Aşağıdaki formül tanım olacaktır derece ile doğal oran (a, üs ve yinelenen faktörün tabanıdır ve n, faktörün kaç kez tekrarlandığını gösteren üsdür):

Bu ifade, doğal üssü n olan a sayısının derecesinin n faktörünün ürünü olduğu, faktörlerin her birinin a'ya eşit olduğu anlamına gelir.

17 ^ 5 = 17 \ cdot 17 \ cdot 17 \ cdot 17 \ cdot 17 = 1 \, 419 \, 857

17 - derecenin temeli,

5 - üs,

1419857, derecenin değeridir.

Bir \ neq 0 olması koşuluyla, sıfır üslü üs 1'dir:

bir ^ 0 = 1.

Örneğin: 2 ^ 0 = 1

Büyük bir sayı yazmanız gerektiğinde, genellikle 10 sayısının kuvveti kullanılır.

Örneğin, dünyadaki en eski dinozorlardan biri yaklaşık 280 milyon yıl önce yaşadı. Yaşı şu şekilde yazılır: 2.8 \ cdot 10 ^ 8.

10'dan büyük her sayı, 1 olması koşuluyla \ cdot 10 ^ n olarak yazılabilir.< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют standart sayı biçimi.

Bu tür sayılara örnekler: 6978 = 6.978 \ cdot 10 ^ 3, 569000 = 5.69 \ cdot 10 ^ 5.

Hem "a'nın n'inci kuvveti" hem de "a sayısının n'inci kuvveti" ve "a'nın n'inci kuvveti" diyebilirsiniz.

4 ^ 5 - "dört üzeri 5" veya "4 üzeri beşinci derece" veya "4 sayısının beşinci kuvveti" de diyebilirsiniz

V bu örnek 4 - derecenin tabanı, 5 - üs.

Şimdi kesirler ve negatif sayılarla bir örnek verelim. Karışıklığı önlemek için, doğal sayılar dışındaki tabanları parantez içinde yazmak adettendir:

(7,38)^2 , \ sol (\ frac 12 \ sağ) ^ 7, (-1) ^ 4, vb.

Aradaki farkı da not edin:

(-5) ^ 6 - doğal üs 6 ile negatif bir -5 sayısının kuvveti anlamına gelir.

5 ^ 6 - 5 ^ 6'nın zıt sayısıyla eşleşir.

Doğal üslü derecelerin özellikleri

Derecenin ana özelliği

bir ^ n \ cdot bir ^ k = bir ^ (n + k)

Temel aynı kalır, ancak üsler eklenir.

Örneğin: 2 ^ 3 \ cdot 2 ^ 2 = 2 ^ (3 + 2) = 2 ^ 5

Aynı temellere sahip özel derecelerin özelliği

a ^ n: a ^ k = a ^ (n-k) eğer n> k ise.

Üsler çıkarılır ve taban aynı kalır.

Bu n> k kısıtlaması, doğal üslerin dışına çıkmamak için getirilmiştir. Gerçekten de, n> k için, a ^ (n-k) üssü bir doğal sayı olacaktır, aksi takdirde ya negatif bir sayı (k) olacaktır.< n ), либо нулем (k-n ).

Örneğin: 2 ^ 3: 2 ^ 2 = 2 ^ (3-2) = 2 ^ 1

üs özelliği

(a ^ n) ^ k = bir ^ (nk)

Temel aynı kalır, sadece üsler çarpılır.

Örneğin: (2 ^ 3) ^ 6 = 2 ^ (3 \ cdot 6) = 2 ^ (18)

Bir ürünün gücüne yükseltme özelliği

Her faktör n gücüne yükseltilir.

a ^ n \ cdot b ^ n = (ab) ^ n

Örneğin: 2 ^ 3 \ cdot 3 ^ 3 = (2 \ cdot 3) ^ 3 = 6 ^ 3

üs özelliği

\ frac (a ^ n) (b ^ n) = \ sol (\ frac (a) (b) \ sağ) ^ n, b \ neq 0

Bir kesrin hem payı hem de paydası bir kuvvete yükseltilir. \ sol (\ frak (2) (5) \ sağ) ^ 3 = \ frak (2 ^ 3) (5 ^ 3) = \ frak (8) (125)

Bu materyal çerçevesinde bir sayının derecesinin ne olduğunu analiz edeceğiz. Temel tanımlara ek olarak, doğal, tam, rasyonel ve irrasyonel üslerle derecelerin ne olduğunu formüle edeceğiz. Her zaman olduğu gibi, tüm kavramlar görev örnekleri ile gösterilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İlk olarak, doğal üslü bir derecenin temel tanımını formüle ediyoruz. Bunu yapmak için, çarpmanın temel kurallarını hatırlamamız gerekir. Şimdilik, gerçek bir sayıyı temel olarak (bunu a harfiyle belirtin) ve bir gösterge olarak - doğal bir sayıyı (n harfiyle belirtin) alacağımızı açıklığa kavuşturalım.

tanım 1

Doğal üssü n olan bir a sayısının gücü, her biri a sayısına eşit olan n'inci faktör sayısının çarpımıdır. Derece şöyle yazılır: bir, ve bir formül şeklinde, bileşimi aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Örneğin, üs 1 ve taban a ise, a'nın ilk kuvveti şu şekilde yazılır: 1... a'nın faktörün değeri ve 1'in faktör sayısı olduğu göz önüne alındığında, şu sonuca varabiliriz: 1 = bir.

Genel olarak, derecenin çok sayıda eşit faktör yazmanın uygun bir şekli olduğunu söyleyebiliriz. Yani, formun bir girişi 8 8 8 8 azaltılabilir 8 4 ... Aynı şekilde, bir parça yazmaktan kaçınmamıza yardımcı olur. Büyük bir sayı terimler (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); Bunu doğal sayıların çarpımı ile ilgili makalede zaten inceledik.

Derece kaydını nasıl doğru okuyabilir? Genel olarak kabul edilen seçenek "a üzeri n"dir. Veya "n -th derecesi a" veya "a n -th derecesi" diyebilirsiniz. Diyelim ki, örnek girişi içeriyorsa 8 12 , "8'den 12'ye kadar", "8'den 12.dereceye" veya "12.dereceden 8'e" şeklinde okuyabiliriz.

Sayının ikinci ve üçüncü kuvvetlerinin köklü isimleri vardır: kare ve küp. İkinci dereceyi, örneğin 7 (7 2) sayısını görürsek, “7'nin karesi” veya “7 sayısının karesi” diyebiliriz. Benzer şekilde, üçüncü derece şöyle okunur: 5 3 "5 sayısının küpü" veya "küpte 5"tir. Ancak standart formülasyonu “ikinci/üçüncü derecede” kullanmak da mümkündür, bu bir hata olmayacaktır.

örnek 1

Doğal göstergeli bir derece örneğini inceleyelim: 5 7 beş temel ve yedi gösterge olacaktır.

