Pernyataan adalah pembentukan yang lebih kompleks daripada nama. Apabila menguraikan pernyataan kepada bahagian yang lebih mudah, kita sentiasa mendapat satu atau nama lain. Katakan pernyataan "Matahari ialah bintang" termasuk nama "Matahari" dan "bintang" sebagai bahagiannya.

berkata - ayat yang betul dari segi tatabahasa, diambil bersama-sama dengan makna (isi) yang dinyatakan olehnya, dan yang benar atau salah.

Konsep ujaran adalah salah satu daripada yang awal konsep kunci logik moden. Oleh itu, ia tidak membenarkan definisi yang tepat, sama terpakai dalam pelbagai bahagiannya.

Sesuatu pernyataan dianggap benar jika huraian yang diberikan olehnya sepadan dengan situasi sebenar, dan salah jika tidak sesuai dengannya. "Benar" dan "salah" dipanggil "nilai kebenaran dalil".

Daripada kenyataan individu cara yang berbeza anda boleh mencipta ayat baharu. Sebagai contoh, daripada pernyataan "Angin bertiup" dan "Hujan", pernyataan yang lebih kompleks boleh dibentuk "Angin bertiup dan hujan", "Sama ada angin bertiup atau hujan", "Jika hujan turun, kemudian angin bertiup”, dsb.

Kenyataan itu dipanggil mudah, jika ia tidak memasukkan pernyataan lain sebagai bahagiannya.

Kenyataan itu dipanggil rumit jika ia diperoleh dengan bantuan penghubung logik daripada pernyataan lain yang lebih mudah.

Pertimbangkan yang paling banyak cara-cara penting bangunan pernyataan yang kompleks.

pernyataan negatif terdiri daripada pernyataan asal dan penafian, biasanya dinyatakan dengan perkataan "tidak", "itu tidak benar". Oleh itu, proposisi negatif adalah proposisi majmuk: ia termasuk sebagai bahagiannya proposisi yang berbeza daripadanya. Sebagai contoh, penolakan pernyataan "10 ialah nombor genap" ialah pernyataan "10 bukan nombor genap" (atau: "Tidak benar bahawa 10 ialah nombor genap").

Mari kita nyatakan pernyataan dengan huruf A, B, C,... Makna penuh konsep penolakan sesuatu pernyataan diberikan dengan syarat: jika pernyataan itu TAPI adalah benar, penolakannya adalah palsu, dan jika TAPI palsu, penafiannya adalah benar. Sebagai contoh, kerana pernyataan "1 ialah integer positif" adalah benar, penolakannya "1 bukan integer nombor positif" adalah palsu dan oleh kerana "1 ialah nombor perdana" adalah palsu, penolakannya "1 bukan nombor perdana" adalah benar.

Menggabungkan dua pernyataan dengan perkataan "dan" memberikan pernyataan gabungan yang dipanggil kata hubung. Pernyataan yang disambungkan dengan cara ini dipanggil "istilah kata hubung".

Sebagai contoh, jika pernyataan "Hari ini panas" dan "Semalam ia sejuk" digabungkan dengan cara ini, kata hubung "Hari ini panas dan semalam ia sejuk" diperolehi.

Kata hubung adalah benar hanya jika kedua-dua pernyataan di dalamnya adalah benar; jika sekurang-kurangnya satu daripada istilahnya palsu, maka keseluruhan kata hubungnya adalah palsu.

Dalam bahasa biasa, dua pernyataan disambungkan oleh kesatuan "dan" apabila ia berkaitan dalam kandungan atau makna. Sifat hubungan ini tidak sepenuhnya jelas, tetapi jelas bahawa kita tidak akan menganggap kata hubung "Dia pergi kot, dan saya pergi ke universiti" sebagai ungkapan yang masuk akal dan boleh benar atau salah. Walaupun pernyataan "2 ialah nombor perdana" dan "Moscow ialah Bandar besar" adalah benar, kami tidak cenderung untuk menganggap kata hubung mereka "2 ialah nombor perdana dan Moscow ialah bandar besar" sebagai benar, kerana komponen pernyataan ini tidak berkaitan dalam makna. Mempermudahkan makna kata hubung dan penghubung logik lain dan untuk ini, meninggalkan konsep "sambungan pernyataan dengan makna" yang samar-samar, logik menjadikan makna penghubung ini lebih luas dan lebih spesifik.

Menghubungkan dua ayat dengan perkataan "atau" memberi perpecahan kenyataan ini. Pernyataan yang membentuk disjungsi dipanggil "ahli disjungsi".

Perkataan "atau" dalam bahasa seharian mempunyai dua makna yang berbeza. Kadang-kadang ia bermaksud "satu atau yang lain, atau kedua-duanya," dan kadang-kadang "satu atau yang lain, tetapi bukan kedua-duanya bersama-sama." Contohnya, pernyataan "Musim ini saya mahu pergi" ratu penyodok” atau kepada “Aida” membenarkan kemungkinan lawatan dua kali ke onera. Dalam kenyataan "Dia belajar di Moscow atau di Universiti Yaroslavl" difahamkan bahawa orang yang disebutkan hanya belajar di salah satu universiti ini.

Pengertian pertama "atau" dipanggil tidak eksklusif. Dalam pengertian ini, percanggahan dua kenyataan bermakna sekurang-kurangnya satu daripada kenyataan ini adalah benar, sama ada kedua-duanya benar atau tidak. Diambil pada yang kedua eksklusif atau dalam erti kata yang tegas, percanggahan dua dalil menyatakan bahawa salah satu dalil adalah benar dan satu lagi palsu.

Disjungsi bukan eksklusif adalah benar apabila sekurang-kurangnya satu pernyataannya adalah benar, dan palsu hanya apabila kedua-dua istilahnya adalah palsu.

Pecahan eksklusif adalah benar apabila hanya satu daripada istilahnya adalah benar, dan ia adalah palsu apabila kedua-dua istilahnya adalah benar atau kedua-duanya adalah palsu.

Dalam logik dan matematik, perkataan "atau" hampir selalu digunakan dalam erti kata bukan eksklusif.

Pernyataan bersyarat - pernyataan yang kompleks, biasanya dirumus menggunakan pautan "jika ..., maka ..." dan menetapkan satu peristiwa, keadaan, dsb. adalah dari satu segi atau yang lain asas atau syarat untuk yang lain.

Contohnya: "Jika ada api, maka ada asap", "Jika nombor boleh dibahagi dengan 9, ia boleh dibahagikan dengan 3", dsb.

Pernyataan bersyarat terdiri daripada dua pernyataan yang lebih mudah. Perkataan yang diberi awalan perkataan "jika" dipanggil asas, atau anteseden(sebelumnya), pernyataan yang datang selepas perkataan "itu" dipanggil akibat, atau berbangkit(seterusnya).

Dengan menegaskan pernyataan bersyarat, kami pertama sekali bermaksud bahawa tidak boleh apa yang dikatakan dalam asasnya berlaku, tetapi apa yang dikatakan sebagai akibatnya tidak ada. Dengan kata lain, tidak boleh berlaku bahawa anteseden adalah benar dan akibatnya salah.

Dari segi pernyataan bersyarat, konsep syarat mencukupi dan perlu biasanya ditakrifkan: anteseden (asas) ialah syarat mencukupi untuk akibat (akibat), dan akibatnya ialah syarat yang perlu untuk anteseden. Sebagai contoh, kebenaran pernyataan bersyarat "Jika pilihan itu rasional, maka alternatif terbaik yang tersedia dipilih" bermakna rasionaliti adalah alasan yang mencukupi untuk memilih pilihan terbaik yang tersedia, dan memilih pilihan sedemikian adalah syarat yang diperlukan untuknya. rasionaliti.

Fungsi tipikal pernyataan bersyarat adalah untuk membuktikan satu pernyataan dengan merujuk kepada pernyataan lain. Sebagai contoh, fakta bahawa perak adalah konduktif elektrik boleh dibenarkan dengan merujuk kepada fakta bahawa ia adalah logam: "Jika perak adalah logam, ia adalah konduktif elektrik."

