Ortaokul ve lise dersinde öğrenciler "Kesirler" konusunu incelediler. Ancak bu kavram, öğrenme sürecinde verilenden çok daha geniştir. Bugün, kesir kavramına oldukça sık rastlanmaktadır ve herkes, örneğin kesirleri çarpma gibi herhangi bir ifadeyi hesaplayamaz.

kesir nedir?

Tarihsel olarak öyle oldu ki, ölçme ihtiyacı nedeniyle kesirli sayılar ortaya çıktı. Uygulamanın gösterdiği gibi, bir parçanın uzunluğunu, dikdörtgen bir dikdörtgenin hacmini belirlemek için genellikle örnekler vardır.

Başlangıçta, öğrencilere paylaşım gibi bir kavram tanıtılır. Örneğin, bir karpuzu 8 parçaya bölerseniz, her biri bir karpuzun sekizde birini alacaktır. Sekizin bu bir parçasına pay denir.

Herhangi bir değerin ½'sine eşit olan hisseye yarım denir; ⅓ - üçüncü; ¼ - çeyrek. 5/8, 4/5, 2/4 gibi girişlere ortak kesirler denir. Sıradan bir kesir, pay ve paydaya bölünür. Aralarında kesirli bir çizgi veya kesirli bir çizgi var. Kesirli bir çubuk, yatay veya eğik bir çizgi olarak çizilebilir. Bu durumda, bölme işareti anlamına gelir.

Payda, değerin kaç eşit paya bölündüğünü temsil eder; ve pay, kaç eşit payın alındığıdır. Pay, kesir çubuğunun üstüne, payda ise altına yazılır.

Sıradan kesirleri bir koordinat ışını üzerinde göstermek en uygunudur. Tek bir segment 4 eşit parçaya bölünürse, her bir payı belirleyin Latince harf, sonuç mükemmel bir görsel yardım olabilir. Böylece, A noktası tüm birim segmentinin 1/4'üne eşit bir payı gösterir ve B noktası bu segmentin 2/8'ini gösterir.

kesir çeşitleri

Kesirler ortak, ondalık ve karışık sayılardır. Ek olarak, kesirler uygun ve uygunsuz olarak ayrılabilir. Bu sınıflandırma sıradan kesirler için daha uygundur.

Uygun bir kesir, payı bir sayıdır. paydadan daha az. Buna göre, yanlış bir kesir, payı paydadan büyük olan bir sayıdır. İkinci tür genellikle karışık sayı olarak yazılır. Böyle bir ifade bir tamsayı kısmı ve bir kesirli kısımdan oluşur. Örneğin, 1½. bir - Bütün parça, ½ - kesirli. Bununla birlikte, ifadeyle (kesirleri bölme veya çarpma, bunları azaltma veya dönüştürme) bazı manipülasyonlar yapmanız gerekiyorsa, karışık sayı değil olarak çevrilir. uygun kesir.

Doğru bir kesirli ifade her zaman birden küçüktür ve yanlış bir ifade her zaman 1'den büyük veya 1'e eşittir.

Bu ifadeye gelince, herhangi bir sayının temsil edildiği, kesirli ifadenin paydası birkaç sıfırla ifade edilebilen bir kaydı anlarlar. Kesir doğruysa, ondalık gösterimdeki tamsayı kısmı sıfır olacaktır.

Ondalık sayı yazmak için önce tamsayı kısmını yazmanız, kesirden virgülle ayırmanız ve ardından kesirli ifadeyi yazmanız gerekir. Unutulmamalıdır ki, virgülden sonra pay, paydadaki sıfırlar kadar sayısal karakter içermelidir.

Örnek. 7 21 / 1000 kesirini ondalık gösterimde temsil edin.

Uygun olmayan bir kesri karışık sayıya çevirme algoritması ve tersi

Sorunun cevabında yanlış bir kesir yazmak yanlıştır, bu yüzden karışık sayıya dönüştürülmelidir:

• payı mevcut paydaya bölün;
• v özel örnek eksik bölüm - bütün;
• ve kalan, payda değişmeden kalan kesirli kısmın payıdır.

Örnek. Uygun olmayan kesri karışık sayıya dönüştürün: 47 / 5 .

Çözüm. 47: 5. Eksik bölüm 9, kalan = 2. Dolayısıyla, 47/5 = 9 2/5.

Bazen karışık bir sayıyı uygun olmayan bir kesir olarak göstermeniz gerekir. O zaman aşağıdaki algoritmayı kullanmanız gerekir:

• tamsayı kısmı, kesirli ifadenin paydası ile çarpılır;
• elde edilen ürün paya eklenir;
• sonuç payda yazılır, payda değişmeden kalır.

Örnek. Sayıyı karışık biçimde uygun olmayan bir kesir olarak ifade edin: 9 8 / 10 .

Çözüm. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 paydır.

Yanıt vermek: 98 / 10.

Sıradan kesirlerin çarpımı

Adi kesirler üzerinde çeşitli cebirsel işlemler yapabilirsiniz. İki sayıyı çarpmak için pay ile pay ve payda ile paydayı çarpmanız gerekir. Ayrıca paydaları farklı olan kesirlerin çarpımı da üründen farklı değildir. kesirli sayılar aynı paydalarla.

Sonucu bulduktan sonra kesriyi azaltmanız gerekir. Ortaya çıkan ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirmek zorunludur. Elbette cevaptaki yanlış bir kesir hatadır denilemez ama buna doğru cevap demek de zordur.

Örnek. İki sıradan kesrin çarpımını bulun: ½ ve 20/18.

Örnekten de anlaşılacağı gibi, ürün bulunduktan sonra indirgenebilir bir kesir notasyonu elde edilir. Bu durumda hem pay hem de payda 4'e bölünebilir ve sonuç 5 / 9'dur.

Ondalık kesirleri çarpma

Çalışmak ondalık kesirler Prensip olarak sıradan üründen oldukça farklıdır. Yani, kesirleri çarpmak aşağıdaki gibidir:

• iki ondalık kesir, en sağdaki rakamlar alt alta gelecek şekilde birbirinin altına yazılmalıdır;
• yazılan sayıları virgüllere rağmen çarpmanız gerekiyor yani doğal sayılar olarak;
• sayıların her birinde virgülden sonraki basamak sayısını sayın;
• çarpma işleminden sonra elde edilen sonuçta, ondalık noktadan sonra her iki faktörde de toplamda bulunan kadar sağda dijital karakter saymanız ve bir ayırma işareti koymanız gerekir;
• çarpımda daha az rakam varsa, bu sayıyı kapatmak için önlerine çok sayıda sıfır yazılmalı, virgül konulmalı ve sıfıra eşit bir tamsayı bölümü atanmalıdır.

Örnek. İki ondalık basamağın çarpımını hesaplayın: 2.25 ve 3.6.

Çözüm.

Karışık kesirlerin çarpımı

İki çarpımını hesaplamak için karışık kesirler, kesirleri çarpmak için kuralı kullanmanız gerekir:

• karışık sayıları uygun olmayan kesirlere dönüştürmek;
• payların ürününü bulun;
• paydaların çarpımını bulun;
• sonucu yazın;
• ifadeyi mümkün olduğunca basitleştirin.

Örnek. 4½ ve 6 2 / 5'in çarpımını bulunuz.

Bir sayıyı bir kesirle çarpma (bir sayı ile kesirler)

İki kesrin, karışık sayıların çarpımını bulmanın yanı sıra, bir kesirle çarpmanız gereken görevler vardır.

Bu nedenle, bir ondalık kesir ve bir doğal sayının çarpımını bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

• sayıyı kesrin altına en sağdaki rakamlar üst üste gelecek şekilde yazın;
• virgüle rağmen işi bul;
• elde edilen sonuçta, kesirdeki ondalık noktadan sonraki karakter sayısını sağa doğru sayarak, tamsayı kısmı kesirli kısımdan virgül kullanarak ayırın.

Sıradan bir kesri bir sayı ile çarpmak için pay ve doğal çarpanın çarpımını bulmanız gerekir. Cevap indirgenebilir bir kesir ise, dönüştürülmelidir.

Örnek. 5 / 8 ve 12'nin çarpımını hesaplayın.

Çözüm. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Yanıt vermek: 7 1 / 2.

Bir önceki örnekten de görebileceğiniz gibi, ortaya çıkan sonucu küçültmek ve yanlış kesirli ifadeyi karışık bir sayıya dönüştürmek gerekiyordu.

Ayrıca, kesirlerin çarpımı aynı zamanda bir sayının çarpımını karışık biçimde ve doğal bir faktörde bulmak için de geçerlidir. Bu iki sayıyı çarpmak için, karışık çarpanın tamsayı kısmını sayı ile çarpmalı, payı aynı değerle çarpmalı ve paydayı değiştirmeden bırakmalısınız. Gerekirse, sonucu mümkün olduğunca basitleştirmeniz gerekir.

Örnek. 9 5 / 6 ve 9'un çarpımını bulun.

Çözüm. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Yanıt vermek: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 veya 0.1 çarpanları ile çarpma; 0.01; 0.001

Aşağıdaki kural önceki paragraftan itibaren geçerlidir. Bir ondalık kesri 10, 100, 1000, 10000 vb. ile çarpmak için, çarpanda birden sonra sıfır olduğu kadar virgülü sağa kaydırmanız gerekir.

örnek 1. 0.065 ve 1000'in çarpımını bulun.

Çözüm. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

Yanıt vermek: 65.

Örnek 2. 3.9 ve 1000'in çarpımını bulun.

Çözüm. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Yanıt vermek: 3900.

Bir doğal sayı ile 0,1'i çarpmanız gerekirse; 0.01; 0.001; 0.0001, vb., elde edilen üründe virgülü, birden önce sıfır olduğu kadar çok rakam karakteri kadar sola hareket ettirmelisiniz. Gerekirse bir doğal sayının önüne yeterli sayıda sıfır yazılır.

örnek 1. 56 ve 0.01'in çarpımını bulun.

Çözüm. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Yanıt vermek: 0,56.

Örnek 2. 4 ile 0,001'in çarpımını bulun.

Çözüm. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Yanıt vermek: 0,004.

Bu nedenle, çeşitli kesirlerin çarpımını bulmak, belki sonucun hesaplanması dışında zorluklara neden olmamalıdır; Bu durumda, hesap makinesi olmadan yapamazsınız.