Tabanın bir tamsayı olması gerekmez: derece için (4 , 32) 9 taban kesir 4, 32'dir ve üs dokuzdur. Parantezlere dikkat edin: böyle bir giriş, tabanları doğal sayılardan farklı olan tüm dereceler için yapılır.

Örneğin: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Parantezler ne için? Hesaplama hatalarından kaçınmaya yardımcı olurlar. Diyelim ki iki girdimiz var: (− 2) 3 ve − 2 3 ... Bunlardan ilki, doğal üssü üç olan bir kuvvete yükseltilmiş eksi iki eksi bir sayı anlamına gelir; ikincisi, derecenin zıt değerine karşılık gelen sayıdır. 2 3 .

Bazen kitaplarda sayı derecesinin biraz farklı yazılışını bulabilirsiniz - bir ^ n(burada a taban ve n üsdür). Yani, 4 ^ 9 ile aynıdır 4 9 ... n çok basamaklı bir sayı ise parantez içine alınır. Örneğin, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ama notasyonu kullanacağız bir olarak daha yaygın.

Doğal bir üslü bir derecenin değerinin tanımından nasıl hesaplanacağını tahmin etmek kolaydır: sadece n'inci sayıyı çarpmanız yeterlidir. Bu konuda daha fazlasını başka bir makalede yazdık.

Derece kavramı, başka bir matematiksel kavramın tersidir - bir sayının kökü. Derecenin değerini ve üssünü biliyorsak, tabanını hesaplayabiliriz. Derecenin, ayrı bir materyalde analiz ettiğimiz sorunları çözmek için yararlı olan bazı belirli özellikleri vardır.

Üslerde, yalnızca doğal sayılar değil, aynı zamanda tamsayılar kümesine ait oldukları için, negatif birler ve sıfırlar da dahil olmak üzere genel olarak herhangi bir tam sayı değeri durabilir.

tanım 2

Pozitif tamsayılı bir sayının kuvveti formül olarak gösterilebilir: .

Ayrıca, n herhangi bir pozitif tamsayıdır.

Sıfır derece kavramıyla ilgilenelim. Bunu yapmak için, eşit tabanlı dereceler için bölümün özelliğini hesaba katan bir yaklaşım kullanıyoruz. Aşağıdaki gibi formüle edilmiştir:

tanım 3

eşitlik bir m: bir n = bir m - n koşullar altında doğru olacaktır: m ve n doğal sayılardır, m< n , a ≠ 0 .

Son koşul önemlidir çünkü sıfıra bölmeyi önler. m ve n değerleri eşitse, aşağıdaki sonucu alırız: bir n: bir n = bir n - n = bir 0

Ama aynı zamanda a n: a n = 1 bölümdür eşit sayılar bir ve bir. Sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfır derecesinin bire eşit olduğu ortaya çıktı.

Ancak, böyle bir ispat sıfırdan sıfıra kadar geçerli değildir. Bunu yapmak için, derecelerin başka bir özelliğine ihtiyacımız var - eşit tabanlı derecelerin çarpımlarının özelliği. Şuna benziyor: bir m bir n = bir m + n .

n'nin 0'a eşit olması durumunda, bir m ve 0 = bir m(bu eşitlik bize şunu da kanıtlıyor: 0 = 1). Ama eğer a da sıfıra eşitse eşitliğimiz şu şekli alır: 0 m 0 0 = 0 m, n'nin herhangi bir doğal değeri için doğru olacaktır ve derecenin değerinin tam olarak ne olduğu önemli değildir. 0 0 , yani herhangi bir sayıya eşit olabilir ve bu eşitliğin aslına uygunluğunu etkilemez. Bu nedenle, formun bir gösterimi 0 0 özel bir anlamı yoktur ve ona atfetmeyeceğiz.

İstenirse, bunu kontrol etmek kolaydır 0 = 1 derece özelliği ile yakınsar (bir m) n = bir m n derece tabanının sıfır olmaması şartıyla. Böylece, sıfır üslü sıfır olmayan herhangi bir sayının derecesi bire eşittir.

Örnek 2

Belirli sayılarla bir örneğe bakalım: Yani, 5 0 - birim, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ve değeri 0 0 Tanımsız.

Sıfır dereceden sonra, negatif derecenin ne olduğunu bulmak bize kalır. Bunu yapmak için, yukarıda zaten kullandığımız, eşit tabanlı dereceler çarpımının aynı özelliğine ihtiyacımız var: a m · a n = a m + n.

Şu koşulu sunalım: m = - n, o zaman a sıfıra eşit olmamalıdır. Bunu takip ediyor a - n bir n = bir - n + n = bir 0 = 1... Görünüşe göre bir n ve bir karşılıklı ters sayılara sahibiz.

Sonuç olarak, bir tamsayı negatif derece bir kesir 1 a n'den başka bir şey değildir.

Bu formülasyon, bir tamsayı negatif üslü bir derece için, aynı özelliklerin tümünün doğal üslü bir derece olarak (tabanın sıfır olmaması şartıyla) geçerli olduğunu doğrular.

Örnek 3

Negatif n tamsayılı a'nın gücü, 1 a n kesri olarak temsil edilebilir. Böylece, a - n = 1 a n koşulu altında bir ≠ 0 ve n - herhangi biri doğal sayı.

Düşüncemizi belirli örneklerle açıklayalım:

Örnek 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paragrafın son bölümünde, söylenen her şeyi tek bir formülde açıkça göstermeye çalışacağız:

tanım 4

Doğal üssü z olan a sayısının gücü: az = az, e ile l ve z - tamsayı pozitif 1, z = 0 ve a ≠ 0, (ve z = 0 ve a = 0 için, 0 0 alırız, ifadenin değerleri 0 0 değil ( z bir tamsayıysa ve a = 0 0 z verirse, ego z n n n e n d e d e n t)

rasyonel üs dereceleri nelerdir

Üssün bir tamsayı içerdiği durumları analiz ettik. Bununla birlikte, üssünde bir kesirli sayı olduğunda bir sayıyı bir kuvvete yükseltebilirsiniz. Buna c derecesi denir rasyonel gösterge... Bu alt bölümde diğer derecelerle aynı özelliklere sahip olduğunu ispatlayacağız.

Rasyonel sayılar nelerdir? Onların seti hem bütün hem de kesirli sayılar, kesirli sayılar sıradan kesirler (hem pozitif hem de negatif) olarak gösterilebilir. Bir a sayısının derecesinin tanımını kesirli bir üs m / n ile formüle edelim, burada n bir doğal sayı ve m bir tam sayıdır.

a m n kesirli üslü bir dereceye sahibiz. Dereceden dereceye özelliğinin yerine getirilmesi için, a m n n = a m n · n = a m eşitliği doğru olmalıdır.

n'inci kökün tanımı ve a m n n = a m olduğu göz önüne alındığında, verilen m, n ve a değerleri için a m n anlamlıysa, a m n = a m n koşulunu kabul edebiliriz.

Bir tamsayı üslü bir derecenin yukarıdaki özellikleri, a m n = a m n olması koşuluyla doğru olacaktır.

