Za določitev površine trikotnika lahko uporabite različne formule. Od vseh metod je najpreprostejša in najpogosteje uporabljena ta, da višino pomnožimo z dolžino osnove in nato rezultat delimo z dva. Vendar ta metoda še zdaleč ni edina. Spodaj si lahko preberete, kako najti površino trikotnika z uporabo različnih formul.

Ločeno si bomo ogledali načine za izračun površine določenih vrst trikotnikov - pravokotnih, enakokrakih in enakostraničnih. Vsako formulo pospremimo s kratko razlago, ki vam bo pomagala razumeti njeno bistvo.

Univerzalne metode za iskanje območja trikotnika

Spodnje formule uporabljajo posebne zapise. Vsakega od njih bomo dešifrirali:

• a, b, c - dolžine treh strani figure, ki jo obravnavamo;
• r je polmer kroga, ki ga lahko vpišemo v naš trikotnik;
• R je polmer kroga, ki ga je mogoče opisati okoli njega;
• α je velikost kota, ki ga tvorita stranici b in c;
• β je velikost kota med a in c;
• γ je velikost kota, ki ga tvorita stranici a in b;
• h je višina našega trikotnika, spuščena iz kota α na stran a;
• p – polovična vsota strani a, b in c.

Logično je jasno, zakaj lahko na ta način najdete površino trikotnika. Trikotnik je mogoče zlahka sestaviti v paralelogram, v katerem bo ena stran trikotnika delovala kot diagonala. Ploščino paralelograma najdemo tako, da dolžino ene od njegovih strani pomnožimo z vrednostjo višine, ki je na njej narisana. Diagonala deli ta pogojni paralelogram na 2 enaka trikotnika. Zato je povsem očitno, da mora biti površina našega prvotnega trikotnika enaka polovici površine tega pomožnega paralelograma.

S=½ a b sin γ

V skladu s to formulo se območje trikotnika najde tako, da se dolžini njegovih dveh strani, to je a in b, pomnoži s sinusom kota, ki ga tvorita. Ta formula je logično izpeljana iz prejšnje. Če znižamo višino od kota β na stran b, potem glede na lastnosti pravokotni trikotnik, ko pomnožimo dolžino stranice a s sinusom kota γ, dobimo višino trikotnika, to je h.

Območje zadevne figure se ugotovi tako, da se polovica polmera kroga, ki ga je mogoče vpisati vanj, pomnoži z njegovim obodom. Z drugimi besedami, poiščemo zmnožek pol-obsega in polmera omenjenega kroga.

S= a b c/4R

V skladu s to formulo lahko vrednost, ki jo potrebujemo, najdemo tako, da produkt strani figure delimo s 4 polmeri kroga, opisanega okoli njega.

Te formule so univerzalne, saj omogočajo določitev površine katerega koli trikotnika (razmerno, enakokrako, enakostranično, pravokotno). To je mogoče storiti z bolj zapletenimi izračuni, o katerih se ne bomo podrobneje ukvarjali.

Površine trikotnikov s posebnimi lastnostmi

Kako najti območje pravokotnega trikotnika? Posebnost te figure je, da sta njeni dve strani hkrati njeni višini. Če sta a in b kateta in c postane hipotenuza, potem območje najdemo takole:

Kako najti območje enakokrakega trikotnika? Ima dve strani z dolžino a in eno stran z dolžino b. Posledično lahko njegovo ploščino določimo tako, da produkt kvadrata stranice a in sinusa kota γ delimo z 2.

Kako najti območje enakostraničnega trikotnika? V njej je dolžina vseh stranic enaka a, velikost vseh kotov pa α. Njegova višina je enaka polovici zmnožka dolžine stranice a in kvadratnega korena iz 3. Če želite najti površino pravilnega trikotnika, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korenom iz 3 in deliti s 4.

Od nasprotno oglišče) in dobljeni produkt delimo z dva. V obliki je to videti takole:

S = ½ * a * h,

Kje:
S - območje trikotnika,
a je dolžina njegove stranice,
h je višina, spuščena na to stran.

Stranska dolžina in višina morata biti predstavljeni v istih merskih enotah. V tem primeru bo površina trikotnika pridobljena v ustreznih enotah " ".

