Lugar ng isang tatsulok - mga formula at mga halimbawa ng paglutas ng problema

Nasa ibaba ang mga mga formula para sa paghahanap ng lugar ng isang di-makatwirang tatsulok na angkop para sa paghahanap ng lugar ng anumang tatsulok, anuman ang mga katangian, anggulo o sukat nito. Ang mga formula ay ipinakita sa anyo ng isang larawan, na may mga paliwanag para sa kanilang aplikasyon o katwiran para sa kanilang kawastuhan. Ang mga sulat ay ipinahiwatig din sa isang hiwalay na pigura mga pagtatalaga ng liham sa mga formula at mga graphic na simbolo sa pagguhit.

Tandaan . Kung ang tatsulok ay may mga espesyal na katangian(isosceles, rectangular, equilateral), maaari mong gamitin ang mga formula na ibinigay sa ibaba, pati na rin ang mga karagdagang espesyal na formula na may bisa lamang para sa mga tatsulok na may ganitong mga katangian:

• "Formula para sa lugar ng isang equilateral triangle"

Mga formula ng lugar ng tatsulok

Mga paliwanag para sa mga formula:
a, b, c- ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok na ang lugar ay gusto nating hanapin
r- radius ng bilog na nakasulat sa tatsulok
R- radius ng bilog na nakapaligid sa tatsulok
h- taas ng tatsulok na ibinaba sa gilid
p- semi-perimeter ng isang tatsulok, 1/2 ang kabuuan ng mga gilid nito (perimeter)
α - anggulo sa tapat ng gilid a ng tatsulok
β - anggulo sa tapat ng gilid b ng tatsulok
γ - anggulo sa tapat ng gilid c ng tatsulok
h a, h b , h c- taas ng tatsulok na ibinaba sa mga gilid a, b, c

Pakitandaan na ang mga ibinigay na notasyon ay tumutugma sa figure sa itaas, upang kapag nilutas ang isang tunay na problema sa geometry, magiging mas madali para sa iyo na palitan ang mga tamang halaga sa mga tamang lugar sa formula.

• Ang lugar ng tatsulok ay kalahati ng produkto ng taas ng tatsulok at ang haba ng gilid kung saan ibinababa ang taas na ito(Formula 1). Ang kawastuhan ng formula na ito ay maaaring maunawaan nang lohikal. Ang taas na ibinaba sa base ay hahatiin ang isang arbitrary na tatsulok sa dalawang hugis-parihaba. Kung itatayo mo ang bawat isa sa kanila sa isang rektanggulo na may mga sukat b at h, kung gayon malinaw na ang lugar ng mga tatsulok na ito ay magiging eksaktong kalahati ng lugar ng rektanggulo (Spr = bh)
• Ang lugar ng tatsulok ay kalahati ng produkto ng dalawang panig nito at ang sine ng anggulo sa pagitan nila(Formula 2) (tingnan ang isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang formula na ito sa ibaba). Kahit na ito ay tila naiiba mula sa nauna, madali itong ma-transform dito. Kung ibababa natin ang taas mula sa anggulo B hanggang sa gilid b, lumalabas na ang produkto ng gilid a at ang sine ng anggulo γ, ayon sa mga katangian ng sine sa isang tamang tatsulok, ay katumbas ng taas ng tatsulok na iginuhit natin. , na nagbibigay sa amin ng nakaraang formula
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay matatagpuan sa pamamagitan ng trabaho kalahati ng radius ng bilog na nakasulat dito sa pamamagitan ng kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig nito(Formula 3), sa madaling salita, kailangan mong i-multiply ang semi-perimeter ng tatsulok sa radius ng inscribed na bilog (ito ay mas madaling matandaan)
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng produkto ng lahat ng panig nito sa 4 na radii ng bilog na nakapaligid sa paligid nito (Formula 4)
• Ang Formula 5 ay naghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng mga haba ng mga gilid nito at ang semi-perimeter nito (kalahati ng kabuuan ng lahat ng panig nito)
• Formula ni Heron(6) ay isang representasyon ng parehong formula nang hindi gumagamit ng konsepto ng semi-perimeter, sa pamamagitan lamang ng mga haba ng mga gilid
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay katumbas ng produkto ng parisukat ng gilid ng tatsulok at ang mga sine ng mga anggulo na katabi ng panig na ito na hinati ng dobleng sine ng anggulo sa tapat ng panig na ito (Formula 7)
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay matatagpuan bilang produkto ng dalawang parisukat ng bilog na napapaligiran nito ng mga sine ng bawat anggulo nito. (Formula 8)
• Kung ang haba ng isang panig at ang mga halaga ng dalawang magkatabing anggulo ay kilala, kung gayon ang lugar ng tatsulok ay matatagpuan bilang parisukat ng panig na ito na hinati sa dobleng kabuuan ng mga cotangent ng mga anggulong ito (Formula 9)
• Kung ang haba lamang ng bawat taas ng tatsulok ay kilala (Formula 10), kung gayon ang lugar ng naturang tatsulok ay inversely proportional sa mga haba ng mga taas na ito, ayon sa Heron's Formula
• Binibigyang-daan ka ng Formula 11 na kalkulahin lugar ng isang tatsulok batay sa mga coordinate ng mga vertices nito, na tinukoy bilang (x;y) na mga halaga para sa bawat isa sa mga vertice. Pakitandaan na ang resultang halaga ay dapat kunin na modulo, dahil ang mga coordinate ng indibidwal (o kahit na lahat) ay maaaring nasa rehiyon ng mga negatibong halaga.