Akıl yürütmemizden çıkan ana sonuç şudur: kesirli üs m / n olan bir a sayısının kuvveti, a sayısının m'nin kuvvetine göre n'inci köküdür. Bu, verilen m, n ve a değerleri için a m n ifadesi anlamlı kalırsa doğrudur.

1. Derecenin tabanının değerini sınırlayabiliriz: m'nin pozitif değerleri için 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak ve negatif değerler için kesinlikle daha az olacak a alın (çünkü m ≤ 0 için 0 m, ancak bu derece tanımlı değil). Bu durumda, kesirli üslü bir derecenin tanımı şöyle görünecektir:

Bazı pozitif sayılar için m / n kesirli üslü üs, m'nin kuvvetine yükseltilmiş a'nın n'inci köküdür. Bir formül şeklinde, bu aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Tabanı sıfır olan bir derece için bu konum da uygundur, ancak yalnızca üssü pozitif bir sayıysa.

Tabanı sıfır ve kesirli pozitif üs m / n olan bir derece şu şekilde ifade edilebilir:

0 m n = 0 m n = 0, pozitif tamsayı m ve doğal n koşulu altında.

Negatif oranlı m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Bir noktayı not edelim. a'nın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğu koşulunu getirdiğimizden, bazı durumları düşürdük.

a m n ifadesi bazen a'nın bazı negatif değerleri ve bazı m'ler için anlamlıdır. Bu nedenle, doğru girişler (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4'tür, burada taban negatiftir.

2. İkinci yaklaşım, a m n kökünü çift ve tek üslerle ayrı ayrı ele almaktır. O zaman bir koşul daha eklememiz gerekiyor: üssünde iptal edilebilir bir adi kesir bulunan a'nın gücü, üssünde karşılık gelen indirgenemez kesrin bulunduğu a'nın gücü olarak kabul edilir. Daha sonra bu duruma neden ihtiyacımız olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu açıklayacağız. Böylece, a m k n k kaydımız varsa, onu a m n'ye indirgeyebilir ve hesaplamaları basitleştirebiliriz.

n tek ve m pozitifse, a negatif olmayan herhangi bir sayıysa, o zaman a m n anlamlıdır. Negatif olmayan bir a için koşul gereklidir, çünkü negatif bir sayının çift kökü çıkarılmaz. m'nin değeri pozitifse, o zaman a negatif veya sıfır olabilir, çünkü herhangi bir gerçek sayıdan tek bir kök çıkarılabilir.

Yukarıdaki tanımdaki tüm verileri tek bir kayıtta birleştirelim:

Burada m / n indirgenemez bir kesir anlamına gelir, m herhangi bir tam sayıdır ve n herhangi bir doğal sayıdır.

tanım 5

Herhangi bir sıradan iptal edilebilir kesir m · k n · k için, üs a m n ile değiştirilebilir.

İndirgenemez kesirli üslü bir sayının gücü m / n - aşağıdaki durumlarda a m n olarak ifade edilebilir: - herhangi bir gerçek a, tamsayı için pozitif değerler m ve tek doğal değerler n. Örnek: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Sıfır olmayan herhangi bir gerçek a, negatif tamsayı m ve tek n için, örneğin, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Herhangi bir negatif olmayan a, pozitif tamsayı m ve hatta n için, örneğin, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Herhangi bir pozitif a, tamsayı negatif m ve hatta n için, örneğin, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Diğer değerler için kesirli üs tanımlanmamıştır. Bu derecelere örnekler: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Şimdi yukarıda belirtilen koşulun önemini açıklayalım: Neden iptal edilebilir bir üslü kesri, indirgenemez bir kesirle değiştirelim. Bunu yapmasaydık, diyelim ki 6/10 = 3/5 gibi durumlarla karşılaşacaktık. O zaman doğru (- 1) 6 10 = - 1 3 5, ancak - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ve (- 1) 3 5 = (- 1 olmalıdır. ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Birinciye verdiğimiz kesirli üslü derecenin tanımı pratikte ikinciye göre daha uygundur, bu yüzden kullanmaya devam edeceğiz.

tanım 6

Böylece, kesirli bir üs m / n olan pozitif bir sayı a'nın derecesi 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır. olumsuz olması durumunda a a m n gösterimi anlamsızdır. Pozitif kesirli üsler için sıfırın gücü ay / n 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır, negatif kesirli üsler için sıfır derecesini tanımlamayız.

Sonuçlarda, herhangi bir kesirli göstergenin formda olduğu gibi yazılabileceğini not ediyoruz. karışık numara, ve ondalık kesir biçiminde: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Hesaplarken, üssü değiştirmek daha iyidir ortak kesir ve sonra derecenin tanımını kesirli bir üsle kullanın. Yukarıdaki örnekler için şunu elde ederiz:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Mantıksız ve geçerli bir üslü dereceler nelerdir?

Gerçek sayılar nelerdir? Kümeleri hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içerir. Bu nedenle, gerçek göstergeli bir derecenin ne olduğunu anlamak için, dereceleri rasyonel ve irrasyonel göstergelerle tanımlamamız gerekir. Yukarıda rasyonel olanlardan bahsetmiştik. İrrasyonel göstergelerle adım adım ilgilenelim.

Örnek 5

Bir irrasyonel sayı a ve ondalık yaklaşımları a 0, a 1, a 2, dizimiz olduğunu varsayalım. ... ... ... Örneğin, a = 1.67175331 değerini alalım. ... ... , sonra

0 = 1,6, 1 = 1,67, 2 = 1,671,. ... ... , 0 = 1.67, 1 = 1.6717, 2 = 1.671753,. ... ...

Bir yaklaşım dizisini a a 0, a 1, a 2, derece dizileriyle ilişkilendirebiliriz. ... ... ... Rakamları rasyonel bir güce yükseltmek hakkında daha önce söylediklerimizi hatırlarsak, o zaman bu güçlerin değerlerini kendimiz hesaplayabiliriz.

örneğin al bir = 3, sonra a 0 = 31.67, a 1 = 31.6717, a 2 = 31.671753,. ... ... vesaire.

Derecelerin sırası, bir taban a ve bir irrasyonel üs a ile derecenin değeri olacak bir sayıya indirgenebilir. Sonuç olarak: 3 1, 67175331 gibi irrasyonel üslü bir derece. ... 6, 27 sayısına indirgenebilir.

tanım 7

İrrasyonel bir üslü a ile pozitif bir sayının kuvveti a olarak yazılır. Değeri a a 0, a 1, a a 2, dizisinin limitidir. ... ... , burada 0, 1, 2,. ... ... irrasyonel sayı a'nın ardışık ondalık yaklaşımlarıdır. Sıfır tabanlı derece, pozitif irrasyonel göstergeler için de belirlenebilirken, 0 a = 0 Yani, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ve negatif olanlar için bu yapılamaz, çünkü örneğin 0 - 5, 0 - 2 π değeri tanımlanmamıştır. Herhangi birine yükseltilmiş bir birim irrasyonel derece, örneğin bir olarak kalır ve 2'de 1 2, 1 5 ve 1 - 5, 1'e eşit olur.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Video eğitimi 2: Doğal kalite ve özellikleri

Ders:

Doğal üslü derece

Altında derece biraz sayı "a" bazı göstergelerle "n" bir sayının ürününü anlamak "a" kendi kendine "n" bir Zamanlar.

