Hedef:

• İlkel kavramının oluşumu.
• İntegralin algılanması için hazırlık.
• Hesaplama becerilerinin oluşumu.
• Güzellik duygusunun eğitimi (olağandışı güzelliği görme yeteneği).

Matematiksel analiz - fonksiyonların ve bunların genellemelerinin diferansiyel ve integral hesap yöntemleriyle incelenmesine ayrılmış bir dizi matematik bölümü.

Şimdiye kadar, özü “küçük” bir fonksiyonu incelemek olan, diferansiyel hesap adı verilen matematiksel analizin bir bölümünü inceledik.

Onlar. Her tanım noktasının yeterince küçük komşuluklarında fonksiyonun incelenmesi. Türev alma işlemlerinden biri türevi (diferansiyel) bulmak ve onu fonksiyonların çalışmasına uygulamaktır.

Aynı derecede önemli olan ters problemdir. Bir fonksiyonun davranışı, tanımının her noktasının yakınında biliniyorsa, fonksiyonun bir bütün olarak nasıl geri yükleneceği, yani. tanımının tüm aralığı boyunca. Bu problem, sözde integral hesabının çalışma konusudur.

Entegrasyon, farklılaşmanın ters eylemidir. Veya verilen f`(x) türevinden f(x) fonksiyonunun restorasyonu. Latince “integro” kelimesi restorasyon anlamına gelir.

Örnek 1.

(x)`=3x 2 olsun.
f(x)'i bulun.

Karar:

Farklılaşma kuralına dayanarak, f (x) \u003d x 3 olduğunu tahmin etmek kolaydır, çünkü (x 3)` \u003d 3x 2
Ancak f(x)'in belirsiz bir şekilde bulunduğunu görmek kolaydır.
f(x) olarak alabiliriz
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3, vb.

Çünkü her birinin türevi 3x2'dir. (Sabitin türevi 0'dır). Bütün bu fonksiyonlar birbirinden bir sabit terim ile farklılık gösterir. Böyle ortak karar problemler f(x)= x 3 +C olarak yazılabilir, burada C herhangi bir sabit gerçek sayıdır.

Bulunan fonksiyonlardan herhangi biri f(x) olarak adlandırılır. ÖNCELİK F`(x) = 3x 2 fonksiyonu için

Tanım. F(x) fonksiyonuna, verilen bir J aralığında f(x) fonksiyonu için terstürev denir, eğer bu aralıktaki tüm x'ler için F`(x) = f(x). Dolayısıyla, F (x) \u003d x 3 işlevi, f (x) \u003d 3x 2 on (- ∞ ; ∞) için ters türevdir.
Tüm x ~ R için eşitlik doğru olduğundan: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Daha önce fark ettiğimiz gibi, verilen fonksiyon sonsuz bir ters türev kümesine sahiptir (bkz. Örnek No. 1).

Örnek #2. F(x)=x işlevi, (0; +) aralığındaki tüm f(x)= 1/x için ters türevdir, çünkü bu aralıktaki tüm x için eşitlik geçerlidir.
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x

Örnek 3 F(x)=tg3x işlevi, (-n/) aralığında f(x)=3/cos3x'in ters türevidir. 2; P/ 2),
çünkü F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Örnek 4 F(x)=3sin4x+1/x-2 işlevi, (0;∞) aralığında f(x)=12cos4x-1/x 2 için ters türevdir.
çünkü F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

2. ders

Konu: İlkel. Ters türev fonksiyonunun ana özelliği.

Ters türevi incelerken, aşağıdaki iddiaya güveneceğiz. Fonksiyonun sabitliğinin işareti: Eğer J aralığında fonksiyonun Ψ(х) türevi 0'a eşitse, o zaman bu aralıkta Ψ(х) fonksiyonu sabittir.

Bu ifade geometrik olarak gösterilebilir.

Ψ`(x)=tgα, γde α-eğim açısının teğetin Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine x 0 olduğu noktada eğim açısı olduğu bilinmektedir. J aralığının herhangi bir noktasında Ψ`(υ)=0 ise, Ψ(x) fonksiyonunun grafiğine herhangi bir teğet için tgα=0 δ. Bu, herhangi bir noktada fonksiyon grafiğine teğetin x eksenine paralel olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, belirtilen aralıkta Ψ(x) fonksiyonunun grafiği y=C doğru parçası ile çakışır.

Dolayısıyla, bu aralıkta f`(x)=0 ise, f(x)=c işlevi J aralığında sabittir.