Ondalık kesir, tamsayı olmayan sayılar üzerinde işlem yapmanız gerektiğinde kullanılır. Bu mantıksız görünebilir. Ancak bu tür sayılar, onlarla yapılması gereken matematiksel işlemleri büyük ölçüde kolaylaştırır. Bu anlayış zamanla gelir, yazıları tanıdık hale geldiğinde ve okuma zorluklara neden olmaz ve ondalık kesirlerin kurallarına hakim olunur. Ayrıca, doğal sayılarla öğrenilen, zaten bilinen tüm eylemler tekrarlanır. Sadece bazı özellikleri hatırlamanız gerekiyor.

ondalık tanım

Ondalık, paydası 10'a bölünebilen tamsayı olmayan bir sayının özel bir temsilidir ve cevap bir ve muhtemelen sıfırdır. Başka bir deyişle, payda 10, 100, 1000 vb. ise, sayıyı virgül kullanarak yeniden yazmak daha uygundur. Daha sonra tamsayı kısmı ondan önce, sonra da kesirli kısım yer alacaktır. Ayrıca, sayının ikinci yarısının kaydı paydaya bağlı olacaktır. Kesirli kısımda bulunan rakamların sayısı paydaya eşit olmalıdır.

Yukarıdakiler şu sayılarla gösterilebilir:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Ondalık sayıları kullanma nedenleri

Matematikçiler birkaç nedenden dolayı ondalık sayılara ihtiyaç duyuyorlardı:

Kaydı basitleştirin. Böyle bir kesir, payda ve pay arasında bir çizgi olmadan bir satırda bulunurken, netlik zarar görmez.

Karşılaştırmada basitlik. Sıradan kesirlerle onları ortak bir paydaya getirmek zorundayken, aynı konumdaki sayıları ilişkilendirmek yeterlidir.

Hesaplamaların basitleştirilmesi.

Hesap makineleri sıradan kesirleri tanıtmak için tasarlanmamıştır; tüm işlemler için ondalık gösterim kullanırlar.

Bu tür sayılar nasıl doğru okunur?

Cevap basit: paydası 10'un katı olan sıradan bir karışık sayı gibi. Tek istisna, tamsayı değeri olmayan kesirler, o zaman okurken “sıfır tamsayı” demeniz gerekir.

Örneğin, 45/1000 şu şekilde telaffuz edilmelidir: kırk beş binde biri, 0.045 gibi görünecek sıfır noktası kırk beş binde biri.

Tamsayı kısmı 7 ve kesri 17/100 olan ve her iki durumda da 7.17 şeklinde yazılacak olan karışık bir sayı, her iki durumda da şu şekilde okunacaktır: yedi nokta on yedi yüzüncü.

Kesirlerin gösteriminde rakamların rolü

Boşalmayı not etmek doğrudur - matematiğin gerektirdiği budur. Bir rakamı yanlış yere yazarsanız, ondalık sayılar ve anlamları önemli ölçüde değişebilir. Ancak, bu daha önce doğruydu.

Bir ondalık kesrin tamsayı kısmının rakamlarını okumak için bilinen kuralları kullanmanız yeterlidir. doğal sayılar. Ve sağ tarafta yansıtılırlar ve farklı okunurlar. Bütün kısımda "onlar" sesi duyulduysa, ondalık noktadan sonra zaten "ondalık" olacaktır.

Bu, bu tabloda açıkça görülebilir.

Karışık bir sayı ondalık olarak nasıl yazılır?

Payda 10 veya 100'e eşit bir sayı ve diğerleri içeriyorsa, o zaman bir kesrin ondalık sayıya nasıl dönüştürüleceği sorusu basittir. Bunu yapmak için, tüm kurucu parçalarını farklı bir şekilde yeniden yazmak yeterlidir. Aşağıdaki noktalar bu konuda yardımcı olacaktır:

kesrin payını biraz kenara yazın, şu anda ondalık nokta son basamaktan sonra sağda bulunur;

virgülü sola hareket ettirin, buradaki en önemli şey sayıları doğru saymaktır - paydada sıfır olduğu kadar çok pozisyon taşımanız gerekir;

yeterli değilse, boş pozisyonlarda sıfırlar görünmelidir;

payın sonundaki sıfırlara artık ihtiyaç yoktur ve bunların üzeri çizilebilir;

virgülden önce bir tamsayı ekleyin, orada değilse, burada da sıfır görünecektir.

Dikkat. Başka sayılarla çevrili sıfırları geçemezsiniz.

Paydanın yalnızca bir ve sıfırdan oluşan bir sayı içermediği bir durumda nasıl olunacağını, bir kesrinin ondalık sayıya nasıl dönüştürüleceğini okuyabilir, biraz daha aşağıda okuyabilirsiniz. Bu önemli bilgi hangi kesinlikle kontrol etmeye değer.

Payda isteğe bağlı bir sayıysa, bir kesri ondalık basamağa nasıl dönüştürülür?

Burada iki seçenek var:

Payda, herhangi bir kuvvete on olan bir sayı olarak temsil edilebildiğinde.

Böyle bir işlem yapılamıyorsa.

Nasıl kontrol edilir? Paydayı çarpanlara ayırmanız gerekir. Üründe yalnızca 2 ve 5 varsa, her şey yolunda demektir ve kesir kolayca son ondalık basamağa dönüştürülür. Aksi halde 3, 7 ve diğer asal sayılar gelirse sonuç sonsuz olur. Kullanım kolaylığı için böyle bir ondalık kesir matematiksel işlemler yuvarlandı. Bu biraz daha aşağıda tartışılacaktır.

Bu tür ondalık kesirlerin nasıl elde edildiğini incelemek, 5. Sınıf. Örnekler burada çok yardımcı olacaktır.

Paydaların sayıları içermesine izin verin: 40, 24 ve 75. asal faktörler onlar için olacak:

• 40=2 2 2 5;
• 24=2 2 2 3;
• 75=5 5 3.

Bu örneklerde, yalnızca ilk kesir bir son kesir olarak gösterilebilir.

Sıradan bir kesri son ondalık basamağa dönüştürmek için algoritma

Paydanın asal çarpanlara ayrılmasını kontrol edin ve 2 ve 5'ten oluşacağından emin olun.

Bu sayılara o kadar çok 2 ve 5 ekleyin ki eşit sayı olsunlar. Ek çarpanın değerini verecekler.

Bu sayı ile paydayı ve payı çarpın. Sonuç, çizginin altında bir dereceye kadar 10 olan sıradan bir kesirdir.

Görevde bu eylemler karışık bir sayı ile gerçekleştirilirse, önce uygunsuz bir kesir olarak temsil edilmelidir. Ve ancak o zaman açıklanan senaryoya göre hareket edin.

Ortak bir kesrin yuvarlatılmış ondalık sayı olarak gösterilmesi

Bir kesri ondalık sayıya çevirmenin bu yolu, birisine daha da kolay gelecektir. Çünkü çok fazla aksiyon yok. Sadece payı paydaya bölmeniz gerekir.

Ondalık noktanın sağında ondalık kısmı olan herhangi bir sayıya sonsuz sayıda sıfır atanabilir. Bu özellik kullanılmalıdır.

İlk önce, tüm kısmı yazın ve ardından virgül koyun. Kesir doğruysa sıfır yazın.

Daha sonra payın paydaya bölünmesi gerekir. Böylece aynı sayıda rakama sahip olurlar. Yani, payın sağına ata doğru miktar sıfırlar.

Gerekli sayıda basamak çevrilene kadar bir sütunda bölme işlemini gerçekleştirin. Örneğin, yüzde bire yuvarlamanız gerekiyorsa, cevapta 3 tane olmalı, genel olarak, sonunda almanız gerekenden bir basamak fazla olmalıdır.

Ara cevabı ondalık noktadan sonra kaydedin ve kurallara göre yuvarlayın. Son rakam 0'dan 4'e kadar ise, o zaman sadece onu atmanız gerekir. Ve 5-9'a eşit olduğunda, önündeki sonuncusu atılarak birer birer artırılmalıdır.

Ondalıktan normale dönüş

Matematikte, ondalık kesirleri paydalı bir payın olduğu sıradan kesirler biçiminde temsil etmenin daha uygun olduğu sorunlar vardır. Rahat bir nefes alabilirsiniz: bu işlem her zaman mümkündür.

Bu prosedür için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

tamsayı kısmını yazın, eğer sıfıra eşitse, hiçbir şey yazılmasına gerek yoktur;

kesirli bir çizgi çizin;

üstüne, sayıları sağ taraftan yazın, ilki sıfırsa, o zaman üzeri çizilmelidir;

satırın altına, orijinal kesirdeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısı kadar sıfır içeren bir birim yazın.

Bir ondalık basamağı ortak bir kesire dönüştürmek için yapmanız gereken tek şey bu.

Ondalık sayılarla ne yapabilirsiniz?

Matematikte bu, daha önce diğer sayılar için gerçekleştirilen ondalık kesirli belirli eylemler olacaktır.

Onlar:

karşılaştırmak;

toplama ve çıkarma;

Çarpma ve bölme.

İlk eylem, karşılaştırma, doğal sayılar için nasıl yapıldığına benzer. Hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için tamsayı bölümünün rakamlarını karşılaştırmanız gerekir. Eşit oldukları ortaya çıkarsa, kesirli olana geçerler ve aynı şekilde rakamlarla karşılaştırırlar. En büyük sırada en büyük rakama sahip olan sayı cevap olacaktır.

Ondalık sayıları toplama ve çıkarma

Bu belki de en basit adımlar. Çünkü doğal sayılar kurallarına göre yapılırlar.



Bu nedenle, ondalık kesirler eklemek için, bir sütuna virgül koyarak alt alta yazılması gerekir. Böyle bir kayıtla, tamsayı kısımlar virgüllerin solunda ve kesirli kısımlar sağda görünür. Ve şimdi, doğal sayılarda olduğu gibi, virgülü aşağı kaydırarak sayıları azar azar eklemeniz gerekiyor. Sayının kesirli kısmının en küçük basamağından toplamaya başlamanız gerekir. Sağ yarıda yeterli sayı yoksa, sıfır ekleyin.

Çıkarma aynı şekilde çalışır. Ve burada, en yüksek rakamdan bir birim alma olasılığını tanımlayan kural geçerlidir. İndirgenmiş kesir, ondalık noktadan sonra çıkandan daha az basamağa sahipse, o zaman ona sıfırlar atanır.

Ondalık kesirleri çarpma ve bölme işlemlerini gerçekleştirmeniz gereken görevlerle durum biraz daha karmaşıktır.

Farklı örneklerde ondalık sayı nasıl çarpılır?

