155*. Tanımlamak yaşam boyutu düz segment AB genel konum(Şekil 153, a).

Çözüm. Bilindiği gibi, herhangi bir düzlemdeki düz bir çizgi parçasının izdüşümü, bu düzleme paralel ise parçanın kendisine eşittir (çizimin ölçeği dikkate alınarak).

(Şekil 153, b). Bundan, çizimi dönüştürerek bu kare karenin paralelliğini elde etmenin gerekli olduğu sonucu çıkmaktadır. V veya kare H veya V, H sistemini kareye dik başka bir düzlemle tamamlayın. V veya pl'ye. H ve aynı zamanda bu segmente paralel.

Şek. Şekil 153, c, kareye dik olan ek bir S düzleminin eklenmesini göstermektedir. H ve belirli bir AB segmentine paralel.

a s b s projeksiyonu AB segmentinin doğal değerine eşittir.

Şek. Şekil 153, d'de başka bir teknik gösterilmektedir: AB doğru parçası, B noktasından geçen ve kareye dik olan düz bir çizgi etrafında döndürülmektedir. H, paralel bir konuma

pl. V. Bu durumda B noktası yerinde kalır ve A noktası yeni bir A 1 konumu alır. Ufuk yeni bir konumda. projeksiyon a 1 b || x ekseni a" 1 b" projeksiyonu AB segmentinin doğal boyutuna eşittir.

156. SABCD piramidi göz önüne alındığında (Şekil 154). Yansıtma düzlemlerini değiştirme yöntemini kullanarak AS ve CS piramidinin kenarlarının gerçek boyutunu ve döndürme yöntemini kullanarak BS ve DS kenarlarının gerçek boyutunu belirleyin ve kareye dik dönme eksenini alın. H.

157*. A noktasından BC düz çizgisine olan mesafeyi belirleyin (Şekil 155, a).

Çözüm. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, o noktadan çizgiye çizilen dik bir parça ile ölçülür.

Düz çizgi herhangi bir düzleme dik ise (Şekil 155.6), o zaman noktadan düz çizgiye olan mesafe, noktanın izdüşümü ile bu düzlemdeki düz çizginin nokta izdüşümü arasındaki mesafe ile ölçülür. Düz bir çizgi V, H sisteminde genel bir konuma sahipse, o zaman projeksiyon düzlemlerini değiştirerek bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi belirlemek için V, H sistemine iki ek düzlem eklemek gerekir.

İlk önce (Şekil 155, c) kareye giriyoruz. S'yi BC doğru parçasına paralel hale getirin (yeni S/H ekseni bc çıkıntısına paraleldir) ve b s c s ve a s çıkıntılarını oluşturun. Sonra (Şekil 155, d) başka bir kareyi tanıtıyoruz. T, BC düz çizgisine dik (yeni T/S ekseni, s ile b s'ye diktir). t (b t) ve a t ile düz bir çizginin ve bir noktanın izdüşümlerini oluşturuyoruz. a t ve c t (b t) noktaları arasındaki mesafe, A noktasından BC düz çizgisine olan l mesafesine eşittir.

Şek. 155, d'de aynı görev, paralel hareket yöntemi olarak adlandırılan kendi formundaki döndürme yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir. İlk olarak, BC düz çizgisi ve A noktası, göreceli konumları değişmeden, kareye dik olan (çizimde gösterilmeyen) bir düz çizgi etrafında döndürülür. H, öyle ki BC düz çizgisi kareye paraleldir. V. Bu, A, B, C noktalarının kareye paralel düzlemlerde hareket etmesine eşdeğerdir. H. Aynı zamanda ufuk. belirli bir sistemin (BC + A) izdüşümünün boyutu veya konfigürasyonu değişmez, yalnızca x eksenine göre konumu değişir. Ufku yerleştiriyoruz. x eksenine paralel BC düz çizgisinin izdüşümü (b 1 c 1 konumu) ve c 1 1 1 = c-1 ve a 1 1 1 = a-1 ve a 1 1'i bir kenara bırakarak a 1 izdüşümünü belirleyin 1 ⊥ c 1 1 1. X eksenine paralel b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 düz çizgileri çizerek üzerlerindeki ön tarafı buluruz. b" 1, a" 1, c" 1 izdüşümleri. Daha sonra B 2 C 2 ⊥ elde etmek için B 1, C 1 ve A 1 noktalarını V alanına paralel düzlemlerde (yine göreceli konumlarını değiştirmeden) hareket ettiririz. H karesi. Bu durumda düz çizginin ön izdüşümü H karesine dik olacaktır. x,b eksenleri 2 c" 2 = b" 1 c" 1 ve a" 2 projeksiyonunu oluşturmak için b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 almanız gerekir, 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" çizin 2 ve a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1'i bir kenara koyun. Şimdi 1 ile 2 ve 1 ile 2'yi harcadıktan sonra || x 1, 2 ve a 2'den b 2 izdüşümlerini ve A noktasından BC düz çizgisine istenen l mesafesini elde ederiz. A'dan BC'ye olan mesafe, A noktası ve BC düz çizgisi ile tanımlanan düzlemin bu düzlemin yatayı etrafında T || konumuna döndürülmesiyle belirlenebilir. pl. H (Şek. 155, f).

A noktası ve BC düz çizgisi ile tanımlanan düzlemde yatay bir A-1 çizgisi çizin (Şekil 155, g) ve B noktasını onun etrafında döndürerek B noktasını kareye hareket ettirin. R (çizimde R h'nin yanında belirtilmiştir), A-1'e dik; O noktasında B noktasının dönme merkezi vardır. Şimdi VO dönme yarıçapının doğal değerini belirliyoruz (Şekil 155, c). Gerekli konumda, yani pl. A noktası ve BC düz çizgisiyle belirlenen T, || pl. H, B noktası, O noktasından Ob 1 mesafesinde Rh h üzerinde olacaktır (aynı Rh h izi üzerinde, ancak O'nun diğer tarafında başka bir konum olabilir). b1 noktası ufuk çizgisidir. A noktası ve BC düz çizgisi tarafından tanımlanan düzlem T konumunu aldığında, B noktasının uzayda B 1 konumuna hareket ettirildikten sonra izdüşümü.

Çizim (Şekil 155, i) b 1 1 düz çizgisini çizerek ufku elde ederiz. halihazırda bulunan BC düz çizgisinin izdüşümü || pl. H, A ile aynı düzlemdedir. Bu konumda, a'dan b1 1'e olan mesafe istenen mesafe l'ye eşittir. Verilen elemanların bulunduğu P düzlemi kare ile birleştirilebilir. H (Şek. 155, j), kareye dönüyor. Etrafındaki R ufuktur. iz. Düzlemi A noktasına ve BC düz çizgisine göre belirtmekten BC ve A-1 düz çizgilerini belirlemeye (Şekil 155, l) geçerek, bu düz çizgilerin izlerini buluruz ve bunların içinden P ϑ ve Ph izlerini çizeriz. Meydanla birleştirilmiş binayı (Res. 155, m) yapıyoruz. H konumu ön. iz - P ϑ0 .

