155*. takrifkan Saiz hidup segmen lurus AB kedudukan umum(Gamb. 153, a).

Penyelesaian. Seperti yang diketahui, unjuran segmen garis lurus pada mana-mana satah adalah sama dengan segmen itu sendiri (dengan mengambil kira skala lukisan), jika ia selari dengan satah ini

(Gamb. 153, b). Ia berikutan daripada ini bahawa dengan mengubah lukisan adalah perlu untuk mencapai keselarian segi empat sama segmen ini. V atau segi empat sama H atau tambah sistem V, H dengan satah lain berserenjang dengan segi empat sama. V atau kepada pl. H dan pada masa yang sama selari dengan segmen ini.

Dalam Rajah. 153, c menunjukkan pengenalan satah tambahan S, berserenjang dengan segi empat sama. H dan selari dengan segmen AB yang diberi.

Unjuran a s b s adalah sama dengan nilai semula jadi bagi segmen AB.

Dalam Rajah. 153, d menunjukkan teknik lain: segmen AB diputar mengelilingi garis lurus yang melalui titik B dan berserenjang dengan segi empat sama. H, kepada kedudukan selari

pl. V. Dalam kes ini, titik B kekal di tempatnya, dan titik A mengambil kedudukan baru A 1. Cakrawala berada dalam kedudukan baharu. unjuran a 1 b || paksi x Unjuran a" 1 b" adalah sama dengan saiz semula jadi segmen AB.

156. Diberi piramid SABCD (Rajah 154). Tentukan saiz sebenar tepi piramid AS dan CS, menggunakan kaedah menukar satah unjuran, dan tepi BS dan DS, menggunakan kaedah putaran, dan ambil paksi putaran berserenjang dengan segi empat sama. H.

157*. Tentukan jarak dari titik A ke garis lurus BC (Rajah 155, a).

Penyelesaian. Jarak dari titik ke garisan diukur dengan segmen serenjang yang dilukis dari titik ke garis.

Jika garis lurus itu berserenjang dengan mana-mana satah (Rajah 155.6), maka jarak dari titik ke garis lurus diukur dengan jarak antara unjuran titik dan unjuran titik garis lurus pada satah ini. Jika garis lurus menduduki kedudukan umum dalam sistem V, H, maka untuk menentukan jarak dari titik ke garis lurus dengan menukar satah unjuran, perlu memasukkan dua satah tambahan ke dalam sistem V, H.

Mula-mula (Rajah 155, c) kita masukkan segi empat sama. S, selari dengan segmen BC (paksi baharu S/H adalah selari dengan unjuran bc), dan bina unjuran b s c s dan a s. Kemudian (Rajah 155, d) kami memperkenalkan satu lagi segi empat sama. T, berserenjang dengan garis lurus BC (paksi baharu T/S berserenjang dengan b s dengan s). Kami membina unjuran garis lurus dan titik - dengan t (b t) dan t. Jarak antara titik a t dan c t (b t) adalah sama dengan jarak l dari titik A ke garis lurus BC.

Dalam Rajah. 155, d, tugas yang sama dicapai menggunakan kaedah putaran dalam bentuknya, yang dipanggil kaedah pergerakan selari. Pertama, garis lurus BC dan titik A, mengekalkan kedudukan relatifnya tidak berubah, diputarkan mengelilingi beberapa (tidak ditunjukkan dalam lukisan) garis lurus berserenjang dengan segi empat sama. H, supaya garis lurus BC adalah selari dengan segi empat sama. V. Ini bersamaan dengan titik bergerak A, B, C dalam satah selari dengan segi empat sama. H. Pada masa yang sama, ufuk. unjuran sistem tertentu (BC + A) tidak berubah sama ada dalam saiz atau konfigurasi, hanya kedudukannya berbanding dengan paksi x berubah. Kami meletakkan ufuk. unjuran garis lurus BC selari dengan paksi-x (kedudukan b 1 c 1) dan tentukan unjuran a 1, ketepikan c 1 1 1 = c-1 dan a 1 1 1 = a-1, dan a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Melukis garis lurus b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 selari dengan paksi-x, kita dapati bahagian hadapannya. unjuran b" 1, a" 1, c" 1. Seterusnya, kita gerakkan titik B 1, C 1 dan A 1 dalam satah selari dengan kawasan V (juga tanpa mengubah kedudukan relatifnya), untuk mendapatkan B 2 C 2 ⊥ segi empat sama H. ​​Dalam kes ini, unjuran hadapan garis lurus akan berserenjang dengan x,b paksi 2 c" 2 = b" 1 c" 1, dan untuk membina unjuran a" 2 anda perlu mengambil b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, lukis 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 dan ketepikan a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Kini, setelah berbelanja dengan 1 dengan 2 dan 1 a 2 || x 1 kita memperoleh unjuran b 2 daripada 2 dan a 2 dan jarak l yang dikehendaki dari titik A ke garis lurus BC. Jarak dari A ke BC boleh ditentukan dengan memutarkan satah yang ditakrifkan oleh titik A dan garis lurus BC mengelilingi mendatar satah ini ke kedudukan T || pl. H (Rajah 155, f).

