Önceki makalelerden birinde, sayının derecesinden zaten bahsetmiştik. Bugün anlamını bulma sürecinde kendimizi yönlendirmeye çalışacağız. Bilimsel olarak konuşursak, nasıl düzgün bir şekilde bir güce yükseltileceğini çözeceğiz. Bu sürecin nasıl yürütüldüğünü anlayacağız, aynı zamanda tüm olası derece göstergelerine değineceğiz: doğal, irrasyonel, rasyonel, bütün.

Öyleyse, örneklerin çözümlerine daha yakından bakalım ve ne anlama geldiğini öğrenelim:

1. Kavramın tanımı.
2. Negatif Art.
3. Tüm gösterge.
4. içinde bir sayı yükseltmek irrasyonel derece.

İşte anlamı tam olarak yansıtan bir tanım: "Üs, bir sayının kuvvetinin anlamının tanımıdır."

Buna göre, a sayısını Art'a yükseltmek. r ve r üssü ile a üssünün değerini bulma süreci özdeş kavramlardır. Örneğin, görev (0.6) 6 ″ gücünün değerini hesaplamaksa, “0.6 sayısını 6'nın gücüne yükseltin” ifadesine basitleştirilebilir.

Bundan sonra doğrudan inşaat kurallarına geçebilirsiniz.

negatif üs

Anlaşılır olması için aşağıdaki ifadeler zincirine dikkat etmelisiniz:

110 = 0.1 = 1 * 10 eksi 1 st.,

1100 = 0.01 = 1 * 10 eksi 2 adımda.,

11000 = 0.0001 = 1 * 10 eksi 3 st.,

110000 = 0.00001 = 1 * 10 eksi 4 derece.

Bu örnekler sayesinde, herhangi bir eksi gücün 10'u anında hesaplama yeteneğini açıkça görebilirsiniz. Bu amaçla, ondalık bileşeni kaydırmak oldukça bayattır:

• 10 ila -1 derece - birim 1 sıfırdan önce;
• -3'te - birden önce üç sıfır;
• -9'da 9 sıfır vb.

Bu şemaya göre, 10 ila eksi 5 yemek kaşığı ne kadar olacağını anlamak kadar kolaydır. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Bir doğal sayı nasıl yükseltilir

Tanımı hatırlatarak, Sanatta a doğal sayısının olduğunu dikkate alıyoruz. n, her biri a'ya eşit olan n faktörünün çarpımına eşittir. Örnekleyelim: (a * a * ... a) n, burada n, çarpılan sayıların sayısıdır. Buna göre, a'yı n'ye yükseltmek için, aşağıdaki formun çarpımını hesaplamak gerekir: a * a * ... ve n'ye bölmek.

Bundan anlaşılıyor ki doğal sanatta ereksiyon. çoğalma yeteneğine dayanır(Bu materyal, gerçek sayıların çarpılması bölümünde ele alınmıştır). Soruna bir göz atalım:

4. caddede -2 dik.

Doğal bir gösterge ile uğraşıyoruz. Buna göre kararın seyri aşağıdaki gibi olacaktır: (-2) md. 4 = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Şimdi sadece tam sayıların çarpmasını yapmak için kalır: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). 16 alıyoruz.

Sorunun cevabı:

(-2) sanatta. 4 = 16.

Örnek:

Değeri hesaplayın: üç nokta iki yedinin karesi.

Bu örnek aşağıdaki ürüne eşittir: üç virgül iki yedi ile üç virgül iki yedi çarpımı. Karışık sayıların çarpımının nasıl yapıldığını hatırlayarak inşaatı tamamlıyoruz:

• 3 nokta 2 yedinci kendileriyle çarpılır;
• 23 yedinci çarpı 23 yedinci eşittir;
• 529 kırk dokuzuncuya eşit;
• kısaltın ve 10 otuz dokuz kırk dokuz elde edin.

Cevap: 10 39/49

İrrasyonel bir göstergeye yükseltme konusuyla ilgili olarak, derece bazının belirli bir doğrulukta bir değer elde edilmesini sağlayacak herhangi bir kategoriye ön yuvarlamasının tamamlanmasından sonra hesaplamaların yapılmaya başlandığı belirtilmelidir. Örneğin, P (pi) sayısının karesini almamız gerekiyor.

P'yi yüzde bire yuvarlayarak başlıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

P kare = (3.14) 2 = 9.8596. Ancak, P'yi on binde birine düşürürsek, P = 3.14159 elde ederiz. Ardından kare alma işlemi tamamen farklı bir sayı alır: 9.8695877281.

