Bir üçgenin alanını belirlemek için çeşitli formüller kullanılabilir. Tüm yöntemlerden en kolayı ve en sık kullanılanı yüksekliği tabanın uzunluğuyla çarparak sonucu ikiye bölmektir. Ancak, bu yöntem tek olmaktan uzaktır. Aşağıda farklı formüller kullanarak bir üçgenin alanını nasıl bulacağınızı okuyabilirsiniz.

Ayrı olarak, belirli üçgen türlerinin alanını hesaplama yöntemlerini ele alacağız - dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenar. Her formüle özünü anlamanıza yardımcı olacak kısa bir açıklama ile eşlik ediyoruz.

Bir üçgenin alanını bulmanın evrensel yolları

Aşağıdaki formüller özel kuralları kullanır. Her birini deşifre edeceğiz:

• a, b, c - düşündüğümüz şeklin üç tarafının uzunlukları;
• r, üçgenimize yazılabilecek bir dairenin yarıçapıdır;
• R, çevresinde tanımlanabilen dairenin yarıçapıdır;
• α - b ve c taraflarının oluşturduğu açının değeri;
• β, a ve c arasındaki açıdır;
• γ - a ve b taraflarının oluşturduğu açının değeri;
• h - üçgenimizin yüksekliği, α açısından a tarafına indirilir;
• p - a, b ve c kenarlarının toplamının yarısı.

Bir üçgenin alanını bu şekilde bulmanın neden mümkün olduğu mantıklıdır. Üçgen, bir tarafının köşegen gibi davranacağı bir paralelkenarla kolayca tamamlanabilir. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğunun kendisine çizilen yükseklik değeri ile çarpılmasıyla bulunur. Köşegen, bu geleneksel paralelkenarı 2 özdeş üçgene böler. Bu nedenle, orijinal üçgenimizin alanının, bu yardımcı paralelkenarın alanının yarısına eşit olması gerektiği oldukça açıktır.

S = ½ a b sin γ

Bu formüle göre, bir üçgenin alanı, iki kenarının, yani a ve b'nin uzunluklarının, oluşturdukları açının sinüsü ile çarpılmasıyla bulunur. Bu formül mantıksal olarak bir öncekinden türetilmiştir. Yüksekliği β açısından b kenarına düşürürsek, özelliklere göre sağ üçgen, a tarafının uzunluğunu γ açısının sinüsü ile çarparken, üçgenin yüksekliğini, yani h'yi elde ederiz.

Söz konusu şeklin alanı, içine yazılabilen dairenin yarıçapının yarısı ile çevresinin çarpılmasıyla bulunur. Başka bir deyişle, söz konusu dairenin yarı-çevresinin ve yarıçapının çarpımını buluyoruz.

S = bir b s / 4R

Bu formüle göre, ihtiyacımız olan değer, şeklin kenarlarının çarpımını, çevresinde açıklanan dairenin 4 yarıçapına bölerek bulunabilir.

Bu formüller evrenseldir, çünkü herhangi bir üçgenin (çok yönlü, ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen) alanını belirlemeyi mümkün kılar. Bu, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağımız daha karmaşık hesaplamaların yardımıyla yapılabilir.

Belirli özelliklere sahip üçgenlerin alanları

Dik üçgenin alanını nasıl bulurum? Bu figürün özelliği, iki tarafının aynı anda yükseklikleri olmasıdır. a ve b bacaklarsa ve c hipotenüs olursa, alan aşağıdaki gibi bulunur:

Bir ikizkenar üçgenin alanını nasıl buluyorsunuz? A uzunluğunda iki kenarı ve b uzunluğunda bir kenarı vardır. Bu nedenle alanı, a kenarının karesinin çarpımını γ açısının sinüsüne bölerek belirlenebilir.

Eşkenar üçgenin alanını nasıl buluyorsunuz? İçinde, tüm kenarların uzunluğu a'ya eşittir ve tüm açıların büyüklüğü a'dır. Yüksekliği, a kenarının uzunluğunun 3'ün karekökü ile yarısına eşittir. Normal bir üçgenin alanını bulmak için, a kenarının karesini 3'ün kareköküyle çarpmanız ve bölmeniz gerekir. 4.

