Karşı köşeden) ve elde edilen ürünü ikiye bölün. Formda şöyle görünür:

S = ½ * a * h,

nerede:
S, üçgenin alanıdır,
a, kenarının uzunluğudur,
h, bu tarafa indirilen yüksekliktir.

Kenar uzunluğu ve yüksekliği aynı birimlerde sunulmalıdır. Bu durumda, üçgenin alanı karşılık gelen "" birimlerde ortaya çıkacaktır.

Misal.
20 cm uzunluğundaki bir skalen üçgenin kenarlarından birinde, 10 cm uzunluğundaki karşı köşeden bir dik aşağı indirilir.
Üçgenin alanı gereklidir.
Karar.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Bir skalen üçgenin herhangi iki kenarının uzunluklarını ve aralarındaki açıyı biliyorsanız, aşağıdaki formülü kullanın:

S = ½ * a * b * sinγ,

burada: a, b iki keyfi kenarın uzunluklarıdır ve γ aralarındaki açıdır.

Pratikte, örneğin, araziyi ölçerken, ek yapılar ve açıların ölçülmesini gerektirdiğinden, yukarıdaki formüllerin kullanımı bazen zordur.

Bir skalen üçgenin üç kenarının da uzunluklarını biliyorsanız, Heron formülünü kullanın:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))),

a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır,
р – yarı çevre: p = (a+b+c)/2.

Tüm kenarların uzunluklarına ek olarak, üçgende yazılı dairenin yarıçapı biliniyorsa, aşağıdaki kompakt formülü kullanın:

burada: r, yazılı dairenin yarıçapıdır (p, yarı çevredir).

Çevrelenmiş dairenin bir skalen üçgeninin alanını ve kenarlarının uzunluğunu hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

burada: R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

Üçgenin kenarlarından birinin uzunluğu ve üç açı biliniyorsa (prensipte iki tane yeterlidir - üçüncünün değeri üçgenin üç açısının toplamının eşitliğinden hesaplanır - 180º), o zaman kullanın formül:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

α, a tarafının karşısındaki açının değeridir;
β, γ üçgenin kalan iki açısının değerleridir.

bulma ihtiyacı çeşitli unsurlar alan dahil üçgen, gökbilimciler arasında çağımızdan yüzyıllar önce ortaya çıktı Antik Yunan. Kare üçgen hesaplanabilir Farklı yollar farklı formüller kullanarak. Hesaplama yöntemi, hangi öğelere bağlı olduğuna bağlıdır. üçgen bilinen.

Talimat

Koşuldan iki tarafın b, c değerlerini ve bunların oluşturduğu açıyı biliyorsak, o zaman alan üçgen ABC şu formülle bulunur:
S = (bcsin?)/2.

Koşuldan iki tarafın a, b değerlerini ve bunların oluşturmadığı açıyı biliyorsak, o zaman alan üçgen ABC şu şekilde bulunur:
Açıyı bulmak?, günah mı? = bsin? / a, tablonun devamında açının kendisini belirleriz.
Bir açı bulmak? = 180°-?-?.
Alanın kendisini S = (absin?)/2 bulun.

Koşuldan sadece üç tarafın değerlerini biliyorsak üçgen a, b ve c, sonra alan üçgen ABC şu formülle bulunur:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , burada p yarı çevredir p = (a+b+c)/2

Sorunun durumundan yüksekliği biliyorsak üçgen h ve bu yüksekliğin düşürüldüğü taraf, ardından alan üçgen Formüle göre ABC:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Kenarların değerlerini bilsek üçgen a, b, c ve verilenlere yakın çevrelenenlerin yarıçapı üçgen R, sonra bunun alanı üçgen ABC şu formülle belirlenir:
S = abc/4R.
Üç kenar a, b, c ve yazılı olanın yarıçapı biliniyorsa, alan üçgen ABC şu formülle bulunur:
S = pr, burada p yarı çevredir, p = (a+b+c)/2.

ABC eşkenar ise, alan şu formülle bulunur:
S = (a^2v3)/4.
ABC üçgeni ikizkenar ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, burada c üçgen.
ABC üçgeni bir dik üçgen ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = ab/2, burada a ve b bacaklardır üçgen.
ABC üçgeni bir dik ikizkenar üçgen ise, alan şu formülle belirlenir:
S = c^2/4 = a^2/2, burada c hipotenüstür üçgen, a=b - bacak.