Burada belirtmek gerekir ki birçok problemde irrasyonel sayıları bir kuvvete yükseltmeye gerek yoktur. Kural olarak, cevap ya bir derece şeklinde yazılır, örneğin, 6'nın kökü 3'ün kuvveti veya ifade izin veriyorsa dönüşümü gerçekleştirilir: 5'in kökü 7. dereceye = 5'in 125 kökü.

Bir sayı nasıl tam bir güce yükseltilir

Bu cebirsel manipülasyon uygundur aşağıdaki durumlar için dikkate alın:

• tam sayılar için;
• sıfır göstergesi için;
• tam bir pozitif gösterge için.

Pratik olarak tüm pozitif tamsayılar, doğal sayıların kütlesi ile çakıştığından, pozitif bir tamsayı derecesine ayarlamak, Sanat'ta ayarlamakla aynı işlemdir. doğal. Bu işlemi bir önceki paragrafta anlatmıştık.

Şimdi Art hesaplama hakkında konuşalım. boş. Yukarıda, a sayısının sıfır derecesinin, Sanat'ta iken, sıfır olmayan herhangi bir a (gerçek) için belirlenebileceğini zaten öğrendik. 0, 1'e eşit olacaktır.

Buna göre, herhangi bir gerçek sayıyı sıfıra yükseltmek st. birini verecektir.

Örneğin, st. 0 = 1'de 10, (-3.65) 0 = 1 ve st'de 0. 0 belirlenemez.

Bir tamsayıya yükseltmeyi tamamlamak için, tamsayı negatif değerler için seçeneklere karar vermek kalır. Art'ı hatırlıyoruz. a tamsayılı üslü -z bir kesir olarak tanımlanacaktır. Kesrin paydası Art'tır. değerini bulmayı öğrendiğimiz pozitif bir tamsayı değeri ile. Şimdi sadece bir inşaat örneğini düşünmek kalıyor.

Örnek:

Tamsayılı bir küpte 2 sayısının değerini hesaplayın negatif gösterge.

Çözüm süreci:

Negatif göstergeli bir derece tanımına göre, şunu belirtiyoruz: eksi 3 yemek kaşığı iki. üçüncü derecede bir ikiye eşittir.

Payda basitçe hesaplanır: iki küp;

3 = 2*2*2=8.

Cevap: iki eksi 3. yemek kaşığı. = sekizde bir.

Bu materyal çerçevesinde bir sayının derecesinin ne olduğunu analiz edeceğiz. Temel tanımlara ek olarak, doğal, tam, rasyonel ve irrasyonel üslerle derecelerin ne olduğunu formüle edeceğiz. Her zaman olduğu gibi, tüm kavramlar görev örnekleri ile gösterilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İlk olarak, doğal üslü bir derecenin temel tanımını formüle ediyoruz. Bunu yapmak için, çarpmanın temel kurallarını hatırlamamız gerekir. Şimdilik, gerçek bir sayıyı temel olarak (bunu a harfiyle belirtin) ve bir gösterge olarak - doğal bir sayıyı (n harfiyle belirtin) alacağımızı açıklığa kavuşturalım.

tanım 1

Doğal üssü n olan bir a sayısının gücü, her biri a sayısına eşit olan n'inci faktör sayısının çarpımıdır. Derece şöyle yazılır: bir, ve bir formül şeklinde, bileşimi aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Örneğin, üs 1 ve taban a ise, a'nın ilk kuvveti şu şekilde yazılır: 1... a'nın faktörün değeri ve 1'in faktör sayısı olduğu göz önüne alındığında, şu sonuca varabiliriz: 1 = bir.

Genel olarak, derecenin çok sayıda eşit faktör yazmanın uygun bir şekli olduğunu söyleyebiliriz. Yani, formun bir girişi 8 8 8 8 azaltılabilir 8 4 ... Aynı şekilde, bir parça yazmaktan kaçınmamıza yardımcı olur. Büyük bir sayı terimler (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); Bunu çarpma ile ilgili makalede zaten tartışmıştık doğal sayılar.

Derece kaydını nasıl doğru okuyabilir? Genel olarak kabul edilen seçenek "a üzeri n"dir. Veya "n -th derecesi a" veya "a n -th derecesi" diyebilirsiniz. Diyelim ki, örnek girişi içeriyorsa 8 12 , "8'den 12'ye kadar", "8'den 12.dereceye" veya "12.dereceden 8'e" şeklinde okuyabiliriz.

Sayının ikinci ve üçüncü kuvvetlerinin köklü isimleri vardır: kare ve küp. İkinci dereceyi, örneğin 7 (7 2) sayısını görürsek, “7'nin karesi” veya “7 sayısının karesi” diyebiliriz. Benzer şekilde, üçüncü derece şöyle okunur: 5 3 "5 sayısının küpü" veya "küpte 5"tir. Ancak standart formülasyonu “ikinci/üçüncü derecede” kullanmak da mümkündür, bu bir hata olmayacaktır.