Dalam satah yang ditakrifkan oleh titik A dan garis lurus BC, lukis garis mendatar A-1 (Rajah 155, g) dan putar titik B di sekelilingnya. R (dinyatakan dalam lukisan di sebelah R h), berserenjang dengan A-1; pada titik O terdapat pusat putaran titik B. Sekarang kita tentukan nilai semula jadi jejari putaran VO (Rajah 155, c). Dalam kedudukan yang diperlukan, iaitu apabila pl. T, ditentukan oleh titik A dan garis lurus BC, akan menjadi || pl. H, titik B akan berada pada R h pada jarak Ob 1 dari titik O (mungkin terdapat kedudukan lain pada surih yang sama R h, tetapi di sisi lain O). Titik b 1 ialah ufuk. unjuran titik B selepas mengalihkannya ke kedudukan B 1 di angkasa, apabila satah yang ditakrifkan oleh titik A dan garis lurus BC telah mengambil kedudukan T.

Melukis (Gamb. 155, i) garis lurus b 1 1, kita memperoleh ufuk. unjuran garis lurus BC, sudah terletak || pl. H berada dalam satah yang sama dengan A. Dalam kedudukan ini, jarak dari a ke b 1 1 adalah sama dengan jarak l yang dikehendaki. Satah P, di mana unsur-unsur yang diberikan terletak, boleh digabungkan dengan segi empat sama. H (Rajah 155, j), memusing persegi. R di sekelilingnya adalah ufuk. jejak. Bergerak daripada menentukan satah dengan titik A dan garis lurus BC kepada menentukan garis lurus BC dan A-1 (Rajah 155, l), kita menemui kesan garis lurus ini dan melukis kesan P ϑ dan P h melaluinya. Kami sedang membina (Rajah 155, m) digabungkan dengan segi empat sama. Kedudukan H di hadapan. jejak - P ϑ0 .

Melalui titik a kita melukis ufuk. unjuran hadapan; gabungan hadapan melepasi titik 2 pada surih P h selari dengan P ϑ0. Titik A 0 - digabungkan dengan segi empat sama. H ialah kedudukan titik A. Begitu juga, kita dapati titik B 0. Matahari langsung masuk digabungkan dengan segi empat sama. Kedudukan H melalui titik B 0 dan titik m (jejak mendatar garis lurus).

Jarak dari titik A 0 ke garis lurus B 0 C 0 adalah sama dengan jarak l yang diperlukan.

Anda boleh menjalankan pembinaan yang ditunjukkan dengan mencari hanya satu jejak P h (Rajah 155, n dan o). Keseluruhan binaan adalah serupa dengan putaran mengelilingi mendatar (lihat Rajah 155, g, c, i): jejak P h ialah salah satu mendatar pl. R.

Daripada kaedah yang diberikan untuk menyelesaikan masalah ini, kaedah pilihan untuk mengubah lukisan adalah kaedah putaran di sekeliling mendatar atau hadapan.

