ev - İklim
Üstel fonksiyon. Ders hedefleri: Mantıksız bir göstergeye sahip bir derece düşünün; Üstel fonksiyonun tanımını tanıtın ve ana fonksiyonları formüle edin. Sayı derecesi: tanımlar, gösterim, örnekler

Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız. derecesi... Burada, doğal bir üsle başlayıp irrasyonel bir üsle biten tüm olası üsleri ayrıntılı olarak ele alırken, bir sayının derecesinin tanımlarını vereceğiz. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfa gezintisi.

Doğal üslü derece, sayının karesi, sayının küpü

İle başlayalım. İleriye baktığımızda, doğal üssü n olan bir a sayısının derecesinin tanımının a için verildiğini söylüyoruz, buna diyeceğiz. temel derece, ve n diyeceğimiz üs... Ayrıca, doğal üslü derecenin ürün aracılığıyla belirlendiğini de not ediyoruz, bu nedenle aşağıdaki materyali anlamak için sayıların çarpımı hakkında bir fikriniz olması gerekir.

Tanım.

Doğal üs n ile a sayısının gücü değeri, her biri a'ya eşit olan n faktörünün ürününe eşit olan a n biçiminin bir ifadesidir, yani.
Özellikle, üs 1 olan bir a sayısının kuvveti, a sayısının kendisidir, yani a 1 = a.

Derece okuma kuralları hakkında hemen söylenmelidir. Bir a n kaydını okumanın evrensel yolu şudur: "a üzeri n'nin kuvveti". Bazı durumlarda, aşağıdaki seçenekler de kabul edilebilir: "a üzeri n'inci kuvvet" ve "a sayısının n'inci kuvveti". Örneğin, "sekiz üzeri on ikinin kuvveti" veya "sekizin on ikinci kuvveti" veya "sekizin on ikinci kuvveti" olan 8 12'nin kuvvetini alalım.

Bir sayının ikinci derecesinin yanı sıra bir sayının üçüncü derecesinin kendi adları vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir sayının karesi ileörneğin, 7 2 "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küp sayılarıörneğin 5 3 "beşin küpü" veya "5 sayısının küpü" olarak okunabilir.

liderlik etme zamanı doğal değerlere sahip derece örnekleri... 5 7 ile başlayalım, burada 5 üssün tabanı ve 7 üssüdür. Başka bir örnek verelim: 4.32 tabandır ve doğal sayı 9 - üs (4.32) 9.

Son örnekte, 4.32 derecenin tabanının parantez içinde yazıldığına dikkat edin: karışıklığı önlemek için, doğal sayılardan farklı olan tüm derece tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak, doğal göstergelerle aşağıdaki dereceleri veriyoruz , tabanları doğal sayılar olmadığı için parantez içinde yazılırlar. Pekala, bu andaki tam netlik için, (−2) 3 ve −2 3 formunun girişleri arasındaki farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi, 3'ün doğal üssü olan −2'nin kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (- (2 3) şeklinde yazılabilir) 2 3 kuvvetinin sayısına, değerine karşılık gelir. .

Bir a sayısının derecesi için, a ^ n formunun n üssü olan bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca, n çok değerli bir doğal sayıysa, üs parantez içinde alınır. Örneğin, 4 ^ 9, 4 9'un kuvveti için başka bir gösterimdir. Ve burada "^" sembolünü kullanarak derece yazmanın birkaç örneği daha var: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Aşağıda, a n formunun derecesi için esas olarak gösterimi kullanacağız.

Görevlerden biri, doğal bir üslü bir kuvvete yükseltmenin tersi, derecenin bilinen bir değerinden ve bilinen bir üsten bir derecenin tabanını bulma problemidir. Bu görev yol açar.

Rasyonel sayılar kümesinin tam sayılardan ve kesirli sayılardan oluştuğu ve her birinin kesirli sayı olumlu veya olumsuz olarak sunulabilir ortak kesir... Bir önceki paragrafta tanımladığımız tamsayı üslü derece, bu nedenle derece tanımını şu şekilde tamamlamak için rasyonel gösterge, m'nin bir tam sayı ve n'nin doğal bir sayı olduğu kesirli üslü m / n ile bir a sayısının gücünün anlamını vermek gerekir. Haydi Yapalım şunu.

Formun kesirli üssü olan bir derece düşünün. Dereceden dereceye özelliğin geçerli kalması için eşitlik ... Elde edilen eşitliği ve onu belirleme şeklimizi hesaba katarsak, verilen m, n ve a için ifadenin anlamlı olması şartıyla kabul etmek mantıklıdır.

Bir tamsayı üslü bir derecenin tüm özellikleri için bunu doğrulamak kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin özellikleri bölümünde yapılır).

Yukarıdaki akıl yürütme, aşağıdakileri yapmamızı sağlar. çıktı: verilen m, n ve a için ifade anlamlıysa, o zaman m / n kesirli üslü a sayısının kuvvetine a'nın n'inci köküne m kuvveti denir.

Bu ifade bizi dereceyi kesirli bir üsle belirlemeye çok yaklaştırıyor. Geriye sadece m, n ve a ifadesinin hangi anlam ifade ettiğini açıklamak kalıyor. m, n ve a üzerindeki kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

    En kolay yol, a'yı pozitif m için a≥0 ve negatif m için a> 0 kabul ederek kısıtlamaktır (m≤0 için 0 m derecesi tanımlanmamıştır). Ardından, kesirli bir üs için aşağıdaki tanımı elde ederiz.

    Tanım.

    Kesirli bir üs m / n ile pozitif bir sayı a'nın gücü m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu , a sayısının m'nin kuvvetine, yani n'nci köküne denir.

    Göstergenin pozitif olması şartıyla, sıfırın kesirli gücü de belirlenir.

    Tanım.

    Pozitif kesirli üs m / n ile sıfırın gücü m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: .
    Derece belirlenmediğinde, yani kesirli negatif üslü sıfır sayısının derecesi anlamlı değildir.

    Kesirli bir üslü böyle bir derece tanımıyla, bir nüans olduğu belirtilmelidir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları attık. Örneğin, yazmak mantıklı veya, ve yukarıda verilen tanım bizi, derecelerin, formun kesirli bir üssü ile söylemeye zorlar. mantıklı değil, çünkü taban negatif olmamalıdır.

    Bir kesirli üs m / n ile üssü belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün tek ve çift üslerini ayrı ayrı ele almaktır. Bu yaklaşım ek bir koşul gerektirir: göstergesi olan a sayısının derecesi, göstergesi karşılık gelen indirgenemez kesir olan a sayısının gücü olarak kabul edilir (bu koşulun önemi aşağıda açıklanacaktır). Yani, m / n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir doğal sayı k için, derece önceden değiştirilir.

    n ve pozitif m için bile, ifade, negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayının çift kökü anlamlı değildir), negatif m için, a sayısı hala sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde sıfıra bölme olacaktır) ). Ve tek n ve pozitif m için, a sayısı herhangi biri olabilir (tek bir derecenin kökü herhangi bir gerçek sayı için tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfırdan farklı olmalıdır (böylece sıfıra bölme olmaz) .