Gerçekten de, J aralığından keyfi x 1 ve x 2 için, fonksiyonun ortalama değeri teoremine göre şunu yazabiliriz:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), çünkü f`(c)=0, sonra f(x 2)= f(x 1)

Teorem: (Ters türevli bir fonksiyonun temel özelliği)

F(x), J aralığında f(x) fonksiyonunun terstürevlerinden biriyse, bu fonksiyonun tüm terstürevleri kümesi şu şekildedir: F(x)+C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.

Kanıt:

x − J için F`(x) = f(x), sonra (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f(x) olsun.
Diyelim ki Φ(x) - J aralığında f (x) için başka bir ters türev var, yani. Φ`(x) = f(x),
o zaman (Φ(х) - F(х))` = f (х) - f (х) = 0, x Є J için.
Bu, Φ(x) - F(x)'in J aralığında sabit olduğu anlamına gelir.
Bu nedenle, Φ(x) - F(x) = C.
Nereden Φ(x)= F(x)+C.
Bunun anlamı, eğer F(x), J aralığında f(x) fonksiyonunun terstüreviyse, bu fonksiyonun tüm terstürevleri kümesi şu şekildedir: F(x)+C, burada C herhangi bir gerçek sayıdır.
Bu nedenle, belirli bir fonksiyonun herhangi iki ters türevi, bir sabit terim ile birbirinden farklıdır.

Misal: f (x) = cos x fonksiyonunun ters türevleri kümesini bulun. İlk üçün grafiklerini çizin.

Karar: Sin x - f (x) = cos x fonksiyonunun ters türevlerinden biri
F(x) = Sin x + C, tüm ters türevlerin kümesidir.

F 1 (x) = Günah x-1
F 2 (x) = Günah x
F 3 (x) \u003d Günah x + 1

Geometrik illüstrasyon: Herhangi bir terstürev F(x)+C'nin grafiği, paralel öteleme r (0;c) kullanılarak terstürev F(x)'in grafiğinden elde edilebilir.

Misal: f (x) \u003d 2x işlevi için grafiği t.M'den geçen ters türevi bulun (1; 4)

Karar: F(х)=х 2 +С tüm ters türevlerin kümesidir, F(1)=4 - problemin durumuna göre.
Bu nedenle, 4 \u003d 1 2 +C
C = 3
F (x) \u003d x 2 +3

İlkel.

Ters türevi bir örnekle anlamak kolaydır.

bir fonksiyon alalım y = x 3. Önceki bölümlerden bildiğimiz gibi, türevi X 3, 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Bu nedenle fonksiyondan y = x 3 alıyoruz yeni özellik: de = 3X 2 .
Mecazi anlamda, işlev de = X 3 üretilen fonksiyon de = 3X 2 ve "ebeveyn" dir. Matematikte “ebeveyn” kelimesi yoktur, ancak bununla ilgili bir kavram vardır: ters türev.

yani: fonksiyon y = x 3, fonksiyonun ters türevidir de = 3X 2 .

Ters türevinin tanımı:

Örneğimizde ( X 3)" = 3X 2, bu nedenle y = x 3 - için antitürev de = 3X 2 .

Entegrasyon.

Bildiğiniz gibi, verilen bir fonksiyona göre türevi bulma işlemine türev denir. Tersine işleme entegrasyon denir.

açıklayıcı örnek:

de = 3X 2+ günah x.

Karar :

3 için antitürevinin olduğunu biliyoruz. X 2 X 3 .

günah için antitürev x-cos x.

İki ters türev ekliyoruz ve belirli bir işlev için ters türev alıyoruz:

y = x 3 + (-cos x),

y = x 3 - çünkü x.

Cevap :
fonksiyon için de = 3X 2+ günah x y = x 3 - çünkü x.

açıklayıcı örnek:

Fonksiyonun ters türevini bulalım de= 2 günah x.

Karar :

k = 2 olduğuna dikkat edin. Günahın ters türevi x-cos x.

Bu nedenle fonksiyon için de= 2 günah x ters türev fonksiyondur de= -2 çünkü x.
y \u003d 2 günah fonksiyonundaki katsayı 2 x bu fonksiyonun oluşturulduğu terstürevin katsayısına karşılık gelir.

açıklayıcı örnek:

Fonksiyonun ters türevini bulalım y= günah 2 x.

Karar :

fark ederiz ki k= 2. Günah için ters türev x-cos x.

