Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Ključne besede: celostni, ukrivljeni trapez, območje figur, omejenih z lilijami

Oprema Kabina: označevalna tabla, računalnik, multimedijski projektor

Vrsta lekcije: lekcija-predavanje

Cilji lekcije:

• izobraževalni: ustvarjati kulturo miselnega dela, ustvarjati situacijo uspeha za vsakega učenca in ustvarjati pozitivno motivacijo za učenje; razvijati sposobnost govorjenja in poslušanja drugih.
• razvoj: oblikovanje samostojnega razmišljanja študenta pri uporabi znanja v različnih situacijah, sposobnost analiziranja in sklepanja, razvoj logike, razvoj sposobnosti pravilnega postavljanja vprašanj in iskanja odgovorov nanje. Izboljšanje oblikovanja računalniških spretnosti, razvijanje razmišljanja študentov med izpolnjevanjem predlaganih nalog, razvijanje algoritemske kulture.
• izobraževalni: oblikovati pojme o krivočrtnem trapezu, o integralu, obvladati veščine računanja ploščin ravninskih likov.

Učna metoda: razlagalno in ilustrativno.

Med poukom

V prejšnjih razredih smo se naučili izračunati ploščine likov, katerih meje so lomljene črte. V matematiki obstajajo metode, ki vam omogočajo izračun površin figur, omejenih s krivuljami. Takšne figure se imenujejo krivuljasti trapezi, njihova površina pa se izračuna z uporabo antiizpeljank.

Krivočrtni trapez ( diapozitiv 1)

Ukrivljeni trapez je figura, omejena z grafom funkcije, ( sh.m.), naravnost x = a in x = b in x-os

Različne vrste ukrivljenih trapezov ( diapozitiv 2)

Razmišljamo različne vrste krivočrtni trapezi in opazimo: ena od premic se degenerira v točko, vlogo mejne funkcije ima premica

Območje ukrivljenega trapeza (slide 3)

Popravite levi konec intervala A, in pravega X bomo spremenili, tj. premaknemo desno steno krivočrtnega trapeza in dobimo spreminjajoč se lik. Območje spremenljivega krivuljnega trapeza, ki ga omejuje graf funkcije, je antiizpeljava F za funkcijo f

In na segmentu [ a; b] območje krivuljnega trapeza, ki ga tvori funkcija f, je enaka prirastku protiodvoda te funkcije:

1. vaja:

Poiščite površino krivuljnega trapeza, ki ga omejuje graf funkcije: f(x) = x 2 in ravno y = 0, x = 1, x = 2.

Rešitev: ( po diapozitivu algoritma 3)

Narišimo graf funkcije in premic

Poiščimo enega od antiderivativne funkcije f(x) = x 2 :

Samotestiranje na diapozitivu

Integral

Razmislite o krivočrtnem trapezu, ki ga definira funkcija f na segmentu [ a; b]. Razčlenimo ta segment na več delov. Površina celotnega trapeza bo razdeljena na vsoto površin manjših ukrivljenih trapezov. ( diapozitiv 5). Vsak tak trapez lahko približno štejemo za pravokotnik. Vsota površin teh pravokotnikov daje približno predstavo o celotnem območju ukrivljenega trapeza. Manjši delimo segment [ a; b], bolj natančno izračunamo površino.

Zapišimo te argumente v obliki formul.

Razdeli segment [ a; b] na n delov s pikami x 0 = a, x1,…, xn = b. Dolžina k- th označimo z xk = xk – xk-1. Naredimo vsoto

Geometrično ta vsota predstavlja površino figure, zasenčene na sliki ( sh.m.)

Vsote oblike imenujemo integralne vsote za funkcijo f. (š.m.)

Integralne vsote dajejo približno vrednost površine. Natančno vrednost dobimo s prehodom na mejo. Predstavljajmo si, da izboljšujemo particijo segmenta [ a; b], tako da se dolžine vseh majhnih segmentov nagibajo k nič. Nato se bo območje sestavljene figure približalo območju ukrivljenega trapeza. Lahko rečemo, da je ploščina ukrivljenega trapeza enaka meji integralnih vsot, Sc.t. (š.m.) ali integralno, tj.

definicija:

Integral funkcije f(x) od a prej b imenovana limita integralnih vsot

= (š.m.)