    Yukarıdaki akıl yürütme bizi kesirli bir üslü derecenin böyle bir tanımına götürür.

    Tanım.

    m / n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İptal edilebilir herhangi bir kesir için, üs ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üslü bir sayının gücü m / n

    İndirgenebilir kesirli üslü bir derecenin neden daha önce indirgenemez üslü bir derece ile değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe şöyle tanımlasaydık ve m / n kesrinin indirgenemezliği hakkında bir çekince koymasaydık, aşağıdakine benzer durumlarla karşı karşıya kalırdık: 6/10 = 3/5 olduğundan eşitlik geçerli olmalıdır. , ancak , a .


Sayının derecesi belirlendikten sonra bundan bahsetmek mantıklıdır. özellik derecesi... Bu yazımızda bir sayının derecesinin temel özelliklerini verirken olası tüm üslere değineceğiz. Burada derecenin tüm özelliklerinin kanıtlarını vereceğiz ve ayrıca bu özelliklerin örnekler çözerken nasıl uygulandığını göstereceğiz.

Sayfa gezintisi.

Doğal üslerin özellikleri

Doğal üslü bir derecenin tanımına göre, derece a n, her biri a'ya eşit olan n faktörünün ürünüdür. Bu tanımdan hareketle ve ayrıca gerçek çarpma özellikleri, aşağıdakileri alabilir ve gerekçelendirebilirsiniz doğal üs sınıfı özellikleri:

  1. a m · a n = a m + n derecesinin ana özelliği, genelleştirilmesi;
  2. aynı tabanlara sahip özel derecelerin özelliği a m: a n = a m − n;
  3. çarpım derecesi özelliği (a b) n = a n b n, uzantısı;
  4. özel mülk doğal derece(a: b) n = bir n: b n;
  5. bir gücü bir güce yükseltmek (a m) n = a mn, genellemesi (((bir n 1) n 2)…) n k = bir n 1 n 2… n k;
  6. dereceyi sıfırla karşılaştırma:
    • a> 0 ise, herhangi bir doğal n için bir n> 0;
    • a = 0 ise, o zaman a n = 0;
    • Eğer bir<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ise<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
  7. a ve b pozitif sayılarsa ve a
  8. m ve n, m> n olacak şekilde doğal sayılarsa, o zaman 0 için 0 eşitsizliği a m> a n doğrudur.

Hemen not edin ki, yazılan tüm eşitlikler birebir aynı belirtilen şartlara tabi olup, sağ ve sol kısımları değiştirilebilir. Örneğin, a m a n = a m + n kesrinin ana özelliği için ifadelerin sadeleştirilmesi genellikle a m + n = a m a n olarak kullanılır.

Şimdi her birine ayrıntılı olarak bakalım.

    Denilen aynı tabanlara sahip iki dereceli bir çarpımın özelliği ile başlayalım. derecenin ana özelliği: herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir doğal sayı m ve n için, a m · a n = a m + n eşitliği doğrudur.

    Derecenin ana özelliğini ispatlayalım. Doğal üslü bir derecenin tanımıyla, a m · a n formunun aynı tabanlarına sahip derecelerin çarpımı bir çarpım olarak yazılabilir. Çarpma işleminin özelliklerinden dolayı elde edilen ifade şu şekilde yazılabilir: , ve bu çarpım, a sayısının doğal üssü m + n olan, yani a m + n'nin kuvvetidir. Bu ispatı tamamlar.

    Derecenin ana özelliğini doğrulayan bir örnek verelim. Aynı tabanlara sahip dereceler alın 2 ve doğal dereceler 2 ve 3, derecenin temel özelliğine göre 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 eşitliğini yazabiliriz. 2 2 · 2 3 ve 2 5 ifadelerinin değerlerini hesapladığımız geçerliliğini kontrol edelim. Üstelleştirme, elimizde 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ve 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, eşit değerler elde edildiğinden, 2 2 · 2 3 = 2 5 eşitliği doğrudur ve derecenin ana özelliğini doğrular.

    Çarpma özelliklerine dayanan bir derecenin ana özelliği, aynı tabanlar ve doğal üslerle üç veya daha fazla derecenin çarpımına genelleştirilebilir. Yani herhangi bir k doğal sayı için n 1, n 2, ..., n k eşitlik bir n 1 bir n 2… bir n k = bir n 1 + n 2 +… + n k.

    Örneğin, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Doğal bir üsle derecelerin bir sonraki özelliğine gidebilirsiniz - aynı temellere sahip özel derecelerin mülkiyeti: m> n koşulunu sağlayan herhangi bir sıfır olmayan gerçek sayı ve m ve n rastgele doğal sayıları için, a m eşitliği doğrudur: a n = a m − n.

    Bu özelliği kanıtlamadan önce, formülasyondaki ek koşulların anlamını tartışalım. 0 n = 0 olduğundan sıfıra bölmeyi önlemek için a ≠ 0 koşulu gereklidir ve bölme ile tanıştığımızda sıfıra bölünemeyeceği konusunda anlaşmıştık. Doğal üslerin ötesine geçmememiz için m> n koşulu getirilir. Gerçekten de, m> n için a m − n üssü doğal bir sayıdır, aksi takdirde ya sıfır (m − n için olur) ya da negatif bir sayı (m olduğunda olur) olacaktır.

    Kanıt. Bir kesrin ana özelliği eşitliği yazmamıza izin verir. bir m - n bir n = bir (m - n) + n = bir m... Elde edilen eşitlikten a m - n · bir n = a m ve bundan a m - n'nin a m ve a n kuvvetlerinin bir bölümü olduğu sonucu çıkar. Bu, aynı tabanlara sahip bölüm derecelerinin özelliğini kanıtlar.

    Bir örnek verelim. Aynı π tabanları ve 5 ve 2 doğal üsleri ile iki derece alın, derecenin dikkate alınan özelliği π 5 eşitliğine karşılık gelir: π 2 = π 5−3 = π 3.

    Şimdi düşünün ürün derecesi özelliği: herhangi iki gerçek sayının a ve b çarpımının doğal derecesi n, a n ve b n'nin kuvvetlerinin çarpımına eşittir, yani (a b) n = a n b n.

    Gerçekten de, doğal üslü bir derecenin tanımı gereği, ... Çarpma özelliklerine dayanan son ürün şu şekilde yeniden yazılabilir: , ki bu a n · b n'ye eşittir.

    Bir örnek verelim: .

    Bu özellik, üç veya daha fazla faktörün çarpım derecesi için geçerlidir. Yani, k faktörünün ürününün n doğal derecesinin özelliği şu şekilde yazılır: (a 1 a 2… bir k) n = bir 1 n bir 2 n… bir k n.

    Netlik için, bu özelliği bir örnekle göstereceğiz. 7'nin gücüne üç faktörün ürünü için, elimizde.

    sonraki özellik ayni özel mülkiyet: a ve b reel sayılarının bölümü, n doğal gücünde b ≠ 0, a n ve b n'nin kuvvetlerinin bölümüne eşittir, yani (a: b) n = a n: b n.

