Ito ay lohikal na magpatuloy sa pag-uusap mga operasyong may algebraic fraction. Sa mga algebraic fraction na tinukoy susunod na hakbang: karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, paghahati at pagtaas sa natural na antas. Bukod dito, ang lahat ng mga aksyon na ito ay sarado, sa kahulugan na bilang isang resulta ng kanilang pagpapatupad ng isang algebraic fraction ay nakuha. Tingnan natin ang bawat isa sa kanila sa pagkakasunud-sunod.

Oo, nararapat na tandaan kaagad na ang mga pagkilos na may mga algebraic fraction ay mga generalization ng mga kaukulang aksyon na may mga ordinaryong fraction. Samakatuwid, ang mga kaukulang tuntunin ay halos katugma ng salita sa mga tuntunin para sa pagsasagawa ng pagdaragdag at pagbabawas, pagpaparami, paghahati at pagpapalawak. ordinaryong fraction.

Pag-navigate sa pahina.

Pagdaragdag ng mga algebraic fraction

Ang pagdaragdag ng anumang algebraic fraction ay umaangkop sa isa sa mga sumusunod na dalawang kaso: sa una, mga fraction na may parehong denominador, sa pangalawa - na may iba't ibang mga. Magsimula tayo sa panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may mga katulad na denominator.

Upang magdagdag ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator, idagdag mo ang mga numerator at iiwan ang denominator na pareho.

Ang inihayag na panuntunan ay nagpapahintulot sa iyo na lumipat mula sa pagdaragdag ng mga algebraic fraction hanggang sa pagdaragdag ng mga polynomial na matatagpuan sa mga numerator. Halimbawa, .

Upang magdagdag ng mga algebraic fraction na may iba't ibang denominador kailangan mong kumilos ayon sa sumusunod na tuntunin: akayin sila sa karaniwang denominador, pagkatapos ay idagdag ang mga resultang fraction na may parehong denominator.

Halimbawa, kapag nagdadagdag ng mga algebraic fraction at dapat munang dalhin ang mga ito sa isang karaniwang denominator, bilang resulta, kukuha sila ng form At nang naaayon, pagkatapos kung saan ang pagdaragdag ng mga fraction na ito na may parehong denominator ay isinasagawa: .

Pagbabawas

Ang susunod na aksyon, ang pagbabawas ng mga algebraic fraction, ay ginagampanan nang katulad ng karagdagan. Kung ang mga denominator ng orihinal na algebraic fraction ay pareho, kailangan mo lamang ibawas ang mga polynomial sa mga numerator at iwanan ang denominator na pareho. Kung magkaiba ang mga denominator, isasagawa muna ang pagbawas sa isang karaniwang denominador, pagkatapos nito ay ibawas ang mga resultang fraction na may parehong denominator.

Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Ibawas natin ang mga algebraic fraction at , ang kanilang mga denominator ay pareho, samakatuwid . Ang resultang algebraic fraction ay maaaring higit pang bawasan: .

Ngayon ibawas natin ang fraction sa fraction. Ang mga algebraic fraction na ito ay may iba't ibang denominator, samakatuwid, dinadala muna natin ang mga ito sa isang common denominator, na sa sa kasong ito ay 5·x·(x-1) , mayroon kami At . Ang natitira pang gawin ay ibawas:

Pagpaparami ng mga algebraic fraction

Maaaring i-multiply ang mga algebraic fraction. Ang aksyon na ito ay isinasagawa sa katulad na paraan sa pagpaparami ng mga ordinaryong praksyon ayon sa sumusunod na panuntunan: upang i-multiply ang mga algebraic fraction, kailangan mong i-multiply nang hiwalay ang mga numerator, at hiwalay ang mga denominador.

Magbigay tayo ng halimbawa. I-multiply natin ang algebraic fraction sa fraction . Ayon sa nakasaad na tuntunin, mayroon tayo . Ito ay nananatiling baguhin ang resultang fraction sa algebraic fraction, upang gawin ito sa kasong ito kailangan mong i-multiply ang isang monomial at isang polynomial (at sa pangkalahatang kaso- pagpaparami ng polynomials) sa numerator at denominator: .