A noktasından ufku çiziyoruz. ön projeksiyon; birleşik ön kısım P ϑ0'a paralel Ph izi üzerindeki 2 noktasından geçer. A noktası 0 - kare ile birleştirilmiş. H, A noktasının konumudur. Benzer şekilde B 0 noktasını da buluruz. Direkt güneş kare ile birleşiyor. H konumu B 0 noktasından ve m noktasından geçer (düz çizginin yatay izi).

A 0 noktasından B 0 C 0 düz çizgisine olan mesafe, gerekli l mesafesine eşittir.

Belirtilen yapıyı yalnızca bir Ph izi bularak gerçekleştirebilirsiniz (Şekil 155, n ve o). Tüm yapı bir yatay etrafında dönmeye benzer (bkz. Şekil 155, g, c, i): Ph izi pl yataylarından biridir. R.

Bu sorunu çözmek için verilen çizimi dönüştürme yöntemlerinden tercih edilen yöntem yatay veya önden döndürmedir.

158. SABC piramidi verilmiştir (Şekil 156). Mesafeleri belirleyin:

a) paralel hareket yöntemini kullanarak tabanın üst B kısmından AC tarafına;

b) yatay etrafında dönerek piramidin S tepesinden tabanın BC ve AB kenarlarına kadar;

c) projeksiyon düzlemlerini değiştirerek üst S'den tabanın AC tarafına.

159. Bir prizma verilmiştir (Şekil 157). Mesafeleri belirleyin:

a) projeksiyon düzlemlerini değiştirerek AD ve CF kaburgaları arasında;

b) ön kısım etrafında dönerek BE ve CF kaburgaları arasında;

c) AD ve BE kenarları arasında paralel hareketle.

160. ABCD dörtgeninin (Şekil 158) gerçek boyutunu kareyle hizalayarak belirleyin. N. Düzlemin yalnızca yatay izini kullanın.

161*. AB ve CD'nin kesişen düz çizgileri arasındaki mesafeyi belirleyin (Şekil 159, a) ve bunlara ortak bir dikin projeksiyonlarını oluşturun.

Çözüm. Kesişen çizgiler arasındaki mesafe, her iki çizgiye dik olan bir segment (MN) ile ölçülür (Şekil 159, b). Açıkçası, düz çizgilerden biri herhangi bir kareye dik olarak yerleştirilirse. T, o zaman

her iki çizgiye dik olan MN segmenti kareye paralel olacaktır. Bu düzlemdeki izdüşümü gerekli mesafeyi gösterecektir. Projeksiyon dik açı Menad MN n AB pl. T'nin ayrıca m t n t ile at t b t arasında bir dik açı olduğu ortaya çıkıyor, çünkü dik açının kenarlarından biri AMN, yani MN'dir. kareye paralel T.

Şek. 159, c ve d'de gerekli mesafe l, projeksiyon düzlemlerinin değiştirilmesi yöntemiyle belirlenir. İlk önce ek bir kare tanıtıyoruz. S projeksiyonları kareye diktir. H ve düz çizgi CD'ye paralel (Şekil 159, c). Sonra başka bir kare daha ekliyoruz. T, kareye dik. S ve aynı CD düz çizgisine dik (Şekil 159, d). Şimdi, t b t projeksiyonuna dik olan c t (d t) noktasından m t n t çizerek genel dikin bir izdüşümünü oluşturabilirsiniz. m t ve n t noktaları bu dik çizginin AB ve CD düz çizgileriyle kesişme noktalarının izdüşümleridir. m t noktasını kullanarak (Şekil 159, e) m s'yi a s b s üzerinde buluruz: m s n s'nin izdüşümünün T/S eksenine paralel olması gerekir. Daha sonra, m s ve n s'den ab ve cd üzerinde m ve n'yi ve onlardan a"b" ve c"d" üzerinde m" ve n"yi buluyoruz.

Şek. 159, c paralel hareketler yöntemini kullanarak bu problemin çözümünü göstermektedir. İlk önce düz çizgi CD'sini kareye paralel yerleştiriyoruz. V: projeksiyon c 1 d 1 || X. Daha sonra, CD ve AB düz çizgilerini C 1 D 1 ve A 1 B 1 konumlarından C 2 B 2 ve A 2 B 2 konumlarına hareket ettiriyoruz, böylece C 2 D 2 H'ye dik olur: projeksiyon c" 2 d" 2 ⊥ X. Gerekli dikmenin parçası || pl. H ve dolayısıyla m 2 n 2, AB ile CD arasında istenen l mesafesini ifade eder. m" 2 ve n" 2 projeksiyonlarının a" 2 b" 2 ve c" 2 d" 2 üzerindeki konumunu, ardından m 1 ve m" 1, n 1 ve n" 1 projeksiyonlarını ve son olarak, projeksiyonlar m" ve n ", m ve n.

162. SABC piramidi verilmiştir (Şekil 160). Piramidin tabanının SB kenarı ile AC tarafı arasındaki mesafeyi belirleyin ve projeksiyon düzlemlerini değiştirme yöntemini kullanarak SB ve AC'ye ortak bir dikin projeksiyonlarını oluşturun.

163. SABC piramidi verilmiştir (Şekil 161). Piramidin tabanının SH kenarı ile BC kenarı arasındaki mesafeyi belirleyin ve paralel yer değiştirme yöntemini kullanarak SX ve BC'ye ortak dik olanların projeksiyonlarını oluşturun.

164*. Düzlemin aşağıdakilerle belirtildiği durumlarda A noktasından düzleme olan mesafeyi belirleyin: a) BCD üçgeni (Şekil 162, a); b) izler (Şekil 162, b).

Çözüm. Bildiğiniz gibi bir noktanın bir düzleme olan uzaklığı, o noktadan düzleme çizilen dikmenin değeriyle ölçülür. Bu mesafe herhangi bir alana yansıtılır. bu düzlem kareye dik ise tam boyutlu projeksiyonlar. projeksiyonlar (Şekil 162, c). Bu durum çizimin dönüştürülmesiyle, örneğin alanın değiştirilmesiyle sağlanabilir. projeksiyonlar. Pl'yi tanıtalım. S (Şekil 16c, d), kareye dik. BCD üçgeni. Bunu yapmak için meydanda geçiriyoruz. yatay B-1 üçgenini çizin ve S projeksiyon eksenini yatay b-1 projeksiyonuna dik olacak şekilde yerleştirin. Bir noktanın ve bir düzlemin - a s ve bir c s d s parçasının izdüşümlerini oluşturuyoruz. a s'den c s d s'ye olan mesafe, noktanın düzleme olan gerekli l mesafesine eşittir.

Rio'ya. 162, d paralel hareket yöntemi kullanılır. Tüm sistemi yatay B-1 düzlemi V düzlemine dik oluncaya kadar hareket ettiriyoruz: b 1 1 1 projeksiyonu x eksenine dik olmalıdır. Bu konumda üçgenin düzlemi önden çıkıntı yapacak ve A noktasından ona olan l mesafesi pl olacaktır. Bozulma olmadan V.