Doğal üslü bir derece hakkında konuştuklarında, bu, sayının "n" bütün olmalı ve negatif olmamalıdır.

a- hangi sayının kendisiyle çarpılacağını gösteren derecenin tabanı,

n- üs - tabanın kendisi ile kaç kez çarpılması gerektiğini söyler.

Örneğin:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Bu durumda, derecenin tabanı "8" sayısı, üs "4" sayısı ve derecenin değeri "4096" sayısı anlamına gelir.

Bir gücü hesaplarken en büyük ve en yaygın hata, bir üssü bir sayı tabanıyla çarpmaktır - BU DOĞRU DEĞİLDİR!

Ne zaman gelir doğal üslü derece hakkında, bu sadece üslü olduğu anlamına gelir. (n) bir doğal sayı olmalıdır.

Temel olarak, bir sayı doğrusu ile herhangi bir sayıyı alabilirsiniz.

Örneğin,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Taban ve üs üzerinde gerçekleştirilen matematiksel işleme üs alma denir.

Toplama / çıkarma, birinci aşamanın matematiksel bir eylemidir, çarpma / bölme, ikinci aşamanın bir eylemidir, bir kuvvet yükseltmek, üçüncü aşamanın, yani en yükseklerden birinin matematiksel bir eylemidir.

Bu hiyerarşi matematiksel eylemler hesaplamadaki sırayı belirler. Bu eylem, önceki ikisi arasındaki görevlerde ortaya çıkarsa, önce yapılır.

Örneğin:

15 + 6 *2 2 = 39

Bu örnekte, önce 2'yi bir güce yükseltmeniz gerekir, yani

sonra sonucu 6 ile çarpın, yani

Doğal üslü bir derece, yalnızca belirli hesaplamalar için değil, aynı zamanda büyük sayıları yazmanın rahatlığı için de kullanılır. Bu durumda, kavram hala kullanılmaktadır. "standart numara türü"... Bu gösterim, 1'den 9'a kadar olan bir sayının, bazı üslerle 10'a eşit bir güç tabanı ile çarpılması anlamına gelir.

Örneğin, Dünya'nın yarıçapını standart bir biçimde kaydetmek için aşağıdaki gösterimi kullanın:

6400000 m = 6.4 * 10 6 m,

ve örneğin Dünya'nın kütlesi şu şekilde yazılır:

Derece özellikleri

Dereceli örnekleri çözmenin rahatlığı için ana özelliklerini bilmeniz gerekir:

1. Aynı tabana sahip iki dereceyi çarpmanız gerekiyorsa, taban değişmeden bırakılmalı ve göstergeler eklenmelidir.

bir n * bir m = bir n + m

Örneğin:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Aynı tabanlara sahip iki dereceyi bölmek gerekirse, bu durumda taban değişmeden bırakılmalı ve göstergeler çıkarılmalıdır. Doğal üslü yetkilere sahip işlemler için, temettü üssünün, bölenin üssünden büyük olması gerektiğini lütfen unutmayın. Aksi takdirde, bu eylemin bölümü negatif üslü bir sayı olacaktır.

bir n / bir m = bir n-m

Örneğin,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Bir dereceyi diğerine yükseltmek gerekirse, sonucun tabanı aynı sayı olarak kalır ve üsler çarpılır.

(bir n) m = bir n * m

Örneğin,

4. Bir dereceye kadar işi yükseltmek gerekirse keyfi sayılar, o zaman farklı gerekçelerin çarpımını aynı derecede aldığımız bir tür dağıtım yasasını kullanabilirsiniz.

(a * b) m = bir m * b m

Örneğin,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Benzer bir özellik, güçleri bölmek, başka bir deyişle, sıradan bir çifti bir güce yükseltmek için kullanılabilir.

(a / b) m = bir m / b m

6. Bire eşit bir üsse yükseltilen herhangi bir sayı, orijinal sayıya eşittir.

1 = bir

Örneğin,

7. Herhangi bir sayıyı üssü sıfır olan bir kuvvete yükseltirken, bu hesaplamanın sonucu her zaman bir olacaktır.

0 = 1

Örneğin,

İlk seviye

Derecesi ve özellikleri. Kapsamlı rehber (2019)

Dereceler neden gereklidir? Sizin için nerede faydalı olacaklar? Neden onları incelemek için zaman ayırmanız gerekiyor?

Dereceler hakkında her şeyi, ne işe yaradıklarını, bilginizi nasıl kullanacağınızı öğrenmek için Gündelik Yaşam bu makaleyi okuyun.

Ve elbette, derece bilgisi sizi başarılı bir başarıya daha da yaklaştıracaktır. sınavı geçmek veya Birleşik Devlet Sınavı ve hayallerinizdeki üniversiteye kabul.

Hadi gidelim, hadi gidelim!)

Önemli Not! Formüller yerine anlamsız görürseniz, önbelleği temizleyin. Bunu yapmak için CTRL + F5 (Windows'ta) veya Cmd + R (Mac'te) tuşlarına basın.

İLK SEVİYE

Üs aynı matematiksel operasyon toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi.

Şimdi her şeyi insan dilinde açıklayacağım. basit örnekler... Dikkat etmek. Örnekler basit, ancak önemli şeyleri açıklıyorlar.

Ekleme ile başlayalım.

Açıklanacak bir şey yok. Zaten her şeyi biliyorsun: sekiz kişiyiz. Her birinde iki şişe kola var. Ne kadar kola var? Bu doğru - 16 şişe.

Şimdi çarpma.

Aynı kola örneği farklı şekilde yazılabilir:. Matematikçiler kurnaz ve tembel insanlardır. Önce bazı kalıpları fark ederler ve sonra onları hızlı bir şekilde "saymak" için bir yol bulurlar. Bizim durumumuzda, sekiz kişiden her birinin aynı sayıda kola şişesine sahip olduğunu fark ettiler ve çarpma adı verilen bir teknik buldular. Katılıyorum, daha kolay ve daha hızlı olarak kabul edilir.

Bu nedenle, daha hızlı, daha kolay ve hatasız saymak için hatırlamanız yeterlidir çarpım tablosu... Elbette her şeyi daha yavaş, daha zor ve hatalarla yapabilirsiniz! Fakat…

İşte çarpım tablosu. Tekrarlamak.

Ve bir tane daha, daha güzel:

Başka zor numaralar Hesapları tembel matematikçiler mi icat etti? Doğru - bir sayıyı bir güce yükseltmek.