Kapansin-pansin na bago i-multiply ang mga algebraic fraction, ipinapayong i-factor ang mga polynomial na matatagpuan sa kanilang mga numerator at denominator. Ito ay dahil sa posibilidad na mabawasan ang resultang fraction. Halimbawa,
.

Ang aksyon na ito ay tinalakay nang mas detalyado sa artikulo.

Dibisyon

Lumipat tayo sa mga operasyong may algebraic fractions. Ang susunod ay ang paghahati ng mga algebraic fraction. Ang sumusunod na panuntunan ay binabawasan ang paghahati ng algebraic fraction sa multiplikasyon: upang hatiin ang isang algebraic fraction sa isa pa, kailangan mong i-multiply ang unang fraction sa reciprocal ng pangalawa.

Ang isang algebraic fraction, ang inverse ng isang binigay na fraction, ay isang fraction na may numerator at denominator na pinagpalit. Sa madaling salita, ang dalawang algebraic fraction ay itinuturing na magkabaligtaran kung ang kanilang produkto ay magkaparehong katumbas ng isa (sa pamamagitan ng pagkakatulad sa).

Magbigay tayo ng halimbawa. Gawin natin ang paghahati . Ang reciprocal fraction ng divisor ay . Kaya, .

Para sa mas detalyadong impormasyon, sumangguni sa artikulong binanggit sa nakaraang talata: multiplication at division of algebraic fractions.

Pagtaas ng algebraic fraction sa isang kapangyarihan

Sa wakas, nagpapatuloy tayo sa huling aksyon na may mga algebraic fraction - ang pagtaas sa natural na kapangyarihan. , pati na rin ang paraan ng pagtukoy namin sa multiplikasyon ng mga algebraic fraction, ay nagbibigay-daan sa amin na isulat ang panuntunan para sa pagpapataas ng isang algebraic fraction sa isang kapangyarihan: kailangan mong hiwalay na itaas ang numerator sa kapangyarihang ito, at hiwalay ang denominator.

Magpakita tayo ng isang halimbawa ng pagsasagawa ng pagkilos na ito. Itaas natin ang algebraic fraction sa pangalawang kapangyarihan. Ayon sa tuntunin sa itaas mayroon tayo . Ito ay nananatiling itaas ang monomial sa numerator sa isang kapangyarihan, at din itaas ang polynomial sa denominator sa isang kapangyarihan, na magbibigay ng isang algebraic na bahagi ng form .

Ang solusyon sa iba pang tipikal na mga halimbawa ay ipinapakita sa artikulong nagtataas ng algebraic fraction sa isang kapangyarihan.

Mga sanggunian.

• Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 p.m. Bahagi 1. Teksbuk para sa mga mag-aaral mga institusyong pang-edukasyon/ A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.

Copyright ng mga matalinong mag-aaral

Lahat ng karapatan ay nakalaan.
Pinoprotektahan ng batas sa copyright. Walang bahagi ng www.site, kasama ang panloob na materyales at ang hitsura ay hindi maaaring kopyahin sa anumang anyo o gamitin nang walang paunang nakasulat na pahintulot ng may-ari ng copyright.

Mga Layunin: ulitin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction at ituro kung paano ilapat ang panuntunang ito upang i-multiply ang anumang mga fraction; pagsamahin ang mga kasanayan sa pagbabawas ng mga fraction at ang mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong mga base sa panahon ng mga pagsasanay.

Pag-unlad ng aralin

I. Pagsusuri ng gawaing pagsubok.

1. Ipahiwatig ang mga pagkakamali ng mga mag-aaral sa pagsusulit.

2. Lutasin ang mga gawain na nagdulot ng kahirapan sa mga mag-aaral.

II. Oral na gawain.

1. Ulitin ang mga katangian ng mga degree na may parehong mga base:

2. Ipakita bilang isang kapangyarihan na may batayan

Suriin ang pangunahing katangian ng isang fraction at gamitin ang property na ito upang bawasan ang mga fraction.

III. Mga paliwanag ng bagong materyal.

1. Patunayan natin na ang pagkakapantay-pantay

totoo para sa anumang pinahihintulutang halaga ng mga variable, iyon ay, para sa b≠0 at d≠0.

2. Panuntunan: Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at i-multiply ang kanilang mga denominator at isulat ang unang produkto bilang numerator, at ang pangalawa bilang denominator ng fraction.