Tandaan. Ang mga sumusunod ay mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa geometry upang mahanap ang lugar ng isang tatsulok. Kung kailangan mong lutasin ang isang problema sa geometry na hindi katulad dito, isulat ang tungkol dito sa forum. Sa mga solusyon, sa halip na ang simbolo " parisukat na ugat" ang sqrt() function ay maaaring gamitin, kung saan ang sqrt ay ang square root na simbolo, at ang radical expression ay ipinahiwatig sa mga bracket.Minsan para sa mga simpleng radikal na expression ay maaaring gamitin ang simbolo √

Gawain. Hanapin ang lugar na ibinigay ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila

Ang mga gilid ng tatsulok ay 5 at 6 cm Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 60 degrees. Hanapin ang lugar ng tatsulok.

Solusyon.

Upang malutas ang problemang ito, ginagamit namin ang formula bilang dalawang mula sa teoretikal na bahagi ng aralin.
Ang lugar ng isang tatsulok ay matatagpuan sa mga haba ng dalawang panig at ang sine ng anggulo sa pagitan nila at magiging katumbas ng
S=1/2 ab sin γ

Dahil mayroon kaming lahat ng kinakailangang data para sa solusyon (ayon sa formula), maaari lamang nating palitan ang mga halaga mula sa mga kondisyon ng problema sa formula:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Sa talahanayan ng mga halaga trigonometriko function Hanapin at palitan natin ang halaga ng sine na 60 degrees sa expression. Ito ay magiging katumbas ng ugat ng tatlong beses na dalawa.
S = 15 √3 / 2

Sagot: 7.5 √3 (depende sa mga kinakailangan ng guro, maaari kang mag-iwan ng 15 √3/2)

Gawain. Hanapin ang lugar ng isang equilateral triangle

Hanapin ang lugar ng isang equilateral triangle na may gilid na 3cm.

Solusyon .

Ang lugar ng isang tatsulok ay matatagpuan gamit ang formula ng Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Dahil ang a = b = c, ang pormula para sa lugar ng isang equilateral triangle ay nasa anyo:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Sagot: 9 √3 / 4.

Gawain. Baguhin ang lugar kapag binabago ang haba ng mga gilid

Ilang beses tataas ang lugar ng tatsulok kung ang mga gilid ay tataas ng 4 na beses?

Solusyon.

Dahil ang mga sukat ng mga gilid ng tatsulok ay hindi alam sa amin, upang malutas ang problema ay ipagpalagay namin na ang mga haba ng mga gilid ay pantay-pantay. di-makatwirang mga numero a, b, c. Pagkatapos, upang masagot ang tanong ng problema, makikita natin ang lugar ng ibinigay na tatsulok, at pagkatapos ay makikita natin ang lugar ng tatsulok na ang mga panig ay apat na beses na mas malaki. Ang ratio ng mga lugar ng mga tatsulok na ito ay magbibigay sa atin ng sagot sa problema.