Ondalık kesirleri bir doğal sayı ile çarpma kuralı aşağıdaki gibidir:

bunları virgülden kaçınarak bir sütuna yazın;

doğalmış gibi çoğalın;

orijinal sayının kesirli kısmında olduğu kadar virgülle ayırın.

Özel bir durum, bir doğal sayının herhangi bir kuvvete 10'a eşit olduğu bir örnektir. Ardından, bir cevap almak için virgülü başka bir faktörde sıfır olduğu kadar sağa kaydırmanız yeterlidir. Başka bir deyişle, 10 ile çarparken, virgül bir basamak, 100 ile kayar - iki tane olacak vb. Kesirli kısımda yeterli rakam yoksa, boş pozisyonlara sıfır yazmanız gerekir.

Görevde ondalık kesirleri aynı sayıdan başka bir kesirle çarpmanız gerektiğinde kullanılan kural:

virgüllere aldırmadan alt alta yazın;

doğal sayılarmış gibi çarpın;

her iki orijinal kesrin birlikte kesirli kısımlarında olduğu kadar basamaklı virgülle ayırın.

Özel bir durum olarak, faktörlerden birinin 0,1 veya 0,01'e eşit olduğu vb. örnekler ayırt edilir. Onlarda, virgülü sunulan faktörlerdeki basamak sayısına göre sola taşımanız gerekir. Yani 0,1 ile çarpılırsa virgül bir pozisyon kaydırılır.

Ondalık kesir farklı görevlere nasıl bölünür?

Ondalık kesirlerin bir doğal sayıya bölünmesi aşağıdaki kurala göre yapılır:

onları doğalmış gibi bir sütuna bölmek için yazın;

tüm kısım bitene kadar olağan kurala göre bölün;

cevaba virgül koyun;

kalan sıfır olana kadar kesirli bileşeni bölmeye devam edin;

gerekirse, gerekli sayıda sıfır atayabilirsiniz.

Tamsayı kısmı sıfıra eşitse, cevapta da olmayacaktır.

Ayrı olarak, on, yüz vb. sayılara eşit bir bölme vardır. Bu tür problemlerde bölendeki sıfır sayısı kadar virgülü sola kaydırmanız gerekir. Tamsayı kısmında yeterli rakam olmadığında, bunun yerine sıfırlar kullanılır. Bu işlemin 0,1 ve benzeri sayılarla çarpma işlemine benzediği görülmektedir.

Ondalık sayıları bölmek için bu kuralı kullanmanız gerekir:

böleni doğal bir sayıya çevirin ve bunu yapmak için içindeki virgülü sonuna kadar sağa hareket ettirin;

virgül ve bölünebilenleri aynı sayıda basamakla hareket ettirin;

önceki senaryoyu takip edin.

0.1'e bölme vurgulanır; 0.01 ve diğer benzer sayılar. Bu tür örneklerde virgül, kesirli kısımdaki basamak sayısı kadar sağa kaydırılır. Bittilerse, eksik olan sıfır sayısını atamanız gerekir. Bu eylemin 10 ve benzeri sayılarla bölme işlemini tekrarladığını belirtmekte fayda var.



Sonuç: her şey pratikle ilgili

Öğrenmede hiçbir şey kolay veya zahmetsiz değildir. Yeni malzemede güvenilir bir şekilde ustalaşmak zaman ve pratik gerektirir. Matematik bir istisna değildir.

Ondalık kesirler konusunun zorluklara neden olmaması için, onlarla mümkün olduğunca çok örnek çözmeniz gerekir. Ne de olsa, doğal sayıların eklenmesinin kafa karıştırıcı olduğu bir zaman vardı. Ve şimdi her şey yolunda.

Bu nedenle, iyi bilinen bir cümleyi yeniden ifade etmek için: karar verin, karar verin ve tekrar karar verin. Daha sonra, bu tür sayılara sahip görevler, başka bir bulmaca gibi, kolay ve doğal bir şekilde gerçekleştirilecektir.

Bu arada, bulmacaları ilk başta çözmek zordur ve daha sonra olağan hareketleri yapmanız gerekir. Aynı şey matematiksel örnekler için de geçerlidir: aynı yoldan birkaç kez gittikten sonra artık nereye döneceğinizi düşünmezsiniz.

Ondalık kesirlerle bir sonraki eylemi incelemeye devam edelim, şimdi kapsamlı bir şekilde ele alacağız ondalık sayıları çarpma. önce tartışalım Genel İlkeler ondalık sayıları çarpma. Bundan sonra, ondalık kesri bir ondalık kesir ile çarpmaya geçelim, ondalık kesirlerin bir sütunla çarpmasının nasıl yapıldığını gösterelim, örneklerin çözümlerini ele alalım. Daha sonra, ondalık kesirlerin doğal sayılarla, özellikle 10, 100 vb. ile çarpımını analiz edeceğiz. Sonuç olarak, ondalık kesirleri sıradan kesirler ve karışık sayılarla çarpma hakkında konuşalım.

Hemen diyelim ki, bu yazıda sadece pozitif ondalık kesirleri çarpma hakkında konuşacağız (bakınız pozitif ve negatif sayılar). Kalan durumlar, rasyonel sayıların çarpımı makalelerinde analiz edilir ve gerçek sayıların çarpımı.

Sayfa gezintisi.

Ondalık sayıları çarpmanın genel ilkeleri

Ondalık kesirlerle çarpma işlemi yapılırken uyulması gereken genel ilkelerden bahsedelim.

Sonlu ondalık sayılar ve sonsuz periyodik kesirler, sıradan kesirlerin ondalık biçimi olduğundan, bu tür ondalık kesirlerin çarpımı esasen sıradan kesirlerin çarpımıdır. Başka bir deyişle, son ondalık sayıların çarpımı, son ve periyodik ondalık kesirlerin çarpımı, birlikte periyodik ondalık sayıları çarpma ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürdükten sonra sıradan kesirleri çarpmaya gelir.

Ondalık kesirleri çarpmanın sesli ilkesinin uygulama örneklerini düşünün.

Örnek.

1.5 ve 0.75 ondalık sayıların çarpımını gerçekleştirin.

Çözüm.

Çarpılmış ondalık kesirleri karşılık gelen sıradan kesirlerle değiştirelim. 1.5=15/10 ve 0.75=75/100 olduğuna göre . Kesri azaltabilir ve ardından uygun olmayan kesirden tüm parçayı seçebilirsiniz ve elde edilen sıradan kesir 1 125/1000'i ondalık kesir 1.125 olarak yazmak daha uygundur.

Yanıt vermek:

1.5 0.75=1.125.

Son ondalık kesirleri bir sütunda çarpmanın uygun olduğuna dikkat edilmelidir, bu ondalık kesirleri çarpma yönteminden bahsedeceğiz.

Periyodik ondalık kesirleri çarpmanın bir örneğini düşünün.

Örnek.

0,(3) ve 2,(36) periyodik ondalık sayıların çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Periyodik ondalık kesirleri sıradan kesirlere çevirelim:

O zamanlar . Elde edilen sıradan kesri ondalık kesre dönüştürebilirsiniz:

Yanıt vermek:

0,(3) 2,(36)=0,(78) .

Çarpılan ondalık kesirler arasında sonsuz periyodik olmayan kesirler varsa, sonlu ve periyodik olanlar da dahil olmak üzere tüm çarpılmış kesirler belirli bir basamağa yuvarlanmalıdır (bkz. yuvarlama sayıları) ve ardından yuvarlamadan sonra elde edilen son ondalık kesirlerin çarpımını gerçekleştirin.

Örnek.

Ondalık sayıları 5,382… ve 0,2 ile çarpın.

Çözüm.

İlk olarak, periyodik olmayan sonsuz bir ondalık kesri yuvarlarız, yüzüncülere yuvarlama yapılabilir, elimizde 5,382 ... ≈5,38 var. Son ondalık kesir 0.2'nin yüzde bire yuvarlanması gerekmez. Böylece, 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Son ondalık kesirlerin çarpımını hesaplamak için kalır: 5.38 0.2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1.076/1.000 \u003d 1.076.

Yanıt vermek:

5,382… 0,2≈1,076.

Bir sütunla ondalık kesirlerin çarpımı

Sondaki ondalık sayıların çarpımı, doğal sayıların sütun çarpımına benzer şekilde bir sütunla yapılabilir.

formüle edelim ondalık kesirler için çarpma kuralı. Ondalık kesirleri bir sütunla çarpmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

• virgülleri yok sayarak, doğal sayılar sütunuyla çarpmanın tüm kurallarına göre çarpma işlemini gerçekleştirin;
• ortaya çıkan sayıda, her iki faktörde de ondalık basamaklar bir arada olduğu için sağdaki rakam kadar rakamı bir ondalık nokta ile ayırın ve çarpımda yeterli rakam yoksa sola gerekli sayıda sıfır eklenmelidir.

Ondalık kesirleri bir sütunla çarpma örneklerini düşünün.

Örnek.

63.37 ve 0.12 ondalık sayıları çarpın.

Çözüm.

Ondalık kesirlerin bir sütunla çarpmasını yapalım. İlk olarak, virgülleri yok sayarak sayıları çarpıyoruz:

Ortaya çıkan ürüne virgül koymak için kalır. Faktörlerde dört ondalık basamak olduğu için sağda 4 basamağı ayırması gerekiyor (ikisi 3.37 kesirinde ve ikisi 0.12 kesirinde). Orada yeterince sayı var, bu yüzden sola sıfır eklemenize gerek yok. Kaydı bitirelim:

Sonuç olarak 3,37 0,12 = 7,6044 elde ederiz.

Yanıt vermek:

3.37 0.12=7.6044.

Örnek.

3.2601 ve 0.0254 ondalık sayıların çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Virgülleri hesaba katmadan bir sütunla çarpma işlemini gerçekleştirdikten sonra aşağıdaki resmi elde ederiz:

Şimdi üründe, çarpılan kesirlerin toplam ondalık basamak sayısı sekiz olduğundan, sağdaki 8 basamağı virgülle ayırmanız gerekiyor. Ancak üründe sadece 7 rakam var, bu nedenle, 8 rakamın virgülle ayrılabilmesi için sola çok sayıda sıfır atamanız gerekiyor. Bizim durumumuzda iki sıfır atamamız gerekiyor:

Bu, ondalık kesirlerin bir sütunla çarpılmasını tamamlar.

Yanıt vermek:

3.2601 0.0254=0.08280654 .

Ondalık sayıları 0,1, 0,01 vb. ile çarpma

Çoğu zaman ondalık sayıları 0,1, 0,01 vb. ile çarpmanız gerekir. Bu nedenle, yukarıda tartışılan ondalık kesirleri çarpma ilkelerinden yola çıkarak, ondalık kesri bu sayılarla çarpmak için bir kural formüle etmeniz önerilir.