Şek. 162, b düzlemi izlerle tanımlanır. Ek bir kare ekliyoruz (Şekil 162, e). S, kareye dik. P: S/H ekseni Ph'a diktir. Gerisi çizimden açıkça anlaşılıyor. Şek. 162, g sorun tek bir hareket kullanılarak çözüldü: pl. P, P 1 konumuna gider, yani önden çıkıntılı hale gelir. İzlemek. P 1h x eksenine diktir. Ön cepheyi uçağın bu pozisyonunda inşa ediyoruz. yatay iz n" 1,n 1 noktasıdır. P 1ϑ izi P 1x ve n 1'den geçecektir. a" 1'den P 1ϑ'ye olan mesafe gerekli l mesafesine eşittir.

165. SABC piramidi verilmiştir (bkz. Şekil 160). Paralel hareket yöntemini kullanarak A noktasından SBC piramidinin kenarına kadar olan mesafeyi belirleyin.

166. SABC piramidi verilmiştir (bkz. Şekil 161). Paralel yer değiştirme yöntemini kullanarak piramidin yüksekliğini belirleyin.

167*. AB ve CD kesişen çizgileri arasındaki mesafeyi (bkz. Şekil 159,a), bu çizgiler boyunca çizilen paralel düzlemler arasındaki mesafe olarak belirleyin.

Çözüm. Şek. 163 ve P ve Q düzlemleri birbirine paraleldir, bunlardan pl. Q, AB'ye paralel CD boyunca çizilir ve pl. P - AB'den kareye paralel. Soru: Bu tür düzlemler arasındaki mesafenin AB ve CD düz çizgileri arasındaki mesafe olduğu kabul edilir. Bununla birlikte, kendinizi AB'ye paralel yalnızca bir düzlem (örneğin Q) oluşturmakla sınırlayabilir ve ardından en azından A noktasından bu düzleme olan mesafeyi belirleyebilirsiniz.

Şek. Şekil 163, c, AB'ye paralel olarak CD boyunca çizilen Q düzlemini göstermektedir; "e" ile yapılan projeksiyonlarda || a"b" ve ce || ab. Pl değiştirme yöntemini kullanma. çıkıntılar (Şekil 163, c), ek bir kare ekliyoruz. S, kareye dik. V ve aynı zamanda

kareye dik S. S/V eksenini çizmek için bu düzlemdeki ön D-1'i alın. Şimdi S/V'yi d"1"e dik olarak çiziyoruz (Şekil 163, c). Pl. Q karede tasvir edilecek. S, s d s ile düz bir çizgi olarak. Gerisi çizimden açıkça anlaşılıyor.

168. SABC piramidi verilmiştir (bkz. Şekil 160). SC ve AB kaburgaları arasındaki mesafeyi belirleyin: 1) alanı değiştirme yöntemini uygulayın. projeksiyonlar, 2) paralel hareket yöntemi.

169*. Biri AB ve AC düz çizgileriyle, diğeri DE ve DF düz çizgileriyle tanımlanan paralel düzlemler arasındaki mesafeyi belirleyin (Şekil 164, a). Ayrıca düzlemlerin izlerle belirtildiği durum için de inşaat yapın (Şekil 164, b).

Çözüm. Paralel düzlemler arasındaki mesafe (Şekil 164, c), bir düzlemin herhangi bir noktasından başka bir düzleme dik çizilerek belirlenebilir. Şek. 164, g ek bir kare eklendi. S kareye dik. H ve verilen her iki düzleme. S.H ekseni yataya diktir. düzlemlerden birinde çizilen yatay projeksiyon. Bu düzlemin izdüşümünü ve kare üzerinde başka bir düzlemdeki bir noktayı oluşturuyoruz. 5. d s noktasının l s a s düz çizgisine olan mesafesi, paralel düzlemler arasında gerekli mesafeye eşittir.

Şek. 164, d'de başka bir yapı verilmiştir (paralel hareket yöntemine göre). Kesişen AB ve AC doğruları ile ifade edilen düzlemin kareye dik olabilmesi için. V, ufuk. Bu düzlemin yatay izdüşümünü x eksenine dik olarak ayarladık: 1 1 2 1 ⊥ x. Ön arasındaki mesafe. D noktasının d" 1 projeksiyonu ve a" 1 2" 1 düz çizgisi (düzlemin ön izdüşümü), düzlemler arasında gerekli mesafeye eşittir.

Şek. 164, e, ilave bir karenin eklenmesini göstermektedir. S, H alanına ve verilen P ve Q düzlemlerine diktir (S/H ekseni Ph ve Qh izlerine diktir). P'lerin ve Q'ların izlerini inşa ediyoruz. Aralarındaki mesafe (bkz. Şekil 164, c), P ve Q düzlemleri arasında istenen l mesafesine eşittir.

Şek. Şekil 164, g, P 1 n Q 1 düzlemlerinin ufukta P 1 ve Q 1 konumuna hareketini gösterir. izlerin x eksenine dik olduğu ortaya çıkar. Yeni cepheler arasındaki mesafe. P 1ϑ ve Q 1ϑ izleri istenen mesafe l'ye eşittir.

170. Paralel uçlu ABCDEFGH göz önüne alındığında (Şekil 165). Mesafeleri belirleyin: a) paralel borunun tabanları arasında - l 1; b) ABFE ve DCGH - l 2 yüzleri arasında; c) ADHE ve BCGF-1 3'ün yüzleri arasında.

Bu makale konu hakkında konuşuyor « bir noktadan bir çizgiye olan mesafe », Koordinat yöntemini kullanarak bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin tanımını resimli örneklerle tartışır. Sondaki her teori bloğu benzer problemlerin çözümüne ilişkin örnekler göstermiştir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, noktadan noktaya olan mesafenin belirlenmesiyle bulunur. Daha yakından bakalım.

Bir a doğrusu ve verilen doğruya ait olmayan bir M 1 noktası olsun. Bunun aracılığıyla, a düz çizgisine dik olan düz bir b çizgisi çiziyoruz. Doğruların kesişme noktasını H 1 olarak alalım. M 1 H 1'in, M 1 noktasından a düz çizgisine indirilen bir dikme olduğunu elde ederiz.

Tanım 1

M 1 noktasından a düz çizgisine olan mesafe M 1 ve H 1 noktaları arasındaki mesafeye denir.

Dikmenin uzunluğunu içeren tanımlar vardır.

Tanım 2

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe belirli bir noktadan belirli bir doğruya çizilen dikmenin uzunluğudur.

Tanımlar eşdeğerdir. Aşağıdaki şekli düşünün.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin mümkün olan en küçük mesafe olduğu bilinmektedir. Buna bir örnekle bakalım.

M 1 noktasıyla çakışmayan, düz bir a çizgisi üzerinde uzanan bir Q noktası alırsak, M 1 Q segmentinin, M 1'den a düz çizgisine indirilmiş eğimli bir segment olarak adlandırıldığını buluruz. M1 noktasından dikilen çizginin, bu noktadan düz çizgiye çizilen herhangi bir eğimli çizgiden daha küçük olduğunu belirtmek gerekir.

