kesirler nasıl dönüştürülür ortak payda

Eğer ortak kesirler aynı paydalar, sonra diyorlar ki bunlar kesirler ortak bir paydaya getirilir.

örnek 1

Örneğin, $ \ frac (3) (18) $ ve $ \ frac (20) (18) $ kesirleri aynı paydaya sahiptir. 18 dolar ortak paydaya sahip oldukları söyleniyor. $ \ frac (1) (29) $, $ \ frac (7) (29) $ ve $ \ frac (100) (29) $ kesirleri de aynı paydalara sahiptir. 29 dolar ortak paydaya sahip oldukları söyleniyor.

Kesirlerin farklı paydaları varsa, ortak bir paydaya indirgenebilirler. Bunu yapmak için, paylarını ve paydalarını belirli ek faktörlerle çarpmanız gerekir.

Örnek 2

İki kesir $ \ frac (6) (11) $ ve $ \ frac (2) (7) $ ortak bir paydaya nasıl indirgenir.

Çözüm.

$ \ frac (6) (11) $ ve $ \ frac (2) (7) $ kesirlerini sırasıyla $ 7 $ ve $ 11 $ ek faktörleriyle çarpın ve bunları ortak bir payda $ 77 $'a indirin:

$ \ frac (6 \ cdot 7) (11 \ cdot 7) = \ frac (42) (77) $

$ \ frak (2 \ cdot 11) (7 \ cdot 11) = \ frak (22) (77) $

Böylece, kesirleri ortak bir paydaya indirgemek bu kesirlerin pay ve paydasının ek faktörlerle çarpılması olarak adlandırılır, bu da sonuç olarak aynı paydalara sahip kesirlerin elde edilmesini mümkün kılar.

Ortak payda

tanım 1

Bir kesir kümesinin tüm paydalarının herhangi bir pozitif ortak katına denir. ortak payda.

Başka bir deyişle, verilen kesirlerin ortak paydası herhangi bir doğal sayı, verilen kesirlerin tüm paydalarına bölünebilir.

Tanım, belirli bir kesir kümesi için sonsuz bir ortak payda kümesi anlamına gelir.

Örnek 3

$ \ frac (3) (7) $ ve $ \ frac (2) (13) $ kesirlerinin ortak paydalarını bulun.

Çözüm.

Bu kesirlerin paydaları sırasıyla 7 dolar ve 13 dolar. 2 $ ve 5 $'ın pozitif ortak katları 91, 182, 273, 364 $, vb.'ye eşittir.

Bu sayılardan herhangi biri $ \ frac (3) (7) $ ve $ \ frac (2) (13) $ kesirlerinin ortak paydası olarak kullanılabilir.

Örnek 4

$ \ frac (1) (2) $, $ \ frac (16) (7) $ ve $ \ frac (11) (9) $ kesirlerinin ortak payda $ 252 $'a indirgenip indirgenemeyeceğini belirleyin.

Çözüm.

Kesrinin 252 $ ortak paydasına nasıl getirileceğini belirlemek için, 252 $ sayısının 2, 7 $ ve 9 $ paydalarının ortak katı olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Bunu yapmak için, 252 $ sayısını paydaların her birine böleriz:

$ \ frac (252) (2) = 126, $ $ \ frac (252) (7) = 36 $, $ \ frac (252) (9) = 28 $.

252 $ sayısı tüm paydalara bölünebilir, yani. 2$, 7$ ve 9$'ın ortak katıdır. Bu nedenle, verilen $ \ frac (1) (2) $, $ \ frac (16) (7) $ ve $ \ frac (11) (9) $ kesirleri 252 $ ortak paydasına indirgenebilir.

Cevap: yapabilirsiniz.

En küçük ortak payda

tanım 2

Verilen kesirlerin tüm ortak paydaları arasında en küçük doğal sayı ayırt edilebilir. en düşük ortak payda.

Çünkü LCM - en küçük pozitif ortak bölen belirli bir sayı kümesinin, verilen kesirlerin paydalarının LCM'si, bu kesirlerin en küçük ortak paydasıdır.

Bu nedenle, kesirlerin en küçük ortak paydasını bulmak için, bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulmanız gerekir.