örnek 1

Doğal göstergeli bir derece örneğini inceleyelim: 5 7 beş temel ve yedi gösterge olacaktır.

Tabanın bir tamsayı olması gerekmez: derece için (4 , 32) 9 taban kesir 4, 32'dir ve üs dokuzdur. Parantezlere dikkat edin: böyle bir giriş, tabanları doğal sayılardan farklı olan tüm dereceler için yapılır.

Örneğin: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Parantezler ne için? Hesaplama hatalarından kaçınmaya yardımcı olurlar. Diyelim ki iki girdimiz var: (− 2) 3 ve − 2 3 ... ilki demek negatif bir sayı eksi iki doğal üs üçe yükseltildi; ikincisi, derecenin zıt değerine karşılık gelen sayıdır. 2 3 .

Bazen kitaplarda sayı derecesinin biraz farklı yazılışını bulabilirsiniz - bir ^ n(burada a taban ve n üsdür). Yani, 4 ^ 9 ile aynıdır 4 9 ... n çok basamaklı bir sayı ise parantez içine alınır. Örneğin, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ama notasyonu kullanacağız bir olarak daha yaygın.

Doğal bir üslü bir derecenin değerinin tanımından nasıl hesaplanacağını tahmin etmek kolaydır: sadece n'inci sayıyı çarpmanız yeterlidir. Bu konuda daha fazlasını başka bir makalede yazdık.

Derece kavramı, başka bir matematiksel kavramın tersidir - bir sayının kökü. Derecenin değerini ve üssünü biliyorsak, tabanını hesaplayabiliriz. Derecenin, ayrı bir materyalde analiz ettiğimiz sorunları çözmek için yararlı olan bazı belirli özellikleri vardır.

Üslerde, yalnızca doğal sayılar değil, aynı zamanda tamsayılar kümesine ait oldukları için, negatif birler ve sıfırlar da dahil olmak üzere genel olarak herhangi bir tam sayı değeri durabilir.

tanım 2

Pozitif tamsayılı bir sayının kuvveti formül olarak gösterilebilir: .

Ayrıca, n herhangi bir pozitif tamsayıdır.

Sıfır derece kavramıyla ilgilenelim. Bunu yapmak için, eşit tabanlı dereceler için bölümün özelliğini hesaba katan bir yaklaşım kullanıyoruz. Aşağıdaki gibi formüle edilmiştir:

tanım 3

eşitlik bir m: bir n = bir m - n koşullar altında doğru olacaktır: m ve n doğal sayılardır, m< n , a ≠ 0 .

Son koşul önemlidir çünkü sıfıra bölmeyi önler. m ve n değerleri eşitse, aşağıdaki sonucu alırız: bir n: bir n = bir n - n = bir 0

Ama aynı zamanda a n: a n = 1 bölümdür eşit sayılar bir ve bir. Sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfır derecesinin bire eşit olduğu ortaya çıktı.

Ancak, böyle bir ispat sıfırdan sıfıra kadar geçerli değildir. Bunu yapmak için, derecelerin başka bir özelliğine ihtiyacımız var - eşit tabanlı derecelerin çarpımlarının özelliği. Şuna benziyor: bir m bir n = bir m + n .

n'nin 0'a eşit olması durumunda, bir m ve 0 = bir m(bu eşitlik bize şunu da kanıtlıyor: 0 = 1). Ama eğer a da sıfıra eşitse eşitliğimiz şu şekli alır: 0 m 0 0 = 0 m, n'nin herhangi bir doğal değeri için doğru olacaktır ve derecenin değerinin tam olarak ne olduğu önemli değildir. 0 0 , yani herhangi bir sayıya eşit olabilir ve bu eşitliğin aslına uygunluğunu etkilemez. Bu nedenle, formun bir gösterimi 0 0 özel bir anlamı yoktur ve ona atfetmeyeceğiz.

İstenirse, bunu kontrol etmek kolaydır 0 = 1 derece özelliği ile yakınsar (bir m) n = bir m n derece tabanının sıfır olmaması şartıyla. Böylece, sıfır üslü sıfır olmayan herhangi bir sayının derecesi bire eşittir.

Örnek 2

Belirli sayılarla bir örneğe bakalım: Yani, 5 0 - birim, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ve değeri 0 0 Tanımsız.

Sıfır dereceden sonra, negatif derecenin ne olduğunu bulmak bize kalır. Bunu yapmak için, yukarıda zaten kullandığımız, eşit tabanlı dereceler çarpımının aynı özelliğine ihtiyacımız var: a m · a n = a m + n.

Şu koşulu sunalım: m = - n, o zaman a sıfıra eşit olmamalıdır. Bunu takip ediyor a - n bir n = bir - n + n = bir 0 = 1... Görünüşe göre bir n ve bir karşılıklı ters sayılara sahibiz.