Newton-Leibnizova formula.

Spomnimo se, da je meja integralnih vsot enaka površini krivuljnega trapeza, kar pomeni, da lahko zapišemo:

Sc.t. = (š.m.)

Po drugi strani pa se površina ukrivljenega trapeza izračuna po formuli

S k.t. (š.m.)

Če primerjamo te formule, dobimo:

Ta enakost se imenuje Newton-Leibnizova formula.

Za lažji izračun je formula zapisana kot:

Naloge: (š.m.)

1. Izračunajte integral z uporabo Newton-Leibnizove formule: ( preverite na diapozitivu 5)

2. Sestavite integrale po risbi ( preverite na diapozitivu 6)

3. Poiščite območje figure, omejeno s črtami: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Diapozitiv 7)

Iskanje površin ravninskih likov ( diapozitiv 8)

Kako najti območje figur, ki niso ukrivljeni trapezi?

Naj sta podani dve funkciji, katerih grafe vidite na prosojnici . (š.m.) Poiščite območje zasenčene figure . (š.m.). Ali je zadevna figura ukrivljeni trapez? Kako lahko poiščete njegovo ploščino z uporabo lastnosti aditivnosti ploščine? Razmislite o dveh ukrivljenih trapezoidih in odštejte površino drugega od površine enega od njiju ( sh.m.)

Ustvarimo algoritem za iskanje območja z uporabo animacije na diapozitivu:

1. Graf funkcij
2. Projicirajte presečišča grafov na os x
3. Zasenči sliko, ki jo dobiš ob sekanju grafov
4. Poiščite krivulje trapeze, katerih presečišče ali unija je dani lik.
5. Izračunajte površino vsakega od njih
6. Poiščite razliko ali vsoto površin

Ustna naloga: Kako pridobiti ploščino zasenčene figure (povejte z animacijo, diapozitiva 8 in 9)

Domača naloga: Preberite opombe, št. 353 (a), št. 364 (a).

Bibliografija

1. Algebra in začetki analize: učbenik za 9.-11. razred večerne (izmenske) šole / ur. G.D. Glaser. - M: Razsvetljenje, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra in začetki analize: učbenik za 10-11 razred srednje šole / Bashmakov M.I. - M: Razsvetljenje, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematika: učbenik za zavode zač. in sredo prof. izobraževanje / M.I. Bašmakov. - M: Akademija, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11. izobraževalne ustanove / A.N. Kolmogorov. - M: Izobraževanje, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Kako narediti predstavitev za lekcijo? / S.L. Ostrovski. – M.: 1. september 2010.

Naloga št. 3. Narišite in izračunajte površino figure, omejene s črtami

Uporaba integrala pri reševanju aplikativnih problemov

Izračun površine

Določen integral zvezne nenegativne funkcije f(x) je numerično enak območje krivuljnega trapeza, ki ga omejujejo krivulja y = f(x), os O x in ravni črti x = a in x = b. V skladu s tem je formula območja zapisana na naslednji način:

Oglejmo si nekaj primerov izračunavanja ploščin ravninskih likov.

Naloga št. 1. Izračunajte ploščino, ki jo omejujejo premice y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

rešitev. Sestavimo figuro, katere ploščino bomo morali izračunati.

y = x 2 + 1 je parabola, katere veje so usmerjene navzgor, parabola pa je premaknjena navzgor za eno enoto glede na os O y (slika 1).

Slika 1. Graf funkcije y = x 2 + 1

Naloga št. 2. Izračunajte ploščino, ki jo omejujejo črte y = x 2 – 1, y = 0 v območju od 0 do 1.

rešitev. Graf te funkcije je parabola vej, ki so usmerjene navzgor, parabola pa je premaknjena glede na os O y navzdol za eno enoto (slika 2).

Slika 2. Graf funkcije y = x 2 – 1

Naloga št. 3. Naredite risbo in izračunajte površino figure, omejene s črtami

y = 8 + 2x – x 2 in y = 2x – 4.

rešitev. Prva od teh dveh črt je parabola z vejami, usmerjenimi navzdol, ker je koeficient x 2 negativen, druga črta pa je premica, ki seka obe koordinatni osi.