Sa ibaba ay nagbibigay kami ng tekstong pagpapaliwanag ng solusyon sa problema nang sunud-sunod. Gayunpaman, sa pinakadulo, ang parehong solusyon na ito ay ipinakita sa isang mas maginhawang graphical na anyo. Ang mga interesado ay maaaring agad na pumunta sa mga solusyon.

Upang malutas, ginagamit namin ang formula ni Heron (tingnan sa itaas sa teoretikal na bahagi ng aralin). Mukhang ganito:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(tingnan ang unang linya ng larawan sa ibaba)

Ang mga haba ng mga gilid ng isang arbitrary na tatsulok ay tinukoy ng mga variable na a, b, c.
Kung ang mga panig ay nadagdagan ng 4 na beses, ang lugar ng bagong tatsulok c ay magiging:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(tingnan ang pangalawang linya sa larawan sa ibaba)

Tulad ng nakikita mo, ang 4 ay isang karaniwang kadahilanan na maaaring alisin sa mga bracket mula sa lahat ng apat na expression ayon sa pangkalahatang tuntunin matematika.
Pagkatapos

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sa ikatlong linya ng larawan
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - ikaapat na linya

Ang parisukat na ugat ng numero 256 ay perpektong nakuha, kaya't alisin natin ito mula sa ilalim ng ugat.
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(tingnan ang ikalimang linya ng larawan sa ibaba)

Upang masagot ang tanong na tinanong sa problema, kailangan lang nating hatiin ang lugar ng nagresultang tatsulok sa lugar ng orihinal.
Tukuyin natin ang mga ratio ng lugar sa pamamagitan ng paghahati ng mga expression sa bawat isa at pagbabawas ng resultang fraction.

Mga tagubilin

Mga partido at ang mga anggulo ay itinuturing na mga pangunahing elemento A. Ang isang tatsulok ay ganap na tinukoy ng alinman sa mga sumusunod na pangunahing elemento: alinman sa tatlong panig, o isang gilid at dalawang anggulo, o dalawang panig at isang anggulo sa pagitan ng mga ito. Para sa pagkakaroon tatsulok na ibinigay ng tatlong panig a, b, c, ito ay kinakailangan at sapat upang matugunan ang mga hindi pagkakapantay-pantay na tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay tatsulok:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Upang bumuo tatsulok sa tatlong panig a, b, c, ito ay kinakailangan mula sa punto C ng segment CB = a upang gumuhit ng isang bilog ng radius b na may compass. Pagkatapos, sa parehong paraan, gumuhit ng isang bilog mula sa punto B na may radius na katumbas ng gilid c. Ang kanilang intersection point A ay ang ikatlong vertex ng ninanais tatsulok ABC, kung saan ang AB=c, CB=a, CA=b - mga gilid tatsulok. Ang problema ay , kung ang mga panig a, b, c, ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay tatsulok tinukoy sa hakbang 1.

Ang Area S ay ginawa sa ganitong paraan tatsulok ABC kasama ang mga kilalang partido a, b, c, kinakalkula gamit ang formula ng Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kung saan ang a, b, c ay mga panig tatsulok, p – kalahating perimeter.
p = (a+b+c)/2

Kung ang isang tatsulok ay equilateral, ibig sabihin, lahat ng panig nito ay pantay (a=b=c).Lugar tatsulok kinakalkula ng formula:
S=(a^2 v3)/4

Kung ang tatsulok ay right-angled, iyon ay, ang isa sa mga anggulo nito ay katumbas ng 90°, at ang mga gilid na bumubuo nito ay mga binti, ang ikatlong panig ay ang hypotenuse. SA sa kasong ito parisukat katumbas ng produkto ng mga binti na hinati sa dalawa.
S=ab/2

Para mahanap parisukat tatsulok, maaari mong gamitin ang isa sa maraming mga formula. Pumili ng formula depende sa kung anong data ang alam na.

Kakailanganin mo

• kaalaman sa mga formula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok

Mga tagubilin

Kung alam mo ang laki ng isa sa mga gilid at ang halaga ng taas na ibinaba sa gilid na ito mula sa anggulo sa tapat nito, maaari mong mahanap ang lugar gamit ang sumusunod: S = a*h/2, kung saan ang S ay ang lugar ng tatsulok, ang a ay isa sa mga gilid ng tatsulok, at h - taas, sa gilid a.