Primer.
Na eno stran trikotnika, dolgega 20 cm, je spuščena navpičnica iz nasprotnega vrha, dolga 10 cm.
Zahtevana je površina trikotnika.
rešitev.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Če sta znani dolžini poljubnih dveh strani skalenskega trikotnika in kota med njima, uporabite formulo:

S = ½ * a * b * sinγ,

kjer sta: a, b dolžini dveh poljubnih stranic, γ pa kot med njima.

V praksi je na primer pri merjenju zemljišč uporaba zgornjih formul včasih težavna, saj zahteva dodatno konstrukcijo in merjenje kotov.

Če poznate dolžine vseh treh strani skalenskega trikotnika, uporabite Heronovo formulo:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – dolžine stranic trikotnika,
p – polobod: p = (a+b+c)/2.

Če je poleg dolžin vseh strani znan tudi polmer kroga, včrtanega v trikotnik, potem uporabimo naslednjo kompaktno formulo:

kjer je: r – polmer včrtanega kroga (р – polobod).

Za izračun površine skalnega trikotnika in dolžine njegovih strani uporabite formulo:

kjer je: R – polmer opisanega kroga.

Če so znani dolžina ene od stranic trikotnika in trije koti (načeloma sta dovolj dva - vrednost tretjega se izračuna iz enakosti vsote treh kotov trikotnika - 180º), potem uporabite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kjer je α vrednost kota nasproti strani a;
β, γ – vrednosti preostalih dveh kotov trikotnika.

Potreba po iskanju različne elemente, vključno s področji trikotnik, pojavil mnogo stoletij pred našim štetjem med učenimi astronomi Antična grčija. kvadrat trikotnik mogoče izračunati različne poti uporabo različnih formul. Način izračuna je odvisen od elementov trikotnik znan.

Navodila

Če iz pogoja poznamo vrednosti dveh stranic b, c in kota, ki ju tvorita?, potem območje trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Če iz pogoja poznamo vrednosti dveh stranic a, b in kota, ki ju ne tvorita?, potem območje trikotnik ABC se nahaja na naslednji način:
Iskanje kota?, greh? = bsin?/a, nato s tabelo določi sam kot.
Iskanje kota?, ? = 180°-?-?.
Najdemo samo območje S = (absin?)/2.

Če iz pogoja poznamo vrednosti le treh strani trikotnik a, b in c, nato območje trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), kjer je p polobod p = (a+b+c)/2

Če iz pogojev problema poznamo višino trikotnik h in stran, na katero je ta višina spuščena, nato območje trikotnik ABC po formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Če poznamo pomene stranic trikotnik a, b, c in o tem opisani polmer trikotnik R, potem območje tega trikotnik ABC je določen s formulo:
S = abc/4R.
Če so znane tri stranice a, b, c in polmer včrtane, potem je ploščina trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = pr, kjer je p polobod, p = (a+b+c)/2.

Če je ABC enakostraničen, se ploščina najde po formuli:
S = (a^2v3)/4.
Če je trikotnik ABC enakokrak, potem je ploščina določena s formulo:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kjer c – trikotnik.
Če je trikotnik ABC pravokoten, potem je ploščina določena s formulo:
S = ab/2, kjer sta a in b kraka trikotnik.
Če je trikotnik ABC pravokoten enakokraki trikotnik, potem je ploščina določena s formulo:
S = c^2/4 = a^2/2, kjer je c hipotenuza trikotnik, a=b – krak.

Video na temo

Viri:

• kako izmeriti površino trikotnika

Nasvet 3: Kako najti površino trikotnika, če je kot znan

Poznavanje samo enega parametra (kot) ni dovolj za iskanje območja tre kvadrat . Če obstajajo dodatne dimenzije, lahko za določitev območja izberete eno od formul, v kateri se kot ena od znanih spremenljivk uporablja tudi vrednost kota. Nekaj ​​najpogosteje uporabljenih formul je navedenih spodaj.

Navodila

Če poleg velikosti kota (γ), ki ga tvorita obe stranici tre kvadrat , potem sta znani tudi dolžini teh stranic (A in B). kvadrat(S) figure je mogoče definirati kot polovico produkta dolžin stranic in sinusa tega znanega kota: S=½×A×B×sin(γ).