Hubungan antara justifikasi dan justifikasi (alasan dan akibat) yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat sukar untuk dicirikan dalam Pandangan umum, dan kadangkala sifatnya agak jelas. Sambungan ini boleh, pertama, sambungan akibat logik yang berlaku di antara premis dan kesimpulan kesimpulan yang betul ("Jika semua makhluk multiselular yang hidup adalah fana, dan obor-obor adalah makhluk sedemikian, maka ia adalah fana"); kedua, mengikut undang-undang alam semula jadi ("Jika badan mengalami geseran, ia akan mula panas"); ketiga, dengan sebab akibat (“Jika Bulan pada bulan baharu berada di nod orbitnya, gerhana matahari»); keempat, keteraturan sosial, peraturan, tradisi, dll. (“Jika masyarakat berubah, orang itu juga berubah”, “Jika nasihat itu munasabah, ia mesti dilaksanakan”).

Sambungan yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat biasanya dikaitkan dengan sabitan bahawa akibatnya semestinya "mengikuti" dari sebab dan bahawa terdapat beberapa undang-undang umum, setelah dapat merumuskan yang mana, kita secara logik dapat menyimpulkan akibat daripada sebab itu.

Sebagai contoh, pernyataan bersyarat "Jika bismut adalah logam adalah plastik", seolah-olah, membayangkan undang-undang umum "Di sini logam adalah plastik", yang menjadikan akibat dari pernyataan ini sebagai akibat logik dari antesedennya.

Kedua-dua dalam bahasa biasa dan dalam bahasa sains, pernyataan bersyarat, sebagai tambahan kepada fungsi justifikasi, juga boleh melaksanakan beberapa tugas lain: untuk merumuskan syarat yang tidak berkaitan dengan mana-mana undang-undang atau peraturan am yang tersirat ("Jika Saya mahu, saya akan memotong jubah saya”); betulkan sebarang urutan ("Jika musim panas lepas kering, maka tahun ini hujan"); untuk menyatakan rasa tidak percaya dalam bentuk yang aneh ("Jika anda menyelesaikan masalah ini, saya akan membuktikan teorem terakhir Fermat"); pembangkang ("Jika elderberry tumbuh di taman, maka bapa saudara tinggal di Kyiv"), dsb. Kepelbagaian dan kepelbagaian fungsi pernyataan bersyarat merumitkan analisisnya dengan ketara.

Penggunaan pernyataan bersyarat dikaitkan dengan faktor psikologi tertentu. Oleh itu, kita biasanya merumuskan kenyataan sedemikian hanya jika kita tidak mengetahui dengan pasti sama ada anteseden dan akibatnya adalah benar atau tidak. Jika tidak, penggunaannya kelihatan tidak semulajadi ("Jika bulu kapas adalah logam, ia adalah konduktor elektrik").

Penemuan bersyarat sangat aplikasi yang luas dalam semua bidang penaakulan. Dalam logik, ia biasanya diwakili oleh pernyataan yang implikasi, atau implikasi. Pada masa yang sama, logik menjelaskan, sistematik dan memudahkan penggunaan "jika ..., maka ...", membebaskannya daripada pengaruh faktor psikologi.

Logik disarikan, khususnya, dari fakta bahawa, bergantung pada konteks, hubungan antara alasan dan akibat, yang merupakan ciri pernyataan bersyarat, dapat dinyatakan dengan bantuan bukan sahaja "jika ..., maka ...”, tetapi juga yang lain alat bahasa. Sebagai contoh, "Memandangkan air adalah cecair, ia memindahkan tekanan secara sekata ke semua arah", "Walaupun plastisin bukan logam, ia adalah plastik", "Jika pokok adalah logam, ia akan menjadi konduktif elektrik", dsb. Pernyataan ini dan yang serupa diwakili dalam bahasa logik melalui implikasi, walaupun penggunaan "jika ... maka ..." di dalamnya tidak akan menjadi sepenuhnya semula jadi.

Dalam menegaskan implikasi, kami menegaskan bahawa ia tidak boleh berlaku bahawa asasnya berlaku dan akibatnya tidak wujud. Dengan kata lain, implikasi adalah palsu hanya jika alasannya benar dan akibatnya palsu.

Takrifan ini mengandaikan, seperti takrifan penghubung sebelumnya, bahawa setiap proposisi adalah sama ada benar atau salah, dan nilai kebenaran proposisi majmuk bergantung hanya pada nilai kebenaran proposisi komponennya dan pada cara ia disambungkan.

Implikasi adalah benar apabila kedua-dua alasan dan akibatnya adalah benar atau salah; adalah benar jika alasannya palsu dan akibatnya benar. Hanya dalam kes keempat, apabila alasannya benar dan akibatnya salah, implikasinya palsu.

Implikasinya tidak membayangkan kenyataan itu TAPI dan AT entah bagaimana berkait antara satu sama lain dari segi kandungan. Dalam kes kebenaran AT berkata "jika TAPI, kemudian AT" benar tanpa mengira sama ada TAPI benar atau salah, dan ia berkaitan dengan makna AT atau tidak.

Sebagai contoh, pernyataan berikut dianggap benar: "Jika terdapat kehidupan di Matahari, maka dua kali dua sama dengan empat", "Jika Volga adalah tasik, maka Tokyo adalah sebuah kampung besar", dsb. Syaratnya juga benar apabila TAPI palsu, dan sekali lagi acuh tak acuh, benar AT atau tidak, dan ia berkaitan dalam kandungan kepada TAPI atau tidak. Pernyataan berikut adalah benar: "Jika Matahari adalah kubus, maka Bumi adalah segitiga", "Jika dua kali dua sama dengan lima, maka Tokyo adalah sebuah bandar kecil", dsb.

Dalam penaakulan biasa, semua pernyataan ini tidak mungkin dianggap sebagai bermakna, malah kurang benar.

Walaupun implikasi berguna untuk banyak tujuan, ia tidak sesuai dengan pemahaman biasa tentang perkaitan bersyarat. Implikasinya merangkumi banyak ciri penting bagi tingkah laku logik pernyataan bersyarat, tetapi pada masa yang sama ia bukanlah penerangan yang mencukupi mengenainya.

Dalam separuh abad yang lalu, percubaan bersungguh-sungguh telah dibuat untuk memperbaharui teori implikasi. Pada masa yang sama, ia bukan persoalan untuk meninggalkan konsep implikasi yang dijelaskan, tetapi memperkenalkan, bersama-sama dengannya, konsep lain yang mengambil kira bukan sahaja nilai kebenaran kenyataan, tetapi juga hubungannya dalam kandungan.

Berkait rapat dengan implikasi kesetaraan, kadangkala dipanggil "implikasi berganda".

Kesetaraan ialah pernyataan kompleks "L jika dan hanya jika B", dibentuk daripada pernyataan Lee V dan diuraikan kepada dua implikasi: "jika TAPI, maka B", dan "jika B, maka TAPI". Contohnya: "Segitiga adalah sama sisi jika dan hanya jika ia adalah segi empat sama." Istilah "kesetaraan" juga menandakan pautan "..., jika dan hanya jika ...", dengan bantuan pernyataan kompleks ini dibentuk daripada dua pernyataan. Daripada "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", dll. boleh digunakan untuk tujuan ini.

Jika penghubung logik ditakrifkan dari segi benar dan salah, kesetaraan adalah benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan konstituennya mempunyai nilai kebenaran yang sama, i.e. apabila kedua-duanya benar atau kedua-duanya palsu. Sehubungan itu, suatu kesetaraan adalah palsu apabila salah satu pernyataannya adalah benar dan satu lagi adalah palsu.

logik cadangan , juga dipanggil logik proposisi - satu cabang matematik dan logik yang mengkaji bentuk logik pernyataan kompleks yang dibina daripada pernyataan mudah atau asas menggunakan operasi logik.

Logik dalil disarikan daripada muatan dalil yang bermakna dan mengkaji nilai kebenarannya, iaitu sama ada dalil itu benar atau palsu.

