırsatta uygulanması gerektiği anlamına gelmez.