İlgili videolar

Kaynaklar:

• üçgenin alanı nasıl ölçülür

İpucu 3: Açıyı biliyorsanız, üçgenin alanını nasıl bulabilirsiniz?

Sadece bir parametreyi (açının değerini) bilmek alanı bulmak için yeterli değildir. tre Meydan . Ek boyutlar varsa, alanı belirlemek için, bilinen değişkenlerden biri olarak açı değerinin de kullanıldığı formüllerden birini seçebilirsiniz. En sık kullanılan formüllerden birkaçı aşağıda listelenmiştir.

Talimat

İki tarafın oluşturduğu açıya (γ) ek olarak tre Meydan , bu kenarların (A ve B) uzunlukları da biliniyorsa, o zaman Meydan(S) rakamları, kenar uzunluklarının ve bu bilinen açının sinüsünün çarpımının yarısı olarak tanımlanabilir: S=½×A×B×sin(γ).

üçgen geometrik şekil aynı doğru üzerinde olmayan noktalarda birleşen üç doğrudan oluşan . Çizgilerin bağlantı noktaları, üçgenin köşeleri ile gösterilen köşelerdir. Latin harfleriyle(örneğin, A, B, C). Bir üçgenin birbirine bağlanan düz çizgilerine, genellikle Latin harfleriyle de gösterilen segmentler denir. Aşağıdaki üçgen türleri vardır:

• dikdörtgen.
• geniş.
• Dar açılı.
• Çok yönlü.
• Eşkenar.
• İkizkenar.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için genel formüller

Uzunluk ve yükseklik için üçgen alan formülü

S=a*h/2,
a, alanı bulunacak üçgenin kenar uzunluğu, h, tabana çizilen yüksekliğin uzunluğudur.

balıkçıl formülü

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
√ nerede Kare kök, p üçgenin yarım çevresidir, a,b,c üçgenin her bir kenarının uzunluğudur. Bir üçgenin yarı çevresi, p=(a+b+c)/2 formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Segmentin açısı ve uzunluğu açısından bir üçgenin alanı için formül

S = (a*b*sin(α))/2,
nerede b,cüçgenin kenarlarının uzunluğu, sin (α) iki kenar arasındaki açının sinüsüdür.

Yazılı dairenin yarıçapı ve üç kenarı verilen bir üçgenin alanı için formül

S=p*r,
p, alanı bulunacak olan üçgenin yarı-çevresidir, r, bu üçgende yazılı dairenin yarıçapıdır.

Üç kenarı verilen bir üçgenin alanı ve etrafı çevrili bir dairenin yarıçapı için formül

S= (a*b*c)/4*R,
a,b,c üçgenin her bir kenarının uzunluğu olduğunda, R üçgenin etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

Noktaların Kartezyen koordinatlarında bir üçgenin alanı için formül

Noktaların Kartezyen koordinatları, x'in apsis ve y'nin de ordinat olduğu xOy sistemindeki koordinatlardır. Düzlemdeki kartezyen koordinat sistemi xOy, Ox ve Oy ile karşılıklı olarak dik sayısal eksenler olarak adlandırılır. ortak başlangıç O noktasında referans. Bu düzlemdeki noktaların koordinatları A (x1, y1), B (x2, y2) ve C (x3, y3) şeklinde verilirse, alanını hesaplayabilirsiniz. İki vektörün çapraz ürününden elde edilen aşağıdaki formülü kullanarak üçgen.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
nerede || modül anlamına gelir.

Bir dik üçgenin alanı nasıl bulunur

Dik üçgen, bir açısı 90 derece olan üçgendir. Bir üçgenin sadece bir tane böyle açısı olabilir.

İki ayak üzerinde bir dik üçgenin alanı için formül

S=a*b/2,
burada a,b bacakların uzunluğudur. Bacaklara dik açıya bitişik kenarlar denir.

Hipotenüs ve dar açı verilen bir dik üçgenin alanı için formül

S = a*b*sin(α)/ 2,
a, b üçgenin bacaklarıdır ve sin(α), a, b çizgilerinin kesiştiği açının sinüsüdür.

Bacak ve karşı açı ile bir dik üçgenin alanı için formül

S = a*b/2*tg(β),
a, b üçgenin bacakları olduğunda, tg(β), a,b bacaklarının bağlandığı açının tanjantıdır.