Örnek 5

$ \ frac (4) (15) $ ve $ \ frac (37) (18) $ kesirleri verilmiştir. En küçük ortak paydalarını bulun.

Çözüm.

Bu kesirlerin paydaları 15 dolar ve 18 dolar. 15 $ ve 18 $ sayılarının LCM'si olarak en küçük ortak paydayı bulun. Bunun için sayıların ayrıştırılmasını kullanıyoruz. asal faktörler:

15 $ = 3 \ cdot 5 $, 18 $ = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 $

$ LCM (15, 18) = 2 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5 = 90 $.

Cevap: 90 $.

Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgeme kuralı

Çoğu zaman cebir, geometri, fizik vb. Sıradan kesirleri herhangi bir ortak paydaya değil en düşük ortak paydaya indirmek gelenekseldir.

algoritma:

1. Verilen kesirlerin paydalarının LCM'sini kullanarak en küçük ortak paydayı bulun.
2. 2.Verilen kesirler için ek bir faktör hesaplayın. Bunu yapmak için, bulunan en küçük ortak payda, her kesrin paydasına bölünmelidir. Ortaya çıkan sayı, bu kesrin ek bir faktörü olacaktır.
3. Her kesrin payını ve paydasını bulunan ek faktörle çarpın.

Örnek 6

$ \ frac (4) (16) $ ve $ \ frac (3) (22) $ kesirlerinin en küçük ortak paydasını bulun ve her iki kesri de ona indirgeyin.

Çözüm.

Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için algoritmayı kullanalım.

16 $ ve 22 $'ın en küçük ortak katını hesaplayın:

Paydaları asal çarpanlara ayıralım: $ 16 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 $, 22 $ = 2 \ cdot 11 $.

$ LCM (16, 22) = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 11 = 176 $.

Her kesir için ek faktörleri hesaplayalım:

$ 176 \ div 16 = 11 $ - $ \ frac (4) (16) $ kesri için;

$ 176 \ div 22 = 8 $ - $ \ frac (3) (22) $ kesri için.

$ \ frac (4) (16) $ ve $ \ frac (3) (22) $ kesirlerinin paylarını ve paydalarını sırasıyla $ 11 $ ve 8 $ ek çarpanlarıyla çarpın. Alırız:

$ \ frak (4) (16) = \ frak (4 \ cdot 11) (16 \ cdot 11) = \ frak (44) (176) $

$ \ frak (3) (22) = \ frak (3 \ cdot 8) (22 \ cdot 8) = \ frak (24) (176) $

Her iki kesir de 176 $ olan en düşük ortak paydaya getirilir.

Cevap: $ \ frak (4) (16) = \ frak (44) (176) $, $ \ frak (3) (22) = \ frak (24) (176) $.

Bazen, en düşük ortak paydayı bulmak için, sorunu çözme hedefini haklı çıkarmayabilecek bir dizi zaman alıcı hesaplama yapmanız gerekir. Bu durumda, en çok kullanabilirsiniz. kolay yol- kesirleri, bu kesirlerin paydalarının çarpımı olan ortak bir paydaya indirgemek.

Kesirleri en küçük ortak paydaya getirmek için: 1) bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun, en küçük ortak payda olacaktır. 2) yeni paydanın her kesrin paydasına bölündüğü kesirlerin her biri için ek bir faktör bulun. 3) her kesrin payını ve paydasını ek çarpanıyla çarpın.

Örnekler Aşağıdaki kesirleri en küçük ortak paydaya düşürün.

Paydaların en küçük ortak katını bulun: LCM (5; 4) = 20, çünkü 20 hem 5'e hem de 4'e bölünebilen en küçük sayıdır. 1. kesir için ek bir faktör 4 (20) bulun. : 5 = 4). 2. kesir için ek faktör 5'tir (20 : 4 = 5). 1. kesrin pay ve paydasını 4 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 5 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya getirdik ( 20 ).

Bu kesirlerin en küçük ortak paydası 8'dir, çünkü 8, 4'e ve kendisine tam bölünür. 1. fraksiyona ek bir faktör olmayacak (veya bire eşit olduğunu söyleyebiliriz), 2. fraksiyona ek faktör 2'dir (8 : 4 = 2). 2. kesrin pay ve paydasını 2 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya getirdik ( 8 ).