Bunu kanıtlamak için M 1 Q 1 H 1 üçgenini düşünün; burada M 1 Q 1 hipotenüstür. Uzunluğunun her zaman herhangi bir bacağın uzunluğundan daha büyük olduğu bilinmektedir. Bu, M 1 H 1'e sahip olduğumuz anlamına gelir< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Bir noktadan bir çizgiye bulmak için ilk veriler, çeşitli çözüm yöntemlerini kullanmanıza olanak tanır: Pisagor teoremi aracılığıyla sinüs, kosinüs, bir açının tanjantı ve diğerlerinin belirlenmesi. Bu tür görevlerin çoğu okulda geometri dersleri sırasında çözülür.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulurken dikdörtgen bir koordinat sistemi uygulamak mümkün olduğunda koordinat yöntemi kullanılır. Bu paragrafta, belirli bir noktadan gerekli mesafeyi bulmanın iki ana yöntemini ele alacağız.

İlk yöntem, M1'den a düz çizgisine çizilen dik mesafenin aranmasını içerir. İkinci yöntem, gerekli mesafeyi bulmak için düz çizgi a'nın normal denklemini kullanır.

Düzlemde dikdörtgen koordinat sisteminde yer alan M 1 (x 1, y 1) koordinatlı, düz çizgi a olan bir nokta varsa ve M 1 H 1 mesafesini bulmanız gerekiyorsa, hesaplamayı iki şekilde yapabilirsiniz. yollar. Şimdi onlara bakalım.

İlk yol

H 1 noktasının x 2, y 2'ye eşit koordinatları varsa, noktadan çizgiye olan mesafe M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) formülündeki koordinatlar kullanılarak hesaplanır. - ve 1) 2.

Şimdi H 1 noktasının koordinatlarını bulmaya geçelim.

O x y'deki bir düz çizginin, düzlemdeki bir düz çizginin denklemine karşılık geldiği bilinmektedir. Düz bir çizgiyi a yazarak belirtme yöntemini ele alalım. genel denklem düz çizgi veya eğim denklemleri. Belirli bir a düz çizgisine dik olarak M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemini oluşturuyoruz. Düz çizgiyi b harfiyle gösterelim. H 1, a ve b çizgilerinin kesişme noktasıdır; bu, makaleyi kullanmanız gereken koordinatları belirlemek anlamına gelir. hakkında konuşuyoruz iki doğrunun kesişme noktalarının koordinatları hakkında.

Belirli bir M 1 noktasından (x 1, y 1) düz çizgi a'ya olan mesafeyi bulma algoritmasının noktalara göre gerçekleştirildiği görülebilir:

Tanım 3

• A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 formundaki bir düz çizginin genel denklemini veya y = k 1 x + b 1 formundaki açı katsayılı bir denklemi bulmak;
• b çizgisinin genel bir denkleminin elde edilmesi, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 formuna sahip olması veya b çizgisinin M 1 noktasıyla kesişmesi ve dik olması durumunda y = k 2 x + b 2 açısal katsayısına sahip bir denklemin elde edilmesi belirli bir satır a;
• a ve b'nin kesişme noktası olan H 1 noktasının x 2, y 2 koordinatlarının belirlenmesi, bu amaçla sistem çözümü doğrusal denklemler A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 veya y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 formülünü kullanarak bir noktadan bir çizgiye gerekli mesafenin hesaplanması.

İkinci yol

Teorem, bir düzlem üzerinde belirli bir noktadan belirli bir düz çizgiye olan mesafeyi bulma sorusunun yanıtlanmasına yardımcı olabilir.

Teorem

Dikdörtgen koordinat sistemi O x y'nin, düzlemin normal denklemi tarafından verilen, cos α x + cos β y formuna sahip, düzleme düz bir çizginin çizildiği bir M 1 (x 1, y 1) noktasına sahiptir. - p = 0, eşit Doğrunun normal denkleminin sol tarafında elde edilen, x = x 1, y = y 1'de hesaplanan mutlak değer, M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β anlamına gelir · y 1 - s.

Kanıt

A çizgisi, düzlemin normal denklemine karşılık gelir, cos α x + cos β y - p = 0 formuna sahiptir, bu durumda n → = (cos α, cos β), a çizgisinin belirli bir mesafedeki normal vektörü olarak kabul edilir. Başlangıç ​​noktasından p birimli a çizgisine. Şekildeki tüm verileri görüntülemek, M 1 (x 1, y 1) koordinatlarına sahip bir nokta eklemek gerekir; burada M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1) noktasının yarıçap vektörü bulunur. Bir noktadan M 1 H 1 olarak ifade ettiğimiz düz bir çizgiye doğru bir çizgi çizmek gerekir. M 1 ve H 2 noktalarının M 2 ve H 2 izdüşümlerini, O noktasından geçen düz bir çizgi üzerinde n → = (cos α, cos β) biçiminde bir yön vektörüyle göstermek ve şunu belirtmek gerekir: O M 1 → = (x 1, y 1) şeklindeki vektörün n → = (cos α, cos β) yönüne sayısal izdüşümü, n p n → O M 1 → .

Değişiklikler M1 noktasının konumuna bağlıdır. Aşağıdaki şekle bakalım.

Sonuçları M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p formülünü kullanarak sabitliyoruz. Daha sonra n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 elde etmek için eşitliği M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p formuna getiririz.

Vektörlerin skaler çarpımı, koordinat formunda bir ürün olan n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → biçiminde dönüştürülmüş bir formülle sonuçlanır. n → , Ö M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 formundadır. Bu, n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 sonucunu elde ettiğimiz anlamına gelir. Bundan M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p olduğu sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı.

Düzlemde M 1 (x 1, y 1) noktasından a düz çizgisine olan mesafeyi bulmak için birkaç işlem yapmanız gerektiğini bulduk:

Tanım 4

• görevde olmaması koşuluyla a cos α · x + cos β · y - p = 0 düz çizgisinin normal denkleminin elde edilmesi;
• cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ifadesinin hesaplanması, burada ortaya çıkan değer M 1 H 1'i alır.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulma problemlerini çözmek için bu yöntemleri uygulayalım.

Örnek 1

M 1 (- 1, 2) koordinatlı noktadan 4 x - 3 y + 35 = 0 düz çizgisine olan mesafeyi bulun.

Çözüm

Çözüm için ilk yöntemi kullanalım.

Bunu yapmak için, 4 x - 3 y + 35 = 0 çizgisine dik olarak belirli bir M 1 (- 1, 2) noktasından geçen b çizgisinin genel denklemini bulmak gerekir. Koşuldan, b düz çizgisinin a düz çizgisine dik olduğu açıktır, bu durumda yön vektörünün koordinatları (4, - 3)'e eşittir. Böylece, b doğrusuna ait M1 noktasının koordinatları olduğundan, b çizgisinin kanonik denklemini düzlemde yazma fırsatına sahip oluyoruz. b doğrusunun yön vektörünün koordinatlarını belirleyelim. x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 sonucunu elde ederiz. Ortaya çıkan kanonik denklemin genel bir denkleme dönüştürülmesi gerekir. O zaman bunu anlıyoruz

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

H 1 tanımı olarak alacağımız çizgilerin kesişme noktalarının koordinatlarını bulalım. Dönüşümler şöyle görünür:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Yukarıda yazılanlardan H1 noktasının koordinatlarının (- 5; 5)'e eşit olduğunu görüyoruz.

