Belakang ke hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat dengan kerja ini, sila muat turun versi penuh.

• Pendidikan: mengembangkan pemahaman pelajar tentang algebra proposisi, memperkenalkan operasi logik dan jadual kebenaran.
• Perkembangan:
membangunkan keupayaan pelajar untuk beroperasi dengan konsep dan simbolisme logik matematik; meneruskan pembentukan pemikiran logik; membangunkan aktiviti kognitif; meluaskan ufuk pelajar.
• Pendidikan:
membangunkan keupayaan untuk menyatakan pendapat seseorang; menanam kemahiran kerja berdikari.

JENIS PELAJARAN: gabungan pelajaran - penerangan tentang bahan baharu diikuti dengan pemantapan pengetahuan yang diperoleh.

TEMPOH PELAJARAN: 40 minit.

ASAS BAHAN DAN TEKNIKAL:

• papan interaktif Papan pintar.
• Aplikasi MS Windows - PowerPoint 2007.
• Versi pelajaran elektronik yang disediakan oleh guru (persembahan dalam PowerPoint 2007).
• Kad tugasan yang disediakan oleh guru.

PELAN PEMBELAJARAN:

saya. mengatur masa- 1 minit.

II. Menetapkan matlamat pelajaran - 2 min.

III. Mengemas kini pengetahuan - 9 min.

IV. Pembentangan bahan baharu - 15 min.

V. Penyatuan bahan yang dipelajari - 8 min.

VI. Refleksi "Ayat belum selesai" - 3 min.

VII. Kesimpulan. Kerja rumah - 2 min.

SEMASA KELAS

I. Detik organisasi.

Salam, menandakan mereka yang tidak hadir ke kelas.

Slaid 1

Kami terus mengkaji bahagian tersebut "Bahasa logik". Hari ini pelajaran kita ditumpukan kepada topik "Pernyataan logik". Mari kita mulakan dengan menyemak kerja rumah(puisi pelajar dibaca, yang mengandungi banyak penghubung logik (operasi) dan kesimpulan dibuat bahawa maklumat sewenang-wenangnya boleh ditafsirkan dengan jelas berdasarkan algebra logik).

Oleh itu, matlamat pelajaran kami adalah untuk mengkaji operasi logik dan mengetahui bahawa maklumat sewenang-wenangnya boleh ditafsirkan dengan jelas berdasarkan algebra logik. Tetapi pertama-tama anda perlu menyemak semula bahan yang dipelajari dalam pelajaran lepas.

III. Mengemas kini pengetahuan (kaji selidik hadapan).

Tugasan 1. Bekerja dengan kad (beri jawapan ringkas kepada soalan Sains yang mengkaji undang-undang dan bentuk pemikiran. (Logik)

• hello!
• Aksiom tidak memerlukan bukti.
• hari ni hujan.
• Berapakah suhu di luar?
• Ruble adalah unit monetari Rusia.
• Anda tidak boleh menarik ikan keluar dari kolam tanpa kesukaran.
• Nombor 2 bukan pembahagi nombor 9.
• Nombor x tidak lebih daripada 2.

7. Tentukan kebenaran atau kepalsuan pernyataan:

• Sains komputer dipelajari dalam kursus sekolah menengah.
• "E" ialah huruf keenam dalam abjad.
• Petak itu ialah belah ketupat.
• Kuasa dua hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki.
• Jumlah sudut segitiga ialah 1900.
• 12+14 > 30.
• Penguin hidup di Kutub Utara Bumi.
• 23+12=5*7.

Jadi apa itu kenyataan? (Ayat deklaratif yang boleh dikatakan benar atau salah.)

Apakah pernyataan mudah? (Sesuatu pernyataan dipanggil mudah (elementary) jika tiada sebahagian daripadanya adalah pernyataan.)

Apakah pernyataan majmuk? (Pernyataan majmuk terdiri daripada kenyataan mudah, dihubungkan dengan penghubung logik (operasi).)

Tugasan 2. Bina pernyataan majmuk daripada pernyataan mudah: “A = Petya sedang membaca buku,” “B = Petya sedang minum teh.” (pada skrin - slaid 2)

Jom sambung kerja.

Tugasan 3. Dalam pernyataan berikut, serlahkan penyataan mudah, menunjukkan setiap satu daripada mereka dengan huruf:

1. Pada musim sejuk, kanak-kanak bermain luncur ais atau bermain ski. (slaid 3)
2. Tidak benar bahawa Matahari bergerak mengelilingi Bumi. (slaid 4)
3. Nombor 15 boleh dibahagi dengan 3 jika dan hanya jika jumlah digit 15 boleh dibahagi dengan 3. (slaid 5)
4. Jika semalam hari Ahad, maka Dima tiada di sekolah semalam dan berjalan sepanjang hari. (slaid 6)

IV. Persembahanbahan baru.

Dalam tugas sebelumnya, pelbagai penghubung logik digunakan: "dan", "atau", "tidak", "jika: maka:", "jika dan hanya jika:". Dalam logik algebra, penghubung logik dan operasi logik yang sepadan mempunyai nama khas. Mari kita pertimbangkan 3 operasi logik asas - penyongsangan, konjungsi dan pemecahan, dengan bantuannya anda boleh mendapatkan pernyataan kompaun. (slaid 7)

Sebarang operasi logik ditakrifkan oleh jadual yang dipanggil jadual kebenaran. Jadual kebenaran ungkapan logik ialah jadual di mana semua kemungkinan kombinasi nilai data sumber ditulis di sebelah kiri, dan di sebelah kanan - nilai ungkapan untuk setiap kombinasi.

Negasi ialah operasi logik yang mengaitkan setiap pernyataan mudah (elemen) dengan pernyataan baharu, yang maknanya bertentangan dengan pernyataan asal. ( gelongsor 8)

Mari kita pertimbangkan peraturan untuk membina penolakan pernyataan mudah.

peraturan: Apabila membina penolakan kepada pernyataan mudah, sama ada frasa "tidak benar bahawa" digunakan, atau penolakan dibina kepada predikat, maka zarah "tidak" ditambah pada predikat, dan perkataan "semua" ialah digantikan dengan "beberapa" dan sebaliknya.

Tugasan 4. Bina penyongsangan (negasi) kepada pernyataan mudah:

1. A = Saya mempunyai komputer di rumah. ( gelongsor 9)
2. A = Semua budak darjah 11 adalah pelajar cemerlang.
3. Adakah kenyataan itu akan menjadi penafian: "Semua budak lelaki dalam gred 11 bukan pelajar cemerlang." ( gelongsor 10)

Pernyataan "Semua budak darjah 11 bukan pelajar cemerlang" bukanlah menafikan kenyataan "Semua budak darjah 11 adalah pelajar cemerlang." Pernyataan "Semua budak darjah 11 adalah pelajar cemerlang" adalah palsu, dan penolakan pernyataan palsu mestilah pernyataan yang benar. Tetapi kenyataan "Semua budak darjah 11 bukan pelajar cemerlang" adalah tidak benar, kerana di kalangan pelajar darjah 11 terdapat pelajar cemerlang dan tidak cemerlang.

Penolakan boleh diwakili secara grafik sebagai satu set. ( slaid 11)

Mari kita pertimbangkan operasi logik berikut - konjungsi. Pernyataan yang terdiri daripada dua pernyataan dengan menggabungkannya dengan penghubung "dan" dipanggil kata hubung atau pendaraban logik (sebagai tambahan penghubung - a, tetapi, walaupun) digunakan.

Kata Hubung- operasi logik yang mengaitkan setiap dua pernyataan asas dengan pernyataan baharu, yang benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan awal adalah benar. ( gelongsor 12)

Secara grafik, kata hubung boleh diwakili sebagai satu set. ( gelongsor 13)

Mari kita pertimbangkan operasi logik berikut - disjunction. Pernyataan yang terdiri daripada dua pernyataan yang disatukan oleh penghubung "atau" dipanggil disjungsi atau penambahan logik.

Disjunction- operasi logik yang mengaitkan setiap dua pernyataan asas dengan pernyataan baharu, yang palsu jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan awal adalah palsu. ( gelongsor 14)

Secara grafik, percanggahan boleh diwakili sebagai satu set. ( gelongsor 15)

Jadi, apakah tiga operasi asas yang telah kami pelajari? ( gelongsor 16)

Mari cuba gunakan pengetahuan baru kami apabila menyelesaikan ujian.

V. Penyatuan bahan yang dipelajari (kerja di papan).

Tugasan 5. Padankan rajah dan sebutannya.( gelongsor 17)

Tugasan 6. Terdapat dua pernyataan mudah: A = "Nombor 10 adalah genap," B = "Serigala ialah herbivor." Buat semua pernyataan majmuk yang mungkin daripada mereka dan tentukan kebenarannya.

Jawapan: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7.

Tugasan 8. Dua pernyataan mudah diberikan: A = "Ruble ialah mata wang Rusia," B = "Hryvnia ialah mata wang Amerika Syarikat." Pernyataan yang manakah benar?

4)A v B

Jawapan: 1) 0; 2) 1; tiga puluh; 4) 1.

VI. Refleksi "Ayat yang belum selesai."

• Saya mendapati pelajaran itu menarik kerana:
• Perkara yang paling saya sukai tentang pelajaran:
• Apa yang baru kepada saya ialah:

VII. Kesimpulan. Kerja rumah.

Hasil kerja kelas secara keseluruhan dan pelajar individu yang cemerlang dalam pelajaran dinilai.

Kerja rumah:

1) Ketahui definisi asas, ketahui notasi.

2) Buat pepatah mudah. (Sepatutnya terdapat 5 set dua pernyataan secara keseluruhan). Daripada mereka, karang semua jenis pernyataan majmuk dan tentukan kebenarannya.

Senarai bahan yang digunakan:

1. Sains Komputer dan ICT. darjah 10-11. Tahap profil. Bahagian 1: gred ke-10: buku teks untuk institusi pendidikan am / M.E. Fioshin, A.A. Ressin - M.: Bustard, 2008
2. Asas matematik sains komputer. Buku teks /E.V. Andreeva, L.L. Bosova, I.N. Falina - M.: BINOM. Makmal Pengetahuan, 2007
3. Bahan daripada guru sains komputer N.P. Pospelova, Sekolah Menengah Institusi Pendidikan Perbandaran No. 22, Sochi
4. Serpihan pembentangan oleh guru sains komputer K.Yu.

Pernyataan adalah pembentukan yang lebih kompleks daripada nama. Apabila kita menguraikan pernyataan kepada bahagian yang lebih mudah, kita sentiasa mendapat satu nama atau yang lain. Katakan, pernyataan "Matahari ialah bintang" termasuk nama "Matahari" dan "bintang" sebagai bahagiannya.

Kenyataan- ayat yang betul dari segi tatabahasa, diambil bersama-sama dengan makna (isi) yang diungkapkannya dan menjadi benar atau salah.

Konsep ujaran adalah salah satu daripada yang asli, konsep kunci logik. Oleh itu ia tidak membenarkan definisi yang tepat, sama terpakai dalam bahagian yang berbeza.

Sesuatu pernyataan dianggap benar jika huraian yang diberikan sepadan dengan situasi sebenar, dan salah jika tidak sepadan dengannya. "Benar" dan "salah" dipanggil "nilai-nilai kenyataan."

Daripada kenyataan individu cara yang berbeza anda boleh membina pernyataan baharu.

Sebagai contoh, daripada pernyataan "Angin bertiup" dan "Hujan" anda boleh membentuk pernyataan yang lebih kompleks "Angin bertiup dan hujan", "Sama ada angin bertiup atau hujan", "Jika hujan, maka angin bertiup ", dan lain-lain. .

Kenyataan itu dipanggil mudah, melainkan ia memasukkan pernyataan lain sebagai sebahagian daripadanya.

Kenyataan itu dipanggil Saya rumit, jika ia diperoleh menggunakan penghubung logik daripada pernyataan lain yang lebih mudah.

Mari kita pertimbangkan yang paling cara-cara penting membina pernyataan yang kompleks.

Kenyataan negatif terdiri daripada pernyataan awal dan penafian, biasanya dinyatakan dengan perkataan "tidak", "itu tidak benar". Oleh itu, pernyataan negatif adalah pernyataan yang kompleks: ia termasuk sebagai bahagiannya pernyataan yang berbeza daripadanya. Sebagai contoh, penolakan pernyataan "10 ialah nombor genap" ialah pernyataan "10 bukan nombor genap" (atau: "Tidak benar bahawa 10 ialah nombor genap").

Mari kita nyatakan pernyataan dengan huruf A, B, C,... Makna penuh konsep penolakan pernyataan diberikan oleh syarat: jika pernyataan A adalah benar, penolakannya adalah palsu, dan jika A adalah palsu, penafiannya adalah benar. Sebagai contoh, kerana "1 ialah integer positif" adalah benar, penolakannya "1 bukan integer positif" adalah palsu, dan kerana "1 ialah nombor perdana" adalah palsu, penolakannya "1 bukan nombor perdana" ialah benar.

Menghubungkan dua pernyataan menggunakan perkataan "dan" menghasilkan pernyataan kompleks yang dipanggil kata hubung. Pernyataan yang disambungkan dengan cara ini dipanggil "ahli kata hubung."

Contohnya, jika pernyataan "Hari ini panas" dan "Semalam sejuk" digabungkan dengan cara ini, anda mendapat kata hubung "Hari ini panas dan semalam sejuk."

Kata hubung adalah benar hanya jika kedua-dua pernyataan yang disertakan di dalamnya adalah benar; jika sekurang-kurangnya satu daripada ahlinya palsu, maka keseluruhan kata hubungnya adalah palsu.

Dalam bahasa biasa, dua pernyataan dihubungkan dengan kata hubung "dan" apabila ia berkaitan antara satu sama lain dalam kandungan atau makna. Sifat hubungan ini tidak sepenuhnya jelas, tetapi jelas bahawa kita tidak akan menganggap kata hubung "Dia berjalan dengan kot, dan saya berjalan ke universiti" sebagai ungkapan yang mempunyai makna dan boleh benar atau salah. Walaupun pernyataan "2 ialah nombor perdana" dan "Moscow ialah Bandar besar” adalah benar, kami tidak cenderung untuk menganggap kata hubung mereka “2 ialah nombor perdana, dan Moscow ialah sebuah bandar besar” adalah benar, kerana pernyataan konstituennya tidak berkaitan antara satu sama lain dalam makna. Dengan memudahkan makna kata hubung dan penghubung logik lain dan, untuk tujuan ini, meninggalkan konsep "sambungan pernyataan dengan makna" yang tidak jelas, logik menjadikan makna penghubung ini lebih luas dan lebih jelas.

Menyambung dua pernyataan menggunakan perkataan "atau" memberi perpecahan kenyataan-kenyataan ini. Pernyataan yang membentuk disjungsi dipanggil "ahli disjungsi." .

Perkataan "atau" mempunyai dua makna yang berbeza dalam bahasa seharian. Kadang-kadang ia bermaksud "satu atau yang lain atau kedua-duanya," dan kadang-kadang "satu atau yang lain, tetapi bukan kedua-duanya." Contohnya, pernyataan "Musim ini saya mahu pergi ke " Ratu Spades"atau kepada Aida" membenarkan kemungkinan melawat opera dua kali. Kenyataan "Dia belajar di Moscow atau Universiti Yaroslavl" membayangkan bahawa orang itu merujuk kepada pengajian di salah satu universiti ini sahaja.

Pengertian pertama "atau" dipanggil tidak eksklusif. Dalam pengertian ini, percanggahan dua kenyataan bermakna sekurang-kurangnya satu daripada kenyataan ini adalah benar, tidak kira sama ada kedua-duanya benar atau tidak. Diambil pada yang kedua eksklusif, atau tegas, percanggahan dua pernyataan menyatakan bahawa salah satu pernyataan adalah benar dan yang kedua adalah palsu.

Disjungsi bukan eksklusif adalah benar apabila sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan konstituennya adalah benar, dan palsu hanya apabila kedua-dua ahlinya adalah palsu.

Pecahan eksklusif adalah benar apabila hanya satu daripada istilahnya adalah benar, dan ia adalah palsu apabila kedua-dua istilahnya adalah benar atau kedua-duanya adalah palsu.

Dalam logik dan matematik, perkataan "atau" hampir selalu digunakan dalam makna bukan eksklusif.

Pernyataan bersyarat - pernyataan yang kompleks, biasanya dirumuskan menggunakan kata penghubung "jika ... maka ..." dan menetapkan bahawa satu peristiwa, keadaan, dsb. adalah dari satu segi atau yang lain asas atau syarat untuk yang lain.

Contohnya: "Jika ada api, maka ada asap", "Jika nombor boleh dibahagi dengan 9, ia boleh dibahagikan dengan 3", dsb.

Pernyataan bersyarat terdiri daripada dua pernyataan yang lebih mudah. Yang didahului dengan perkataan "jika" dipanggil asas, atau anteseden(sebelumnya), pernyataan yang datang selepas perkataan "itu" dipanggil akibat, atau berbangkit(seterusnya).

Dengan mengesahkan pernyataan bersyarat, kami pertama sekali bermaksud bahawa tidak boleh apa yang dikatakan dalam asasnya berlaku, dan apa yang dikatakan sebagai akibatnya tiada. Dengan kata lain, tidak boleh berlaku bahawa anteseden adalah benar dan akibatnya adalah palsu.

Dari segi pernyataan bersyarat, konsep syarat mencukupi dan perlu biasanya ditakrifkan: anteseden (tanah) ialah syarat yang mencukupi untuk akibat (akibat), dan akibatnya ialah syarat yang perlu untuk anteseden. Sebagai contoh, kebenaran pernyataan bersyarat "Jika pilihan adalah rasional, maka yang terbaik daripada alternatif yang ada dipilih" bermakna bahawa rasional adalah alasan yang mencukupi untuk memilih yang terbaik daripada pilihan yang ada dan bahawa pilihan pilihan tersebut adalah. syarat yang diperlukan untuk rasionalnya.

Fungsi tipikal pernyataan bersyarat adalah untuk membenarkan satu pernyataan dengan merujuk kepada pernyataan lain. Sebagai contoh, fakta bahawa perak adalah konduktif elektrik boleh dibenarkan dengan merujuk kepada fakta bahawa ia adalah logam: "Jika perak adalah logam, ia adalah konduktif elektrik."

Kaitan antara yang menyokong dan yang dibenarkan (asas dan akibat) yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat adalah sukar untuk dicirikan dalam Pandangan umum, dan hanya kadangkala sifatnya agak jelas. Sambungan ini boleh, pertama, sambungan akibat logik yang berlaku di antara premis dan kesimpulan kesimpulan yang betul ("Jika semua makhluk multiselular yang hidup adalah fana, dan obor-obor adalah makhluk sedemikian, maka ia adalah fana"); kedua, mengikut undang-undang alam ("Jika badan mengalami geseran, ia akan mula panas"); ketiga, hubungan sebab akibat (“Jika Bulan berada di nod orbitnya pada bulan baharu, gerhana matahari"); keempat, corak sosial, peraturan, tradisi ("Jika masyarakat berubah, orang itu juga berubah," "Jika nasihat itu munasabah, ia harus diikuti"), dsb.

Kaitan yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat biasanya disertai dengan kepercayaan bahawa akibat "mengikuti" dengan keperluan tertentu dari sebab dan terdapat beberapa undang-undang umum, yang, setelah dapat merumuskan, kita secara logik dapat menyimpulkan akibat dari sebab.

Sebagai contoh, pernyataan bersyarat "Jika bismut ialah logam, ia mulur" seolah-olah mengandaikan undang-undang am "Semua logam adalah mulur," menjadikan akibat daripada pernyataan ini akibat logik daripada antesedennya.

Kedua-dua dalam bahasa biasa dan dalam bahasa sains, pernyataan bersyarat, sebagai tambahan kepada fungsi justifikasi, juga boleh melaksanakan beberapa tugas lain: untuk merumuskan syarat yang tidak dikaitkan dengan mana-mana undang-undang atau peraturan am yang tersirat ("Jika Saya mahu, saya akan memotong jubah saya”); rekod beberapa urutan ("Jika musim panas lepas kering, maka tahun ini hujan"); menyatakan ketidakpercayaan dalam bentuk yang aneh ("Jika anda menyelesaikan masalah ini, saya akan membuktikan teorem terakhir Fermat"); pembangkang ("Jika elderberry tumbuh di taman, maka bapa saudara tinggal di Kyiv"), dan lain-lain. Fungsi yang banyak dan heterogen bagi pernyataan bersyarat dengan ketara merumitkan analisisnya.

Penggunaan pernyataan bersyarat dikaitkan dengan faktor psikologi tertentu. Kita biasanya merumuskan pernyataan sedemikian hanya jika kita tidak mengetahui dengan pasti sama ada anteseden dan akibatnya adalah benar atau palsu. Jika tidak, penggunaannya kelihatan tidak semula jadi ("Jika bulu kapas adalah logam, ia adalah konduktif elektrik").

Kenyataan bersyarat sangat aplikasi yang luas dalam semua bidang penaakulan. Dalam logik ia biasanya diwakili oleh ujaran implikatif, atau implikasi. Pada masa yang sama, logik menjelaskan, sistematik dan memudahkan penggunaan "jika..., maka ..." dan membebaskannya daripada pengaruh faktor psikologi.

Logik disarikan, khususnya, daripada fakta bahawa hubungan antara sebab dan akibat, ciri pernyataan bersyarat, bergantung pada konteks, boleh dinyatakan bukan sahaja menggunakan "jika... maka ...", tetapi juga linguistik lain. bermakna.

Sebagai contoh, "Oleh kerana air ialah cecair, ia menghantar tekanan ke semua arah secara sama rata," "Walaupun plastisin bukan logam, ia adalah plastik," "Jika kayu adalah logam, ia akan menjadi konduktif elektrik," dsb. Ini dan yang serupa kenyataan diwakili dalam bahasa logik melalui implikasi, walaupun penggunaan "jika... maka..." di dalamnya tidak akan menjadi sepenuhnya semula jadi.

Dengan menegaskan implikasi, kami menegaskan bahawa ia tidak boleh berlaku bahawa asasnya berlaku dan akibatnya tidak hadir. Dengan kata lain, implikasi adalah palsu hanya jika alasannya benar dan akibatnya palsu.

Takrifan ini mengandaikan, seperti takrifan penghubung sebelumnya, bahawa setiap pernyataan adalah sama ada benar atau salah dan bahawa nilai kebenaran pernyataan kompleks bergantung hanya pada nilai kebenaran pernyataan konstituennya dan cara ia disambungkan.

Implikasi adalah benar apabila kedua-dua alasan dan akibatnya adalah benar atau salah; adalah benar jika alasannya palsu dan akibatnya benar. Hanya dalam kes keempat, apabila alasannya benar dan akibatnya salah, implikasinya palsu.

Implikasi tidak membayangkan bahawa pernyataan A dan B entah bagaimana berkaitan antara satu sama lain dalam kandungan. Jika B adalah benar, pernyataan "jika A, maka B" adalah benar tanpa mengira sama ada A adalah benar atau salah dan sama ada ia berkaitan makna dengan B atau tidak.

Sebagai contoh, pernyataan berikut dianggap benar: "Jika terdapat kehidupan di Matahari, maka dua kali dua sama dengan empat," "Jika Volga adalah tasik, maka Tokyo adalah sebuah perkampungan besar," dsb. Pernyataan bersyarat juga benar apabila A palsu, dan pada masa yang sama sekali lagi, tidak ada bezanya sama ada B benar atau tidak dan sama ada ia berkaitan dalam kandungan dengan A atau tidak. Pernyataan yang benar termasuk: "Jika Matahari adalah kubus, maka Bumi adalah segitiga," "Jika dua dan dua sama dengan lima, maka Tokyo adalah sebuah bandar kecil," dsb.

Dalam penaakulan biasa, semua pernyataan ini tidak mungkin dianggap sebagai bermakna, dan masih kurang benar.

Walaupun implikasi berguna untuk banyak tujuan, ia tidak sepenuhnya konsisten dengan pemahaman biasa sambungan bersyarat. Implikasi merangkumi banyak ciri penting bagi tingkah laku logik pernyataan bersyarat, tetapi pada masa yang sama ia bukanlah penerangan yang mencukupi mengenainya.

Dalam separuh abad yang lalu, terdapat percubaan bersungguh-sungguh untuk memperbaharui teori implikasi. Pada masa yang sama, ia bukan persoalan untuk meninggalkan konsep implikasi yang dijelaskan, tetapi memperkenalkan, bersama-sama dengannya, konsep lain yang mengambil kira bukan sahaja nilai kebenaran kenyataan, tetapi juga hubungannya dalam kandungan.

Berkait rapat dengan implikasi kesetaraan, kadangkala dipanggil "implikasi berganda".

Kesetaraan- pernyataan kompleks "A, jika dan hanya jika B", terbentuk daripada pernyataan A dan B dan menguraikan kepada dua implikasi: "jika A, maka B", dan "jika B, maka A". Contohnya: "Segitiga adalah sama sisi jika dan hanya jika ia adalah segi empat sama." Istilah "kesetaraan" juga menandakan penghubung "..., jika dan hanya jika...", dengan bantuan pernyataan kompleks yang diberikan dibentuk daripada dua pernyataan. Daripada "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", dll. boleh digunakan untuk tujuan ini.

Jika penghubung logik ditakrifkan dari segi kebenaran dan kepalsuan, kesetaraan adalah benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan konstituennya mempunyai nilai kebenaran yang sama, iaitu apabila kedua-duanya benar dan kedua-duanya palsu. Sehubungan itu, suatu kesetaraan adalah palsu apabila salah satu pernyataan yang disertakan di dalamnya adalah benar dan satu lagi adalah palsu.

Apabila mempertimbangkan cara membentuk pernyataan kompleks daripada yang mudah, struktur dalaman pernyataan mudah tidak diambil kira. Mereka diambil sebagai zarah tidak boleh terurai dengan hanya satu sifat: benar atau palsu. Kata-kata ringkas

Bukan kebetulan bahawa mereka kadang-kadang dipanggil atom: daripada mereka, seperti dari bata asas, dengan bantuan penghubung logik "dan", "atau", dll., pelbagai pernyataan kompleks ("molekul") dibina.

Sekarang kita harus memikirkan persoalan tentang struktur dalaman, atau struktur dalaman, penyataan ringkas itu sendiri: daripada bahagian tertentu ia disusun dan bagaimana bahagian ini saling berkaitan.

Ia mesti segera ditekankan bahawa pernyataan mudah boleh diuraikan kepada bahagian komponennya dengan cara yang berbeza. Hasil penguraian bergantung pada tujuan ia dijalankan, iaitu, pada konsep inferens logik (akibat logik) dalam rangka yang mana pernyataan tersebut dianalisis.

Kepentingan khusus dalam pernyataan kategori dijelaskan terutamanya oleh fakta bahawa perkembangan logik sebagai sains bermula dengan kajian hubungan logik mereka. Selain itu, pernyataan jenis ini digunakan secara meluas dalam penaakulan kami. Teori sambungan logik pernyataan kategori biasanya dipanggil silogistik.

Contohnya, dalam pernyataan "Semua dinosaur telah pupus," atribut "menjadi pupus" dikaitkan dengan dinosaur. Dalam proposisi "Beberapa dinosaur terbang" keupayaan untuk terbang dikaitkan dengan spesies tertentu dinosaur. Proposisi "Semua komet bukan asteroid" menafikan kehadiran atribut "menjadi asteroid" dalam setiap komet. Proposisi "Sesetengah haiwan bukan herbivor" menafikan herbivori sesetengah haiwan.

Jika kita mengabaikan ciri kuantitatif yang terkandung dalam pernyataan kategori dan dinyatakan dengan perkataan "semua" dan "beberapa", kita mendapat dua versi pernyataan sedemikian: afirmatif dan negatif. Struktur mereka:

"S ialah P" dan "S bukan P"

di mana huruf S mewakili nama item tentang yang kita bercakap tentang dalam pernyataan, dan huruf P ialah nama ciri yang wujud atau tidak wujud dalam objek ini.

Nama objek yang dirujuk dalam pernyataan kategori dipanggil subjek, dan nama atributnya ialah predikat. Subjek dan predikat dipanggil syarat pernyataan kategori dan dihubungkan dengan penghubung “adalah” atau “bukan” (“adalah” atau “bukan”, dsb.). Contohnya, dalam pernyataan "Matahari ialah bintang," istilahnya ialah nama "Matahari" dan "bintang" (yang pertama ialah subjek pernyataan, yang kedua ialah predikatnya), dan perkataan "adalah ” ialah penghubung.

Pernyataan mudah seperti "S ialah (bukan) P" dipanggil atribut: ia melibatkan atribusi (atribusi) beberapa harta kepada objek.

Pernyataan atribut bertentangan dengan pernyataan tentang perhubungan di mana perhubungan diwujudkan antara dua atau lebih objek: "Tiga kurang daripada lima," "Kyiv lebih besar daripada Odessa," "Musim bunga lebih baik daripada musim luruh," "Paris terletak di antara Moscow dan New York,” dsb. Pernyataan tentang hubungan memainkan peranan penting dalam sains, terutamanya dalam matematik. Ia tidak boleh dikurangkan kepada pernyataan kategori, kerana hubungan antara beberapa objek (seperti "sama", "sayang", "lebih panas", "ada di antara", dll.) tidak boleh dikurangkan kepada sifat objek individu. Salah satu kelemahan logik tradisional yang ketara ialah ia menganggap pertimbangan tentang hubungan boleh dikurangkan kepada pertimbangan tentang harta benda.

Dalam pernyataan kategori, hubungan antara objek dan atribut bukan sahaja ditubuhkan, tetapi juga tertentu ciri kuantitatif subjek ujaran. Dalam pernyataan seperti "Semua S adalah (bukan) P," perkataan "semua" bermaksud "setiap objek kelas yang sepadan." Dalam pernyataan seperti "Sesetengah S ialah (bukan) P," perkataan "beberapa" digunakan dalam erti kata bukan eksklusif dan bermaksud "sebahagian, atau mungkin semua." Dalam erti kata eksklusif, perkataan "beberapa" bermaksud "sebahagian sahaja", atau "beberapa, tetapi bukan semua". Perbezaan antara dua deria perkataan ini boleh digambarkan dengan pernyataan "Sesetengah bintang adalah bintang." Dalam erti kata bukan eksklusif ia bermaksud "Sesetengah, mungkin semua, bintang adalah bintang" dan jelas benar. Dalam erti kata pengecualian, pernyataan ini bermaksud "Hanya beberapa bintang adalah bintang" dan jelas palsu.

Dalam pernyataan kategori, kepunyaan beberapa ciri kepada objek yang sedang dipertimbangkan disahkan atau dinafikan dan ia ditunjukkan sama ada kita bercakap tentang semua objek ini atau tentang sebahagian daripadanya.

Oleh itu, empat jenis pernyataan kategori adalah mungkin:

Semua S ialah P - pernyataan umum afirmatif,

Sesetengah S ialah P - pernyataan afirmatif tertentu,

Semua S bukan P - pernyataan umumnya negatif,

Sesetengah S bukan P - pernyataan negatif tertentu.

Pernyataan kategori boleh dianggap sebagai hasil penggantian beberapa nama ke dalam ungkapan berikut dengan ruang (elips): "Semua ... adalah ...", "Sesetengah ... adalah ...", "Semua ... adalah ..." bukan ...” dan “Ada yang ... bukan ...”. Setiap ungkapan ini adalah pemalar logik (operasi logik) yang membolehkan kita mendapatkan pernyataan daripada dua nama. Sebagai contoh, menggantikan nama "terbang" dan "burung" dan bukannya titik, kami memperoleh, masing-masing, pernyataan berikut: "Semua terbang adalah burung", "Sesetengah terbang adalah burung",

Inferens

"Semua yang terbang bukanlah burung" dan "Sesetengah yang terbang bukanlah burung." Pernyataan pertama dan ketiga adalah palsu, dan yang kedua dan keempat adalah benar.

Inferens

“Dari setitik air, seseorang yang tahu berfikir secara logik dapat membuat kesimpulan tentang kewujudan Lautan Atlantik atau Air Terjun Niagara, walaupun dia tidak pernah melihat salah satu atau yang lain dan tidak pernah mendengar tentangnya... Oleh seorang kuku seseorang, dengan tangannya, kasut, lipatan seluarnya pada lutut, sepanjang penebalan kulit pada bahagian besar dan jari telunjuk, dengan ekspresi muka dan manset bajunya - dari perkara remeh seperti itu tidaklah sukar untuk meneka profesionnya. Dan tidak ada keraguan bahawa semua ini digabungkan akan mendorong seorang pemerhati yang berpengetahuan untuk membuat kesimpulan yang betul.

Ini adalah petikan daripada artikel dasar oleh detektif dan perunding paling terkenal dalam kesusasteraan dunia, Sherlock Holmes. berdasarkan butiran terkecil, dia membina rangkaian penaakulan yang sempurna secara logik dan menyelesaikan jenayah rumit, selalunya tanpa meninggalkan apartmennya di Baker Street. Holmes menggunakan kaedah deduktif yang dia sendiri cipta, yang, seperti yang dipercayai oleh rakannya Dr. Watson, membawa penyelesaian jenayah ke ambang sains yang tepat.

Sudah tentu, Holmes agak membesar-besarkan kepentingan potongan dalam sains forensik, tetapi alasannya tentang kaedah deduktif melakukan tugasnya. "Potongan" daripada istilah khas yang hanya diketahui oleh segelintir orang telah bertukar menjadi konsep yang biasa digunakan dan malah bergaya. Mempopularkan seni penaakulan yang betul, dan di atas semua penaakulan deduktif, tidak kurang merit Holmes daripada semua jenayah yang diselesaikannya. Dia berjaya "memberi logik daya tarikan mimpi, melalui labirin kristal kemungkinan potongan kepada satu kesimpulan yang bersinar" (V. Nabokov).

Potongan adalah kes istimewa inferens.

DALAM dalam erti kata yang luasinferens - operasi logik akibatnya pernyataan baru diperoleh daripada satu atau lebih pernyataan yang diterima (premis) - kesimpulan (kesimpulan, akibat).

Bergantung kepada sama ada terdapat kaitan antara premis dan kesimpulan akibat logik, dua jenis inferens boleh dibezakan.

Pada intinya penaakulan deduktif terletak undang-undang logik, yang mana kesimpulan berikut dengan keperluan logik dari premis yang diterima.

Ciri tersendiri kesimpulan sedemikian ialah ia sentiasa membawa dari premis yang benar kepada kesimpulan yang benar.

DALAM penaakulan induktif perkaitan antara premis dan kesimpulan bukan berdasarkan hukum logik, tetapi berdasarkan beberapa alasan fakta atau psikologi yang bukan bersifat formal semata-mata.

Dalam inferens sedemikian, kesimpulan tidak mengikut logik dari premis dan mungkin mengandungi maklumat yang tidak terkandung di dalamnya. Oleh itu, kebolehpercayaan premis tidak bermakna kebolehpercayaan pernyataan yang diperoleh secara induktif daripadanya. Induksi hanya memberikan kemungkinan, atau munasabah, kesimpulan yang memerlukan pengesahan lanjut.

Inferens deduktif termasuk, sebagai contoh, yang berikut:

Jika hujan, tanahnya basah. hari ni hujan.

Tanah basah.

Jika helium ialah logam, ia adalah konduktif elektrik. Helium tidak konduktif elektrik.

Helium bukan logam.

Garis yang memisahkan premis daripada kesimpulan menggantikan, seperti biasa, perkataan "oleh itu".

Contoh induksi termasuk penaakulan:

Argentina ialah sebuah republik; Brazil adalah sebuah republik; Venezuela ialah sebuah republik; Ecuador ialah sebuah republik.

Argentina, Brazil, Venezuela, Ecuador adalah negara Amerika Latin.

Semua negeri Amerika Latin adalah republik .

Itali adalah republik, Portugal adalah republik, Finland adalah republik, Perancis adalah republik.

Itali, Portugal, Finland, Perancis adalah negara Eropah Barat.

Semua negara Eropah Barat adalah republik.

Induksi tidak memberikan jaminan lengkap untuk mendapatkan kebenaran baru daripada yang sedia ada. Maksimum yang boleh kita bincangkan ialah tahap kebarangkalian tertentu bagi pernyataan yang disimpulkan. Jadi premis kedua-dua inferens induktif pertama dan kedua adalah benar, tetapi kesimpulan yang pertama daripada mereka adalah benar, dan yang kedua adalah palsu. Sesungguhnya, semua negeri Amerika Latin adalah republik; tetapi di kalangan negara Eropah Barat bukan sahaja terdapat republik, tetapi juga monarki, contohnya England, Belgium dan Sepanyol.

Inferens

Potongan ciri khas adalah peralihan logik daripada pengetahuan am kepada yang khusus, seperti:

Semua logam adalah mulur. Tembaga adalah logam.

Tembaga adalah mulur.

Dalam semua kes apabila perlu untuk mempertimbangkan beberapa fenomena berdasarkan apa yang telah diketahui peraturan Am dan untuk membuat kesimpulan yang diperlukan mengenai fenomena ini, kami membuat kesimpulan dalam bentuk potongan. Penaakulan yang membawa daripada pengetahuan tentang beberapa objek (pengetahuan peribadi) kepada pengetahuan tentang semua objek kelas tertentu ( pengetahuan am), adalah induksi biasa. Selalu ada kemungkinan bahawa generalisasi akan berubah menjadi tergesa-gesa dan tidak berasas ("Napoleon adalah komander; Suvorov adalah komander; ini bermakna setiap orang adalah komander").

Pada masa yang sama, seseorang tidak boleh mengenal pasti potongan dengan peralihan daripada umum kepada khusus, dan induksi dengan peralihan daripada khusus kepada umum.

Dalam hujah, "Shakespeare menulis soneta; oleh itu, adalah tidak benar bahawa Shakespeare tidak menulis soneta.” Terdapat potongan, tetapi tidak ada peralihan daripada umum kepada khusus. Alasan "Jika aluminium adalah plastik atau tanah liat adalah plastik, maka aluminium adalah plastik" adalah, seperti yang biasa difikirkan, induktif, tetapi tidak ada peralihan dari yang khusus kepada umum.

Deduksi ialah terbitan kesimpulan yang boleh dipercayai seperti premis yang diterima, aruhan ialah terbitan kesimpulan yang berkemungkinan (boleh masuk akal). Inferens induktif termasuk kedua-dua peralihan daripada yang khusus kepada umum, serta analogi, kaedah untuk mewujudkan hubungan sebab akibat, pengesahan akibat, justifikasi bertujuan, dsb.

Minat khusus yang ditunjukkan dalam penaakulan deduktif boleh difahami. Mereka membenarkan anda memperoleh kebenaran baru daripada pengetahuan sedia ada, dan lebih-lebih lagi, dengan bantuan penaakulan yang tulen, tanpa menggunakan pengalaman, gerak hati, akal budi, dll. Potongan memberikan jaminan seratus peratus kejayaan, dan tidak hanya menyediakan satu atau satu lagi - mungkin juga tinggi - kebarangkalian kesimpulan yang benar. Bermula dari premis yang benar dan penaakulan secara deduktif, kami pasti memperoleh pengetahuan yang boleh dipercayai dalam semua kes.

Walaupun menekankan kepentingan pemotongan dalam proses penyingkapan dan peneguhan pengetahuan, bagaimanapun, seseorang tidak seharusnya memisahkannya daripada induksi dan meremehkan yang terakhir. Hampir semua peruntukan am, termasuk undang-undang saintifik, adalah hasil generalisasi induktif. Dalam pengertian ini, induksi adalah asas pengetahuan kita. Dengan sendirinya, ia tidak menjamin kebenaran dan kesahihannya, tetapi ia menimbulkan andaian, menghubungkannya dengan pengalaman dan dengan itu memberikan mereka kredibiliti tertentu, lebih kurang. darjat tinggi kebarangkalian. Pengalaman adalah sumber dan asas pengetahuan manusia. Induksi, bermula dari apa yang difahami dalam pengalaman, adalah cara yang diperlukan untuk generalisasi dan sistematisasinya.

UNDANG-UNDANG LOGIK

Bab

Konsep undang-undang logik

Undang-undang logik menjadi asas pemikiran manusia. Mereka menentukan bila penyataan lain mengikut logik daripada beberapa kenyataan, dan mewakili kerangka besi yang tidak kelihatan di mana penaakulan yang konsisten terletak dan tanpanya ia bertukar menjadi pertuturan yang kacau-bilau dan tidak koheren. Tanpa undang-undang logik, adalah mustahil untuk memahami apa akibat logik, dan dengan itu apa buktinya.

Betul, atau, seperti yang biasa mereka katakan, pemikiran logik ialah berfikir mengikut undang-undang logik, mengikut corak abstrak yang ditetapkan oleh mereka. Ini menjelaskan kepentingan undang-undang ini.

Undang-undang logik homogen digabungkan ke dalam sistem logik, yang juga biasanya dipanggil "logik". Masing-masing memberi penerangan struktur logik serpihan, atau jenis, penaakulan kita.

Sebagai contoh, undang-undang yang menerangkan sambungan logik pernyataan, bebas daripada struktur dalaman yang terakhir, digabungkan ke dalam sistem yang dipanggil "logik proposisi." Undang-undang logik yang menentukan sambungan pernyataan kategori membentuk sistem logik yang dipanggil "logik pernyataan kategori", atau "silogistik", dsb.

Undang-undang logik adalah objektif dan tidak bergantung kepada kehendak dan kesedaran manusia. Mereka bukan hasil perjanjian antara orang, ada yang dibangunkan khas atau konvensyen yang dibentuk secara spontan. Mereka bukan hasil daripada sejenis "semangat dunia," seperti yang pernah dipercayai oleh Plato. Kuasa undang-undang logik ke atas seseorang, kuasa wajib mereka untuk pemikiran yang betul, adalah disebabkan oleh fakta bahawa ia mewakili refleksi dalam pemikiran manusia tentang dunia nyata dan pengalaman berabad-abad tentang kognisi dan transformasinya oleh manusia.

Seperti semua undang-undang saintifik lain, undang-undang logik adalah universal dan perlu. Mereka beroperasi sentiasa dan di mana-mana, meluas sama rata kepada semua orang dan ke semua era. wakil rakyat

Konsep undang-undang logik

bangsa yang berbeza dan budaya yang berbeza, lelaki dan wanita, orang Mesir kuno dan orang Polinesia moden, dari sudut logik pemikiran mereka, tidak berbeza antara satu sama lain.

Keperluan yang wujud dalam undang-undang logik dalam erti kata tertentu lebih mendesak dan tidak berubah daripada keperluan semula jadi atau fizikal. Adalah mustahil untuk membayangkan bahawa yang diperlukan secara logik mungkin sebaliknya. Jika sesuatu bercanggah dengan undang-undang alam dan mustahil secara fizikal, maka tiada jurutera, tidak kira betapa berbakatnya dia, akan dapat melaksanakannya. Tetapi jika sesuatu bercanggah dengan undang-undang logik dan secara logiknya mustahil, maka bukan sahaja seorang jurutera - bahkan makhluk yang maha kuasa, jika dia tiba-tiba muncul, tidak akan dapat menghidupkannya.

Seperti yang dinyatakan sebelum ini, dalam penaakulan yang betul, kesimpulan mengikuti dari premis dengan keperluan logik, dan skim umum Penaakulan sedemikian adalah undang-undang yang logik.

Bilangan skema penaakulan yang betul (hukum logik) adalah tidak terhingga. Banyak skema ini diketahui oleh kita dari amalan penaakulan. Kami menerapkannya secara intuitif, tanpa menyedari bahawa setiap inferens yang kami buat dengan betul menggunakan satu atau lain undang-undang logik.

Sebelum anda masuk konsep umum undang-undang logik, kami memberikan beberapa contoh skema penaakulan yang mewakili undang-undang logik. Daripada pembolehubah A, B, C, ..., biasanya digunakan untuk menandakan pernyataan, kami akan menggunakan, seperti yang dilakukan pada zaman dahulu, perkataan "pertama" dan "kedua", menggantikan pembolehubah.

“Jika ada yang pertama, maka ada yang kedua; ada yang pertama; oleh itu, ada yang kedua.” Skema penaakulan ini membolehkan kita beralih daripada pernyataan pernyataan bersyarat (“Jika ada yang pertama, maka ada yang kedua”) dan pernyataan asasnya (“Ada yang pertama”) kepada pernyataan akibat ( "Ada yang kedua"). Menurut skema ini, khususnya, penaakulan diteruskan: "Jika ais dipanaskan, ia cair; ais dipanaskan; oleh itu ia cair.”

Satu lagi skema penaakulan yang betul: “Sama ada yang pertama atau yang kedua berlaku; ada yang pertama; itu bermakna tiada yang kedua.” Melalui skim ini, daripada dua alternatif yang saling eksklusif dan menentukan yang mana satu daripadanya, peralihan dibuat kepada penafian alternatif kedua. Sebagai contoh: "Sama ada Dostoevsky dilahirkan di Moscow, atau dia dilahirkan di St. Petersburg. Dostoevsky dilahirkan di Moscow. Ini bermakna tidak benar dia dilahirkan di St. Petersburg.” Di barat Amerika "The Good, the Bad and the Ugly," satu watak jahat berkata kepada yang lain: "Ingat, dunia terbahagi kepada dua bahagian: mereka yang memegang pistol dan mereka yang menggali. Saya mempunyai revolver sekarang, jadi ambil penyodok itu.” Alasan ini juga berdasarkan skema yang ditunjukkan.

Dan contoh awal terakhir undang-undang logik, atau skema umum penaakulan yang betul: "Ia yang pertama atau kedua. Tetapi yang pertama tidak. Ini bermakna bahawa yang terakhir adalah kesnya. Daripada ungkapan "pertama" marilah kita menggantikan pernyataan "Sudah siang", dan bukannya "kedua" kita menggantikan pernyataan "Sudah malam". Daripada rajah abstrak kita mendapat alasan: "Adakah hari atau malam. Tetapi tidak benar bahawa ia adalah siang hari.

Jadi sekarang sudah malam."

Ini adalah beberapa litar ringkas penaakulan yang betul, menggambarkan konsep hukum logik. Beratus-ratus skim yang serupa duduk di kepala kita, walaupun kita tidak menyedarinya. Berdasarkan mereka, kami menaakul secara logik, atau betul.

Hukum logik (hukum logik)- ungkapan yang merangkumi hanya pemalar dan pembolehubah logik dan bukannya bahagian yang bermakna dan benar dalam mana-mana bidang penaakulan.

Mari kita ambil sebagai contoh ungkapan yang hanya terdiri daripada pembolehubah dan pemalar logik, ungkapan: “Jika A, maka B; bermakna, jika bukan A, maka bukan B." Pemalar logik di sini ialah penghubung proposisi "jika, maka" dan "tidak". Pembolehubah A dan B mewakili beberapa pernyataan. Katakan A ialah pernyataan “Ada sebab,” dan B ialah pernyataan “Ada kesan”. Dengan kandungan khusus ini, kami mendapat alasan: “Jika ada sebab, maka ada kesan; Ini bermakna jika tidak ada kesan, maka tidak ada sebab. Mari kita anggap lagi bahawa bukannya A pernyataan "Nombor itu boleh dibahagikan dengan enam" digantikan, dan bukannya B pernyataan "Nombor itu boleh dibahagikan dengan tiga" digantikan. Dengan kandungan khusus ini, berdasarkan rajah yang dipersoalkan, kami mendapat alasan: “Jika nombor boleh dibahagi dengan enam, ia boleh dibahagi dengan tiga. Oleh itu, jika nombor tidak boleh dibahagikan dengan tiga, ia tidak boleh dibahagikan dengan enam." Apa sahaja pernyataan lain yang digantikan untuk pembolehubah A dan B, jika pernyataan ini benar, maka kesimpulan yang diambil daripadanya adalah benar.

Dalam logik, tempahan biasanya dibuat bahawa kawasan objek yang mana penaakulan sedang dijalankan dan tentang mana pernyataan yang digantikan ke dalam undang-undang logik bercakap tidak boleh kosong: ia mesti mengandungi sekurang-kurangnya satu objek. Jika tidak, penaakulan mengikut skema, yang merupakan undang-undang logik, boleh membawa dari premis yang benar kepada kesimpulan yang salah.

Sebagai contoh, dari premis sebenar "Semua gajah adalah haiwan" dan "Semua gajah mempunyai belalai", mengikut undang-undang logik, kesimpulan sebenar "Sesetengah haiwan mempunyai belalai" berikut. Tetapi jika domain objek yang dipersoalkan kosong, mengikut hukum logik tidak menjamin kesimpulan yang benar diberikan premis yang benar. Kami akan membuat alasan mengikut skema yang sama, tetapi kali ini mengenai gunung emas. Marilah kita membuat kesimpulan: “Semua gunung emas adalah gunung; semua gunung emas adalah emas; oleh itu, beberapa gunung adalah emas.” Kedua-dua premis kesimpulan ini adalah benar. Tetapi kesimpulannya "Sesetengah gunung adalah emas" jelas salah: tidak ada gunung emas.

Konsep undang-undang logik

Oleh itu, penaakulan berdasarkan hukum logik dicirikan oleh dua ciri:

Penaakulan sedemikian sentiasa membawa dari premis yang benar kepada kesimpulan yang benar;

Akibat berikut dari premis dengan keperluan logik.

Hukum logik juga dipanggil tautologi logik.

Tautologi logik- ungkapan yang kekal benar, tanpa mengira objek yang sedang dibincangkan, atau ungkapan "sentiasa benar".

Sebagai contoh, semua keputusan penggantian ke dalam undang-undang logik penafian berganda "Jika A, maka tidak benar bahawa bukan A" adalah pernyataan yang benar: "Jika jelaga hitam, maka tidak benar bahawa ia tidak hitam", "Jika seseorang menggeletar ketakutan, maka tidak benar bahawa dia tidak gementar kerana ketakutan," dsb.

Seperti yang telah disebutkan, konsep undang-undang logik berkaitan secara langsung dengan konsep implikasi logik: kesimpulan secara logik mengikuti dari premis yang diterima jika ia dihubungkan dengan mereka oleh undang-undang logik. Sebagai contoh, dari premis "Jika A, maka B" dan "Jika B, maka C" kesimpulan "Jika A, maka C" secara logik mengikuti, kerana ungkapan "Jika A, maka B, dan jika B, maka C, maka jika A , maka C" mewakili hukum logik, iaitu undang-undang transitivity(transitiviti). Katakan, dari premis "Jika seseorang itu bapa, maka dia adalah ibu bapa" dan "Jika seseorang itu ibu bapa, maka dia adalah bapa atau ibu," menurut undang-undang ini, akibatnya berikut: "Jika seorang seseorang adalah ayah, maka dia adalah ayah atau ibu.”

Urutan logik- hubungan antara premis dan kesimpulan inferens, skema umum yang merupakan undang-undang logik.

Oleh kerana sambungan implikasi logik adalah berdasarkan undang-undang logik, ia dicirikan oleh dua ciri:

Akibat logik membawa dari premis yang benar hanya kepada kesimpulan yang benar;

Kesimpulan berikut dari premis mengikuti daripada mereka dengan keperluan logik.

Tidak semua undang-undang logik mentakrifkan secara langsung konsep akibat logik. Terdapat undang-undang yang menerangkan hubungan logik lain: "dan", "atau", "itu tidak benar", dsb. dan hanya berkaitan secara tidak langsung dengan hubungan implikasi logik. Ini, khususnya, adalah undang-undang percanggahan yang dipertimbangkan di bawah: “Tidak benar bahawa pernyataan yang diambil secara sewenang-wenangnya dan

Fikiran pintar datang hanya apabila perkara bodoh telah dilakukan.

Hanya mereka yang membuat percubaan yang tidak masuk akal akan dapat mencapai yang mustahil. Albert Einstein

Kawan yang baik, buku yang bagus dan hati nurani yang tidur - ini adalah kehidupan yang ideal. Mark Twain

Anda tidak boleh kembali ke masa lalu dan mengubah permulaan anda, tetapi anda boleh mula sekarang dan mengubah penamat anda.

Apabila diteliti lebih dekat, secara amnya menjadi jelas kepada saya bahawa perubahan-perubahan yang seolah-olah datang dengan peredaran masa, sebenarnya, tiada perubahan sama sekali: hanya pandangan saya tentang sesuatu yang berubah. (Franz Kafka)

Dan walaupun godaan hebat untuk mengambil dua jalan sekaligus, anda tidak boleh bermain dengan syaitan dan Tuhan dengan satu dek kad...

Hargai mereka yang boleh menjadi diri anda sendiri.
Tanpa topeng, ketinggalan dan cita-cita.
Dan jagalah mereka, mereka diutuskan kepadamu oleh takdir.
Lagipun, terdapat hanya beberapa daripada mereka dalam hidup anda

Untuk jawapan afirmatif, hanya satu perkataan yang mencukupi - "ya". Semua perkataan lain dibuat untuk mengatakan tidak. Don Aminado

Tanya seseorang: "Apakah kebahagiaan?" dan anda akan mengetahui apa yang paling dia rindui.

Jika anda ingin memahami kehidupan, maka berhentilah mempercayai apa yang mereka katakan dan tulis, tetapi perhatikan dan rasakan. Anton Chekhov

Tidak ada yang lebih merosakkan dan tidak tertanggung di dunia daripada tidak bertindak dan menunggu.

Jadikan impian anda menjadi kenyataan, usahakan idea. Mereka yang pernah mentertawakan anda akan mula iri hati kepada anda.

Rekod ada untuk dipecahkan.

Anda tidak perlu membuang masa, tetapi melabur di dalamnya.

Sejarah kemanusiaan adalah sejarah sebilangan kecil orang yang percaya pada diri mereka sendiri.

Menolak diri anda ke jurang? Adakah anda tidak melihat apa-apa guna hidup lagi? Ini bermakna anda sudah hampir... Dekat dengan keputusan untuk mencapai bahagian bawah untuk menolaknya dan memutuskan untuk bahagia selama-lamanya... Jadi jangan takut dengan bahagian bawah - gunakannya...

Jika anda jujur ​​dan berterus terang, orang akan menipu anda; tetap jujur ​​dan berterus terang.

Seseorang jarang berjaya dalam apa-apa jika aktivitinya tidak membawa kegembiraan kepadanya. Dale Carnegie

Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya satu dahan berbunga dalam jiwa anda, burung yang bernyanyi akan sentiasa duduk di atasnya (kebijaksanaan Timur).

Salah satu undang-undang kehidupan mengatakan bahawa sebaik sahaja satu pintu ditutup, pintu lain terbuka. Tetapi masalahnya ialah kita melihat pintu yang berkunci dan tidak menghiraukan pintu yang terbuka. Andre Gide

Jangan menilai seseorang sehingga anda bercakap dengannya secara peribadi kerana yang anda dengar hanyalah khabar angin. Michael Jackson.

Mula-mula mereka mengabaikan anda, kemudian mereka mentertawakan anda, kemudian mereka bergaduh dengan anda, kemudian anda menang. Mahatma Gandhi

Kehidupan manusia terbahagi kepada dua bahagian: semasa separuh pertama mereka berusaha ke hadapan ke yang kedua, dan semasa yang kedua mereka berusaha kembali ke yang pertama.

Jika anda tidak melakukan apa-apa sendiri, bagaimana anda boleh membantu? Anda hanya boleh memandu kenderaan bergerak

Semua akan jadi. Hanya apabila anda memutuskan untuk melakukannya.

Di dunia ini anda boleh mencari segala-galanya kecuali cinta dan kematian... Mereka sendiri akan menemui anda apabila tiba masanya.

Kepuasan dalaman walaupun dikelilingi penderitaan adalah aset yang sangat berharga. Sridhar Maharaj

Mulakan sekarang untuk menjalani kehidupan yang anda ingin lihat pada akhirnya. Marcus Aurelius

Kita mesti hidup setiap hari seolah-olah ia adalah saat terakhir. Kami tidak mempunyai latihan - kami mempunyai kehidupan. Kami tidak memulakannya pada hari Isnin - kami hidup hari ini.

Setiap detik kehidupan adalah peluang lain.

Setahun kemudian, anda akan melihat dunia dengan mata yang berbeza, malah pokok ini yang tumbuh berhampiran rumah anda akan kelihatan berbeza kepada anda.

Anda tidak perlu mencari kebahagiaan - anda harus melakukannya. Osho

Hampir setiap kisah kejayaan yang saya tahu bermula dengan seseorang yang berbaring telentang, dikalahkan oleh kegagalan. Jim Rohn

Setiap perjalanan yang panjang bermula dengan satu, langkah pertama.

Tiada siapa yang lebih baik daripada anda. Tiada siapa yang lebih bijak daripada anda. Mereka baru bermula lebih awal. Brian Tracy

Orang yang berlari jatuh. Dia yang merangkak tidak jatuh. Pliny the Elder

Anda hanya perlu memahami bahawa anda hidup pada masa hadapan, dan anda akan segera mendapati diri anda di sana.

Saya memilih untuk hidup, tidak wujud. James Alan Hetfield

Apabila anda menghargai apa yang anda miliki, dan tidak hidup dalam mencari cita-cita, maka anda akan benar-benar bahagia..

Hanya mereka yang lebih buruk daripada kita bersangka buruk tentang kita, dan mereka yang lebih baik daripada kita langsung tidak mempunyai masa untuk kita. Omar Khayyam

Kadang-kadang kita terpisah dari kebahagiaan dengan satu panggilan... Satu percakapan... Satu pengakuan...

Dengan mengakui kelemahannya, seseorang itu menjadi kuat. Onre Balzac

Dia yang merendahkan semangatnya, lebih kuat daripada itu yang menakluki kota.

Apabila peluang datang, anda perlu merebutnya. Dan apabila anda meraihnya, mencapai kejayaan - nikmatinya. Rasai kegembiraan. Dan biarkan semua orang di sekeliling anda menghisap hos anda kerana menjadi bajingan apabila mereka tidak memberikan sesen pun untuk anda. Dan kemudian - pergi. Cantik. Dan biarkan semua orang terkejut.

Jangan pernah putus asa. Dan jika anda telah jatuh ke dalam keputusasaan, maka teruskan bekerja dalam keputusasaan.

Satu langkah yang menentukan ke hadapan adalah hasil sepakan yang baik dari belakang!

Di Rusia, anda perlu terkenal atau kaya untuk dilayan seperti mereka melayan sesiapa sahaja di Eropah. Konstantin Raikin

Semuanya bergantung pada sikap anda. (Chuck Norris)

Tiada alasan yang boleh menunjukkan kepada seseorang jalan yang dia tidak mahu melihat Romain Rolland

Apa yang anda percayai menjadi dunia anda. Richard Matheson

Ia baik di mana kita tidak berada. Kita tidak lagi berada di masa lalu, dan itulah sebabnya ia kelihatan cantik. Anton Chekhov

Orang kaya semakin kaya kerana mereka belajar untuk mengatasi masalah kewangan. Mereka melihatnya sebagai peluang untuk belajar, berkembang, berkembang dan menjadi kaya.

Setiap orang mempunyai neraka mereka sendiri - ia tidak semestinya api dan tar! Neraka kita adalah kehidupan yang sia-sia! Ke mana impian membawa

Tidak kira seberapa keras anda bekerja, perkara utama adalah hasilnya.

Hanya ibu yang mempunyai tangan yang paling baik, senyuman yang paling lembut dan hati yang paling penyayang...

Pemenang dalam hidup sentiasa berfikir dalam semangat: Saya boleh, saya mahu, saya. Orang yang kalah, sebaliknya, menumpukan pemikiran mereka yang berselerak pada apa yang mereka boleh miliki, boleh lakukan, atau apa yang mereka tidak boleh lakukan. Dalam erti kata lain, pemenang sentiasa bertanggungjawab, manakala yang kalah menyalahkan keadaan atau orang lain atas kegagalan mereka. Denis Whately.

Hidup adalah gunung, anda naik perlahan-lahan, anda cepat turun. Guy de Maupassant

Orang ramai sangat takut untuk mengambil langkah ke arah kehidupan baru sehingga mereka bersedia untuk menutup mata mereka kepada segala yang tidak sesuai dengan mereka. Tetapi ini lebih menakutkan: untuk bangun satu hari dan menyedari bahawa semua yang berdekatan tidak sama, tidak sama, tidak sama... Bernard Shaw

Persahabatan dan kepercayaan tidak dibeli atau dijual.

Sentiasa, pada setiap minit dalam hidup anda, walaupun anda benar-benar gembira, miliki satu sikap terhadap orang di sekeliling anda: - Walau apa pun, saya akan melakukan apa yang saya mahu, dengan atau tanpa anda.

Di dunia anda hanya boleh memilih antara kesepian dan kekasaran. Arthur Schopenhauer

Anda hanya perlu melihat sesuatu secara berbeza, dan kehidupan akan mengalir ke arah yang berbeza.

Besi berkata begini kepada magnet: Saya paling membenci awak kerana awak menarik tanpa mempunyai kekuatan yang cukup untuk menyeret awak! Friedrich Nietzsche

Belajar untuk hidup walaupun kehidupan menjadi tidak tertanggung. N. Ostrovsky

Gambar yang anda lihat dalam fikiran anda akhirnya akan menjadi hidup anda.

"Separuh pertama dalam hidup anda, anda bertanya kepada diri sendiri apa yang anda mampu, tetapi yang kedua - siapa yang memerlukannya?"

Masih belum terlambat untuk menetapkan matlamat baru atau mencari impian baru.

Kawal nasib anda atau orang lain akan.

melihat keindahan dalam yang hodoh,
lihat air sungai meluap-luap...
yang tahu bagaimana untuk bahagia dalam kehidupan seharian,
dia sebenarnya lelaki gembira! E. Asadov

Orang bijak itu ditanya:

Ada berapa jenis persahabatan?

Empat, jawabnya.
Kawan ibarat makanan - anda perlukan mereka setiap hari.
Kawan adalah seperti ubat; anda mencari mereka apabila anda berasa buruk.
Ada kawan, seperti penyakit, mereka sendiri mencari anda.
Tetapi ada kawan seperti udara - anda tidak dapat melihat mereka, tetapi mereka sentiasa bersama anda.

Saya akan menjadi orang yang saya mahu menjadi - jika saya percaya bahawa saya akan menjadi orang itu. Gandhi

Buka hati anda dan dengarkan apa yang diimpikannya. Ikuti impian anda, kerana hanya melalui mereka yang tidak malu akan diri mereka sendiri kemuliaan Tuhan akan dinyatakan. Paulo Coelho

Untuk disangkal tidak perlu ditakuti; Seseorang harus takut akan sesuatu yang lain - disalahertikan. Immanuel Kant

Jadilah realistik - tuntut yang mustahil! Che Guevara

Jangan tangguhkan rancangan anda jika hujan di luar.
Jangan berputus asa dengan impian anda jika orang tidak mempercayai anda.
Lawan alam dan manusia. Anda seorang. Awak kuat.
Dan ingat - tidak ada matlamat yang tidak dapat dicapai - terdapat pekali kemalasan yang tinggi, kekurangan kepintaran dan stok alasan.

Sama ada anda mencipta dunia, atau dunia mencipta anda. Jack Nicholson

Saya suka apabila orang tersenyum begitu sahaja. Sebagai contoh, anda menaiki bas dan anda melihat seseorang melihat ke luar tingkap atau menulis SMS dan tersenyum. Ia membuatkan jiwa anda berasa sangat baik. Dan saya mahu tersenyum sendiri.

Pernyataan adalah pembentukan yang lebih kompleks daripada nama. Apabila kita menguraikan pernyataan kepada bahagian yang lebih mudah, kita sentiasa mendapat satu nama atau yang lain. Katakan, pernyataan "Matahari ialah bintang" termasuk nama "Matahari" dan "bintang" sebagai bahagiannya.

Kenyataan - ayat yang betul dari segi tatabahasa, diambil bersama-sama dengan makna (isi) yang diungkapkannya dan menjadi benar atau salah.

Konsep penyataan adalah salah satu konsep awal, utama logik moden. Oleh itu, ia tidak membenarkan takrifan tepat yang sama terpakai dalam bahagiannya yang berbeza.

Sesuatu pernyataan dianggap benar jika huraian yang diberikan sepadan dengan situasi sebenar, dan salah jika tidak sepadan dengannya. "Benar" dan "salah" dipanggil "nilai-nilai kenyataan."

Daripada pernyataan individu, pernyataan baharu boleh dibina dengan cara yang berbeza. Sebagai contoh, daripada pernyataan "Angin bertiup" dan "Hujan" seseorang boleh membentuk pernyataan yang lebih kompleks "Angin bertiup dan hujan", "Sama ada angin bertiup atau hujan", "Jika ia sedang hujan, kemudian angin bertiup”, dsb.

Kenyataan itu dipanggil mudah, melainkan ia memasukkan pernyataan lain sebagai sebahagian daripadanya.

Kenyataan itu dipanggil kompleks, jika ia diperoleh menggunakan penghubung logik daripada pernyataan lain yang lebih mudah.

Mari kita pertimbangkan cara yang paling penting untuk membina pernyataan yang kompleks.

Kenyataan negatif terdiri daripada pernyataan awal dan penafian, biasanya dinyatakan dengan perkataan "tidak", "itu tidak benar". Oleh itu, pernyataan negatif adalah pernyataan yang kompleks: ia termasuk sebagai bahagiannya pernyataan yang berbeza daripadanya. Sebagai contoh, penolakan pernyataan "10 ialah nombor genap" ialah pernyataan "10 bukan nombor genap" (atau: "Tidak benar bahawa 10 ialah nombor genap").

Mari kita nyatakan pernyataan dengan huruf A, B, C,... Makna penuh konsep penolakan sesuatu pernyataan diberikan dengan syarat: jika pernyataan itu A adalah benar, penolakannya adalah palsu, dan jika A adalah palsu, penafiannya adalah benar. Sebagai contoh, kerana pernyataan "1 ialah integer positif" adalah benar, penolakannya "1 bukan integer positif" adalah palsu, dan kerana "1 ialah nombor perdana" adalah palsu, penolakannya "1 bukan nombor perdana " betul.

Menghubungkan dua pernyataan menggunakan perkataan "dan" menghasilkan pernyataan kompleks yang dipanggil kata hubung. Pernyataan yang disambungkan dengan cara ini dipanggil "ahli kata hubung."

Contohnya, jika pernyataan "Hari ini panas" dan "Semalam sejuk" digabungkan dengan cara ini, anda mendapat kata hubung "Hari ini panas dan semalam sejuk."

Kata hubung adalah benar hanya jika kedua-dua pernyataan yang disertakan di dalamnya adalah benar; jika sekurang-kurangnya satu daripada ahlinya palsu, maka keseluruhan kata hubungnya adalah palsu.

Dalam bahasa biasa, dua pernyataan dihubungkan dengan kata hubung "dan" apabila ia berkaitan antara satu sama lain dalam kandungan atau makna. Sifat hubungan ini tidak sepenuhnya jelas, tetapi jelas bahawa kita tidak akan menganggap kata hubung "Dia berjalan dengan kot, dan saya berjalan ke universiti" sebagai ungkapan yang mempunyai makna dan boleh benar atau salah. Walaupun kenyataan "2 ialah nombor perdana" dan "Moscow ialah bandar besar" adalah benar, kami tidak cenderung untuk menganggap kata hubung mereka "2 ialah nombor perdana dan Moscow ialah bandar besar" adalah benar, kerana komponen kenyataan ini tidak saling berkait makna. Dengan memudahkan makna kata hubung dan penghubung logik lain dan, untuk tujuan ini, meninggalkan konsep "sambungan pernyataan dengan makna" yang tidak jelas, logik menjadikan makna penghubung ini lebih luas dan lebih spesifik.

Menyambung dua pernyataan menggunakan perkataan "atau" memberi perpecahan kenyataan-kenyataan ini. Pernyataan yang membentuk disjungsi dipanggil "ahli disjungsi."

Perkataan "atau" mempunyai dua makna yang berbeza dalam bahasa seharian. Kadang-kadang ia bermaksud "satu atau yang lain atau kedua-duanya," dan kadang-kadang "satu atau yang lain, tetapi bukan kedua-duanya." Sebagai contoh, pernyataan "Musim ini saya mahu pergi ke Queen of Spades atau Aida" membenarkan kemungkinan melawat onera dua kali. Pernyataan "Beliau belajar di Moscow atau Universiti Yaroslavl" membayangkan bahawa orang tersebut hanya belajar di salah satu universiti ini.

Pengertian pertama "atau" dipanggil tidak eksklusif. Dalam pengertian ini, percanggahan dua kenyataan bermakna sekurang-kurangnya satu daripada kenyataan ini adalah benar, tidak kira sama ada kedua-duanya benar atau tidak. Diambil pada yang kedua eksklusif atau dalam erti kata yang ketat, percanggahan dua pernyataan menyatakan bahawa salah satu pernyataan adalah benar dan kedua adalah palsu.

Disjungsi bukan eksklusif adalah benar apabila sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan konstituennya adalah benar, dan palsu hanya apabila kedua-dua ahlinya adalah palsu.

Pecahan eksklusif adalah benar apabila hanya satu daripada istilahnya adalah benar, dan ia adalah palsu apabila kedua-dua istilahnya adalah benar atau kedua-duanya adalah palsu.

Dalam logik dan matematik, perkataan "atau" hampir selalu digunakan dalam makna bukan eksklusif.

Pernyataan bersyarat - pernyataan yang kompleks, biasanya dirumuskan menggunakan penghubung "jika..., maka..." dan menetapkan satu peristiwa, keadaan, dsb. adalah dari satu segi atau yang lain asas atau syarat untuk yang lain.

Contohnya: "Jika ada api, maka ada asap", "Jika nombor boleh dibahagi dengan 9, ia boleh dibahagikan dengan 3", dsb.

Pernyataan bersyarat terdiri daripada dua pernyataan yang lebih mudah. Yang didahului dengan perkataan "jika" dipanggil asas, atau anteseden(sebelumnya), pernyataan yang datang selepas perkataan "itu" dipanggil akibat, atau berbangkit(seterusnya).

Dengan mengesahkan pernyataan bersyarat, kami pertama sekali bermaksud bahawa tidak boleh apa yang dikatakan dalam asasnya berlaku, dan apa yang dikatakan sebagai akibatnya tiada. Dengan kata lain, tidak boleh berlaku bahawa anteseden adalah benar dan akibatnya adalah palsu.

Dari segi pernyataan bersyarat, konsep syarat yang mencukupi dan perlu biasanya ditakrifkan: anteseden (tanah) ialah syarat yang mencukupi untuk akibat (akibat), dan akibatnya adalah syarat yang perlu untuk anteseden. Sebagai contoh, kebenaran pernyataan bersyarat "Jika pilihan adalah rasional, maka yang terbaik daripada alternatif yang ada dipilih" bermakna bahawa rasional adalah alasan yang mencukupi untuk memilih yang terbaik daripada pilihan yang ada dan bahawa pilihan pilihan tersebut adalah. syarat yang diperlukan untuk rasionalnya.

Fungsi tipikal pernyataan bersyarat adalah untuk membenarkan satu pernyataan dengan merujuk kepada pernyataan lain. Sebagai contoh, fakta bahawa perak adalah konduktif elektrik boleh dibenarkan dengan merujuk kepada fakta bahawa ia adalah logam: "Jika perak adalah logam, ia adalah konduktif elektrik."

Hubungan antara pembumian dan pembumian (ground dan akibat) yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat sukar untuk dicirikan secara umum, dan hanya kadang-kadang sifatnya agak jelas. Sambungan ini boleh, pertama, sambungan akibat logik yang berlaku di antara premis dan kesimpulan kesimpulan yang betul ("Jika semua makhluk multiselular yang hidup adalah fana, dan obor-obor adalah makhluk sedemikian, maka ia adalah fana"); kedua, mengikut undang-undang alam ("Jika badan mengalami geseran, ia akan mula panas"); ketiga, hubungan sebab akibat ("Jika Bulan berada di nod orbitnya pada bulan baru, gerhana matahari berlaku"); keempat, keteraturan sosial, peraturan, tradisi, dll. (“Jika masyarakat berubah, begitu juga orangnya”, “Jika nasihat itu munasabah, ia harus dilaksanakan”).

Kaitan yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat biasanya disertai dengan kepercayaan bahawa akibat "mengikuti" dengan keperluan tertentu dari sebab dan terdapat beberapa undang-undang umum, yang, setelah dapat merumuskan, kita secara logik dapat menyimpulkan akibat dari sebab.

Sebagai contoh, pernyataan bersyarat "Jika bismut ialah logam adalah plastik" nampaknya mengandaikan undang-undang am "Tiada logam adalah plastik", menjadikan akibat daripada pernyataan ini sebagai akibat logik daripada antesedennya.

Kedua-dua dalam bahasa biasa dan dalam bahasa sains, pernyataan bersyarat, sebagai tambahan kepada fungsi justifikasi, juga boleh melaksanakan beberapa tugas lain: untuk merumuskan syarat yang tidak dikaitkan dengan mana-mana undang-undang atau peraturan am yang tersirat ("Jika Saya mahu, saya akan memotong jubah saya”); rekod sebarang urutan ("Jika musim panas lepas kering, maka tahun ini hujan"); menyatakan ketidakpercayaan dalam bentuk yang aneh ("Jika anda menyelesaikan masalah ini, saya akan membuktikan teorem terakhir Fermat"); pembangkang ("Jika elderberry tumbuh di taman, maka seorang lelaki tinggal di Kyiv"), dsb. Kepelbagaian dan kepelbagaian fungsi pernyataan bersyarat merumitkan analisisnya dengan ketara.

Penggunaan pernyataan bersyarat dikaitkan dengan faktor psikologi tertentu. Oleh itu, kita biasanya merumuskan pernyataan sedemikian hanya jika kita tidak mengetahui dengan pasti sama ada anteseden dan akibatnya adalah benar atau palsu. Jika tidak, penggunaannya kelihatan tidak semula jadi ("Jika bulu kapas adalah logam, ia adalah konduktor elektrik").

Pernyataan bersyarat mendapati aplikasi yang sangat luas dalam semua bidang penaakulan. Dalam logik ia biasanya diwakili oleh pernyataan yang implikasi, atau implikasi. Pada masa yang sama, logik menjelaskan, mensistematisasi dan memudahkan penggunaan "jika..., maka ...", membebaskannya daripada pengaruh faktor psikologi.

Logik disarikan, khususnya, daripada fakta bahawa hubungan antara sebab dan akibat, ciri pernyataan bersyarat, bergantung pada konteks, boleh dinyatakan bukan sahaja menggunakan "jika..., maka ...", tetapi juga yang lain. maksud linguistik. Sebagai contoh, "Memandangkan air adalah cecair, ia menghantar tekanan ke semua arah secara sama rata," "Walaupun plastisin bukan logam, ia adalah plastik," "Jika kayu adalah logam, ia akan menjadi konduktif elektrik," dsb. Pernyataan ini dan yang serupa diwakili dalam bahasa logik dengan tersirat, walaupun penggunaan "jika..., maka..." di dalamnya tidak akan menjadi sepenuhnya semula jadi.

Dengan menegaskan implikasi, kami menegaskan bahawa ia tidak boleh berlaku bahawa asasnya ada dan akibatnya tidak hadir. Dengan kata lain, implikasi adalah palsu hanya jika alasannya benar dan akibatnya palsu.

Takrifan ini mengandaikan, seperti takrifan penghubung sebelumnya, bahawa setiap pernyataan adalah sama ada benar atau salah dan bahawa nilai kebenaran pernyataan kompleks bergantung hanya pada nilai kebenaran pernyataan konstituen dan cara ia disambungkan.

Implikasi adalah benar apabila kedua-dua alasan dan akibatnya adalah benar atau salah; adalah benar jika alasannya palsu dan akibatnya benar. Hanya dalam kes keempat, apabila alasannya benar dan akibatnya salah, implikasinya palsu.

Ia tidak tersirat bahawa kenyataan A Dan DALAM entah bagaimana berkaitan antara satu sama lain dalam kandungan. Jika benar DALAM pernyataan "jika A, Itu DALAM" benar tanpa mengira sama ada A benar atau salah dan ia bersambung makna dengan DALAM atau tidak.

Sebagai contoh, pernyataan berikut dianggap benar: "Jika terdapat kehidupan di Matahari, maka dua dan dua sama dengan empat," "Jika Volga adalah tasik, maka Tokyo adalah sebuah kampung besar," dsb. Pernyataan bersyarat juga benar apabila A palsu, dan sekali lagi acuh tak acuh, benar DALAM atau tidak dan adakah ia berkaitan kandungan dengan A atau tidak. Pernyataan yang benar termasuk: "Jika Matahari adalah kubus, maka Bumi adalah segitiga," "Jika dua dan dua sama dengan lima, maka Tokyo adalah sebuah bandar kecil," dsb.

Dalam penaakulan biasa, semua pernyataan ini tidak mungkin dianggap sebagai bermakna, dan masih kurang benar.

Walaupun implikasi berguna untuk banyak tujuan, ia tidak sepenuhnya konsisten dengan pemahaman biasa sambungan bersyarat. Implikasi merangkumi banyak ciri penting bagi tingkah laku logik pernyataan bersyarat, tetapi pada masa yang sama ia bukanlah penerangan yang mencukupi mengenainya.

Dalam separuh abad yang lalu, terdapat percubaan bersungguh-sungguh untuk memperbaharui teori implikasi. Pada masa yang sama, ia bukan persoalan untuk meninggalkan konsep implikasi yang dijelaskan, tetapi memperkenalkan, bersama-sama dengannya, konsep lain yang mengambil kira bukan sahaja nilai kebenaran kenyataan, tetapi juga hubungannya dalam kandungan.

Berkait rapat dengan implikasi kesetaraan, kadangkala dipanggil "implikasi berganda".

Kesetaraan ialah pernyataan kompleks "A jika dan hanya jika B", terbentuk daripada pernyataan Li B dan mengurai kepada dua implikasi: "jika A, kemudian B", dan "jika B, maka A". Contohnya: "Segitiga adalah sama sisi jika dan hanya jika ia adalah segi empat sama." Istilah "kesetaraan" juga menandakan penghubung "..., jika dan hanya jika...", dengan bantuan pernyataan kompleks yang diberikan dibentuk daripada dua pernyataan. Daripada "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", dll. boleh digunakan untuk tujuan ini.

Jika penghubung logik ditakrifkan dari segi kebenaran dan kepalsuan, kesetaraan adalah benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan konstituen mempunyai nilai kebenaran yang sama, i.e. apabila kedua-duanya benar atau kedua-duanya palsu. Sehubungan itu, suatu kesetaraan adalah palsu apabila salah satu pernyataan yang disertakan di dalamnya adalah benar dan satu lagi adalah palsu.

Logik cadangan , juga dipanggil logik proposisi, ialah cabang matematik dan logik yang mengkaji bentuk logik pernyataan kompleks yang dibina daripada pernyataan mudah atau asas menggunakan operasi logik.

Logik proposisi mengabstrak daripada kandungan pernyataan dan mengkaji nilai kebenarannya, iaitu sama ada pernyataan itu benar atau salah.

Gambar di atas adalah ilustrasi fenomena yang dikenali sebagai Paradoks Penipu. Pada masa yang sama, pada pendapat pengarang projek, paradoks seperti itu hanya mungkin dalam persekitaran yang tidak bebas daripada masalah politik, di mana seseorang boleh dilabel sebagai pembohong. Dalam dunia berbilang lapisan semula jadi subjek "kebenaran" atau "palsu" hanya pernyataan individu dinilai . Dan kemudian dalam pelajaran ini anda akan diperkenalkan peluang untuk menilai sendiri banyak kenyataan mengenai perkara ini (dan kemudian lihat jawapan yang betul). Termasuk penyataan kompleks yang mana yang lebih mudah disambungkan dengan tanda-tanda operasi logik. Tetapi pertama-tama, mari kita pertimbangkan operasi ini pada kenyataan itu sendiri.

Logik proposisi digunakan dalam sains komputer dan pengaturcaraan dalam bentuk mengisytiharkan pembolehubah logik dan memberikannya nilai logik "palsu" atau "benar", di mana perjalanan pelaksanaan selanjutnya program bergantung. Dalam program kecil yang hanya melibatkan satu pembolehubah boolean, pembolehubah boolean sering diberi nama seperti "bendera" dan maksudnya ialah "bendera naik" apabila nilai pembolehubah adalah "benar" dan "bendera turun , apabila." nilai pembolehubah ini adalah "salah". Dalam program besar, di mana terdapat beberapa atau bahkan banyak pembolehubah logik, profesional dikehendaki menghasilkan nama untuk pembolehubah logik dalam bentuk pernyataan dan beban semantik, membezakannya daripada pembolehubah logik lain dan boleh difahami oleh profesional lain yang akan membaca teks program ini.

Oleh itu, pembolehubah logik dengan nama "UserRegistered" (atau analog bahasa Inggerisnya) boleh diisytiharkan dalam bentuk pernyataan, yang boleh diberikan nilai logik "true" jika syarat dipenuhi bahawa data pendaftaran dihantar oleh pengguna dan data ini diiktiraf sebagai sah oleh program. Dalam pengiraan selanjutnya, nilai pembolehubah mungkin berubah bergantung pada nilai logik (benar atau salah) pembolehubah UserRegistered. Dalam kes lain, pembolehubah, contohnya, dengan nama "Lebih Tiga Hari Lagi Sebelum Hari", boleh diberikan nilai "Benar" sebelum blok pengiraan tertentu, dan semasa pelaksanaan program selanjutnya, nilai ini boleh disimpan atau ditukar kepada "palsu" dan kemajuan pelaksanaan selanjutnya bergantung pada nilai program pembolehubah ini.

Jika program menggunakan beberapa pembolehubah logik, nama yang mempunyai bentuk pernyataan, dan pernyataan yang lebih kompleks dibina daripadanya, maka lebih mudah untuk membangunkan program jika, sebelum membangunkannya, kami menulis semua operasi dari pernyataan dalam bentuk formula yang digunakan dalam logik pernyataan daripada yang kita lakukan semasa Pelajaran ini adalah apa yang akan kita lakukan.

Operasi logik pada pernyataan

Untuk pernyataan matematik, seseorang sentiasa boleh membuat pilihan antara dua alternatif yang berbeza, "benar" dan "palsu," tetapi untuk pernyataan yang dibuat dalam bahasa "lisan", konsep "kebenaran" dan "palsu" agak kabur. Walau bagaimanapun, sebagai contoh, bentuk lisan seperti "Pulang ke rumah" dan "Adakah hujan?" Oleh itu adalah jelas bahawa pernyataan ialah bentuk lisan di mana sesuatu dinyatakan . Ayat tanya atau seruan, rayuan, serta hasrat atau tuntutan bukanlah pernyataan. Mereka tidak boleh dinilai dengan nilai "benar" dan "salah".

Kenyataan, sebaliknya, boleh dianggap sebagai kuantiti yang boleh mengambil dua makna: "benar" dan "palsu".

Sebagai contoh, penghakiman berikut diberikan: "anjing ialah haiwan", "Paris ialah ibu negara Itali", "3

Yang pertama daripada pernyataan ini boleh dinilai dengan simbol "benar", yang kedua dengan "salah", yang ketiga dengan "benar" dan yang keempat dengan "salah". Tafsiran pernyataan ini adalah subjek algebra proposisi. Kami akan menandakan kenyataan dengan huruf besar dengan huruf Latin A, B, ..., dan maknanya, iaitu, benar dan palsu, masing-masing DAN Dan L. Dalam pertuturan biasa, perkaitan antara pernyataan "dan", "atau" dan lain-lain digunakan.

Sambungan ini membenarkan, dengan menghubungkan pernyataan yang berbeza antara satu sama lain, untuk membentuk pernyataan baharu - pernyataan yang kompleks . Sebagai contoh, penghubung "dan". Biarkan kenyataan diberikan: " π lebih daripada 3" dan pernyataan " π kurang daripada 4". Anda boleh menyusun penyataan baru - kompleks " π lebih daripada 3 dan π kurang daripada 4". Pernyataan "jika π tidak rasional kemudian π ² juga tidak rasional" diperoleh dengan menghubungkan dua pernyataan dengan penghubung "jika - maka". Akhir sekali, kita boleh mendapatkan daripada mana-mana pernyataan yang baru - pernyataan kompleks - dengan menafikan pernyataan asal.

Menganggap pernyataan sebagai kuantiti yang mengambil makna DAN Dan L, kami akan mentakrifkan lebih lanjut operasi logik pada pernyataan , yang membolehkan kami mendapatkan pernyataan kompleks baharu daripada kenyataan ini.

Biarkan dua kenyataan sewenang-wenangnya diberikan A Dan B.

1 . Operasi logik pertama pada pernyataan ini - konjungsi - mewakili pembentukan pernyataan baru, yang akan kami nyatakan A ∧ B dan yang manakah benar jika dan hanya jika A Dan B adalah benar. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan sambungan pernyataan dengan penghubung "dan".

Jadual kebenaran untuk kata hubung:

2 . Operasi logik kedua pada pernyataan A Dan B- disjungsi dinyatakan sebagai A ∨ B, ditakrifkan seperti berikut: ia adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan asal adalah benar. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan penyambungan penyambung dengan penghubung "atau". Walau bagaimanapun, di sini kita mempunyai "atau" yang tidak membahagikan, yang difahami dalam erti kata "sama ada atau" apabila A Dan B kedua-duanya tidak boleh benar. Dalam mentakrifkan logik proposisi A ∨ B benar kedua-duanya jika hanya satu daripada pernyataan adalah benar, dan jika kedua-dua pernyataan adalah benar A Dan B.

Jadual kebenaran untuk perpecahan:

3 . Operasi logik ketiga pada pernyataan A Dan B, dinyatakan sebagai A → B; pernyataan yang diperoleh itu adalah palsu jika dan hanya jika A benar, tetapi B salah. A dipanggil dengan bungkusan , B - akibatnya , dan kenyataan A → B - mengikuti , juga dipanggil implikasi. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan penghubung "jika-maka": "jika A, Itu B". Tetapi dalam definisi logik proposisi, pernyataan ini sentiasa benar tanpa mengira sama ada pernyataan itu benar atau palsu B. Keadaan ini boleh dirumuskan secara ringkas seperti berikut: "dari yang palsu semuanya mengikuti." Sebaliknya, jika A benar, tetapi B adalah palsu, maka keseluruhan pernyataan A → B salah. Ia akan menjadi benar jika dan hanya jika A, Dan B adalah benar. Secara ringkas, ini boleh dirumuskan seperti berikut: "salah tidak boleh mengikuti dari yang benar."

Jadual kebenaran untuk diikuti (implikasi):

4 . Operasi logik keempat pada pernyataan, lebih tepat pada satu pernyataan, dipanggil penolakan pernyataan A dan dilambangkan dengan ~ A(anda juga boleh mencari penggunaan bukan simbol ~, tetapi simbol ¬, serta skor berlebihan di atas A). ~ A terdapat kenyataan yang palsu apabila A benar, dan benar apabila A salah.

Jadual kebenaran untuk penafian:

5 . Dan akhirnya, operasi logik kelima pada pernyataan dipanggil kesetaraan dan dilambangkan A ↔ B. Kenyataan yang terhasil A ↔ B pernyataan adalah benar jika dan hanya jika A Dan B kedua-duanya benar atau kedua-duanya palsu.

Jadual kebenaran untuk kesetaraan:

Kebanyakan bahasa pengaturcaraan mempunyai simbol khas untuk menandakan makna logik pernyataan; ia ditulis dalam hampir semua bahasa sebagai benar dan salah.

Mari kita ringkaskan perkara di atas. Logik cadangan mengkaji sambungan yang sepenuhnya ditentukan oleh cara beberapa pernyataan dibina daripada yang lain, dipanggil asas. Dalam kes ini, pernyataan asas dianggap sebagai keseluruhan dan tidak boleh diuraikan kepada bahagian.

Marilah kita sistematikkan dalam jadual di bawah nama, notasi dan makna operasi logik pada pernyataan (kita akan memerlukannya sekali lagi untuk menyelesaikan contoh).

Benar untuk operasi logik hukum logik algebra, yang boleh digunakan untuk memudahkan ungkapan Boolean. Perlu diingatkan bahawa dalam logik proposisi seseorang mengabstrak daripada kandungan semantik pernyataan dan menghadkan dirinya untuk mempertimbangkannya dari kedudukan bahawa ia sama ada benar atau salah.

Contoh 1.

1) (2 = 2) DAN (7 = 7) ;

2) Bukan(15;

3) ("Pine" = "Oak") ATAU ("Cherry" = "Maple");

4) Not("Pine" = "Oak") ;

5) (Bukan(15 20);

6) (“Mata diberikan untuk melihat”) Dan (“Di bawah tingkat tiga ialah tingkat dua”);

7) (6/2 = 3) ATAU (7*5 = 20) .

1) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar", maksud ungkapan dalam kurungan kedua juga benar. Kedua-dua pernyataan disambungkan oleh operasi logik "DAN" (lihat peraturan untuk operasi ini di atas), oleh itu nilai logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar".

2) Maksud pernyataan dalam kurungan adalah "palsu". Sebelum pernyataan ini terdapat operasi logik penafian, oleh itu makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar".

3) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "palsu", maksud pernyataan dalam kurungan kedua juga "palsu". Pernyataan disambungkan oleh operasi logik "OR" dan tiada satu pun pernyataan mempunyai nilai "true". Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "palsu."

4) Maksud pernyataan dalam kurungan adalah "palsu". Pernyataan ini didahului oleh operasi logik penafian. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar."

5) Pernyataan dalam kurungan dalam dinafikan dalam kurungan pertama. Pernyataan dalam kurungan dalam ini mempunyai makna "palsu", oleh itu penafiannya akan mempunyai makna logik "benar". Pernyataan dalam kurungan kedua bermaksud "palsu". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan oleh operasi logik "DAN", iaitu, "benar DAN palsu" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "palsu."

6) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar", maksud pernyataan dalam kurungan kedua juga "benar". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan dengan operasi logik "DAN", iaitu, "benar DAN kebenaran" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar."

7) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar". Maksud pernyataan dalam kurungan kedua ialah "palsu". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan oleh operasi logik "ATAU", iaitu, "benar ATAU palsu". Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar."

Contoh 2. Tulis pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logik:

1) "Pengguna tidak berdaftar";

2) "Hari ini adalah hari Ahad dan beberapa pekerja sedang bekerja";

3) "Pengguna didaftarkan jika dan hanya jika data yang dikemukakan oleh pengguna dianggap sah."

1) hlm- pernyataan tunggal "Pengguna didaftarkan", operasi logik: ;

2) hlm- pernyataan tunggal "Hari ini ialah Ahad", q- "Sesetengah pekerja sedang bekerja", operasi logik: ;

3) hlm- pernyataan tunggal "Pengguna didaftarkan", q- "Data yang dihantar oleh pengguna didapati sah", operasi logik: .

Selesaikan sendiri contoh logik proposisi, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 3. Hitung nilai logik pernyataan berikut:

1) (“Terdapat 70 saat dalam satu minit”) ATAU (“Jam yang sedang berjalan menunjukkan masa”);

2) (28 > 7) DAN (300/5 = 60) ;

3) ("TV - perkakas elektrik") Dan ("Kaca - kayu");

4) Bukan((300 > 100) ATAU ("Anda boleh menghilangkan dahaga dengan air"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Contoh 4. Tuliskan pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logik dan hitung nilai logiknya:

1) "Jika jam menunjukkan masa yang salah, maka anda mungkin tiba di kelas pada masa yang salah";

2) "Dalam cermin anda boleh melihat pantulan anda dan Paris, ibu negara AS";

Contoh 5. Tentukan Nilai Boolean bagi Ungkapan

(hlm → q) ↔ (r → s) ,

hlm = "278 > 5" ,

q= "Epal = Oren",

hlm = "0 = 9" ,

s= "Topi menutupi kepala".

Formula logik cadangan

Konsep bentuk logik pernyataan kompleks dijelaskan menggunakan konsep formula logik proposisi .

Dalam contoh 1 dan 2 kami belajar menulis pernyataan kompleks menggunakan operasi logik. Sebenarnya, ia dipanggil formula logik proposisi.

Untuk menunjukkan pernyataan, seperti dalam contoh yang disebutkan, kami akan terus menggunakan huruf

hlm, q, r, ..., hlm 1 , q 1 , r 1 , ...

Huruf ini akan memainkan peranan pembolehubah yang mengambil nilai kebenaran "benar" dan "salah" sebagai nilai. Pembolehubah ini juga dipanggil pembolehubah proposisi. Kami akan memanggil mereka selanjutnya formula asas atau atom .

Untuk membina formula logik proposisi, sebagai tambahan kepada huruf yang ditunjukkan di atas, tanda-tanda operasi logik digunakan

~, ∧, ∨, →, ↔,

serta simbol yang memberikan kemungkinan pembacaan formula yang tidak jelas - kurungan kiri dan kanan.

Konsep formula logik proposisi mari kita takrifkannya seperti berikut:

1) formula asas (atom) ialah formula logik proposisi;

2) jika A Dan B- formula logik proposisi, kemudian ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) juga merupakan formula logik proposisi;

3) hanya ungkapan tersebut adalah formula logik proposisi yang mana ini mengikuti dari 1) dan 2).

Takrif formula logik proposisi mengandungi senarai peraturan untuk pembentukan formula ini. Mengikut definisi, setiap formula logik proposisi adalah sama ada atom atau terbentuk daripada atom hasil daripada penggunaan peraturan 2 yang konsisten).

Contoh 6. biarlah hlm- pernyataan tunggal (atom) "Semua nombor rasional adalah nyata", q- "Sesetengah nombor nyata ialah nombor rasional" r- "beberapa nombor rasional adalah nyata." Terjemahkan rumus logik proposisi berikut ke dalam bentuk pernyataan lisan:

6) .

1) "tiada nombor nyata yang rasional";

2) "jika tidak semua nombor rasional adalah nyata, maka tidak nombor rasional, yang sah";

3) "jika semua nombor rasional adalah nyata, maka beberapa nombor nyata adalah nombor rasional dan beberapa nombor rasional adalah nyata";

4) "semua nombor nyata ialah nombor rasional dan beberapa nombor nyata ialah nombor rasional dan beberapa nombor rasional ialah nombor nyata";

5) "semua nombor rasional adalah nyata jika dan hanya jika tidak semua nombor rasional adalah nyata";

6) "bukan kes bahawa tidak semua nombor rasional adalah nyata dan tidak ada nombor nyata yang rasional atau tidak ada nombor rasional yang nyata."

Contoh 7. Cipta jadual kebenaran untuk formula logik proposisi , yang dalam jadual boleh ditetapkan f .

Penyelesaian. Kami mula menyusun jadual kebenaran dengan merekodkan nilai ("benar" atau "salah") untuk pernyataan tunggal (atom) hlm , q Dan r. Semua nilai yang mungkin ditulis dalam lapan baris jadual. Selanjutnya, apabila menentukan nilai operasi implikasi dan bergerak ke kanan dalam jadual, kita ingat bahawa nilai adalah sama dengan "palsu" apabila "palsu" mengikuti daripada "benar".

Perhatikan bahawa tiada atom mempunyai bentuk ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Formula kompleks mempunyai jenis ini.

Bilangan kurungan dalam formula logik proposisi boleh dikurangkan jika kita menerimanya

1) dalam formula kompleks kami akan meninggalkan pasangan luar kurungan;

2) mari kita susun tanda-tanda operasi logik "mengikut keutamaan":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Dalam senarai ini, tanda ↔ mempunyai skop terbesar dan tanda ~ mempunyai skop terkecil. Skop tindakan tanda operasi merujuk kepada bahagian-bahagian formula logik proposisi yang digunakan untuk kejadian tanda yang dipersoalkan ini (di mana ia bertindak). Oleh itu, adalah mungkin untuk meninggalkan dalam mana-mana formula pasangan kurungan yang boleh dipulihkan, dengan mengambil kira "tertib keutamaan". Dan apabila memulihkan kurungan, mula-mula semua kurungan yang berkaitan dengan semua kejadian tanda ~ diletakkan (kita bergerak dari kiri ke kanan), kemudian ke semua kejadian tanda ∧, dan seterusnya.

Contoh 8. Pulihkan kurungan dalam formula logik proposisi B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Penyelesaian. Tanda kurung dipulihkan langkah demi langkah seperti berikut:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Tidak setiap formula logik proposisi boleh ditulis tanpa kurungan. Sebagai contoh, dalam formula A → (B → C) dan ~( A → B) pengecualian lanjut kurungan tidak mungkin.

Tautologi dan percanggahan

Tautologi logik (atau ringkasnya tautologi) ialah formula logik proposisi yang jika huruf digantikan secara sewenang-wenangnya dengan pernyataan (benar atau salah), hasilnya akan sentiasa menjadi kenyataan yang benar.

Oleh kerana kebenaran atau kepalsuan pernyataan kompleks hanya bergantung pada makna, dan bukan pada kandungan pernyataan, yang setiap satunya sepadan dengan huruf tertentu, maka memeriksa sama ada pernyataan yang diberikan adalah tautologi boleh dilakukan dengan cara berikut. Dalam ungkapan yang dikaji, nilai 1 dan 0 (masing-masing "benar" dan "palsu") digantikan dengan huruf dalam semua cara yang mungkin, dan nilai logik ungkapan dikira menggunakan operasi logik. Jika semua nilai ini sama dengan 1, maka ungkapan yang dikaji adalah tautologi, dan jika sekurang-kurangnya satu penggantian memberikan 0, maka ia bukan tautologi.

Oleh itu, formula logik proposisi yang mengambil nilai "benar" untuk sebarang pengedaran nilai atom yang termasuk dalam formula ini dipanggil sama dengan formula sebenar atau tautologi .

Makna yang berlawanan ialah percanggahan logik. Jika semua nilai pernyataan adalah sama dengan 0, maka ungkapan itu adalah percanggahan logik.

Oleh itu, formula logik proposisi yang mengambil nilai "salah" untuk sebarang pengedaran nilai atom yang termasuk dalam formula ini dipanggil formula palsu yang sama atau percanggahan .

Sebagai tambahan kepada tautologi dan percanggahan logik, terdapat formula logik proposisi yang bukan tautologi mahupun percanggahan.

Contoh 9. Bina jadual kebenaran untuk formula logik proposisi dan tentukan sama ada ia tautologi, percanggahan, atau bukan kedua-duanya.

Penyelesaian. Mari buat jadual kebenaran:

Dalam makna implikasi kita tidak menemui baris di mana "salah" mengikuti daripada "benar". Semua nilai pernyataan asal adalah sama dengan "benar". Akibatnya, formula logik proposisi ini adalah tautologi.