Bir ikizkenar üçgenin alanı nasıl hesaplanır

İkizkenar üçgen, iki eşit kenarı olan üçgendir. Bu taraflara kenar denir ve diğer tarafa taban denir. Bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formüllerden birini kullanabilirsiniz.

Bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplamak için temel formül

S=h*c/2,
c üçgenin tabanı olduğunda h, üçgenin tabana indirilmiş yüksekliğidir.

Yan tarafta ve tabanda bir ikizkenar üçgen formülü

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
c üçgenin tabanı olduğunda, a ikizkenar üçgenin kenarlarından birinin değeridir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur

Eşkenar üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir. Bir eşkenar üçgenin alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
S = (√3*a*a)/4,
a, bir eşkenar üçgenin kenar uzunluğudur.

Yukarıdaki formüller, üçgenin gerekli alanını hesaplamanıza izin verecektir. Üçgenlerin aralığını hesaplamak için üçgenin türünü ve hesaplama için kullanılabilecek mevcut verileri dikkate almanız gerektiğini hatırlamak önemlidir.

Bir üçgenin alanını belirlemek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Tüm yöntemlerden en kolayı ve en sık kullanılanı, yüksekliğin taban uzunluğuyla çarpılması ve ardından sonucun ikiye bölünmesidir. Ancak, bu yöntem tek olmaktan uzaktır. Aşağıda farklı formüller kullanarak bir üçgenin alanını nasıl bulacağınızı okuyabilirsiniz.

Ayrı olarak, belirli üçgen - dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenar alan türlerinin alanını hesaplama yöntemlerini ele alacağız. Her formüle özünü anlamanıza yardımcı olacak kısa bir açıklama ile eşlik ediyoruz.

Bir üçgenin alanını bulmanın evrensel yolları

Aşağıdaki formüller özel gösterim kullanır. Her birini deşifre edeceğiz:

• a, b, c, ele aldığımız şeklin üç kenarının uzunluklarıdır;
• r, üçgenimize yazılabilecek bir dairenin yarıçapıdır;
• R, çevresinde tanımlanabilen dairenin yarıçapıdır;
• α - b ve c taraflarının oluşturduğu açının değeri;
• β, a ve c arasındaki açıdır;
• γ - a ve b taraflarının oluşturduğu açının değeri;
• h, üçgenimizin α açısından a tarafına indirilen yüksekliğidir;
• p, a, b ve c kenarlarının toplamının yarısıdır.

Bir üçgenin alanını neden bu şekilde bulabildiğiniz mantıksal olarak açıktır. Üçgen, bir tarafının köşegen gibi davranacağı bir paralelkenara kolayca tamamlanır. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğunun kendisine çizilen yükseklik değeri ile çarpılmasıyla bulunur. Köşegen, bu koşullu paralelkenarı 2 özdeş üçgene böler. Bu nedenle, orijinal üçgenimizin alanının, bu yardımcı paralelkenarın alanının yarısına eşit olması gerektiği oldukça açıktır.

S=½ a b sin γ

Bu formüle göre bir üçgenin alanı, iki kenarının yani a ve b'nin uzunluklarının oluşturdukları açının sinüsü ile çarpılmasıyla bulunur. Bu formül mantıksal olarak bir öncekinden türetilmiştir. Yüksekliği β açısından b kenarına düşürürsek, o zaman bir dik üçgenin özelliklerine göre, a kenarının uzunluğunu γ açısının sinüsü ile çarptığımızda, üçgenin yüksekliğini elde ederiz, yani h.

Söz konusu şeklin alanı, içine yazılabilen dairenin yarıçapının yarısını çevresi ile çarparak bulunur. Başka bir deyişle, söz konusu dairenin yarı-çevresinin ve yarıçapının çarpımını buluyoruz.

S= bir b c/4R

Bu formüle göre, ihtiyacımız olan değer, şeklin kenarlarının çarpımını, etrafı çevrili dairenin 4 yarıçapına bölerek bulunabilir.

Bu formüller evrenseldir, çünkü herhangi bir üçgenin (skalen, ikizkenar, eşkenar, dik açılı) alanını belirlemeyi mümkün kılar. Bu, ayrıntılı olarak üzerinde durmayacağımız daha karmaşık hesaplamaların yardımıyla yapılabilir.