Rajah di atas adalah ilustrasi fenomena yang dikenali sebagai Paradoks Pembohong. Pada masa yang sama, pada pendapat pengarang projek, paradoks sedemikian hanya mungkin dalam persekitaran yang tidak bebas daripada masalah politik, di mana seseorang boleh dicap sebagai pembohong a priori. Dalam dunia berlapis semula jadi pada subjek "kebenaran" atau "kepalsuan" dinilai hanya pernyataan yang diambil secara berasingan . Dan kemudian dalam pelajaran ini, anda akan diperkenalkan peluang untuk menilai banyak kenyataan mengenai perkara ini (dan kemudian lihat jawapan yang betul). Termasuk penyataan kompleks yang mana yang lebih mudah disambungkan dengan tanda-tanda operasi logik. Tetapi pertama-tama mari kita pertimbangkan operasi ini pada cadangan itu sendiri.

Logik proposisi digunakan dalam sains komputer dan pengaturcaraan dalam bentuk mengisytiharkan pembolehubah logik dan memberikan mereka nilai logik "salah" atau "benar", di mana perjalanan pelaksanaan selanjutnya program bergantung. Dalam program kecil di mana hanya satu pembolehubah boolean terlibat, pembolehubah boolean itu sering diberi nama, seperti "bendera" dan "bendera" tersirat apabila nilai pembolehubah itu "benar" dan "bendera turun" apabila nilai pembolehubah ini adalah "salah". Dalam program besar, di mana terdapat sedikit atau banyak pembolehubah logik, profesional dikehendaki menghasilkan nama pembolehubah logik yang berbentuk proposisi dan beban semantik, membezakannya daripada pembolehubah logik lain dan boleh difahami oleh profesional lain yang akan membaca teks program ini.

Jadi, pembolehubah logik dengan nama "UserRegistered" (atau bahasa Inggeris yang setara) boleh diisytiharkan, mempunyai bentuk pernyataan, yang boleh diberikan nilai logik "true" jika syarat dipenuhi bahawa data untuk pendaftaran dihantar oleh pengguna dan data ini diiktiraf oleh program sebagai sah. Dalam pengiraan selanjutnya, nilai pembolehubah mungkin berubah bergantung pada nilai logik ("benar" atau "palsu") yang dimiliki oleh pembolehubah "PenggunaLog masuk". Dalam kes lain, pembolehubah, contohnya, dengan nama "Lebih daripada Tiga Hari Sehingga Hari", boleh diberikan nilai "Benar" sehingga blok pengiraan tertentu, dan semasa pelaksanaan program selanjutnya, nilai ini boleh disimpan atau ditukar kepada "false" dan perjalanan pelaksanaan selanjutnya bergantung pada nilai program pembolehubah ini.

Jika program menggunakan beberapa pembolehubah logik yang namanya mempunyai bentuk proposisi, dan proposisi yang lebih kompleks dibina daripadanya, maka lebih mudah untuk membangunkan program jika, sebelum membangunkannya, semua operasi daripada proposisi ditulis dalam bentuk formula digunakan dalam logik proposisi berbanding yang kita lakukan dalam pelajaran ini dan mari kita lakukannya.

Operasi logik pada pernyataan

Untuk pernyataan matematik, seseorang sentiasa boleh memilih antara dua alternatif yang berbeza "benar" dan "salah", tetapi untuk pernyataan yang dibuat dalam bahasa "lisan", konsep "benar" dan "salah" agak kabur. Walau bagaimanapun, sebagai contoh, bentuk lisan seperti "Pulang ke rumah" dan "Adakah hujan?" bukanlah sebutan. Oleh itu, jelas bahawa ujaran ialah bentuk lisan di mana sesuatu dinyatakan . Ayat tanya atau seruan, rayuan, serta hasrat atau tuntutan bukanlah pernyataan. Mereka tidak boleh dinilai dengan nilai "benar" dan "salah".

Proposisi, sebaliknya, boleh dilihat sebagai kuantiti yang boleh mengambil dua nilai: "benar" dan "salah".

Sebagai contoh, penghakiman diberikan: "anjing ialah haiwan", "Paris ialah ibu kota Itali", "3

Yang pertama daripada pernyataan ini boleh dinilai dengan simbol "benar", yang kedua - "palsu", yang ketiga - "benar", dan yang keempat - "palsu". Tafsiran proposisi sedemikian adalah subjek algebra proposisi. Kami akan menandakan kenyataan dengan besar dengan huruf Latin A, B, ..., dan nilai mereka, iaitu, benar dan salah, masing-masing Dan dan L. Dalam ucapan biasa, sambungan digunakan antara pernyataan "dan", "atau" dan lain-lain.

Hubungan ini memungkinkan, dengan menggabungkan pelbagai pernyataan, untuk membentuk pernyataan baru - pernyataan yang kompleks . Sebagai contoh, sekumpulan "dan". Biarkan kenyataan diberikan: π lebih daripada 3" dan pernyataan " π kurang daripada 4. Anda boleh menyusun penyataan baharu - kompleks " π lebih daripada 3 dan π kurang daripada 4". Pernyataan "jika π tidak rasional, maka π ² juga tidak rasional" diperoleh dengan menghubungkan dua pernyataan dengan pautan "jika - maka". Akhirnya, kita boleh mendapatkan pernyataan baru - kompleks - daripada mana-mana pernyataan - menafikan pernyataan asal.

Mempertimbangkan cadangan sebagai kuantiti yang mengambil nilai Dan dan L, kami takrifkan lebih lanjut operasi logik pada pernyataan , yang membolehkan kami mendapatkan penyataan baharu - kompleks daripada penyataan ini.

Biarkan dua kenyataan sewenang-wenangnya diberikan A dan B.

1 . Operasi logik pertama pada pernyataan ini - konjungsi - adalah pembentukan pernyataan baru, yang akan kami nyatakan A ∧ B dan yang manakah benar jika dan hanya jika A dan B benar. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan sambungan pernyataan dengan sekumpulan "dan".

Jadual kebenaran untuk kata hubung:

2 . Operasi logik kedua pada pernyataan A dan B- disjungsi dinyatakan sebagai A ∨ B, ditakrifkan seperti berikut: ia adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan asal adalah benar. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan sambungan pernyataan dengan sekumpulan "atau". Walau bagaimanapun, di sini kita mempunyai "atau" bukan pemisah, yang difahami dalam erti kata "sama ada-atau" apabila A dan B kedua-duanya tidak boleh benar. Dalam definisi logik proposisi A ∨ B benar jika hanya satu daripada pernyataan itu benar, dan jika kedua-dua pernyataan itu benar A dan B.

Jadual kebenaran untuk perpecahan:

3 . Operasi logik ketiga pada pernyataan A dan B, dinyatakan sebagai A → B; pernyataan yang terhasil adalah palsu jika dan hanya jika A benar, dan B salah. A dipanggil Parcel , B - akibat , dan kenyataan A → B - mengikuti , juga dipanggil implikasi. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan pautan "jika - maka": "jika A, kemudian B". Tetapi dalam definisi logik proposisi, dalil ini sentiasa benar, tidak kira sama ada proposisi itu benar atau palsu B. Keadaan ini boleh dirumuskan secara ringkas seperti berikut: "apa-apa sahaja yang anda sukai mengikut daripada yang palsu." Sebaliknya, jika A benar, dan B palsu, maka keseluruhan pernyataan A → B salah. Ia akan menjadi benar jika dan hanya jika A, dan B benar. Secara ringkas, ini boleh dirumuskan seperti berikut: "palsu tidak boleh mengikuti daripada benar."

Jadual kebenaran untuk diikuti (implikasi):

4 . Operasi logik keempat pada pernyataan, lebih tepat pada satu pernyataan, dipanggil penafian pernyataan. A dan dilambangkan dengan ~ A(anda juga boleh mencari penggunaan bukan simbol ~, tetapi simbol ¬, serta garis atas di atas A). ~ A terdapat kenyataan yang palsu apabila A benar, dan benar apabila A salah.