158. Piramid SABC diberikan (Gamb. 156). Tentukan jarak:

a) dari bahagian atas B tapak ke sisi AC dengan kaedah pergerakan selari;

b) dari bahagian atas S piramid ke sisi BC dan AB tapak dengan berputar mengelilingi mengufuk;

c) dari S atas ke sisi AC tapak dengan menukar satah unjuran.

159. Sebuah prisma diberi (Gamb. 157). Tentukan jarak:

a) antara rusuk AD dan CF dengan menukar satah unjuran;

b) antara rusuk BE dan CF dengan putaran di sekeliling bahagian hadapan;

c) antara tepi AD dan BE dengan pergerakan selari.

160. Tentukan saiz sebenar sisi empat ABCD (Rajah 158) dengan menjajarkannya dengan segi empat sama. N. Gunakan hanya jejak mendatar satah.

161*. Tentukan jarak antara garis lurus silang AB dan CD (Rajah 159, a) dan bina unjuran sepunya yang berserenjang dengannya.

Penyelesaian. Jarak antara garisan lintasan diukur dengan segmen (MN) berserenjang dengan kedua-dua garisan (Rajah 159, b). Jelas sekali, jika salah satu garis lurus diletakkan berserenjang dengan mana-mana segi empat sama. T, kemudian

ruas MN berserenjang dengan kedua-dua garis akan selari dengan segi empat sama. Unjurannya pada pesawat ini akan memaparkan jarak yang diperlukan. Unjuran sudut tepat Menad MN n AB di pl. T juga ternyata sudut tegak antara m t n t dan a t b t , kerana salah satu sisi sudut tegak ialah AMN, iaitu MN. selari dengan segi empat sama T.

Dalam Rajah. 159, c dan d, jarak yang diperlukan l ditentukan dengan kaedah menukar satah unjuran. Mula-mula kami memperkenalkan segi empat sama tambahan. unjuran S, berserenjang dengan segi empat sama. H dan selari dengan CD garis lurus (Rajah 159, c). Kemudian kami memperkenalkan satu lagi persegi tambahan. T, berserenjang dengan segi empat sama. S dan berserenjang dengan CD garis lurus yang sama (Rajah 159, d). Kini anda boleh membina unjuran serenjang am dengan melukis m t n t dari titik c t (d t) berserenjang dengan unjuran a t b t. Titik m t dan n t ialah unjuran bagi titik persilangan serenjang ini dengan garis lurus AB dan CD. Menggunakan titik m t (Rajah 159, e) kita dapati m s pada a s b s: unjuran m s n s hendaklah selari dengan paksi T/S. Seterusnya, daripada m s dan n s kita dapati m dan n pada ab dan cd, dan daripada mereka m" dan n" pada a"b" dan c"d".

Dalam Rajah. 159, c menunjukkan penyelesaian kepada masalah ini menggunakan kaedah pergerakan selari. Mula-mula kita letakkan CD garis lurus selari dengan segi empat sama. V: unjuran c 1 d 1 || X. Seterusnya, kami menggerakkan garis lurus CD dan AB dari kedudukan C 1 D 1 dan A 1 B 1 ke kedudukan C 2 B 2 dan A 2 B 2 supaya C 2 D 2 berserenjang dengan H: unjuran c" 2 d" 2 ⊥ x. Segmen serenjang yang diperlukan terletak || pl. H, dan oleh itu m 2 n 2 menyatakan jarak l yang dikehendaki antara AB dan CD. Kami mencari kedudukan unjuran m" 2, dan n" 2 pada a" 2 b" 2 dan c" 2 d" 2, kemudian unjuran m 1 dan m" 1, n 1 dan n" 1, akhirnya, unjuran m" dan n ", m dan n.

162. Piramid SABC diberikan (Gamb. 160). Tentukan jarak antara tepi SB dan sisi AC tapak piramid dan bina unjuran serenjang sepunya kepada SB dan AC, menggunakan kaedah menukar satah unjuran.

163. Piramid SABC diberikan (Gamb. 161). Tentukan jarak antara tepi SH dan sisi BC tapak piramid dan bina unjuran serenjang sepunya kepada SX dan BC menggunakan kaedah sesaran selari.