Belirli özelliklere sahip üçgenlerin alanları

Bir dik üçgenin alanı nasıl bulunur? Bu figürün bir özelliği, iki kenarının aynı anda yükseklikleri olmasıdır. a ve b bacaklarsa ve c hipotenüs olursa, alan aşağıdaki gibi bulunur:

Bir ikizkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? A uzunluğunda iki kenarı ve b uzunluğunda bir kenarı vardır. Bu nedenle alanı, a kenarının karesinin çarpımını γ açısının sinüsüne bölerek belirlenebilir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? İçinde tüm kenarların uzunluğu a'dır ve tüm açıların değeri α'dır. Yüksekliği, kenar uzunluğunun a çarpı 3'ün karekökünün yarısıdır. Normal bir üçgenin alanını bulmak için, a'nın karesinin 3'ün kareköküyle çarpıp 4'e bölünmesi gerekir.

Talimat

partiler ve köşeler temel unsurlar olarak kabul edilir a. Bir üçgen, aşağıdaki temel öğelerinden herhangi biri tarafından tamamen tanımlanır: ya üç kenar veya bir kenar ve iki açı veya iki kenar ve aralarında bir açı. varoluş için üçgenüç taraf a, b, c ile tanımlanır, eşitsizlikler denilen eşitsizliklerin olması gerekli ve yeterlidir. üçgen:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

İnşaat için üçgen a, b, c üç tarafında, CB=a segmentinin C noktasından b yarıçaplı bir dairenin pusula ile nasıl çizileceği gereklidir. Daha sonra, benzer şekilde, B noktasından yarıçapı c kenarına eşit olan bir daire çizin. Kesişme noktası A, istenen noktanın üçüncü tepe noktasıdır. üçgen ABC, burada AB=c, CB=a, CA=b - kenarlar üçgen. Problem, eğer a, b, c kenarları eşitsizlikleri sağlıyorsa, üçgen 1. adımda belirtilen

Bu şekilde inşa edilen S alanı üçgen ABC ile bilinen taraflar a, b, c, Heron formülüyle hesaplanır:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c))),
a, b, c kenarlar nerede üçgen, p yarı çevredir.
p = (a+b+c)/2

Üçgen eşkenar ise, yani tüm kenarları eşittir (a=b=c). üçgen formülle hesaplanır:
S=(a^2 v3)/4

Üçgen dik ise yani açılarından biri 90° ise ve onu oluşturan kenarlar bacaksa, üçüncü kenar hipotenüstür. AT bu durum Meydan bacakların çarpımının ikiye bölünmesine eşittir.
S=ab/2

Bulmak Meydan üçgen, birçok formülden birini kullanabilirsiniz. Hangi verilerin zaten bilindiğine bağlı olarak formülü seçin.

İhtiyacın olacak

• bir üçgenin alanını bulmak için formüller bilgisi

Talimat

Kenarlardan birinin değerini ve karşı köşeden bu tarafa indirilen yüksekliğin değerini biliyorsanız, alanı aşağıdakileri kullanarak bulabilirsiniz: S = a*h/2, burada S ​'nin alanıdır. ​üçgen, a üçgenin kenarlarından biridir ve h - yükseklik, a tarafına.

Üç kenarı biliniyorsa, bir üçgenin alanını belirlemenin bilinen bir yolu vardır. O Heron'un formülü. Kaydını basitleştirmek için bir ara değer eklenir - bir yarı çevre: p \u003d (a + b + c) / 2, burada a, b, c - . O halde Heron'un formülü şu şekildedir: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ üs alma.

Bir üçgenin kenarlarından birini ve üç açısını bildiğinizi varsayalım. O zaman üçgenin alanını bulmak kolaydır: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), burada β, a tarafının karşısındaki açıdır ve α ve γ, kenara bitişik açılardır.

İlgili videolar

Not

Her duruma uygun en genel formül Heron formülüdür.

Kaynaklar:

İpucu 3: Üç kenarı verilen bir üçgenin alanı nasıl bulunur

Bir üçgenin alanını bulmak, okul planimetrisindeki en yaygın görevlerden biridir. Bir üçgenin üç tarafını bilmek, herhangi bir üçgenin alanını belirlemek için yeterlidir. Özel durumlarda ve eşkenar üçgenlerde sırasıyla iki ve bir kenar uzunluklarının bilinmesi yeterlidir.