    Kanıt önceki özellik kullanılarak gerçekleştirilebilir. Yani (a: b) n b n = ((a: b) b) n = bir n, ve (a: b) n · b n = an n eşitliğinden, (a: b) n'nin, a n'nin b n'ye bölünmesinin bölümü olduğu sonucu çıkar.

    Bu özelliği belirli sayılar örneğini kullanarak yazalım: .

    Şimdi ses çıkaracağız üstel özelliği: herhangi bir a gerçek sayısı ve herhangi bir doğal sayı m ve n için, a m'nin n kuvvetine derecesi, m n üssü olan a sayısının gücüne eşittir, yani (a m) n = a m n.

    Örneğin (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6.

    Dereceden dereceye özelliğin kanıtı aşağıdaki eşitlikler zinciridir: .

    Değerlendirilen mülk, derece derece derece derece, vb. genişletilebilir. Örneğin, herhangi bir doğal sayı p, q, r ve s için eşitlik ... Netlik için, burada belirli sayılarla bir örnek verilmiştir: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Dereceleri doğal bir üsle karşılaştırma özellikleri üzerinde durmaya devam ediyor.

    Sıfır ve dereceyi doğal üsle karşılaştırma özelliğini kanıtlayarak başlayalım.

    İlk olarak, herhangi bir a> 0 için a n> 0 olduğunu kanıtlayalım.

    İki pozitif sayının çarpımı, çarpma tanımından çıkan pozitif bir sayıdır. Bu gerçek ve çarpmanın özellikleri, herhangi bir sayıda pozitif sayının çarpılmasının sonucunun da pozitif bir sayı olacağını iddia etmeyi mümkün kılmaktadır. Ve doğal üssü n olan bir a sayısının derecesi, tanım gereği, her biri a'ya eşit olan n faktörünün ürünüdür. Bu düşünceler, herhangi bir pozitif taban a için, derecenin a n'nin pozitif bir sayı olduğunu iddia etmemize izin verir. Kanıtlanmış özelliği sayesinde 3 5> 0, (0.00201) 2> 0 ve .

    Herhangi bir doğal n için a = 0 için a n'nin derecesinin sıfır olduğu oldukça açıktır. Gerçekten de, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0. Örneğin, 0 3 = 0 ve 0 762 = 0.

    Derecenin olumsuz temellerine geçiliyor.

    Üsün bir çift sayı olduğu durumla başlayalım, bunu 2 · m olarak belirtin, burada m bir doğal sayıdır. Sonra ... a formunun her bir ürünü için · a, a ve a sayılarının mutlak değerlerinin çarpımına eşittir, bu da pozitif bir sayı olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, ürün ve derece a 2 m. İşte bazı örnekler: (−6) 4> 0, (−2,2) 12> 0 ve.

    Son olarak, a üssünün tabanı negatif ve üs 2 m − 1 tek sayı olduğunda, ... Tüm a · a çarpımları pozitif sayılardır, bu pozitif sayıların çarpımı da pozitiftir ve onu kalan negatif a sayısı ile çarpmak negatif bir sayı verir. Bu özellik nedeniyle (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Aşağıdaki formülasyona sahip aynı doğal göstergelerle dereceleri karşılaştırma özelliğine dönüyoruz: aynı doğal göstergelere sahip iki dereceden, n, tabanı daha küçük olandan daha küçüktür ve tabanı daha büyük olandan daha büyüktür. . Hadi kanıtlayalım.

    eşitsizlik bir n eşitsizliklerin özellikleri a n formunun kanıtlanmış eşitsizliği .

    Doğal üslerle derecelerin listelenen özelliklerinin sonunu kanıtlamak için kalır. Hadi formüle edelim. Doğal göstergeleri ve aynı pozitif temelleri olan birden az olan iki dereceden, derecesi daha büyük, göstergesi daha az olan; ve doğal göstergeleri ve aynı temelleri olan iki dereceden birden büyükse, göstergesi daha büyük olan derece daha büyüktür. Bu özelliğin kanıtına geçiyoruz.

    Bunu m> n ve 0 için ispatlayalım. 0, m> n başlangıç ​​koşulu sayesinde, 0 için bunu takip eder

    Mülkün ikinci bölümünü kanıtlamak için kalır. m> n ve a> 1 için a m> a n'nin doğru olduğunu ispatlayalım. a m - a n farkı, parantezlerin dışına bir n yerleştirdikten sonra, a n · (a m − n −1) biçimini alır. Bu çarpım pozitiftir, çünkü a> 1 için an'ın derecesi pozitif bir sayıdır ve am − n −1 farkı pozitif bir sayıdır, çünkü m − n> 0 başlangıç ​​koşulundan dolayı ve a> 1 için, am - n derecesi birden büyüktür ... Bu nedenle, gerektiği gibi a m - a n> 0 ve a m> a n. Bu özellik 3 7> 3 2 eşitsizliği ile gösterilmiştir.

Tamsayı üslü derecelerin özellikleri

Pozitif tamsayılar doğal sayılar olduğundan, pozitif tamsayı üslü derecelerin tüm özellikleri, bir önceki bölümde listelenen ve kanıtlanmış doğal üslü derecelerin özellikleriyle tam olarak örtüşür.

Negatif tamsayı üslü derece ve sıfır üslü derece, eşitliklerle ifade edilen doğal üslü derecelerin tüm özelliklerinin doğru kalacağı şekilde belirledik. Bu nedenle, tüm bu özellikler hem sıfır üsler hem de negatif üsler için geçerlidir, tabii ki üslerin tabanları sıfır değildir.

Dolayısıyla, herhangi bir gerçek ve sıfır olmayan a ve b sayıları ile m ve n tam sayıları için aşağıdakiler doğrudur. tamsayı üslü güçlerin özellikleri:

  1. bir m bir n = bir m + n;
  2. bir m: bir n = bir m - n;
  3. (a b) n = bir n bn;
  4. (a: b) n = bir n: b n;
  5. (bir m) n = bir mn;
  6. n pozitif bir tam sayıysa, a ve b pozitif sayılardır ve a b-n;
  7. m ve n tam sayılarsa ve m> n ise 0'da 1 eşitsizliği a m> a n tutar.

a = 0 için, a m ve a n dereceleri yalnızca hem m hem de n pozitif tam sayılar, yani doğal sayılar olduğunda anlamlıdır. Böylece, az önce yazılan özellikler, a = 0 ve m ve n sayılarının pozitif tam sayılar olduğu durumlar için de geçerlidir.

Bu özelliklerin her birini kanıtlamak zor değildir, bunun için derece tanımlarını doğal ve tamsayı üsleriyle ve ayrıca gerçek sayılarla eylemlerin özelliklerini kullanmak yeterlidir. Örnek olarak, dereceden dereceye özelliğinin hem pozitif tam sayılar hem de pozitif olmayan tam sayılar için geçerli olduğunu kanıtlayalım. Bunun için p sıfır veya bir doğal sayı ve q sıfır veya bir doğal sayı ise, (ap) q = ap q, (a −p) q = a (−p) q eşitliklerinin gösterilmesi gerekir. , (ap ) −q = ap (−q) ve (bir -p) -q = bir (−p) (−q)... Haydi Yapalım şunu.