Sonuç olarak, a'dan bir tamsayıya negatif kuvvet, 1 a n'lik bir kesirden başka bir şey değildir.

Bu formülasyon, bir tamsayı negatif üslü bir derece için, aynı özelliklerin tümünün doğal üslü bir derece olarak (tabanın sıfır olmaması şartıyla) geçerli olduğunu doğrular.

Örnek 3

Negatif n tamsayılı a'nın gücü, 1 a n kesri olarak temsil edilebilir. Böylece, a - n = 1 a n koşulu altında bir ≠ 0 ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Düşüncemizi belirli örneklerle açıklayalım:

Örnek 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paragrafın son bölümünde, söylenen her şeyi tek bir formülde açıkça göstermeye çalışacağız:

tanım 4

Doğal üssü z olan a sayısının gücü: az = az, e ile l ve z - tamsayı pozitif 1, z = 0 ve a ≠ 0, (ve z = 0 ve a = 0 için, 0 0 alırız, ifadenin değerleri 0 0 değil ( z bir tamsayıysa ve a = 0 0 z verirse, ego z n n n e n d e d e n t)

rasyonel üs dereceleri nelerdir

Üssün bir tamsayı içerdiği durumları analiz ettik. Bununla birlikte, üssünde bir kesirli sayı olduğunda bir sayıyı bir kuvvete yükseltebilirsiniz. Buna c derecesi denir rasyonel gösterge... Bu alt bölümde diğer derecelerle aynı özelliklere sahip olduğunu ispatlayacağız.

Rasyonel sayılar nelerdir? Onların seti hem bütün hem de kesirli sayılar, kesirli sayılar sıradan kesirler (hem pozitif hem de negatif) olarak gösterilebilir. Bir a sayısının derecesinin tanımını kesirli bir üs m / n ile formüle edelim, burada n bir doğal sayı ve m bir tam sayıdır.

a m n kesirli üslü bir dereceye sahibiz. Dereceden dereceye özelliğinin yerine getirilmesi için, a m n n = a m n · n = a m eşitliği doğru olmalıdır.

n'inci kökün tanımı ve a m n n = a m olduğu göz önüne alındığında, verilen m, n ve a değerleri için a m n anlamlıysa, a m n = a m n koşulunu kabul edebiliriz.

Bir tamsayı üslü bir derecenin yukarıdaki özellikleri, a m n = a m n olması koşuluyla doğru olacaktır.

Akıl yürütmemizden çıkan ana sonuç şudur: kesirli üs m / n olan bir a sayısının kuvveti, a sayısının m'nin kuvvetine göre n'inci köküdür. Bu, verilen m, n ve a değerleri için a m n ifadesi anlamlı kalırsa doğrudur.

1. Derecenin tabanının değerini sınırlayabiliriz: m'nin pozitif değerleri için 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak ve negatif değerler için kesinlikle daha az olacak a alın (çünkü m ≤ 0 için 0 m, ancak bu derece tanımlı değil). Bu durumda, kesirli üslü bir derecenin tanımı şöyle görünecektir:

Bazı pozitif sayılar için m / n kesirli üslü üs, m'nin kuvvetine yükseltilmiş a'nın n'inci köküdür. Bir formül şeklinde, bu aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Tabanı sıfır olan bir derece için bu konum da uygundur, ancak yalnızca üssü pozitif bir sayıysa.

Tabanı sıfır ve kesirli pozitif üs m / n olan bir derece şu şekilde ifade edilebilir:

0 m n = 0 m n = 0, pozitif tamsayı m ve doğal n koşulu altında.

Negatif oranlı m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Bir noktayı not edelim. a'nın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğu koşulunu getirdiğimizden, bazı durumları düşürdük.

a m n ifadesi bazen a'nın bazı negatif değerleri ve bazı m'ler için anlamlıdır. Bu nedenle, doğru girişler (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4'tür, burada taban negatiftir.

2. İkinci yaklaşım, a m n kökünü çift ve tek üslerle ayrı ayrı ele almaktır. O zaman bir koşul daha eklememiz gerekiyor: üssünde iptal edilebilir bir adi kesir bulunan a'nın gücü, üssünde karşılık gelen indirgenemez kesrin bulunduğu a'nın gücü olarak kabul edilir. Daha sonra bu duruma neden ihtiyacımız olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu açıklayacağız. Böylece, a m k n k kaydımız varsa, onu a m n'ye indirgeyebilir ve hesaplamaları basitleştirebiliriz.

n tek ve m pozitifse, a negatif olmayan herhangi bir sayıysa, o zaman a m n anlamlıdır. Negatif olmayan bir a için koşul gereklidir, çünkü negatif bir sayının çift kökü çıkarılmaz. m'nin değeri pozitifse, o zaman a negatif veya sıfır olabilir, çünkü herhangi bir gerçek sayıdan tek bir kök çıkarılabilir.

