İşlev Matematiksel kavramların en önemlilerinden biridir. İşlev - değişken bağımlılığı en değişkenden X, eğer her değer X tek bir değerle eşleşir en. Değişken X bağımsız değişken veya argüman denir. Değişken en bağımlı değişken denir. Bağımsız değişkenin tüm değerleri (değişken X) fonksiyonun tanım alanını oluşturur. Bağımlı değişkenin aldığı tüm değerler (değişken sen), fonksiyonun değer aralığını oluşturur.

Fonksiyon grafiği tüm noktaların kümesini çağır koordinat düzlemi apsisleri argümanın değerlerine eşit olan ve koordinatları fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşit olan, yani değişkenin değerleri apsis ekseni boyunca çizilmiştir X ve değişkenin değerleri ordinat ekseni boyunca çizilir sen. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için fonksiyonun özelliklerini bilmeniz gerekir. Fonksiyonun ana özellikleri aşağıda tartışılacaktır!

Bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için, fonksiyonların çevrimiçi grafiğini çizme programımızı kullanmanızı öneririz. Bu sayfadaki materyali incelerken herhangi bir sorunuz olursa, bunları her zaman forumumuzda sorabilirsiniz. Ayrıca forumda matematik, kimya, geometri, olasılık teorisi ve diğer birçok konudaki problemleri çözmenize yardımcı olacaklar!

Fonksiyonların temel özellikleri.

1) Fonksiyon alanı ve fonksiyon aralığı.

Bir işlevin etki alanı, tüm geçerli geçerli bağımsız değişken değerlerinin kümesidir X(değişken X), bunun için fonksiyon y = f(x) azimli.
Bir fonksiyonun aralığı tüm gerçek değerlerin kümesidir sen, işlevin kabul ettiği.

İÇİNDE ilköğretim matematik fonksiyonlar yalnızca gerçek sayılar kümesi üzerinde incelenir.

2) Fonksiyon sıfırları.

Değerler X, hangisinde y=0, isminde fonksiyon sıfırları. Bunlar fonksiyon grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktalarının apsisleridir.

3) Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları.

Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları bu tür değer aralıklarıdır X, burada fonksiyon değerleri sen ya yalnızca olumlu ya da yalnızca olumsuz denir fonksiyonun sabit işaretli aralıkları.

4) Fonksiyonun monotonluğu.

Artan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bunun için bir fonksiyondur. daha yüksek değer bu aralıktaki argüman, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir.

Azalan bir fonksiyon (belirli bir aralıkta), bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değerinin, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geldiği bir fonksiyondur.

5) Çift (tek) işlevi.

Çift fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için X f(-x) = f(x). Çift fonksiyonun grafiği ordinat etrafında simetriktir.

Tek fonksiyon, tanım bölgesi orijine göre simetrik olan ve herhangi bir fonksiyon için X tanım alanından eşitlik doğrudur f(-x) = - f(x). Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Eşit işlev
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir; yani eğer nokta A tanım alanına aitse, o zaman nokta -A aynı zamanda tanım alanına da aittir.
2) Herhangi bir değer için X f(-x)=f(x)
3) Çift fonksiyonun grafiği Oy eksenine göre simetriktir.

Tek işlev aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1) Tanım alanı (0; 0) noktasına göre simetriktir.
2) herhangi bir değer için X tanım alanına ait olan eşitlik f(-x)=-f(x)
3) Tek bir fonksiyonun grafiği orijine (0; 0) göre simetriktir.

Her fonksiyon çift veya tek değildir. Fonksiyonlar genel görünüm ne çift ne de tektir.

6) Sınırlı ve sınırsız işlevler.

Eğer böyle bir fonksiyon varsa, fonksiyona sınırlı denir. pozitif sayı M öyle ki |f(x)| X'in tüm değerleri için ≤ M. Eğer böyle bir sayı yoksa fonksiyon sınırsızdır.

7) Fonksiyonun periyodikliği.

Bir f(x) fonksiyonu, fonksiyonun tanım alanındaki herhangi bir x için aşağıdakileri tutacak şekilde sıfırdan farklı bir T sayısı varsa periyodiktir: f(x+T) = f(x). Bu en küçük sayı fonksiyonun periyodu denir. Tüm trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir. (Trigonometrik formüller).