164*. Tentukan jarak dari titik A ke satah dalam kes di mana satah ditentukan oleh: a) segi tiga BCD (Rajah 162, a); b) jejak (Rajah 162, b).

Penyelesaian. Seperti yang anda ketahui, jarak dari titik ke satah diukur dengan nilai serenjang yang dilukis dari titik ke satah. Jarak ini diunjurkan ke mana-mana kawasan. unjuran dalam saiz penuh, jika satah ini berserenjang dengan segi empat sama. unjuran (Rajah 162, c). Keadaan ini boleh dicapai dengan mengubah lukisan, contohnya, dengan menukar kawasan. unjuran. Mari kita perkenalkan pl. S (Rajah 16c, d), berserenjang dengan segi empat sama. segi tiga BCD. Untuk melakukan ini, kami berbelanja di dataran. segi tiga mendatar B-1 dan letakkan paksi unjuran S berserenjang dengan unjuran b-1 mengufuk. Kami membina unjuran titik dan satah - a s dan segmen c s d s. Jarak dari a s ke c s d s adalah sama dengan jarak l yang dikehendaki bagi titik ke satah.

Kepada Rio. 162, d kaedah pergerakan selari digunakan. Kami menggerakkan keseluruhan sistem sehingga satah mengufuk B-1 menjadi berserenjang dengan satah V: unjuran b 1 1 1 hendaklah berserenjang dengan paksi x. Dalam kedudukan ini, satah segi tiga akan menjadi unjuran hadapan, dan jarak l dari titik A ke sana ialah pl. V tanpa herotan.

Dalam Rajah. 162, b satah ditakrifkan oleh jejak. Kami memperkenalkan (Rajah 162, e) segi empat sama tambahan. S, berserenjang dengan segi empat sama. P: Paksi S/H berserenjang dengan P h. Selebihnya jelas daripada lukisan. Dalam Rajah. 162, g masalah itu diselesaikan menggunakan satu pergerakan: pl. P masuk ke kedudukan P 1, iaitu ia menjadi unjuran hadapan. Jejak. P 1h berserenjang dengan paksi x. Kami membina bahagian hadapan dalam kedudukan pesawat ini. surih mendatar ialah titik n" 1,n 1. Surih P 1ϑ akan melalui P 1x dan n 1. Jarak dari a" 1 hingga P 1ϑ adalah sama dengan jarak yang diperlukan l.

165. Piramid SABC diberikan (lihat Rajah 160). Tentukan jarak dari titik A ke tepi piramid SBC menggunakan kaedah pergerakan selari.

166. Piramid SABC diberikan (lihat Rajah 161). Tentukan ketinggian piramid menggunakan kaedah sesaran selari.

167*. Tentukan jarak antara garis silang AB dan CD (lihat Rajah 159,a) sebagai jarak antara satah selari yang dilukis melalui garisan ini.

Penyelesaian. Dalam Rajah. 163, dan satah P dan Q adalah selari antara satu sama lain, yang mana pl. Q dilukis melalui CD selari dengan AB, dan pl. P - melalui AB selari dengan segi empat sama. S. Jarak antara satah tersebut dianggap sebagai jarak antara garis lurus AB dan CD. Walau bagaimanapun, anda boleh mengehadkan diri anda untuk membina hanya satu satah, contohnya Q, selari dengan AB, dan kemudian tentukan jarak sekurang-kurangnya dari titik A ke satah ini.

Dalam Rajah. 163, c menunjukkan satah Q yang dilukis melalui CD selari dengan AB; dalam unjuran yang dijalankan dengan "e" || a"b" dan ce || ab. Menggunakan kaedah menukar pl. unjuran (Rajah 163, c), kami memperkenalkan segi empat sama tambahan. S, berserenjang dengan segi empat sama. V dan pada masa yang sama

berserenjang dengan segi empat sama S. Untuk melukis paksi S/V, ambil bahagian hadapan D-1 dalam satah ini. Sekarang kita lukis S/V berserenjang dengan d"1" (Rajah 163, c). Pl. Q akan digambarkan pada petak. S sebagai garis lurus dengan s d s. Selebihnya jelas daripada lukisan.