M1 noktasından a düz çizgisine olan mesafeyi hesaplamak gerekir. M 1 (- 1, 2) ve H 1 (- 5, 5) noktalarının koordinatlarını bulduktan sonra mesafeyi bulmak için bunları formülde yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

İkinci çözüm.

Başka bir şekilde çözmek için doğrunun normal denklemini elde etmek gerekir. Normalleştirme faktörünün değerini hesaplıyoruz ve denklemin her iki tarafını da 4 x - 3 y + 35 = 0 ile çarpıyoruz. Buradan normalleştirme faktörünün - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5'e eşit olduğunu ve normal denklemin - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 biçiminde olacağını anlıyoruz. ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Hesaplama algoritmasına göre doğrunun normal denkleminin elde edilmesi ve x = - 1, y = 2 değerleriyle hesaplanması gerekmektedir. O zaman bunu anlıyoruz

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Bundan, M 1 (- 1, 2) noktasından verilen 4 x - 3 y + 35 = 0 düz çizgisine olan mesafenin - 5 = 5 değerine sahip olduğunu elde ederiz.

Cevap: 5 .

Bu yöntemde doğrunun normal denkleminin kullanılmasının önemli olduğu görülmektedir, çünkü bu yöntem en kısa yöntemdir. Ancak ilk yöntem uygundur çünkü daha fazla hesaplama noktasına sahip olmasına rağmen tutarlı ve mantıklıdır.

Örnek 2

Düzlemde M 1 (8, 0) noktası ve y = 1 2 x + 1 düz çizgisi olan O x y dikdörtgen koordinat sistemi vardır. Belirli bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi bulun.

Çözüm

İlk şekilde çözme, belirli bir denklemi denklemin eğimiyle azaltmayı içerir genel görünüm. Basitleştirmek için bunu farklı şekilde yapabilirsiniz.

Dik düz çizgilerin açısal katsayılarının çarpımı -1 değerine sahipse, o zaman eğim Verilen y = 1 2 x + 1'e dik olan doğrunun değeri 2'dir. Şimdi koordinatları M 1 (8, 0) olan bir noktadan geçen bir çizginin denklemini elde ediyoruz. Elimizde y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 var.

H 1 noktasının koordinatlarını, yani y = - 2 x + 16 ve y = 1 2 x + 1 kesişme noktalarını bulmaya devam ediyoruz. Bir denklem sistemi oluştururuz ve şunu elde ederiz:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Buradan, M 1 (8, 0) koordinatlı noktadan y = 1 2 x + 1 düz çizgisine olan mesafenin, M 1 (8, 0) koordinatlı başlangıç ​​noktası ve bitiş noktasından olan mesafeye eşit olduğu sonucu çıkar ve H1(6,4) . M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 olduğunu hesaplayıp bulalım.

İkinci yoldaki çözüm ise katsayılı bir denklemden normal formuna geçmektir. Yani, y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 elde edersek normalleştirme faktörünün değeri - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 olacaktır. Bundan, doğrunun normal denkleminin - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 biçimini aldığı sonucu çıkar. Hesaplamayı M 1 8, 0 noktasından - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 formundaki bir doğruya kadar yapalım. Şunu elde ederiz:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Cevap: 2 5 .

Örnek 3

M 1 (- 2, 4) koordinatlı noktadan 2 x - 3 = 0 ve y + 1 = 0 çizgilerine olan mesafeyi hesaplamak gerekir.

Çözüm

2 x - 3 = 0 düz çizgisinin normal formunun denklemini elde ederiz:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Daha sonra M 1 - 2, 4 noktasından x - 3 2 = 0 düz çizgisine olan mesafeyi hesaplamaya devam ediyoruz. Şunu elde ederiz:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Düz çizginin denklemi y + 1 = 0, -1 değerine eşit bir normalleştirme faktörüne sahiptir. Bu, denklemin - y - 1 = 0 formunu alacağı anlamına gelir. M 1 (- 2, 4) noktasından düz çizgi - y - 1 = 0'a olan mesafeyi hesaplamaya devam ediyoruz. - 4 - 1 = 5'e eşit olduğunu buluyoruz.

Cevap: 3 1 2 ve 5.

Düzlemdeki belirli bir noktadan uzaklığı bulmaya daha yakından bakalım. koordinat eksenleri O x ve O y.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde, O ekseni y, tamamlanmamış ve x = 0 ve O x - y = 0 biçiminde olan bir düz çizgi denklemine sahiptir. Denklemler koordinat eksenleri için normaldir, bu durumda M 1 x 1, y 1 koordinatlarına sahip noktadan çizgilere olan mesafeyi bulmak gerekir. Bu, M 1 H 1 = x 1 ve M 1 H 1 = y 1 formüllerine göre yapılır. Aşağıdaki şekle bakalım.

Örnek 4

M 1 (6, - 7) noktasından O xy düzleminde bulunan koordinat çizgilerine olan mesafeyi bulun.

Çözüm

y = 0 denklemi Ox doğrusuyla ilgili olduğundan M 1 s'ye olan uzaklığı bulabiliriz. verilen koordinatlar, formülü kullanarak bu düz çizgiye. 6 = 6 elde ederiz.

x = 0 denklemi O y düz çizgisini ifade ettiğinden, formülü kullanarak M 1'den bu düz çizgiye olan mesafeyi bulabilirsiniz. O zaman şunu elde ederiz: 7 = 7.

Cevap: M 1'den Ox'e olan mesafe 6 değerine ve M 1'den O y'ye olan mesafe 7'ye sahiptir.

Üç boyutlu uzayda M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktamız olduğunda, A noktasından a düz çizgisine olan mesafeyi bulmak gerekir.

Uzayda bulunan bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamanıza olanak tanıyan iki yöntemi ele alalım. İlk durum, M1 noktasından bir çizgiye olan mesafeyi dikkate alır; burada çizgi üzerindeki bir nokta H1 olarak adlandırılır ve M1 noktasından a çizgisine çizilen bir dikmenin tabanıdır. İkinci durum, bu düzlemin noktalarının paralelkenarın yüksekliği olarak aranması gerektiğini göstermektedir.

İlk yol

Tanımdan, a düz çizgisi üzerinde bulunan M 1 noktasından olan mesafenin, M 1 H 1 dik çizgisinin uzunluğu olduğunu elde ederiz, sonra bunu H 1 noktasının bulunan koordinatları ile elde ederiz, sonra M arasındaki mesafeyi buluruz. 1 (x 1, y 1, z 1 ) ve H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 formülüne göre - z1 2.

Bütün çözümün, M1'den a düz çizgisine çizilen dikmenin tabanının koordinatlarını bulmaya yönelik olduğunu görüyoruz. Bu şu şekilde yapılır: H 1, a düz çizgisinin verilen noktadan geçen düzlemle kesiştiği noktadır.