Jadual kebenaran untuk penafian:

5 . Dan, akhirnya, operasi logik kelima pada proposisi dipanggil kesetaraan dan dilambangkan A ↔ B. Kenyataan yang terhasil A ↔ B adalah pernyataan yang benar jika dan hanya jika A dan B kedua-duanya benar atau kedua-duanya palsu.

Jadual kebenaran untuk kesetaraan:

Kebanyakan bahasa pengaturcaraan mempunyai simbol khas untuk nilai logik proposisi, ia ditulis dalam hampir semua bahasa sebagai benar (benar) dan palsu (salah).

Mari kita ringkaskan perkara di atas. logik cadangan mengkaji hubungan yang ditentukan sepenuhnya oleh cara beberapa pernyataan dibina daripada yang lain, dipanggil yang asas. Pernyataan asas dianggap sebagai keseluruhan, tidak boleh terurai kepada bahagian.

Kami menyusun dalam jadual di bawah nama, sebutan dan makna operasi logik pada pernyataan (kami akan memerlukannya sekali lagi untuk menyelesaikan contoh).

Untuk operasi logik adalah benar hukum algebra logik, yang boleh digunakan untuk memudahkan ungkapan boolean. Pada masa yang sama, perlu diperhatikan bahawa dalam logik proposisi mereka disarikan daripada kandungan semantik proposisi dan terhad untuk mempertimbangkannya dari kedudukan bahawa ia sama ada benar atau salah.

Contoh 1

1) (2 = 2) DAN (7 = 7) ;

2) Bukan(15;

3) ("Pine" = "Oak") ATAU ("Cherry" = "Maple");

4) Not("Pine" = "Oak") ;

5) (Bukan(15 20);

6) ("Mata diberikan untuk melihat") dan ("Di bawah tingkat tiga ialah tingkat dua");

7) (6/2 = 3) ATAU (7*5 = 20) .

1) Nilai pernyataan dalam kurungan pertama adalah "benar", nilai ungkapan dalam kurungan kedua juga benar. Kedua-dua pernyataan disambungkan oleh operasi logik "DAN" (lihat peraturan untuk operasi ini di atas), jadi nilai logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar".

2) Maksud pernyataan dalam kurungan ialah "palsu". Pernyataan ini didahului oleh operasi penafian logik, jadi nilai logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar".

3) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "palsu", maksud pernyataan dalam kurungan kedua juga "palsu". Pernyataan disambungkan oleh operasi logik "OR" dan tiada satu pun pernyataan mempunyai nilai "true". Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "palsu".

4) Maksud pernyataan dalam kurungan ialah "palsu". Pernyataan ini didahului oleh operasi penafian logik. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan yang diberikan adalah "benar".

5) Dalam kurungan pertama, pernyataan dalam kurungan dalam dinafikan. Pernyataan dalam kurungan ini dinilai kepada "salah", jadi penolakannya akan dinilai kepada nilai logik "benar". Pernyataan dalam kurungan kedua mempunyai nilai "palsu". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan dengan operasi logik "DAN", iaitu, "benar DAN palsu" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan yang diberikan adalah "palsu".

6) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar", maksud pernyataan dalam kurungan kedua juga "benar". Kedua-dua pernyataan ini dihubungkan dengan operasi logik "DAN", iaitu, "benar DAN kebenaran" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan yang diberikan adalah "benar".

7) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar". Maksud pernyataan dalam kurungan kedua ialah "palsu". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan dengan operasi logik "OR", iaitu, "true OR false" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan yang diberikan adalah "benar".

Contoh 2 Tuliskan pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logik:

1) "Pengguna tidak berdaftar";

2) "Hari ini adalah hari Ahad dan beberapa pekerja sedang bekerja";

3) "Pengguna didaftarkan apabila dan hanya apabila data yang dihantar oleh pengguna didapati sah."

1) hlm- pernyataan tunggal "Pengguna didaftarkan", operasi logik: ;

2) hlm- pernyataan tunggal "Hari ini ialah Ahad", q- "Sesetengah pekerja sedang bekerja", operasi logik: ;

3) hlm- pernyataan tunggal "Pengguna didaftarkan", q- "Data yang dihantar oleh pengguna adalah sah", operasi logik: .

Selesaikan contoh logik proposisi sendiri dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 3 Kira nilai boolean bagi pernyataan berikut:

1) ("Terdapat 70 saat dalam satu minit") ATAU ("Jam berjalan menunjukkan masa");

2) (28 > 7) DAN (300/5 = 60) ;

3) ("Televisyen - perkakas elektrik") dan ("Kaca - kayu");

4) Tidak((300 > 100) ATAU ("Hasau boleh dihilangkan dengan air"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Contoh 4 Tuliskan pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logik dan hitung nilai logiknya:

1) "Jika jam tidak menunjukkan masa dengan betul, maka anda boleh datang ke kelas pada masa yang salah";

2) "Dalam cermin anda boleh melihat pantulan anda dan Paris - ibu negara Amerika Syarikat";

Contoh 5 Tentukan Ungkapan Boolean

(hlm → q) ↔ (r → s) ,

hlm = "278 > 5" ,

q= "Epal = Oren",

hlm = "0 = 9" ,

s= "Topi menutupi kepala".

Formula logik cadangan

Konsep bentuk logik pernyataan kompleks ditentukan dengan bantuan konsep formula logik proposisi .

Dalam contoh 1 dan 2, kami belajar cara menulis pernyataan kompleks menggunakan operasi logik. Malah, ia dipanggil formula logik proposisi.

Untuk menyatakan pernyataan, seperti dalam contoh di atas, kami akan terus menggunakan huruf

hlm, q, r, ..., hlm 1 , q 1 , r 1 , ...

Huruf ini akan memainkan peranan pembolehubah yang mengambil nilai kebenaran "benar" dan "salah" sebagai nilai. Pembolehubah ini juga dipanggil pembolehubah proposisi. Kami akan memanggil mereka selepas ini formula asas atau atom .

Untuk membina formula logik proposisi, sebagai tambahan kepada huruf di atas, tanda-tanda operasi logik digunakan

~, ∧, ∨, →, ↔,

serta simbol yang memberikan kemungkinan pembacaan formula yang tidak jelas - kurungan kiri dan kanan.

konsep formula logik proposisi takrifkan seperti berikut:

1) formula asas (atom) ialah formula logik proposisi;

2) jika A dan B- formula logik proposisi, kemudian ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) juga merupakan formula logik proposisi;

3) hanya ungkapan tersebut adalah formula logik proposisi yang mana ini mengikuti dari 1) dan 2).

Takrif formula logik proposisi mengandungi penghitungan peraturan untuk pembentukan formula ini. Menurut definisi, setiap formula logik proposisi adalah sama ada atom atau terbentuk daripada atom hasil daripada penggunaan peraturan 2 berturut-turut).

Contoh 6 biarlah hlm- pernyataan tunggal (atom) "Semua nombor rasional adalah nyata", q- "Sesetengah nombor nyata ialah nombor rasional", r- "beberapa nombor rasional adalah nyata". Terjemahkan ke dalam bentuk proposisi verbal formula logik proposisi berikut:

6) .

1) "tiada nombor nyata yang rasional";

2) "jika tidak semua nombor rasional adalah nyata, maka tiada nombor rasional yang nyata";

3) "jika semua nombor rasional adalah nyata, maka beberapa nombor nyata adalah nombor rasional dan beberapa nombor rasional adalah nyata";

4) "semua nombor nyata ialah nombor rasional dan beberapa nombor nyata ialah nombor rasional dan beberapa nombor rasional ialah nombor nyata";

5) "semua nombor rasional adalah nyata jika dan hanya jika tidak semua nombor rasional adalah nyata";

6) "bukan kes bahawa tidak semua nombor rasional adalah nyata dan tidak ada nombor nyata yang rasional atau tiada nombor rasional yang nyata."

Contoh 7 Buat jadual kebenaran untuk formula logik proposisi , yang dalam jadual boleh dilambangkan f .