Bu kesirler indirgenemez değildir.

1. kesri 4, 2. kesiri 2 azaltın ( ortak kesirlerin azaltılmasına ilişkin örneklere bakın: Site Haritası → 5.4.2. Ortak kesirlerin indirgenmesi örnekleri). LCM'yi bulun (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. 1. kesir için ek faktör 5'tir (80 : 16 = 5). 2. kesir için ek faktör 4'tür (80 : 20 = 4). 1. kesrin pay ve paydasını 5 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 4 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya getirdik ( 80 ).

NOZ'un en küçük ortak paydasını bulun (5 ; 6 ve 15) = LCM (5 ; 6 ve 15) = 30. 1. kesire ek faktör 6'dır (30 : 5 = 6), 2. kesire ek faktör 5'tir (30 : 6 = 5), 3. kesire ek faktör 2'dir (30 : 15 = 2). 1. kesrin pay ve paydasını 6 ile, 2. kesrin pay ve paydasını 5 ile, 3. kesrin pay ve paydasını 2 ile çarpıyoruz. Bu kesirleri en küçük ortak paydaya getirdik ( 30 ).

Sayfa 1 / 1 1

Bu dersimizde kesirleri ortak paydaya indirgemeye bakacağız ve bu konudaki problemleri çözeceğiz. Ortak payda kavramına ve ek bir faktör kavramına bir tanım yapalım, karşılıklı olarak hatırlayalım. asal sayılar... En küçük ortak payda (LCM) kavramını tanımlayalım ve onu bulmak için bir dizi problemi çözelim.

Konu: Kesirlerle Toplama ve Çıkarma farklı paydalar

Ders: Kesirleri Ortak Bir Paydaya Dönüştürme

Tekrarlama. Bir kesrin ana özelliği.

Bir kesrin payı ve paydası aynı doğal sayı ile çarpılır veya bölünürse eşit kesir elde edilir.

Örneğin, bir kesrin payı ve paydası 2'ye bölünebilir. Bir kesir elde ederiz. Bu işleme kesir indirgeme denir. Kesrin pay ve paydasını 2 ile çarparak da ters dönüşüm yapabilirsiniz. Bu durumda kesri yeni bir paydaya indirdik derler. 2 sayısı tamamlayıcı faktör olarak adlandırılır.

Çıktı. Bir kesir, belirli bir kesrin paydasının bir katı olan herhangi bir paydaya indirgenebilir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için, payı ve paydası ek bir çarpanla çarpılır.

1. Kesri payda 35'e getirin.

35, 7'nin katıdır, yani 35, 7'ye kalansız bölünür. Bu, bu dönüşümün mümkün olduğu anlamına gelir. Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için 35'i 7'ye bölün. 5'i elde ederiz. Orijinal kesrin payını ve paydasını 5 ile çarpın.

2. Kesri payda 18'e getirin.

Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için, yeni paydayı orijinal olana böleriz. 3'ü elde ederiz. Bu kesrin payını ve paydasını 3 ile çarpın.

3. Kesri payda 60'a getirin.

60'ı 15'e bölmek bize ek bir çarpan verir. 4'tür. Pay ve paydayı 4 ile çarpın.

4. Kesri payda 24'e indirgeyin

Basit durumlarda, yeni bir paydaya indirgeme zihinde gerçekleştirilir. Yalnızca orijinal kesrin hemen sağında ve üstünde parantez dışında ek bir çarpan belirtmek için kabul edilir.

Bir kesir paydası 15'e ve bir kesir paydası 15'e indirgenebilir. Kesirlerin ortak paydası da 15'tir.

Kesirlerin ortak paydası, paydalarının herhangi bir ortak katı olabilir. Basitlik için, kesirler en düşük ortak paydayı verir. Bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katına eşittir.

Örnek. Kesirin en küçük ortak paydasına indirgeyin ve.

