Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir. Ayrıca paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir, zıt açılar eşittir, tüm açıların toplamı 360 derecedir gibi özellikler vardır.

İhtiyacın olacak

• Geometri bilgisi.

Talimatlar

1. Paralelkenarın açılarından birinin A'ya eşit olduğunu düşünün. Kalan 3'ün değerlerini bulun. Paralelkenar özelliğine göre zıt açılar eşittir. Yani verilenin karşısındaki açı verilene eşittir ve değeri A'ya eşittir.

2. Kalan iki köşeyi bulun. Paralelkenardaki tüm açıların toplamı 360 derece ve zıt açılar birbirine eşit olduğu için verilen ile aynı tarafa ait olan açının (360 - 2A) / 2 olduğu ortaya çıkıyor. Peki, ya reformdan sonra 180 - A elde ederiz. Böylece paralelkenarda iki açı A'ya eşittir ve diğer iki açı 180 - A'ya eşittir.

Not!
Bir açının değeri 180 dereceyi aşamaz. Açıların elde edilen değerleri kolayca kontrol edilebilir. Bunu yapmak için onları toplayın ve toplam 360 ise, her şey doğru bir şekilde hesaplanır.

faydalı tavsiye
Bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgen, bir paralelkenarın özel bir durumudur, bu nedenle, açıları hesaplamanın tüm özellikleri ve yöntemleri onlar için geçerlidir.

1. sorun... Paralelkenarın açılarından biri 65 ° 'dir. Paralelkenarın kalan açılarını bulun.

∠C = ∠A = 65 ° paralelkenarın zıt açıları olarak.

∠А + ∠В = 180 ° paralelkenarın bir tarafına bitişik açılar olarak.

∠В = 180 ° - ∠А = 180 ° - 65 ° = 115 °.

∠D = ∠B = 115 ° paralelkenarın zıt açıları olarak.

Cevap: ∠А = ∠С = 65 °; ∠В = ∠D = 115 °.

Amaç 2. Bir paralelkenarın iki açısının toplamı 220°'dir. Bir paralelkenarın açılarını bulun.

Paralelkenarda 2 eşit dar açı ve 2 eşit geniş açı olduğundan, bize iki geniş açının toplamı verilir, yani. ∠В + ∠D = 220 °. Sonra ∠В = ∠D = 220 ° : 2 = 110 °.

∠А + ∠В = 180 ° paralelkenarın bir tarafına bitişik açılar olarak, dolayısıyla ∠А = 180 ° - ∠В = 180 ° - 110 ° = 70 °. O halde ∠C = ∠A = 70°.

Cevap: ∠А = ∠С = 70 °; ∠В = ∠D = 110 °.

Amaç 3. Paralelkenarın köşelerinden biri diğerinden 3 kat daha büyüktür. Bir paralelkenarın açılarını bulun.

∠A = x olsun. O halde ∠B = 3x. Bir kenarına bitişik bir paralelkenarın açılarının toplamının 180 ° olduğunu bilerek bir denklem oluşturacağız.

x = 180 : 4;

∠A = x = 45 ° ve ∠B = 3x = 3 ∙ 45 ° = 135 ° elde ederiz.

Paralelkenarın karşılıklı açıları eşittir, bu nedenle,

∠А = ∠С = 45 °; ∠В = ∠D = 135 °.

Cevap: ∠А = ∠С = 45 °; ∠В = ∠D = 135 °.

Görev 4. Bir dörtgenin iki kenarı paralel ve eşitse, bu dörtgenin bir paralelkenar olduğunu kanıtlayın.

Kanıt.

Köşegen bir BD çizelim ve Δ ADB ve Δ CBD'yi düşünelim.

AD = BC koşula göre. BD tarafı yaygındır. ∠1 = ∠2 paralel (koşullara göre) AD ve BC çizgileri ve BD kesen çizgisi ile dahili çapraz çizgiler olarak. Bu nedenle, iki tarafta Δ ADB = Δ CBD ve aralarındaki açı (üçgenlerin eşitliğinin 1. işareti). Eşit üçgenlerde, karşılık gelen açılar eşittir, yani ∠3 = ∠4. Ve bu açılar AB ve CD düz çizgilerinde ve BD sekantında iç çaprazdır. Bu, AB ve CD doğrularının paralelliğini ima eder. Böylece, belirli bir ABCD dörtgeninde, karşıt taraflar ikili olarak paraleldir, bu nedenle tanım gereği ABCD bir paralelkenardır, kanıtlamamız gereken buydu.