Fonksiyonun ters türevini bulurken formülümüzü uygularız y= cos2 x:

1
y= - (–cos 2 x),
2

çünkü 2 x
y = – ----
2

çünkü 2 x
Cevap: fonksiyon için y= günah 2 x ters türev fonksiyondur y = – ----
2

(4)

açıklayıcı örnek.

Fonksiyonu önceki örnekten alalım: y= günah 2 x.

Bu fonksiyon için tüm ters türevler şu şekildedir:

çünkü 2 x
y = – ---- + C.
2

Açıklama.

İlk satırı ele alalım. Şu şekilde okunur: y = f fonksiyonu ise( x) 0 ise ters türevi 1'dir. Neden? Birliğin türevi sıfır olduğu için: 1" = 0.

Satırların geri kalanı aynı sırayla okunur.

Bir tablodan veri nasıl çıkarılır? Sekizinci satırı alalım:

(-cos x)" = günah x

İkinci kısmı türev işaretiyle, ardından eşittir işaretiyle ve türevle yazıyoruz.

Şunu okuyoruz: günah fonksiyonunun ters türevi x-cos işlevidir x.

Veya: işlev -cos x sin fonksiyonunun antitürevidir x.

Düz bir çizgi boyunca bir noktanın hareketini düşünün. zamana bırak t hareketin başlangıcından itibaren, nokta yolu geçti s(t). Daha sonra anlık hız v(t) fonksiyonun türevine eşit s(t), yani v(t) = s"(t).

Pratikte, ters bir problem vardır: bir noktanın belirli bir hareket hızı için v(t) yolunu bul s(t), yani, böyle bir işlevi bulmak için s(t), kimin türevi v(t). İşlev s(t),öyle ki s"(t) = v(t), fonksiyonun ters türevi olarak adlandırılır v(t).

örneğin, eğer v(t) = en, nerede a verilen bir sayı ise, fonksiyon
s(t) = (2'de) / 2v(t), gibi
s "(t) \u003d ((2) / 2) " \u003d \u003d v (t)'de.

İşlev f(x) ters türev işlevi denir f(x) bazı aralıklarla, eğer herkes için X bu aralıktan F"(x) = f(x).

Örneğin, işlev F(x) = günah x fonksiyonun antitürevidir f(x) = cosx, gibi (günah x)" = çünkü x; işlev F (x) \u003d x 4 / 4 fonksiyonun antitürevidir f(x) = x3, gibi (x 4 / 4)" \u003d x 3.

Görevi düşünelim.

Görev.

x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 - 4 fonksiyonlarının aynı f (x) \u003d x 2 fonksiyonunun ters türevi olduğunu kanıtlayın.

Karar.

1) F 1 (x) \u003d x 3 / 3'ü, ardından F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2 / 3) \u003d x 2 \u003d f (x) olarak belirtin.

2) F 2 (x) \u003d x 3 / 3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3 / 3 + 1)" \u003d (x 3 / 3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f ( x).

3) F 3 (x) \u003d x 3 / 3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3 / 3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).

Genel olarak, C'nin sabit olduğu herhangi bir x 3 / 3 + C işlevi, x 2 işlevinin ters türevidir. Bu, sabitin türevinin sıfır olduğu gerçeğinden kaynaklanır. Bu örnek, belirli bir fonksiyon için, onun antitürevinin benzersiz olarak tanımlanmadığını gösterir.

F 1 (x) ve F 2 (x), aynı f(x) fonksiyonunun iki ters türevi olsun.

Sonra F 1 "(x) = f(x) ve F" 2 (x) = f(x).

Farklarının türevi g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) sıfıra eşittir, çünkü g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) = 0.

Belirli bir aralıkta g "(x) \u003d 0 ise, bu aralığın her noktasında y \u003d g (x) fonksiyonunun grafiğine teğet Ox eksenine paraleldir. Bu nedenle, fonksiyonun grafiği y \u003d g (x), Öküz eksenine paralel düz bir çizgidir, yani. g (x) \u003d C, burada C bir miktar sabittir Eşitliklerden g (x) \u003d C, g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) F 1 (x) \u003d F 2(x) + C'yi takip eder.

Dolayısıyla, eğer F(x) fonksiyonu bir aralıktaki f(x) terstürev fonksiyonu ise, o zaman tüm terstürev fonksiyonları f(x) F(x) + С olarak yazılır, burada С keyfi bir sabittir.