İşlev F herhangi biri için öyle bir sayı varsa periyodik olarak adlandırılır. X tanım alanından eşitlik f(x)=f(x-T)=f(x+T). T fonksiyonun periyodudur.

Her periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda periyodu vardır. Pratikte genellikle en küçük pozitif periyot dikkate alınır.

Periyodik bir fonksiyonun değerleri, periyoda eşit bir aralıktan sonra tekrarlanır. Bu, grafikler oluşturulurken kullanılır.

Bunu yapmak için grafik kağıdı veya grafik hesap makinesi kullanın. İstediğiniz sayıda bağımsız değişken değerini seçin x (\displaystyle x) ve bağımlı değişkenin değerlerini hesaplamak için bunları fonksiyona takın y (\displaystyle y). Koordinat düzlemindeki noktaların bulunan koordinatlarını çizin ve ardından bu noktaları birleştirerek fonksiyonun bir grafiğini oluşturun.

• Pozitif olanları fonksiyona yerleştirin sayısal değerler x (\displaystyle x) ve karşılık gelen negatif sayısal değerler. Örneğin, fonksiyon verildiğinde. Onu yerine koy aşağıdaki değerler x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Koordinatlarla bir noktamız var (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Koordinatlarla bir noktamız var (− 1 , 3) ​​​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Koordinatlarla bir noktamız var (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).

Bir y değişkeninin, her bir x değerinin tek bir y değerine karşılık geldiği bir x değişkenine bağımlılığına fonksiyon denir. Gösterim için y=f(x) gösterimini kullanın. Her fonksiyonun monotonluk, eşlik, periyodiklik ve diğerleri gibi bir takım temel özellikleri vardır.

Parite özelliğine daha yakından bakın.

Aşağıdaki iki koşulu karşılasa bile y=f(x) fonksiyonu çağrılır:

2. Fonksiyonun tanım bölgesine ait olan fonksiyonun x noktasındaki değeri, fonksiyonun -x noktasındaki değerine eşit olmalıdır. Yani, herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = f(-x).

Çift fonksiyonun grafiği

Çift fonksiyonun grafiğini çizerseniz, Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

Örneğin, y=x^2 fonksiyonu çifttir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=3 alalım. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Dolayısıyla f(x) = f(-x). Böylece her iki koşul da sağlanır, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda y=x^2 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil grafiğin Oy eksenine göre simetrik olduğunu göstermektedir.

Tek bir fonksiyonun grafiği

Aşağıdaki iki koşulu karşılıyorsa, y=f(x) fonksiyonu tek olarak adlandırılır:

1. Belirli bir fonksiyonun tanım bölgesi, O noktasına göre simetrik olmalıdır. Yani, eğer bir a noktası, fonksiyonun tanım bölgesine aitse, o zaman karşılık gelen -a noktası da tanım alanına ait olmalıdır. verilen fonksiyonun

2. Herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = -f(x).

Tek bir fonksiyonun grafiği, koordinatların orijini olan O noktasına göre simetriktir. Örneğin, y=x^3 fonksiyonu tektir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=2 alalım. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Dolayısıyla f(x) = -f(x). Yani her iki koşul da sağlanıyor, bu da fonksiyonun tek olduğu anlamına geliyor. Aşağıda y=x^3 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil y=x^3 tek fonksiyonunun orijine göre simetrik olduğunu açıkça göstermektedir.

Bir fonksiyonun düzgünlüğü ve tuhaflığı onun ana özelliklerinden biridir ve eşlik, etkileyici bir rol oynar. okul kursu matematikte. Büyük ölçüde fonksiyonun davranışını belirler ve karşılık gelen grafiğin oluşturulmasını büyük ölçüde kolaylaştırır.

Fonksiyonun paritesini belirleyelim. Genel olarak konuşursak, tanım alanında bulunan bağımsız değişkenin (x) zıt değerleri için, y'nin (fonksiyonun) karşılık gelen değerleri eşit olsa bile, incelenen fonksiyon dikkate alınır.

Daha kesin bir tanım verelim. D tanım kümesinde tanımlanan bir f(x) fonksiyonunu düşünün. Tanım tanım kümesinde yer alan herhangi bir x noktası için bile olacaktır:

• -x (karşı nokta) da bu kapsamda yer alır,

• f(-x) = f(x).