Za konstrukcijo parabole najdemo koordinate njenega vrha: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisa oglišča; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njena ordinata, N(1;9) je oglišče.

Zdaj pa poiščimo presečišča parabole in premice z reševanjem sistema enačb:

Enačenje desnih strani enačbe, katere leve strani so enake.

Dobimo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ali x 2 – 12 = 0, od koder .

Točke so torej presečišča parabole in premice (slika 1).

Slika 3 Grafa funkcij y = 8 + 2x – x 2 in y = 2x – 4

Konstruirajmo premico y = 2x – 4. Gre skozi točke (0;-4), (2;0) na koordinatnih oseh.

Za sestavo parabole lahko uporabite tudi njene presečišča z osjo 0x, to je korenine enačbe 8 + 2x – x 2 = 0 ali x 2 – 2x – 8 = 0. Z uporabo Vietovega izreka je enostavno najti njene korenine: x 1 = 2, x 2 = 4.

Slika 3 prikazuje lik (parabolični segment M 1 N M 2), ki ga omejujejo te črte.

Drugi del težave je najti območje te figure. Njegovo območje je mogoče najti z uporabo določen integral po formuli .

Glede na ta pogoj dobimo integral:

2 Izračun prostornine vrtilnega telesa

Prostornina telesa, dobljena z vrtenjem krivulje y = f(x) okoli osi O x, se izračuna po formuli:

Pri vrtenju okoli osi O y je formula videti takole:

Naloga št. 4. Določite prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem ukrivljenega trapeza, omejenega z ravnimi črtami x = 0 x = 3 in krivuljo y = okoli osi O x.

rešitev. Narišimo sliko (slika 4).

Slika 4. Graf funkcije y =

Zahtevana prostornina je

Naloga št. 5. Izračunaj prostornino telesa, ki ga dobimo z vrtenjem ukrivljenega trapeza, ki ga omejujejo krivulja y = x 2 in premice y = 0 in y = 4 okoli osi O y.

rešitev. Imamo:

Vprašanja za pregled

Oglejmo si ukrivljeni trapez, ki ga omejujejo os Ox, krivulja y=f(x) in dve premici: x=a in x=b (slika 85). Vzemimo poljubno vrednost x (samo ne a in ne b). Dajmo ji prirastek h = dx in obravnavajmo trak, ki ga omejujejo premice AB in CD, os Ox in lok BD, ki pripada obravnavani krivulji. Ta trak bomo imenovali elementarni trak. Območje elementarnega traku se razlikuje od območja pravokotnika ACQB s krivokotnim trikotnikom BQD in območjem slednjega manjša površina pravokotnik BQDM s stranicami BQ = =h=dx) QD=Ay in ploščino enako hAy = Ay dx. Ko se stran h zmanjšuje, se stran Du prav tako zmanjšuje in hkrati s h teži k nič. Zato je območje BQDM infinitezimalno drugega reda. Območje elementarnega traku je prirastek območja, območje pravokotnika ACQB, enako AB-AC ==/(x) dx>, pa je diferencial območja. Posledično najdemo območje samo z integracijo njegovega diferenciala. Znotraj obravnavane slike se neodvisna spremenljivka l: spremeni iz a v b, zato bo zahtevana površina 5 enaka 5= \f(x) dx. (I) Primer 1. Izračunajmo ploščino, ki jo omejujejo parabola y - 1 -x*, premice X =--Fj-, x = 1 in os O* (slika 86). na sl. 87. Sl. 86. 1 Tukaj je f(x) = 1 - l?, meji integracije sta a = - in £ = 1, torej J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Primer 2. Izračunajmo ploščino, ki jo omejujejo sinusoida y = sinXy, os Ox in premica (slika 87). Z uporabo formule (I) dobimo A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Primer 3. Izračunajte ploščino, omejeno z lokom sinusoide ^у = sin jc, priloženo med dvema sosednjima presečiščema z osjo Ox (na primer med izhodiščem in točko z absciso i). Upoštevajte, da je iz geometrijskih premislekov jasno, da bo to območje dvakrat več območja prejšnji primer. Vendar pa naredimo izračune: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Dejansko se je naša predpostavka izkazala za pravilno. Primer 4. Izračunajte ploščino, ki jo omejujejo sinusoida in os Ox v eni periodi (slika 88). Predhodni izračuni kažejo, da bo površina štirikrat večja kot v primeru 2. Vendar po izračunih dobimo “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ta rezultat zahteva pojasnilo. Za razjasnitev bistva zadeve izračunamo še površino, ki jo omejujeta ista sinusoida y = sin l: in os Ox v območju od l do 2i. Z uporabo formule (I) dobimo 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Tako vidimo, da se je to področje izkazalo za negativno. Če jo primerjamo s površino, izračunano v vaji 3, ugotovimo, da je njihova absolutne vrednosti so enaki, vendar so znaki različni. Če uporabimo lastnost V (glej poglavje XI, § 4), dobimo 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Kar se je zgodilo v tem primeru, ni nesreča. Območje, ki se nahaja pod osjo Ox, pod pogojem, da se neodvisna spremenljivka spreminja od leve proti desni, dobimo pri izračunu z uporabo integralov. Pri tem tečaju bomo vedno upoštevali področja brez znakov. Zato bo odgovor v pravkar obravnavanem primeru: zahtevana površina je 2 + |-2| = 4. Primer 5. Izračunajmo površino BAB, prikazano na sl. 89. To področje omejujejo os Ox, parabola y = - xr in premica y - = -x+\. Območje ukrivljenega trapeza Zahtevano območje OAB je sestavljeno iz dveh delov: OAM in MAV. Ker je točka A presečišče parabole in premice, bomo njene koordinate našli z reševanjem sistema enačb 3 2 Y = mx. (najti moramo samo absciso točke A). Pri reševanju sistema najdemo l; = ~. Zato je treba površino izračunati po delih, najprej na kvadrat. OAM in nato pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. Graf funkcije QAM-^x y=x 2 +2 nahaja nad osjo Ox , Zato:

odgovor: S =9 kvadratnih enot

Ko je naloga opravljena, je vedno koristno pogledati risbo in ugotoviti, ali je odgovor resničen. IN v tem primeru"na oko" preštejemo število celic na risbi - no, približno 9 jih bo, zdi se, da je res. Popolnoma jasno je, da če smo dobili recimo odgovor: 20 kvadratnih enot, potem je očitno, da je bila nekje storjena napaka - 20 celic očitno ne sodi v zadevno številko, največ ducat. Če je odgovor negativen, je bila tudi naloga nepravilno rešena.

Kaj storiti, če se nahaja ukrivljeni trapez pod osjo Oh?

b) Izračunajte površino figure, omejene s črtami y=-e x , x=1 in koordinatne osi.

rešitev.

Naredimo risbo.

Če je ukrivljen trapez popolnoma nameščen pod osjo Oh , potem je njegovo območje mogoče najti s formulo:

odgovor: S=(e-1) kvadratnih enot" 1,72 kvadratnih enot

Pozor! Obe vrsti nalog ne smemo zamenjevati:

1) Če vas prosimo, da preprosto rešite določen integral brez kakršnega koli geometrijskega pomena, potem je lahko negativen.

2) Če vas prosimo, da poiščete območje figure z določenim integralom, potem je območje vedno pozitivno! Zato se v pravkar obravnavani formuli pojavi minus.

V praksi se najpogosteje lik nahaja tako v zgornji kot spodnji polravnini.

z) Poiščite območje ravninske figure, omejene s črtami y=2x-x 2, y=-x.

rešitev.

Najprej morate dokončati risbo. Na splošno nas pri konstruiranju risbe v problemih ploščin najbolj zanimajo točke presečišča črt. Poiščimo presečišča parabole in ravno To lahko naredimo na dva načina. Prva metoda je analitična.

Rešimo enačbo:

To pomeni, da je spodnja meja integracije a=0 , zgornja meja integracije b=3 .

Črte lahko gradite točko za točko in meje integracije postanejo jasne »sama od sebe«. Kljub temu je treba včasih še vedno uporabiti analitično metodo iskanja meja, če je na primer graf dovolj velik ali podrobna konstrukcija ni razkrila meje integracije (lahko so frakcijske ali iracionalne).

Želena slika je omejena s parabolo zgoraj in ravno črto spodaj.

Na segmentu , po ustrezni formuli:

odgovor: S =4,5 kvadratnih enot