|
trapez yöntemi
Ana makale:trapez yöntemi
Kısmi segmentlerin her birindeki fonksiyon, içinden geçen düz bir çizgi ile yaklaşıksa nihai değerler, sonra yamuk yöntemini elde ederiz.
Her segmentteki yamuğun alanı:
Her segmentte yaklaşıklık hatası:
 nerede 
Tam formül tüm entegrasyon aralığının aynı uzunluktaki parçalara bölünmesi durumunda yamuk:
 nerede
Trapez formül hatası:
 nerede 
Simpson yöntemi.
 İntegrand f(x) ikinci dereceden bir interpolasyon polinomu ile değiştirilir P(x)– örneğin şekilde gösterildiği gibi üç düğümden geçen bir parabol ((1) bir fonksiyondur, (2) bir polinomdur).
Entegrasyonun iki adımını düşünün ( h= sabit = x ben+1 – x ben), yani üç düğüm x0, x1, x2 Newton denklemini kullanarak içinden bir parabol çizdiğimiz :
İzin vermek z = x - x0,
o zamanlar
Şimdi, elde edilen bağıntıyı kullanarak bu aralık üzerinden integrali hesaplıyoruz:
.
İçin tek tip ağ ve çift adım sayısı n Simpson'ın formülü şöyle olur:
Burada  , a  integralin dördüncü türevinin sürekli olduğu varsayımı altında.
[Düzenle] Artan Doğruluk
Bir fonksiyonun tüm entegrasyon aralığı boyunca bir polinom tarafından yaklaştırılması, kural olarak, integralin değerinin tahmininde büyük bir hataya yol açar.
Hatayı azaltmak için, integrasyon segmenti parçalara bölünür ve her biri üzerindeki integrali değerlendirmek için sayısal bir yöntem kullanılır.
Bölmelerin sayısı sonsuza doğru gittiğinden, integralin tahmini, herhangi bir sayısal yöntem için analitik fonksiyonlar için gerçek değerine yönelir.
Yukarıdaki yöntemler, adımı yarıya indirmek için basit bir prosedüre izin verirken, her adımda yalnızca yeni eklenen düğümlerde fonksiyon değerlerinin hesaplanması gerekir. Runge kuralı, hesaplama hatasını tahmin etmek için kullanılır.
Runge kuralının uygulanması
edit] Belirli bir integrali hesaplamanın doğruluğunu tahmin etme
İntegral, seçilen formül (dikdörtgenler, yamuklar, Simpson parabolleri) kullanılarak, adım sayısı n'ye eşit ve ardından adım sayısı 2n'ye eşit olarak hesaplanır. 2n'ye eşit adım sayısı ile integralin değerini hesaplamadaki hata, Runge formülü ile belirlenir:
, dikdörtgen ve yamuk formülleri ve Simpson formülü için.
Böylece, integral, adım sayısının ardışık değerleri için hesaplanır, burada n 0, ilk adım sayısıdır. Hesaplama işlemi, bir sonraki N değeri koşulunu sağladığında sona erer, burada ε belirtilen doğruluktur.
Hata davranışının özellikleri.
Görünüşe göre, neden analiz farklı yöntemler eğer başarabilirsek entegrasyon yüksek hassasiyet, sadece entegrasyon adımını azaltarak. Ancak, a posteriori hatanın davranışının grafiğini göz önünde bulundurun. R bağlı olarak sayısal hesaplama sonuçları  ve numaradan n aralık bölümleri (yani adım .. Bölüm (1)'de, h adımındaki azalma nedeniyle hata azalır. Ancak bölüm (2)'de, sayısız aritmetik işlemin bir sonucu olarak biriken hesaplama hatası baskın olmaya başlar. , her yöntem için kendi dakika, birçok faktöre bağlıdır, ancak öncelikle yöntemin hatasının a priori değerine bağlıdır. R.
Romberg'in arıtma formülü.
Romberg yöntemi, bölümlerin sayısında çoklu bir artışla integralin değerinin art arda iyileştirilmesinden oluşur. Tek tip bir adıma sahip yamuk formülü temel olarak alınabilir. h.
Bölüm sayısıyla integrali belirtin n= 1 olarak  .
Adımı yarı yarıya azaltarak elde ederiz.  .
Adımı art arda 2 n kat azaltırsak, hesaplamak için özyinelemeli bir bağıntı elde ederiz.
Kesin integral. Çözüm örnekleriTekrar merhaba. Bu derste, belirli bir integral gibi harika bir şeyi ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Bu sefer tanıtım kısa olacak. Her şey. Çünkü pencerenin dışında bir kar fırtınası. Belirli integrallerin nasıl çözüleceğini öğrenmek için şunları yapmanız gerekir:
1) yapabilmek bulmak belirsiz integraller.
2) yapabilmek hesaplamak kesin integral.
Gördüğünüz gibi, belirli integralde ustalaşmak için "sıradan" belirsiz integraller konusunda oldukça bilgili olmanız gerekir. Bu nedenle, integral hesabı yapmaya yeni başlıyorsanız ve su ısıtıcısı henüz kaynamadıysa, derse başlamak daha iyidir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri.
AT Genel görünüm Belirli integral şu şekilde yazılır:
Belirsiz integrale kıyasla ne eklendi? katma entegrasyon limitleri.
Alt entegrasyon limiti
Entegrasyon üst sınırı standart olarak harfle gösterilir.
Segment denir entegrasyon segmenti.
devam etmeden önce pratik örnekler, belirli bir integralde küçük bir sss.
Belirli bir integrali çözmek ne demektir? Belirli bir integrali çözmek, bir sayı bulmak anlamına gelir.