Pozitif p ve q için, (a p) q = a p q eşitliği önceki alt bölümde kanıtlanmıştır. Eğer p = 0 ise, (a 0) q = 1 q = 1 ve 0 q = a 0 = 1'e sahibiz, bu nedenle (a 0) q = a 0 q. Benzer şekilde, q = 0 ise, o zaman (a p) 0 = 1 ve a p · 0 = a 0 = 1, buradan (a p) 0 = a p · 0. Hem p = 0 hem de q = 0 ise, o zaman (a 0) 0 = 1 0 = 1 ve a 0 0 = a 0 = 1, bu nedenle (a 0) 0 = a 0 0.

Şimdi (a - p) q = a (- p) q olduğunu ispatlayalım. Bir tamsayı negatif üslü bir derece tanımına göre, o zaman ... Derece olarak bölümün özelliğine göre, ... 1 p = 1 · 1 ·… · 1 = 1 olduğundan ve sonra. Son ifade, tanım gereği, çarpma kuralları nedeniyle a (−p) q olarak yazılabilen a - (p q) formunun bir kuvvetidir.

aynı şekilde .

VE .

Aynı prensibe göre, bir derecenin diğer tüm özellikleri, eşitlikler şeklinde yazılmış bir tamsayı üslü ile ispatlanabilir.

Yazılı özelliklerin sondan bir önceki bölümünde, herhangi bir negatif −n tamsayısı ve a koşulunun sağlandığı herhangi bir pozitif a ve b için geçerli olan a - n> b - n eşitsizliğinin kanıtı üzerinde durmaya değer. ... A koşuluna göre 0. a n · b n çarpımı da a n ve b n pozitif sayılarının çarpımı kadar pozitiftir. O zaman elde edilen kesir pozitif sayıların bir bölümü olarak pozitiftir b n - a n ve a n · b n. Dolayısıyla, gerektiği gibi a - n> b - n.

Tamsayı üslü derecelerin son özelliği, doğal üslü derecelerin benzer özelliği ile aynı şekilde kanıtlanmıştır.

Rasyonel üslü derecelerin özellikleri

Bir derecenin özelliklerini tam bir üsle genişleterek kesirli bir üs ile bir derece belirledik. Başka bir deyişle, kesirli üsler tamsayı üsleriyle aynı özelliklere sahiptir. Yani:

Derecelerin özelliklerinin kesirli üslerle ispatı, derecenin kesirli üslü tanımına ve tamsayılı üslü bir derecenin özelliklerine dayanır. İşte kanıtlar.

Kesirli üslü bir derecenin tanımıyla ve sonra ... Aritmetik kökün özellikleri, aşağıdaki eşitlikleri yazmamıza izin verir. Ayrıca, bir tamsayı üslü bir derecenin özelliğini kullanarak, kesirli üslü bir derecenin tanımıyla elde ederiz ki, , ve elde edilen derecenin üssü aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:. Bu ispatı tamamlar.

Kesirli üslü derecelerin ikinci özelliği tam olarak aynı şekilde kanıtlanmıştır:

Diğer eşitlikler benzer ilkelerle kanıtlanmıştır:

Aşağıdaki özelliğin ispatına geçiyoruz. Herhangi bir pozitif a ve b için a olduğunu ispatlayalım. b s. Rasyonel sayı p'yi m / n olarak yazıyoruz, burada m bir tam sayı ve n bir doğal sayıdır. koşullar p<0 и p>0 bu durumda, koşullar m<0 и m>0 sırasıyla. m> 0 ve a için

Benzer şekilde, m için<0 имеем a m >b m, nereden, yani ve bir p> b p.

Listelenen özelliklerin sonunu kanıtlamak için kalır. p ve q rasyonel sayıları için 0 için p> q olduğunu ispatlayalım. 0 - eşitsizlik a p> a q. p ve q rasyonel sayılarını her zaman ortak bir paydaya getirebiliriz, sıradan kesirler alalım ve burada m 1 ve m 2 tam sayılardır ve n doğaldır. Bu durumda, p> q koşulu, aşağıdaki m 1> m 2 koşuluna karşılık gelecektir. Daha sonra, 0'da aynı tabanlar ve doğal üslerle dereceleri karşılaştırma özelliği ile 1 - eşitsizlik a m ​​1> a m 2. Köklerin özellikleri bakımından bu eşitsizlikler buna göre yeniden yazılabilir. ve ... Ve derecenin rasyonel bir üs ile tanımı, sırasıyla eşitsizliklere ve sırasıyla gitmenize izin verir. Bu nedenle, nihai sonucu çıkarıyoruz: p> q ve 0 için 0 - eşitsizlik a p> a q.

İrrasyonel üslü derecelerin özellikleri

İrrasyonel üslü bir derecenin nasıl tanımlandığından, rasyonel üslü derecelerin tüm özelliklerine sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Dolayısıyla herhangi bir a> 0, b> 0 ve p ve q irrasyonel sayıları için aşağıdakiler doğrudur: irrasyonel üslü derecelerin özellikleri:

  1. a p bir q = bir p + q;
  2. bir p: bir q = bir p − q;
  3. (a b) p = bir p b p;
  4. (a: b) p = bir p: b p;
  5. (a p) q = bir p q;
  6. a ve b, a pozitif sayıları için 0 eşitsizliği a p bp;
  7. irrasyonel sayılar için p ve q, p> q 0'da 0 - eşitsizlik a p> a q.

Dolayısıyla, a> 0 için herhangi bir reel üslü p ve q derecelerinin aynı özelliklere sahip olduğu sonucuna varabiliriz.

Bibliyografya.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5. sınıf matematik zh ders kitabı. Eğitim Kurumları.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 7. sınıf için ders kitabı Eğitim Kurumları.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf için ders kitabı Eğitim Kurumları.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 9. sınıf için ders kitabı. Eğitim Kurumları.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı: 10 - 11 sınıf eğitim kurumları için ders kitabı.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir rehber).