168. Piramid SABC diberikan (lihat Rajah 160). Tentukan jarak antara rusuk SC dan AB Gunakan: 1) kaedah menukar kawasan. unjuran, 2) kaedah pergerakan selari.

169*. Tentukan jarak antara satah selari, satu daripadanya ditakrifkan oleh garis lurus AB dan AC, dan satu lagi dengan garis lurus DE dan DF (Rajah 164, a). Juga lakukan pembinaan untuk kes apabila pesawat ditentukan oleh jejak (Rajah 164, b).

Penyelesaian. Jarak (Rajah 164, c) antara satah selari boleh ditentukan dengan melukis serenjang dari mana-mana titik satu satah ke satah lain. Dalam Rajah. 164, g segi empat sama tambahan telah diperkenalkan. S berserenjang dengan segi empat sama. H dan kepada kedua-dua satah yang diberi. Paksi S.H berserenjang dengan mengufuk. unjuran mendatar yang dilukis dalam salah satu satah. Kami membina unjuran satah ini dan satu titik dalam satah lain di segi empat sama. 5. Jarak titik d s ke garis lurus l s a s adalah sama dengan jarak yang diperlukan antara satah selari.

Dalam Rajah. 164, d pembinaan lain diberikan (mengikut kaedah pergerakan selari). Agar satah yang dinyatakan oleh garis bersilang AB dan AC berserenjang dengan segi empat sama. V, ufuk. Kami menetapkan unjuran mendatar satah ini berserenjang dengan paksi x: 1 1 2 1 ⊥ x. Jarak antara hadapan. unjuran d" 1 titik D dan garis lurus a" 1 2" 1 (unjuran hadapan satah) adalah sama dengan jarak yang diperlukan antara satah.

Dalam Rajah. 164, e menunjukkan pengenalan segi empat sama tambahan. S, berserenjang dengan kawasan H dan satah P dan Q yang diberi (paksi S/H berserenjang dengan jejak P h dan Q h). Kami membina jejak P s dan Q s. Jarak antara mereka (lihat Rajah 164, c) adalah sama dengan jarak l yang dikehendaki antara satah P dan Q.

Dalam Rajah. 164, g menunjukkan pergerakan satah P 1 n Q 1, ke kedudukan P 1 dan Q 1, apabila ufuk. surih ternyata berserenjang dengan paksi-x. Jarak antara barisan baru. jejak P 1ϑ dan Q 1ϑ adalah sama dengan jarak l yang diperlukan.

170. Diberi ABCDEFGH berpaip selari (Rajah 165). Tentukan jarak: a) antara tapak parallelepiped - l 1; b) antara muka ABFE dan DCGH - l 2; c) antara muka ADHE dan BCGF-l 3.

Artikel ini membincangkan topik tersebut « jarak dari satu titik ke garis », Membincangkan takrifan jarak dari titik ke garisan dengan contoh bergambar menggunakan kaedah koordinat. Setiap blok teori pada akhir telah menunjukkan contoh penyelesaian masalah yang serupa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jarak dari titik ke garisan didapati dengan menentukan jarak dari titik ke titik. Mari kita lihat lebih dekat.

Biarkan terdapat garis a dan titik M 1 yang tidak termasuk dalam garisan yang diberikan. Kami melukis garis lurus b melaluinya, terletak berserenjang dengan garis lurus a. Mari kita ambil titik persilangan garis sebagai H 1. Kami memperoleh bahawa M 1 H 1 ialah serenjang yang diturunkan dari titik M 1 ke garis lurus a.

Definisi 1

Jarak dari titik M 1 ke garis lurus a dipanggil jarak antara titik M 1 dan H 1.

Terdapat definisi yang merangkumi panjang serenjang.

Definisi 2

Jarak dari titik ke garis ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke garis tertentu.

Takrifan adalah setara. Pertimbangkan rajah di bawah.

Adalah diketahui bahawa jarak dari satu titik ke garis adalah yang terkecil dari semua yang mungkin. Mari kita lihat ini dengan contoh.