Görev 5. Paralelkenarın iki tarafı 2 ile ilişkilidir. : 5 ve çevresi 3.5 m'dir Paralelkenarın kenarlarını bulun.

∙ (AB + AD).

Bir kısmı x ile gösterelim. o zaman AB = 2x, AD = 5x metre. Paralelkenarın çevresinin 3.5 m olduğunu bilerek, denklemi oluştururuz:

2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;

2 ∙ 7x = 3.5;

x = 3.5 : 14;

Bir kısım 0.25 m'dir.Sonra AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD = 5 ∙ 0.25 = 1.25 m.

muayene

Paralelkenar çevre P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit olduğundan, CD = AB = 0.25 m; M.Ö. = AD = 1.25 m.

Cevap: CD = AB = 0.25 m; M.Ö. = AD = 1.25 m.

Öklid geometrisinde olduğu gibi, bir nokta ve bir düz çizgi, düzlemler teorisinin ana unsurlarıdır, bu nedenle paralelkenar, dışbükey dörtgenlerin anahtar figürlerinden biridir. Ondan, bir topun iplikleri gibi, "dikdörtgen", "kare", "eşkenar dörtgen" ve diğer geometrik miktarlar kavramlarını akar.

Temas halinde

Paralelkenar tanımlama

dışbükey dörtgen, Her bir çifti paralel olan doğru parçalarından oluşan, geometride paralelkenar olarak bilinir.

Klasik bir paralelkenarın nasıl göründüğü bir dörtgen ABCD'yi gösterir. Kenarlara tabanlar (AB, BC, CD ve AD), herhangi bir tepe noktasından bu tepenin karşısındaki kenara çizilen dikey yükseklik (BE ve BF), AC ve BD doğruları köşegenlerdir.

Dikkat! Kare, eşkenar dörtgen ve dikdörtgen paralelkenarın özel durumlarıdır.

Kenarlar ve köşeler: oran özellikleri

Temel özellikler, genel olarak, atamanın kendisi tarafından önceden belirlenmiş, teorem ile ispatlanırlar. Bu özellikler aşağıdaki gibidir:

1. Karşılıklı taraflar çiftler halinde aynıdır.
2. Birbirinin karşısında bulunan açılar çiftler halinde eşittir.

İspat: ABCD dörtgeninin AC doğrusuna bölünmesiyle elde edilen ∆ABC ve ∆ADC'yi ele alalım. ∠BCA = ∠CAD ve ∠BAC = ∠ACD, çünkü AC onlar için ortaktır ( dikey köşeler sırasıyla BC || AD ve AB || CD için). Buradan şu sonuç çıkar: ∆ABC = ∆ADC (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti).

∆ABC'deki AB ve BC segmentleri, ∆ADC'deki CD ve AD satırlarına çiftler halinde karşılık gelir, bu onların özdeşliği anlamına gelir: AB = CD, BC = AD. Yani ∠B, ∠D'ye karşılık gelir ve eşittirler. ∠A = ∠BAC + ∠CAD, ∠C = ∠BCA + ∠ACD de ikili olarak aynı olduğundan, ∠A = ∠C. Mülkiyet kanıtlanmıştır.

Şeklin köşegenlerinin özellikleri

Ana özellik bu paralelkenar çizgileri: kesişme noktası onları ikiye böler.

İspat: ABCD şeklinin AC ve BD köşegenlerinin kesişme noktası m E olsun. İki ölçülebilir üçgen oluştururlar - ∆ABE ve ∆CDE.

AB = CD zıt oldukları için. Doğrulara ve kesene göre ∠ABE = ∠CDE ve ∠BAE = ∠DCE.

İkinci eşitlik kriterine göre ∆ABE = ∆CDE. Bu, ∆ABE ve ∆CDE öğelerinin: AE = CE, BE = DE ve aynı zamanda AC ve BD'nin orantılı parçaları olduğu anlamına gelir. Mülkiyet kanıtlanmıştır.