İhtiyacın olacak

• üçgenlerin kenar uzunlukları, Heron formülü, kosinüs teoremi

Talimat

Bir üçgenin alanı için Heron'un formülü şu şekildedir: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))). P yarım çevresini boyarsanız, şunu elde edersiniz: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Ayrıca, örneğin kosinüs teoremini uygulayarak, bir üçgenin alanı için bir formül elde edebilirsiniz.

Kosinüs yasasına göre, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Tanıtılan gösterimi kullanarak, bunlar şu biçimde de olabilir: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Dolayısıyla, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Bir üçgenin alanı ayrıca iki kenar boyunca S = a*c*sin(ABC)/2 formülü ve aralarındaki açı ile bulunur. ABC açısının sinüsü, temel trigonometrik özdeşlik kullanılarak ifade edilebilir: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) Alan formülünde sinüsü değiştirip boyayarak, ABC üçgeninin alan formülüne gelin.

İlgili videolar

İçin onarım işiölçülmesi gerekebilir Meydan duvarlar. Gerekli miktarda boya veya duvar kağıdını hesaplamak daha kolaydır. Ölçümler için bir mezura veya santimetre bant kullanmak en iyisidir. Ölçümler sonra yapılmalıdır. duvarlar hizalanmıştır.

İhtiyacın olacak

• -rulet;
• -merdiven.

Talimat

Saymak Meydan duvarlar, tavanların tam yüksekliğini bilmeniz ve zemin boyunca uzunluğu ölçmeniz gerekir. Bu şu şekilde yapılır: bir santimetre alın, kaidenin üzerine koyun. Genellikle tüm uzunluk için bir santimetre yeterli değildir, bu nedenle köşeye sabitleyin, ardından gevşetin. maksimum uzunluk. Bu noktada kurşun kalemle bir işaret koyun, sonucu yazın ve son ölçüm noktasından başlayarak aynı şekilde daha fazla ölçüm yapın.

Standart tavanlar tipik olarak - eve bağlı olarak 2 metre 80 santimetre, 3 metre ve 3 metre 20 santimetre. Ev 50'li yıllardan önce inşa edilmişse, büyük olasılıkla gerçek yükseklik belirtilenden biraz daha düşüktür. hesap yapıyorsanız Meydan onarım çalışmaları için, küçük bir marj zarar vermez - standarda göre düşünün. Hala bilmeniz gerekiyorsa gerçek yükseklik- ölçüm yapın. İlke, uzunluğu ölçmeye benzer, ancak bir merdivene ihtiyacınız olacak.

Ortaya çıkan rakamları çarpın - bu Meydan sizin duvarlar. doğru, boyama işi veya çıkarmanız gerektiği için Meydan kapı ve pencere açıklıkları. Bunu yapmak için, açıklık boyunca bir santimetre yerleştirin. Eğer bir Konuşuyoruz daha sonra değiştireceğiniz kapı hakkında, daha sonra onu Kapı çerçevesi sadece dikkate alınarak Meydan açılış kendisi. Pencere alanı, çerçevesinin çevresi boyunca hesaplanır. Sonrasında Meydan hesaplanan pencere ve kapı, sonucu elde edilen odanın toplam alanından çıkarın.

Lütfen odanın uzunluk ve genişliğinin ölçümlerinin birlikte yapıldığını, bir santimetre veya şerit metrenin sabitlenmesinin daha kolay olduğunu ve buna göre daha doğru bir sonuç alındığını unutmayın. Aldığınız sayıların doğru olduğundan emin olmak için aynı ölçümü birkaç kez yapın.

İlgili videolar

Bir üçgenin hacmini bulmak aslında önemsiz bir iştir. Gerçek şu ki, bir üçgen iki boyutlu bir şekildir, yani. tamamen tek bir düzlemde yer alır, yani hacmi yoktur. Elbette var olmayan bir şeyi bulamazsınız. Ama pes etmeyelim! Aşağıdaki varsayımı yapabiliriz - iki boyutlu bir figürün hacmi, bu onun alanı. Üçgenin alanını arıyoruz.