Območje trikotnika - formule in primeri reševanja problemov

Spodaj so formule za iskanje površine poljubnega trikotnika ki so primerni za iskanje površine katerega koli trikotnika, ne glede na njegove lastnosti, kote ali velikosti. Formule so predstavljene v obliki slike, tukaj pa so podane tudi razlage njihove uporabe oziroma utemeljitev njihove pravilnosti. Ujemanja so navedena tudi na ločeni sliki črkovne oznake v formulah in grafični simboli na risbi.

Opomba . Če ima trikotnik posebne lastnosti(enakokraki, pravokotni, enakostranični), lahko uporabite spodnje formule, kot tudi dodatne posebne formule, ki veljajo samo za trikotnike s temi lastnostmi:

• "Formula za območje enakostraničnega trikotnika"

Formule ploščine trikotnika

Pojasnila za formule:
a, b, c- dolžine strani trikotnika, katerega ploščino želimo najti
r- polmer kroga, včrtanega v trikotnik
R- polmer krožnice, ki je opisana okoli trikotnika
h- višina trikotnika, spuščena na stran
str- polobseg trikotnika, 1/2 vsote njegovih stranic (obseg)
α - kot nasproti strani a trikotnika
β - kot nasproti strani b trikotnika
γ - kot nasproti strani c trikotnika
h a, h b , h c- višina trikotnika, spuščena na stranice a, b, c

Upoštevajte, da navedeni zapisi ustrezajo zgornji sliki, tako da vam bo pri reševanju resničnega geometrijskega problema vizualno lažje nadomestiti pravilne vrednosti na pravih mestih v formuli.

• Območje trikotnika je polovica zmnožka višine trikotnika in dolžine stranice, za katero je ta višina znižana(Formula 1). Pravilnost te formule je mogoče razumeti logično. Višina, spuščena na podlago, bo poljuben trikotnik razdelila na dva pravokotna. Če vsakega od njih zgradite v pravokotnik z dimenzijami b in h, potem bo očitno površina teh trikotnikov enaka natanko polovici površine pravokotnika (Spr = bh)
• Območje trikotnika je polovica produkta njegovih dveh stranic in sinusa kota med njima(Formula 2) (glej primer reševanja problema z uporabo te formule spodaj). Čeprav se zdi drugačen od prejšnjega, se lahko vanj enostavno spremeni. Če znižamo višino s kota B na stran b, se izkaže, da je produkt stranice a in sinusa kota γ glede na lastnosti sinusa v pravokotnem trikotniku enak višini trikotnika, ki smo ga narisali. , ki nam da prejšnjo formulo
• Območje poljubnega trikotnika je mogoče najti skozi delo polovica polmera vanj včrtanega kroga z vsoto dolžin vseh njegovih stranic(Formula 3), preprosto povedano, morate pomnožiti polobod trikotnika s polmerom včrtanega kroga (to si je lažje zapomniti)
• Območje poljubnega trikotnika lahko najdete tako, da zmnožek vseh njegovih strani delite s 4 polmeri kroga, ki je okoli njega opisan (formula 4)
• Formula 5 je iskanje ploščine trikotnika skozi dolžine njegovih stranic in njegov polobod (polovica vsote vseh njegovih stranic)
• Heronova formula(6) je predstavitev iste formule brez uporabe pojma polobod, le skozi dolžine stranic
• Površina poljubnega trikotnika je enaka zmnožku kvadrata stranice trikotnika in sinusov kotov, ki mejijo na to stran, deljeno z dvojnim sinusom kota, ki je nasproti tej strani (formula 7)
• Območje poljubnega trikotnika je mogoče najti kot zmnožek dveh kvadratov kroga, ki sta okrog njega opisana s sinusi vsakega od njegovih kotov. (Formula 8)
• Če sta znani dolžina ene strani in vrednosti dveh sosednjih kotov, potem lahko območje trikotnika najdemo kot kvadrat te strani, deljeno z dvojno vsoto kotangensov teh kotov (formula 9)
• Če je znana samo dolžina vsake višine trikotnika (formula 10), potem je površina takega trikotnika obratno sorazmerna z dolžinami teh višin, kot v skladu s Heronovo formulo
• Formula 11 vam omogoča izračun območje trikotnika glede na koordinate njegovih oglišč, ki so določene kot vrednosti (x;y) za vsako od tock. Upoštevajte, da je treba dobljeno vrednost vzeti po modulu, saj so lahko koordinate posameznih (ali celo vseh) točk v območju negativnih vrednosti