BÖLÜM II. BÖLÜM 6
SAYI SIRALARI

İrrasyonel üslü bir derece kavramı

a pozitif bir sayı ve a irrasyonel olsun.
a * ifadesine ne anlam verilmelidir?
Sunumu daha açıklayıcı hale getirmek için özel bir
örnek. Yani a - 2 ve a = 1 koyuyoruz. 624121121112. ... ... ...
Burada a, bu şekilde derlenen sonsuz bir ondalık kesirdir.
yasa: a görüntüsü için dördüncü ondalık basamaktan başlayarak
sadece 1 ve 2 rakamları kullanılır ve rakam sayısı 1'dir,
2 numaradan önce arka arkaya kaydedilen, her zaman artar
bir. a kesri periyodik değildir, aksi halde basamak sayısı 1'dir,
onun görüntüsünde arka arkaya kaydedilen sınırlı olacaktır.
Bu nedenle, a bir irrasyonel sayıdır.
Peki, ifadeye ne anlam verilmeli?
21, v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... r
Bu soruyu cevaplamak için değer dizileri oluşturuyoruz.
ve (0.1) * doğruluğunda bir eksiklik ve fazlalıkla. alırız
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
2 sayısının karşılık gelen güç dizilerini oluşturalım:
2M. 2M *; 21 * 624; 21'62 * 1; ..., (3)
21D. 21 "63; 2 * "62Ву 21.6 Ш; ... (4)
Sekans (3), sekans olarak artar
(1) (Teorem 2 § 6).
Dizi (4) azalıyor çünkü dizi azalıyor
(2).
Dizinin (3) her bir üyesi dizinin her bir üyesinden daha küçüktür
(4) ve dolayısıyla (3) dizisi sınırlıdır
yukarıdan ve (4) dizisi aşağıdan sınırlandırılmıştır.
Monoton sınırlı dizi teoremine dayanarak
(3) ve (4) dizilerinin her birinin bir limiti vardır. Eğer

384 İrrasyonel üslü bir derece kavramı . .

şimdi, (4) ve (3) dizilerinin farkının yakınsadığı ortaya çıkıyor.
sıfıra, o zaman bundan bu dizilerin her ikisinin de,
ortak bir sınırı vardır.
(3) ve (4) dizilerinin ilk terimlerinin farkı
21-7 - 21 '* = 2 |, (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
İkinci terimlerin farkı
21'63 - 21.62 = 21.62 (2 ° '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
n'inci terimlerin farkı
0,0000. ..0 1
2>. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Teorem 3 § 6'ya göre
10 ″ / 2 = 1.
Bu nedenle, (3) ve (4) dizilerinin ortak bir limiti vardır. Bu
limit, daha büyük olan tek gerçek sayıdır.
dizinin tüm üyelerinden (3) ve dizinin tüm üyelerinden daha az
(4) ve 2 * 'nin tam değeri olarak düşünülmesi tavsiye edilir.
Söylenenlerden, genel olarak kabul edilmesinin tavsiye edildiği sonucu çıkar.
aşağıdaki tanım:
Tanım. a> 1 ise, a'nın derecesi irrasyoneldir
a üssü böyle bir gerçek sayıdır,
hangi, üsleri olan bu sayının tüm güçlerinden daha büyüktür
rasyonel yaklaşımlar a eksikliği olan ve tüm derecelerden daha az
Üsleri rasyonel yaklaşımlar olan bu sayının
AŞIRI.
Eğer bir<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
tüm güçlerden daha büyük olan gerçek bir sayı denir
Üsleri rasyonel yaklaşımlar olan bu sayının a
üsleri bu sayının tüm güçlerinden fazla ve daha az olan
- rasyonel yaklaşımlar ve dezavantajlı.
a- 1 ise, irrasyonel üslü a ile derecesi
1'dir.
Limit kavramını kullanarak, bu tanım formüle edilebilir.
Yani:
İrrasyonel üslü pozitif bir sayının gücü
a, dizinin yöneldiği sınırdır
dizisinin olması şartıyla bu sayının rasyonel kuvvetleri
bu derecelerin üsleri a'ya eğilimlidir, yani.
aa = lim aH
B - *
13 D, K. Fatshcheev, I.S. Sominsky

Bu materyal çerçevesinde bir sayının derecesinin ne olduğunu analiz edeceğiz. Temel tanımlara ek olarak, doğal, tam, rasyonel ve irrasyonel üslerle derecelerin ne olduğunu formüle edeceğiz. Her zaman olduğu gibi, tüm kavramlar görev örnekleri ile gösterilecektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İlk olarak, doğal üslü bir derecenin temel tanımını formüle ediyoruz. Bunu yapmak için, çarpmanın temel kurallarını hatırlamamız gerekir. Şimdilik, gerçek bir sayıyı temel olarak (bunu a harfiyle belirtin) ve bir gösterge olarak - doğal bir sayıyı (n harfiyle belirtin) alacağımızı açıklığa kavuşturalım.

tanım 1

Doğal üssü n olan bir a sayısının gücü, her biri a sayısına eşit olan n'inci faktör sayısının çarpımıdır. Derece şöyle yazılır: bir, ve bir formül şeklinde, bileşimi aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Örneğin, üs 1 ve taban a ise, a'nın ilk kuvveti şu şekilde yazılır: 1... a'nın faktörün değeri ve 1'in faktör sayısı olduğu göz önüne alındığında, şu sonuca varabiliriz: 1 = bir.

Genel olarak, derecenin çok sayıda eşit faktör yazmanın uygun bir şekli olduğunu söyleyebiliriz. Yani, formun bir girişi 8 8 8 8 azaltılabilir 8 4 ... Aynı şekilde, ürün çok sayıda terim yazmaktan kaçınmamıza yardımcı olur (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Bunu doğal sayıların çarpımı ile ilgili makalede zaten inceledik.

Derece kaydını nasıl doğru okuyabilir? Genel olarak kabul edilen seçenek "a üzeri n"dir. Veya "n -th derecesi a" veya "a n -th derecesi" diyebilirsiniz. Diyelim ki, örnek girişi içeriyorsa 8 12 , "8'den 12'ye kadar", "8'den 12.dereceye" veya "12.dereceden 8'e" şeklinde okuyabiliriz.

Sayının ikinci ve üçüncü kuvvetlerinin köklü isimleri vardır: kare ve küp. İkinci dereceyi, örneğin 7 (7 2) sayısını görürsek, “7'nin karesi” veya “7 sayısının karesi” diyebiliriz. Benzer şekilde, üçüncü derece şöyle okunur: 5 3 "5 sayısının küpü" veya "küpte 5"tir. Ancak standart formülasyonu “ikinci/üçüncü derecede” kullanmak da mümkündür, bu bir hata olmayacaktır.

örnek 1

Doğal göstergeli bir derece örneğini inceleyelim: 5 7 beş temel ve yedi gösterge olacaktır.

Tabanın bir tamsayı olması gerekmez: derece için (4 , 32) 9 taban kesir 4, 32'dir ve üs dokuzdur. Parantezlere dikkat edin: böyle bir giriş, tabanları doğal sayılardan farklı olan tüm dereceler için yapılır.

Örneğin: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Parantezler ne için? Hesaplama hatalarından kaçınmaya yardımcı olurlar. Diyelim ki iki girdimiz var: (− 2) 3 ve − 2 3 ... Bunlardan ilki, doğal üssü üç olan bir kuvvete yükseltilmiş eksi iki eksi bir sayı anlamına gelir; ikincisi, derecenin zıt değerine karşılık gelen sayıdır. 2 3 .

Bazen kitaplarda sayı derecesinin biraz farklı yazılışını bulabilirsiniz - bir ^ n(burada a taban ve n üsdür). Yani, 4 ^ 9 ile aynıdır 4 9 ... n çok basamaklı bir sayı ise parantez içine alınır. Örneğin, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ama notasyonu kullanacağız bir olarak daha yaygın.