İlk olarak, bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun. Bu sayı 12'dir. Birinci ve ikinci kesir için ek bir çarpan bulalım. Bunu yapmak için 12'yi 4'e ve 6'ya bölün. İlk kesir için üç, ikinci kesir için iki ek bir faktördür. Kesirleri payda 12'ye indirgeyelim.

Kesirleri ortak paydaya getirdik, yani paydaları aynı olan kesirleri bulduk.

Kural. Kesirleri en küçük ortak paydaya getirmek için,

İlk olarak, bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun, bu onların en küçük ortak paydası olacaktır;

İkinci olarak, en küçük ortak paydayı bu kesirlerin paydalarına bölün, yani her kesir için ek bir faktör bulun.

Üçüncüsü, her kesrin payını ve paydasını ek çarpanıyla çarpın.

a) Kesri ortak bir paydaya indirgeyiniz.

En küçük ortak payda 12'dir. İlk kesir için ek faktör 4 ve ikinci için 3'tür. Kesirleri payda 24'e getirin.

b) Kesri ortak bir paydaya indirgeyin.

En küçük ortak payda 45'tir. 45'i 9'a 15'e bölmek sırasıyla 5 ve 3'ü verir.Kesirleri payda 45'e getirin.

c) Kesri ortak bir paydaya indirgeyin.

Ortak payda 24'tür. Ek çarpanlar sırasıyla 2 ve 3'tür.

Bazen bu kesirlerin paydalarının en düşük ortak katını sözlü olarak bulmak zordur. Daha sonra asal çarpanlara ayırma kullanılarak ortak payda ve ek faktörler bulunur.

Kesri ve ortak bir paydaya indirgeyin.

60 ve 168 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. 60'ın ayrıştırmasını yazalım ve ikinci ayrıştırmanın eksik çarpanları 2 ve 7'yi ekleyelim. 840 ortak paydasını elde etmek için 60'ı 14 ile çarpın. Birinci kesir için tamamlayıcı faktör 14'tür. İkinci kesir için tamamlayıcı faktör 5'tir. Kesirleri ortak bir payda 840'a düşürün.

bibliyografya

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğer Matematik 6. - M.: Mnemosina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor Salonu, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının ardında. - Eğitim, 1989.

4. Rurukin A.N., Çaykovski I.V. Matematik dersi 5-6. sınıf ödevleri. - ZSH MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Çaykovski K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulunun 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. - ZSH MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. ve diğerleri Matematik: Ortaokul 5-6. sınıflar için ders kitabı-muhatap. Matematik öğretmeninin kütüphanesi. - Eğitim, 1989.

Madde 1.2'de belirtilen kitapları indirebilirsiniz. bu dersten.

Ödev

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Mathematics 6. - M.: Mnemosina, 2012. (bağlantı bakınız 1.2)

Ödev: # 297, # 298, # 300.

Diğer atamalar: # 270, # 290

Bu dersimizde kesirleri ortak paydaya indirgemeye bakacağız ve bu konudaki problemleri çözeceğiz. Ortak payda kavramına ve ek bir faktör kavramına bir tanım verelim, karşılıklı asal sayıları hatırlayalım. En küçük ortak payda (LCM) kavramını tanımlayalım ve onu bulmak için bir dizi problemi çözelim.

Konu: Farklı Paydalara Sahip Kesirlerde Toplama ve Çıkarma

Ders: Kesirleri Ortak Bir Paydaya Dönüştürme

Tekrarlama. Bir kesrin ana özelliği.

Bir kesrin payı ve paydası aynı doğal sayı ile çarpılır veya bölünürse eşit kesir elde edilir.

Örneğin, bir kesrin payı ve paydası 2'ye bölünebilir. Bir kesir elde ederiz. Bu işleme kesir indirgeme denir. Kesrin pay ve paydasını 2 ile çarparak da ters dönüşüm yapabilirsiniz. Bu durumda kesri yeni bir paydaya indirdik derler. 2 sayısı tamamlayıcı faktör olarak adlandırılır.

Çıktı. Bir kesir, belirli bir kesrin paydasının bir katı olan herhangi bir paydaya indirgenebilir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için, payı ve paydası ek bir çarpanla çarpılır.