Bitişik köşelerin özellikleri

Bitişik kenarlar 180 ° açı toplamına sahiptir paralel çizgiler ve bir sekantın aynı tarafında yattıkları için. ABCD dörtgeni için:

∠A + ∠B = ∠C + ∠D = ∠A + ∠D = ∠B + ∠C = 180º

Bisektör özellikleri:

1. bir tarafa düşürülen dik;
2. zıt köşeler paralel açıortaylara sahiptir;
3. bisektör çizilerek elde edilen üçgen ikizkenar olacaktır.

Bir paralelkenarın karakteristik özelliklerinin teorem ile belirlenmesi

Bu şeklin özellikleri, aşağıdaki gibi okunan ana teoreminden kaynaklanmaktadır: dörtgen paralelkenar olarak kabul edilir köşegenlerinin kesişmesi durumunda ve bu nokta onları eşit parçalara böler.

İspat: ABCD dörtgeninin AC ve BD doğruları E noktasında kesişsin. ∠AED = ∠BEC ve AE + CE = AC BE + DE = BD olduğundan, ∆AED = ∆BEC (üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretiyle). Yani, ∠EAD = ∠ECB. Bunlar aynı zamanda AD ve BC doğruları için AC iç kesit açılarıdır. Böylece, paralellik tanımı gereği - AD || M.Ö. BC ve CD satırlarının benzer bir özelliği de görüntülenir. Teorem ispatlandı.

Bir şeklin alanını hesaplama

Bu rakamın alanı birkaç yöntemle bulunur, en basitlerinden biri: çizildiği yüksekliği ve tabanı çarpmak.

İspat: B ve C köşelerinden BE ve CF diklerini çizin. AB = CD ve BE = CF olduğundan ∆ABE ve ∆DCF eşittir. ABCD, EBCF dikdörtgenine eşittir, çünkü bunlar aynı zamanda orantılı rakamlardan oluşur: S ABE ve S EBCD, ayrıca S DCF ve S EBCD. Bundan, bu alanın geometrik şekil dikdörtgenle aynı şekilde bulunur:

S ABCD = S EBCF = OL × BC = OL × AD.

Bir paralelkenarın alanı için genel formülü belirlemek için yüksekliği şu şekilde belirtiriz: hb ve yan B... Sırasıyla:

Bölgeyi bulmanın diğer yolları

Alan hesaplamaları paralelkenar ve açının kenarları boyunca oluşturdukları ikinci bilinen yöntemdir.

,

Spр-ma - alan;

a ve b onun kenarları

α, a ve b segmentleri arasındaki açıdır.

Bu yöntem pratik olarak ilkine dayanmaktadır, ancak bilinmiyor olması durumunda. her zaman keser sağ üçgen, parametreleri trigonometrik kimliklerle bulunan, yani. İlişkiyi dönüştürerek elde ederiz. Birinci yöntemin denkleminde yüksekliği bu çarpımla değiştiriyoruz ve bu formülün geçerliliğine dair bir kanıt elde ediyoruz.

Paralelkenar köşegenleri ve açı sayesinde, geçerken oluşturdukları alanı da bulabilirsiniz.

Kanıt: AC ve BD kesişerek dört üçgen oluşturur: ABE, BEC, CDE ve AED. Toplamları bu dörtgenin alanına eşittir.

Bunların her birinin alanı, a = BE, b = AE, ∠γ = ∠AEB ifadesiyle bulunabilir. O zamandan beri, hesaplamalarda tek bir sinüs değeri kullanılır. Yani . AE + CE = AC = d 1 ve BE + DE = BD = d 2 olduğundan, alan formülü şuna indirgenir:

.

Vektör cebirindeki uygulamalar

Bu dörtgeni oluşturan parçaların özellikleri, vektör cebirinde, yani iki vektörün eklenmesinde uygulama bulmuştur. Paralelkenar kuralı şunu belirtir: verilen vektörler iseveOlumsuzdoğrusal, o zaman toplamları, tabanları bu vektörlere karşılık gelen bu şeklin köşegenine eşit olacaktır.