Yukarıdaki tanımdaki tüm verileri tek bir kayıtta birleştirelim:

Burada m / n indirgenemez bir kesir anlamına gelir, m herhangi bir tam sayıdır ve n herhangi bir doğal sayıdır.

tanım 5

Herhangi bir sıradan iptal edilebilir kesir m · k n · k için, üs a m n ile değiştirilebilir.

İndirgenemez kesirli üslü bir sayının gücü m / n - aşağıdaki durumlarda a m n olarak ifade edilebilir: - herhangi bir gerçek a, tamsayı için pozitif değerler m ve tek doğal değerler n. Örnek: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Sıfır olmayan herhangi bir gerçek a, negatif tamsayı m ve tek n için, örneğin, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Herhangi bir negatif olmayan a, pozitif tamsayı m ve hatta n için, örneğin, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Herhangi bir pozitif a, tamsayı negatif m ve hatta n için, örneğin, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Diğer değerler için kesirli üs tanımlanmamıştır. Bu derecelere örnekler: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Şimdi yukarıda belirtilen koşulun önemini açıklayalım: Neden iptal edilebilir bir üslü kesri, indirgenemez bir kesirle değiştirelim. Bunu yapmasaydık, diyelim ki 6/10 = 3/5 gibi durumlarla karşılaşacaktık. O zaman doğru (- 1) 6 10 = - 1 3 5, ancak - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ve (- 1) 3 5 = (- 1 olmalıdır. ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Birinciye verdiğimiz kesirli üslü derecenin tanımı pratikte ikinciye göre daha uygundur, bu yüzden kullanmaya devam edeceğiz.

tanım 6

Böylece, kesirli bir üs m / n olan pozitif bir sayı a'nın derecesi 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır. olumsuz olması durumunda a a m n gösterimi anlamsızdır. Pozitif kesirli üsler için sıfırın gücü ay / n 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır, negatif kesirli üsler için sıfır derecesini tanımlamayız.

Sonuçlarda, herhangi bir kesirli göstergenin formda olduğu gibi yazılabileceğini not ediyoruz. karışık numara, ve şeklinde ondalık: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Hesaplarken, üssü sıradan bir kesir ile değiştirmek ve daha sonra bir kesirli üs ile bir üs tanımını kullanmak daha iyidir. Yukarıdaki örnekler için şunu elde ederiz:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Mantıksız ve geçerli bir üslü dereceler nelerdir?

Gerçek sayılar nelerdir? Kümeleri hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içerir. Bu nedenle, gerçek göstergeli bir derecenin ne olduğunu anlamak için, dereceleri rasyonel ve irrasyonel göstergelerle tanımlamamız gerekir. Yukarıda rasyonel olanlardan bahsetmiştik. İrrasyonel göstergelerle adım adım ilgilenelim.

Örnek 5

Bir irrasyonel sayı a ve ondalık yaklaşımları a 0, a 1, a 2, dizimiz olduğunu varsayalım. ... ... ... Örneğin, a = 1.67175331 değerini alalım. ... ... , sonra

0 = 1,6, 1 = 1,67, 2 = 1,671,. ... ... , 0 = 1.67, 1 = 1.6717, 2 = 1.671753,. ... ...

Bir yaklaşım dizisini a a 0, a 1, a 2, derece dizileriyle ilişkilendirebiliriz. ... ... ... Rakamları rasyonel bir güce yükseltmek hakkında daha önce söylediklerimizi hatırlarsak, o zaman bu güçlerin değerlerini kendimiz hesaplayabiliriz.

örneğin al bir = 3, sonra a 0 = 31.67, a 1 = 31.6717, a 2 = 31.671753,. ... ... vesaire.

Derecelerin sırası, bir taban a ve bir irrasyonel üs a ile derecenin değeri olacak bir sayıya indirgenebilir. Sonuç olarak: 3 1, 67175331 gibi irrasyonel üslü bir derece. ... 6, 27 sayısına indirgenebilir.

tanım 7

İrrasyonel bir üslü a ile pozitif bir sayının kuvveti a olarak yazılır. Değeri a a 0, a 1, a a 2, dizisinin limitidir. ... ... , burada 0, 1, 2,. ... ... irrasyonel sayı a'nın ardışık ondalık yaklaşımlarıdır. Sıfır tabanlı derece, pozitif irrasyonel göstergeler için de belirlenebilirken, 0 a = 0 Yani, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ve negatif olanlar için bu yapılamaz, çünkü örneğin 0 - 5, 0 - 2 π değeri tanımlanmamıştır. Herhangi bir irrasyonel güce yükseltilen kişi bir olarak kalır ve 1 2, 2'de 1 5 ve 1 - 5 1'e eşit olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Cebirdeki ve aslında tüm matematikteki ana özelliklerden biri derecedir. Elbette 21. yüzyılda tüm hesaplamalar online bir hesap makinesinde yapılabiliyor ancak bunu kendi başınıza yapmayı öğrenmek beyin gelişimi açısından daha iyi.