Bu, M 1 noktasından (x 1, y 1, z 1) uzaydaki a çizgisine olan mesafeyi belirleme algoritmasının birkaç noktayı ima ettiği anlamına gelir:

Tanım 5

• χ düzleminin denkleminin, çizgiye dik olarak yerleştirilmiş belirli bir noktadan geçen düzlemin denklemi olarak hazırlanması;
• a düz çizgisi ile χ düzleminin kesişme noktası olan H 1 noktasına ait koordinatların (x 2, y 2, z 2) belirlenmesi;
• M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 formülünü kullanarak bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak.

İkinci yol

Düz bir çizgiye sahip olmamız koşulundan, x 3, y 3, z 3 koordinatlarıyla a → = a x, a y, a z yön vektörünü ve a düzlüğüne ait belirli bir M3 noktasını belirleyebiliriz. M 1 (x 1, y 1) ve M 3 x 3, y 3, z 3 noktalarının koordinatlarına sahipseniz, M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

a → = a x, a y, a z ve M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 vektörlerini M 3 noktasından bir kenara koyup birleştirmeli ve bir paralelkenar elde etmeliyiz. figür. M 1 H 1 paralelkenarın yüksekliğidir.

Aşağıdaki şekle bakalım.

M 1 H 1 yüksekliğinin gerekli mesafe olduğunu biliyoruz, o zaman formülü kullanarak onu bulmamız gerekiyor. Yani M 1 H 1'i arıyoruz.

Paralelkenarın alanını a → = (a x, a y, a z) ve M 3 M 1 → = x 1 - x 3 vektörünü kullanan formülle bulunan S harfiyle gösterelim. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Alan formülü şu şekildedir: S = a → × M 3 M 1 → . Ayrıca, şeklin alanı kenarlarının uzunlukları ve yüksekliğinin çarpımına eşittir, S = a → · M 1 H 1 ile a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 elde ederiz. paralelkenarın kenarına eşit olan a → = (a x, a y, a z) vektörünün uzunluğudur. Bu, M 1 H 1'in noktadan çizgiye olan mesafe olduğu anlamına gelir. M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → formülü kullanılarak bulunur.

M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktadan uzaydaki düz bir çizgiye olan mesafeyi bulmak için, algoritmanın birkaç adımını gerçekleştirmeniz gerekir:

Tanım 6

• a - a → = (a x, a y, a z) düz çizgisinin yön vektörünün belirlenmesi;
• yön vektörünün uzunluğunun hesaplanması a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• a düz çizgisi üzerinde bulunan M3 noktasına ait x3 , y3 , z3 koordinatlarının elde edilmesi;
• M 3 M 1 → vektörünün koordinatlarının hesaplanması;
• a → (a x , a y , a z) ve M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 vektörlerinin vektör çarpımını a → × M 3 M 1 → = i olarak bulma → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 a → × M 3 M 1 → formülünü kullanarak uzunluğu elde etmek için;
• bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin hesaplanması M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Uzayda belirli bir noktadan belirli bir çizgiye olan mesafeyi bulma problemlerini çözme

M 1 2, - 4, - 1 koordinatlarına sahip noktadan x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 çizgisine olan mesafeyi bulun.

Çözüm

İlk yöntem, M1'den geçen ve belirli bir noktaya dik olan χ düzleminin denkleminin yazılmasıyla başlar. Şöyle bir ifade elde ederiz:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Koşulun belirttiği çizgiye χ düzlemi ile kesişme noktası olan H 1 noktasının koordinatlarını bulmak gerekir. Kanonik görünümden kesişen görünüme geçmelisiniz. Daha sonra şu formda bir denklem sistemi elde ederiz:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 sistemini hesaplamak gerekir. Cramer yöntemine göre 2 x - y + 5 z = 3, o zaman şunu elde ederiz:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Buradan H 1 (1, - 1, 0) elde ederiz.

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

İkinci yöntem, kanonik denklemdeki koordinatları arayarak başlamalıdır. Bunu yapmak için kesrin paydalarına dikkat etmeniz gerekir. O halde a → = 2, - 1, 5, x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 doğrusunun yön vektörüdür. Uzunluğu a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 formülünü kullanarak hesaplamak gerekir.

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 düz çizgisinin M 3 (- 1 , 0 , - 5) noktasıyla kesiştiği açıktır, dolayısıyla M 3 (- 1 , 0 , - 5) ve M 1 2, - 4, - 1 noktasındaki sonu M 3 M 1 → = 3, - 4, 4'tür. a → = (2, - 1, 5) ve M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) vektör çarpımını bulun.

a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · şeklinde bir ifade elde ederiz. j → = 16 · ben → + 7 · j → - 5 · k →

vektör çarpımının uzunluğunun a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330'a eşit olduğunu buluruz.

Düz bir çizginin bir noktadan uzaklığını hesaplamak için formülü kullanacak tüm verilere sahibiz, o halde bunu uygulayalım ve şunu elde edelim:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Cevap: 11 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

St.Petersburg Devlet Denizcilik Teknik Üniversitesi

Bilgisayar Grafikleri ve Bilgi Desteği Bölümü

DERS 3

PRATİK GÖREV No. 3

Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafenin belirlenmesi.

Aşağıdaki yapıları gerçekleştirerek bir nokta ile düz bir çizgi arasındaki mesafeyi belirleyebilirsiniz (bkz. Şekil 1):

· noktadan İLE dikliği düz bir çizgiye indirin A;

· bir noktayı işaretleyin İLE bir dikin düz bir çizgiyle kesişmesi;

segmentin uzunluğunu ölç KS, başlangıcı belirli bir noktadır ve sonu işaretli kesişme noktasıdır.

Şekil 1. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Bu tür problemleri çözmenin temeli dik açılı projeksiyon kuralıdır: bir dik açının yanlarından en az biri projeksiyon düzlemine paralelse bozulma olmadan yansıtılır(yani özel bir konuma sahiptir). Böyle bir durumla başlayalım ve bir noktadan uzaklığı belirlemeye yönelik yapıları ele alalım. İLE düz bir çizgi parçasına AB.

Bu görevde test örneği yoktur ve bireysel görevleri tamamlama seçenekleri aşağıda verilmiştir. masa1 ve masa2. Sorunun çözümü aşağıda anlatılmıştır ve karşılık gelen yapılar Şekil 2'de gösterilmektedir.

1. Bir noktadan belirli bir çizgiye olan mesafenin belirlenmesi.

İlk olarak bir noktanın ve bir doğru parçasının izdüşümleri oluşturulur. Projeksiyon A1B1 eksene paralel X. Bu şu anlama geliyor: Segment AB düzleme paralel P2. Eğer noktadan İLE dik olarak çiz AB, daha sonra dik açı düzleme bozulma olmadan yansıtılır P2. Bu, bir noktadan dik çizmenizi sağlar C2 projeksiyona A2B2.