Penyelesaian. Kami mula menyusun jadual kebenaran dengan merekodkan nilai ("benar" atau "salah") untuk pernyataan tunggal (atom) hlm , q dan r. Semua nilai yang mungkin ditulis dalam lapan baris jadual. Selanjutnya, apabila menentukan nilai operasi implikasi, dan bergerak ke kanan dalam jadual, ingat bahawa nilai adalah sama dengan "salah" apabila "benar" membayangkan "salah".

Perhatikan bahawa tiada atom mempunyai bentuk ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Ini adalah formula yang kompleks.

Bilangan kurungan dalam formula logik proposisi boleh dikurangkan dengan mengandaikan bahawa

1) dalam formula kompleks kami akan meninggalkan pasangan luar kurungan;

2) memerintahkan tanda-tanda operasi logik "mengikut kekananan":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Dalam senarai ini, tanda ↔ mempunyai skop terbesar, dan tanda ~ mempunyai skop terkecil. Skop tanda operasi difahami sebagai bahagian-bahagian formula logik proposisi yang digunakan untuk kejadian tanda ini (yang mana ia bertindak). Oleh itu, adalah mungkin untuk meninggalkan dalam mana-mana formula pasangan kurungan yang boleh dipulihkan, dengan mengambil kira "tertib keutamaan". Dan apabila memulihkan kurungan, mula-mula semua kurungan diletakkan yang merujuk kepada semua kejadian tanda ~ (dalam kes ini, kita bergerak dari kiri ke kanan), kemudian kepada semua kejadian tanda ∧, dan seterusnya.

Contoh 8 Pulihkan kurungan dalam formula logik proposisi B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Penyelesaian. Tanda kurung dipulihkan langkah demi langkah seperti berikut:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Tidak semua formula logik proposisi boleh ditulis tanpa kurungan. Sebagai contoh, dalam formula TAPI → (B → C) dan ~( A → B) tiada pemadaman lanjut kurungan mungkin.

Tautologi dan percanggahan

Tautologi logik (atau hanya tautologi) ialah formula logik proposisi yang jika huruf digantikan secara sewenang-wenangnya dengan proposisi (benar atau palsu), maka hasilnya akan sentiasa menjadi proposisi yang benar.

Oleh kerana kebenaran atau kepalsuan pernyataan kompleks hanya bergantung pada makna, dan bukan pada kandungan pernyataan, yang setiap satunya sepadan dengan huruf tertentu, maka ujian sama ada pernyataan yang diberikan adalah tautologi boleh digantikan dengan cara berikut. Dalam ungkapan yang dikaji, nilai 1 dan 0 (masing-masing, "benar" dan "salah") digantikan dengan huruf dalam semua cara yang mungkin, dan menggunakan operasi logik, nilai logik ungkapan dikira. Jika semua nilai ini sama dengan 1, maka ungkapan yang dikaji adalah tautologi, dan jika sekurang-kurangnya satu penggantian memberikan 0, maka ini bukan tautologi.

Oleh itu, formula logik proposisi yang mengambil nilai "benar" untuk sebarang pengedaran nilai atom yang termasuk dalam formula ini dipanggil formula yang sama benar atau tautologi .

Makna yang berlawanan ialah percanggahan logik. Jika semua nilai proposisi adalah 0, maka ungkapan itu adalah percanggahan logik.

Oleh itu, formula logik proposisi yang mengambil nilai "salah" untuk sebarang pengedaran nilai atom yang termasuk dalam formula ini dipanggil formula palsu yang serupa atau percanggahan .

Selain tautologi dan percanggahan logik, terdapat formula logik proposisi yang bukan tautologi mahupun percanggahan.

Contoh 9 Buat jadual kebenaran untuk formula logik proposisi dan tentukan sama ada ia tautologi, percanggahan, atau bukan kedua-duanya.

Penyelesaian. Kami membuat jadual kebenaran:

Dalam makna implikasi, kita tidak menemui baris di mana "benar" membayangkan "salah". Semua nilai pernyataan asal adalah sama dengan "benar". Oleh itu, formula logik proposisi ini ialah tautologi.

Pernyataan mudah dan kompleks, pembolehubah logik dan pemalar logik, penolakan logik, pendaraban logik, penambahan logik, jadual kebenaran untuk operasi logik

Untuk mengautomasikan proses maklumat, perlu bukan sahaja untuk menyampaikan maklumat secara seragam pelbagai jenis(berangka, teks, grafik, bunyi) dalam bentuk urutan sifar dan satu, tetapi juga untuk menentukan tindakan yang boleh dilakukan pada maklumat. Perlaksanaan tindakan tersebut dijalankan mengikut peraturan yang mengawal proses berfikir. Dengan kata lain, mengikut hukum logik. Istilah "logik" berasal dari perkataan Yunani kuno1 tentang§08 , bermaksud "pemikiran, penaakulan, undang-undang." Sainslogikmengkaji undang-undang dan bentuk pemikiran, kaedah pembuktian.

Untuk menerangkan penaakulan dan peraturan untuk melakukan tindakan dengan maklumat, bahasa khas digunakan, diterima pakai dalam logik matematik. Penaakulan adalah berdasarkan ayat khas yang dipanggil dalil. Dalam kenyataan, sesuatu sentiasa diperakui atau dinafikan tentang objek, sifatnya dan hubungan antara objek. Dalil ialah sebarang dalil yang boleh dikatakan benar atau salah. Pernyataan hanya boleh menjadi ayat deklaratif. Ayat tanya atau ayat perintah bukan penyataan.

kenyataan - proposisi yang dirumuskan sebagai ayat deklaratif, yang boleh dikatakan sama ada ia benar atau salah.

Sebagai contoh, ayat tanya"Pada tahun berapakah sejarah pertama menyebut Moscow?" dan "Apakah memori luaran komputer?" atau ayat insentif "Patuhi peraturan keselamatan di makmal komputer" bukan pernyataan. Ayat naratif "Sebutan annalistik pertama Moscow adalah pada tahun 1812", "Memori akses rawak ialah ingatan luaran komputer" dan "Anda tidak perlu mengikuti peraturan keselamatan dalam kelas komputer" adalah pernyataan, kerana ia adalah penghakiman, yang setiap satunya boleh dikatakan palsu. Kenyataan yang benar akan menjadi penghakiman "Sebutan annalistik pertama Moscow adalah pada tahun 1147", "Cakera magnet keras ialah memori luaran komputer."

Setiap pernyataan sepadan dengan hanya satu daripada dua nilai: sama ada "benar" atau "salah", iaitupemalar boolean.Nilai sebenar biasanya dilambangkan dengan nombor 1, dan nilai palsu- nombor 0. Pernyataan boleh dilambangkan menggunakanpembolehubah boolean,yang digunakan sebagai huruf Latin besar. Pembolehubah Boolean hanya boleh mengambil satu daripada dua nilai yang mungkin: "benar" atau "salah". Sebagai contoh, pernyataan "Maklumat dalam komputer dikodkan menggunakan dua aksara" boleh dilambangkan dengan pembolehubah logikTAPI,dan pernyataan "Pencetak ialah peranti storan maklumat" boleh dilambangkan dengan pembolehubah logikAT.Oleh kerana pernyataan pertama adalah benar, makaTAPI= 1. Tatatanda ini bermaksud bahawa pernyataanTAPIbenar. Oleh kerana pernyataan kedua tidak benar, makaB =0. Notasi sedemikian bermakna bahawa pernyataan dalam adalah palsu.

Pernyataan boleh menjadi mudah atau kompleks. Kenyataan itu dipanggilmudah,jika tiada sebahagian daripadanya adalah kenyataan. Setakat ini, contoh pernyataan mudah telah diberikan, yang dilambangkan dengan perubahan logik. Membina rantaian penaakulan, seseorang, menggunakan operasi logik, bergabung pepatah mudah dalamkenyataan yang lebih sukar.Untuk mengetahui maksud pernyataan yang kompleks, tidak perlu memikirkan kandungannya. Ia cukup untuk mengetahui maksud pernyataan mudah yang membentuk pernyataan yang kompleks, dan peraturan untuk melaksanakan operasi logik.

Operasi Boolean - tindakan yang membolehkan anda membuat pernyataan kompleks daripada pernyataan mudah.