Bu yazıda, bu tanımla ilgili en önemli soruları ele alacağız. Yani, genel olarak ne olduğunu ve ana işlevlerinin ne olduğunu, matematikte hangi özelliklerin olduğunu anlayacağız.

Hesaplamanın nasıl göründüğüne, temel formüllerin neler olduğuna dair örneklere bakalım. Ana miktar türlerini ve diğer işlevlerden nasıl farklı olduklarını analiz edelim.

Bu değeri kullanarak çeşitli sorunları nasıl çözeceğimizi anlayalım. Sıfır güce nasıl yükseltileceğini, irrasyonel, negatif vb. örneklerle gösterelim.

Çevrimiçi üs hesaplama

bir sayının derecesi nedir

"Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek" ifadesiyle ne kastedilmektedir?

a sayısının n kuvveti, arka arkaya n kez a değerinin faktörlerinin çarpımıdır.

Matematiksel olarak şöyle görünür:

bir n = bir * bir * bir *… bir n.

Örneğin:

• Üçüncü adımda 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 adımda. iki = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 adımda. dört = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 adımda 10 5 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 adımda 10 4 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Aşağıda 1'den 10'a kadar bir kareler ve küpler tablosu olacaktır.

1'den 10'a kadar not tablosu

Aşağıda, doğal sayıların pozitif kuvvetlere yükseltilmesinin sonuçları verilecektir - "1'den 100'e".

Güç özellikleri

Böyle bir matematiksel fonksiyonun özelliği nedir? Temel özellikleri ele alalım.

Bilim adamları aşağıdakileri kurdular tüm derecelerin karakteristik işaretleri:

• bir n * bir m = (a) (n + m);
• bir n: bir m = (a) (n-m);
• (a b) m = (a) (b * m).

Örneklerle kontrol edelim:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Öte yandan 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Benzer şekilde: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. Aksi takdirde 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Peki farklıysa? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Gördüğünüz gibi kurallar işliyor.

Ama ne hakkında toplama ve çıkarma ile? Basit. İlk olarak, üs alma ve ancak daha sonra toplama ve çıkarma yapılır.

Hadi bazı örneklere bakalım:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16. Lütfen dikkat: önce çıkarırsanız kural çalışmaz: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4.

Ancak bu durumda, parantez içinde eylemler olduğu için önce toplamayı hesaplamanız gerekir: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

nasıl üretilir hesaplamalar daha fazla zor vakalar ? Sıra aynı:

• parantez varsa - onlarla başlamanız gerekir;
• sonra üstelleştirme;
• sonra çarpma, bölme işlemlerini gerçekleştirin;
• toplama, çıkarma işleminden sonra.

Tüm derecelerin özelliği olmayan belirli özellikler vardır:

1. a sayısının m kuvvetine n'inci kökü şu şekilde yazılacaktır: a m / n.
2. Bir kesri bir kuvvete yükseltirken: hem pay hem de paydası bu işleme tabidir.
3. Bir iş kurarken farklı sayılar bir güce, ifade bu sayıların belirli bir güce karşılık gelecek. Yani: (a * b) n = bir n * b n.
4. Bir sayıyı negatif bir adıma yükseltirken, 1'i aynı st-no'da, ancak "+" işaretiyle bir sayıya bölmeniz gerekir.
5. Kesrin paydası negatif bir kuvvette ise, bu ifade pay ve paydanın pozitif kuvvetteki ürününe eşit olacaktır.
6. Derece 0 = 1 ve adımdaki herhangi bir sayı. 1 = kendinize.

Bu kurallar bireysel durumlarda önemlidir, bunları aşağıda daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Negatif üslü derece

Derece eksi olduğunda, yani üs negatif olduğunda ne yapmalı?

Özellik 4 ve 5'e göre(yukarıdaki noktaya bakın), ortaya çıkıyor:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1/5 2 = 1/25.

Ve tam tersi:

1 / A (- n) = Bir n, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.

Ve eğer bir kesir?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

Doğal üslü derece

Tam sayılara eşit göstergelere sahip bir derece olarak anlaşılmaktadır.

Hatırlanacak şeyler:

0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... vb.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... vb.

Ayrıca (-a) 2 n +2, n = 0, 1, 2 ... ise sonuç "+" işaretiyle olacaktır. Negatif bir sayı tek bir güce yükseltilirse, bunun tersi de geçerlidir.