Böyle, belirli bir ondalık sayıyı 0.1, 0.01, 0.001 ile çarpma vb. orijinalinden elde edilen bir kesir verir, girişinde virgül sırasıyla 1, 2, 3 ve benzeri rakamlarla sola taşınırsa ve virgül taşımak için yeterli basamak yoksa, ihtiyacınız var sola gerekli sayıda sıfır eklemek için.

Örneğin, 54.34 ondalık kesirini 0.1 ile çarpmak için, ondalık noktayı 54.34 kesirinde 1 basamak sola hareket ettirmeniz gerekir ve 5.434 kesirini, yani 54.34 0.1 \u003d 5.434'ü elde edersiniz. Başka bir örnek alalım. Ondalık kesri 9.3'ü 0.0001 ile çarpın. Bunu yapmak için, çarpılan ondalık kesir 9.3'te virgül 4 haneyi sola kaydırmamız gerekiyor, ancak 9.3 kesirinin kaydı böyle bir sayıda karakter içermiyor. Bu nedenle, virgülü 4 haneye kolayca aktarabilmemiz için soldaki 9.3 fraksiyonunun kaydına ne kadar sıfır eklememiz gerekiyor, 9.3 0.0001 \u003d 0.00093 var.

Ondalık kesri 0.1, 0.01, ... ile çarpmak için duyurulan kuralın sonsuz ondalık kesirler için de geçerli olduğuna dikkat edin. Örneğin, 0,(18) 0.01=0.00(18) veya 93.938… 0.1=9.3938… .

Bir doğal sayı ile ondalık sayıyı çarpma

Onun çekirdeğinde ondalık sayıları doğal sayılarla çarpma ondalık sayıyı ondalık sayı ile çarpmaktan farklı değildir.

Sonlu bir ondalık kesri doğal bir sayı ile bir sütunla çarpmak en uygunudur, ancak önceki paragraflardan birinde tartışılan bir ondalık kesir sütunu ile çarpma kurallarına uymalısınız.

Örnek.

Ürünü hesaplayın 15 2.27 .

Çözüm.

Bir sütunda bir doğal sayının bir ondalık kesir ile çarpmasını yapalım:

Yanıt vermek:

15 2.27=34.05.

Periyodik bir ondalık kesri doğal bir sayı ile çarparken, periyodik kesir sıradan bir kesir ile değiştirilmelidir.

Örnek.

0,(42) ondalık kesirini 22 doğal sayısı ile çarpın.

Çözüm.

İlk olarak, periyodik ondalık sayıyı ortak bir kesire çevirelim:

Şimdi çarpma işlemini yapalım: . Bu ondalık sonuç 9,(3)'tür.

Yanıt vermek:

0,(42) 22=9,(3) .

Ve periyodik olmayan sonsuz bir ondalık kesri doğal bir sayı ile çarparken, önce onu yuvarlamalısınız.

Örnek.

Çarpma işlemini yapın 4 2.145….

Çözüm.

Orijinal sonsuz ondalık kesri yüzde bire yuvarlayarak, bir doğal sayı ile son bir ondalık kesrin çarpımına geleceğiz. 4 2.145…≈4 2.15=8.60 var.

Yanıt vermek:

4 2.145…≈8.60.

Bir ondalık sayıyı 10, 100 ile çarpmak, ...

Oldukça sık, ondalık kesirleri 10, 100 ile çarpmanız gerekir ... Bu nedenle, bu davalar üzerinde ayrıntılı olarak durmanız tavsiye edilir.

ses verelim ondalık sayıyı 10, 100, 1.000 vb. ile çarpma kuralı. Girişinde bir ondalık kesri 10, 100, ... ile çarparken, virgülü sırasıyla 1, 2, 3, ... rakamlarla sağa kaydırmanız ve soldaki fazladan sıfırları atmanız gerekir; Çarpılan kesrin kaydında virgül aktarmak için yeterli basamak yoksa, gerekli sayıda sıfırı sağa eklemeniz gerekir.

Örnek.

0,0783'ü 100 ile çarpın.

Çözüm.

İki basamaklı 0.0783 kesirini sağdan kayda aktaralım ve 007.83 elde ederiz. Sola iki sıfır bırakarak, 7.38 ondalık kesri elde ederiz. Böylece, 0.0783 100=7.83.

Yanıt vermek:

0.0783 100=7.83.

Örnek.

Ondalık kesri 0.02 ile 10.000 ile çarpın.

Çözüm.

0.02 ile 10.000'i çarpmak için virgül 4 hanesini sağa kaydırmamız gerekir. Açıkçası, 0.02 kesrinin kaydında virgülü 4 basamağa aktarmak için yeterli basamak yok, bu yüzden virgülün aktarılabilmesi için sağa birkaç sıfır ekleyeceğiz. Örneğimizde üç tane sıfır eklememiz yeterli, elimizde 0.02000 var. Virgülü taşıdıktan sonra 00200.0 girişini alıyoruz. Soldaki sıfırları bırakarak, 200 doğal sayısına eşit olan 200.0 sayısını elde ederiz, 0.02 ondalık kesrinin 10.000 ile çarpılmasının sonucudur.

ondalık çarpmaüç aşamada gerçekleşir.

Ondalık sayılar bir sütuna yazılır ve normal sayılar olarak çarpılır.

İlk ondalık ve ikinci ondalık basamak sayısını sayarız. Numaralarını ekliyoruz.

Elde edilen sonuçta yukarıdaki paragrafta çıkan rakamları sağdan sola doğru sayar ve virgül koyarız.

Ondalık sayılar nasıl çarpılır

Ondalık kesirleri bir sütuna yazıp virgülleri yok sayarak doğal sayılar olarak çarpıyoruz. Yani 3.11'i 311 ve 0.01'i 1 olarak kabul ediyoruz.

311 alındı. Şimdi her iki kesir için ondalık noktadan sonraki işaretlerin (rakamların) sayısını sayıyoruz. İlk ondalık iki basamaklıdır ve ikinci ondalık iki basamaklıdır. Virgülden sonraki toplam basamak sayısı:

Ortaya çıkan sayının 4 karakterini (sayı) sağdan sola sayıyoruz. Sonuçta virgülle ayırmanız gerekenden daha az rakam var. Bu durumda, ihtiyacınız ayrıldı eksik sıfır sayısını atayın.

Bir rakamı kaçırıyoruz, bu yüzden sola bir sıfır atıyoruz.

Herhangi bir ondalık kesri çarparken 10'da; yüz; 1000 vb. ondalık nokta, birden sonra sıfır olan basamak sayısı kadar sağa doğru hareket eder.

Bir ondalık sayıyı 0.1 ile çarpmak için; 0.01; 0.001 vb., bu kesirde virgülü ünitenin önünde sıfır olduğu kadar basamak sola kaydırmak gerekir.

Sıfır tamsayı sayıyoruz!

• 12 0.1 = 1.2
• 0,05 0,1 = 0,005
• 1.256 0.01 = 0.012 56

Ondalık sayıların nasıl çarpılacağını anlamak için belirli örneklere bakalım.

ondalık çarpma kuralı

1) Virgüle aldırmadan çarpıyoruz.

2) Sonuç olarak, her iki faktörde birlikte virgülden sonra ne kadar rakam varsa virgülden sonra ayırıyoruz.

Ondalık sayıların ürününü bulun:

Ondalık sayıları çarpmak için virgüllere dikkat etmeden çarpıyoruz. Yani 6.8 ile 3.4'ü değil, 68 ile 34'ü çarpıyoruz. Sonuç olarak her iki çarpanda da virgülden sonra ne kadar rakam varsa o kadar virgülden sonra basamağı ayırıyoruz. İlk çarpanda ondalık noktadan sonra bir rakam var, ikincisinde de bir tane var. Toplamda, ondalık noktadan sonra iki basamağı ayırdık ve böylece son cevabı aldık: 6.8∙3.4=23.12.

Virgül dikkate alınmadan ondalık sayıları çarpma. Yani aslında 36,85 ile 1,14'ü çarpmak yerine 3685'i 14 ile çarpıyoruz. 51590 elde ediyoruz. Şimdi bu sonuçta her iki çarpanın bir arada olduğu kadar rakamı virgülle ayırmamız gerekiyor. İlk sayının ondalık noktasından sonra iki hanesi vardır, ikincisinde bir tane vardır. Toplamda üç rakamı virgülle ayırıyoruz. Ondalık noktadan sonra girişin sonunda sıfır olduğu için cevap olarak yazmıyoruz: 36.85∙1.4=51.59.

Bu ondalık sayıları çarpmak için virgüllere dikkat etmeden sayıları çarpıyoruz. Yani, 2315 ve 7 doğal sayılarını çarpıyoruz. 16205 elde ediyoruz. Bu sayıda, ondalık noktadan sonra dört basamak ayrılmalıdır - her iki faktörde birlikte olduğu kadar (her birinde iki tane). Son cevap: 23.15∙0.07=1.6205.

Bir doğal sayı ile ondalık kesri çarpma işlemi aynı şekilde yapılır. Virgüle dikkat etmeden sayıları çarpıyoruz yani 75 ile 16'yı çarpıyoruz. Elde edilen sonuçta virgülden sonra her iki faktörde bir arada ne kadar işaret varsa o kadar işaret olmalı - bir. Böylece 75∙1.6=120.0=120 olur.

Virgüllere dikkat etmediğimiz için, doğal sayıları çarparak ondalık kesirleri çarpmaya başlarız. Bundan sonra, virgülden sonra her iki faktörde birlikte olduğu kadar rakamı ayırırız. İlk sayının iki ondalık basamağı, ikincisinin iki ondalık basamağı vardır. Sonuç olarak, ondalık noktadan sonra toplamda dört basamak olmalıdır: 4.72∙5.04=23.7888.

Ve ondalık kesirleri çarpmak için birkaç örnek daha:

www.for6cl.uznateshe.ru

Ondalık kesirlerin çarpımı, kurallar, örnekler, çözümler.

hadi çalışmaya gidelim Sonraki eylem ondalık sayılarla, şimdi kapsamlı bir göz atacağız ondalık sayıları çarpma. İlk olarak, ondalık kesirleri çarpmanın genel ilkelerini tartışalım. Bundan sonra, ondalık kesri bir ondalık kesir ile çarpmaya geçelim, ondalık kesirlerin bir sütunla çarpmasının nasıl yapıldığını gösterelim, örneklerin çözümlerini ele alalım. Daha sonra, ondalık kesirlerin doğal sayılarla, özellikle 10, 100 vb. ile çarpımını analiz edeceğiz. Sonuç olarak, ondalık kesirleri sıradan kesirler ve karışık sayılarla çarpma hakkında konuşalım.