Bir sayıyı bir güce yükseltmek

Bir sayıyı beş kez kendisiyle çarpmanız gerekiyorsa, matematikçiler bu sayıyı beşinci güce yükseltmeniz gerektiğini söylüyorlar. Örneğin, . Matematikçiler, ikiden beşinci dereceye kadar olduğunu hatırlarlar. Ve bu tür sorunları kafalarında çözerler - daha hızlı, daha kolay ve hatasız.

tek yapman gereken sayıların kuvvetleri tablosunda neyin vurgulandığını hatırlayın... İnanın bu hayatınızı çok kolaylaştıracak.

Bu arada, neden ikinci derece denir? Meydan sayılar ve üçüncü - küp? Bunun anlamı ne? Büyük ölçüde iyi soru... Şimdi hem karelere hem de küplere sahip olacaksınız.

Hayat örneği #1

Bir sayının karesiyle veya ikinci kuvvetiyle başlayalım.

Metrekare bir havuz hayal edin. Havuz, kır evinizde. Hava sıcak ve gerçekten yüzmek istiyorum. Ama ... dibi olmayan bir havuz! Havuzun dibini fayanslarla kaplamak gerekir. Kaç karoya ihtiyacınız var? Bunu belirlemek için havuzun dip alanını bilmeniz gerekir.

Parmağınızı sokarak havuzun dibinin metre metre küplerden oluştuğunu basitçe sayabilirsiniz. Metre ile bir kiremit metreniz varsa, parçalara ihtiyacınız olacaktır. Çok kolay ... Ama böyle çinileri nerede gördün? Karonun cm x cm olması daha olasıdır ve sonra "parmak sayımı" ile işkence göreceksiniz. O zaman çoğalmalısın. Yani havuzun dibinin bir tarafına fayans (parçalar), diğer tarafına da fayans yerleştireceğiz. Çarpma, fayans () elde edersiniz.

Havuz dibinin alanını belirlemek için aynı sayıyı kendimiz çarptığımızı fark ettiniz mi? Bunun anlamı ne? Aynı sayı çarpıldıktan sonra "üs alma" tekniğini kullanabiliriz. (Tabii sadece iki sayınız olduğunda yine de onları çarpar veya bir üsse yükseltirsiniz. Ama eğer sayı çoksa, o zaman bir üsse yükseltmek çok daha kolaydır ve ayrıca hesaplamalarda daha az hata vardır. sınav, bu çok önemli).
Yani, ikinci derecede otuz () olacaktır. Ya da otuz kare olacak diyebilirsiniz. Başka bir deyişle, bir sayının ikinci kuvveti her zaman bir kare olarak gösterilebilir. Tersine, bir kare görürseniz, DAİMA bir sayının ikinci kuvvetidir. Kare, bir sayının ikinci kuvvetinin bir temsilidir.

Gerçek hayat örneği #2

İşte size bir görev, sayının karesini kullanarak satranç tahtasında kaç kare olduğunu sayın... Hücrelerin bir tarafında ve diğer tarafında da. Sayılarını saymak için sekiz ile sekizi çarpmanız gerekir veya ... satranç tahtasının bir kenarı olan bir kare olduğunu fark ederseniz, sekizi kare yapabilirsiniz. Hücreler alacaksınız. () Yani?

3 numaralı yaşam örneği

Şimdi sayının küpü veya üçüncü kuvveti. Aynı havuz. Ama şimdi bu havuza ne kadar su dökülmesi gerektiğini bulmanız gerekiyor. Hacmi hesaplamanız gerekir. (Hacimler ve sıvılar, bu arada, ölçülür metreküp... Beklenmedik, değil mi?) Bir havuz çizin: Alt kısmı bir metre boyutunda ve bir metre derinliğindedir ve metre metrede kaç küpün havuzunuza gireceğini hesaplamaya çalışın.

Parmağınızı doğrultun ve sayın! Bir, iki, üç, dört ... yirmi iki, yirmi üç ... Ne kadar oldu? Kayıp değil? Parmağınızla saymak zor mu? Böylece! Matematikçilerden bir örnek alın. Tembeller, bu yüzden havuzun hacmini hesaplamak için uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini birbiriyle çarpmanız gerektiğini fark ettiler. Bizim durumumuzda, havuzun hacmi küplere eşit olacak ... Daha kolay, değil mi?

Şimdi bunu da basitleştirseler, matematikçilerin ne kadar tembel ve kurnaz olduklarını hayal edin. Her şeyi tek bir eyleme indirdiler. Uzunluk, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğunu ve aynı sayının kendisiyle çarpıldığını fark ettiler... Bu ne anlama geliyor? Bu, derecenin avantajlarından yararlanabileceğiniz anlamına gelir. Yani, bir zamanlar parmağınızla saydığınız şeyi tek bir işlemde yaparlar: bir küpte üç eşittir. Şu şekilde yazılmıştır:.

sadece kalır derece tablosunu hatırla... Tabii matematikçiler kadar tembel ve kurnaz değilseniz. Çok çalışmayı ve hata yapmayı seviyorsanız parmağınızla saymaya devam edebilirsiniz.

Sonunda sizi, derecelerin aylaklar ve kurnaz insanlar tarafından yaşam sorunlarını çözmek için ve sizin için sorun yaratmamak için icat edildiğine ikna etmek için, işte hayattan birkaç örnek daha.

4 numaralı yaşam örneği

Bir milyon rublen var. Her yılın başında, her milyondan bir milyon daha kazanıyorsunuz. Yani, her yılın başında her milyonunuz ikiye katlanır. Yıllar sonra ne kadar paran olacak? Şimdi oturuyor ve “parmağınızla sayıyorsanız”, o zaman çok çalışkan bir insansınız ve .. aptalsınız. Ama büyük ihtimalle birkaç saniye içinde cevap vereceksin çünkü sen akıllısın! Yani, ilk yılda - iki kere iki ... ikinci yılda - olan iki tane daha oldu, üçüncü yılda ... Dur! Sayının kendisi ile bir kez çarpıldığını fark etmişsinizdir. Yani iki üzeri beşinci kuvvet bir milyondur! Şimdi bir yarışmanız olduğunu hayal edin ve o milyonlar daha hızlı hesaplayana gelsin... Sayıların derecelerini hatırlamaya değer mi, ne dersiniz?

Gerçek hayattan örnek 5

Bir milyonun var. Her yılın başında, her milyonda iki tane daha kazanırsınız. Harika, değil mi? Her milyonda üç kat. Yıllar sonra ne kadar paran olacak? Sayalım. İlk yıl - çarpın, sonra sonuç bir başkasıyla ... Zaten sıkıcı, çünkü zaten her şeyi anladınız: üç kez kendisiyle çarpılır. Yani dördüncü kuvvet bir milyona eşittir. Sadece üçün dördüncü kuvvetinin veya olduğunu hatırlamanız gerekir.

Artık bir sayıyı bir güce yükselterek hayatınızı büyük ölçüde kolaylaştıracağınızı biliyorsunuz. Derecelerle neler yapabileceğinize ve onlar hakkında bilmeniz gerekenlere bir göz atalım.

Terimler ve kavramlar ... karıştırılmaması için

O halde önce kavramları tanımlayalım. Ne düşünüyorsun, üs nedir? Çok basit - bu, sayının gücünün "en üstünde" olan sayıdır. Bilimsel değil, anlaşılır ve akılda kalıcı...