Opomba. Sledijo primeri reševanja geometrijskih problemov za iskanje ploščine trikotnika. Če morate rešiti geometrijski problem, ki ni podoben tukaj, pišite o tem na forumu. V rešitvah namesto simbola " Kvadratni koren" se lahko uporabi funkcija sqrt(), v kateri je sqrt simbol kvadratnega korena, radikalni izraz pa je naveden v oklepajih.Včasih se za preproste radikalne izraze lahko uporabi simbol √

Naloga. Poiščite površino dveh strani in kot med njima

Stranici trikotnika sta 5 in 6 cm, med njima pa je kot 60 stopinj. Poiščite območje trikotnika.

rešitev.

Za rešitev tega problema uporabimo formulo številka dve iz teoretičnega dela lekcije.
Območje trikotnika je mogoče najti skozi dolžine dveh stranic in sinus kota med njima in bo enako
S=1/2 ab sin γ

Ker imamo vse potrebne podatke za rešitev (po formuli), lahko v formulo nadomestimo le vrednosti iz pogojev problema:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

V tabeli vrednosti trigonometrične funkcije Poiščimo in v izraz nadomestimo vrednost sinusa 60 stopinj. To bo enako korenu trikrat dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovori: 7,5 √3 (odvisno od učiteljevih zahtev verjetno lahko pustite 15 √3/2)

Naloga. Poiščite površino enakostraničnega trikotnika

Poiščite ploščino enakostraničnega trikotnika s stranico 3 cm.

rešitev

Območje trikotnika je mogoče najti s Heronovo formulo:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Ker je a = b = c, ima formula za površino enakostraničnega trikotnika obliko:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovori: 9 √3 / 4.

Naloga. Sprememba površine pri spreminjanju dolžine stranic

Kolikokrat se bo povečala površina trikotnika, če se stranice povečajo za 4-krat?

rešitev.

Ker nam dimenzije stranic trikotnika niso znane, bomo za rešitev problema predpostavili, da sta dolžini strani enaki poljubna števila a, b, c. Nato, da bi odgovorili na vprašanje problema, bomo našli območje danega trikotnika, nato pa bomo našli območje trikotnika, katerega stranice so štirikrat večje. Razmerje ploščin teh trikotnikov nam bo dalo odgovor na problem.

Spodaj podajamo besedilno razlago rešitve problema korak za korakom. Čisto na koncu pa je ta ista rešitev predstavljena v priročnejši grafični obliki. Zainteresirani se lahko takoj spustijo do rešitev.

Za rešitev uporabimo Heronovo formulo (glej zgoraj v teoretičnem delu lekcije). Videti je takole:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(glej prvo vrstico slike spodaj)

Dolžine stranic poljubnega trikotnika so podane s spremenljivkami a, b, c.
Če se stranice povečajo za 4-krat, bo površina novega trikotnika c:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(glej drugo vrstico na spodnji sliki)

Kot lahko vidite, je 4 skupni faktor, ki ga je mogoče vzeti iz oklepajev iz vseh štirih izrazov glede na splošna pravila matematika.
Potem

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - v tretji vrstici slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četrta vrstica

Kvadratni koren števila 256 je popolnoma izvlečen, zato ga vzemimo izpod korena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(glej peto vrstico spodnje slike)

Da bi odgovorili na vprašanje, zastavljeno v problemu, moramo samo razdeliti površino nastalega trikotnika s površino prvotnega.
Določimo razmerja ploščin tako, da izraze delimo enega z drugim in dobljeni ulomek zmanjšamo.

Navodila

Stranke in koti veljajo za osnovne elemente A. Trikotnik je v celoti definiran s katerim koli od naslednjih osnovnih elementov: bodisi s tremi stranicami, bodisi z eno stranico in dvema kotoma, bodisi z dvema stranicama in kotom med njima. Za obstoj trikotnik podana s tremi stranicami a, b, c, je potrebno in zadostno zadovoljiti neenakosti, imenovane neenakosti trikotnik:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Za gradnjo trikotnik na treh straneh a, b, c je potrebno iz točke C segmenta CB = a s šestilom narisati krog s polmerom b. Nato iz točke B na enak način narišemo krog s polmerom, ki je enak stranici c. Njuno presečišče A je tretje oglišče želenega trikotnik ABC, kjer je AB=c, CB=a, CA=b - stranice trikotnik. Problem je , če stranice a, b, c, izpolnjujejo neenakosti trikotnik določeno v 1. koraku.