Hemen diyelim ki, bu yazıda sadece pozitif ondalık kesirleri çarpma hakkında konuşacağız (bkz. pozitif ve negatif sayılar). Kalan durumlar, rasyonel sayıların çarpımı makalelerinde analiz edilir ve gerçek sayıların çarpımı.

Sayfa gezintisi.

Ondalık sayıları çarpmanın genel ilkeleri

Ondalık kesirlerle çarpma işlemi yapılırken uyulması gereken genel ilkelerden bahsedelim.

Sondaki ondalık sayılar ve sonsuz periyodik kesirler, ortak kesirlerin ondalık biçimi olduğundan, bu tür ondalık sayıların çarpılması, esasen ortak kesirlerin çarpılmasıdır. Başka bir deyişle, son ondalık sayıların çarpımı, son ve periyodik ondalık kesirlerin çarpımı, birlikte periyodik ondalık sayıları çarpma ondalık kesirleri sıradan kesirlere dönüştürdükten sonra sıradan kesirleri çarpmaya gelir.

Ondalık kesirleri çarpmanın sesli ilkesinin uygulama örneklerini düşünün.

1.5 ve 0.75 ondalık sayıların çarpımını gerçekleştirin.

Çarpılmış ondalık kesirleri karşılık gelen sıradan kesirlerle değiştirelim. 1.5=15/10 ve 0.75=75/100 olduğuna göre. Kesri azaltabilir ve ardından uygun olmayan kesirden tüm parçayı seçebilirsiniz ve elde edilen sıradan kesir 1 125/1000'i ondalık kesir 1.125 olarak yazmak daha uygundur.

Bir sütundaki son ondalık kesirleri çarpmanın uygun olduğuna dikkat edilmelidir, bir sonraki paragrafta bu ondalık kesirleri çarpma yönteminden bahsedeceğiz.

Periyodik ondalık kesirleri çarpmanın bir örneğini düşünün.

0,(3) ve 2,(36) periyodik ondalık sayıların çarpımını hesaplayın.

Periyodik ondalık kesirleri sıradan kesirlere çevirelim:

O zamanlar. Elde edilen sıradan kesri ondalık kesre dönüştürebilirsiniz:


Çarpılan ondalık kesirler arasında sonsuz periyodik olmayan kesirler varsa, sonlu ve periyodik olanlar da dahil olmak üzere tüm çarpılmış kesirler belirli bir basamağa yuvarlanmalıdır (bkz. yuvarlama sayıları) ve ardından yuvarlamadan sonra elde edilen son ondalık kesirlerin çarpımını gerçekleştirin.

Ondalık sayıları 5,382… ve 0,2 ile çarpın.

İlk olarak, periyodik olmayan sonsuz bir ondalık kesri yuvarlarız, yüzüncülere yuvarlama yapılabilir, elimizde 5,382 ... ≈5,38 var. Son ondalık kesir 0.2'nin yüzde bire yuvarlanması gerekmez. Böylece, 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Son ondalık kesirlerin çarpımını hesaplamak için kalır: 5.38 0.2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1.076/1.000 \u003d 1.076.

Bir sütunla ondalık kesirlerin çarpımı

Sonlu ondalık kesirlerin çarpımı, doğal sayılar sütunuyla çarpmaya benzer şekilde bir sütunla yapılabilir.

formüle edelim ondalık kesirler için çarpma kuralı. Ondalık kesirleri bir sütunla çarpmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

• virgülleri yok sayarak, doğal sayılar sütunuyla çarpmanın tüm kurallarına göre çarpma işlemini gerçekleştirin;
• ortaya çıkan sayıda, her iki faktörde de ondalık basamaklar bir arada olduğu için sağdaki rakam kadar rakamı bir ondalık nokta ile ayırın ve çarpımda yeterli rakam yoksa sola gerekli sayıda sıfır eklenmelidir.

Ondalık kesirleri bir sütunla çarpma örneklerini düşünün.

63.37 ve 0.12 ondalık sayıları çarpın.

Ondalık kesirlerin bir sütunla çarpmasını yapalım. İlk olarak, virgülleri yok sayarak sayıları çarpıyoruz:


Ortaya çıkan ürüne virgül koymak için kalır. Faktörlerde dört ondalık basamak olduğu için sağda 4 basamağı ayırması gerekiyor (ikisi 3.37 kesirinde ve ikisi 0.12 kesirinde). Orada yeterince sayı var, bu yüzden sola sıfır eklemenize gerek yok. Kaydı bitirelim:


Sonuç olarak 3,37 0,12 = 7,6044 elde ederiz.

3.2601 ve 0.0254 ondalık sayıların çarpımını hesaplayın.

Virgülleri hesaba katmadan bir sütunla çarpma işlemini gerçekleştirdikten sonra aşağıdaki resmi elde ederiz:


Şimdi üründe, çarpılan kesirlerin toplam ondalık basamak sayısı sekiz olduğundan, sağdaki 8 basamağı virgülle ayırmanız gerekiyor. Ancak üründe sadece 7 rakam var, bu nedenle, 8 rakamın virgülle ayrılabilmesi için sola çok sayıda sıfır atamanız gerekiyor. Bizim durumumuzda iki sıfır atamamız gerekiyor:


Bu, ondalık kesirlerin bir sütunla çarpılmasını tamamlar.

Ondalık sayıları 0,1, 0,01 vb. ile çarpma

Çoğu zaman ondalık sayıları 0,1, 0,01 vb. ile çarpmanız gerekir. Bu nedenle, yukarıda tartışılan ondalık kesirleri çarpma ilkelerinden yola çıkarak, ondalık kesri bu sayılarla çarpmak için bir kural formüle etmeniz önerilir.

Böyle, belirli bir ondalık sayıyı 0.1, 0.01, 0.001 ile çarpma vb. orijinalinden elde edilen bir kesir verir, girişinde virgül sırasıyla 1, 2, 3 ve benzeri rakamlarla sola taşınırsa ve virgül taşımak için yeterli basamak yoksa, ihtiyacınız var sola gerekli sayıda sıfır eklemek için.

Örneğin, 54.34 ondalık kesirini 0.1 ile çarpmak için, ondalık noktayı 54.34 kesirinde 1 basamak sola hareket ettirmeniz gerekir ve 5.434 kesirini, yani 54.34 0.1 \u003d 5.434'ü elde edersiniz. Başka bir örnek alalım. Ondalık kesri 9.3'ü 0.0001 ile çarpın. Bunu yapmak için, çarpılan ondalık kesir 9.3'te virgül 4 haneyi sola kaydırmamız gerekiyor, ancak 9.3 kesirinin kaydı böyle bir sayıda karakter içermiyor. Bu nedenle, virgülü 4 haneye kolayca aktarabilmemiz için soldaki 9.3 fraksiyonunun kaydına ne kadar sıfır eklememiz gerekiyor, 9.3 0.0001 \u003d 0.00093 var.

Ondalık kesri 0.1, 0.01, ... ile çarpmak için duyurulan kuralın sonsuz ondalık kesirler için de geçerli olduğuna dikkat edin. Örneğin, 0,(18) 0.01=0.00(18) veya 93.938… 0.1=9.3938… .

Bir doğal sayı ile ondalık sayıyı çarpma

Onun çekirdeğinde ondalık sayıları doğal sayılarla çarpma ondalık sayıyı ondalık sayı ile çarpmaktan farklı değildir.

Sonlu bir ondalık kesri doğal bir sayı ile bir sütunla çarpmak en uygunudur, ancak önceki paragraflardan birinde tartışılan bir ondalık kesir sütunu ile çarpma kurallarına uymalısınız.

Ürünü hesaplayın 15 2.27 .

Bir sütunda bir doğal sayının bir ondalık kesir ile çarpmasını yapalım:


Periyodik bir ondalık kesri doğal bir sayı ile çarparken, periyodik kesir sıradan bir kesir ile değiştirilmelidir.

0,(42) ondalık kesirini 22 doğal sayısı ile çarpın.

İlk olarak, periyodik ondalık sayıyı ortak bir kesire çevirelim:

Şimdi çarpma işlemini yapalım: . Bu ondalık sonuç 9,(3)'tür.

Ve periyodik olmayan sonsuz bir ondalık kesri doğal bir sayı ile çarparken, önce onu yuvarlamalısınız.

Çarpma işlemini yapın 4 2.145….

Orijinal sonsuz ondalık kesri yüzde bire yuvarlayarak, bir doğal sayı ile son bir ondalık kesrin çarpımına geleceğiz. 4 2.145…≈4 2.15=8.60 var.

Bir ondalık sayıyı 10, 100 ile çarpmak, ...

Oldukça sık, ondalık kesirleri 10, 100 ile çarpmanız gerekir ... Bu nedenle, bu davalar üzerinde ayrıntılı olarak durmanız tavsiye edilir.

ses verelim ondalık sayıyı 10, 100, 1.000 vb. ile çarpma kuralı. Bir ondalık kesri girişinde 10, 100, ... ile çarparken, virgülü sırasıyla 1, 2, 3, ... rakamlarla sağa kaydırmanız ve soldaki fazladan sıfırları atmanız gerekir; Çarpılan kesrin kaydında virgül aktarmak için yeterli basamak yoksa, gerekli sayıda sıfırı sağa eklemeniz gerekir.

0,0783'ü 100 ile çarpın.

İki basamaklı 0.0783 kesirini sağdan kayda aktaralım ve 007.83 elde ederiz. Sola iki sıfır bırakarak, 7.38 ondalık kesri elde ederiz. Böylece, 0.0783 100=7.83.

Ondalık kesri 0.02 ile 10.000 ile çarpın.

0.02 ile 10.000'i çarpmak için virgül 4 hanesini sağa kaydırmamız gerekir. Açıkçası, 0.02 kesrinin kaydında virgülü 4 basamağa aktarmak için yeterli basamak yok, bu yüzden virgülün aktarılabilmesi için sağa birkaç sıfır ekleyeceğiz. Örneğimizde üç tane sıfır eklememiz yeterli, elimizde 0.02000 var. Virgülü taşıdıktan sonra 00200.0 girişini alıyoruz. Soldaki sıfırları bırakarak, 0,02 ondalık kesrinin 10.000 ile çarpılmasının sonucu olan 200 doğal sayısına eşit olan 200.0 sayısını elde ederiz.

Sonsuz ondalık kesirleri 10, 100, ... ile çarpmak için de belirtilen kural geçerlidir... Periyodik ondalık kesirleri çarparken çarpma sonucu oluşan kesrin periyoduna dikkat etmek gerekir.

Periyodik ondalık sayıyı 5,32(672) 1000 ile çarpın.

Çarpma işleminden önce periyodik ondalık kesri 5.32672672672 olarak yazıyoruz ..., bu hatalardan kaçınmamızı sağlayacaktır. Şimdi virgülü 3 basamak sağa kaydıralım, elimizde 5 326.726726 var... Böylece çarpma işleminden sonra periyodik bir ondalık kesir elde edilir 5 326, (726) .

5.32(672) 1000=5326,(726) .

Periyodik olmayan sonsuz kesirleri 10, 100, ... ile çarparken, önce sonsuz kesri belirli bir basamağa yuvarlamalı ve ardından çarpma işlemini gerçekleştirmelisiniz.

Ondalık Sayıyı Ortak Bir Kesir veya Karışık Sayı ile Çarpma

Sonlu bir ondalık kesri veya sonsuz bir periyodik ondalık kesiri sıradan bir kesir veya karışık bir sayı ile çarpmak için, ondalık kesri formda temsil etmeniz gerekir. ortak kesir ve sonra çarpma işlemini yapın.

Ondalık kesri 0.4'ü karışık sayı ile çarpın.

0.4=4/10=2/5 olduğundan ve sonra. Ortaya çıkan sayı, periyodik bir ondalık kesir 1.5(3) olarak yazılabilir.

Periyodik olmayan sonsuz bir ondalık kesri ortak bir kesir veya karışık bir sayı ile çarparken, ortak kesir veya karışık sayı bir ondalık kesir ile değiştirilmeli, ardından çarpılan kesirleri yuvarlamalı ve hesaplamayı bitirmelidir.

2/3 \u003d 0.6666'dan beri ..., o zaman. Çarpılan kesirleri binde bire yuvarladıktan sonra, 3.568 ve 0.667'lik son iki ondalık kesrin çarpımına geliyoruz. Çarpma işlemini bir sütunda yapalım:


Elde edilen sonuç binde bire yuvarlanmalıdır, çünkü çarpılmış kesirler binde bir doğrulukla alındığından, 2.379856≈2.380'e sahibiz.

www.cleverstudents.ru

29. Ondalık kesirlerin çarpımı. Tüzük




Kenarları eşit olan bir dikdörtgenin alanını bulun
1,4 dm ve 0,3 dm. Desimetreyi santimetreye çevir:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Şimdi alanı santimetre cinsinden hesaplayalım.

S \u003d 14 3 \u003d 42 cm2.

santimetre kareyi kareye çevir
desimetre:

d m 2 \u003d 0.42 d m 2.

Dolayısıyla, S \u003d 1.4 dm 0.3 dm \u003d 0.42 dm 2.

İki ondalık sayının çarpılması şu şekilde yapılır:
1) sayılar virgül dikkate alınmadan çarpılır.
2) üründe virgül sağda ayrılacak şekilde konur
her iki faktörde de ayrılmış olarak çok sayıda işaret
birlikte alındıklarında. Örneğin:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Bir sütundaki ondalık kesirleri çarpma örnekleri:



Herhangi bir sayıyı 0,1 ile çarpmak yerine; 0.01; 0.001
bu sayıyı 10'a bölebilirsiniz; yüz ; veya sırasıyla 1000.
Örneğin:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Bir ondalık kesri doğal bir sayı ile çarparken şunları yapmalıyız:

1) virgülleri yok sayarak sayıları çarpın;

2) ortaya çıkan üründe, sağda olacak şekilde virgül koyun
ondan ondalık kesirdeki kadar çok basamak vardı.

3.12 10 ürününü bulalım. Yukarıdaki kurala göre
önce 312'yi 10 ile çarpın. Alırız: 312 10 \u003d 3120.
Şimdi sağdaki iki rakamı virgülle ayırıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Yani, 3.12 ile 10'u çarparken virgülü bir ile taşıdık.
sağdaki numara. 3.12 ile 100'ü çarparsak 312 elde ederiz, yani
virgül iki basamak sağa kaydırıldı.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Bir ondalık kesri 10, 100, 1000 vb. ile çarparken yapmanız gerekenler:
bu kesirde, sıfır olduğu kadar çok karakter virgülü sağa hareket ettirin
çarpandadır. Örneğin:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

"Ondalık kesirlerin çarpımı" konulu görevler

okul-asistanı.ru

Ondalık sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme

Ondalık sayıların toplanması ve çıkarılması, doğal sayıların toplanması ve çıkarılmasına benzer, ancak belirli koşullarla.

Kural. doğal sayılar olarak tamsayı ve kesirli kısımların rakamları ile yapılır.

yazıldığında ondalık sayıları toplama ve çıkarma tamsayı kısmını kesirli kısımdan ayıran virgül, terimler ve toplamda veya bir sütunda eksi, çıkarma ve farkta olmalıdır (koşuldan hesaplamanın sonuna kadar virgül altında virgül).

Ondalık sayıları toplama ve çıkarma satıra:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Ondalık sayıları toplama ve çıkarma bir sütunda:

Ondalık kesirler eklemek, rakamların toplamı ondan geçtiğinde sayıları yazmak için fazladan bir üst satır gerektirir. Ondalık sayıların çıkarılması, 1'in ödünç alındığı basamağı işaretlemek için en üstteki ekstra satırı gerektirir.

Kesirli kısmın terimin sağında yeterli rakamı yoksa veya küçültülmüşse, kesirli kısımda sağa başka bir terimde olduğu kadar çok sıfır eklenebilir (kesirli kısmın bit derinliğini artırın) veya azaltılmış.

ondalık çarpma doğal sayıların çarpımı ile aynı şekilde, aynı kurallara göre yapılır, ancak üründe, kesirli kısımdaki faktörlerin rakamları toplamına göre sağdan sola doğru sayarak (toplam) bir virgül konur. Faktörlerin basamak sayısı, birlikte alınan faktörlerin ondalık noktasından sonraki basamak sayısıdır).

saat ondalık sayıları çarpma bir sütunda, sağdaki ilk anlamlı rakam, doğal sayılarda olduğu gibi, sağdaki ilk anlamlı rakamın altında işaretlenir:

Kayıt ondalık sayıları çarpma bir sütunda:

Kayıt ondalık bölme bir sütunda:

Altı çizili karakterler, bölen bir tamsayı olması gerektiğinden, virgül kaydırma karakterleridir.

Kural. saat kesirlerin bölünmesi ondalık kesrin böleni, kesirli kısmındaki basamak sayısı kadar artar. Kesirin değişmemesi için bölen aynı sayıda basamak artar (bölünen ve bölende virgül aynı sayıda karaktere aktarılır). Kesrin tamamı bölündüğünde bölme aşamasında bölüme virgül konur.

Ondalık kesirler ve doğal sayılar için kural korunur: Bir ondalık basamağı sıfıra bölemezsiniz!

Ondalık sayıların eklenmesi, tam sayıların eklenmesiyle aynı şekilde yapılır. Bunu örneklerle görelim.

1) 0.132 + 2.354. Şartları alt alta imzalayalım.

Burada 2 binde 4'ün eklenmesinden 6 binde;
5 yüzdelik ile 3 yüzdeliklerin eklenmesinden 8 yüzde biri çıktı;
1 ondalık ile 3 ondalık -4 ondalık ve
2 tamsayı - 2 tamsayı ile 0 tamsayı eklemekten.

2) 5,065 + 7,83.

İkinci terimde binde biri yoktur, bu nedenle terimleri alt alta imzalarken hata yapmamak önemlidir.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Burada binde bir eklerken 21 binde bir elde ederiz; bindelerin altına 1 yazdık ve yüzdeliklere 2 ekledik, bu yüzden yüzüncü yerde şu terimleri aldık: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; Özetle, 19 yüzdelik veriyorlar, yüzdeliklerin altında 9'u imzaladık ve 1'i ondalık sayıldı, vb.

Bu nedenle, ondalık kesirleri eklerken aşağıdaki sıraya uyulmalıdır: Kesirler, tüm terimlerde aynı basamaklar birbirinin altında ve tüm virgüller aynı dikey sütunda olacak şekilde alt alta yazılır; bazı terimlerin ondalık basamaklarının sağında, en azından zihinsel olarak, ondalık noktadan sonraki tüm terimlerin aynı sayıda basamağa sahip olacağı kadar çok sayıda sıfır atfederler. Daha sonra, sağ taraftan başlayarak rakamlarla toplama yapılır ve elde edilen toplamda, bu terimlerde olduğu gibi aynı dikey sütuna virgül koyarlar.

§ 108. Ondalık kesirlerin çıkarılması.

Ondalık sayıların çıkarılması, tam sayıların çıkarılmasıyla aynı şekilde yapılır. Bunu örneklerle gösterelim.

1) 9.87 - 7.32. Aynı rakamın birimleri birbirinin altında olacak şekilde eksiltinin altındaki çıkarmayı imzalayalım:

2) 16.29 - 4.75. İlk örnekte olduğu gibi, eksi altındaki çıkarmayı imzalayalım:

Ondalıkları çıkarmak için, 6'dan bir tam birim alıp ondalıklara bölmek gerekiyordu.

3) 14.0213-5.350712. Eksi altındaki çıkarmayı imzalayalım:

Çıkarma işlemi şu şekilde yapıldı: 0'dan 2 milyonda birini çıkaramadığımız için soldaki en yakın basamağa yani yüzbinde birine başvurmamız gerekiyor ama yüzbinler yerine de sıfır var o yüzden 1 alıyoruz. 3 on binde on binde on binde onu yüz binde böleriz, 10 yüz binde 9'u yüz binde bir kategoride kalır ve 1 yüz binde birini milyonda böleriz, 10 milyonda bir alıyoruz. Böylece, son üç hanede şunları elde ettik: milyonda 10, yüzbinde 9, onbinde 2. Daha fazla netlik ve rahatlık için (unutmayın), bu sayılar indirgenmişin karşılık gelen kesirli basamaklarının üzerine yazılır. Artık çıkarma işlemine başlayabiliriz. 10 milyonda 2'den 2 milyonda çıkarırız, 8 milyonda buluruz; 9 yüz binde 1'den 1 yüz binde çıkarın, 8 yüz binde, vb.

Böylece, ondalık kesirleri çıkarırken aşağıdaki sıra gözlemlenir: çıkarma, indirgenmiş altında imzalanır, böylece aynı rakamlar diğerinin altında ve tüm virgüller aynı dikey sütunda olur; sağda, en azından zihinsel olarak, aynı sayıda basamağa sahip olmaları için indirgenmiş veya çıkarılmış çok sayıda sıfır atfederler, ardından sağ taraftan başlayarak rakamlarla çıkarırlar ve ortaya çıkan farkta virgül koyarlar. indirgenmiş ve çıkarılmış olarak bulunduğu aynı dikey sütun.

§ 109. Ondalık kesirlerin çarpımı.

Ondalık kesirleri çarpmanın birkaç örneğini düşünün.

Bu sayıların çarpımını bulmak için şu şekilde akıl yürütebiliriz: çarpan 10 kat artırılırsa, o zaman her iki çarpan da tam sayı olur ve tam sayıları çarpma kurallarına göre çarpabiliriz. Ancak biliyoruz ki, faktörlerden biri birkaç kez artırıldığında, ürün aynı miktarda artar. Bu, tamsayı çarpanlarının yani 28 ile 23'ün çarpılmasından elde edilen sayının gerçek çarpımdan 10 kat daha büyük olduğu ve gerçek çarpımı elde etmek için bulunan çarpımı 10 kat azaltmanız gerektiği anlamına gelir. Bu nedenle burada bir kez 10 ile çarpma ve bir kez 10 ile bölme yapmanız gerekir, ancak 10 ile çarpma ve bölme işlemi virgül bir işaret sağa ve sola hareket ettirilerek yapılır. Bu nedenle, bunu yapmanız gerekir: çarpanda, virgülü bir işaretle sağa hareket ettirin, bundan 23'e eşit olacaktır, sonra ortaya çıkan tam sayıları çarpmanız gerekir:

Bu ürün gerçek olandan 10 kat daha büyüktür. Bu nedenle, virgül bir karakter sola kaydırdığımız 10 kat azaltılmalıdır. Böylece, elde ederiz

28 2,3 = 64,4.

Doğrulama amacıyla, paydalı bir ondalık kesir yazabilir ve sıradan kesirleri çarpma kuralına göre bir işlem gerçekleştirebilirsiniz, yani.

2) 12,27 0,021.

Bu örnek ile önceki örnek arasındaki fark, burada her iki faktörün de ondalık kesirlerle temsil edilmesidir. Ancak burada çarpma işleminde virgüllere dikkat etmeyeceğiz yani çarpanı geçici olarak 100 kat, çarpanı 1.000 kat artıracağız ki bu da ürünü 100.000 kat artıracaktır. Böylece, 1227'yi 21 ile çarparak şunu elde ederiz:

1 227 21 = 25 767.

Ortaya çıkan ürünün gerçek olandan 100.000 kat daha büyük olduğunu göz önünde bulundurarak, şimdi içine düzgün bir şekilde virgül koyarak onu 100.000 kat azaltmalıyız, sonra şunu elde ederiz:

32,27 0,021 = 0,25767.

Hadi kontrol edelim:

Dolayısıyla iki ondalık kesri çarpmak için virgüllere dikkat edilmeden tamsayı olarak çarpmak ve çarpımda sağda virgülle ve çarpımda ne kadar ondalık varsa o kadar virgülle ayırmak yeterlidir. faktör birliktedir.

Son örnekte, sonuç beş ondalık basamaklı bir üründür. Böyle daha yüksek bir doğruluk gerekli değilse, ondalık kesrin yuvarlanması yapılır. Yuvarlama yaparken, tamsayılar için belirtilen kuralı kullanmalısınız.

§ 110. Tabloları kullanarak çarpma.

Ondalık sayıları çarpma işlemi bazen tablolar kullanılarak yapılabilir. Bu amaçla, örneğin, açıklaması daha önce verilen iki basamaklı sayıların çarpım tablolarını kullanabilirsiniz.

1) 53 ile 1.5'i çarpın.

53 ile 15'i çarpacağız. Tabloda bu çarpım 795'e eşittir. 53'ün 15 çarpımını bulduk ama ikinci çarpanımız 10 kat daha azdı yani çarpım 10 kat azaltılmalı yani.

53 1,5 = 79,5.

2) 5,3 ile 4,7'yi çarpın.

İlk önce tabloda 53'ün 47 çarpımını buluyoruz, 2491 olacak. Ancak çarpanı ve çarpanı toplam 100 kat arttırdığımız için, ortaya çıkan ürün olması gerekenden 100 kat daha büyük; bu yüzden bu ürünü 100 kat azaltmamız gerekiyor:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0,53'ü 7,4 ile çarpın.

İlk önce tabloda 53'e 74'ün çarpımını buluyoruz; bu 3.922 olacak ama çarpanı 100 kat, çarpanı 10 kat arttırdığımız için çarpım 1.000 kat artmış; bu yüzden şimdi onu 1.000 kat azaltmamız gerekiyor:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Ondalık sayıların bölünmesi.

Ondalık bölmeye bu sırayla bakacağız:

1. Ondalık bölme tam sayı,

1. Ondalık kesrin bir tam sayıya bölümü.

1) 2.46'yı 2'ye bölün.

Önce 2 tamsayıya, sonra ondalığa ve son olarak da yüzde bire böldük.

2) 32,46'yı 3'e bölün.

32,46: 3 = 10,82.

3'ü 3'e böldük, sonra 2 birimi 3'e bölmeye başladık; temettü birimlerinin sayısından beri (2) daha az bölen(3), sonra bölüme 0 koymak zorunda kaldım; ayrıca kalan kısmı için onda 4'ü yıktık ve 24'ü 3'e böldük; özel 8 ondalık aldı ve sonunda 6 yüzde bölündü.

3) 1,2345'i 5'e bölün.

1,2345: 5 = 0,2469.

Burada, ilk etapta bölümde, bir tamsayı 5'e bölünemediğinden sıfır tamsayı çıktı.

4) 13.58'i 4'e bölün.

Bu örneğin özelliği, 9 yüzdeyi özel olarak aldığımızda, 2 yüzde birlik bir kalan bulunduğunda, bu kalanı binde bire böldük, 20 binde birini aldık ve bölünmeyi sona erdirdik.

Kural. Ondalık kesrin bir tamsayıya bölünmesi, tamsayıların bölünmesiyle aynı şekilde gerçekleştirilir ve elde edilen kalanlar, giderek daha küçük olan ondalık kesirlere dönüştürülür; kalan sıfır olana kadar bölme işlemine devam edilir.

2. Ondalık kesrin ondalık kesre bölünmesi.

1) 2,46'yı 0,2'ye bölün.

Ondalık kesri bir tamsayıya nasıl böleceğimizi zaten biliyoruz. Bir düşünelim bu yeni bölünme durumu da bir öncekine indirgenebilir mi? Bir zamanlar, bölüneni ve böleni aynı sayıda artırırken veya azaltırken değişmeden kalması gerçeğinden oluşan bölümün olağanüstü özelliğini düşündük. Bölen bir tamsayı olsaydı, bize sunulan sayıların bölünmesini kolayca yapardık. Bunu yapmak için 10 kat artırmak yeterlidir ve doğru bölümü elde etmek için temettüyi aynı sayıda, yani 10 kat artırmak gerekir. Daha sonra bu sayıların bölünmesi, bu sayıların bölünmesiyle değiştirilecektir:

ve özel olarak herhangi bir değişiklik yapmaya gerek yoktur.

Bu bölme işlemini yapalım:

Yani 2.46: 0.2 = 12.3.

2) 1,25'i 1,6'ya bölün.

(1.6) böleni 10 kat artırıyoruz; bölümün değişmemesi için temettü miktarını 10 kat artırıyoruz; 12 tamsayı 16'ya bölünemez, bu yüzden 0 bölümünde yazıp 125 ondalığı 16'ya bölüyoruz, bölümde 7 ondalık ve kalan 13'ü alıyoruz. Sıfır atayarak 13'ü yüzdeliklere bölüyoruz ve 130'u 16'ya bölüyoruz vb. Aşağıdakilere dikkat edin:

a) Bölümde tamsayılar elde edilemediğinde, yerlerine sıfır tamsayılar yazılır;

b) Bölünenin basamağı kalana alındıktan sonra bölen tarafından bölünemeyen bir sayı elde edildiğinde, bölüme sıfır yazılır;

c) Bölünmenin son basamağı çıkarıldıktan sonra bölme işlemi bitmediğinde, kalanlara sıfır verilerek bölme işlemine devam edilir;

d) temettü bir tamsayı ise, ondalık kesre bölündüğünde, artışı ona sıfır atanarak gerçekleştirilir.

Bu nedenle, bir sayıyı ondalık kesre bölmek için, bölende virgül atmanız ve ardından virgül bırakıldığında bölenin arttığı kadar bölmeyi artırmanız ve ardından bölme işlemini buna göre yapmanız gerekir. ondalık kesri bir tam sayıya bölme kuralı.

§ 112. Yaklaşık bölüm.

Bir önceki paragrafta ondalık kesirlerin bölünmesini ele aldık ve çözdüğümüz tüm örneklerde bölme sonuna getirildi, yani kesin bir bölüm elde edildi. Bununla birlikte, çoğu durumda, bölmeyi ne kadar genişletirsek genişletelim, kesin bölüm elde edilemez. İşte böyle bir durum: 53'ü 101'e bölün.

Bölümde zaten beş rakam aldık, ancak bölme henüz bitmedi ve daha önce tanıştığımız sayılar kalanda görünmeye başladığı için biteceğine dair bir umut yok. Sayılar da bölümde tekrarlanacaktır: açıkçası, 7 rakamından sonra 5 rakamı, ardından 2 rakamı görünecek ve bu böyle devam edecektir. Bu gibi durumlarda bölme işlemi kesintiye uğrar ve bölümün ilk birkaç basamağı ile sınırlandırılır. Bu özel denir yaklaşık. Bu durumda bölme işlemi nasıl yapılır, örneklerle göstereceğiz.