Mayroong isang kilalang pamamaraan para sa pagtukoy ng lugar ng isang tatsulok kung ang tatlong panig nito ay kilala. Ito ay formula ni Heron. Upang gawing simple ang pag-record nito, ipinakilala ang isang intermediate na halaga - semi-perimeter: p = (a+b+c)/2, kung saan a, b, c - . Kung gayon ang formula ni Heron ay ang mga sumusunod: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ exponentiation.

Ipagpalagay natin na alam mo ang isa sa mga gilid ng isang tatsulok at tatlong anggulo. Pagkatapos ay madaling mahanap ang lugar ng tatsulok: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kung saan ang β ay ang anggulo sa tapat ng gilid a, at ang α at γ ay mga anggulo na katabi ng gilid.

Video sa paksa

Mangyaring tandaan

Ang pinaka-pangkalahatang formula na angkop para sa lahat ng kaso ay ang formula ng Heron.

Mga Pinagmulan:

Tip 3: Paano hanapin ang lugar ng isang tatsulok batay sa tatlong panig

Ang paghahanap ng lugar ng isang tatsulok ay isa sa mga pinakakaraniwang problema sa planimetry ng paaralan. Ang pag-alam sa tatlong panig ng isang tatsulok ay sapat na upang matukoy ang lugar ng anumang tatsulok. Sa mga espesyal na kaso ng equilateral triangles, sapat na upang malaman ang haba ng dalawa at isang gilid, ayon sa pagkakabanggit.

Kakailanganin mo

• haba ng mga gilid ng triangles, Heron's formula, cosine theorem

Mga tagubilin

Ang formula ng Heron para sa lugar ng isang tatsulok ay ang mga sumusunod: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Kung isusulat natin ang semi-perimeter p, makukuha natin: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Maaari kang makakuha ng isang formula para sa lugar ng isang tatsulok mula sa mga pagsasaalang-alang, halimbawa, sa pamamagitan ng paglalapat ng cosine theorem.

Sa pamamagitan ng cosine theorem, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Gamit ang mga ipinakilalang notasyon, maaari ding isulat ang mga ito sa anyong: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Kaya, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Ang lugar ng isang tatsulok ay matatagpuan din sa pamamagitan ng formula S = a*c*sin(ABC)/2 gamit ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito. Ang sine ng anggulong ABC ay maaaring ipahayag sa pamamagitan nito gamit ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Sa pamamagitan ng pagpapalit ng sine sa formula para sa lugar at pagsulat nito , maaari kang makarating sa formula para sa lugar ng tatsulok na ABC.

Video sa paksa

Upang isagawa gawaing pagkukumpuni maaaring kailanganin itong sukatin parisukat mga pader Ginagawa nitong mas madaling kalkulahin ang kinakailangang halaga ng pintura o wallpaper. Para sa mga sukat, pinakamahusay na gumamit ng tape measure o measuring tape. Ang mga sukat ay dapat gawin pagkatapos mga pader ay pinatag.

Kakailanganin mo

• -roulette;
• -hagdan.

Mga tagubilin

Upang mabilang parisukat mga dingding, kailangan mong malaman ang eksaktong taas ng mga kisame, at sukatin din ang haba sa sahig. Ginagawa ito bilang mga sumusunod: kumuha ng isang sentimetro at ilagay ito sa ibabaw ng baseboard. Karaniwan ang isang sentimetro ay hindi sapat para sa buong haba, kaya i-secure ito sa sulok, pagkatapos ay i-unwind ito maximum na haba. Sa puntong ito, maglagay ng marka gamit ang isang lapis, isulat ang resulta na nakuha at magsagawa ng karagdagang mga sukat sa parehong paraan, simula sa huling punto ng pagsukat.

Mga karaniwang kisame sa tipikal na mga - 2 metro 80 sentimetro, 3 metro at 3 metro 20 sentimetro, depende sa bahay. Kung ang bahay ay itinayo bago ang 50s, malamang na ang aktwal na taas ay bahagyang mas mababa kaysa sa ipinahiwatig. Kung ikaw ay nagkalkula parisukat para sa pagkumpuni, kung gayon ang isang maliit na supply ay hindi masasaktan - isaalang-alang batay sa pamantayan. Kung kailangan mo pang malaman totoong taas- kumuha ng mga sukat. Ang prinsipyo ay katulad ng pagsukat ng haba, ngunit kakailanganin mo ng isang stepladder.

I-multiply ang mga resultang tagapagpahiwatig - ito ay parisukat sa iyo mga pader. Totoo, kapag mga gawa sa pagpipinta o para ito ay kinakailangan upang ibawas parisukat pinto at mga pagbubukas ng bintana. Upang gawin ito, maglagay ng isang sentimetro sa kahabaan ng pagbubukas. Kung pinag-uusapan natin tungkol sa pinto na iyong babaguhin pagkatapos, pagkatapos ay isagawa ito nang tinanggal frame ng pinto, isinasaalang-alang lamang parisukat direkta sa pagbubukas mismo. Ang lugar ng window ay kinakalkula kasama ang perimeter ng frame nito. Pagkatapos parisukat window at doorway na kinakalkula, ibawas ang resulta mula sa kabuuang resultang lugar ng silid.

Pakitandaan na ang pagsukat ng haba at lapad ng silid ay isinasagawa ng dalawang tao, ginagawa nitong mas madaling ayusin ang isang sentimetro o tape measure at, nang naaayon, makakuha ng mas tumpak na resulta. Gawin ang parehong pagsukat nang maraming beses upang matiyak na tumpak ang mga numerong makukuha mo.

Video sa paksa

Ang paghahanap ng lakas ng tunog ng isang tatsulok ay talagang isang hindi maliit na gawain. Ang katotohanan ay ang isang tatsulok ay isang dalawang-dimensional na pigura, i.e. ito ay ganap na namamalagi sa isang eroplano, na nangangahulugan na ito ay walang volume. Siyempre, hindi mo mahahanap ang isang bagay na wala. Ngunit huwag tayong sumuko! Maaari naming tanggapin ang sumusunod na palagay: ang dami ng isang two-dimensional na figure ay ang lugar nito. Hahanapin namin ang lugar ng tatsulok.

Kakailanganin mo

• sheet ng papel, lapis, ruler, calculator

Mga tagubilin

Gumuhit sa isang piraso ng papel gamit ang isang ruler at lapis. Sa pamamagitan ng maingat na pagsusuri sa tatsulok, maaari mong tiyakin na ito ay talagang walang tatsulok, dahil ito ay iginuhit sa isang eroplano. Lagyan ng label ang mga gilid ng tatsulok: hayaan ang isang gilid ay "a", ang kabilang panig ay "b", at ang ikatlong bahagi ay "c". Lagyan ng label ang mga vertice ng tatsulok na may mga titik na "A", "B" at "C".

Sukatin ang anumang panig ng tatsulok gamit ang isang ruler at isulat ang resulta. Pagkatapos nito, ibalik ang isang patayo sa sinusukat na bahagi mula sa vertex na kabaligtaran nito, tulad ng isang patayo ay ang taas ng tatsulok. Sa kaso na ipinakita sa figure, ang patayo na "h" ay naibalik sa gilid na "c" mula sa vertex "A". Sukatin ang nagresultang taas gamit ang isang ruler at isulat ang resulta ng pagsukat.

Maaaring mahirap para sa iyo na ibalik ang eksaktong patayo. Sa kasong ito, dapat kang gumamit ng ibang formula. Sukatin ang lahat ng panig ng tatsulok gamit ang isang ruler. Pagkatapos nito, kalkulahin ang semi-perimeter ng tatsulok na "p" sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga nagresultang haba ng mga gilid at paghahati ng kanilang kabuuan sa kalahati. Ang pagkakaroon ng halaga ng semi-perimeter sa iyong pagtatapon, maaari mong gamitin ang formula ng Heron. Upang gawin ito, kailangan mong kunin ang square root ng mga sumusunod: p(p-a)(p-b)(p-c).

nakuha mo ang kinakailangang halaga lugar ng tatsulok. Ang problema sa paghahanap ng dami ng isang tatsulok ay hindi nalutas, ngunit tulad ng nabanggit sa itaas, ang dami ay hindi. Makakahanap ka ng volume na mahalagang tatsulok sa three-dimensional na mundo. Kung iniisip natin na ang ating orihinal na tatsulok ay naging isang three-dimensional na pyramid, kung gayon ang dami ng naturang pyramid ay magiging produkto ng haba ng base nito at ang resultang lugar ng tatsulok.

Mangyaring tandaan

Kung mas maingat mong sukatin, mas magiging tumpak ang iyong mga kalkulasyon.

Mga Pinagmulan:

• Calculator "Everything to everything" - isang portal para sa mga reference na halaga
• dami ng tatsulok sa 2019

Ang tatlong puntos na natatanging tumutukoy sa isang tatsulok sa Cartesian coordinate system ay ang mga vertices nito. Alam ang kanilang posisyon na nauugnay sa bawat isa sa mga coordinate axes, maaari mong kalkulahin ang anumang mga parameter nito patag na pigura, kasama at nililimitahan ng perimeter nito parisukat. Magagawa ito sa maraming paraan.

Mga tagubilin

Gamitin ang formula ng Heron upang kalkulahin ang lugar tatsulok. Kabilang dito ang mga sukat ng tatlong panig ng figure, kaya simulan ang iyong mga kalkulasyon sa . Ang haba ng bawat panig ay dapat na katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng mga projection nito sa coordinate axes. Kung tinutukoy natin ang mga coordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) at C(X₃,Y₃,Z₃), ang mga haba ng kanilang mga gilid ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, ipakilala ang isang auxiliary variable - semiperimeter (P). Mula sa katotohanan na ito ay kalahati ng kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Maaari kang makahanap ng higit sa 10 mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok sa Internet. Gayunpaman, mayroong isang bilang ng mga kumplikadong halimbawa kung saan, ayon sa mga kondisyon ng pagtatalaga, isang gilid at anggulo lamang ng isang tatsulok ang nalalaman, o ang radius ng isang bilog o naka-inscribe na bilog at isa pang katangian. Sa ganitong mga kaso, hindi maaaring ilapat ang isang simpleng formula.

Ang mga formula na ibinigay sa ibaba ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang 95 porsyento ng mga problema kung saan kailangan mong hanapin ang lugar ng isang tatsulok.
Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang mga karaniwang formula ng lugar.
Isaalang-alang ang tatsulok na ipinapakita sa figure sa ibaba

Sa figure at sa ibaba sa mga formula, ang mga klasikal na pagtatalaga ng lahat ng mga katangian nito ay ipinakilala.
a,b,c – mga gilid ng tatsulok,
R - radius ng circumscribed na bilog,
r - radius ng inscribed na bilog,
h[b],h[a],h[c] – mga taas na iginuhit alinsunod sa mga gilid a,b,c.
alpha, beta, hamma – mga anggulo na malapit sa vertices.

Mga pangunahing formula para sa lugar ng isang tatsulok

1. Ang lugar ay katumbas ng kalahati ng produkto ng gilid ng tatsulok at ang taas ay ibinaba sa panig na ito. Sa wika ng mga pormula, ang kahulugang ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod

Kaya, kung alam ang gilid at taas, makikita ng bawat mag-aaral ang lugar.
Sa pamamagitan ng paraan, mula sa formula na ito ang isa ay maaaring makakuha ng isang kapaki-pakinabang na relasyon sa pagitan ng mga taas

2. Kung isasaalang-alang natin na ang taas ng isang tatsulok sa pamamagitan ng katabing bahagi ay ipinahayag ng pagtitiwala

Pagkatapos ang formula ng unang lugar ay sinusundan ng mga pangalawa ng parehong uri

Tingnan nang mabuti ang mga formula - madaling matandaan ang mga ito, dahil ang gawain ay nagsasangkot ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Kung tama nating itinalaga ang mga gilid at anggulo ng tatsulok (tulad ng nasa figure sa itaas), makakakuha tayo ng dalawa panig a,b at ang anggulo ay konektado sa pangatlo Gamit ang (hamma).

3. Para sa mga anggulo ng isang tatsulok, ang kaugnayan ay totoo

Pinapayagan ka ng pag-asa na gamitin ang mga sumusunod na formula para sa lugar ng isang tatsulok sa mga kalkulasyon:

Ang mga halimbawa ng pag-asa na ito ay napakabihirang, ngunit dapat mong tandaan na mayroong gayong pormula.

4. Kung ang gilid at dalawang magkatabing anggulo ay kilala, kung gayon ang lugar ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

5. Ang formula para sa lugar sa mga tuntunin ng gilid at cotangent ng mga katabing anggulo ay ang mga sumusunod

Sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga index maaari kang makakuha ng mga dependency para sa ibang mga partido.

6. Ang formula ng lugar sa ibaba ay ginagamit sa mga problema kapag ang mga vertices ng isang tatsulok ay tinukoy sa eroplano sa pamamagitan ng mga coordinate. Sa kasong ito, ang lugar ay katumbas ng kalahati ng determinant na kinuha modulo.

7. Ang formula ni Heron ginagamit sa mga halimbawa na may mga kilalang panig ng isang tatsulok.
Hanapin muna ang semi-perimeter ng tatsulok

At pagkatapos ay tukuyin ang lugar gamit ang formula

o

Ito ay madalas na ginagamit sa code ng mga programa ng calculator.

8. Kung ang lahat ng taas ng tatsulok ay kilala, kung gayon ang lugar ay tinutukoy ng formula

Mahirap kalkulahin sa isang calculator, ngunit sa MathCad, Mathematica, Maple packages ang lugar ay "time two".

9. Ang mga sumusunod na formula ay gumagamit ng kilalang radii ng inscribed at circumscribed na mga bilog.

Sa partikular, kung ang radius at mga gilid ng tatsulok, o ang perimeter nito, ay kilala, kung gayon ang lugar ay kinakalkula ayon sa formula

10. Sa mga halimbawa kung saan ibinigay ang mga gilid at ang radius o diameter ng circumscribed na bilog, ang lugar ay matatagpuan gamit ang formula

11. Tinutukoy ng sumusunod na formula ang lugar ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng gilid at anggulo ng tatsulok.

At sa wakas - mga espesyal na kaso:
Square kanang tatsulok na may mga binti a at b katumbas ng kalahati ng kanilang produkto

Formula para sa lugar ng isang equilateral (regular) na tatsulok=

= isang-ikaapat na bahagi ng produkto ng parisukat ng gilid at ang ugat ng tatlo.

Mula sa tapat ng vertex) at hatiin ang resultang produkto sa dalawa. Ito ang hitsura nito:

S = ½ * a * h,

saan:
S - lugar ng tatsulok,
a ay ang haba ng gilid nito,
h ay ang taas na ibinaba sa gilid na ito.

Ang haba at taas ng gilid ay dapat ipakita sa parehong mga yunit ng pagsukat. Sa kasong ito, ang lugar ng tatsulok ay makukuha sa kaukulang mga yunit ng "".

Halimbawa.
Sa isang gilid ng scalene triangle na 20 cm ang haba, isang patayo mula sa kabaligtaran na vertex na 10 cm ang haba ay ibinababa.
Ang lugar ng tatsulok ay kinakailangan.
Solusyon.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Kung ang mga haba ng alinmang dalawang gilid ng isang scalene triangle at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala, pagkatapos ay gamitin ang formula:

S = ½ * a * b * sinγ,

kung saan: a, b ay ang haba ng dalawang di-makatwirang panig, at γ ang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Sa pagsasagawa, halimbawa, kapag sinusukat ang mga plot ng lupa, kung minsan ay mahirap ang paggamit ng mga formula sa itaas, dahil nangangailangan ito ng karagdagang pagtatayo at pagsukat ng mga anggulo.

Kung alam mo ang haba ng lahat ng tatlong panig ng isang tatsulok na scalene, pagkatapos ay gamitin ang formula ng Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - haba ng mga gilid ng tatsulok,
p – semi-perimeter: p = (a+b+c)/2.

Kung, bilang karagdagan sa mga haba ng lahat ng panig, ang radius ng bilog na nakasulat sa tatsulok ay kilala, pagkatapos ay gamitin ang sumusunod na compact formula:

kung saan: r – radius ng inscribed na bilog (р – semi-perimeter).

Upang kalkulahin ang lugar ng isang scalene triangle at ang haba ng mga gilid nito, gamitin ang formula:

kung saan: R – radius ng circumscribed circle.

Kung ang haba ng isa sa mga gilid ng tatsulok at tatlong anggulo ay kilala (sa prinsipyo, dalawa ang sapat - ang halaga ng pangatlo ay kinakalkula mula sa pagkakapantay-pantay ng kabuuan ng tatlong anggulo ng tatsulok - 180º), pagkatapos ay gamitin ang formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kung saan ang α ay ang halaga ng anggulo sa tapat ng gilid a;
β, γ - mga halaga ng natitirang dalawang anggulo ng tatsulok.

Ang pangangailangan upang mahanap iba't ibang elemento, kabilang ang mga lugar tatsulok, ay lumitaw maraming siglo BC sa mga natutuhang astronomo Sinaunang Greece. Square tatsulok maaaring kalkulahin sa iba't ibang paraan gamit ang iba't ibang formula. Ang paraan ng pagkalkula ay depende sa kung aling mga elemento tatsulok kilala.

Mga tagubilin

Kung mula sa kundisyon alam natin ang mga halaga ng dalawang panig b, c at ang anggulo na nabuo sa kanila?, kung gayon ang lugar tatsulok Ang ABC ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
S = (bcsin?)/2.

Kung mula sa kundisyon alam natin ang mga halaga ng dalawang panig a, b at ang anggulo na hindi nila nabuo?, kung gayon ang lugar tatsulok Ang ABC ay matatagpuan tulad ng sumusunod:
Paghanap ng anggulo?, kasalanan? = bsin?/a, pagkatapos ay gamitin ang talahanayan upang matukoy ang mismong anggulo.
Hinahanap ang anggulo?, ? = 180°-?-?.
Nahanap natin ang mismong lugar S = (absin?)/2.

Kung mula sa kondisyon ay alam natin ang mga halaga ng tatlong panig lamang tatsulok a, b at c, pagkatapos ay ang lugar tatsulok Ang ABC ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), kung saan ang p ay ang semi-perimeter p = (a+b+c)/2

Kung mula sa mga kondisyon ng problema ay alam natin ang taas tatsulok h at ang gilid kung saan ibinababa ang taas na ito, pagkatapos ay ang lugar tatsulok ABC ayon sa formula:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Kung alam natin ang mga kahulugan ng mga panig tatsulok a, b, c at ang radius na inilarawan tungkol dito tatsulok R, pagkatapos ay ang lugar nito tatsulok Ang ABC ay tinutukoy ng formula:
S = abc/4R.
Kung ang tatlong panig a, b, c at ang radius ng inscribed sa ay kilala, kung gayon ang lugar tatsulok Ang ABC ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
S = pr, kung saan ang p ay ang semi-perimeter, p = (a+b+c)/2.

Kung ang ABC ay equilateral, ang lugar ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
S = (a^2v3)/4.
Kung ang tatsulok na ABC ay isosceles, ang lugar ay tinutukoy ng formula:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kung saan c – tatsulok.
Kung ang tatsulok na ABC ay right-angled, ang lugar ay tinutukoy ng formula:
S = ab/2, kung saan ang a at b ay mga binti tatsulok.
Kung ang triangle ABC ay isang right isosceles triangle, ang lugar ay tinutukoy ng formula:
S = c^2/4 = a^2/2, kung saan ang c ay ang hypotenuse tatsulok, a=b – binti.

Video sa paksa

Mga Pinagmulan:

• kung paano sukatin ang lugar ng isang tatsulok

Tip 3: Paano mahahanap ang lugar ng isang tatsulok kung kilala ang anggulo

Ang pag-alam lamang ng isang parameter (ang anggulo) ay hindi sapat upang mahanap ang lugar tre parisukat . Kung mayroong anumang karagdagang mga dimensyon, pagkatapos ay upang matukoy ang lugar maaari kang pumili ng isa sa mga formula kung saan ang halaga ng anggulo ay ginagamit bilang isa sa mga kilalang variable. Ang ilan sa mga pinakamadalas na ginagamit na formula ay ibinibigay sa ibaba.

Mga tagubilin

Kung, bilang karagdagan sa laki ng anggulo (γ) na nabuo ng dalawang panig tre parisukat , ang mga haba ng mga panig na ito (A at B) ay kilala rin, kung gayon parisukat Ang (S) ng isang pigura ay maaaring tukuyin bilang kalahati ng produkto ng mga haba ng mga gilid at ang sine ng kilalang anggulong ito: S=½×A×B×sin(γ).