Peki, aynı zamanda böyle derece temeli? Daha da basit - bu, tabanda aşağıdaki sayıdır.

İşte emin olmak için bir çizim.

peki, içinde Genel görünüm, özetlemek ve daha iyi hatırlamak için ... Tabanı "" ve üssü "" olan bir derece "derece" olarak okunur ve şöyle yazılır:

Doğal üslü sayının derecesi

Muhtemelen şimdiye kadar tahmin etmişsinizdir: çünkü üs doğal bir sayıdır. evet ama ne var doğal sayı? İlkokul! Doğal sayılar, nesneleri listelerken saymada kullanılanlardır: bir, iki, üç... Nesneleri saydığımızda, "eksi beş", "eksi altı", "eksi yedi" demeyiz. Ayrıca "üçte bir" veya "sıfır noktası, onda beş" demiyoruz. Bunlar doğal sayılar değil. Sizce bunlar kaç numara?

"Eksi beş", "eksi altı", "eksi yedi" gibi sayılar, bütün sayılar. Genel olarak tam sayılar, tüm doğal sayıları, doğal sayıların tersini (yani eksi işaretiyle alınan) sayıları ve bir sayıyı içerir. Sıfırın anlaşılması kolaydır - bu, hiçbir şeyin olmadığı zamandır. Negatif ("eksi") sayılar ne anlama geliyor? Ancak öncelikle borçları belirtmek için icat edildiler: telefonunuzda ruble varsa, operatöre ruble borçlusunuz demektir.

Herhangi bir kesir rasyonel sayıdır. Sizce nasıl ortaya çıktılar? Çok basit. Birkaç bin yıl önce atalarımız uzunluk, ağırlık, alan vb. ölçmek için doğal sayılara sahip olmadıklarını keşfettiler. Ve onlar geldi rasyonel sayılar... İlginç, değil mi?

İrrasyonel sayılar da vardır. Bu sayılar nelerdir? Kısacası sonsuz ondalık... Örneğin, bir dairenin çevresini çapına bölerseniz irrasyonel bir sayı elde edersiniz.

Özet:

Üssü bir doğal sayı (yani bir tamsayı ve pozitif) olan bir derece kavramını tanımlayalım.

1. Birinci kuvvetteki herhangi bir sayı kendisine eşittir:
2. Bir sayının karesini almak onu kendisiyle çarpmaktır:
3. Bir sayının küpünü almak, onu kendisiyle üç kez çarpmaktır:

Tanım. Bir sayıyı doğal bir güce yükseltmek, sayıyı kendisiyle çarpmak anlamına gelir:
.

Güç özellikleri

Bu özellikler nereden geldi? şimdi sana göstereceğim.

Bakalım: nedir ve ?

A-manastırı:

Toplamda kaç faktör var?

Çok basit: çarpanlara çarpanlar ekledik ve toplam çarpanlar.

Ancak tanım gereği, bir sayının üslü, yani ispatlanması gerektiği gibi derecesidir.

Örnek: Ifadeyi basitleştir.

Çözüm:

Örnek: Ifadeyi basitleştir.

Çözüm: Kuralımızda şunu belirtmek önemlidir: mutlaka aynı temellere sahip olmalı!
Bu nedenle, dereceleri tabanla birleştiriyoruz, ancak ayrı bir faktör olarak kalıyor:

sadece derecelerin ürünü için!

Hiçbir durumda bunu yazamazsınız.

2. yani -bir sayının kuvveti

Önceki özellikte olduğu gibi, derecenin tanımına dönelim:

İfadenin bir kez kendisiyle çarpıldığı ortaya çıktı, yani tanıma göre, bu sayının inci gücü:

Özünde, buna "göstergeyi parantez içine alma" denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapmamalısınız:

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik?

Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı derece

Bu noktaya kadar sadece üssün ne olması gerektiğini tartıştık.

Ama temel ne olmalı?

derece ile doğal oran temel olabilir herhangi bir numara... Aslında, pozitif, negatif veya çift olsun, herhangi bir sayıyı birbirimizle çarpabiliriz.

Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların gücüne sahip olacağını düşünelim?

Örneğin, sayı pozitif mi yoksa negatif mi olacak? A? ? Birincisinde her şey açıktır: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ama olumsuz biraz daha ilginç. Ne de olsa 6. sınıftan basit bir kuralı hatırlıyoruz: "eksi eksi bir artı verir." Yani veya. Ama çarparsak işe yarar.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağına kendiniz karar verin:

Becerebildin mi?

İşte cevaplar: İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakarız ve uygun kuralı uygularız.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Örnek 5) de, her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece eşittir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir.

Tabii taban sıfır değilse. Temel eşit değil, değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar kolay değil!

eğitmek için 6 örnek

Çözümü ayrıştırma 6 örnek

Sekizinci dereceyi görmezden gelirsek, burada ne görüyoruz? 7. sınıf programını hatırlıyoruz. Hatırla? Bu, kısaltılmış çarpma formülüdür, yani kareler farkı! Alırız:

Paydaya yakından bakalım. Paydaki çarpanlardan birine çok benziyor, ama sorun ne? Terimlerin yanlış sırası. Tersine çevrilecek olsaydı, kural uygulanabilirdi.

Ama bunu nasıl yapmalı? Çok kolay olduğu ortaya çıkıyor: burada paydanın çift derecesi bize yardımcı oluyor.

Terimler sihirli bir şekilde tersine çevrilir. Bu "fenomen" herhangi bir ifadeye eşit derecede uygulanabilir: parantez içindeki işaretleri özgürce değiştirebiliriz.

Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Tüm karşılarındaki doğal sayıları (yani "" işaretiyle alınan) ve sayıyı diyoruz.

pozitif tamsayı, ancak doğaldan farklı değil, o zaman her şey önceki bölümdeki gibi görünüyor.

Şimdi bazı yeni vakalara bakalım. Eşit bir gösterge ile başlayalım.

Sıfır derecesindeki herhangi bir sayı bire eşittir:

Her zaman olduğu gibi kendimize şu soruyu soralım: Bu neden böyle?

Tabanlı bir derece düşünün. Örneğin alın ve şununla çarpın:

Böylece sayıyı çarpıp - olduğu gibi elde ettik. Ve hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayıyı çarpmalısınız? Bu doğru, devam. Anlamına geliyor.

Aynısını rastgele bir sayıyla da yapabiliriz:

Kuralı tekrarlayalım:

Sıfır derecesindeki herhangi bir sayı bire eşittir.

Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da var - bu bir sayı (taban olarak).

Bir yandan, herhangi bir dereceye eşit olmalıdır - kendinizle ne kadar çarparsanız çoğaltın, yine de sıfır alacaksınız, bu açık. Ama öte yandan, sıfır derecesindeki herhangi bir sayı gibi, eşit olmalıdır. Peki bunlardan hangisi doğrudur? Matematikçiler karışmamaya karar verdiler ve sıfırı sıfıra yükseltmeyi reddettiler. Yani, şimdi sadece sıfıra bölmekle kalmıyor, aynı zamanda onu sıfıra yükseltiyoruz.