3. Isaalang-alang ang solusyon sa mga halimbawa 1, 2, 3, at 4 sa pahina 26-27 ng aklat-aralin.

4. Ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction ay nalalapat sa produkto ng tatlo o higit pang mga salik.

Halimbawa:

1. Lutasin ang Blg. 108 (pasalita).

2. Lutasin ang Blg. 109 (a, c, e) sa pisara at sa mga kuwaderno.

Ang mga mag-aaral ay magpapasya sa kanilang sarili, pagkatapos ay susuriin ang solusyon.

3. Lutasin ang No. 112 (c; d; f).

Takdang-aralin: pag-aralan ang talata 5 (1-4); lutasin ang No. 109 (b; d; f),

No. 112 (a; b; d), No. 118 (a; c; d), No. 119 (b; d), No. 120 (a; c).

Aralin 2

Mga Layunin: makuha ang panuntunan para sa pagpapataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan at turuan ang mga mag-aaral na ilapat ang panuntunang ito kapag nagsasagawa ng mga pagsasanay; pagsamahin ang panuntunan ng pagpaparami ng mga praksiyon at ang mga kasanayan sa pagbabawas ng mga praksiyon, paunlarin ang lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral.

Pag-unlad ng aralin

I. Oral na gawain.

4. Suriin takdang-aralin pili mula sa mga notebook.

II. Pag-aaral ng bagong materyal.

1. Isaalang-alang ang tanong ng pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan. Patunayan natin yan

2. Panuntunan. Upang itaas ang isang fraction sa isang kapangyarihan, kailangan mong itaas ang numerator at denominator sa kapangyarihan na iyon at isulat ang unang resulta sa numerator, at ang pangalawa sa denominator ng fraction.

3. Suriin ang solusyon sa halimbawa 5 sa pahina 28 ng aklat-aralin:

III. Gumagawa ng mga pagsasanay.

1. Lutasin ang Blg. 115 nang pasalita.

2. Lutasin ang No. 116 sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagsuri o pagkomento sa lugar.

IV. Malayang gawain (10 min).

V. Buod ng aralin.

1. Bumuo ng panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction.

2. Bumuo ng isang panuntunan para sa pagtaas ng isang fraction sa isang kapangyarihan.

Takdang-Aralin: alamin ang mga tuntunin ng talata 5; lutasin ang No. 117, No. 121 (a; d), No. 122 (a; c), No. 123 (a), No. 124, No. 130 (a; b).

Ito ay malinaw na ang mga numero na may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang mga dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito nang sunud-sunod sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2.
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4.

Logro pantay na kapangyarihan ng magkatulad na mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay katumbas ng 5a 2.

Halata rin na kung kukuha ka ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable At iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat na binubuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3.

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi katumbas ng dalawang beses na parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay isang 3 b n + 3a 5 b 6.

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng mga subtrahends ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring paramihin, tulad ng iba pang mga dami, sa pamamagitan ng pagsusulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o walang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng a 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng magkaparehong mga variable.
Ang ekspresyon ay kukuha ng anyo: a 5 b 5 y 3.

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng halaga antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng kapangyarihan ng n;

At ang isang m ay kinuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

kaya lang, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring paramihin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponents ng mga kapangyarihan.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay nakataas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat digri.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Dibisyon ng mga degree

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero, sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa dibidendo, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa fraction form.

Kaya, ang isang 3 b 2 na hinati sa b 2 ay katumbas ng isang 3.

O kaya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Ang pagsulat ng 5 na hinati sa 3 ay mukhang $\frac(a^5)(a^3)$. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag hinahati ang mga degree na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Ibig sabihin, $\frac(yyy)(yy) = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O kaya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Totoo rin ang panuntunan para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2.
Gayundin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents ng $\frac(5a^4)(3a^2)$ Sagot: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Bawasan ang mga exponent ng $\frac(6x^6)(3x^5)$. Sagot: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 /a 3 at a -3 /a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay a -2 ang unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 /5a 7 at 5a 5 /5a 7 o 2a 3 /5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

9. Hatiin ang (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.

Mga formula ng degree ginagamit sa proseso ng pagbabawas at pagpapasimple ng mga kumplikadong expression, sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Numero c ay n-ika-kapangyarihan ng isang numero a kailan:

Mga operasyon na may mga degree.

1. Sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay idinagdag:

isang m·a n = a m + n .

2. Kapag hinahati ang mga degree na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas:

3. Ang antas ng produkto ng 2 o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Ang antas ng isang fraction ay katumbas ng ratio ng mga antas ng dibidendo at ang divisor:

(a/b) n = a n /b n .

5. Pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami:

(a m) n = a m n .

Ang bawat formula sa itaas ay totoo sa mga direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

Halimbawa. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Mga operasyon na may mga ugat.

1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng isang ratio ay katumbas ng ratio ng dibidendo at ang divisor ng mga ugat:

3. Kapag itinaas ang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang radikal na numero sa kapangyarihang ito:

4. Kung tataas mo ang antas ng ugat sa n sabay-sabay na bumuo sa n ang ika-kapangyarihan ay isang radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

5. Kung bawasan mo ang antas ng ugat sa n sabay-sabay na kunin ang ugat n-th kapangyarihan ng isang radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

Degree na may negatibong exponent. Ang kapangyarihan ng isang tiyak na numero na may isang hindi positibo (integer) na exponent ay tinukoy bilang isang hinati sa kapangyarihan ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga hindi positibong tagapagpahiwatig:

Formula isang m:a n =a m - n maaaring gamitin hindi lamang para sa m> n, ngunit kasama din m< n.

Halimbawa. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Sa formula isang m:a n =a m - n naging patas noong m=n, ang pagkakaroon ng zero degree ay kinakailangan.

Isang degree na may zero index. Ang kapangyarihan ng anumang numero na hindi katumbas ng zero na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero A sa antas m/n, kailangan mong kunin ang ugat n ika na antas ng m-ika-kapangyarihan ng numerong ito A.

Aralin sa paksa: "Mga panuntunan ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may pareho at magkakaibang exponents. Mga halimbawa"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa Integral online store para sa grade 7
Manwal para sa aklat-aralin Yu.N. Makarycheva Manual para sa aklat-aralin ni A.G. Mordkovich

Layunin ng aralin: matutong magsagawa ng mga operasyon na may kapangyarihan ng mga numero.

Una, tandaan natin ang konsepto ng "kapangyarihan ng numero". Ang isang expression ng form na $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ ay maaaring katawanin bilang $a^n$.

Totoo rin ang kabaligtaran: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na "pagtatala ng antas bilang isang produkto." Makakatulong ito sa atin na matukoy kung paano paramihin at hatiin ang mga kapangyarihan.
Tandaan:
a– ang batayan ng antas.
n– exponent.
Kung n=1, na nangangahulugang ang numero A kinuha ng isang beses at naaayon: $a^n= 1$.
Kung n= 0, pagkatapos ay $a^0= 1$.

Malalaman natin kung bakit ito nangyayari kapag naging pamilyar tayo sa mga tuntunin ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan.

Mga panuntunan sa pagpaparami

Halimbawa.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Maginhawang gamitin ang property na ito para pasimplehin ang trabaho kapag nagtaas ng numero sa mas mataas na kapangyarihan.
Halimbawa.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Kung ang mga degree na may iba't ibang mga base, ngunit ang parehong exponent ay pinarami.
Upang makakuha ng $a^n * b^n$, isinusulat namin ang mga degree bilang isang produkto: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Kung papalitan natin ang mga salik at bibilangin ang mga resultang pares, makakakuha tayo ng: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Kaya $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Halimbawa.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Mga panuntunan sa dibisyon

Kaya, kailangan natin $\frac(a^n)(a^m)$, Saan n>m.

Isulat natin ang mga degree bilang isang fraction:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Ngayon bawasan natin ang fraction.

Ito ay lumabas: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Ibig sabihin, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Makakatulong ang property na ito na ipaliwanag ang sitwasyon sa pagtaas ng numero sa zero power. Ipagpalagay natin na n=m, pagkatapos ay $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Mga halimbawa.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Ang mga batayan ng antas ay magkakaiba, ang mga tagapagpahiwatig ay pareho.
Sabihin nating kailangan ang $\frac(a^n)( b^n)$. Isulat natin ang mga kapangyarihan ng mga numero bilang mga fraction:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Halimbawa.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.