Kare konsept

Herhangi bir geometrik figürün, özellikle bir üçgenin alanı kavramı, kare gibi bir figürle ilişkilendirilecektir. Herhangi bir geometrik şeklin birim alanı için, kenarı bire eşit olan bir karenin alanını alacağız. Bütünlük adına, alan kavramının iki ana özelliğini hatırlayın. geometrik şekiller.

Özellik 1: Geometrik şekiller eşitse, alanlarının değerleri de eşittir.

Özellik 2: Herhangi bir şekil birkaç şekle bölünebilir. Ayrıca, orijinal şeklin alanı, tüm kurucu rakamların alanlarının değerlerinin toplamına eşittir.

Bir örneğe bakalım.

örnek 1

Açıkçası, üçgenin kenarlarından biri köşegendir. dikdörtgen, bir tarafın uzunluğu 5 $ (5 $ hücre olduğu için) ve diğerinin 6 $ (6 $ $ hücre olduğu için) olduğu. Sonuç olarak, bu üçgenin alanı, böyle bir dikdörtgenin yarısına eşit olacaktır. Dikdörtgenin alanı

O zaman üçgenin alanı

Cevap: 15 $.

Daha sonra, üçgenlerin alanlarını bulmak için birkaç yöntemi ele alacağız, yani yükseklik ve taban kullanarak, Heron'un formülleri ve bir eşkenar üçgenin alanı.

Bir üçgenin alanı yükseklik ve taban açısından nasıl bulunur?

teorem 1

Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğunun o tarafa çizilen yüksekliğin çarpımının yarısı olarak bulunabilir.

Matematiksel olarak, böyle görünüyor

$ S = \ frac (1) (2) αh $

$ a $ kenarın uzunluğu, $ h $ kendisine çizilen yüksekliktir.

Kanıt.

$ AC = α $ olan bir $ ABC $ üçgeni düşünün. $ BH $ yüksekliği bu tarafa çizilir, bu da $ h $'a eşittir. Şekil 2'deki gibi $AXYC $ karesine kadar oluşturalım.

$ AXBH $ dikdörtgeninin alanı $ h \ cdot AH $ ve $ HBYC $ dikdörtgeninin alanı $ h \ cdot HC $'dır. O zamanlar

$ S_ABH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH $, $ S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot HC $

Bu nedenle, özellik 2'ye göre üçgenin gerekli alanı şuna eşittir:

$ S = S_ABH + S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH + \ frac (1) (2) h \ cdot HC = \ frac (1) (2) h \ cdot (AH + HC) = \ frac (1) (2) αh $

Teorem ispatlandı.

Örnek 2

Hücrenin alanı bir ise aşağıdaki şekilde üçgenin alanını bulun.

Bu üçgenin tabanı 9 $ (çünkü 9 $ $ 9 $ hücrelerdir). Yükseklik de 9 dolar. Daha sonra, Teorem 1 ile elde ederiz

$ S = \ frac (1) (2) \ cdot 9 \ cdot 9 = 40,5 $

Cevap: 40,5 dolar.

balıkçıl formülü

Teorem 2

$ α $, $ β $ ve $ γ $ üçgeninin üç kenarı verildiğinde, alanı aşağıdaki gibi bulunabilir.

$ S = \ kare (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

burada $ ρ $ bu üçgenin yarı çevresi anlamına gelir.

Kanıt.

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

Pisagor teoremi ile $ ABH $ üçgeninden elde ederiz

$ CBH $ üçgeninden Pisagor teoremine göre,

$ h ^ 2 = α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

Bu iki ilişkiden eşitliği elde ederiz.

$ γ ^ 2-x ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ x = \ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 = γ ^ 2 - (\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $

$ h ^ 2 = \ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

$ ρ = \ frac (α + β + γ) (2) $ olduğundan, $ α + β + γ = 2ρ $, dolayısıyla

$ h ^ 2 = \ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h = \ sqrt (\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h = \ frac (2) (β) \ kare (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Teorem 1 ile elde ederiz

$ S = \ frak (1) (2) βh = \ frak (β) (2) \ cdot \ frak (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) = \ kare (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

nereden hatırlıyorsun Okul müfredatı Geometride üçgen, tek bir doğru üzerinde yer almayan üç nokta ile birbirine bağlanan üç doğru parçasından oluşan bir şekildir. Üçgen üç köşe oluşturur, bu nedenle şeklin adı. Tanım farklı olabilir. Üçgen, üç köşeli bir çokgen olarak da adlandırılabilir, cevap da doğrudur. Üçgenler şekillerdeki eşit kenar sayılarına ve açılarına bölünür. Dolayısıyla bu tür üçgenler, sırasıyla ikizkenar, eşkenar ve çok yönlü, ayrıca dikdörtgen, dar açılı ve geniş açılı olarak ayırt edilir.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formül vardır. Bir üçgenin alanını nasıl bulacağınızı seçin, yani. Hangi formülü kullanacaksınız, sadece siz. Ancak, bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formülde kullanılan bazı notasyonlara dikkat etmek önemlidir. Hatırla:

S, üçgenin alanıdır,

a, b, c üçgenin kenarlarıdır,

h üçgenin yüksekliğidir,

R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır,

p bir yarı çevredir.

Geometri kursunuzu tamamen unuttuysanız işinize yarayabilecek bazı temel notasyonlar burada. Aşağıda, bir üçgenin bilinmeyen ve gizemli alanını hesaplamak için en anlaşılır ve karmaşık olmayan seçenekler verilecektir. Zor değil ve hem sizin için hem de çocuklarınıza yardım etmek için faydalı olacaktır. Armut bombardımanı kadar kolay bir üçgenin alanını nasıl hesaplayacağımızı hatırlayalım:

Bizim durumumuzda üçgenin alanı: S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm. = 2.75 sq. Cm. Alanın santimetre kare (cm2) olarak ölçüldüğünü unutmayın.

Dikdörtgen üçgen ve alanı.

Dik açılı üçgen, bir açısı 90 dereceye eşit olan bir üçgendir (bu nedenle buna dik açı denir). Bir dik açı, iki dik çizgiden oluşur (bir üçgen durumunda, iki dik parça). Dik açılı bir üçgende sadece bir dik açı olabilir, çünkü herhangi bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180 derecedir. Diğer 2 açının kalan 90 dereceyi paylaşması gerektiği ortaya çıktı, örneğin 70 ve 20, 45 ve 45, vb. Yani, asıl şeyi hatırladınız, dik açılı bir üçgenin alanını nasıl bulacağınızı bulmaya devam ediyor. Önümüzde dik açılı bir üçgen olduğunu ve S alanını bulmamız gerektiğini hayal edin.

1. Dik açılı bir üçgenin alanını belirlemenin en kolay yolu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bizim durumumuzda, dik açılı bir üçgenin alanı: S = 2.5 cm * 3 cm. / 2 = 3.75 sq. Cm.

Prensip olarak, üçgenin alanını başka şekillerde uzlaştırmak artık gerekli değildir, çünkü sadece bu günlük hayatta kullanışlı olacak ve yardımcı olacaktır. Ancak bir üçgenin alanını dar açılardan ölçmek için seçenekler de vardır.

2. Diğer hesaplama yöntemleri için bir kosinüs, sinüs ve tanjant tablonuz olmalıdır. Kendiniz karar verin, yine de kullanabileceğiniz dik açılı bir üçgenin alanlarını hesaplamak için bazı seçenekler:

İlk formülü ve küçük lekelerle kullanmaya karar verdik (bir deftere çizdik ve eski cetvel ve iletki kullandık), ancak doğru hesaplamayı yaptık:

S = (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). Aşağıdaki sonuçları 3.6 = 3.7 aldık, ancak hücrelerin kaymasını dikkate alarak bu nüansı affedebiliriz.

İkizkenar üçgen ve alanı.

Bir ikizkenar üçgen için formül hesaplama görevi ile karşı karşıya kalırsanız, o zaman en kolay yol, ana olanı ve düşünüldüğü gibi, bir üçgenin alanı için klasik formülü kullanmaktır.

Ama önce, bir ikizkenar üçgenin alanını bulmadan önce, ne tür bir rakam olduğunu öğreneceğiz. İkizkenar üçgen, iki kenarı aynı uzunlukta olan bir üçgendir. Bu iki tarafa yan taraflar, üçüncü tarafa ise taban denir. İkizkenar üçgeni eşkenar üçgenle karıştırmayın, yani. üç kenarı da eşit olan düzgün üçgen. Böyle bir üçgende açılar için, daha doğrusu boyutları için özel bir eğilim yoktur. Bununla birlikte, bir ikizkenar üçgende tabandaki açılar eşittir, ancak eşit kenarlar arasındaki açıdan farklıdır. Yani, ilk ve ana formülü zaten biliyorsunuz, bir ikizkenar üçgenin alanını belirlemek için başka hangi formüllerin bilindiğini bulmaya devam ediyor:

Üçgen, zaten aşina olduğumuz en yaygın geometrik şekillerden biridir. ilkokul... Geometri derslerinde her öğrenci bir üçgenin alanını nasıl bulacağı sorusuyla karşı karşıyadır. Peki, belirli bir şeklin alanını bulmanın hangi özellikleri ayırt edilebilir? Bu yazıda böyle bir görevi tamamlamak için gereken temel formüllere bakacağız ve ayrıca üçgen türlerini analiz edeceğiz.

üçgen türleri

Bir üçgenin alanını kesinlikle bulabilirsin Farklı yollarçünkü geometride üç köşe içeren birden fazla şekil vurgulanır. Bu türler şunları içerir:

• Geniş.
• Eşkenar (doğru).
• Sağ üçgen.
• İkizkenar.

Her birine daha yakından bakalım mevcut tiplerüçgenler.

Bu geometrik şekil, geometrik problemlerin çözümünde en yaygın olarak kabul edilir. İsteğe bağlı bir üçgen çizmek gerektiğinde, bu seçenek kurtarmaya gelir.

Dar açılı bir üçgende, adından da anlaşılacağı gibi, tüm açılar dardır ve toplamı 180 ° 'ye kadar çıkar.

Böyle bir üçgen de çok yaygındır, ancak dar açılı olandan biraz daha az bulunur. Örneğin üçgenleri çözerken (yani birkaç kenarını ve açısını biliyorsunuz ve kalan elemanları bulmanız gerekiyor) bazen açının geniş olup olmadığını belirlemeniz gerekiyor. Kosinüs negatif bir sayıdır.

Açılardan birinin değeri 90 ° 'yi aşar, bu nedenle kalan iki açı küçük değerler alabilir (örneğin, 15 ° veya hatta 3 °).

Bu tür bir üçgenin alanını bulmak için, daha fazla konuşacağımız bazı nüansları bilmeniz gerekir.

Düzenli ve ikizkenar üçgenler

Normal bir çokgen, tüm kenarları ve açıları eşit olan n tane köşe içeren bir şekildir. Bu normal bir üçgen. Üçgenin tüm açılarının toplamı 180 ° olduğundan, üç açının her biri 60 ° 'dir.

Özelliği nedeniyle düzenli bir üçgene eşkenar şekil de denir.

Ayrıca, düzgün bir üçgene yalnızca bir daire çizilebileceğini ve onun etrafında yalnızca bir dairenin tanımlanabileceğini ve merkezlerinin bir noktada bulunduğunu belirtmekte fayda var.

Eşkenar tipe ek olarak, ondan biraz farklı olan bir ikizkenar üçgen de ayırt edilebilir. Böyle bir üçgende, iki kenar ve iki açı birbirine eşittir ve üçüncü kenar (bitişik oldukları) eşit açılar) temelidir.

Şekil, D ve F açıları eşit olan ve tabanı DF olan bir DEF ikizkenar üçgenini göstermektedir.

sağ üçgen

Dik açılı üçgen, köşelerinden biri düz olduğu, yani 90 ° 'ye eşit olduğu için böyle adlandırılmıştır. Diğer iki açı 90 ° 'ye kadar eklenir.

en büyük taraf 90 ° 'lik bir açının karşısında uzanan böyle bir üçgenin hipotenüs, diğer iki tarafı ise bacaklardır. Bu tür üçgenler için Pisagor teoremi geçerlidir:

Bacak uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

Şekil, hipotenüsü AC ve bacakları AB ve BC olan dik açılı bir BAC üçgenini göstermektedir.

Dik açılı bir üçgenin alanını bulmak için bilmeniz gerekir. Sayısal değerler onun bacakları.

Bu şeklin alanını bulmak için formüllere geçelim.

Alanı bulmak için temel formüller

Geometride, çoğu üçgen türünün alanını bulmak için uygun olan iki formül ayırt edilebilir, yani dar açılı, geniş, düzenli ve ikizkenar üçgenler. Her birini analiz edelim.

yan ve yükseklik

Bu formül, düşündüğümüz şeklin alanını bulmak için evrenseldir. Bunu yapmak için, kenarın uzunluğunu ve ona çizilen yüksekliğin uzunluğunu bilmek yeterlidir. Formülün kendisi (tabanın ve yüksekliğin çarpımının yarısı) aşağıdaki gibidir:

A bu üçgenin kenarı ve H üçgenin yüksekliğidir.

Örneğin, dar açılı bir ACB üçgeninin alanını bulmak için, AB tarafını CD yüksekliğiyle çarpın ve elde edilen değeri ikiye bölün.

Ancak bu şekilde bir üçgenin alanını bulmak her zaman kolay değildir. Örneğin, bu formülü geniş bir üçgen için kullanmak için, kenarlarından birine devam etmeniz ve ancak o zaman yüksekliği ona çizmeniz gerekir.

Uygulamada, bu formül diğerlerinden daha sık kullanılır.

İki tarafta ve bir köşede

Bu formül, bir önceki gibi, çoğu üçgen için uygundur ve anlamıyla, üçgenin kenar ve yüksekliğini bulma formülünün bir sonucudur. Yani, dikkate alınan formül bir öncekinden kolayca türetilebilir. İfadesi şöyle görünür:

S = ½ * sinO * A * B,

A ve B üçgenin kenarları ve O, A ve B kenarları arasındaki açıdır.

Bir açının sinüsünün, seçkin Sovyet matematikçisi V.M. Bradis'in adını taşıyan özel bir tabloda görüntülenebileceğini hatırlayın.

Şimdi sadece istisnai üçgen türleri için uygun olan diğer formüllere geçelim.

Dik üçgenin alanı

Bir üçgende yükseklik çizme ihtiyacını içeren evrensel formüle ek olarak, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacakları tarafından bulunabilir.

Yani, dik açı içeren bir üçgenin alanı, bacaklarının çarpımının yarısıdır veya:

burada a ve b dik açılı bir üçgenin bacaklarıdır.

normal üçgen

Bu tür geometrik şekiller, alanının kenarlarından yalnızca birinin belirtilen değerinde bulunabilmesi bakımından farklılık gösterir (çünkü normal bir üçgenin tüm kenarları eşittir). Bu nedenle, "kenarlar eşit olduğunda bir üçgenin alanını bulun" sorunuyla karşı karşıya kaldığınızda, aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:

S = A 2 * √3 / 4,

burada A bir eşkenar üçgenin kenarıdır.

balıkçıl formülü

Bir üçgenin alanını bulmak için son seçenek Heron'un formülüdür. Bunu kullanmak için şeklin üç kenarının uzunluklarını bilmeniz gerekir. Heron'un formülü şöyle görünür:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

a, b ve c bu üçgenin kenarlarıdır.

Bazen sorun verilir: "düzenli bir üçgenin alanı - kenarının uzunluğunu bulun." V bu durumda normal bir üçgenin alanını bulmak için zaten bildiğimiz formülü kullanmalı ve ondan kenar (veya karesinin) değerini türetmeliyiz:

A 2 = 4S / √3.

Sınav görevleri

GIA'nın matematikteki problemlerinde birçok formül var. Ek olarak, kareli kağıt üzerinde bir üçgenin alanını bulmak genellikle gereklidir.

Bu durumda, şeklin kenarlarından birine yüksekliği çizmek, uzunluğunu hücrelere göre belirlemek ve alanı bulmak için evrensel formülü kullanmak en uygunudur:

Bu nedenle, makalede sunulan formülleri inceledikten sonra, herhangi bir üçgenin alanını bulmakta sorun yaşamayacaksınız.