Genel özellikler ve yukarıda açıklanan tüm özel özellikler de onların karakteristiğidir.

kesirli derece

Bu görünüm şema ile yazılabilir: A m / n. Şu şekilde okunur: A sayısının m kuvvetinin n'inci kökü.

Kesirli bir üsle istediğinizi yapabilirsiniz: azaltın, parçalara ayırın, farklı bir dereceye yükseltin, vb.

irrasyonel derece

α bir irrasyonel sayı ve A ˃ 0 olsun.

Böyle bir gösterge ile bir derecenin özünü anlamak, farklı olası durumları göz önünde bulundurun:

• A = 1. Sonuç 1'e eşit olacaktır. Bir aksiyom olduğundan - tüm derecelerde 1 bire eşittir;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - rasyonel sayılar;

• 0˂А˂1.

Bu durumda, aksine: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1, ikinci paragraftakiyle aynı koşullar altında.

Örneğin, üs π'dir. Mantıklı.

r 1 - bu durumda 3'e eşittir;

r 2 - 4'e eşit olacaktır.

O halde A = 1 için 1 π = 1.

A = 2, sonra 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, sonra (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Bu dereceler, tüm matematiksel işlemler ve yukarıda açıklanan belirli özellikler.

Çözüm

Özetlemek gerekirse - bu değerler ne için, bu tür işlevlerin avantajı nedir? Tabii ki, her şeyden önce, hesaplamaları en aza indirmenize, algoritmaları azaltmanıza, verileri sistematize etmenize ve çok daha fazlasını yapmanıza izin verdikleri için, örnekleri çözerken matematikçilerin ve programcıların hayatını basitleştirirler.

Bu bilgi başka nerede yararlı olabilir? Herhangi çalışma uzmanlığı: tıp, farmakoloji, diş hekimliği, inşaat, mühendislik, mühendislik, tasarım vb.

Güç formülleri denklemleri ve eşitsizlikleri çözmede karmaşık ifadeleri azaltma ve basitleştirme sürecinde kullanılır.

Sayı C bir n- sayının kuvveti a ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Dereceleri aynı tabanla çarparak göstergeleri toplanır:

NSBir n = bir m + n.

2. Aynı tabana sahip derecelerin bölünmesinde göstergeleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, şu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc ...) n = bir n b n c n ...

4. Bir kesrin gücü, temettü ve bölenin güçlerinin oranına eşittir:

(a / b) n = bir n / b n.

5. Dereceyi bir dereceye yükselterek, üsler çarpılır:

(bir m) n = bir m n.

Yukarıdaki formüllerin her biri soldan sağa doğrudur ve bunun tersi de geçerlidir.

Örneğin. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Kök işlemleri.

1. Birkaç faktörün ürününün kökü, bu faktörlerin köklerinin ürününe eşittir:

2. İlişkinin kökü, temettü ve köklerin böleninin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir güce yükseltirken, kök sayısını bu güce yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini arttırırsanız n bir kez ve aynı zamanda inşa n Kök sayısının -th gücü, daha sonra kök değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsanız n kökü bir kez ve aynı anda çıkarın n Köklü sayının -th gücü, o zaman kökün değeri değişmeyecektir:

Negatif üslü derece. Pozitif olmayan (tamsayı) bir üslü bir sayının kuvveti, aynı sayının üssüne eşit bir üsle bölünen bir sayı olarak tanımlanır. mutlak değer pozitif olmayan gösterge:

formül NS: bir n = bir m - n sadece için kullanılamaz m> n, ama aynı zamanda m< n.

Örneğin. a4: bir 7 = bir 4 - 7 = bir -3.

Böylece formül NS: bir n = bir m - n ne zaman adil oldu m = n, sıfır derecenin varlığı gereklidir.

Sıfır derece. Sıfır üslü sıfır olmayan herhangi bir sayının gücü bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üs. Gerçek bir sayı dikmek için a dereceye kadar ay / n, kökü çıkarmanız gerekiyor n-inci derece m bu sayının -inci kuvveti a.

Bir sayının derecesi hakkında konuşmaya devam ederek, derecenin anlamını nasıl bulacağınızı bulmak mantıklıdır. Bu sürecin adı üs alma... Bu yazıda, tüm olası üslere - doğal, bütün, rasyonel ve irrasyonel - değinirken sadece üs almanın nasıl yapıldığını inceleyeceğiz. Ve geleneğe göre, sayıları çeşitli güçlere yükseltme örneklerinin çözümlerini ayrıntılı olarak ele alacağız.

Sayfa gezintisi.

"Üslüleştirme" ne anlama geliyor?

Üs alma denilen şeyi açıklayarak başlamalısınız. İşte uygun tanım.