Doğal bir üslü bir derecenin değerinin tanımından nasıl hesaplanacağını tahmin etmek kolaydır: sadece n'inci sayıyı çarpmanız yeterlidir. Bu konuda daha fazlasını başka bir makalede yazdık.

Derece kavramı, başka bir matematiksel kavramın tersidir - bir sayının kökü. Derecenin değerini ve üssünü biliyorsak, tabanını hesaplayabiliriz. Derecenin, ayrı bir materyalde analiz ettiğimiz sorunları çözmek için yararlı olan bazı belirli özellikleri vardır.

Üslerde, yalnızca doğal sayılar değil, aynı zamanda tamsayılar kümesine ait oldukları için, negatif birler ve sıfırlar da dahil olmak üzere genel olarak herhangi bir tam sayı değeri durabilir.

tanım 2

Pozitif tamsayılı bir sayının kuvveti formül olarak gösterilebilir: .

Ayrıca, n herhangi bir pozitif tamsayıdır.

Sıfır derece kavramıyla ilgilenelim. Bunu yapmak için, eşit tabanlı dereceler için bölümün özelliğini hesaba katan bir yaklaşım kullanıyoruz. Aşağıdaki gibi formüle edilmiştir:

tanım 3

eşitlik bir m: bir n = bir m - n koşullar altında doğru olacaktır: m ve n doğal sayılardır, m< n , a ≠ 0 .

Son koşul önemlidir çünkü sıfıra bölmeyi önler. m ve n değerleri eşitse, aşağıdaki sonucu alırız: bir n: bir n = bir n - n = bir 0

Ama aynı zamanda a n: a n = 1 eşit sayıların bölümüdür bir ve bir. Sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfır derecesinin bire eşit olduğu ortaya çıktı.

Ancak, böyle bir ispat sıfırdan sıfıra kadar geçerli değildir. Bunu yapmak için, derecelerin başka bir özelliğine ihtiyacımız var - eşit tabanlı derecelerin çarpımlarının özelliği. Şuna benziyor: bir m bir n = bir m + n .

n'nin 0'a eşit olması durumunda, bir m ve 0 = bir m(bu eşitlik bize şunu da kanıtlıyor: 0 = 1). Ama eğer a da sıfıra eşitse eşitliğimiz şu şekli alır: 0 m 0 0 = 0 m, n'nin herhangi bir doğal değeri için doğru olacaktır ve derecenin değerinin tam olarak ne olduğu önemli değildir. 0 0 , yani herhangi bir sayıya eşit olabilir ve bu eşitliğin aslına uygunluğunu etkilemez. Bu nedenle, formun bir gösterimi 0 0 özel bir anlamı yoktur ve ona atfetmeyeceğiz.

İstenirse, bunu kontrol etmek kolaydır 0 = 1 derece özelliği ile yakınsar (bir m) n = bir m n derece tabanının sıfır olmaması şartıyla. Böylece, sıfır üslü sıfır olmayan herhangi bir sayının derecesi bire eşittir.

Örnek 2

Belirli sayılarla bir örneğe bakalım: Yani, 5 0 - birim, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ve değeri 0 0 Tanımsız.

Sıfır dereceden sonra, negatif derecenin ne olduğunu bulmak bize kalır. Bunu yapmak için, yukarıda zaten kullandığımız, eşit tabanlı dereceler çarpımının aynı özelliğine ihtiyacımız var: a m · a n = a m + n.

Şu koşulu sunalım: m = - n, o zaman a sıfıra eşit olmamalıdır. Bunu takip ediyor a - n bir n = bir - n + n = bir 0 = 1... Görünüşe göre bir n ve bir karşılıklı ters sayılara sahibiz.

Sonuç olarak, a'dan bir tamsayıya negatif kuvvet, 1 a n'lik bir kesirden başka bir şey değildir.

Bu formülasyon, bir tamsayı negatif üslü bir derece için, aynı özelliklerin tümünün doğal üslü bir derece olarak (tabanın sıfır olmaması şartıyla) geçerli olduğunu doğrular.

Örnek 3

Negatif n tamsayılı a'nın gücü, 1 a n kesri olarak temsil edilebilir. Böylece, a - n = 1 a n koşulu altında bir ≠ 0 ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Düşüncemizi belirli örneklerle açıklayalım:

Örnek 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paragrafın son bölümünde, söylenen her şeyi tek bir formülde açıkça göstermeye çalışacağız:

tanım 4

Doğal üssü z olan a sayısının gücü: az = az, e ile l ve z - tamsayı pozitif 1, z = 0 ve a ≠ 0, (ve z = 0 ve a = 0 için, 0 0 alırız, ifadenin değerleri 0 0 değil ( z bir tamsayıysa ve a = 0 0 z verirse, ego z n n n e n d e d e n t)

rasyonel üs dereceleri nelerdir

Üssün bir tamsayı içerdiği durumları analiz ettik. Bununla birlikte, üssünde bir kesirli sayı olduğunda bir sayıyı bir kuvvete yükseltebilirsiniz. Buna rasyonel üs derecesi denir. Bu alt bölümde diğer derecelerle aynı özelliklere sahip olduğunu ispatlayacağız.

Rasyonel sayılar nelerdir? Kümeleri hem tam hem de kesirli sayıları içerirken, kesirli sayılar sıradan kesirler (hem pozitif hem de negatif) olarak temsil edilebilir. Bir a sayısının derecesinin tanımını kesirli bir üs m / n ile formüle edelim, burada n bir doğal sayı ve m bir tam sayıdır.

a m n kesirli üslü bir dereceye sahibiz. Dereceden dereceye özelliğinin yerine getirilmesi için, a m n n = a m n · n = a m eşitliği doğru olmalıdır.

n'inci kökün tanımı ve a m n n = a m olduğu göz önüne alındığında, verilen m, n ve a değerleri için a m n anlamlıysa, a m n = a m n koşulunu kabul edebiliriz.

Bir tamsayı üslü bir derecenin yukarıdaki özellikleri, a m n = a m n olması koşuluyla doğru olacaktır.

Akıl yürütmemizden çıkan ana sonuç şudur: kesirli üs m / n olan bir a sayısının kuvveti, a sayısının m'nin kuvvetine göre n'inci köküdür. Bu, verilen m, n ve a değerleri için a m n ifadesi anlamlı kalırsa doğrudur.

1. Derecenin tabanının değerini sınırlayabiliriz: m'nin pozitif değerleri için 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak ve negatif değerler için kesinlikle daha az olacak a alın (çünkü m ≤ 0 için 0 m, ancak bu derece tanımlı değil). Bu durumda, kesirli üslü bir derecenin tanımı şöyle görünecektir:

Bazı pozitif sayılar için m / n kesirli üslü üs, m'nin kuvvetine yükseltilmiş a'nın n'inci köküdür. Bir formül şeklinde, bu aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Tabanı sıfır olan bir derece için bu konum da uygundur, ancak yalnızca üssü pozitif bir sayıysa.