İhtiyacın olacak

• kağıt, kalem, cetvel, hesap makinesi

Talimat

Bir cetvel ve kurşun kalemle bir kağıda çizin. Üçgeni dikkatlice inceleyerek, bir düzlemde çizildiği için gerçekten olmadığından emin olabilirsiniz. Üçgenin kenarlarını etiketleyin: bir kenar "a", diğer kenar "b" ve üçüncü kenar "c" olsun. Üçgenin köşelerini "A", "B" ve "C" harfleriyle etiketleyin.

Üçgenin herhangi bir tarafını bir cetvelle ölçün ve sonucu yazın. Bundan sonra, karşı köşeden ölçülen tarafa dik olanı geri yükleyin, böyle bir dik üçgenin yüksekliği olacaktır. Şekilde gösterilen durumda, dikey "h", "A" köşesinden "c" tarafına geri yüklenir. Ortaya çıkan yüksekliği bir cetvelle ölçün ve ölçümün sonucunu kaydedin.

Tam dikliği geri yüklemekte zorlanabilirsiniz. Bu durumda farklı bir formül kullanmalısınız. Üçgenin tüm kenarlarını bir cetvelle ölçün. Bundan sonra, elde edilen kenarların uzunluklarını toplayarak ve toplamlarını ikiye bölerek "p" üçgeninin yarım çevresini hesaplayın. Yarım çevrenin değerini elinizde bulundurarak, Heron formülünü kullanabilirsiniz. Bunu yapmak için aşağıdakilerin karekökünü almanız gerekir: p(p-a)(p-b)(p-c).

aldın istenen değer bir üçgenin alanı. Bir üçgenin hacmini bulma sorunu çözülmedi, ancak yukarıda belirtildiği gibi hacim değil. Temelde bir üçgen olan hacmi 3D dünyasında bulabilirsiniz. Orijinal üçgenimizin üç boyutlu bir piramit haline geldiğini hayal edersek, böyle bir piramidin hacmi, tabanının uzunluğunun ve aldığımız üçgenin alanının ürünü olacaktır.

Not

Ne kadar dikkatli ölçüm yaparsanız, hesaplamalar o kadar doğru olacaktır.

Kaynaklar:

• Her Şeyden Herkese Hesap Makinesi - Referans Portalı
• 2019'da üçgen hacmi

Kartezyen koordinat sisteminde bir üçgeni benzersiz olarak tanımlayan üç nokta, onun köşeleridir. Koordinat eksenlerinin her birine göre konumlarını bilerek, bunun herhangi bir parametresini hesaplayabilirsiniz. düz şekil, çevresi dahil ve bununla sınırlı Meydan. Bu birkaç yolla yapılabilir.

Talimat

Alanı hesaplamak için Heron'un formülünü kullanın üçgen. Şeklin üç tarafının boyutlarını içerir, bu nedenle hesaplamalara ile başlayın. Her bir kenarın uzunluğu, çıkıntılarının uzunluklarının karelerinin toplamının köküne eşit olmalıdır. koordinat eksenleri. A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ve C(X₃,Y₃,Z₃ koordinatlarını gösterirsek, kenarlarının uzunlukları şu şekilde ifade edilebilir: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Hesaplamaları basitleştirmek için yardımcı bir değişken girin - yarı çevre (P). Bundan, bu, tüm kenarların uzunluklarının toplamının yarısıdır: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Üçgen iyi bilinen bir figürdür. Ve bu, formlarının zengin çeşitliliğine rağmen. Dikdörtgen, eşkenar, akut, ikizkenar, geniş. Her biri biraz farklı. Ancak herhangi biri için üçgenin alanını bilmek gerekir.

Kenar uzunluklarını veya yüksekliklerini kullanan tüm üçgenler için ortak formüller

İçlerinde kabul edilen tanımlamalar: taraflar - a, b, c; a, n in, n s üzerindeki karşılık gelen taraflardaki yükseklikler.

1. Bir üçgenin alanı, ½, kenar ve üzerine indirilen yüksekliğin çarpımı olarak hesaplanır. S = ½ * a * n a. Benzer şekilde, diğer iki taraf için formüller yazılmalıdır.

