Bumalik pasulong

Pansin! Ang mga slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa lahat ng mga tampok ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Mga keyword: integral, curvilinear trapezoid, lugar ng mga figure na napapalibutan ng mga liryo

Kagamitan: marker board, computer, multimedia projector

Uri ng aralin: lesson-lecture

Mga Layunin ng Aralin:

• pang-edukasyon: upang lumikha ng isang kultura ng mental na gawain, lumikha ng isang sitwasyon ng tagumpay para sa bawat mag-aaral, at lumikha ng positibong pagganyak para sa pag-aaral; paunlarin ang kakayahang magsalita at makinig sa iba.
• pagbuo: pagbuo ng independiyenteng pag-iisip ng mag-aaral sa paglalapat ng kaalaman sa iba't ibang mga sitwasyon, ang kakayahang pag-aralan at gumawa ng mga konklusyon, pagbuo ng lohika, pag-unlad ng kakayahang magtanong nang tama at makahanap ng mga sagot sa kanila. Pagpapabuti ng pagbuo ng mga kasanayan sa computational at computational, pagbuo ng pag-iisip ng mga mag-aaral sa kurso ng pagkumpleto ng mga iminungkahing gawain, pagbuo ng isang algorithmic na kultura.
• pang-edukasyon: upang bumuo ng mga konsepto tungkol sa isang curvilinear trapezoid, tungkol sa isang integral, upang makabisado ang mga kasanayan sa pagkalkula ng mga lugar ng mga figure ng eroplano

Paraan ng Pagtuturo: nagpapaliwanag at naglalarawan.

Sa panahon ng mga klase

Sa mga nakaraang klase natutunan nating kalkulahin ang mga lugar ng mga figure na ang mga hangganan ay polygonal na linya. Sa matematika, may mga pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang mga lugar ng mga figure na nakatali ng mga kurba. Ang ganitong mga figure ay tinatawag na curvilinear trapezoids, at ang kanilang lugar ay kinakalkula gamit ang mga antiderivatives.

Curvilinear trapezoid ( slide 1)

Ang isang curved trapezoid ay isang figure na nililimitahan ng graph ng isang function, ( sh.m.), tuwid x = a At x = b at x-axis

Iba't ibang uri ng mga hubog na trapezoid ( slide 2)

Isinasaalang-alang namin iba't ibang uri curvilinear trapezoids at paunawa: ang isa sa mga linya ay bumababa sa isang punto, ang papel ng paglilimita ng function ay nilalaro ng linya

Lugar ng isang hubog na trapezoid (slide 3)

Ayusin ang kaliwang dulo ng pagitan A, at ang tama X magbabago tayo, ibig sabihin, ililipat natin ang kanang dingding ng curvilinear trapezoid at makakuha ng nagbabagong pigura. Ang lugar ng isang variable na curvilinear trapezoid na nakatali ng graph ng function ay isang antiderivative F para sa function f

At sa segment [ a; b] lugar ng isang curvilinear trapezoid na nabuo ng function f, ay katumbas ng pagtaas ng antiderivative ng function na ito:

Ehersisyo 1:

Hanapin ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng graph ng function: f(x) = x 2 at tuwid y = 0, x = 1, x = 2.

Solusyon: ( ayon sa algorithm slide 3)

Gumuhit tayo ng graph ng function at mga linya

Hanapin natin ang isa sa antiderivative function f(x) = x 2 :

Self-test sa slide

integral

Isaalang-alang ang isang curvilinear trapezoid na tinukoy ng function f sa segment [ a; b]. Hatiin natin ang segment na ito sa ilang bahagi. Ang lugar ng buong trapezoid ay hahatiin sa kabuuan ng mga lugar ng mas maliit na curved trapezoid. ( slide 5). Ang bawat naturang trapezoid ay maaaring ituring na isang parihaba. Ang kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba na ito ay nagbibigay ng tinatayang ideya ng buong lugar ng curved trapezoid. Ang mas maliit na hatiin natin ang segment [ a; b], mas tumpak na kinakalkula namin ang lugar.