Daha ileri gidelim. Doğal sayılar ve sayılara ek olarak, negatif sayılar tam sayılara aittir. Negatif gücün ne olduğunu anlamak için geçen seferkinin aynısını yapalım: bazı normal sayıları aynı negatif güçle çarpın:

Buradan, aradığınızı ifade etmek zaten çok kolay:

Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişleteceğiz:

Öyleyse, bir kural formüle edelim:

Negatif kuvvetteki bir sayı, pozitif kuvvetteki aynı sayının tersidir. Ama aynı zamanda taban boş olamaz:(çünkü bölemezsiniz).

Özetleyelim:

I. Durumda ifade belirtilmemiş. Eğer öyleyse.

II. Sıfır dereceye kadar herhangi bir sayı bire eşittir:.

III. Sıfıra eşit olmayan bir sayı, pozitif bir kuvvette aynı sayının tersi olarak negatif kuvvettedir:.

Bağımsız çözüm için görevler:

Peki ve her zamanki gibi bağımsız bir çözüm için örnekler:

Bağımsız çözüm için görevlerin analizi:

Biliyorum, biliyorum, rakamlar korkunç ama sınavda her şeye hazır olmalısın! Bu örnekleri çözün veya çözemediyseniz çözümlerini analiz edin ve sınavda bunlarla nasıl kolayca başa çıkacağınızı öğreneceksiniz!

Üs olarak "uygun" sayı çemberini genişletmeye devam edelim.

Şimdi düşünün rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?

Cevap: Kesir olarak gösterilebilecek her şey, burada ve tamsayılar, üstelik.

ne olduğunu anlamak için kesirli derece, kesri düşünün:

Denklemin her iki tarafını da güce yükseltelim:

Şimdi kuralı hatırlayalım "Dereceden dereceye":

Hangi sayının elde edilmesi için bir güce yükseltilmesi gerekir?

Bu formülasyon, inci kökün tanımıdır.

Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () kuvvetinin kökü, bir kuvvete yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.

Yani, th kuvvetinin kökü, üs almanın ters işlemidir:.

Şekline dönüştü. Açıkçası bu özel durum genişletilebilir:.

Şimdi payı ekliyoruz: nedir? Cevap, dereceden dereceye kuralı kullanılarak kolayca elde edilir:

Ama taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta, kök tüm sayılardan çıkarılamaz.

Hiçbiri!

Kuralı hatırlayın: çift kuvvete yükseltilmiş herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani, negatif sayılardan çift dereceli kökler çıkaramazsınız!

Ve bu, bu tür sayıların eşit bir payda ile kesirli bir güce yükseltilemeyeceği, yani ifadenin anlamlı olmadığı anlamına gelir.

Peki ya ifade?

Ama sorun burada ortaya çıkıyor.

Sayı, örneğin veya gibi diğer iptal edilebilir kesirler olarak gösterilebilir.

Ve var olduğu ortaya çıktı, ama yok, ama bunlar sadece aynı sayının iki farklı kaydı.

Veya başka bir örnek: bir kez yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı bir şekilde yazarsak ve yine bir sıkıntı yaşarız: (yani, tamamen farklı bir sonuç aldık!).

Bu tür paradokslardan kaçınmak için, sadece kesirli üslü pozitif sayı tabanı.

Yani:

• - doğal sayı;
• - Bir tam sayı;

Örnekler:

Rasyonel üsler, köklü ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:

eğitmek için 5 örnek

Eğitim için 5 örneğin analizi

Ve şimdi en zor kısım. Şimdi analiz edeceğiz irrasyonel derece.

Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, aşağıdakiler dışında, rasyonel üslü bir derece ile tamamen aynıdır.

Aslında, tanım gereği irrasyonel sayılar, tam sayılar olan bir kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır (yani, irrasyonel sayılar, rasyonel olanlar dışındaki tüm gerçek sayılardır).

Dereceleri doğal, bütün ve rasyonel bir göstergeyle incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle bir tür "imaj", "analoji" veya açıklama oluşturduk.

Örneğin, doğal bir üs, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;

...sıfır dereceli sayı- deyim yerindeyse, kendisi ile bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani henüz çarpılmaya başlamamıştır, yani sayının kendisi bile ortaya çıkmamıştır - bu nedenle sonuç yalnızca bir tür "boş sayı"dır. ", yani sayı;

...tamsayı negatif üs- sanki kesin" ters işlem”, Yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüştür.

Bu arada, bilimde, genellikle karmaşık bir göstergeye sahip bir derece kullanılır, yani gösterge gerçek bir sayı bile değildir.

Ancak okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları anlama fırsatınız olacak.

GİDECEĞİNİZDEN EMİN OLDUĞUMUZ YER! (bu tür örnekleri nasıl çözeceğinizi öğrenirseniz :))

Örneğin:

Kendin için karar ver:

Çözümlerin analizi:

1. Bir gücü bir güce yükseltmek için zaten bilinen kuralla başlayalım:

Şimdi göstergeye bakın. Sana bir şey hatırlatıyor mu? Kısaltılmış çarpma formülünü, karelerin farkını hatırlıyoruz:

Bu durumda,

Şekline dönüştü:

Cevap: .

2. Üslerdeki kesirleri aynı forma getiriyoruz: ya ondalık ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunları alalım:

Cevap: 16

3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini uyguluyoruz:

İLERİ DÜZEY

Derecenin belirlenmesi

Derece, formun bir ifadesidir:, burada:

• — derece temeli;
• - üs.

Doğal üslü derece (n = 1, 2, 3, ...)

Bir sayıyı doğal bir n kuvvetine yükseltmek, sayıyı kendisiyle çarpmak anlamına gelir:

Tamsayı derecesi (0, ± 1, ± 2, ...)

üs ise tamamen olumlu sayı:

ereksiyon sıfır dereceye:

İfade belirsizdir, çünkü bir yandan herhangi bir dereceye kadar - bu ve diğer yandan - inci dereceye kadar herhangi bir sayı - bu.

üs ise tamamen olumsuz sayı:

(çünkü bölemezsiniz).

Sıfırlar hakkında bir kez daha: ifade durumunda tanımsızdır. Eğer öyleyse.

Örnekler:

rasyonel not

• - doğal sayı;
• - Bir tam sayı;

Örnekler:

Güç özellikleri

Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için anlamaya çalışalım: bu özellikler nereden geldi? Onları kanıtlayalım.

Bakalım: nedir ve?

A-manastırı:

Böylece, bu ifadenin sağ tarafında aşağıdaki ürünü elde ederiz:

Ancak tanım gereği, bir sayının üslü derecesidir, yani:

Q.E.D.

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : .

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : Dikkat edilmesi gereken husus, kuralımızda mutlaka aynı temellere sahip olmalıdır. Bu nedenle, dereceleri tabanla birleştiriyoruz, ancak ayrı bir faktör olarak kalıyor:

Bir önemli not daha: bu kural - sadece derecelerin ürünü için!

Bunu hiçbir şekilde yazmamalıyım.

Önceki özellikte olduğu gibi, derecenin tanımına dönelim:

Bu parçayı şu şekilde yeniden düzenleyelim:

İfadenin bir kez kendisiyle çarpıldığı ortaya çıktı, yani tanıma göre, bu sayının inci gücü:

Özünde, buna "göstergeyi parantez içine alma" denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapmamalısınız:!

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: Kaç kez yazmak istedik? Ama sonuçta bu doğru değil.

Negatif tabanlı bir derece.

Bu noktaya kadar sadece nasıl olması gerektiğini tartıştık. dizin derece. Ama temel ne olmalı? derece ile doğal gösterge temel olabilir herhangi bir numara .

Aslında, pozitif, negatif veya çift olsun, herhangi bir sayıyı birbirimizle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin ("" veya "") pozitif ve negatif sayıların gücüne sahip olacağını düşünelim?

Örneğin, sayı pozitif mi yoksa negatif mi olacak? A? ?

Birincisinde her şey açıktır: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım sonuç pozitif olacaktır.

Ama olumsuz biraz daha ilginç. Ne de olsa 6. sınıftan basit bir kuralı hatırlıyoruz: "eksi eksi bir artı verir." Yani veya. Ama () ile çarparsak - alırız.

Ve böylece sonsuza kadar: sonraki her çarpma ile işaret değişecektir. Böyle formüle edilebilir Basit kurallar:

1. hatta derece, - sayı pozitif.
2. Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
3. Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı, pozitif bir sayıdır.
4. Herhangi bir güce sıfır, sıfıra eşittir.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağına kendiniz karar verin:

Becerebildin mi? İşte cevaplar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dört örnekte, umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakarız ve uygun kuralı uygularız.

Örnek 5), her şey göründüğü kadar korkutucu değildir: tabanın neye eşit olduğu önemli değildir - derece eşittir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir. Tabii taban sıfır değilse. Temel eşit değil, değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsanız, netleşir ve bu nedenle temel Sıfırdan daha az... Yani kural 2'yi uygularız: sonuç olumsuz olur.

Ve yine derece tanımını kullanıyoruz:

Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıyoruz ve onları birbirine böldük, çiftlere böldük ve şunu elde ettik:

Son kuralı incelemeden önce birkaç örnek çözelim.

İfadelerin değerlerini hesaplayın:

Çözümler :

Sekizinci dereceyi görmezden gelirsek, burada ne görüyoruz? 7. sınıf programını hatırlıyoruz. Hatırla? Bu, kısaltılmış çarpma formülüdür, yani kareler farkı!

Alırız:

Paydaya yakından bakalım. Paydaki çarpanlardan birine çok benziyor, ama sorun ne? Terimlerin yanlış sırası. Tersine çevrilmiş olsaydı, Kural 3 uygulanabilirdi ama nasıl yapılır? Çok kolay olduğu ortaya çıkıyor: burada paydanın çift derecesi bize yardımcı oluyor.

Bununla çarparsan hiçbir şey değişmez değil mi? Ama şimdi şu çıkıyor:

Terimler sihirli bir şekilde tersine çevrilir. Bu "fenomen" herhangi bir ifadeye eşit derecede uygulanabilir: parantez içindeki işaretleri özgürce değiştirebiliriz. Ancak şunu hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!İstemediğimiz sadece bir dezavantajı değiştirerek değiştirilemez!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Şimdi son kural:

Nasıl kanıtlayacağız? Tabii ki, her zamanki gibi: hadi derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:

Şimdi parantezleri açalım. Kaç harf olacak? çarpanlarla kez - neye benziyor? Bu, bir işlemin tanımından başka bir şey değildir. çarpma işlemi: sadece çarpanlar vardı. Yani, tanımı gereği, üslü bir sayının derecesidir:

Örnek:

irrasyonel derece

Orta seviye için derecelerle ilgili bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir üsle analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, istisna dışında, rasyonel üslü bir derece ile tamamen aynıdır - sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar bir kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır, burada ve tam sayılardır (ki yani, irrasyonel sayılar, rasyonel hariç tüm gerçek sayılardır).

Dereceleri doğal, bütün ve rasyonel bir göstergeyle incelerken, her seferinde daha tanıdık terimlerle bir tür "imaj", "analoji" veya açıklama oluşturduk. Örneğin, doğal bir üs, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır dereceye kadar bir sayı, kendisi ile bir kez çarpılan bir sayıdır, yani henüz çarpılmaya başlamamıştır, bu, sayının kendisinin bile görünmediği anlamına gelir - bu nedenle, sonuç yalnızca bir türdür "boş sayı", yani sayı; negatif tamsayı üslü bir derece, bir tür "ters işlem" gerçekleşmiş gibidir, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüştür.

İrrasyonel bir üslü bir derece hayal etmek son derece zordur (tıpkı 4 boyutlu bir uzay hayal etmenin zor olması gibi). Daha ziyade, matematikçilerin bir derece kavramını tüm sayılar uzayına genişletmek için yarattıkları tamamen matematiksel bir nesnedir.

Bu arada, bilimde, genellikle karmaşık bir göstergeye sahip bir derece kullanılır, yani gösterge gerçek bir sayı bile değildir. Ancak okulda bu tür zorlukları düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları anlama fırsatınız olacak.

peki görürsek ne yaparız irrasyonel gösterge derece? Tüm gücümüzle kurtulmaya çalışıyoruz! :)

Örneğin:

Kendin için karar ver:

Yanıtlar:

1. Kareler farkı formülünü hatırlıyoruz. Cevap: .
2. Kesirleri aynı forma getiriyoruz: ya her iki ondalık basamak ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunları elde ederiz:.
3. Özel bir şey yok, normal derece özelliklerini uyguluyoruz:

BÖLÜM ÖZETİ VE TEMEL FORMÜLLER

Derece formun ifadesi olarak adlandırılır, burada:

tamsayı derecesi

üssü bir doğal sayı olan derece (yani tam ve pozitif).

rasyonel not

Üssü negatif ve kesirli sayılar olan derece.

irrasyonel derece

Üssü sonsuz bir ondalık kesir veya kök olan derece.

Güç özellikleri

Derecelerin özellikleri.

• Negatif sayı yükseltildi hatta derece, - sayı pozitif.
• Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
• Herhangi bir dereceye kadar pozitif bir sayı, pozitif bir sayıdır.
• Sıfır herhangi bir güce eşittir.
• Herhangi bir sayı sıfır dereceye eşittir.

ŞİMDİ SÖZÜNÜZ...

Makaleyi nasıl buldunuz? Beğenip beğenmediğinizi yorumlara yazın.

Derece özellikleriyle ilgili deneyiminizden bahsedin.

Belki sorularınız var. Veya öneriler.

Yorumlara yazın.

Ve sınavlarında iyi şanslar!