25'i 3'e bölmek istensin. Böyle bir bölme işleminden tamsayı veya ondalık kesir olarak ifade edilen tam bölümün elde edilemeyeceği açıktır. Bu nedenle, yaklaşık bir bölüm arayacağız:

25: 3 = 8 ve kalan 1

Yaklaşık bölüm 8'dir; elbette tam bölümden küçüktür, çünkü 1'den kalan var , 1'e eşit, 3 ile; 1/3'lük bir kesir olacak. Bu, tam bölümün 8 1/3 karışık bir sayı olarak ifade edileceği anlamına gelir. 1/3 uygun bir kesir, yani bir kesir olduğundan, birden az, sonra, onu atarak, varsayıyoruz hata, hangisi birden az. Özel 8 olacak dezavantajlı bire kadar yaklaşık bölüm. 8 yerine 9 alırsak, bir birimin tamamını değil, 2 / 3'ü ekleyeceğimiz için birden küçük bir hataya da izin veririz. Böyle bir özel irade bir fazlalık ile bire kadar yaklaşık bölüm.

Şimdi başka bir örnek verelim. 27'yi 8'e bölmemiz istensin. Burada tamsayı olarak ifade edilen tam bir bölüm olmayacağı için, yaklaşık bir bölüm arayacağız:

27: 8 = 3 ve kalan 3.

Burada hata 3/8'dir, birden küçüktür, bu da yaklaşık bölümün (3) bire kadar dezavantajlı olduğu anlamına gelir. Bölmeye devam ediyoruz: kalan 3'ü ondalıklara bölüyoruz, 30 ondalık alıyoruz; Onları 8'e bölelim.

Ondalık 3'te ve geri kalan ondalıkta özel olarak girdik. Kendimizi özellikle 3.3 sayısıyla sınırlandırır ve kalan 6'yı atarsak, onda birden daha az bir hataya izin vereceğiz. Niye ya? Çünkü 6'nın onda birini 8'e bölmenin sonucunu 3.3'e eklediğimizde tam bölüm elde edilecekti; bu bölümden 6/80 olur, bu da onda birden azdır. (Kontrol edin!) Bu nedenle, kendimizi bölümde ondalıklarla sınırlandırırsak, bölümü bulduğumuzu söyleyebiliriz. onda birine kadar doğru(dezavantajlı).

Bir ondalık basamak daha bulmak için bölmeye devam edelim. Bunu yapmak için, 6 ondalığı yüzdeliklere böldük ve 60 yüzdelik elde ettik; Onları 8'e bölelim.

Özelde üçüncü sırada 7 ve geri kalanda yüzde 4'ü çıktı; onları atarsak, o zaman yüzde birlik bir hataya izin veririz, çünkü 4 yüzde bölü 8 yüzde birden küçüktür. Bu gibi durumlarda, bölümün bulunduğu söylenir. yüzde birine kadar doğru(dezavantajlı).

Şimdi incelediğimiz örnekte, ondalık kesir olarak ifade edilen tam bölümü elde edebilirsiniz. Bunun için son kalan 4 yüzdeyi binde bire bölüp 8'e bölmek yeterlidir.

Bununla birlikte, çoğu durumda, kesin bir bölüm elde etmek imkansızdır ve kişi kendini onun yaklaşık değerleriyle sınırlamak zorundadır. Şimdi böyle bir örneği ele alacağız:

40: 7 = 5,71428571...

Sayının sonundaki noktalar bölmenin tamamlanmadığını yani eşitliğin yaklaşık olduğunu gösterir. Genellikle yaklaşık eşitlik şu şekilde yazılır:

40: 7 = 5,71428571.

Bölümü sekiz ondalık basamakla aldık. Ama böyle büyük bir kesinlik gerekmiyorsa, kişi kendini bölümün tamamıyla, yani 5 sayısıyla (daha doğrusu 6) sınırlayabilir; daha fazla doğruluk için, ondalık dikkate alınabilir ve bölüm 5,7'ye eşit alınabilir; Herhangi bir nedenle bu doğruluk yetersizse, o zaman yüzde birliklerde durabilir ve 5.71'i alabiliriz, vb. Tek tek bölümleri yazalım ve isimlendirelim.

Bire kadar olan ilk yaklaşık bölüm 6.

İkinci » » » onda bir 5.7.

Üçüncü » » » yüzde yüze kadar 5.71.

Dördüncü » » » 5.714'ün binde birine kadar.

Böylece, örneğin 3. ondalık basamağın (yani binde birine kadar) doğruluğu ile yaklaşık bir bölüm bulmak için, bu işaret bulunur bulunmaz bölme işlemi durdurulur. Bu durumda, § 40'ta belirtilen kuralı hatırlamak gerekir.

§ 113. Faiz için en basit problemler.

Ondalık kesirleri çalıştıktan sonra, birkaç yüzde problemi daha çözeceğiz.

Bu problemler adi kesirler bölümünde çözdüğümüz problemlere benzer; ama şimdi yüzde birlik sayıları ondalık kesirler biçiminde, yani açıkça belirlenmiş bir payda olmadan yazacağız.

Her şeyden önce, sıradan bir kesirden paydası 100 olan bir ondalık kesre kolayca geçebilmeniz gerekir. Bunu yapmak için, payı paydaya bölmeniz gerekir:

Aşağıdaki tablo, yüzde (yüzde) sembollü bir sayının paydası 100 olan bir ondalık sayı ile nasıl değiştirildiğini göstermektedir:

Şimdi birkaç problemi ele alalım.

1. Belirli bir sayının yüzdelerini bulma.

Görev 1. Bir köyde sadece 1.600 kişi yaşıyor. Çocuk Sayısı okul yaşı toplam nüfusun %25'ini oluşturmaktadır. Bu köyde okul çağındaki kaç çocuk var?

Bu problemde, 1.600'ün %25'ini veya 0.25'ini bulmanız gerekiyor.Problem çarpılarak çözülür:

1.600 0.25 = 400 (çocuklar).

Bu nedenle, 1.600'ün %25'i 400'dür.

Bu görevin net bir şekilde anlaşılması için, nüfusun her yüz başına 25 okul çağındaki çocuğun olduğunu hatırlamakta fayda var. Bu nedenle, tüm okul çağındaki çocukların sayısını bulmak için önce 1.600 (16) sayısının kaç yüz olduğunu bulabilir, ardından 25'i yüzlerle (25 x 16 = 400) çarpabilirsiniz. Bu şekilde çözümün geçerliliğini kontrol edebilirsiniz.

Görev 2. Tasarruf bankaları, mevduat sahiplerine yıllık gelirin %2'sini verir. Aşağıdakileri yatıran bir mudi yılda ne kadar gelir elde edecek: a) 200 ruble? b) 500 ruble? c) 750 ruble? d) 1000 ruble?

Dört durumda da, sorunu çözmek için belirtilen miktarların 0.02'sini hesaplamak gerekecek, yani bu sayıların her birinin 0.02 ile çarpılması gerekecek. Haydi Yapalım şunu:

a) 200 0.02 = 4 (ruble),

b) 500 0.02 = 10 (ruble),

c) 750 0.02 = 15 (ruble),

d) 1.000 0.02 = 20 (ruble).

Bu durumların her biri aşağıdaki hususlarla doğrulanabilir. Tasarruf bankaları, mevduat sahiplerine gelirin %2'sini, yani tasarrufa yatırılan miktarın 0.02'sini verir. Tutar 100 ruble olsaydı, bunun 0.02'si 2 ruble olurdu. Bu, her yüz depozitoya 2 ruble getirdiği anlamına gelir. Gelir. Bu nedenle, ele alınan vakaların her birinde, belirli bir sayıda kaç yüz olduğunu bulmak ve 2 rubleyi bu yüzlerle çarpmak yeterlidir. Örnekte a) yüzlerce 2, yani

2 2 \u003d 4 (ruble).

Örnek d) yüzler 10'dur, yani

2 10 \u003d 20 (ruble).

2. Yüzdesine göre bir sayı bulma.

Görev 1.İlkbaharda okul, toplam öğrenci sayısının %6'sı olan 54 öğrenciyi mezun etmiştir. Geçmişte okulda kaç öğrenci vardı akademik yıl?

Önce bu sorunun anlamını açıklayalım. Okul, toplam öğrenci sayısının %6'sı yani okuldaki tüm öğrencilerin 6 yüzde biri (0,06) olan 54 öğrenci mezun etmiştir. Bu, öğrencilerin (54) ve kesir (0.06) ile ifade edilen kısmını bildiğimiz ve bu kesirden tam sayıyı bulmamız gerektiği anlamına gelir. Böylece önümüzde sıradan görev kesrine göre bir sayı bulmak için (§90 s.6). Bu tür problemler bölünerek çözülür:

Bu da okulda 900 öğrenci olduğu anlamına gelir.

Bu tür problemleri ters problemi çözerek kontrol etmekte fayda var, yani problemi çözdükten sonra, en azından kafanızda birinci tip problemi çözmelisiniz (belirli bir sayının yüzdesini bulma): bulunan sayıyı al ( 900) verildiği gibi ve ondan çözülen problemde belirtilen yüzdeyi bulun, yani:

900 0,06 = 54.

Görev 2. Aile, babanın aylık gelirinin %65'i olan ay boyunca yemek için 780 ruble harcıyor. Aylık gelirini belirleyin.

Bu görev öncekiyle aynı anlama sahiptir. Aylık kazancın ruble (780 ruble) olarak ifade edilen kısmını verir ve bu kısmın toplam kazancın %65'i veya 0.65'i olduğunu gösterir. Ve istenen tüm kazançtır:

780: 0,65 = 1 200.

Bu nedenle, istenen kazanç 1200 ruble.

3. Sayıların yüzdesini bulma.

Görev 1. V okul kütüphanesi Sadece 6.000 kitap. Bunların arasında matematikle ilgili 1.200 kitap var. Matematik kitaplarının yüzde kaçı kütüphanedeki toplam kitap sayısını oluşturuyor?

Bu tür problemleri (§97) zaten düşündük ve iki sayının yüzdesini hesaplamak için bu sayıların oranını bulmanız ve 100 ile çarpmanız gerektiği sonucuna vardık.

Görevimizde 1.200 ve 6.000 sayılarının yüzdesini bulmamız gerekiyor.

Önce oranlarını buluyoruz ve sonra 100 ile çarpıyoruz:

Böylece 1.200 ve 6.000 sayılarının yüzdesi 20'dir. Yani matematik kitapları, toplam kitap sayısının %20'sini oluşturmaktadır.

Kontrol etmek için ters problemi çözüyoruz: 6.000'in %20'sini bulun:

6 000 0,2 = 1 200.

Görev 2. Tesisin 200 ton kömür alması gerekiyor. 80 ton teslim edildi Fabrikaya kömürün yüzde kaçı teslim edildi?

Bu problem, bir sayının (80) diğerinin (200) yüzdesini sorar. Bu sayıların oranı 80/200 olacaktır. 100 ile çarpalım:

Bu da kömürün %40'ının teslim edildiği anlamına geliyor.