Tako zgrajeno območje S trikotnik ABC z znanimi stranicami a, b, c se izračuna po Heronovi formuli:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kjer so a, b, c stranice trikotnik, p – polobod.
p = (a+b+c)/2

Če je trikotnik enakostranični, so vse njegove stranice enake (a=b=c).Ploščina trikotnik izračunano po formuli:
S=(a^2 v3)/4

Če je trikotnik pravokoten, to je, da je eden od njegovih kotov enak 90 °, stranice, ki ga tvorijo, pa so noge, je tretja stran hipotenuza. IN v tem primeru kvadrat je enako zmnožku nog deljeno z dva.
S=ab/2

Najti kvadrat trikotnik, lahko uporabite eno od številnih formul. Izberite formulo glede na to, kateri podatki so že znani.

Boste potrebovali

• poznavanje formul za iskanje površine trikotnika

Navodila

Če poznate velikost ene od stranic in vrednost višine, spuščeno na to stran iz kota, ki je nasproti njej, potem lahko območje najdete z naslednjim: S = a*h/2, kjer je S območje trikotnika, a je ena od strani trikotnika in h - višina, do strani a.

Obstaja znana metoda za določitev površine trikotnika, če so znane njegove tri stranice. To je Heronova formula. Za poenostavitev njegovega zapisa je uvedena vmesna vrednost - polobod: p = (a+b+c)/2, kjer a, b, c - . Nato je Heronova formula naslednja: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ potenciranje.

Predpostavimo, da poznate eno od stranic trikotnika in tri kote. Potem je enostavno najti območje trikotnika: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kjer je β kot nasproti strani a, α in γ pa sta kota, ki mejita na stran.

Video na temo

Opomba

Najbolj splošna formula, ki je primerna za vse primere, je Heronova formula.

Viri:

Nasvet 3: Kako najti površino trikotnika na podlagi treh strani

Iskanje površine trikotnika je ena najpogostejših težav v šolski planimetriji. Poznavanje treh strani trikotnika zadostuje za določitev površine katerega koli trikotnika. V posebnih primerih enakostraničnega trikotnika zadostuje poznavanje dolžin dveh oziroma ene stranice.

Boste potrebovali

• dolžine stranic trikotnikov, Heronova formula, kosinusni izrek

Navodila

Heronova formula za območje trikotnika je naslednja: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Če zapišemo polobod p, dobimo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Iz premislekov lahko izpeljete formulo za površino trikotnika, na primer z uporabo kosinusnega izreka.

Po kosinusnem izreku je AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Z uporabo uvedenih zapisov lahko te zapišemo tudi v obliki: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Zato je cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Območje trikotnika najdemo tudi s formulo S = a*c*sin(ABC)/2 z uporabo dveh stranic in kota med njima. Sinus kota ABC lahko izrazimo prek njega z uporabo osnovne trigonometrične istovetnosti: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Tako, da sinus nadomestimo v formulo za ploščino in jo zapišemo , lahko pridete do formule za ploščino trikotnika ABC.

Video na temo

Za popravljalna dela morda bo treba izmeriti kvadrat stene Tako je lažje izračunati potrebno količino barve ali ozadja. Za meritve je najbolje uporabiti merilni trak ali merilni trak. Meritve je treba opraviti po stene so bile izravnane.

Boste potrebovali

• - ruleta;
• - lestev.

Navodila

Šteti kvadrat stene, morate vedeti natančno višino stropov in izmeriti tudi dolžino po tleh. To naredite na naslednji način: vzemite centimeter in ga položite na podnožje. Običajno en centimeter ni dovolj za celotno dolžino, zato ga pritrdite v kot in nato odvijte največja dolžina. Na tem mestu označite s svinčnikom, zapišite dobljeni rezultat in na enak način izvedite nadaljnje meritve, začenši od zadnje merilne točke.