Yukarıdaki tanımdan, böyle bir fonksiyonun tanım alanı için gerekli olan koşul, yani koordinatların orijini olan O noktasına göre simetri gelir, çünkü eğer bir b noktası çift sayının tanım alanında yer alıyorsa fonksiyonu varsa, karşılık gelen b noktası da bu alanda yer alır. Dolayısıyla yukarıdakilerden şu sonuç çıkar: çift fonksiyon ordinat eksenine (Oy) göre simetrik bir forma sahiptir.

Pratikte bir fonksiyonun paritesi nasıl belirlenir?

h(x)=11^x+11^(-x) formülü kullanılarak belirtilsin. Doğrudan tanımı takip eden algoritmayı takip ederek öncelikle tanım alanını inceliyoruz. Açıkçası, argümanın tüm değerleri için tanımlanmıştır, yani ilk koşul karşılanmıştır.

Bir sonraki adım, (x) argümanının yerine zıt değeri (-x) koymaktır.
Şunu elde ederiz:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Toplama, değişme (değişme) yasasını karşıladığından, h(-x) = h(x) olduğu ve verilen fonksiyonel bağımlılığın çift olduğu açıktır.

h(x)=11^x-11^(-x) fonksiyonunun eşliğini kontrol edelim. Aynı algoritmayı takip ederek h(-x) = 11^(-x) -11^x sonucunu elde ederiz. Eksileri çıkararak sonunda elimizde
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Bu nedenle h(x) tektir.

Bu arada, bu kriterlere göre sınıflandırılamayan fonksiyonlar olduğunu da hatırlamak gerekir; bunlara ne çift ne de tek denir.

Fonksiyonların bile bir takım ilginç özellikleri vardır:

• benzer işlevlerin eklenmesi sonucunda çift sayı elde edilir;
• bu tür fonksiyonların çıkarılması sonucunda çift bir tane elde edilir;
• hatta, hatta;
• bu tür iki fonksiyonun çarpılması sonucunda çift bir tane elde edilir;
• tek ve çift fonksiyonların çarpılması sonucunda tek bir elde edilir;
• tek ve çift fonksiyonların bölünmesi sonucunda tek bir elde edilir;
• böyle bir fonksiyonun türevi tektir;
• Tek bir fonksiyonun karesini alırsanız çift bir fonksiyon elde edersiniz.

Bir fonksiyonun paritesi denklemleri çözmek için kullanılabilir.

g(x) = 0 gibi bir denklemi çözmek için; sol taraf Denklem çift fonksiyon olduğundan değişkenin negatif olmayan değerleri için çözümlerini bulmak oldukça yeterli olacaktır. Denklemin ortaya çıkan kökleri zıt sayılarla birleştirilmelidir. Bunlardan biri doğrulamaya tabidir.

Bu aynı zamanda bir parametreyle ilgili standart dışı sorunları çözmek için de başarıyla kullanılır.

Örneğin, a parametresinin 2x^6-x^4-ax^2=1 denkleminin üç kökü olacak herhangi bir değeri var mı?

Değişkenin denkleme çift kuvvetlerle girdiğini dikkate alırsak, x'in -x ile değiştirilmesinin verilen denklemi değiştirmeyeceği açıktır. Buradan şu sonuç çıkıyor: Eğer belirli bir sayı onun kökü ise, o zaman öyledir. karşı sayı. Sonuç açıktır: sıfırdan farklı bir denklemin kökleri, çözüm kümesine "çiftler halinde" dahil edilir.

Sayının kendisinin 0 olmadığı, yani böyle bir denklemin kök sayısının yalnızca çift olabileceği ve doğal olarak parametrenin herhangi bir değeri için üç kökü olamayacağı açıktır.

Ancak 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 denkleminin kök sayısı tek olabilir ve parametrenin herhangi bir değeri için. Aslında bu denklemin kökler kümesinin “çiftler halinde” çözümler içerdiğini kontrol etmek kolaydır. 0'ın kök olup olmadığını kontrol edelim. Bunu denklemde yerine koyarsak 2=2 elde ederiz. Böylece, “eşli” olanların yanı sıra 0 da bir köktür ve bu da onların tek sayısını kanıtlar.