Belirli bir integral nasıl çözülür? Okuldan tanıdık Newton-Leibniz formülü yardımıyla:
Formülü ayrı bir kağıda yeniden yazmak daha iyidir, ders boyunca gözünüzün önünde olmalıdır.
Belirli bir integrali çözme adımları aşağıdaki gibidir:
1) Önce ters türev fonksiyonunu (belirsiz integral) buluruz. Belirli integraldeki sabitin eklenmez. Tanımlama tamamen tekniktir ve dikey çubuk herhangi bir matematiksel anlam taşımaz, aslında sadece üstü çizili. Kayıt neden gerekli? Newton-Leibniz formülünü uygulamak için hazırlık.
2) Ters türev fonksiyonunda üst limitin değerini yerine koyarız: .
3) Alt limitin değerini ters türev fonksiyonuna koyarız: .
4) Farkı hesaplıyoruz (hatasız!), yani sayıyı buluyoruz.
Belirli bir integral her zaman var mıdır? Hayır her zaman değil.
Örneğin, integral mevcut değildir, çünkü entegrasyon segmenti, integralin tanım alanına dahil değildir (aşağıdaki değerler kare kök negatif olamaz). İşte daha az belirgin bir örnek: . Segmentin noktalarında teğet olmadığı için böyle bir integral de yoktur. Bu arada, kim hala okumadı? metodik malzeme Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri- Şimdi yapma zamanı. Yüksek matematik kursu boyunca yardımcı olmak harika olacaktır.
İçin belirli bir integralin var olması için integralin integrasyon aralığında sürekli olması yeterlidir..
Yukarıdakilerden, ilk önemli tavsiye şudur: HERHANGİ bir belirli integralin çözümüne geçmeden önce, integralin olduğundan emin olmanız gerekir. entegrasyon aralığında sürekli. Bir öğrenci olarak, uzun süre zor bir ilkel bulmanın acısını çektiğimde tekrar tekrar bir olay yaşadım ve sonunda bulduğumda bir soru daha şaşırdım: “Nasıl bir saçmalık çıktı?”. Basitleştirilmiş bir versiyonda durum şöyle görünür:  ???! Kökün altındaki negatif sayıları değiştiremezsiniz! Ne oluyor be?! ilk dikkatsizlik
Eğer bir çözüm için (içinde kontrol işi, testte, sınavda) gibi var olmayan bir integral teklif edilir, o zaman integralin olmadığını ve nedenini doğrulamanız gerekir.
Belirli integral şuna eşit olabilir mi? negatif sayı?
Belki. Ve negatif bir sayı. Ve sıfır. Sonsuz olduğu bile ortaya çıkabilir, ama zaten olacak uygun olmayan integral, ayrı bir ders verilir.
Entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırından büyük olabilir mi? Belki de pratikte böyle bir durum ortaya çıkıyor.
- integral Newton-Leibniz formülü kullanılarak sakince hesaplanır.
Yüksek matematik onsuz ne yapmaz? Tabii ki, her türlü özellik olmadan. Bu nedenle, belirli bir integralin bazı özelliklerini ele alıyoruz.
Belirli bir integralde, işareti değiştirirken üst ve alt limitleri yeniden düzenleyebilirsiniz.: 
Örneğin, entegrasyondan önce belirli bir integralde, entegrasyon sınırlarının "olağan" sıraya değiştirilmesi tavsiye edilir:
 - bu formda entegrasyon çok daha uygundur.
 - bu sadece ikisi için değil, aynı zamanda herhangi bir sayıda fonksiyon için de geçerlidir.
Belirli bir integralde, bir kişi şunları yapabilir: entegrasyon değişkeninin değişmesi Bununla birlikte, belirsiz integral ile karşılaştırıldığında, bunun daha sonra konuşacağımız kendine has özellikleri vardır.
Belirli bir integral için, parçalara göre entegrasyon formülü:
örnek 1
Karar:
(1) Sabiti integral işaretinden alıyoruz.
(2) En popüler formülü kullanarak tablo üzerinden entegre ediyoruz  . Görünen sabiti ayırmanız ve braketten çıkarmanız önerilir. Bunu yapmak gerekli değildir, ancak arzu edilir - neden ekstra hesaplamalar?
 . Önce üst limitte, sonra alt limitte yer değiştiriyoruz. Daha fazla hesaplama yapıyoruz ve nihai cevabı alıyoruz.
Örnek 2
Belirli bir integrali hesaplayın
Bu, dersin sonunda kendi kendine çözme, çözüm ve cevap için bir örnektir.
Biraz daha zorlaştıralım:
Örnek 3
Belirli bir integrali hesaplayın
Karar:
(1) Belirli integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz.
(2) Tüm sabitleri çıkarırken tablo üzerinde bütünleşiriz - üst ve alt sınırların ikamesine katılmazlar.
(3) Üç terimin her biri için Newton-Leibniz formülünü uygularız:
Belirli bir integraldeki ZAYIF BAĞLANTI, hesaplama hataları ve ortak bir İŞARET KARŞILAŞMASIDIR. Dikkat olmak! Özel dikkatÜçüncü terime odaklanıyorum:  - dikkatsizlikten kaynaklanan hataların hit geçit töreninde birincilik, çoğu zaman otomatik olarak yazarlar  (özellikle üst ve alt limitlerin yer değiştirmesi sözlü olarak yapıldığında ve bu kadar detaylı bir şekilde imzalanmadığında). Yukarıdaki örneği bir kez daha dikkatlice inceleyin.
Belirli bir integrali çözmenin düşünülen yönteminin tek olmadığı belirtilmelidir. Biraz deneyimle, çözüm önemli ölçüde azaltılabilir. Örneğin, ben kendim böyle integralleri çözerdim:
Burada doğrusallık kurallarını sözlü olarak tablo üzerinde sözlü olarak bütünleştirdim. Sınırları ana hatlarıyla belirtilen tek bir parantez ile bitirdim:  (birinci yöntemdeki üç parantezin aksine). Ve "bütün" ters türev fonksiyonunda, önce 4'ü, sonra -2'yi yerine koydum ve tüm işlemleri aklımdan tekrar yaptım.
Kısa çözüm yönteminin dezavantajları nelerdir? Hesaplamaların rasyonelliği açısından burada her şey pek iyi değil, ama kişisel olarak umurumda değil - ortak kesirler Bir hesap makinesine güveniyorum.
Ek olarak, hesaplamalarda hata yapma riski artar, bu nedenle öğrenci-apkenlerin ilk yöntemi kullanmaları daha iyidir, “benim” çözüm yöntemiyle işaret kesinlikle bir yerde kaybolacaktır.
Yine de inkar edilemez avantajlarİkinci yol, çözümün hızı, gösterimin kompaktlığı ve ters türevinin bir parantez içinde olmasıdır.
İpucu: Newton-Leibniz formülünü kullanmadan önce şunu kontrol etmek yararlıdır: terstürevin kendisi doğru bulundu mu?
Dolayısıyla, incelenen örnekle ilgili olarak: ters türev fonksiyonunda üst ve alt limitleri değiştirmeden önce, belirsiz integralin doğru bulunup bulunmadığını bir taslak üzerinde kontrol etmek tavsiye edilir. Ayırt etmek:
Orijinal integral elde edildi, yani belirsiz integral doğru bulundu. Artık Newton-Leibniz formülünü uygulayabilirsiniz.
Herhangi bir belirli integrali hesaplarken böyle bir kontrol gereksiz olmayacaktır..
Örnek 4
Belirli bir integrali hesaplayın
Bu kendi kendine çözme için bir örnektir. Kısa ve detaylı bir şekilde çözmeye çalışın.
Belirli bir integralde değişken değişimi
Belirli integral için, belirsiz integral için olduğu gibi her tür ikame geçerlidir. Bu nedenle, eğer ikame konusunda çok iyi değilseniz, dersi dikkatlice okumalısınız. Belirsiz integralde yer değiştirme yöntemi.
Bu paragrafta korkutucu veya karmaşık bir şey yok. Yenilik soruda yatıyor değiştirirken entegrasyon sınırlarının nasıl değiştirileceği.
Örneklerde, sitede henüz hiçbir yerde görülmeyen bu tür değiştirmeleri vermeye çalışacağım.
Örnek 5
Belirli bir integrali hesaplayın
Buradaki asıl soru, belirli bir integralde değil, değiştirmenin nasıl doğru bir şekilde gerçekleştirileceğidir. içeri bakarız integral tablo ve integralimizin en çok neye benzediğini anlıyoruz? Açıkçası, uzun logaritmada:  . Ancak kökün altındaki tablo integralinde ve bizimkilerde bir tutarsızlık var - dördüncü dereceden "x". Değiştirme fikri, akıl yürütmeden kaynaklanmaktadır - dördüncü gücümüzü bir şekilde kareye dönüştürmek güzel olurdu. Bu gerçek.
İlk olarak, integralimizi değiştirme için hazırlıyoruz:
Yukarıdaki düşüncelerden, değiştirme doğal olarak kendini gösterir:
Böylece paydada her şey yoluna girecek: .
İntegranın geri kalanının neye dönüşeceğini buluruz, bunun için diferansiyeli buluruz:
Belirsiz integraldeki değiştirme ile karşılaştırıldığında, ek bir adım ekliyoruz.
Entegrasyonun yeni sınırlarını bulma.
Bu yeterince basit. Yenilememize ve eski entegrasyonun sınırlarına bakıyoruz.
İlk olarak, ikame ifadesinin alt sınırını, yani sıfırı değiştiririz:
Ardından, ikame ifadesinin üst sınırını, yani üçün kökünü yerine koyarız:
Hazır. Ve sadece bir şey…
Çözüme devam edelim.
(1) Değiştirmeye göre yeni entegrasyon limitleriyle yeni bir integral yaz.
(2) Bu en basit tablo integralidir, tablo üzerinden entegre ederiz. Sabiti parantezlerin dışında bırakmak daha iyidir (bunu yapamazsınız), böylece daha fazla hesaplamaya müdahale etmez. Sağ tarafta, entegrasyonun yeni sınırlarını gösteren bir çizgi çiziyoruz - bu, Newton-Leibniz formülünü uygulamaya hazırlıktır.
(3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz  .
Cevabı mümkün olduğunca yazmaya çalışıyoruz kompakt form, burada logaritmanın özelliklerini kullandım.
Belirsiz integralden bir diğer fark, ikameyi yaptıktan sonra, değiştirme gerekmez.
Ve şimdi birkaç örnek bağımsız karar. Hangi değişiklikleri yapacaksınız - kendi başınıza tahmin etmeye çalışın.
Örnek 6
Belirli bir integrali hesaplayın
Örnek 7
Belirli bir integrali hesaplayın
Bunlar kendi kendine yardım örnekleridir. Çözümler ve cevaplar dersin sonunda.
Ve paragrafın sonunda önemli noktalar, analizi site ziyaretçileri sayesinde ortaya çıktı. Birincisi ilgilenir değiştirme meşruiyeti. Bazı durumlarda, yapılamaz! Yani Örnek 6 ile çözülebilir gibi görünüyor evrensel trigonometrik ikame, ancak entegrasyonun üst sınırı ("pi") dahil değil alan adı bu teğet ve dolayısıyla bu ikame yasa dışıdır! Böylece, "değiştirme" işlevi sürekli olmalıdır tümünde entegrasyon segmentinin noktaları.
farklı e-posta girdi sonraki soru: "Fonksiyonu diferansiyelin işareti altına getirdiğimizde integrasyon sınırlarını değiştirmek gerekli midir?". İlk başta “saçmalıkları temizlemek” ve otomatik olarak “tabii ki hayır” yanıtını vermek istedim, ancak sonra böyle bir sorunun nedenini düşündüm ve birdenbire bilginin yanlış olduğunu keşfettim.
yoksun. Ama açık olsa da, ama çok önemli:
Fonksiyonu diferansiyelin işaretinin altına getirirsek, integrasyon limitlerini değiştirmeye gerek kalmaz.! Niye ya? Çünkü bu durumda yeni değişkene gerçek geçiş yok. Örneğin:
Ve burada toplama, yeni entegrasyon sınırlarının müteakip "resmi" ile akademik yer değiştirmeden çok daha uygundur. Böylece, belirli integral çok karmaşık değilse, fonksiyonu her zaman diferansiyelin işaretinin altına getirmeye çalışın.! Daha hızlı, daha kompakt ve yaygın - onlarca kez göreceğiniz gibi!
Mektuplarınız için çok teşekkür ederim!
Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon yöntemi
Burada daha da az yenilik var. Makalenin tüm gönderileri Belirsiz integralde parçalara göre integral alma belirli bir integral için de tamamen geçerlidir.
Artı, sadece bir ayrıntı var, parçalara göre entegrasyon formülünde, entegrasyonun sınırları eklendi:
Newton-Leibniz formülü burada iki kez uygulanmalıdır: çarpım için ve integrali aldıktan sonra.
Örneğin yine sitede başka hiçbir yerde görmediğim integral türünü seçtim. Örnek en kolay değil, ama çok, çok bilgilendirici.
Örnek 8
Belirli bir integrali hesaplayın
Biz karar veririz.
Parçalara göre entegrasyon:
İntegralde zorlananlar derse bir göz atın trigonometrik fonksiyonların integralleri, nerede ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.
(1) Çözümü, parçalara göre entegrasyon formülüne göre yazıyoruz.
(2) Ürün için Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz. Kalan integral için, onu iki integrale bölerek doğrusallığın özelliklerini kullanırız. İşaretlerle karıştırmayın!
(4) Bulunan iki ters türev için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz.
Dürüst olmak gerekirse, formülü sevmiyorum  ve mümkünse, ... onsuz yapın! İkinci çözüm yolunu düşünün, benim açımdan bu daha mantıklı.
Belirli bir integrali hesaplayın
İlk adımda belirsiz integrali buluyorum.:
Parçalara göre entegrasyon:
Bir ters türev fonksiyonu bulundu. Bu durumda bir sabit eklemek mantıklı değil.
Böyle bir yolculuğun avantajı nedir? Entegrasyonun sınırlarını “sürüklemeye” gerek yoktur, aslında, entegrasyonun sınırlarının küçük simgelerini yazarak bir düzine kez eziyet çekebilirsiniz.
İkinci adımda kontrol ediyorum(genellikle taslakta).
Aynı zamanda mantıklı. Ters türev fonksiyonunu yanlış bulursam, belirli integrali de yanlış çözerim. Hemen öğrenmek daha iyidir, cevabı ayırt edelim:
Orijinal integral elde edildi, yani ters türev fonksiyonu doğru bulundu.
Üçüncü aşama Newton-Leibniz formülünün uygulanmasıdır.:
Ve burada önemli bir fayda var! “Benim” çözme yöntemimde, ikamelerde ve hesaplamalarda karıştırılma riski çok daha düşüktür - Newton-Leibniz formülü yalnızca bir kez uygulanır. Su ısıtıcısı formülü kullanarak benzer bir integrali çözerse  (ilk yol), o zaman stopudovo bir yerde hata yapacak.
Düşünülen çözüm algoritması herhangi bir belirli integrale uygulanabilir..
Sevgili öğrenci, yazdır ve kaydet:
Karmaşık görünen veya nasıl çözüleceği hemen belli olmayan belirli bir integral verilirse ne yapmalı?
1) Önce belirsiz integrali buluruz (ters türev fonksiyonu). İlk aşamada bir serseri varsa, tekneyi Newton ve Leibniz ile sallamak anlamsızdır. Tek bir yol var - çözme konusundaki bilgi ve beceri seviyenizi artırmak belirsiz integraller.
2) Bulunan ters türev fonksiyonunu türev alarak kontrol ederiz. Yanlış bulunursa üçüncü adım zaman kaybı olacaktır.
3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz. Tüm hesaplamaları SON DERECE DİKKATLİCE yapıyoruz - işte görevdeki en zayıf halka.
Ve atıştırmalık olarak, bağımsız bir çözüm için bir integral.
Örnek 9
Belirli bir integrali hesaplayın
Çözüm ve cevap yakınlarda bir yerde.
Konuyla ilgili aşağıdaki önerilen eğitim - Belirli integrali kullanarak bir şeklin alanı nasıl hesaplanır?
Parçalara göre entegrasyon:
Bunları kesin çözüp böyle cevaplar aldınız mı? ;-) Ve yaşlı kadının üzerinde porno var. |
teorem. eğer fonksiyon f(x) aralığında integrallenebilir [ bir, b], nerede a< b
, ve hepsi için x ∈ eşitsizlik
Teoremdeki eşitsizlikleri kullanarak belirli integrali tahmin edebiliriz, yani. anlamının içinde bulunduğu sınırları gösterir. Bu eşitsizlikler belirli bir integral için bir tahmin ifade eder.
Teorem [Ortalama değer teoremi]. eğer fonksiyon f(x) aralığında integrallenebilir [ bir, b] ve herkes için x ∈ eşitsizlikler m ≤ f(x) ≤ M, o zamanlar
nerede m ≤ μ ≤ M.
Yorum. Fonksiyonun olduğu durumda f(x) segmentte sürekli [ bir, b], teoremden eşitlik biçimini alır
nerede c ∈. Sayı μ=f(c) Bu formülle tanımlanan denir ortalama fonksiyonlar f(x) segmentinde [ bir, b]. Bu eşitlik aşağıdaki geometrik anlamda: sürekli bir çizgi ile sınırlanmış eğrisel bir yamuğun alanı y=f(x) (f(x) ≤ 0) aynı tabana ve bu çizgi üzerindeki bir noktanın ordinatına eşit bir yüksekliğe sahip bir dikdörtgenin alanına eşittir.
Sürekli bir fonksiyon için bir ters türevinin varlığı
İlk olarak, üst limiti değişken olan bir integral kavramını tanıtıyoruz.
fonksiyon olsun f(x) aralığında integrallenebilir [ bir, b]. O zaman sayı ne olursa olsun x itibaren [ bir, b], işlev f(x) aralığında integrallenebilir [ bir, b]. Bu nedenle, segmentte [ bir, b] fonksiyon tanımlı
buna değişken üst limitli bir integral denir.
teorem. İntegrant aralıkta sürekli ise [ bir, b] ise, üst limiti değişken olan belirli bir integralin türevi vardır ve bu limit için integralin değerine eşittir, yani.
Sonuç. Değişken bir üst limite sahip belirli integral, sürekli bir integralin ters türevlerinden biridir. Başka bir deyişle, bir aralıkta sürekli olan herhangi bir fonksiyon için bir ters türev vardır.
Açıklama 1. Dikkat edin, eğer fonksiyon f(x) aralığında integrallenebilir [ bir, b] ise, değişken üst limitli integral bu aralıktaki üst limitin sürekli bir fonksiyonudur. Nitekim, St. 2'den ve sahip olduğumuz ortalama değer teoremi
Açıklama 2. Entegrasyon üst limiti değişken olan integral, birçok yeni fonksiyonun tanımında kullanılır, örneğin, 
. Bu işlevler temel değildir; daha önce belirtildiği gibi, belirtilen integrallerin ters türevleri, temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilemez.
Temel entegrasyon kuralları
Newton-Leibniz formülü
herhangi iki beri ters türev fonksiyonlar f(x) bir sabitle farklılık gösterir, o zaman önceki teoreme göre herhangi bir ters türevin olduğu iddia edilebilir. Φ(x) segmentte sürekli [ bir, b] fonksiyonlar f(x) forma sahip
nerede C bir miktar sabittir.
Bu formülü koyarak x=a ve x=b, St.1 belirli integrallerini kullanarak buluruz
Bu eşitliklerden ilişkiyi takip eder
hangi denir Newton-Leibniz formülü.
Böylece aşağıdaki teoremi kanıtlamış olduk:
teorem. Sürekli bir fonksiyonun belirli integrali, üst ve alt entegrasyon limitleri için herhangi bir ters türevinin değerleri arasındaki farka eşittir.
Newton-Leibniz formülü şu şekilde yeniden yazılabilir:
Belirli bir integralde değişken değişimi
teorem. Eğer bir
- işlev f(x) segmentte sürekli [ bir, b];
- çizgi segmenti [ bir, b] fonksiyon değerleri kümesidir φ(t) aralıkta tanımlanan α ≤ t ≤ β ve üzerinde sürekli türevi bulunan;
- φ(α)=a, φ(β)=b
o zaman formül geçerlidir
Parça formülü ile entegrasyon
teorem. eğer fonksiyonlar u=u(x), v=v(x) aralıkta sürekli türevleri var [ bir, b], ardından formül
Uygulanan değer ortalama değer teoremleri
olasılığı yatıyor Nitel değerlendirme belirli bir integralin değeri hesaplanmadan bulunur. formüle ediyoruz
: fonksiyon aralıkta sürekli ise, o zaman bu aralığın içinde öyle bir nokta vardır ki 
.
Bu formül, karmaşık veya hantal bir fonksiyonun integralinin kaba bir tahmini için oldukça uygundur. Formülü oluşturan tek an yaklaşık
, bir zorunluluktur kendi kendine seçim
puan. En basit yolu seçersek - entegrasyon aralığının ortası (birkaç ders kitabında önerildiği gibi), o zaman hata oldukça önemli olabilir. Daha doğru sonuçlar için tavsiye etmek
hesaplamayı aşağıdaki sırayla gerçekleştirin:
Aralıkta bir fonksiyon grafiği oluşturun;
Dikdörtgenin üst kenarlığını, fonksiyonun grafiğinin kesilen kısımları olacak şekilde çizin. yaklaşık olarak eşit alanda
(yukarıdaki şekilde tam olarak bu şekilde gösterilmiştir - iki eğrisel üçgen neredeyse aynıdır);
Şekilden belirleyin;
Ortalama değer teoremini kullanın.
Örnek olarak basit bir integral hesaplayalım:
Kesin değer ;
Aralığın ortası için 
ayrıca yaklaşık bir değer elde edeceğiz, yani. açıkça yanlış sonuç;
Öneriler doğrultusunda dikdörtgenin üst tarafını çizerek bir grafik oluşturduktan sonra, nereden ve yaklaşık değerini alırız. Oldukça tatmin edici bir sonuç, hata %0.75.
yamuk formülü
Ortalama değer teoremini kullanan hesaplamaların doğruluğu, gösterildiği gibi esasen görsel amaç
nokta grafiği. Nitekim aynı örnekte ya da noktalarını seçerek integralin diğer değerlerini alabilirsiniz ve hata artabilir. Sübjektif faktörler, grafiğin ölçeği ve çizimin kalitesi sonucu büyük ölçüde etkiler. Bu kabul edilemez şekilde
kritik hesaplamalarda, bu nedenle ortalama değer teoremi yalnızca hızlı kalite
integral tahminleri.
Bu bölümde, yaklaşık entegrasyon için en popüler yöntemlerden birini ele alacağız - yamuk formülü
. Bu formülü oluşturmanın temel fikri, şekilde gösterildiği gibi eğrinin yaklaşık olarak kesikli bir çizgi ile değiştirilebilmesi gerçeğinden gelmektedir.
Kesinlik için (ve şekle uygun olarak) integrasyon aralığının bölündüğünü varsayalım. eşit
(bu isteğe bağlıdır, ancak çok uygundur) parçalar. Bu parçaların her birinin uzunluğu formülle hesaplanır ve denir. adım
. Bölünmüş noktaların apsisleri, belirtilmişse, formül ile belirlenir, burada . Bilinen apsislerden koordinatları hesaplamak kolaydır. Böylece,
Bu durum için yamuk formülüdür. Parantez içindeki ilk terimin, tüm ara koordinatların eklendiği başlangıç ve son koordinatların yarım toplamı olduğuna dikkat edin. İçin Rasgele sayı entegrasyon aralığının bölümleri yamukların genel formülü
şuna benziyor: kareleme formülleri: dikdörtgenler, simpson, gauss, vb. Temel alanlar tarafından eğrisel bir yamuk temsil etme fikri üzerine inşa edilmişlerdir. çeşitli şekiller bu nedenle, yamuk formülüne hakim olduktan sonra, benzer formülleri anlamak zor olmayacaktır. Birçok formül yamuk formülü kadar basit değildir, ancak az sayıda bölme ile yüksek doğrulukta bir sonuç elde etmenizi sağlar.
Yamuk formülü (veya benzerleri) yardımıyla, hem "almayan" integralleri hem de karmaşık veya hantal fonksiyonların integrallerini pratikte gerekli doğrulukla hesaplamak mümkündür.
Daha önce, belirli integrali, integral için ters türevin değerleri arasındaki fark olarak düşündük. İntegrandın, integrasyon aralığında bir antitürevine sahip olduğu varsayılmıştır.
Terstürevin temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilmesi durumunda, varlığından emin olabiliriz. Ancak böyle bir ifade yoksa, o zaman bir terstürevin varlığı sorusu açık kalır ve karşılık gelen belirli integralin var olup olmadığını bilmiyoruz.
Geometrik düşünceler, örneğin y=e^(-x^2) fonksiyonu için ters türevi temel fonksiyonlar cinsinden ifade etmenin imkansız olmasına rağmen, integralin \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx) var ve alana eşit x ekseni ile sınırlandırılmış bir şekil, y=e^(-x^2) fonksiyonunun grafiği ve x=a,~ x=b düz çizgileri (Şekil 6). Ancak daha titiz bir analizle, alan kavramının doğrulanması gerektiği ortaya çıkıyor ve bu nedenle bir ters türev ve belirli bir integralin varlığına ilişkin soruları çözerken ona güvenmek imkansız.
bunu kanıtlayalım bir segmentte sürekli olan herhangi bir fonksiyonun bu segmentte bir ters türevi vardır., ve bu nedenle, onun için bu segment üzerinde belirli bir integral var. Bunu yapmak için belirli bir integral kavramına farklı bir yaklaşıma ihtiyacımız var, bir terstürevin varlığı varsayımına dayalı değil.
biraz yükleyelim belirli bir integralin özellikleri, ters türevin değerleri arasındaki fark olarak anlaşılır.
Belirli integrallerin tahminleri
Teorem 1. y=f(x) fonksiyonunun segment üzerinde sınırlı olmasına izin verin ve m=\min_(x\in)f(x) ve M=\max_(x\in)f(x) sırasıyla en az ve en büyük değer y=f(x) fonksiyonu üzerinde ve bu aralıkta y=f(x) fonksiyonunun bir ters türevi vardır. Sonra
m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).
Kanıt. F(x), segmentteki y=f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri olsun. Sonra
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)=F(b)-F(a).
Lagrange teoremi ile F(b)-F(a)=F"(c)(b-a), burada bir \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=f(c)(b-a).
Koşul olarak, segmentteki tüm x değerleri için eşitsizlik m\leqslant f(x)\leqslant M, Bu yüzden m\leqslant f(c)\leqslant M ve dolayısıyla
m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a), yani m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),
Q.E.D.
Çift eşitsizlik (1), belirli bir integralin değeri için yalnızca çok kaba bir tahmin verir. Örneğin bir doğru parçası üzerinde y=x^2 fonksiyonunun değerleri 1 ile 25 arasındadır ve bu nedenle eşitsizlikler meydana gelir.
4=1\cdot(5-1)\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.
Daha doğru bir tahmin elde etmek için segmenti noktalarla birkaç parçaya bölün. a=x_0 ve eşitsizlik (1) her parçaya uygulanır. Aralıkta eşitsizlik sağlanıyorsa,
m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,
Burada \Delta x_k farkı (x_(k+1)-x_k) yani parçanın uzunluğunu gösterir. 0'dan n-1'e kadar tüm k değerleri için bu eşitsizlikleri yazıp bunları toplayarak şunu elde ederiz:
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1) ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k),
Ancak belirli bir integralin toplama özelliğine göre, bir segmentin tüm parçaları üzerindeki integrallerin toplamı, bu segment üzerindeki integrale eşittir, yani.
\sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\limits_a)^(b)f(x) \,dx\,.
Anlamına geliyor,
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x) )\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)
Örneğin, bir parçayı, her biri 0,4 uzunluğa sahip 10 eşit parçaya bölerseniz, o zaman kısmi bir parça üzerinde
eşitsizlik
(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2
Bu nedenle:
0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\sum_(k=0)^(9)\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.
Hesaplayarak şunları elde ederiz: 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. Bu tahmin öncekinden çok daha doğrudur. 4\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.
İntegralin daha da doğru bir tahminini elde etmek için, segmenti 10'a değil, 100 veya 1000 parçaya bölmek ve karşılık gelen toplamları hesaplamak gerekir. Elbette, bu integrali ters türevi kullanarak hesaplamak daha kolaydır:
\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx= \left.(\frac(x^3)(3))\sağ|_(1)^(5)= \frac(1) (3)(125-1)= \frac(124)(3)\,.
Ancak ters türevin ifadesi bizim için bilinmiyorsa, eşitsizlikler (2), integralin değerini aşağıdan ve yukarıdan tahmin etmeyi mümkün kılar.
Ayırma sayısı olarak belirli integral
Eşitsizliğe (2) dahil edilen m_k ve M_k sayıları, eşitsizlik olduğu sürece keyfi olarak seçilebilir. m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. Parçanın belirli bir bölümü için integralin en doğru tahmini, tüm olası değerlerin en küçüğü olarak M_k ve en büyüğü olarak m_k alınırsa elde edilecektir. Bu, m_k olarak segment üzerindeki y=f(x) fonksiyonunun değerlerinin tam alt sınırını ve aynı segmentte bu değerlerin tam üst sınırı olan M_k olarak almanız gerektiği anlamına gelir:
m_k=\inf_(x\in)f(x),\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x).
Eğer y=f(x) segment üzerinde sınırlı bir fonksiyon ise, o zaman segmentlerin her biri üzerinde de sınırlıdır ve bu nedenle m_k ve sayıları M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1. Bu m_k ve M_k sayı seçimiyle, toplamlar \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)m_k\Delta x_k) ve \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)M_k\Delta x_k) sırasıyla, belirli bir P bölümü için y=-f(x) işlevi için alt ve üst integral Darboux toplamları olarak adlandırılır:
a=x_0
segment. Bu toplamları sırasıyla s_(fP) ve S_(fP) olarak göstereceğiz ve eğer y=f(x) fonksiyonu sabitse, o zaman basitçe s_P ve S_P .
Eşitsizlik (2) şu anlama gelir: bir segmente bağlı bir y=f(x) fonksiyonunun bu segment üzerinde bir ters türevi varsa, o zaman belirli integral, sırasıyla tüm alt ve üst Darboux'lardan oluşan \(s_p\) ve \(S_P\) sayısal kümelerini ayırır. segmentin tüm olası bölümleri P için toplamlar. Genel olarak konuşursak, bu iki kümeyi ayıran sayı benzersiz olmayabilir. Ancak aşağıda, en önemli işlev sınıfları için (özellikle sürekli işlevler için) benzersiz olduğunu göreceğiz.
Bu bize yeni bir tanım getirmemizi sağlar. \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx) bir ters türev kavramına dayanmayan, ancak yalnızca Darboux toplamlarını kullanan .
Tanım. Bir aralığa bağlı bir y=f(x) fonksiyonunun, aralığın tüm olası bölümleri için oluşturulmuş alt ve üst Darboux toplamlarını ayıran tek bir sayı varsa, bu aralıkta integrallenebilir olduğu söylenir. Eğer y=f(x) fonksiyonu bölüt üzerinde integrallenebilir ise, o zaman bu kümeleri ayıran tek sayı, bu fonksiyonun bölüt ve ortalamalar üzerinde belirli integrali olarak adlandırılır.
İntegrali tanımladık \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx) durum için bir b, sonra koyarız
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.
Bu tanım doğaldır, çünkü entegrasyon aralığının yönü değiştiğinde, tüm farklılıklar \Delta x_k=x_(k+1)-x_k işaretlerini değiştirirler ve sonra işaretleri ve Darboux toplamlarını ve dolayısıyla onları ayıran sayıyı değiştirirler, yani. integral.
a=b için tüm \Delta x_k ortadan kalktığından,
\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.
Belirli bir integral kavramının iki tanımını elde ettik: ters türev değerleri arasındaki fark olarak ve Darboux toplamları için ayırma sayısı olarak. Bu tanımlar, en önemli durumlarda aynı sonuca yol açar:
Teorem 2. y=f(x) fonksiyonu bir doğru parçası üzerinde sınırlıysa ve üzerinde y=F(x) ters türevi varsa ve alt ve üst Darboux toplamlarını ayıran tek bir sayı varsa bu sayı F(b)'ye eşittir. )-F(a) .
Kanıt. Yukarıda F(a)-F(b) sayısının \(s_P\) ve \(S_P\) kümelerini ayırdığını kanıtladık. Ayırma sayısı koşul tarafından benzersiz olarak belirlendiğinden, F(b)-F(a) ile çakışır.
Şu andan itibaren notasyonu kullanacağız. \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx) yalnızca \(s_P\) ve \(S_P\) kümelerini ayıran tek bir sayı için. Kanıtlanmış teoremden, bu durumda yukarıda kullandığımız bu gösterimin anlaşılmasıyla hiçbir çelişki olmadığı anlaşılmaktadır.
Alt ve üst Darboux toplamlarının özellikleri
Daha önce verilen integral tanımının anlamlı olması için, üst Darboux toplamları kümesinin gerçekten de alt Darboux toplamları kümesinin sağında bulunduğunu kanıtlamamız gerekir.
Lemma 1. Her P bölümü için, karşılık gelen alt Darboux toplamı en fazla üst Darboux toplamıdır, s_P\leqslant S_P .
Kanıt. Segmentin bazı P bölümünü düşünün:
a=x_0 "
Açıktır ki, herhangi bir k ve seçilen herhangi bir P bölümü için, s_P\leqslant S_P eşitsizliği geçerlidir. Buradan, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, ve bu yüzden
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.
Q.E.D. (4) eşitsizliği yalnızca sabit bir P bölümü için geçerlidir. Bu nedenle, bir bölümün alt Darboux toplamının başka bir bölümün üst Darboux toplamını aşamayacağını söylemek henüz mümkün değildir. Bu iddiayı kanıtlamak için aşağıdaki lemmaya ihtiyacımız var:
Lemma 2. Yeni bir bölme noktası ekleyerek, alt Darboux toplamı azalamaz ve üst toplam artamaz.
Kanıt. Parçanın bir P bölümünü seçelim ve ona yeni bir bölme noktası ekleyelim (x^(\ast)) . Yeni bölümü belirtin P^(\ast) . P^(\ast) bölümü, P bölümünün geliştirilmiş halidir, yani. P'nin her bir bölünme noktası, aynı zamanda, bir P^(\ast) bölünme noktasıdır.
(x^(\ast)) noktasının doğru parçasına düşmesine izin verin \iki nokta üst üste\, x_k . Oluşan iki parçayı göz önünde bulundurun ve
ve fonksiyon değerlerinin karşılık gelen tam alt sınırlarını m_(k)^(\ast) ve m_(k)^(\ast\ast) ile ve tam üst sınırlarını M_(k)^(\ast ile belirtin ) ve M_(k )^(\ast\ast) .
terim m_k(x_(k+1)-m_(k)) Yeni alt Darboux toplamındaki orijinal alt Darboux toplamı iki terime karşılık gelir:
m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).
nerede m_k\leqslant m_(k)^(\ast) ve m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), m_k, tüm aralıktaki f(x) işlevinin değerlerinin tam alt sınırı olduğundan ve m_(k)^(\ast) ve m_(k)^(\ast\ast) yalnızca onun üzerinde parçalar ve
sırasıyla.
Aşağıdan elde edilen terimlerin toplamını tahmin edelim:
\begin(hizalanmış) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1 )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\end(hizalanmış)
Hem eski hem de yeni alt Darboux toplamlarındaki diğer terimler değişmeden kaldığından, yeni bir bölme noktası s_P\leqslant S_P eklendikten sonra alt Darboux toplamı azalmadı.
Kanıtlanmış iddia, P bölümüne herhangi bir sonlu sayıda nokta eklendiğinde bile geçerli kalır.
Üst Darboux toplamı hakkındaki iddia da benzer şekilde kanıtlanmıştır: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).
Herhangi iki bölüm için Darboux toplamlarını karşılaştırmaya devam edelim.
Lemma 3. Hiçbir alt Darboux toplamı, herhangi bir üst Darboux toplamını aşamaz (en azından segmentin başka bir bölümüne karşılık gelir).
Kanıt. Segmentin iki rastgele P_1 ve P_2 bölümünü göz önünde bulundurun ve P_1 ve P_2 bölümlerinin tüm noktalarından oluşan üçüncü P_3 bölümünü oluşturun. Bu nedenle, P_3 bölümü, hem P_1 bölümünün hem de P_2 bölümünün bir iyileştirmesidir (Şekil 7).
Bu bölümler için sırasıyla alt ve üst Darboux toplamlarını gösterelim. s_1,~S_1.~s_2,~S_2 ve s_1\leqslant S_2 olduğunu kanıtlayın.
P_3, P_1 bölümünün iyileştirilmesi olduğundan, s_1\leqslant s_3 . Ardından, s_3\leqslant S_3 , çünkü s_3 ve S_3 toplamları aynı bölüme karşılık gelir. Son olarak, S_3\leqslant S_2 , çünkü P_3 , P_2 bölümünün bir iyileştirmesidir.
Böylece, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, yani kanıtlanacak olan s_1\leqslant S_2 .
Lemma 3 şunu ima eder: alt Darboux toplamlarının sayısal kümesi X=\(s_P\), üst Darboux toplamlarının sayısal kümesi Y=\(S_P\)'nin solunda yer alır.
İki sayısal küme1 için bir ayırma sayısının varlığına ilişkin teoremden dolayı, X ve Y kümelerini ayıran en az bir sayı vardır, yani. öyle ki, segmentin herhangi bir bölümü için çift eşitsizlik:
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.
Bu numara benzersiz ise, o zaman \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).
Genel olarak konuşursak, böyle bir I sayısının benzersiz olarak belirlenmediğini gösteren bir örnek verelim. Dirichlet fonksiyonunun eşitliklerle tanımlanan aralıkta y=D(x) fonksiyonu olduğunu hatırlayın:
D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(irrasyonel sayıdır);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(is) rasyonel sayı).\end(durumlar)
Hangi segmenti alırsak alalım, üzerinde hem rasyonel hem de irrasyonel noktalar var, yani. ve D(x)=0 olduğu noktalar ve D(x)=1 olduğu noktalar. Bu nedenle, segmentin herhangi bir bölümü için m_k'nin tüm değerleri sıfıra eşittir ve M_k'nin tüm değerleri bire eşittir. Ama sonra tüm düşük Darboux toplamları \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)) sıfıra eşittir ve tüm üst Darboux toplamları \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)) bire eşittir,