Standardni stropi v tipičnih - 2 metra 80 centimetrov, 3 metre in 3 metre 20 centimetrov, odvisno od hiše. Če je bila hiša zgrajena pred 50-imi leti, potem je najverjetneje dejanska višina nekoliko nižja od navedene. Če računate kvadrat za popravila, potem majhna zaloga ne bo škodila - upoštevajte na podlagi standarda. Če še vedno morate vedeti prava višina- meritve. Načelo je podobno kot pri merjenju dolžine, vendar boste potrebovali lestev.

Pomnožite nastale kazalnike - to je kvadrat tvoje stene. Res je, kdaj slikopleskarska dela ali za to je treba odšteti kvadrat vrata in okenske odprtine. Če želite to narediti, položite centimeter vzdolž odprtine. če govorimo o o vratih, ki jih boste kasneje zamenjali, jih nato vodite z odstranjenimi Vratni okvir, upoštevajoč samo kvadrat direktno do same odprtine. Površina okna se izračuna vzdolž oboda njegovega okvirja. Po kvadrat izračunana okna in vrata, odštejte rezultat od skupne nastale površine prostora.

Upoštevajte, da merjenje dolžine in širine prostora izvajata dve osebi, kar olajša pritrditev centimetra ali merilnega traku in s tem natančnejši rezultat. Večkrat opravite enako meritev, da se prepričate, ali so številke, ki jih dobite, točne.

Video na temo

Iskanje prostornine trikotnika je resnično netrivialna naloga. Dejstvo je, da je trikotnik dvodimenzionalna figura, tj. v celoti leži v eni ravnini, kar pomeni, da preprosto nima volumna. Seveda ne moreš najti nečesa, kar ne obstaja. Ampak ne obupajmo! Sprejmemo lahko naslednjo predpostavko: prostornina dvodimenzionalne figure je njena ploščina. Iskali bomo območje trikotnika.

Boste potrebovali

• list papirja, svinčnik, ravnilo, kalkulator

Navodila

Narišite na list papirja z ravnilom in svinčnikom. S skrbnim pregledom trikotnika se lahko prepričate, da res nima trikotnika, saj je narisan na ravnini. Označite stranice trikotnika: ena stranica naj bo stranica "a", druga stranica "b" in tretja stranica "c". Označite oglišča trikotnika s črkami "A", "B" in "C".

Izmeri poljubno stran trikotnika z ravnilom in zapiši rezultat. Po tem obnovite pravokotnico na izmerjeno stran iz oglišča, ki je nasproti njej, taka pravokotnica bo višina trikotnika. V primeru, prikazanem na sliki, je pravokotnica "h" obnovljena na stranico "c" iz oglišča "A". Z ravnilom izmerite dobljeno višino in rezultat meritve zapišite.

Morda vam bo težko obnoviti natančno pravokotno. V tem primeru bi morali uporabiti drugo formulo. Z ravnilom izmerite vse stranice trikotnika. Nato izračunajte polobseg trikotnika "p" tako, da seštejete nastale dolžine stranic in njihovo vsoto delite na pol. Če imate na razpolago vrednost polobod, lahko uporabite Heronovo formulo. Če želite to narediti, morate vzeti kvadratni koren naslednjega: p(p-a)(p-b)(p-c).

Prejeli ste zahtevana vrednost območje trikotnika. Problem iskanja prostornine trikotnika ni rešen, vendar, kot je navedeno zgoraj, prostornina ni. V tridimenzionalnem svetu lahko najdete volumen, ki je v bistvu trikotnik. Če si predstavljamo, da je naš prvotni trikotnik postal tridimenzionalna piramida, bo prostornina takšne piramide produkt dolžine njene osnove s površino trikotnika, ki smo ga dobili.

Opomba

Bolj natančno kot merite, bolj natančni bodo vaši izračuni.

Viri:

• Kalkulator “Vse za vse” - portal za referenčne vrednosti
• obseg trikotnika v letu 2019

Tri točke, ki enolično določajo trikotnik v kartezičnem koordinatnem sistemu, so njegova oglišča. Če poznate njihov položaj glede na vsako od koordinatnih osi, lahko izračunate vse parametre tega ravna figura, vključno in omejeno z njegovim obodom kvadrat. To lahko naredimo na več načinov.