Kanıt: keyfi olarak seçilmiş bir başlangıçtan - yani. - vektörler oluşturuyoruz ve. Ardından, OA ve OB segmentlerinin yan olduğu bir paralelkenar ОАСВ oluşturuyoruz. Böylece, işletim sistemi bir vektör veya toplama dayanır.

Paralelkenar parametrelerini hesaplama formülleri

Kimlikler aşağıdaki koşullar altında verilir:

1. a ve b, α - kenarlar ve aralarındaki açı;
2. d 1 ve d 2, γ - köşegenler ve kesişme noktalarında;
3. h a ve h b - a ve b kenarlarına indirilen yükseklikler;

Parametre	formül
Tarafları bulmak
köşegenler boyunca ve aralarındaki açının kosinüsü
çapraz ve yan
yükseklik ve karşı köşe boyunca
Köşegenlerin uzunluğunu bulma
yanlar boyunca ve aralarındaki üstlerin boyutu

Paralelkenar, karşılıklı kenarların paralel olduğu bir dörtgendir.

Bir paralelkenar, dörtgenlerin tüm özelliklerine sahiptir, ancak bunun yanında kendi ayırt edici özellikleri... Bunları bilerek, bir paralelkenarın her iki tarafını ve açılarını kolayca bulabiliriz.

paralelkenar özellikleri

1. Herhangi bir dörtgende olduğu gibi herhangi bir paralelkenardaki açıların toplamı 360 ° 'dir.
2. Bir paralelkenarın orta çizgileri ve köşegenleri bir noktada kesişir ve onunla ikiye bölünür. Bu noktaya genellikle paralelkenarın simetri merkezi denir.
3. Paralelkenarın karşılıklı kenarları her zaman eşittir.
4. Ayrıca, bu şeklin her zaman zıt açıları vardır.
5. Paralelkenarın iki yanına bitişik olan açıların toplamı her zaman 180°'dir.
6. Bir paralelkenarın köşegenlerinin kareleri toplamı, komşu iki kenarının karelerinin toplamının iki katına eşittir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), burada d 1 ve d 2 köşegenler, a ve b bitişik kenarlardır.
7. Geniş açının kosinüsü her zaman sıfırdan küçüktür.

Bu özellikleri pratikte uygulayarak belirli bir paralelkenarın açıları nasıl bulunur? Ve başka hangi formüller bu konuda bize yardımcı olabilir? Aşağıdakileri gerektiren özel görevleri göz önünde bulundurun: paralelkenarın açılarının değerlerini bulun.

Paralelkenarın açılarını bulma

Durum 1. Geniş açının ölçüsü biliniyor, dar açının bulunması gerekiyor.

Örnek: ABCD paralelkenarında A açısı 120°'dir. Kalan açıların ölçüsünü bulun.

Çözüm: Özelliği 5 kullanarak, görevde verilen açıya bitişik B açısının ölçüsünü bulabiliriz. Şuna eşit olacaktır:

• 180 ° -120 ° = 60 °

Şimdi, 4 numaralı özelliği kullanarak, kalan iki C ve D açısının daha önce bulduğumuz açılara zıt olduğunu belirleyeceğiz. C açısı A açısının karşısındadır, D açısı B açısının karşısındadır. Bu nedenle çift olarak kendilerine eşittirler.

• Cevap: B = 60 °, C = 120 °, D = 60 °

Durum 2. Kenarların ve köşegenlerin uzunlukları biliniyor

Bu durumda kosinüs teoremini kullanmamız gerekir.

İhtiyacımız olan açının kosinüsünü formülü kullanarak hesaplayabiliriz ve daha sonra açının ne olduğunu bulmak için özel bir tablo kullanabiliriz.

İçin dar açı formül:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), burada
• a gerekli dar açıdır,
• A ve B - paralelkenarın kenarları,
• d - daha küçük köşegen

Geniş bir açı için formül biraz değişir:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), burada
• ß bir geniş açıdır,
• A ve B - tarafları,
• D - büyük köşegen

Örnek: kenarları 6 cm ve 3 cm olan ve daha küçük köşegeni 5,2 cm olan bir paralelkenarın dar açısını bulmanız gerekir.

Akut açıyı bulmak için değerleri formülde değiştirin:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa = 1/2. Tabloya göre, istenen açının 60 ° olduğunu öğreniyoruz.

Paralelkenar, karşılıklı kenarların paralel olduğu, yani paralel çizgiler üzerinde bulunduğu bir dörtgendir (Şekil 1).

Teorem 1. Bir paralelkenarın kenarlarının ve açılarının özelliği üzerinde. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir, zıt açılar eşittir ve paralelkenarın bir kenarına bitişik açıların toplamı 180°'dir.

Kanıt. Bu ABCD paralelkenarında, bir AC köşegeni çizin ve ABC ve ADC olmak üzere iki üçgen elde edin (Şekil 2).

Bu üçgenler eşittir, çünkü ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (paralel doğrularla kesişen açılar) ve AC tarafı ortaktır. Δ ABC = Δ ADC eşitliğinden AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D çıkar. Bir tarafa bitişik açıların toplamı, örneğin, A ve D açıları, 180 ° 'ye eşittir. paralel düz çizgilerle kenarlıdır. Teorem ispatlandı.

Yorum Yap. Bir paralelkenarın karşılıklı kenarlarının eşitliği, paralel olanlar tarafından kesilen paralel doğruların eşit olduğu anlamına gelir.

Sonuç 1. İki doğru paralel ise, bir doğrunun tüm noktaları diğerinden aynı uzaklıkta bulunur.

Kanıt. Gerçekten de bir || b (şekil 3).

b düz çizgisinin bazı iki B ve C noktasından a düz çizgisine BA ve CD diklerini çizelim. AB'den beri || CD, o zaman ABCD şekli bir paralelkenardır ve bu nedenle AB = CD.

İki paralel düz çizgi arasındaki mesafe, düz çizgilerden birinin rastgele bir noktasından diğerine olan mesafedir.

Kanıtlanmış olarak, paralel doğrulardan birinin bir noktasından diğerine çizilen dikmenin uzunluğuna eşittir.

Örnek 1. Paralelkenarın çevresi 122 cm, bir kenarı diğerinden 25 cm daha büyük paralelkenarın kenarlarını bulun.

Çözüm. Teorem 1'e göre paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir. Paralelkenarın bir tarafını x, diğer tarafını y ile gösterelim. Sonra $$ \ left \ (\ startup (matris) 2x + 2y = 122 \\ x - y = 25 \ end (matris) \ right) koşuluyla $$ Bu sistemi çözerek x = 43, y = elde ederiz. 18. Böylece paralelkenarın kenarları 18, 43, 18 ve 43 cm'dir.

Örnek 2.

Çözüm. Şekil 4 problemin durumunu cevaplasın.

AB'yi x ile ve BC'yi y ile gösteriyoruz. Koşul olarak, paralelkenarın çevresi 10 cm'dir, yani 2 (x + y) = 10 veya x + y = 5. ABD üçgeninin çevresi 8 cm'dir ve AB + AD = x + y olduğundan = 5, sonra BD = 8 - 5 = 3. Yani, BD = 3 cm.

Örnek 3. Birinin diğerinden 50 ° daha büyük olduğunu bilerek bir paralelkenarın açılarını bulun.

Çözüm. Şekil 5 problemin durumunu cevaplasın.

A'dan x'e kadar olan açının derece ölçüsünü gösterelim. Sonra derece ölçüsü D açısı, x + 50 ° 'ye eşittir.

BAD ve ADC açıları, AB ve DC paralel düz çizgileri ve AD sekantıyla iç tek taraflıdır. O zaman bu adlandırılmış açıların toplamı 180 ° olacaktır, yani.
x + x + 50 ° = 180 ° veya x = 65 °. Böylece, ∠ A = ∠ C = 65 °, a ∠ B = ∠ D = 115 °.

Örnek 4. Paralelkenarın kenarları 4.5 dm ve 1.2 dm'dir. Dar açının tepesinden bir açıortay çizilir. Hangi bölümleri bölüyor büyük taraf paralelkenar?

Çözüm. Şekil 6'nın problemin durumunu cevaplamasına izin verin.

AE, paralelkenarın dar açısının açıortayıdır. Bu nedenle, ∠ 1 = ∠ 2.