Belirli bir f(x) fonksiyonunun tüm terstürevlerinin grafiklerini düşünün. F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biriyse, bu fonksiyonun herhangi bir ters türevi, F(x)'e bir sabit eklenerek elde edilir: F(x) + C. y = fonksiyonlarının grafikleri F(x) + C, Oy ekseni boyunca bir kaydırma ile y = F(x) grafiğinden elde edilir. C'yi seçerek, terstürevin grafiğinin belirli bir noktadan geçmesi sağlanabilir.

İlkelleri bulmak için kurallara dikkat edelim.

Belirli bir fonksiyonun türevini bulma işlemine çağrıldığını hatırlayın. farklılaşma. Belirli bir fonksiyon için ters türevi bulma işlemine ters işlem denir. entegrasyon(Latince kelimeden "eski haline getirmek").

Ters türev tablosu bazı fonksiyonlar için bir türev tablosu kullanılarak derlenebilir. Örneğin, bunu bilmek (çünkü x)" = -sin x, alırız (-cos x)" = günah x, buradan tüm ters türev fonksiyonların günah xşeklinde yazılır -cos x + C, nerede İle- devamlı.

Ters türevlerin bazı değerlerini ele alalım.

1) İşlev: x p, p ≠ -1. ters türev: (x p + 1) / (p + 1) + C.

2) İşlev: 1/x, x > 0. ters türev: lnx + C.

3) İşlev: x p, p ≠ -1. ters türev: (x p + 1) / (p + 1) + C.

4) İşlev: eski. ters türev: ex + C.

5) İşlev: günah x. ters türev: -cos x + C.

6) İşlev: (kx + b) p , p ≠ -1, k ≠ 0. ters türev: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) İşlev: 1/(kx + b), k ≠ 0. ters türev: (1/k) ln (kx + b) + С.

8) İşlev: e kx + b , k ≠ 0. ters türev: (1/k) e kx + b + C.

9) İşlev: günah (kx + b), k ≠ 0. ters türev: (-1/k) cos (kx + b).

10) İşlev: cos (kx + b), k ≠ 0. ters türev: (1/k) günah (kx + b).

Entegrasyon kuralları kullanılarak elde edilebilir farklılaşma kuralları. Bazı kurallara bakalım.

İzin vermek f(x) ve g(x) sırasıyla fonksiyonların ters türevleridir f(x) ve g(x) bazı aralıklarla. Sonra:

1) işlev F(x) ± G(x) fonksiyonun antitürevidir f(x) ± g(x);

2) işlev aF(x) fonksiyonun antitürevidir af(x).

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İntegralleri çözmek kolay bir iştir, ancak yalnızca seçkinler için. Bu makale, integralleri anlamayı öğrenmek isteyenler, ancak onlar hakkında çok az şey bilen veya hiçbir şey bilmeyenler içindir. İntegral... Neden gerekli? Nasıl hesaplanır? Belirli ve belirsiz integraller nelerdir? Bildiğiniz integralin tek kullanımı, yararlı bir şey çıkarmaksa, ulaşılması zor yerler o zaman hoşgeldin! İntegralleri nasıl çözeceğinizi ve neden onsuz yapamayacağınızı öğrenin.

"Bütünleşik" kavramını inceliyoruz

Entegrasyon zaten biliniyordu Antik Mısır. tabii ki içinde değil modern biçim, ama hala. O zamandan beri matematikçiler bu konuda pek çok kitap yazdılar. Özellikle seçkin Newton ve Leibniz ama şeylerin özü değişmedi. İntegralleri sıfırdan nasıl anlayabilirim? Mümkün değil! Bu konuyu anlamak için, yine de matematiksel analizin temelleri hakkında temel bilgilere ihtiyacınız olacak. Blogumuzda bulacağınız bu temel bilgilerdir.

belirsiz integral

biraz fonksiyon yapalım f(x) .

fonksiyonun belirsiz integrali f(x) böyle bir fonksiyon denir f(x) türevi fonksiyona eşit olan f(x) .

Başka bir deyişle, bir integral ters türev veya ters türevdir. Bu arada, makalemizde nasıl okunacağı hakkında.

Tüm sürekli fonksiyonlar için bir ters türev vardır. Ayrıca, bir sabitle farklılık gösteren fonksiyonların türevleri çakıştığından, genellikle ters türevine bir sabit işareti eklenir. İntegral bulma işlemine integrasyon denir.