Navodila

Za izračun površine uporabite Heronovo formulo trikotnik. Vključuje dimenzije treh strani figure, zato začnite svoje izračune z . Dolžina vsake stranice mora biti enaka korenu vsote kvadratov dolžin njenih projekcij na koordinatne osi. Če označimo koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) in C(X₃,Y₃,Z₃), lahko dolžine njihovih stranic izrazimo na naslednji način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z3)²).

Za poenostavitev izračunov uvedite pomožno spremenljivko - polperimeter (P). Iz dejstva, da je to polovica vsote dolžin vseh strani: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z₃) ²).

Na internetu lahko najdete več kot 10 formul za izračun površine trikotnika. Mnoge od njih se uporabljajo pri težavah z znanimi stranicami in koti trikotnika. Obstaja pa vrsta zapletenih primerov, kjer so glede na pogoje naloge znani samo ena stranica in koti trikotnika ali pa polmer opisanega ali včrtanega kroga in še ena značilnost. V takih primerih ni mogoče uporabiti preproste formule.

Spodnje formule vam bodo omogočile, da rešite 95 odstotkov problemov, v katerih morate najti območje trikotnika.
Nadaljujmo z obravnavo formul skupnega območja.
Razmislite o trikotniku, prikazanem na spodnji sliki

Na sliki in spodaj v formulah so uvedene klasične oznake vseh njegovih značilnosti.
a,b,c – stranice trikotnika,
R – polmer opisanega kroga,
r – polmer včrtanega kroga,
h[b],h[a],h[c] – višine, narisane v skladu s stranicami a,b,c.
alfa, beta, hamma – koti v bližini oglišč.

Osnovne formule za območje trikotnika

1. Ploščina je enaka polovici produkta stranice trikotnika in višine, spuščene na to stran. V jeziku formul lahko to definicijo zapišemo na naslednji način

Torej, če sta znani stranica in višina, bo vsak učenec našel območje.
Mimogrede, iz te formule je mogoče izpeljati eno uporabno razmerje med višinami

2. Če upoštevamo, da je višina trikotnika skozi sosednjo stranico izražena z odvisnostjo

Nato prvi formuli površine sledijo druge iste vrste

Pozorno si oglejte formule - zlahka si jih je zapomniti, saj delo vključuje dve strani in kot med njima. Če pravilno določimo stranice in kote trikotnika (kot na zgornji sliki), bomo dobili dva strani a,b in kot je povezan s tretjim Z (hamma).

3. Za kote trikotnika velja relacija

Odvisnost vam omogoča uporabo naslednjih formul za površino trikotnika v izračunih:

Primeri te odvisnosti so izjemno redki, vendar se morate spomniti, da obstaja taka formula.

4. Če sta stran in dva sosednja kota znani, se površina najde po formuli

5. Formula za ploščino glede na stranico in kotangens sosednjih kotov je naslednja

S prerazporeditvijo indeksov lahko dobite odvisnosti za druge stranke.

6. Spodnja formula za ploščino se uporablja pri nalogah, ko so oglišča trikotnika podana na ravnini s koordinatami. V tem primeru je površina enaka polovici determinante, vzete po modulu.

7. Heronova formula uporabljeno v primerih z znanimi stranicami trikotnika.
Najprej poiščite polobseg trikotnika

In nato določite območje s formulo

oz

Pogosto se uporablja v kodi kalkulatorskih programov.

8. Če so znane vse višine trikotnika, potem je ploščina določena s formulo

Na kalkulatorju je težko izračunati, toda v paketih MathCad, Mathematica, Maple je območje »čas dva«.

9. Naslednje formule uporabljajo znane polmere včrtanih in opisanih krogov.

Še posebej, če so znani polmer in stranice trikotnika ali njegov obseg, se površina izračuna po formuli

10. V primerih, kjer so podane stranice in polmer ali premer opisanega kroga, je površina določena s formulo

11. Naslednja formula določa površino trikotnika glede na stranico in kote trikotnika.

In končno - posebni primeri:
Območje pravokotnega trikotnika pri čemer sta kraka a in b enaka polovici njunega produkta

Formula za območje enakostraničnega (pravilnega) trikotnika=

= ena četrtina zmnožka kvadrata stranice in korena iz tri.