Semua penaakulan manusia, serta kerja peranti teknikal moden, adalah berdasarkan tindakan biasa dengan maklumat - tiga operasi logik: penolakan logik (penyongsangan), pendaraban logik (konjungsi) dan penambahan logik (disjungsi).

Penafian logik pernyataan mudah diperoleh dengan menambah perkataan"Ia tidak benar" pada permulaan ayat mudah.

■ CONTOH 1.Ada pepatah mudah "Buaya boleh terbang". Hasil penafian logik ialah pernyataan“Ia tidak benar begitu buaya boleh terbang. Nilai pernyataan asal adalah "palsu" dan nilai pernyataan baru adalah "benar".

■ CONTOH 2.Terdapat pepatah mudah "Fail mesti mempunyai nama". Hasil penafian logik ialah pernyataan“Ia tidak benar begitu fail mesti mempunyai nama. Nilai pernyataan asal adalah "benar" dan nilai pernyataan baru adalah "salah".

Dapat dilihat bahawa penolakan logik pernyataan adalah benar apabila pernyataan asal adalah palsu, dan sebaliknya, penolakan logik pernyataan adalah salah apabila pernyataan asal adalah benar.

Penafian logik (penyongsangan) - operasi logik yang mengaitkan pernyataan mudah dengan pernyataan baru, yang maknanya bertentangan dengan nilai pernyataan asal.

Nyatakan pernyataan mudah oleh pembolehubah booleanTAPI.Kemudian penafian logik pernyataan ini akan ditandakan TIDAKTAPI. Mari kita tulis semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah booleanTAPIdan keputusan yang sepadan dengan penolakan logik BUKANTAPI dalam bentuk jadual yang dipanggiljadual kebenaran untuk penafian logik (Jadual 40).

Anda boleh melihat bahawa dalam jadual kebenaran untuk penolakan logik, sifar berubah kepada satu, dan satu berubah kepada sifar.

Pendaraban Booleandua proposisi mudah diperoleh dengan menggabungkan proposisi ini menggunakan kesatuandan.Mari kita lihat contoh 3-6, yang akan menjadi hasil pendaraban logik.

■ CONTOH3. Terdapat dua pernyataan mudah. Satu kenyataan - "Carlson tinggal di ruangan bawah tanah." Kenyataan lain ialah "Carlson dirawat dengan ais krim."

Hasil pendaraban logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Carlson tinggal di ruangan bawah tanah,danCarlson dirawat dengan aiskrim. Anda boleh merumuskan kenyataan baharu dengan lebih ringkas: “Carlson tinggal di ruangan bawah tanahdandirawat dengan aiskrim. Kedua-dua pernyataan asal adalah palsu. Maksud penyataan kompaun baru juga adalah "palsu".

■ CONTOH 4.Terdapat dua pernyataan mudah. Pernyataan pertama ialah "Carlson tinggal di ruangan bawah tanah." Pernyataan kedua ialah "Carlson dirawat dengan jem."

Hasil pendaraban logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Carlson tinggal di ruangan bawah tanahdandisembuhkan dengan jem. Pernyataan asal pertama adalah palsu, dan yang kedua adalah benar. Maksud pernyataan majmuk baru ialah "palsu".

■ CONTOH 5.Terdapat dua pernyataan mudah. Pernyataan pertama ialah "Carlson tinggal di atas bumbung." Pernyataan kedua ialah "Carlson dirawat dengan ais krim."

Hasil pendaraban logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Carlson tinggal di atas bumbungdandirawat dengan aiskrim. Pernyataan asal yang pertama adalah benar, dan yang kedua adalah palsu. Maksud pernyataan majmuk baru ialah "palsu".

* CONTOHb. Terdapat dua pernyataan mudah. Satu kenyataan - "Carlson tinggal di atas bumbung." Kenyataan lain ialah "Carlson dirawat dengan jem."

Hasil pendaraban logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Carlson tinggal di atas bumbung dan dirawat dengan jem." Kedua-dua kenyataan asal adalah benar. Maksud penyataan majmuk baharu itu juga "benar".

Dapat dilihat bahawa pendaraban logik dua pernyataan adalah benar hanya dalam satu kes - apabila kedua-dua pernyataan asal adalah benar.s.

Pendaraban Boolean (kata hubung) - operasi logik yang mengaitkan dua proposisi mudah dengan proposisi baharu yang nilainya benar jika dan hanya jika kedua-dua proposisi asal adalah benar.

JADUAL KEBENARAN UNTUK PENDABARAN LOGIK

Jadual 41

SekiranyaTAPI = 0, AT =0, kemudian A dan B0 (lihat contoh 3). SekiranyaA = 07? = 1, makaTAPIDanAT -0 (lihat contoh 4). Jika /1 = 1,B =0, kemudianTAPIDan d=0 (lihat contoh 5). Jika L= \, B = \, kemudian A\\ B = \(lihat contoh 6).

Anda boleh melihat bahawa hasil pendaraban logik adalah sama dengan hasil pendaraban biasa sifar dan satu.

Penambahan booleandua proposisi mudah diperoleh dengan menggabungkan proposisi ini menggunakan kesatuanatau.Mari kita lihat contoh 7-10, yang akan menjadi hasil penambahan logik.

CONTOH 7 . Terdapat dua pernyataan mudah. Satu kenyataan - "Komedi" Ketua Inspektor "ditulis oleh M. Yu. Lermontov." Satu lagi kenyataan - "Komedi" Ketua Inspektor "ditulis oleh I. A. Krylov."

Hasil daripada penambahan logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Komedi" Ketua Polis Negara "ditulis oleh M. Yu. LermontovatauI. A. Krylov. Kedua-dua pernyataan asal adalah palsu. Maksud penyataan kompaun baru juga adalah "palsu".

CONTOH 8. Terdapat dua pernyataan mudah. Kenyataan pertama - "Komedi" Ketua Polis Negara "ditulis oleh M. Yu. Lermontov." Kenyataan kedua - "Komedi" Inspektor Jeneral "ditulis oleh N. V. Gogol."

Hasil daripada penambahan logik proposisi mudah ininyakan ada kenyataan kompleks "Komedi" Ketua Polis Negara "ditulis oleh M, K). LermontovatauN. V. Gogol. Inisial pertamapernyataan itu salah dan yang kedua adalah benar. Maksud pernyataan majmuk baru ialah "kebenaran".

CONTOH 9 . Terdapat dua pernyataan mudah. Kenyataan pertama - "Puisi" Mtsyri "ditulis oleh M. Yu. Lermontov." Pernyataan kedua - "Puisi" Mtsyri "ditulis oleh N. V. Gogol". Hasil daripada penambahan logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Puisi" Mtsyri "ditulis oleh M. Yu. Lermontov atau N. V. Gogol." Pernyataan pertama adalah benar dan yang kedua adalah palsu. Maksud pernyataan majmuk baru ialah "kebenaran".

CONTOH 10 . Terdapat dua pernyataan mudah. Satu ayat - "A. S. Pushkin menulis puisi" Pernyataan lain ialah "A. S. Pushkin menulis prosa.” Hasil daripada penambahan logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "A. S. Pushkin menulis puisi atau prosa.” Kedua-dua kenyataan asal adalah benar. Maksud penyataan majmuk baharu itu juga "benar".

Ia boleh dilihat bahawa penambahan logik dua pernyataan adalah palsu hanya dalam satu kes - apabila kedua-dua pernyataan asal adalah palsu.

Penambahan logik (disjungsi)- operasi logik yang mengaitkan dua pernyataan mudah dengan pernyataan baharu, yang nilainya palsu jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan asal adalah palsu.

Nyatakan satu proposisi mudah oleh pembolehubah boolean A, dan proposisi mudah lain oleh pembolehubah boolean B.

Kemudian penambahan logik pernyataan ini akan dilambangkan TAPI ATAU AT

Mari kita tulis semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah logik A , B , serta hasil yang sepadan dengan penambahan logik A ATAU B dalam bentuk jadual yang dipanggil jadual kebenaran.