Isulat natin ang mga argumentong ito sa anyo ng mga formula.

Hatiin ang segment [ a; b] sa n bahagi sa pamamagitan ng mga tuldok x 0 = a, x1,…, xn = b. Ang haba k- ika tukuyin ng xk = xk – xk-1. Gumawa tayo ng isang kabuuan

Sa geometriko, ang kabuuan na ito ay kumakatawan sa lugar ng figure na may kulay sa figure ( sh.m.)

Ang mga kabuuan ng form ay tinatawag na integral sums para sa function f. (sh.m.)

Ang mga integral na kabuuan ay nagbibigay ng tinatayang halaga ng lugar. Ang eksaktong halaga ay nakuha sa pamamagitan ng pagpasa sa limitasyon. Isipin natin na pinipino natin ang partition ng segment [ a; b] upang ang haba ng lahat ng maliliit na segment ay may posibilidad na zero. Pagkatapos ang lugar ng binubuo na pigura ay lalapit sa lugar ng curved trapezoid. Masasabi nating ang lugar ng isang curved trapezoid ay katumbas ng limitasyon ng integral sums, Sc.t. (sh.m.) o integral, ibig sabihin,

Kahulugan:

Integral ng isang function f(x) mula sa a dati b tinatawag na limitasyon ng integral sums

= (sh.m.)

Formula ng Newton-Leibniz.

Naaalala namin na ang limitasyon ng mga integral sums ay katumbas ng lugar ng isang curvilinear trapezoid, na nangangahulugang maaari kaming sumulat:

Sc.t. = (sh.m.)

Sa kabilang banda, ang lugar ng isang curved trapezoid ay kinakalkula gamit ang formula

S k.t. (sh.m.)

Kung ihahambing ang mga formula na ito, nakukuha namin ang:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na Newton-Leibniz formula.

Para sa kadalian ng pagkalkula, ang formula ay nakasulat bilang:

Mga Gawain: (sh.m.)

1. Kalkulahin ang integral gamit ang Newton-Leibniz formula: ( tingnan sa slide 5)

2. Bumuo ng mga integral ayon sa pagguhit ( tingnan sa slide 6)

3. Hanapin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slide 7)

Paghahanap ng mga lugar ng mga figure ng eroplano ( slide 8)

Paano mahahanap ang lugar ng mga figure na hindi curved trapezoids?

Hayaang magbigay ng dalawang function, ang mga graph na makikita mo sa slide . (sh.m.) Hanapin ang lugar ng shaded figure . (sh.m.). Ang figure ba na pinag-uusapan ay isang curved trapezoid? Paano mo mahahanap ang lugar nito gamit ang property ng additivity ng area? Isaalang-alang ang dalawang hubog na trapezoid at ibawas ang lugar ng isa pa mula sa lugar ng isa sa kanila ( sh.m.)

Gumawa tayo ng algorithm para sa paghahanap ng lugar gamit ang animation sa isang slide:

1. Mga function ng graph
2. I-project ang mga intersection point ng mga graph papunta sa x-axis
3. I-shade ang figure na nakuha kapag nag-intersect ang mga graph
4. Maghanap ng mga curvilinear trapezoid na ang intersection o unyon ay ang ibinigay na figure.
5. Kalkulahin ang lugar ng bawat isa sa kanila
6. Hanapin ang pagkakaiba o kabuuan ng mga lugar

Oral na gawain: Paano makuha ang lugar ng isang shaded figure (sabihin gamit ang animation, slide 8 at 9)

Takdang aralin: Trabaho sa pamamagitan ng mga tala, No. 353 (a), No. 364 (a).