Grafikleri dönüştürme.

Fonksiyonun sözlü açıklaması.

Grafik yöntemi.

Bir fonksiyonu belirlemenin grafiksel yöntemi en görsel olanıdır ve teknolojide sıklıkla kullanılır. Matematiksel analizde, fonksiyonları belirlemenin grafiksel yöntemi örnek olarak kullanılır.

Fonksiyon grafiği f, koordinat düzleminin tüm (x;y) noktalarının kümesidir; burada y=f(x) ve x, bu fonksiyonun tanım alanının tamamını "geçirir".

Koordinat düzleminin bir alt kümesi, Oy eksenine paralel herhangi bir düz çizgiyle birden fazla ortak noktaya sahip değilse, bir fonksiyonun grafiğidir.

Örnek. Aşağıda gösterilen şekiller fonksiyon grafiği midir?

Avantaj grafik görevi onun görünürlüğüdür. Fonksiyonun nasıl davrandığını, nerede arttığını, nerede azaldığını hemen görebilirsiniz. Grafikten bazılarını hemen tanıyabilirsiniz önemli özellikler işlevler.

Genel olarak, bir fonksiyonu tanımlamanın analitik ve grafiksel yöntemleri el ele gider. Formülle çalışmak bir grafik oluşturmaya yardımcı olur. Ve grafik genellikle formülde fark etmeyeceğiniz çözümleri önerir.

Hemen hemen her öğrenci, az önce incelediğimiz bir fonksiyonu tanımlamanın üç yolunu bilir.

Şu soruyu cevaplamaya çalışalım: "Bir fonksiyonu tanımlamanın başka yolları var mı?"

Böyle bir yol var.

İşlev kelimelerle oldukça açık bir şekilde belirtilebilir.

Örneğin, y=2x fonksiyonu aşağıdaki sözel tanımla belirtilebilir: her biri gerçek değer x argümanına çift değeri atanır. Kural kurulur, fonksiyon belirtilir.

Üstelik bir formül kullanarak tanımlaması imkansız olmasa da son derece zor olan bir fonksiyonu sözlü olarak belirtebilirsiniz.

Örneğin: doğal bağımsız değişken x'in her değeri, x'in değerini oluşturan rakamların toplamı ile ilişkilendirilir. Örneğin x=3 ise y=3 olur. Eğer x=257 ise y=2+5+7=14 olur. Ve benzeri. Bunu bir formülle yazmak sorunludur. Ancak işareti yapmak kolaydır.

Sözlü anlatım yöntemi oldukça nadir kullanılan bir yöntemdir. Ama bazen öyle oluyor.

Eğer x ile y arasında bire bir uygunluk yasası varsa, o zaman bir fonksiyon vardır. Hangi yasanın, hangi biçimde ifade edildiği - formül, tablet, grafik, kelimeler - konunun özünü değiştirmez.

Tanım alanları orijine göre simetrik olan fonksiyonları ele alalım; herkes için X tanım numarasının etki alanından (- X) aynı zamanda tanım alanına da aittir. Bu işlevler arasında çift ​​ve tek.

Tanım. f fonksiyonu çağrılır eşit, eğer herhangi biri için X kendi tanım alanından

Örnek.İşlevi düşünün

Eşittir. Hadi kontrol edelim.

Herkes için X eşitlikler sağlandı

Böylece her iki koşul da sağlanır, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda bu fonksiyonun grafiği verilmiştir.

Tanım. f fonksiyonu çağrılır garip, eğer herhangi biri için X kendi tanım alanından

Örnek. İşlevi düşünün

Bu çok tuhaf. Hadi kontrol edelim.

Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani (0;0) noktasına göre simetriktir.

Herkes için X eşitlikler sağlandı

Yani her iki koşul da sağlanıyor, bu da fonksiyonun tek olduğu anlamına geliyor. Aşağıda bu fonksiyonun grafiği verilmiştir.

Birinci ve üçüncü şekillerde gösterilen grafikler ordinat eksenine göre simetriktir ve ikinci ve dördüncü şekillerde gösterilen grafikler orijine göre simetriktir.

Şekillerde grafikleri gösterilen fonksiyonlardan hangileri çift, hangileri tektir?