Basit örnek:

Temel fonksiyonların ters türevlerini sürekli olarak hesaplamamak için, bunları bir tabloda özetlemek ve hazır değerleri kullanmak uygundur:

Kesin integral

İntegral kavramıyla uğraşırken, sonsuz küçük miktarlarla uğraşıyoruz. İntegral, şeklin alanını, homojen olmayan bir cismin kütlesini, düzensiz hareket sırasında kat edilen yolu ve çok daha fazlasını hesaplamaya yardımcı olacaktır. Unutulmamalıdır ki, integral sonsuz sayıda sonsuz küçük terimin toplamıdır.

Örnek olarak, bir fonksiyonun grafiğini hayal edin. Bir fonksiyonun grafiği ile sınırlanmış bir şeklin alanı nasıl bulunur?

Bir integral yardımıyla! Koordinat eksenleri ve fonksiyonun grafiği ile sınırlanan eğrisel yamuk çizgisini sonsuz küçük parçalara ayıralım. Böylece şekil ince sütunlara bölünecektir. Sütunların alanlarının toplamı yamuğun alanı olacaktır. Ancak böyle bir hesaplamanın yaklaşık bir sonuç vereceğini unutmayın. Ancak, segmentler ne kadar küçük ve dar olursa, hesaplama o kadar doğru olur. Onları uzunluk sıfıra inecek kadar azaltırsak, bölümlerin alanlarının toplamı şeklin alanına yönelecektir. Bu, aşağıdaki gibi yazılan belirli integraldir:

a ve b noktalarına integrasyon limitleri denir.

Bari Alibasov ve "Integral" grubu

Bu arada! Okurlarımız için şimdi %10 indirim var.

Aptallar İçin İntegral Hesaplama Kuralları

Belirsiz integralin özellikleri

Belirsiz integral nasıl çözülür? Burada, örneklerin çözümünde faydalı olacak belirsiz integralin özelliklerini ele alacağız.

• İntegralin türevi, integrale eşittir:

• Sabit, integral işaretinin altından alınabilir:

• Toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir. Fark için de geçerlidir:

Belirli İntegralin Özellikleri

• Doğrusallık:

• İntegral limitleri tersine çevrilirse, integralin işareti değişir:

• saat hiç puan a, b ve ile:

Belirli integralin toplamın limiti olduğunu zaten öğrenmiştik. Ancak bir örneği çözerken belirli bir değer nasıl elde edilir? Bunun için Newton-Leibniz formülü var:

İntegral çözme örnekleri

Aşağıda belirsiz integralleri bulmanın birkaç örneğini ele alıyoruz. Sizi çözümün karmaşıklıklarını bağımsız olarak anlamaya davet ediyoruz ve bir şey net değilse yorumlarda sorular sorun.

Malzemeyi pekiştirmek için integrallerin pratikte nasıl çözüldüğüne dair bir video izleyin. İntegral hemen verilmezse umutsuzluğa kapılmayın. Sor, sana integral hesaplama hakkında bildikleri her şeyi anlatacaklar. Bizim yardımımızla, kapalı bir yüzey üzerinde herhangi bir üçlü veya eğrisel integral sizin elinizde olacak.

İşlev F(x ) isminde ilkel fonksiyon için f(x) belirli bir aralıkta, eğer hepsi için x bu aralıktan eşitlik

F"(x ) = f(x ) .

Örneğin, işlev F(x) = x 2 f(x ) = 2X , gibi

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Ters türevinin ana özelliği

Eğer bir f(x) fonksiyonun antitürevidir f(x) belirli bir aralıkta, sonra fonksiyon f(x) sonsuz sayıda ters türevi vardır ve tüm bu ters türevler şu şekilde yazılabilir: F(x) + C, nerede İle keyfi bir sabittir.

Ters türevleri hesaplama kuralları

1. Eğer bir f(x) - için orijinal f(x) , a g(x) - için orijinal g(x) , o zamanlar F(x) + G(x) - için orijinal f(x) + g(x) . Başka bir deyişle, toplamın ters türevi, ters türevlerin toplamına eşittir .
2. Eğer bir f(x) - için orijinal f(x) , ve k sabittir, o zaman k · f(x) - için orijinal k · f(x) . Başka bir deyişle, sabit faktör türevin işaretinden çıkarılabilir .
3. Eğer bir f(x) - için orijinal f(x) , ve k,b- kalıcı ve k ≠ 0 , o zamanlar 1 / k F( k x + b ) - için orijinal f(k x + b) .

belirsiz integral

Değil kesin integral fonksiyondan f(x) ifade denilen F(x) + C, yani, verilen fonksiyonun tüm ters türevlerinin kümesi f(x) . Belirsiz integral aşağıdaki gibi gösterilir:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- isminde integrand ;

f(x)dx- isminde integrand ;

x - isminde entegrasyon değişkeni ;

f(x) fonksiyonun ters türevlerinden biridir f(x) ;

İle keyfi bir sabittir.