Açılır menü Çizim Segmenti (Çizmek- Astar) . İmleci noktaya yerleştir C2 ve bunu segmentin ilk noktası olarak sabitleyin. İmleci segmentin normali yönünde hareket ettirin A2B2 ve ipucu göründüğü anda ikinci noktayı sabitleyin Normal (Dik) . Oluşturulan noktayı işaretleyin K2. Modu etkinleştir ORTO(ORTO) ve noktadan itibaren K2çıkıntıyla kesişene kadar dikey bir bağlantı çizgisi çizin A1 B1. Kesişme noktasını şu şekilde belirleyin: K1. Nokta İLE, segmentin üzerinde yatıyor AB noktasından çizilen dikmenin kesişme noktasıdır. İLE, segmentli AB. Böylece, segment KS noktadan çizgiye gerekli mesafedir.

Yapılardan açıkça görülüyor ki segment KS genel bir konum işgal eder ve bu nedenle projeksiyonları çarpıktır. Mesafeden bahsederken her zaman şunu kastediyoruz: segmentin gerçek değeri, mesafeyi ifade ediyor. Bu nedenle segmentin gerçek değerini bulmamız gerekiyor. KS,örneğin belirli bir konuma döndürerek, KS|| P1. Yapımların sonucu Şekil 2'de gösterilmektedir.

Şekil 2'de gösterilen yapılardan şu sonuca varabiliriz: çizginin özel konumu (segment paraleldir) P1 veya P2) bir noktadan çizgiye olan mesafenin projeksiyonlarını hızlı bir şekilde oluşturmanıza olanak tanır, ancak bunlar bozuktur.

Şekil 2. Bir noktadan belirli bir çizgiye olan mesafenin belirlenmesi.

2. Bir noktadan genel bir çizgiye olan mesafenin belirlenmesi.

Segment her zaman başlangıç ​​koşulunda belirli bir konumu işgal etmez. Genel bir başlangıç ​​konumuyla, bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi belirlemek için aşağıdaki yapılar gerçekleştirilir:

a) çizim dönüştürme yöntemini kullanarak, bir parçayı genel bir konumdan belirli bir konuma dönüştürün - bu, mesafe projeksiyonlarının (bozuk) oluşturulmasına izin verecektir;

b) yöntemi tekrar kullanarak, gerekli mesafeye karşılık gelen segmenti belirli bir konuma dönüştürün - mesafenin gerçek olana eşit büyüklükte bir projeksiyonunu elde ederiz.

Bir noktaya olan mesafeyi belirlemek için yapıların sırasını göz önünde bulundurun A genel konumdaki bir segmente Güneş(Şekil 3).

İlk dönüşte Segmentin özel konumunu elde etmek gereklidir İÇİNDEC. Bunu katmanda yapmak için TMR noktaları birleştirmem lazım B2, C2 Ve A2. Komutu kullanma Değiştir-Döndür (Değiştir – Döndür) üçgen В2С2А2 bir nokta etrafında döndürmek C2 yeni projeksiyonun olduğu konuma B2*C2 kesinlikle yatay olarak yerleştirilecektir (nokta İLE hareketsizdir ve bu nedenle yeni izdüşümü orijinaliyle ve atamayla örtüşür C2* Ve C1*çizimde gösterilmeyebilir). Sonuç olarak segmentin yeni projeksiyonları elde edilecek B2*C2 ve puanlar: A2*. Sonraki noktalardan A2* Ve B2* dikey olanlar gerçekleştirilir ve noktalardan B1 Ve A1 yatay iletişim hatları. Karşılık gelen çizgilerin kesişimi, yeni yatay projeksiyonun noktalarının konumunu belirleyecektir: segment B1*C1 ve noktalar A1*.

Ortaya çıkan özel konumda bunun için uzaklık projeksiyonları oluşturabiliriz: noktadan A1* normal olan B1*C1. Bunların karşılıklı kesiştiği nokta K1*. Bu noktadan projeksiyonla kesişene kadar dikey bir bağlantı çizgisi çizilir. B2*C2. Bir nokta işaretlendi K2*. Sonuç olarak segmentin projeksiyonları elde edildi. AK noktadan gerekli mesafe olan A düz bir çizgi parçasına Güneş.

Daha sonra, başlangıç ​​koşulunda mesafe projeksiyonlarının oluşturulması gereklidir. Bunu şu noktadan yapmak için K1* projeksiyonla kesişene kadar yatay bir çizgi çizmek uygundur V1S1 ve kesişim noktasını işaretleyin K1. Daha sonra bir nokta oluşturulur K2 segmentin ön projeksiyonunda ve projeksiyonlar gerçekleştirilir A1K1 Ve A2K2. Yapımların bir sonucu olarak, mesafenin projeksiyonları elde edildi, ancak segmentin hem başlangıçtaki hem de yeni kısmi konumunda Güneş, bölüm AK genel bir konum işgal eder ve bu, tüm projeksiyonlarının çarpık olmasına yol açar.

İkinci rotasyonda segmenti döndürmek gerekiyor AK mesafenin gerçek değerini belirlememizi sağlayacak belirli bir konuma - projeksiyon A2*K2**. Tüm yapıların sonucu Şekil 3'te gösterilmektedir.

GÖREV No. 3-1. İLE bir parça tarafından belirtilen belirli bir konuma sahip düz bir çizgiye AB. Cevabı mm cinsinden verin (Tablo 1).Projeksiyon lenslerini çıkarın

Tablo 1

GÖREV No. 3-2. Bir noktaya olan gerçek mesafeyi bulun M segment tarafından verilen genel konumda düz bir çizgiye ED. Cevabı mm cinsinden verin (Tablo 2).

Tablo 2

Kontrol ve geçme tamamlandı GÖREV No. 3.

Belirli bir M noktasından L düz çizgisine olan mesafeyi hesaplamak için şunu kullanabilirsiniz: farklı yollar. Örneğin, L doğrusu üzerinde keyfi bir M 0 noktası alırsak, o zaman şunu belirleyebiliriz: M 0 M vektörünün doğrunun normal vektörünün yönüne dik izdüşümü. Bu projeksiyon, bir işarete kadar gerekli mesafedir.

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamanın başka bir yolu da, bir doğrunun normal denklemi. L düz çizgisi normal denklem (4.23) tarafından verilsin. M(x; y) noktası L doğrusu üzerinde değilse, pr n OM ortogonal izdüşümü yarıçap vektörü M noktasının L düz çizgisinin birim normal vektörü n'nin yönüne oranı, OM ve n vektörlerinin skaler çarpımına eşittir; x cosφ + y sinφ. Aynı projeksiyon, başlangıç ​​noktasından çizgiye olan p mesafesinin ve belirli bir δ değerinin toplamına eşittir (Şekil 4.10). δ değeri mutlak değer M noktasından düz çizgiye olan mesafeye eşittir. Ayrıca, M ve O noktaları düz çizginin karşıt taraflarında bulunuyorsa δ > 0'dır ve δ, M noktasının düz çizgiden sapmasıdır.

M(x; y) noktasının L düz çizgisinden sapması δ, pr n OM projeksiyonu ile başlangıç ​​noktasından düz çizgiye olan p mesafesi arasındaki fark olarak hesaplanır (bkz. Şekil 4.10), yani. δ = x cosφ + y sinφ - p.