2. Yarım çevrenin göründüğü Heron formülü (tam çevrenin aksine küçük bir p harfi ile belirtmek gelenekseldir). Yarı çevre aşağıdaki gibi hesaplanmalıdır: tüm kenarları toplayın ve 2'ye bölün. Yarı çevre formülü: p \u003d (a + b + c) / 2. Ardından, alan için eşitlik ​​\u200b\u200bşekil şöyle görünür: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Yarım çevre kullanmak istemiyorsanız, yalnızca kenarların uzunluklarının bulunduğu böyle bir formül kullanışlı olacaktır: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bir öncekinden biraz daha uzun, ancak yarı çevreyi nasıl bulacağınızı unuttuysanız yardımcı olacaktır.

Bir üçgenin açılarının göründüğü genel formüller

Formülleri okumak için gereken gösterim: α, β, γ - açılar. Sırasıyla a, b, c kenarlarında bulunurlar.

1. Buna göre iki kenarın çarpımının yarısı ile aralarındaki açının sinüsü üçgenin alanına eşittir. Yani: S = ½ a * b * günah γ. Diğer iki durum için formüller benzer şekilde yazılmalıdır.

2. Bir üçgenin alanı bir taraftan ve bilinen üç açıdan hesaplanabilir. S \u003d (a 2 * günah β * günah γ) / (2 günah α).

3. Bir kenarı bilinen ve ona bitişik iki açısı olan bir formül de vardır. Şuna benziyor: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Son iki formül en basit değil. Onları hatırlamak oldukça zor.

Yazılı veya sınırlı dairelerin yarıçaplarının bilindiği durum için genel formüller

Ek tanımlamalar: r, R — yarıçaplar. Birincisi, yazılı dairenin yarıçapı için kullanılır. İkincisi tarif edilen içindir.

1. Bir üçgenin alanının hesaplandığı ilk formül, yarı çevre ile ilgilidir. S = r * r. Başka bir şekilde şu şekilde yazılabilir: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. İkinci durumda, üçgenin tüm kenarlarını çarpmanız ve bunları çevrelenmiş dairenin dörtlü yarıçapına bölmeniz gerekecektir. AT gerçek ifadeşuna benziyor: S = (a * b * c) / (4R).

3. Üçüncü durum, kenarları bilmeden yapmanızı sağlar, ancak üç açının da değerlerine ihtiyacınız vardır. S \u003d 2 R 2 * günah α * günah β * günah γ.

Özel durum: dik üçgen

Bu en basit durumdur, çünkü sadece her iki bacağın uzunluğu gereklidir. Latin harfleri a ve b ile gösterilirler. Bir dik üçgenin alanı, kendisine eklenen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir.

Matematiksel olarak şöyle görünür: S = ½ a * b. O, hatırlaması en kolay olanıdır. Dikdörtgenin alan formülü gibi göründüğü için, yalnızca yarısını gösteren bir kesir görünür.

Özel durum: ikizkenar üçgen

İki kenarı eşit olduğundan, alanı için bazı formüller biraz basitleştirilmiş görünüyor. Örneğin, bir ikizkenar üçgenin alanını hesaplayan Heron formülü aşağıdaki şekli alır:

S = ½ inç √((a + ½ inç)*(a - ½ inç)).

Dönüştürürseniz, daha kısa olacaktır. Bu durumda, Heron'un ikizkenar üçgen formülü aşağıdaki gibi yazılır:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Alan formülü, kenarlar ve aralarındaki açı biliniyorsa, keyfi bir üçgenden biraz daha basit görünür. S \u003d ½ a 2 * günah β.

Özel durum: eşkenar üçgen

Genellikle onunla ilgili problemlerde taraf bilinir veya bir şekilde tanınabilir. Daha sonra böyle bir üçgenin alanını bulma formülü aşağıdaki gibidir:

S = (a 2 √3) / 4.

Kareli kağıda üçgen gösteriliyorsa alanı bulma görevleri

En basit durum, dik açılı bir üçgen çizildiğinde, bacakları kağıdın çizgileriyle çakışacak şekilde çizilir. O zaman sadece bacaklara uyan hücre sayısını saymanız gerekir. Sonra onları çarpın ve ikiye bölün.

Üçgen dar veya geniş olduğunda, bir dikdörtgene çizilmelidir. Sonra ortaya çıkan şekilde 3 üçgen olacak. Biri görevde verilendir. Diğer ikisi ise yardımcı ve dikdörtgendir. Son ikisinin alanları yukarıda açıklanan yöntemle belirlenmelidir. Ardından dikdörtgenin alanını hesaplayın ve yardımcı olanlar için hesaplananları çıkarın. Üçgenin alanı belirlenir.