Operasi dengan tanda binari dilakukan mengikut jadual kebenaran untuk penambahan logik

Anda boleh melihat bahawa hasil penambahan logik, kecuali baris terakhir, adalah sama dengan hasil penambahan biasa sifar dan satu.

Oleh itu, menggunakan bahasa logik, penaakulan boleh digantikan dengan tindakan dengan pernyataan. Pernyataan, seterusnya, boleh diberikan tanda binari - 0 atau 1. Tindakan dengan tanda binari dilakukan mengikut jadual kebenaran untuk operasi asas logik penolakan logik, pendaraban logik dan penambahan logik (lihat Jadual 40-42)

23. Kenyataan. Operasi Boolean

Penambahan logik (disjungsi) dua pernyataan adalah palsu

1) jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan adalah benar

2) jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan adalah palsu

3) apabila sekurang-kurangnya satu pernyataan adalah benar

4) apabila sekurang-kurangnya satu pernyataan adalah palsu

Ungkapan Boolean. Menjalankan Operasi Boolean

Merekod ungkapan logik, keutamaan melaksanakan operasi logik, mencari nilai ungkapan logik, melaksanakan operasi logik dengan pelbagai jenis maklumat Penafian logik, pendaraban logik dan penambahan logik membentuk sistem operasi logik yang lengkap dengan mana anda boleh mengarang sebarang pernyataan kompleks dan menentukan kebenarannya. Apabila menerangkan penaakulan menggunakan bahasa logik matematik, pernyataan mudah dilambangkan dengan pembolehubah logik (dalam huruf Latin), nilai pernyataan dilambangkan dengan pemalar logik (sifar atau satu), dan operasi logik dilambangkan dengan penghubung khas (TIDAK). , DAN, ATAU). Rekod, yang disusun dengan bantuan pembolehubah, pemalar dan penghubung tersebut, dipanggil ungkapan logik.

Ungkapan logik - tatatanda simbolik dalam bahasa logik matematik, terdiri daripada pembolehubah logik atau pemalar logik, disatukan oleh operasi logik (sambungan).

Apabila mencari nilai ungkapan logik, operasi logik dilakukan dalam susunan tertentu, mengikut keutamaan mereka - pertama, penolakan logik, kemudian pendaraban logik, dan hanya penambahan logik. Operasi logik yang mempunyai keutamaan yang sama dilaksanakan dari kiri ke kanan. Tanda kurung digunakan untuk menukar susunan operasi logik dilakukan.

■ CONTOH 1. Diberi pernyataan benar yang mudah A = "Aristotle - ahli falsafah Yunani kuno” dan pernyataan palsu yang mudah B = “Aristotle ialah ahli falsafah Rusia kuno.”

Tindakan ke atas maklumat. Operasi asas

makna pernyataan majmuk yang sepadan dengan ungkapan logik berikut:

1) BUKAN A;

2) A ATAU B;

3) A DAN (NEV).

Penyelesaian. 1) Hasil daripada penafian logik pernyataan A akan menjadi pernyataan "Tidak benar Aristotle adalah ahli falsafah Yunani kuno." Oleh kerana nilai pernyataan asal "benar" A = 1, maka nilai penafian logik pernyataan ini "salah" BUKAN A = 0 (lihat Jadual 40). 2) Hasil daripada penambahan logik dua pernyataan akan menjadi kenyataan "Aristotle ialah seorang Yunani kuno atau Aristotle ialah seorang ahli falsafah Rusia kuno." Oleh kerana nilai pernyataan awal pertama "benar" A = 1, dan nilai pernyataan awal kedua "salah" B = 0, maka nilai tambahan logik pernyataan ini "benar" A ATAU B = 1 (lihat Jadual 42). 3) Hasil daripada pendaraban logik pernyataan A dan penafian logik pernyataan B akan menjadi pernyataan "Aristotle ialah ahli falsafah Yunani kuno, dan tidak benar bahawa Aristotle ialah ahli falsafah Rusia kuno." Pertama, kita melakukan penolakan logik pernyataan B. Oleh kerana nilai pernyataan asal "palsu" B = 0, maka nilai penolakan logik pernyataan ini "benar" BUKAN B = 1 (lihat Jadual 40). Oleh kerana nilai pernyataan asal pertama "benar" A = 1 dan nilai penolakan logik pernyataan asal kedua "benar" BUKAN B =1, maka nilai pendaraban logik pernyataan ini "benar" A DAN ( BUKAN B) =1

(lihat tab. 41)

Jawab. 1) "Bohong"; 2) "kebenaran"; 3) "kebenaran". Untuk mencari makna pernyataan kompleks, adalah memadai untuk mengetahui makna pernyataan mudah yang termasuk dalam pernyataan kompleks dan peraturan untuk melaksanakan operasi logik yang menggabungkan pernyataan mudah ini.

■ CONTOH 2. Cari nilai ungkapan logik BUKAN A ATAU (0 ATAU 1) DAN (BUKAN B DAN 1), jika nilai pembolehubah logik A =1, B =0.

Penyelesaian. 1) Mari gantikan pembolehubah logik dalam ungkapan logik dengan pemalar logik. NAIOR(0OR 1) AND(NEVI 1)==NOT1OR(0OR1) AND(NOT0AND1).

2) Mari tentukan urutan pelaksanaan operasi logik mengikut keutamaannya. NOT4 1 OR6 (0 OR1 1) AND5 (HOT 0 AND3 1).

Di bawah berkata ungkapan linguistik difahami, yang mana hanya satu daripada dua perkara yang boleh dikatakan: ia benar atau salah. Kenyataan itu, tidak seperti penghakiman, tidak mempunyai watak peribadi.

Soalan, permintaan, pesanan, seruan, kata-kata individu (kecuali apabila ia bertindak sebagai wakil pernyataan seperti "sudah petang", "sejuknya semakin sejuk", dll.) bukanlah pernyataan. Kebenaran dan kepalsuan dalil adalah milik mereka nilai boolean.

Pernyataan dibahagikan kepada atributif, kewujudan dan hubungan.

bersifat atributif dipanggil pernyataan di mana harta atau keadaan objek disahkan atau dinafikan.

wujud dipanggil pernyataan yang mengesahkan atau menafikan hakikat kewujudan.

perhubungan dipanggil pernyataan yang menyatakan hubungan antara objek.

Pernyataan, seperti bentuk logiknya, adalah mudah dan kompleks. kompleks pernyataan boleh dipecahkan kepada yang mudah. Mudah pernyataan tidak dibahagikan kepada yang lebih mudah.

Pernyataan atribut mudah mempunyai struktur yang merangkumi subjek, predikat dan penghubung.

Subjek pernyataan (S) - ini adalah bahagian pernyataan yang menyatakan subjek pemikiran.

Predikat pernyataan (P) - ini adalah sebahagian daripada pernyataan, yang memaparkan tanda subjek pemikiran, hartanya, keadaan, sikap.

Subjek (S) dan predikat (P) dipanggil syarat. himpunan menunjukkan hubungan antara istilah (S dan P).

Pernyataan atribut sering menggunakan pengkuantiti kewujudan dan umum.

Pernyataan atribut dibahagikan mengikut kualiti dan kuantiti.

Dengan kualiti, mereka dibahagikan kepada afirmatif dan negatif. AT afirmatif menunjukkan kepunyaan (kehadiran) tanda, boleh dibayangkan dalam predikat, kepada subjek pernyataan: "S ialah P". Contohnya: "Plato ialah ahli falsafah idealis." AT negatif menunjukkan bahawa predikat tidak tergolong dalam subjeknya: "S bukan P".

Mengikut bilangan kenyataan dibahagikan kepada tunggal, persendirian dan umum. Ini merujuk kepada jumlah (bilangan, kuantiti) item individu yang membentuk nama kelas subjek.

AT bujang Dalam ujaran, subjek terdiri daripada satu objek.

Persendirian pernyataan adalah dalam bentuk: "Sesetengah S adalah (bukan) P".

AT umum Dalam ujaran, subjek merangkumi semua objek. Pernyataan sedemikian mempunyai bentuk: "Semua S ialah (bukan) P".