Bibliograpiya

1. Algebra at ang simula ng pagsusuri: isang aklat-aralin para sa mga baitang 9-11 ng gabi (shift) paaralan / ed. G.D. Glaser. - M: Enlightenment, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: isang aklat-aralin para sa 10-11 grado ng sekondaryang paaralan / Bashmakov M.I. - M: Enlightenment, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematika: aklat-aralin para sa mga institusyong nagsisimula. at Miyerkules ang prof. edukasyon / M.I. Bashmakov. - M: Academy, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra at simula ng pagsusuri: aklat-aralin para sa mga baitang 10-11. mga institusyong pang-edukasyon / A.N. - M: Edukasyon, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Paano gumawa ng isang presentasyon para sa isang aralin?/ S.L. Ostrovsky. – M.: Una ng Setyembre, 2010.

Gawain Blg. 3. Gumawa ng isang pagguhit at kalkulahin ang lugar ng figure na nakatali ng mga linya

Paglalapat ng integral sa solusyon ng mga inilapat na problema

Pagkalkula ng lugar

Ang tiyak na integral ng isang tuluy-tuloy na di-negatibong function na f(x) ay katumbas ng numero sa ang lugar ng isang curvilinear trapezoid na napapalibutan ng curve y = f(x), ang O x axis at ang mga tuwid na linya x = a at x = b. Alinsunod dito, ang pormula ng lugar ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng pagkalkula ng mga lugar ng mga figure ng eroplano.

Gawain Blg. 1. Kalkulahin ang lugar na nililimitahan ng mga linyang y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Solusyon. Bumuo tayo ng figure na ang lugar ay kailangan nating kalkulahin.

Ang y = x 2 + 1 ay isang parabola na ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, at ang parabola ay inilipat paitaas na may kaugnayan sa O y axis ng isang yunit (Figure 1).

Figure 1. Graph ng function na y = x 2 + 1

Gawain Blg. 2. Kalkulahin ang lugar na nililimitahan ng mga linyang y = x 2 – 1, y = 0 sa hanay mula 0 hanggang 1.

Solusyon. Ang graph ng function na ito ay isang parabola ng mga sanga na nakadirekta paitaas, at ang parabola ay inililipat kaugnay sa O y axis pababa ng isang unit (Figure 2).

Figure 2. Graph ng function na y = x 2 – 1

Gawain Blg. 3. Gumawa ng isang pagguhit at kalkulahin ang lugar ng figure na nakatali ng mga linya

y = 8 + 2x – x 2 at y = 2x – 4.

Solusyon. Ang una sa dalawang linyang ito ay isang parabola na ang mga sanga nito ay nakadirekta pababa, dahil ang koepisyent ng x 2 ay negatibo, at ang pangalawang linya ay isang tuwid na linya na nagsasalubong sa parehong coordinate axes.

Upang makabuo ng parabola, makikita natin ang mga coordinate ng vertex nito: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscissa ng vertex; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ang ordinate nito, N(1;9) ang vertex nito.

Ngayon, hanapin natin ang mga intersection point ng parabola at ang tuwid na linya sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation:

Equating ang kanang bahagi ng isang equation na ang kaliwang panig ay pantay.

Nakukuha natin ang 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 o x 2 – 12 = 0, kung saan .

Kaya, ang mga punto ay ang mga intersection point ng isang parabola at isang tuwid na linya (Figure 1).

Figure 3 Mga graph ng mga function y = 8 + 2x – x 2 at y = 2x – 4

Bumuo tayo ng isang tuwid na linya y = 2x – 4. Ito ay dumadaan sa mga puntos (0;-4), (2;0) sa mga coordinate axes.

Upang makabuo ng isang parabola, maaari mo ring gamitin ang mga intersection point nito sa 0x axis, iyon ay, ang mga ugat ng equation 8 + 2x – x 2 = 0 o x 2 – 2x – 8 = 0. Gamit ang Vieta's theorem, ito ay madali. upang mahanap ang mga ugat nito: x 1 = 2, x 2 = 4.

Ang Figure 3 ay nagpapakita ng isang figure (parabolic segment M 1 N M 2) na nakatali sa mga linyang ito.

Ang pangalawang bahagi ng problema ay upang mahanap ang lugar ng figure na ito. Ang lugar nito ay matatagpuan gamit ang tiyak na integral ayon sa pormula .

Kaugnay ng kondisyong ito, nakukuha natin ang integral:

2 Pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon

Ang dami ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng curve y = f(x) sa paligid ng O x axis ay kinakalkula ng formula:

Kapag umiikot sa paligid ng O y axis, ang formula ay mukhang:

Gawain Blg. 4. Tukuyin ang volume ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng isang curved trapezoid bounded ng mga tuwid na linya x = 0 x = 3 at curve y = sa paligid ng O x axis.

Solusyon. Gumuhit tayo ng larawan (Figure 4).

Figure 4. Graph ng function na y =

Ang kinakailangang volume ay

Gawain Blg. 5. Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng isang hubog na trapezoid na nililimitahan ng kurba y = x 2 at mga tuwid na linya na y = 0 at y = 4 sa paligid ng O y axis.

Solusyon. Meron kami:

Suriin ang mga tanong

Isaalang-alang natin ang isang curved trapezoid na nakatali ng Ox axis, ang curve y=f(x) at dalawang tuwid na linya: x=a at x=b (Fig. 85). Kumuha tayo ng di-makatwirang halaga ng x (hindi lang a at hindi b). Bigyan natin ito ng increment h = dx at isaalang-alang ang isang strip na nakatali ng mga tuwid na linya AB at CD, ang Ox axis at ang arc BD na kabilang sa curve na isinasaalang-alang. Tatawagin natin itong strip na elementary strip. Ang lugar ng isang elementary strip ay naiiba sa lugar ng rectangle ACQB sa pamamagitan ng curvilinear triangle BQD, at ang lugar ng huli. mas kaunting lugar parihaba BQDM na may mga gilid BQ = =h=dx) QD=Ay at lugar na katumbas ng hAy = Ay dx. Habang bumababa ang side h, bumababa din ang side Du at kasabay ng h ay nagiging zero. Samakatuwid, ang lugar ng BQDM ay pangalawang-order na infinitesimal. Ang lugar ng isang elementary strip ay ang pagtaas ng lugar, at ang area ng rectangle ACQB, katumbas ng AB-AC ==/(x) dx> ay ang differential ng lugar. Dahil dito, nahanap natin ang mismong lugar sa pamamagitan ng pagsasama ng kaugalian nito. Sa loob ng figure na isinasaalang-alang, ang independent variable l: ay nagbabago mula sa a hanggang b, kaya ang kinakailangang area 5 ay magiging katumbas ng 5= \f(x) dx. (I) Halimbawa 1. Kalkulahin natin ang lugar na nililigiran ng parabola y - 1 -x*, mga tuwid na linya X =--Fj-, x = 1 at ang O* axis (Fig. 86). sa Fig. 87. Fig. 86. 1 Dito f(x) = 1 - l?, ang mga limitasyon ng pagsasama ay a = - at £ = 1, samakatuwid J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Halimbawa 2. Kalkulahin natin ang lugar na nililimitahan ng sinusoid y = sinXy, ang Ox axis at ang tuwid na linya (Fig. 87). Sa paglalapat ng formula (I), nakukuha natin ang A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Halimbawa 3. Kalkulahin ang lugar na nililimitahan ng arko ng sinusoid ^у = sin jc, nakapaloob sa pagitan ng dalawang magkatabing intersection point na may Ox axis (halimbawa, sa pagitan ng pinanggalingan at ng puntong may abscissa i). Tandaan na mula sa mga geometric na pagsasaalang-alang ay malinaw na ang lugar na ito ay magiging dalawang beses mas maraming lugar nakaraang halimbawa. Gayunpaman, gawin natin ang mga kalkulasyon: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Sa katunayan, naging tama ang aming palagay. Halimbawa 4. Kalkulahin ang lugar na nililigiran ng sinusoid at ng Ox axis sa isang panahon (Larawan 88). Iminumungkahi ng mga paunang kalkulasyon na ang lugar ay magiging apat na beses na mas malaki kaysa sa Halimbawa 2. Gayunpaman, pagkatapos isagawa ang mga kalkulasyon, nakuha namin ang “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ang resultang ito ay nangangailangan ng paglilinaw. Upang linawin ang kakanyahan ng bagay, kinakalkula din namin ang lugar na limitado ng parehong sinusoid y = sin l: at ang Ox axis sa hanay mula l hanggang 2i. Sa paglalapat ng formula (I), makakakuha tayo ng 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Kaya, nakikita natin na ang lugar na ito ay naging negatibo. Kung ikukumpara ito sa lugar na kinakalkula sa ehersisyo 3, nakita namin na ang kanilang ganap na mga halaga ay pareho, ngunit ang mga palatandaan ay magkaiba. Kung ilalapat natin ang property V (tingnan ang Kabanata XI, § 4), makakakuha tayo ng 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Ang nangyari sa halimbawang ito ay hindi aksidente. Laging ang lugar na matatagpuan sa ibaba ng axis ng Ox, sa kondisyon na ang independiyenteng variable ay nagbabago mula kaliwa pakanan, ay nakukuha kapag kinakalkula gamit ang mga integral. Sa kursong ito, palagi nating isasaalang-alang ang mga lugar na walang mga palatandaan. Samakatuwid, ang sagot sa halimbawang tinalakay ay: ang kinakailangang lugar ay 2 + |-2| = 4. Halimbawa 5. Kalkulahin natin ang lugar ng BAB na ipinapakita sa Fig. 89. Ang lugar na ito ay nililimitahan ng Ox axis, ang parabola y = - xr at ang tuwid na linya y - = -x+\. Lugar ng isang curvilinear trapezoid Ang kinakailangang lugar OAB ay binubuo ng dalawang bahagi: OAM at MAV. Dahil ang point A ay ang intersection point ng isang parabola at isang tuwid na linya, makikita natin ang mga coordinate nito sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation 3 2 Y = mx. (kailangan lang nating hanapin ang abscissa ng point A). Ang paglutas ng sistema, nakita namin l; = ~. Samakatuwid, ang lugar ay kailangang kalkulahin sa mga bahagi, unang parisukat. OAM at pagkatapos ay pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x function graph y=x 2 +2 matatagpuan sa itaas ng axis baka , Kaya naman:

Sagot: S =9 sq. na yunit

Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at alamin kung ang sagot ay totoo. SA sa kasong ito"sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, magkakaroon ng mga 9, tila totoo. Ito ay ganap na malinaw na kung nakuha natin, sabihin nating, ang sagot: 20 square units, kung gayon ito ay malinaw na ang isang pagkakamali ay ginawa sa isang lugar - 20 mga cell malinaw naman ay hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, hindi hihigit sa isang dosena. Kung ang sagot ay negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.

Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curved trapezoid sa ilalim ng ehe Oh?

b) Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y=-e x , x=1 At coordinate axes.

Solusyon.

Gumawa tayo ng drawing.

Kung isang hubog na trapezoid ganap na matatagpuan sa ilalim ng axis Oh , pagkatapos ay matatagpuan ang lugar nito gamit ang formula:

Sagot: S=(e-1) sq. units" 1.72 sq. units

Pansin! Ang dalawang uri ng mga gawain ay hindi dapat malito:

1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon ito ay maaaring negatibo.

2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang minus sa formula na tinalakay lamang.

Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong upper at lower half-plane.

kasama) Hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya y=2x-x 2, y=-x.

Solusyon.

Una kailangan mong kumpletuhin ang pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga punto ng intersection ng mga linya. Hanapin natin ang mga intersection point ng parabola at tuwid Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analitikal.

Malutas namin ang equation:

Nangangahulugan ito na ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a=0 , itaas na limitasyon ng pagsasama b=3 .

Maaari kang bumuo ng mga linya ng punto sa punto, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay nagiging malinaw "sa kanilang sarili." Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon ay kailangan pa ring gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang detalyadong konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran).

Ang nais na pigura ay nililimitahan ng isang parabola sa itaas at isang tuwid na linya sa ibaba.

Sa segment , ayon sa kaukulang formula:

Sagot: S =4.5 sq. na mga yunit