1. Kesri payda 35'e getirin.

35, 7'nin katıdır, yani 35, 7'ye kalansız bölünür. Bu, bu dönüşümün mümkün olduğu anlamına gelir. Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için 35'i 7'ye bölün. 5'i elde ederiz. Orijinal kesrin payını ve paydasını 5 ile çarpın.

2. Kesri payda 18'e getirin.

Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için, yeni paydayı orijinal olana böleriz. 3'ü elde ederiz. Bu kesrin payını ve paydasını 3 ile çarpın.

3. Kesri payda 60'a getirin.

60'ı 15'e bölmek bize ek bir çarpan verir. 4'tür. Pay ve paydayı 4 ile çarpın.

4. Kesri payda 24'e indirgeyin

Basit durumlarda, yeni bir paydaya indirgeme zihinde gerçekleştirilir. Yalnızca orijinal kesrin hemen sağında ve üstünde parantez dışında ek bir çarpan belirtmek için kabul edilir.

Bir kesir paydası 15'e ve bir kesir paydası 15'e indirgenebilir. Kesirlerin ortak paydası da 15'tir.

Kesirlerin ortak paydası, paydalarının herhangi bir ortak katı olabilir. Basitlik için, kesirler en düşük ortak paydayı verir. Bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katına eşittir.

Örnek. Kesirin en küçük ortak paydasına indirgeyin ve.

İlk olarak, bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun. Bu sayı 12'dir. Birinci ve ikinci kesir için ek bir çarpan bulalım. Bunu yapmak için 12'yi 4'e ve 6'ya bölün. İlk kesir için üç, ikinci kesir için iki ek bir faktördür. Kesirleri payda 12'ye indirgeyelim.

Kesirleri ortak paydaya getirdik, yani paydaları aynı olan kesirleri bulduk.

Kural. Kesirleri en küçük ortak paydaya getirmek için,

İlk olarak, bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun, bu onların en küçük ortak paydası olacaktır;

İkinci olarak, en küçük ortak paydayı bu kesirlerin paydalarına bölün, yani her kesir için ek bir faktör bulun.

Üçüncüsü, her kesrin payını ve paydasını ek çarpanıyla çarpın.

a) Kesri ortak bir paydaya indirgeyiniz.

En küçük ortak payda 12'dir. İlk kesir için ek faktör 4 ve ikinci için 3'tür. Kesirleri payda 24'e getirin.

b) Kesri ortak bir paydaya indirgeyin.

En küçük ortak payda 45'tir. 45'i 9'a 15'e bölmek sırasıyla 5 ve 3'ü verir.Kesirleri payda 45'e getirin.

c) Kesri ortak bir paydaya indirgeyin.

Ortak payda 24'tür. Ek çarpanlar sırasıyla 2 ve 3'tür.

Bazen bu kesirlerin paydalarının en düşük ortak katını sözlü olarak bulmak zordur. Daha sonra asal çarpanlara ayırma kullanılarak ortak payda ve ek faktörler bulunur.

Kesri ve ortak bir paydaya indirgeyin.

60 ve 168 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. 60'ın ayrıştırmasını yazalım ve ikinci ayrıştırmanın eksik çarpanları 2 ve 7'yi ekleyelim. 840 ortak paydasını elde etmek için 60'ı 14 ile çarpın. Birinci kesir için tamamlayıcı faktör 14'tür. İkinci kesir için tamamlayıcı faktör 5'tir. Kesirleri ortak bir payda 840'a düşürün.

bibliyografya

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğer Matematik 6. - M.: Mnemosina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor Salonu, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının ardında. - Eğitim, 1989.

4. Rurukin A.N., Çaykovski I.V. Matematik dersi 5-6. sınıf ödevleri. - ZSH MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Çaykovski K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulunun 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. - ZSH MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. ve diğerleri Matematik: Ortaokul 5-6. sınıflar için ders kitabı-muhatap. Matematik öğretmeninin kütüphanesi. - Eğitim, 1989.

Madde 1.2'de belirtilen kitapları indirebilirsiniz. bu dersten.

Ödev

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Mathematics 6. - M.: Mnemosina, 2012. (bağlantı bakınız 1.2)

Ödev: # 297, # 298, # 300.

Diğer atamalar: # 270, # 290