Tabanı sıfır ve kesirli pozitif üs m / n olan bir derece şu şekilde ifade edilebilir:

0 m n = 0 m n = 0, pozitif tamsayı m ve doğal n koşulu altında.

Negatif oranlı m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Bir noktayı not edelim. a'nın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğu koşulunu getirdiğimizden, bazı durumları düşürdük.

a m n ifadesi bazen a'nın bazı negatif değerleri ve bazı m'ler için anlamlıdır. Bu nedenle, doğru girişler (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4'tür, burada taban negatiftir.

2. İkinci yaklaşım, a m n kökünü çift ve tek üslerle ayrı ayrı ele almaktır. O zaman bir koşul daha eklememiz gerekiyor: üssünde iptal edilebilir bir adi kesir bulunan a'nın gücü, üssünde karşılık gelen indirgenemez kesrin bulunduğu a'nın gücü olarak kabul edilir. Daha sonra bu duruma neden ihtiyacımız olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu açıklayacağız. Böylece, a m k n k kaydımız varsa, onu a m n'ye indirgeyebilir ve hesaplamaları basitleştirebiliriz.

n tek ve m pozitifse, a negatif olmayan herhangi bir sayıysa, o zaman a m n anlamlıdır. Negatif olmayan bir a için koşul gereklidir, çünkü negatif bir sayının çift kökü çıkarılmaz. m'nin değeri pozitifse, o zaman a negatif veya sıfır olabilir, çünkü herhangi bir gerçek sayıdan tek bir kök çıkarılabilir.

Yukarıdaki tanımdaki tüm verileri tek bir kayıtta birleştirelim:

Burada m / n indirgenemez bir kesir anlamına gelir, m herhangi bir tam sayıdır ve n herhangi bir doğal sayıdır.

tanım 5

Herhangi bir sıradan iptal edilebilir kesir m · k n · k için, üs a m n ile değiştirilebilir.

İndirgenemez kesirli üslü bir sayının gücü m / n - aşağıdaki durumlarda a m n olarak ifade edilebilir: - herhangi bir gerçek a için, pozitif tamsayı değerleri m ve tek doğal değerler n. Örnek: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Sıfır olmayan herhangi bir gerçek a, negatif tamsayı m ve tek n için, örneğin, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Herhangi bir negatif olmayan a, pozitif tamsayı m ve hatta n için, örneğin, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Herhangi bir pozitif a, tamsayı negatif m ve hatta n için, örneğin, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Diğer değerler için kesirli üs tanımlanmamıştır. Bu derecelere örnekler: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Şimdi yukarıda belirtilen koşulun önemini açıklayalım: Neden iptal edilebilir bir üslü kesri, indirgenemez bir kesirle değiştirelim. Bunu yapmasaydık, diyelim ki 6/10 = 3/5 gibi durumlarla karşılaşacaktık. O zaman doğru (- 1) 6 10 = - 1 3 5, ancak - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ve (- 1) 3 5 = (- 1 olmalıdır. ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Birinciye verdiğimiz kesirli üslü derecenin tanımı pratikte ikinciye göre daha uygundur, bu yüzden kullanmaya devam edeceğiz.

tanım 6

Böylece, kesirli bir üs m / n olan pozitif bir sayı a'nın derecesi 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır. olumsuz olması durumunda a a m n gösterimi anlamsızdır. Pozitif kesirli üsler için sıfırın gücü ay / n 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır, negatif kesirli üsler için sıfır derecesini tanımlamayız.

Sonuçlarda, herhangi bir kesirli göstergeyi hem karışık sayı hem de ondalık kesir olarak yazabileceğinizi not ediyoruz: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Hesaplarken, üssü sıradan bir kesir ile değiştirmek ve daha sonra bir kesirli üs ile bir üs tanımını kullanmak daha iyidir. Yukarıdaki örnekler için şunu elde ederiz:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Mantıksız ve geçerli bir üslü dereceler nelerdir?

Gerçek sayılar nelerdir? Kümeleri hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içerir. Bu nedenle, gerçek göstergeli bir derecenin ne olduğunu anlamak için, dereceleri rasyonel ve irrasyonel göstergelerle tanımlamamız gerekir. Yukarıda rasyonel olanlardan bahsetmiştik. İrrasyonel göstergelerle adım adım ilgilenelim.

Örnek 5

Bir irrasyonel sayı a ve ondalık yaklaşımları a 0, a 1, a 2, dizimiz olduğunu varsayalım. ... ... ... Örneğin, a = 1.67175331 değerini alalım. ... ... , sonra

0 = 1,6, 1 = 1,67, 2 = 1,671,. ... ... , 0 = 1.67, 1 = 1.6717, 2 = 1.671753,. ... ...

Bir yaklaşım dizisini a a 0, a 1, a 2, derece dizileriyle ilişkilendirebiliriz. ... ... ... Rakamları rasyonel bir güce yükseltmek hakkında daha önce söylediklerimizi hatırlarsak, o zaman bu güçlerin değerlerini kendimiz hesaplayabiliriz.

örneğin al bir = 3, sonra a 0 = 31.67, a 1 = 31.6717, a 2 = 31.671753,. ... ... vesaire.

Derecelerin sırası, bir taban a ve bir irrasyonel üs a ile derecenin değeri olacak bir sayıya indirgenebilir. Sonuç olarak: 3 1, 67175331 gibi irrasyonel üslü bir derece. ... 6, 27 sayısına indirgenebilir.

tanım 7

İrrasyonel bir üslü a ile pozitif bir sayının kuvveti a olarak yazılır. Değeri a a 0, a 1, a a 2, dizisinin limitidir. ... ... , burada 0, 1, 2,. ... ... irrasyonel sayı a'nın ardışık ondalık yaklaşımlarıdır. Sıfır tabanlı derece, pozitif irrasyonel göstergeler için de belirlenebilirken, 0 a = 0 Yani, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Ve negatif olanlar için bu yapılamaz, çünkü örneğin 0 - 5, 0 - 2 π değeri tanımlanmamıştır. Herhangi bir irrasyonel güce yükseltilen kişi bir olarak kalır ve 1 2, 2'de 1 5 ve 1 - 5 1'e eşit olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Rasyonel göstergeli derece, özellikleri.

ifade bir n n≤0 için a = 0 durumu dışında tüm a ve n için tanımlanmıştır. Bu derecelerin özelliklerini hatırlayalım.

Herhangi bir a, b sayısı ve herhangi bir m ve n tamsayıları için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

A m * bir n = bir m + n; bir m: bir n = bir m-n (a ≠ 0); (bir m) n = bir mn; (ab) n = bir n * bn; (b ≠ 0); 1 = bir; a 0 = 1 (a ≠ 0).

Ayrıca aşağıdaki özelliği de not ediyoruz:

m> n ise, a> 1 için a m> a n ve a m<а n при 0<а<1.