Tanım.

üs alma- bu bir sayının kuvvetinin değerini bulmaktır.

Bu nedenle, r üssü olan bir a sayısının kuvvetinin değerini bulmak ve a sayısını r kuvvetine yükseltmek aynı şeydir. Örneğin, problem "derece (0.5) 5'in değerini hesapla" ise, o zaman şu şekilde yeniden formüle edilebilir: "0.5 sayısını 5'in kuvvetine yükselt".

Şimdi doğrudan üs almanın gerçekleştirildiği kurallara gidebilirsiniz.

Bir sayıyı doğal bir güce yükseltmek

Pratikte esasa dayalı eşitlik genellikle şeklinde uygulanır. Yani, a sayısını m / n kesirli bir güce yükseltirken, önce a sayısının n'inci kökü çıkarılır, ardından sonuç bir tamsayı gücüne yükseltilir m.

Kesirli bir güce yükseltme örneklerinin çözümlerini düşünün.

Örnek.

Üs değerini hesaplayın.

Çözüm.

Bunu çözmenin iki yolunu göstereceğiz.

İlk yol. Tanım olarak, bir kesirli üs. Derecenin değerini kök işaretinin altında hesaplıyoruz, ardından çıkarıyoruz kübik kök: .

İkinci yol. Kesirli üslü ve köklerin özelliklerine dayanan bir derece tanımına göre, eşitlikler doğrudur. ... Şimdi kökü çıkarıyoruz nihayet, tam bir güce yükseltmek .

Açıktır ki, kesirli bir güce yükseltmenin elde edilen sonuçları çakışmaktadır.

Cevap:

Kesirli bir üs, ondalık kesir veya karışık sayı şeklinde yazılabilir, bu durumlarda karşılık gelen sıradan kesir ile değiştirilmeli, ardından üs yapılmalıdır.

Örnek.

(44.89) 2.5 hesaplayın.

Çözüm.

Üslü şeklinde yazalım ortak kesir(gerekirse makaleye bakın): ... Şimdi kesirli üstelleştirmeyi gerçekleştiriyoruz:

Cevap:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Rakamların rasyonel güçlere yükseltilmesinin de yeterli olduğu söylenmelidir. zahmetli süreç(özellikle kesirli üssün pay ve paydasında yeterince büyük sayılar olduğunda), genellikle bilgisayar teknolojisi kullanılarak gerçekleştirilir.

Bu noktanın sonunda, sıfır sayısını kesirli bir kuvvete yükseltmek üzerinde duralım. Formun sıfırın kesirli derecesine şu anlamı verdik: , ve sıfırda m/n kuvveti tanımsızdır. Yani, kesirli bir pozitif kuvvette sıfır, sıfıra eşittir, örneğin, ... Ve kesirli bir negatif güçte sıfır, örneğin ifadeler ve 0 -4.3 mantıklı değil.

irrasyonel üs

Bazen irrasyonel bir üslü bir sayının gücünün değerini bulmak gerekli hale gelir. Bu durumda, pratik amaçlar için, belirli bir işarete doğru olan derecenin değerini elde etmek genellikle yeterlidir. Bu değerin pratikte elektronik bilgisayarlar kullanılarak hesaplandığını hemen not ediyoruz, çünkü manuel olarak irrasyonel bir güce yükseltmek çok fazla hantal hesaplama gerektirir. Ama yine de, eylemlerin özünü genel olarak tanımlayacağız.

İrrasyonel bir üsle a sayısının kuvvetinin yaklaşık bir değerini elde etmek için, üssün bir miktar ondalık yaklaşımı alınır ve üssün değeri hesaplanır. Bu değer, irrasyonel bir üslü a sayısının gücünün yaklaşık bir değeridir. Başlangıçta sayının ondalık yaklaşımı ne kadar doğru alınırsa, sonuç olarak derecenin değeri de o kadar doğru olacaktır.

Örnek olarak 2'nin kuvvetinin yaklaşık değerini hesaplayalım 1.174367 .... Aşağıdaki ondalık yaklaşımı alalım irrasyonel gösterge:. Şimdi 2'yi 1,17'nin rasyonel kuvvetine yükseltiyoruz (bu sürecin özünü önceki paragrafta tanımlamıştık), 2 1,17 ≈2.250116 elde ediyoruz. Böylece, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... Örneğin, irrasyonel bir üs için daha doğru bir ondalık yaklaşım alırsak, orijinal üs için daha doğru bir değer elde ederiz: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliyografya.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5. sınıf matematik zh ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 7. sınıf için ders kitabı Eğitim Kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf için ders kitabı Eğitim Kurumları.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 9. sınıf için ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı: 10 - 11 sınıf eğitim kurumları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir rehber).