Çok daha zor olan, üçgenin kenarlarının hiçbirinin kağıdın çizgileriyle çakışmadığı durumdur. Daha sonra, orijinal şeklin köşeleri yanlarında olacak şekilde bir dikdörtgene yazılmalıdır. Bu durumda, üç yardımcı dik üçgen olacaktır.

Heron formülüyle ilgili bir problem örneği

Koşul. Bazı üçgenlerin kenarları vardır. 3, 5 ve 6 cm'ye eşittirler, alanını bilmeniz gerekir.

Şimdi yukarıdaki formülü kullanarak bir üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz. Karekökün altında dört sayının çarpımı bulunur: 7, 4, 2 ve 1. Yani alan √ (4 * 14) = 2 √ (14)'tür.

Daha fazla kesinliğe ihtiyacınız yoksa, 14'ün karekökünü alabilirsiniz. 3.74'tür. O zaman alan 7.48'e eşit olacaktır.

Cevap. S \u003d 2 √14 cm 2 veya 7.48 cm 2.

Dik üçgenle ilgili bir problem örneği

Koşul. Dik açılı üçgenin bir ayağı ikincisinden 31 cm daha uzundur.Üçgenin alanı 180 cm2 ise uzunluklarını bulmak gerekir.
Karar. İki denklemli bir sistemi çözmeniz gerekiyor. Birincisi alanla ilgili. İkincisi, problemde verilen bacakların oranıdır.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
İlk olarak, "a" değeri birinci denklemde ikame edilmelidir. Görünüşe göre: 180 \u003d ½ (+ 31'de) * inç. Sadece bir bilinmeyen miktarı vardır, bu nedenle çözülmesi kolaydır. Parantezleri açtıktan sonra şunu elde ederiz: ikinci dereceden denklem: 2 + 31'de - 360 = 0. "in" için iki değer verir: 9 ve - 40. İkinci sayı cevap olarak uygun değildir, çünkü üçgenin kenar uzunluğu negatif olamaz değer.

İkinci ayağı hesaplamak için kalır: ortaya çıkan sayıya 31 ekleyin, 40 çıkıyor. Bunlar problemde aranan miktarlar.

Cevap. Üçgenin bacakları 9 ve 40 cm'dir.

Bir üçgenin alanı, kenarı ve açısı boyunca kenar bulma görevi

Koşul. Bazı üçgenlerin alanı 60 cm2'dir. İkinci kenar 15 cm ve aralarındaki açı 30º ise kenarlarından birini hesaplamak gerekir.

Karar. Kabul edilen tanımlamalara göre, istenen taraf “a”, bilinen “b”, verilen açı “γ” dır. Daha sonra alan formülü aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

60 \u003d ½ a * 15 * günah 30º. Burada 30 derecenin sinüsü 0,5'tir.

Dönüşümlerden sonra, "a", 60 / (0,5 * 0,5 * 15) değerine eşittir. Yani 16.

Cevap. İstenilen kenar 16 cm'dir.

Bir dik üçgende yazılı bir kare sorunu

Koşul. Bir kenarı 24 cm olan karenin köşesi üçgenin dik açısına denk gelir. Diğer ikisi bacaklar üzerinde yatar. Üçüncüsü hipotenüse aittir. Bacaklardan birinin uzunluğu 42 cm, bir dik üçgenin alanı nedir?

Karar. İki düşünün sağ üçgen. İlki görevde belirtilmiştir. İkincisi, orijinal üçgenin bilinen ayağına dayanmaktadır. Benzerdirler çünkü ortak bir açıya sahiptirler ve paralel doğrulardan oluşurlar.

O zaman bacaklarının oranları eşittir. Küçük üçgenin bacakları 24 cm (karenin kenarı) ve 18 cm'dir (bacak 42 cm eksi karenin kenarı 24 cm olarak verilmiştir). Büyük üçgenin karşılık gelen bacakları 42 cm ve x cm'dir.Üçgenin alanını hesaplamak için gerekli olan bu "x" dir.

18/42 \u003d 24 / x, yani, x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

O zaman alan 56 ve 42'nin çarpımına eşittir, ikiye bölünür, yani 1176 cm2.

Cevap. İstenilen alan 1176 cm2'dir.