Bu alt bölümde, bir sayının kuvveti kavramını 2 gibi ifadelere anlam vererek genelleştiriyoruz. 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 Bu durumda, rasyonel üslü dereceler, tam üslü derecelerle aynı özelliklere (veya en azından bir kısmına) sahip olacak şekilde bir tanım vermek doğaldır. Daha sonra, özellikle, sayının n'inci kuvvetia'ya eşit olmalıdır m ... Gerçekten, eğer mülk

(bir p) q = bir pq

yürütülür, ardından



Son eşitlik, (n'inci kökün tanımına göre) sayınına sayısının n'inci kökü olmalıdır m.

Tanım.

Rasyonel üssü r = olan bir a> 0 sayısının derecesi, burada m bir tam sayı ve n bir doğal sayıdır (n> 1), sayıdır

Yani tanım gereği

(1)

0 sayısının gücü yalnızca pozitif göstergeler için tanımlanır; tanım gereği 0 Herhangi bir r> 0 için r = 0.

İrrasyonel üslü bir derece.

İrrasyonel sayıolarak temsil edilebilirrasyonel sayılar dizisinin limiti: .

İzin vermek . Sonra rasyonel üslü dereceler var. Bu derecelerin dizisinin yakınsak olduğu kanıtlanabilir. Bu dizinin limiti denir gerekçeli ve irrasyonel üslü derece: .

Pozitif bir sayı a sabitliyoruz ve her sayıya atayacağız... Böylece, f (x) = a sayısal fonksiyonunu elde ederiz. x Rasyonel sayıların Q kümesinde tanımlanmış ve daha önce listelenen özelliklere sahip. a = 1 için f (x) = a fonksiyonu x 1'den beri sabittir x = 1 herhangi bir rasyonel x için.



y = 2 fonksiyonunun grafiğinin birkaç noktasını çizelim x 2 değerini bir hesap makinesiyle önceden hesaplama x segmentte [–2; 3] 1/4'lük bir adımla (Şekil 1, a) ve ardından 1/8'lik bir adımla (Şekil 1, b) Zihinsel olarak aynı yapıları 1/16, 1/32'lik bir adımla sürdürmek , vb., sonuçta ortaya çıkan noktaların, doğal olarak bazı fonksiyonların grafiği olarak kabul edilen, zaten tüm sayı doğrusunda tanımlanmış ve artan ve değerler alan düzgün bir eğri ile bağlanabileceğini görüyoruz.rasyonel noktalarda(Şekil 1, c). Yeterince inşa edilmiş Büyük sayı fonksiyon grafiği noktaları, bu fonksiyonun da benzer özelliklere sahip olduğundan emin olunabilir (fark, fonksiyonun R) azalır.

Bu gözlemler, 2 sayılarını bu şekilde tanımlayabileceğinizi gösteriyor.α ve her irrasyonel α için, y = 2 formülleriyle verilen fonksiyonlar x ve sürekli olacak ve y = 2 fonksiyonu x artar ve fonksiyontam sayı doğrusu boyunca azalır.

a sayısının nasıl olduğunu genel hatlarıyla açıklayalım. α a> 1 için irrasyonel α için. y = a fonksiyonunu elde etmek istiyoruz x artıyordu. O zaman herhangi bir rasyonel r için 1 ve r 2 öyle ki r 1<αeşitsizlikleri sağlamalıdır a 1<а α <а r 1 .

Değerlerin seçilmesi r 1 ve r2 x'e yaklaşıldığında, a'nın karşılık gelen değerlerinin r 1 ve r 2 az farklılık gösterecektir. Tüm a'lardan daha büyük olan yalnızca bir y sayısının olduğu kanıtlanabilir. 1 tüm rasyonel r için 1 ve en az bir r 2 tüm rasyonel r için 2 ... Bu sayı y tanım gereği a'dır α .

Örneğin, 2 değerini hesaplamak için hesap makinesini kullanmak x, x n ve x` n noktalarında, burada x n ve x` n - bir sayının ondalık yaklaşımlarıyakın x olduğunu bulacağız n ve x` n k , fark ne kadar azsa 2 x n ve 2 x` n.

O zamandan beri



ve bu nedenle



Benzer şekilde, aşağıdaki ondalık yaklaşımlar dikkate alındığındaeksiklik ve fazlalık ile oranlara ulaşırız

;

;

;

;

.

Anlam Hesap makinesinde hesaplanan aşağıdaki gibidir:

.

bir numara α 0 için<α<1. Кроме того полагают 1 α = 1 herhangi bir α ve 0 içinα> 0 için α = 0.

üstel fonksiyon.


NS a > 0, a = 1, fonksiyon tanımlandı y = bir x sabitten başka. Bu özellik denir üstel fonksiyon temel ilea.

y= bir x NS a> 1:

Taban 0 ile üstel fonksiyon grafikleri< a < 1 и a> 1 şekilde gösterilmiştir.

Üstel fonksiyonun temel özellikleri y= bir x 0'da< a < 1:

  • Fonksiyonun tanım kümesi tam sayı doğrusudur.
  • İşlev aralığı - yayılma (0; + ) .
  • Fonksiyon tam sayı doğrusunda kesinlikle monoton olarak artıyor, yani x 1 < x 2, o zaman bir x 1 > bir x 2 .
  • NS x= 0, fonksiyon değeri 1'dir.
  • Eğer x> 0, sonra 0< a < 1 ve eğer x < 0, то bir x > 1.
    • İLE Genel Özellikler 0 için üstel fonksiyon< a < 1, так и при a> 1 şunları içerir:
    • a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, hepsi için x 1 ve x 2.
    • a - x= ( a x) − 1 = 1 ax herkes için x.
    • na x= a


 

Okumak:



Fırtına - rüya yorumu

Fırtına - rüya yorumu

Rüyanın neyle ilgili olduğuna, yıldırımın nasıl çarptığına dair açıklamalar, çoğu zaman kaderin bir anda değişebileceğini hatırlatır. Gördüklerini doğru yorumlamak için...

Hamile kadınlar hangi hafif alkolü içebilir: Hamileliğin ilk aylarında alkol almanın sonuçları?

Hamile kadınlar hangi hafif alkolü içebilir: Hamileliğin ilk aylarında alkol almanın sonuçları?

Er ya da geç, hayatında bir çocuğun ortaya çıkması için “olgun” olan her kadın, “Alkol erken aşamalarda tehlikeli midir?

Gastritli bir çocuk için diyet nasıl yapılır: genel öneriler Akut veya kronik form

Gastritli bir çocuk için diyet nasıl yapılır: genel öneriler Akut veya kronik form

Genel kurallar Modern koşullarda, sadece yetişkinlerin özelliği olan gastrointestinal sistem hastalıkları, ...

Gladiolilerin daha hızlı çiçek açması için ne yapılmalı?

Gladiolilerin daha hızlı çiçek açması için ne yapılmalı?

Çiçek salkımını dikkatlice ve dikkatlice kesin. Her çiçeklenme kesildikten sonra bıçak dezenfekte edilmelidir. Bu önlem özellikle...
besleme görüntüsü TL