Bu formülü kullanarak, M(x; y) noktasından L düz çizgisine olan p(M, L) mesafesini normal denklemle verilen p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Bitişik iki açının toplamı 180° olur

Yukarıdaki dönüştürme prosedürünü dikkate alarak doğrunun genel denklemi normal denkleminde, M(x; y) noktasından L düz çizgisine kadar olan mesafe için genel denklemle verilen bir formül elde ederiz:

Örnek 4.8. A köşesinden çıkan ABC üçgeninin AH yüksekliği, ortanca AM ve AD açıortayı için genel denklemleri bulalım. Üçgenin köşelerinin koordinatları bilinmektedir: A(-1;- 3), B(7; 3) ), C(1;7).

Her şeyden önce, örneğin durumunu açıklığa kavuşturalım: belirtilen denklemlerle, belirtilen üçgenin AH, ortanca AM ve AD açıortayının bulunduğu L AH, L AM ve L AD çizgilerinin denklemlerini kastediyoruz. sırasıyla (Şekil 4.11).

LAM düz çizgisinin denklemini bulmak için medyanın üçgenin karşı tarafını ikiye bölmesi gerçeğini kullanırız. BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5 kenarının ortasının koordinatlarını (x 1 ; y 1) bulduktan sonra L denklemini yazıyoruz. formda AM iki noktadan geçen doğrunun denklemleri,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Dönüşümlerden sonra medyanın genel denklemini elde ederiz: 8x - 5y - 7 = 0./p>

L AH yüksekliğinin denklemini bulmak için yüksekliğin üçgenin karşı kenarına dik olduğu gerçeğini kullanırız. Bu nedenle BC vektörü AH yüksekliğine diktir ve L AH düz çizgisinin normal vektörü olarak seçilebilir. Bu doğrunun denklemini (4.15)'ten A noktasının koordinatları ile LAH doğrusunun normal vektörünü değiştirerek elde ederiz:

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Dönüşümlerden sonra genel yükseklik denklemi 3x - 2y - 3 = 0'ı elde ederiz.

L AD açıortayının denklemini bulmak için, AD açıortayının L AB ve L AC doğrularından eşit uzaklıktaki N(x; y) noktalarının kümesine ait olduğu gerçeğini kullanırız. Bu setin denklemi şu şekildedir:

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

A noktasından geçen ve L AB ve L AC doğruları arasındaki açıları ikiye bölen iki doğruyu tanımlar. İki noktadan geçen bir doğrunun denklemini kullanarak L AB ve L AC doğrularının genel denklemlerini buluruz:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7) + 3)

Dönüşümlerden sonra L AB: 3x - 4y - 9 = 0, L AC: 5x - y + 2 = 0 elde ederiz. Bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için (4.27) formülünü kullanarak Denklem (4.28)'i yazarız. form

Modülleri genişleterek dönüştürelim:

Sonuç olarak iki doğrunun genel denklemlerini elde ederiz

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Onlardan açıortay denklemini seçmek için, üçgenin B ve C köşelerinin istenen çizginin karşıt taraflarında bulunduğunu dikkate alırız ve bu nedenle koordinatlarını yerine koyarız. sol taraf L AD düz çizgisinin genel denklemi şu değerleri vermelidir: farklı işaretler. Üst işarete karşılık gelen denklemi seçiyoruz, yani.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

B noktasının koordinatlarını bu denklemin sol tarafına koymak negatif bir değer verir, çünkü

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

ve C noktasının koordinatları için aynı işaret elde edilir, çünkü

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Sonuç olarak, B ve C köşeleri seçilen denklemle doğrunun aynı tarafında bulunur ve bu nedenle açıortay denklemi şu şekildedir:

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

Bir noktadan bir çizgiye olan uzaklık, o noktadan çizgiye çizilen dikmenin uzunluğudur. Tanımlayıcı geometride aşağıda verilen algoritma kullanılarak grafiksel olarak belirlenir.

Algoritma

1. Düz çizgi herhangi bir projeksiyon düzlemine paralel olacak bir konuma taşınır. Bu amaçla dik projeksiyonları dönüştürme yöntemleri kullanılır.
2. Bir noktadan bir doğruya bir dik çizilir. Bu yapı, dik açının izdüşümüne ilişkin teoreme dayanmaktadır.
3. Bir dikmenin uzunluğu, izdüşümlerinin dönüştürülmesi veya dik üçgen yöntemi kullanılarak belirlenir.

Aşağıdaki şekil gösterilmektedir karmaşık çizim M noktası ve b doğrusu CD segmenti tarafından tanımlanır. Aralarındaki mesafeyi bulmanız gerekiyor.

Algoritmamıza göre yapılacak ilk şey çizgiyi projeksiyon düzlemine paralel bir konuma taşımaktır. Dönüşümler gerçekleştirildikten sonra nokta ile çizgi arasındaki gerçek mesafenin değişmemesi gerektiğini anlamak önemlidir. Bu nedenle burada, uzayda hareket eden figürleri içermeyen düzlem değiştirme yöntemini kullanmak uygundur.

İnşaatın ilk aşamasının sonuçları aşağıda gösterilmiştir. Şekil, b'ye paralel olarak ilave bir ön düzlem P4'ün nasıl yerleştirildiğini göstermektedir. İÇİNDE yeni sistem(P 1, P 4) C"" 1, D"" 1, M"" 1 noktaları X ekseni 1'den C"", D"", M"" ile X ekseninden aynı mesafededir.

Algoritmanın ikinci bölümünü gerçekleştirerek, M"" 1'den M"" 1 N"" 1 dik çizgisini b"" 1 düz çizgisine indiriyoruz, çünkü b ve MN arasındaki MND dik açısı P düzlemine yansıtılıyor. 4 tam boy. İletişim hattını kullanarak N" noktasının konumunu belirliyoruz ve MN segmentinin M"N" projeksiyonunu gerçekleştiriyoruz.

Son aşamada, MN segmentinin boyutunu M"N" ve M"" 1 N"" 1 projeksiyonlarından belirlemeniz gerekir. Bunun için inşa ediyoruz dik üçgen M"" 1 N"" 1 N 0, ayağı N"" 1 N 0, M" ve N" noktalarının X 1 ekseninden uzaklığının farkına (Y M 1 – Y N 1) eşittir. M"" 1 N"" 1 N 0 üçgeninin M"" 1 N 0 hipotenüsünün uzunluğu, M'den b'ye istenen mesafeye karşılık gelir.

İkinci çözüm

• CD'ye paralel olarak yeni bir ön düzlem P 4'ü tanıtıyoruz. P 1 ile X 1 ekseni boyunca ve X 1 ∥C"D" ile kesişir. Düzlemleri değiştirme yöntemine uygun olarak, şekilde gösterildiği gibi C"" 1, D"" 1 ve M"" 1 noktalarının projeksiyonlarını belirliyoruz.
• C"" 1 D"" 1'e dik olarak ek bir inşa ediyoruz yatay düzlem P 5, üzerine b düz çizgisinin C" 2 = b" 2 noktasına yansıtıldığı yer.
• M noktası ile b çizgisi arasındaki mesafe, kırmızıyla gösterilen M" 2 C" 2 segmentinin uzunluğu ile belirlenir.

Benzer görevler: