İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgi amaçlıdır ve tüm sunum seçeneklerini temsil etmeyebilir. Bu işle ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Anahtar Kelimeler: integral, eğrisel yamuk, zambaklarla sınırlanmış şekillerin alanı

Teçhizat: beyaz tahta, bilgisayar, multimedya projektörü

ders türü: ders-ders

Dersin Hedefleri:

• eğitici: bir zihinsel çalışma kültürü oluşturmak, her öğrenci için bir başarı durumu yaratmak, öğrenme için olumlu motivasyon oluşturmak; konuşma ve başkalarını dinleme yeteneğini geliştirmek.
• gelişmekte:çeşitli durumlarda bilginin uygulanmasında öğrenci bağımsızlığının oluşumu, analiz etme ve sonuç çıkarma yeteneği, mantığın gelişimi, doğru soru sorma ve bunlara cevap bulma yeteneğinin gelişimi. Hesaplama oluşumunun iyileştirilmesi, bilgisayar becerileri, önerilen görevleri tamamlama sürecinde öğrencilerin düşünmelerinin geliştirilmesi, algoritmik kültürün geliştirilmesi.
• eğitici: eğrisel bir yamuk kavramını oluşturmak, bir integral, düz şekillerin alanlarını hesaplama becerilerine hakim olmak

Öğretme yöntemi: açıklayıcı ve açıklayıcı.

Dersler sırasında

Önceki derslerde, sınırları çokgen çizgiler olan şekillerin alanlarını nasıl hesaplayacağımızı öğrenmiştik. Matematikte, eğrilerle sınırlanan şekillerin alanlarını hesaplamanıza izin veren yöntemler vardır. Bu tür şekillere eğrisel yamuk denir ve alanları ters türevler kullanılarak hesaplanır.

Kavisli yamuk ( slayt 1)

Eğrisel bir yamuk, bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış bir şekildir, ( şem.), Düz x = bir ve x = b ve apsis

Çeşitli kavisli yamuk türleri ( slayt 2)

Düşünmek Farklı çeşit eğrisel yamuk ve dikkat: düz çizgilerden biri bir noktaya dönüşür, sınırlayıcı işlevin rolü düz çizgi tarafından oynanır

Kavisli yamuk alan (slayt 3)

Boşluğun sol ucunu düzeltin a, ve doğru NS değişeceğiz yani eğri yamuğun sağ duvarını hareket ettirip değişen bir şekil alıyoruz. Fonksiyonun grafiği ile sınırlanan değişken eğrisel yamuğun alanı ters türevdir. F fonksiyon için F

Ve segmentte [ a; B] fonksiyon tarafından oluşturulan kavisli yamuğun alanı F, bu fonksiyonun ters türevinin artışına eşittir:

1. Egzersiz:

Fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan kavisli bir yamuğun alanını bulun: f (x) = x 2 ve düz y = 0, x = 1, x = 2.

Çözüm: ( algoritma slayt 3'e göre)

Fonksiyonun ve doğruların grafiğini çizelim

Hadi birini bulalım ters türevler f (x) = x 2 :

Slaytla kendi kendine test

integral

Fonksiyon tarafından verilen eğri bir yamuk düşünün F segmentinde [ a; B]. Bu segmenti birkaç parçaya ayıralım. Tüm yamuğun alanı, daha küçük eğri yamuğun alanlarının toplamına bölünecektir. ( slayt 5)... Bu tür her bir yamuk kabaca bir dikdörtgen olarak kabul edilebilir. Bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı, eğri yamuğun tüm alanı hakkında yaklaşık bir fikir verir. Segmenti ne kadar küçük bölersek [ a; B], alanı o kadar doğru hesaplarsak.

Bu akıl yürütmeyi formüller şeklinde yazalım.

Segmenti böl [ a; B] noktalara göre n parçaya x 0 = a, x1, ..., xn = b. Uzunluk k- NS ile belirtmek xk = xk - xk-1... hadi miktarı yazalım

Geometrik olarak bu toplam, şekilde taralı olan şeklin alanıdır ( m.)

Formun toplamları, fonksiyon için integral toplamlar olarak adlandırılır. F. (bkz.)

İntegral toplamlar, alanın yaklaşık bir değerini verir. Kesin değer, limite gidilerek elde edilir. Segmentin bölümünü iyileştirdiğimizi hayal edin [ a; B] böylece tüm küçük parçaların uzunlukları sıfıra meyleder. Daha sonra oluşan şeklin alanı kavisli yamuğun alanına yaklaşacaktır. Eğrisel bir yamuğun alanının integral toplamların sınırına eşit olduğunu söyleyebiliriz, Sk.t. (bkz.) veya bir integral, yani

Tanım:

fonksiyonun integrali f(x) itibaren aönce B integral toplamların limiti denir

= (bkz.)

Newton-Leibniz formülü.

İntegral toplamların sınırının eğrisel bir yamuğun alanına eşit olduğunu unutmayın; bu, yazabileceğiniz anlamına gelir:

Sk.t. = (bkz.)

Öte yandan, eğri bir yamuğun alanı formülle hesaplanır.

S K. t. (bkz.)

Bu formülleri karşılaştırarak şunları elde ederiz:

Bu eşitliğe Newton-Leibniz formülü denir.

Hesaplamaların rahatlığı için formül şu şekilde yazılmıştır:

Ödevler: (bkz.)

1. Newton-Leibniz formülüyle integrali hesaplayın: ( 5 numaralı slaytı kontrol et)

2. İntegralleri çizime göre oluşturun ( slayt 6'yı kontrol et)

3. Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slayt 7)

Düz şekillerin alanlarını bulma ( slayt 8)

Eğri yamuk olmayan şekillerin alanını nasıl buluyorsunuz?

Grafiklerini slaytta gördüğünüz iki fonksiyon verilsin. ... (bkz.) Doldurulan şeklin alanını bulmak gerekir ... (bkz.)... Söz konusu şekil kavisli bir yamuk mu? Ve alan toplanabilirliği özelliğini kullanarak alanını nasıl bulabilirsiniz? İki eğri yamuk düşünün ve diğerinin alanını birinin alanından çıkarın ( şema.)

Bir slaytta animasyonla alanı bulmak için bir algoritma oluşturalım:

1. fonksiyon grafiklerini çiz
2. Grafiklerin kesişim noktalarını apsis eksenine yansıtın
3. Grafiklerin kesiştiği noktada elde edilen şekli gölgelendirin
4. Kesişi veya birleşimi verilen bir şekil olan kavisli yamukları bulun.
5. Her birinin alanını hesaplayın
6. Alanların farkını veya toplamını bulun

Sözlü ödev: Gölgeli bir figürün alanı nasıl elde edilir (animasyon yardımıyla anlatın, slayt 8 ve 9)

Ödev:Özeti üzerinde çalışın, No. 353 (a), No. 364 (a).

bibliyografya

1. Cebir ve analizin başlangıcı: Akşam (vardiya) okulunun 9-11. sınıfları için bir ders kitabı / ed. G.D. Glazer. - M: Eğitim, 1983.
2. Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: ortaokul 10-11 sınıfları için bir ders kitabı / Bashmakov M.I. - E: Eğitim, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematik: erken kurumlar için bir ders kitabı. ve Çarşamba. Prof. eğitim / M.I. Başmakov. - E: Akademi, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Cebir ve analizin başlangıcı: 10-11 sınıflar için bir ders kitabı. eğitim kurumları / A.N. Kolmogorov. - E: Eğitim, 2010.
5. SL Ostrovsky Bir ders için sunum nasıl yapılır? / S.L. Ostrovsky. - E.: 1 Eylül 2010.

Sorun numarası 3. Bir çizim yapın ve şeklin çizgilerle sınırlanan alanını hesaplayın

Uygulanan problemlerin çözümüne entegre uygulama

Hesaplama alanı

Negatif olmayan sürekli bir f (x) fonksiyonunun belirli integrali sayısal olarak eşittir y = f (x) eğrisi, O x ekseni ve düz çizgiler x = a ve x = b ile sınırlanan kavisli yamuğun alanı. Buna göre alan formülü aşağıdaki gibi yazılır:

Düz şekillerin alanlarını hesaplamak için bazı örneklere bakalım.

Problem No. 1. y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 doğrularıyla sınırlanan alanı hesaplayın.

Çözüm. Alanı hesaplamamız gereken bir rakam oluşturalım.

y = x 2 + 1 dalları yukarı doğru yönlendirilmiş ve parabol O y eksenine göre bir birim yukarı kaydırılmış bir paraboldür (Şekil 1).

Şekil 1. y = x 2 + 1 fonksiyonunun grafiği

Problem numarası 2. 0 ile 1 aralığında y = x 2 - 1, y = 0 çizgileriyle sınırlanan alanı hesaplayın.

Çözüm. Bu fonksiyonun grafiği yukarı yönlü olan dalın parabolüdür ve parabol O y eksenine göre bir birim aşağı kaydırılır (Şekil 2).

Şekil 2. y = x 2 - 1 fonksiyonunun grafiği

Sorun numarası 3. Bir çizim yapın ve şeklin çizgilerle sınırlanan alanını hesaplayın

y = 8 + 2x - x 2 ve y = 2x - 4.

Çözüm. Bu iki çizgiden birincisi, dalları aşağıya doğru yönlendirilmiş bir paraboldür, çünkü x 2'deki katsayı negatiftir ve ikinci doğru, her iki koordinat eksenini kesen düz bir çizgidir.

Bir parabol oluşturmak için köşesinin koordinatlarını buluruz: y '= 2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - tepe noktasının apsisi; y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 koordinatıdır, N (1; 9) tepe noktasıdır.

Şimdi denklem sistemini çözerek parabol ve düz çizginin kesişme noktalarını bulacağız:

Sol tarafları eşit olan denklemin sağ taraflarını eşitlemek.

8 + 2x - x 2 = 2x - 4 veya x 2 - 12 = 0 elde ederiz, buradan .

Yani noktalar parabol ile doğrunun kesişim noktalarıdır (Şekil 1).

Şekil 3 y = 8 + 2x - x 2 ve y = 2x - 4 fonksiyonlarının grafikleri

y = 2x - 4 şeklinde bir doğru oluşturalım. Koordinat eksenlerinde (0; -4), (2; 0) noktalarından geçer.

Bir parabol oluşturmak için, 0x ekseniyle, yani 8 + 2x - x 2 = 0 veya x 2 - 2x - 8 = 0 denkleminin kökleriyle kesişme noktalarına da sahip olabilirsiniz. Vieta teoremine göre, bu kolaydır. köklerini bulmak için: x 1 = 2, x 2 = 4.

Şekil 3, bu çizgilerle sınırlanan bir şekli (parabolik segment M 1 N M 2) göstermektedir.

Görevin ikinci kısmı, bu rakamın alanını bulmaktır. Alanı kullanılarak bulunabilir kesin integral formüle göre .

Bu koşulla ilgili olarak, integrali elde ederiz:

2 Bir devrim gövdesinin hacminin hesaplanması

y = f (x) eğrisinin O x ekseni etrafında döndürülmesinden elde edilen cismin hacmi şu formülle hesaplanır:

O y ekseni etrafında dönerken formül şöyle görünür:

Sorun numarası 4. Düz çizgiler x = 0 x = 3 ve O x ekseni etrafında bir y = eğrisi ile sınırlanan eğri bir yamuğun dönüşünden elde edilen cismin hacmini belirleyin.

Çözüm. Bir resim oluşturalım (Şekil 4).

Şekil 4. y = fonksiyonunun grafiği

Gerekli hacim

Sorun numarası 5. y = x 2 eğrisi ve y = 0 ve y = 4 düz çizgileri ile sınırlanan eğri bir yamuğun O y ekseni etrafındaki dönüşünden elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm. Sahibiz:

Soruları gözden geçir

Öküz ekseni, y = f (x) eğrisi ve iki düz çizgi ile sınırlanan eğri bir yamuk düşünün: x = a ve x = b (Şekil 85). Rasgele bir x değeri alalım (ama a ve b değil). Ona h = dx'lik bir artış verelim ve incelenen eğriye ait AB ve CD düz çizgileri, Ox ekseni ve BD yayı ile sınırlanmış bir şerit düşünelim. Bu şerit temel şerit olarak adlandırılacaktır. Temel bir şeridin alanı, ACQB dikdörtgeninin alanından eğri bir BQD üçgeni ve ikincisinin alanı ile farklıdır. daha az alan BQDM dikdörtgeni, kenarları BQ = h = dx) QD = Ay ve hAy = Ay dx'e eşit alan. Azalan h kenarı ile Du kenarı da azalır ve h ile eş zamanlı olarak sıfıra eğilim gösterir. Bu nedenle, BQDM'nin alanı ikinci dereceden sonsuz küçüktür. Temel bir şeridin alanı, alan artışıdır ve AB-AC == / (x) dx>'e eşit ACQB dikdörtgeninin alanı, alan diferansiyelidir. Bu nedenle, alanın kendisini diferansiyelini entegre ederek buluruz. Göz önünde bulundurulan şekil içinde, bağımsız değişken l: a'dan b'ye değişir, bu nedenle gerekli alan 5, 5 = \ f (x) dx'e eşit olacaktır. (I) Örnek 1. y - 1 -x * parabolü, X = - Fj-, x = 1 düz çizgileri ve O * ekseni ile sınırlanan alanı hesaplayalım (Şekil 86). incirde. 87. Şek. 86. 1 Burada f (x) = 1 - n?, İntegrasyon limitleri a = - ve t = 1'dir, dolayısıyla 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * Örnek 2. Ox ekseni ve düz çizgi ile sinüzoid y = sinXy (Şekil 87). Formül (I)'i uygulayarak, Л 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (- 1) = lf'yi elde ederiz. Örnek 3. Kapalı ^ y = sin jc sinüzoidinin yayı ile sınırlanan alanı hesaplayın Öküz ekseni ile iki bitişik kesişme noktası arasında (örneğin, orijin ve apsis i ile nokta arasında). Geometrik değerlendirmelerden bu alanın iki katı olacağı açıktır. daha fazla alanönceki örnek. Ancak hesaplamaları yapalım: i 5 = | s \ nxdx = [- cosx) * - - cos i - (- cos 0) = 1 + 1 = 2. o Gerçekten de, varsayımımız doğru çıktı. Örnek 4. Bir periyotta sinüzoid ve ^ ile Öküz ekseni ile sınırlanan alanı hesaplayın (Şekil 88). Ön değerlendirmeler, alanın pr.2'dekinden dört kat daha büyük olacağını varsaymamıza izin verir. Ancak, hesaplamaları yaptıktan sonra, "i G, * i S - \ sin x dx = [- cos x] 0 = = - elde ederiz. cos 2l - (- cos 0) = - 1 + 1 = 0. Bu sonucun açıklığa kavuşturulması gerekiyor. Konunun özünü açıklığa kavuşturmak için, aynı sinüzoid y = sin l: ile sınırlanan alanı ve l ila 2i aralığındaki Ox eksenini de hesaplıyoruz. Formül (I) uygulayarak 2l $ 2l sin xdx = [- cosx] l = -cos 2ya ~) -c05ya = - 1-1 = -2 elde ederiz. Dolayısıyla bu alanın negatif çıktığını görüyoruz. 3. maddede hesaplanan alanla karşılaştırdığımızda, onların mutlak değerler aynıdır, ancak işaretler farklıdır. V özelliğini uygularsak (bkz. Bölüm XI, § 4), 2l I 2l J sin xdx = J sin * dx [sin x dx = 2 + (- 2) = 0 elde ederiz. Bu örnekte olanlar tesadüfen değildir . Bağımsız değişkenin soldan sağa değişmesi şartıyla her zaman Ox ekseninin altındaki alan, negatif integraller hesaplanarak elde edilir. Bu derste, her zaman işaretlenmemiş kareleri ele alacağız. Bu nedenle, az önce incelenen örnekteki cevap şu şekilde olacaktır: gerekli alan eşittir 2 + | -2 | = 4. Örnek 5. Şekilde gösterilen OAB alanını hesaplayalım. 89. Bu alan Öküz ekseni, y = - xr parabol ve y - = -x + \ düz çizgisi ile sınırlandırılmıştır. Eğrisel yamuk alan OAV arama alanı iki bölümden oluşur: OAM ve MAV. A noktası parabolün ve doğrunun kesişme noktası olduğundan, koordinatlarını 3 2 Y = mx denklem sistemini çözerek bulacağız. (sadece A noktasının apsisini bulmamız gerekiyor). Sistemi çözerek l'yi buluruz; = ~. Bu nedenle, alan kısımlar halinde hesaplanmalıdır, birinci kare. OAM ve sonra pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM- ^ x grafik fonksiyonu y = x 2 +2 yer alan eksenin üstünde Öküz , Öyleyse:

Cevap: S = 9 kare birim

Görev tamamlandıktan sonra, plana bakmak ve cevabın gerçek olup olmadığını tahmin etmek her zaman yararlıdır. Bu durumda, "gözle" çizimdeki hücre sayısını sayıyoruz - peki, yaklaşık 9 yazılacak, gerçek gibi görünüyor. Diyelim ki cevabı aldıysak: 20 birim kare, o zaman, açıkçası, bir yerde bir hata yapıldı - söz konusu rakam, en fazla on olmak üzere 20 hücreye uymuyor. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözüldü.

Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı eksenin altında Ah?

B)Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın y = -e x , x = 1 ve koordinat eksenleri.

Çözüm.

Çizimi tamamlayalım.

Eğri yamuk ise tamamen aksın altında bulunur Ah , daha sonra alanı aşağıdaki formülle bulunabilir:

Cevap: S = (e-1) metrekare birimleri "1.72 metrekare birimleri.

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse, negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse, alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle, az önce ele alınan formülde bir eksi belirir.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemlerde bulunur.

ile birlikte)Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin alanını bulun y = 2x-x 2, y = -x.

Çözüm.

İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, bir alandaki problemlerde çizim oluştururken, en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişim noktalarını bulun ve düz Bu iki şekilde yapılabilir. Birinci yol analitiktir.

Denklemi çözüyoruz:

Bu nedenle, integralin alt sınırı bir = 0 , entegrasyonun üst sınırı b = 3 .

Entegrasyon sınırları "kendi başlarına" gibi netleştirilirken, çizgileri nokta nokta çizebilirsiniz. Bununla birlikte, örneğin, grafik yeterince büyükse veya kesin yapı integralin sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (bunlar kesirli veya irrasyonel olabilir) bazen limitleri bulma analitik yönteminin uygulanması gerekir.

Gerekli şekil, üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlandırılmıştır.

segmentte , ilgili formüle göre:

Cevap: S = 4,5 metrekare Birimler