Örneğin, ∫ 2 x dx =X 2 + İle , ∫ çünküx dx = günah X + İle vb. ◄

"Bütünsel" kelimesi Latince kelimeden gelir. tam sayı , bu da "geri yüklenen" anlamına gelir. belirsiz integrali göz önüne alındığında 2 x, işlevi bir şekilde geri yükleriz X 2 türevi olan 2 x. Bir fonksiyonu türevinden geri yüklemeye veya aynı olan, belirli bir tamsayı üzerinde belirsiz bir integral bulmaya denir. entegrasyon bu işlev. Entegrasyon, türev almanın ters işlemidir.Entegrasyonun doğru yapılıp yapılmadığını kontrol etmek için sonucu türevlendirmek ve integrantı elde etmek yeterlidir.

Belirsiz integralin temel özellikleri

1. Belirsiz integralin türevi, integrale eşittir:

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. İntegranın sabit çarpanı integral işaretinden alınabilir:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

3. Fonksiyonların toplamının (farkının) integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına (farkına) eşittir:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Eğer bir k,b- kalıcı ve k ≠ 0 , o zamanlar

∫ f( k x + b) dx = 1 / k F( k x + b ) + C .

Ters türev ve belirsiz integraller tablosu

Kesin integral

Arasına izin ver [a; b] sürekli bir fonksiyon verilen y = f(x) , o zamanlar a'dan b'ye belirli integral fonksiyonlar f(x) ilkel artım denir f(x) bu fonksiyon, yani

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

sayılar a ve b sırasıyla denir daha düşük ve üst entegrasyon limitleri.

Belirli integrali hesaplamak için temel kurallar

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) burada k - devamlı;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), burada f(x) eşit bir fonksiyondur;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), burada f(x) garip bir fonksiyondur.

Yorum . Her durumda, integrallerin sınırları integralin sınırları olan sayısal aralıklarda integrallenebilir olduğu varsayılır.

Belirli integralin geometrik ve fiziksel anlamı

geometrik anlamda kesin integral	fiziksel anlam kesin integral
Kare S eğrisel yamuk (aralık üzerinde sürekli pozitif bir grafikle sınırlanan bir şekil [a; b] fonksiyonlar f(x) , eksen Öküz ve doğrudan x=a , x=b ) formülü ile hesaplanır $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Yol s Maddi noktanın üstesinden geldiği, kanuna göre değişen bir hızla düz bir çizgide hareket eden v(t) , bir zaman aralığı için a ; b], daha sonra bu fonksiyonların ve düz çizgilerin grafikleriyle sınırlanan şeklin alanı x = bir , x = b , formülle hesaplanır $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Örneğin. Şeklin alanını hesaplayın çizgilerle sınırlanmış y=x 2 ve y= 2-x . Bu fonksiyonların grafiklerini şematik olarak göstereceğiz ve alanı farklı bir renkte bulunması gereken şekli vurgulayacağız. İntegrasyon sınırlarını bulmak için denklemi çözeriz: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\sol (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \sağ )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Devrim gövdesinin hacmi

	Gövde eksen etrafında dönmesi sonucu elde edilirse Öküz aralıkta sürekli ve negatif olmayan bir grafikle sınırlanan eğrisel yamuk [a; b] fonksiyonlar y = f(x) ve doğrudan x = bir ve x = b , o zaman denir devrim bedeni . Bir devrim gövdesinin hacmi formülle hesaplanır $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Fonksiyon grafikleri ile yukarıdan ve aşağıdan sınırlanan bir şeklin döndürülmesi sonucu dönüş gövdesi elde edilirse y = f(x) ve y = g(x) , sırasıyla $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Örneğin. Yarıçapı olan bir koninin hacmini hesaplayın r ve yükseklik h . Koniyi, ekseni eksenle çakışacak şekilde dikdörtgen bir koordinat sistemine yerleştirelim. Öküz , ve tabanın merkezi koordinatların orijininde bulunuyordu. Jeneratör dönüşü AB bir koniyi tanımlar. denklemden beri AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
ve elimizdeki koninin hacmi için $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\sol (0-\frac(1)(3) \sağ)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