Penyata dikelaskan mengikut kualiti dan kuantiti. Terdapat 4 kelas pernyataan:

1) afirmatif umum (TAPI) - umum dalam kuantiti dan afirmatif dalam kualiti ("Semua S ialah P");

2) afirmatif swasta (J)- swasta dalam kuantiti dan afirmatif dalam kualiti ("Sesetengah S ialah R");

3) negatif biasa (E) - umum dalam kuantiti dan negatif dalam kualiti ("Tiada satu S ialah P");

4) negatif peribadi (O)- swasta dalam kuantiti dan negatif dalam kualiti ("Sesetengah S bukan P").

Dalam setiap kelas pernyataan, nisbah isipadu S dan P (segi) adalah berbeza. Dalam logik, masalah nisbah isipadu S dan P dipanggil masalah pengagihan istilah. Istilah diedarkan jika ia termasuk sepenuhnya dalam skop istilah lain atau dikecualikan sepenuhnya daripadanya.

Dalam kelas A | Semua S ialah P | subjek diedarkan sepenuhnya dalam predikat, dan predikat tidak diedarkan.

Rakan-rakan yang dihormati, gembira dapat melihat anda di halaman ini! Pelawat yang dihormati, ada kemungkinan anda sedang mencari Petikan Mudah dengan lukisan mengenai subjek. Hebat! Anda telah menemui apa yang anda cari. Kami mendoakan anda membaca dan memperbaiki diri!

Mereka yang berdegil menguji kehidupan mereka untuk kekuatan, lambat laun mencapai matlamat mereka dan menamatkannya dengan hebat.

Saya menyedari bahawa untuk memahami erti kehidupan, pertama sekali adalah perlu bahawa kehidupan tidak bermakna dan jahat, dan kemudian fikiran untuk memahaminya. Tolstoy L.N.

Bagaimana cinta yang lebih kuat semakin tidak berdaya. Duchess Diana (Marie de Bosack)

Sekali seumur hidup, nasib mengetuk pintu setiap orang, tetapi pada masa ini seseorang sering duduk di pub terdekat dan tidak mendengar sebarang ketukan. Mark Twain

Saya tidak takut kepada seseorang yang mempelajari 10,000 pukulan yang berbeza. Saya takut orang yang belajar satu pukulan 10,000 kali.

Saya bermimpi tentang anda setiap hari, saya memikirkan anda pada waktu malam!

Sesiapa yang tidak mempunyai 2/3 hari untuk dirinya hendaklah dipanggil hamba. Friedrich Nietzsche

Saya adalah salah seorang yang bersetuju untuk bercakap tentang erti kehidupan untuk bersedia untuk mengedit susun atur mengenai topik ini. Eco W.

Desinit in piscem mulier formosa superne - seorang wanita cantik dari atas berakhir dengan ekor ikan.

Kita adalah hamba kepada tabiat kita. Ubah tabiat anda, hidup anda akan berubah. Robert Kiyosaki

Anda boleh menjangkau dan meraih kebahagiaan. Ia betul-betul di sebelahnya! Tetapi anda sentiasa melihat ke belakang

Anda sentiasa boleh memaafkan diri sendiri atas kesilapan, jika anda mempunyai keberanian untuk mengakuinya. Bruce Lee

Hembusan cinta pertama adalah nafas terakhir kebijaksanaan. Anthony Bret.

Persahabatan adalah cinta tanpa sayap. Byron

Jika seseorang boleh mengatakan apa itu cinta, bermakna dia tidak mencintai sesiapa pun.

Apa yang anda jatuh cinta, kemudian cium.

kerana segelintir orang saya dapat mengatasi kesombongan dan ketakutan saya ...

Cinta kami bermula pada pandangan pertama.

Cemburu adalah khianat dengan syak wasangka khianat. V. Krotov

Dengan seorang lelaki yang unik - saya mahu ulangi!

Seorang wanita romantik meluat dengan seks tanpa cinta. Oleh itu, dia tergesa-gesa untuk jatuh cinta pandang pertama. Lydia Yasinskaya

Cinta ada di dalam setiap orang, tetapi ia patut ditunjukkan hanya kepada mereka yang terbuka kepada anda.

Rahsia cinta untuk seseorang bermula pada masa ini apabila kita melihatnya tanpa keinginan untuk memilikinya, tanpa keinginan untuk menguasainya, tanpa keinginan untuk menggunakan hadiah atau keperibadiannya dalam apa jua cara - kita hanya melihat dan kagum pada keindahan yang telah dizahirkan kepada kita. . Anthony, Metropolitan Sourozh

Saya ingin berada dalam masyarakat primitif. Tidak perlu memikirkan tentang wang, tentang tentera, tentang beberapa gelaran dan ijazah saintifik. Hanya perempuan, lembu dan hamba yang penting.

Apabila seseorang tidak selesa untuk berbaring di sebelah, dia berguling ke sisi yang lain, dan apabila dia tidak selesa untuk hidup, dia hanya mengeluh. Dan anda berusaha untuk berguling. Maksim Gorky

Tangan yang perlahan melicinkan pergunungan. Voltaire

Wanita mempunyai seluruh hati, malah kepala. Jean Paul

Ciuman awak sangat manis sehingga saya hanya bersayap dengan kebahagiaan!

Seseorang meregang, seperti pucuk, ke Luminary dan menjadi lebih tinggi. Memimpikan impian yang tidak dapat direalisasikan, mencapai ketinggian setinggi langit.

Persahabatan sejati lebih baik daripada cinta palsu!

Kita tidak boleh kehilangan maruah diri melainkan kita sendiri memberikannya kepada Gandhi

Cinta adalah mementingkan diri bersama.

Pengetahuan menjadikan seseorang lebih penting, dan tindakan memberinya kecemerlangan. Tetapi ramai orang cenderung melihat tetapi tidak menimbang. T. Carlyle

Hanya di Rusia mereka memanggil orang yang mereka sayangi ... Celaka saya!

Cinta yang tidak berbalas bukanlah cinta, tetapi penyeksaan!

Kecukupan ialah keupayaan untuk melakukan dua perkara: berdiam diri pada masa yang betul dan bercakap pada masa yang betul.

Kebahagiaan datang dengan pertimbangan yang betul, penilaian yang betul datang dengan pengalaman, dan pengalaman datang dengan penilaian yang salah.

Jangan mengharapkan ia menjadi lebih mudah, lebih mudah, lebih baik. Ia tidak akan. Akan sentiasa ada kesukaran. Belajar untuk bahagia sekarang juga. Jika tidak, anda tidak akan dapat melakukannya.

Kehidupan, gembira atau tidak gembira, berjaya atau tidak berjaya, masih sangat menarik. B. Tunjukkan

Jangan menganggap diri anda bijak, jika tidak, jiwa anda akan menjadi tinggi dengan kesombongan, dan anda akan jatuh ke tangan musuh anda. Anthony yang Agung

Menyantuni isterinya nampaknya tidak masuk akal seperti memburu binatang panggang. Emil Krotky

Surat dan hadiah dan gambar berkilat menyatakan rasa sayang adalah penting. Tetapi lebih penting lagi untuk mendengar satu sama lain secara bersemuka, ini adalah seni yang hebat dan jarang berlaku. T. Jansson.

Kehidupan diatur dengan sangat mahir sehinggakan, tanpa mengetahui cara membenci, mustahil untuk mencintai dengan tulus. M. Gorky

Seronok apabila orang yang disayangi memberi anda sejambak besar begitu sahaja, kerana ia bagus, sial!

Tanpa rasa takut, manusia berubah menjadi bodoh melulu yang sering kehilangan nyawa. Isaac Asimov Perjalanan Hebat II

Sahabat adalah satu jiwa yang hidup dalam dua badan. Aristotle

Menjadi orang yang hanya memikirkan dirinya sendiri tidak bermakna melakukan apa sahaja yang anda mahu. Ini bermakna mahukan seluruh dunia hidup seperti yang anda mahukan. - O. Wilde

Setiap ibu harus mengukir untuk dirinya sendiri beberapa minit masa lapang untuk mencuci pinggan mangkuk.