Jika kita mengambil titik Q terletak pada garis lurus a, yang tidak bertepatan dengan titik M 1, maka kita memperoleh bahawa segmen M 1 Q dipanggil segmen condong, diturunkan dari M 1 ke garis lurus a. Adalah perlu untuk menunjukkan bahawa serenjang dari titik M 1 adalah kurang daripada mana-mana garis condong lain yang dilukis dari titik ke garis lurus.

Untuk membuktikannya, pertimbangkan segi tiga M 1 Q 1 H 1, di mana M 1 Q 1 ialah hipotenus. Adalah diketahui bahawa panjangnya sentiasa lebih besar daripada panjang mana-mana kaki. Ini bermakna kita mempunyai M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Data awal untuk mencari dari titik ke garis membolehkan anda menggunakan beberapa kaedah penyelesaian: melalui teorem Pythagoras, penentuan sinus, kosinus, tangen sudut dan lain-lain. Kebanyakan tugasan jenis ini diselesaikan di sekolah semasa pelajaran geometri.

Apabila, apabila mencari jarak dari titik ke garis, adalah mungkin untuk memperkenalkan sistem koordinat segi empat tepat, maka kaedah koordinat digunakan. Dalam perenggan ini, kami akan mempertimbangkan dua kaedah utama untuk mencari jarak yang diperlukan dari titik tertentu.

Kaedah pertama melibatkan pencarian jarak sebagai serenjang yang dilukis dari M 1 ke garis lurus a. Kaedah kedua menggunakan persamaan normal garis lurus a untuk mencari jarak yang diperlukan.

Jika terdapat satu titik pada satah dengan koordinat M 1 (x 1 , y 1), terletak dalam sistem koordinat segi empat tepat, garis lurus a, dan anda perlu mencari jarak M 1 H 1, anda boleh membuat pengiraan dalam dua cara. Mari lihat mereka.

Cara pertama

Jika terdapat koordinat titik H 1 bersamaan dengan x 2, y 2, maka jarak dari titik ke garis dikira menggunakan koordinat dari formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2). - y 1) 2.

Sekarang mari kita teruskan untuk mencari koordinat titik H 1.

Adalah diketahui bahawa garis lurus dalam O x y sepadan dengan persamaan garis lurus pada satah. Mari kita ambil kaedah menentukan garis lurus a dengan menulis persamaan am persamaan garis lurus atau kecerunan. Kami menyusun persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berserenjang dengan garis lurus a. Mari kita nyatakan garis lurus dengan huruf b. H 1 ialah titik persilangan garis a dan b, yang bermaksud untuk menentukan koordinat yang anda perlukan untuk menggunakan artikel di mana kita bercakap tentang tentang koordinat titik persilangan dua garis.

Dapat dilihat bahawa algoritma untuk mencari jarak dari titik tertentu M 1 (x 1, y 1) ke garis lurus a dijalankan mengikut titik:

Definisi 3

• mencari persamaan am bagi garis lurus a, mempunyai bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, atau persamaan dengan pekali sudut, mempunyai bentuk y = k 1 x + b 1;
• mendapatkan persamaan am bagi garis b, mempunyai bentuk A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau persamaan dengan pekali sudut y = k 2 x + b 2, jika garis b bersilang dengan titik M 1 dan berserenjang dengan baris yang diberi a;
• penentuan koordinat x 2, y 2 bagi titik H 1, iaitu titik persilangan a dan b, untuk tujuan ini sistem diselesaikan persamaan linear A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• mengira jarak yang diperlukan dari titik ke garis menggunakan formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Cara kedua

Teorem boleh membantu menjawab soalan mencari jarak dari titik tertentu ke garis lurus tertentu pada satah.

Teorem

Sistem koordinat segi empat tepat mempunyai O x y mempunyai titik M 1 (x 1, y 1), dari mana garis lurus dilukis ke satah, diberikan oleh persamaan normal satah, mempunyai bentuk cos α x + cos β y - p = 0, sama dengan Nilai mutlak yang diperoleh di sebelah kiri persamaan normal garis, dikira pada x = x 1, y = y 1, bermakna M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - hlm.

Bukti

Garis a sepadan dengan persamaan normal satah, mempunyai bentuk cos α x + cos β y - p = 0, maka n → = (cos α, cos β) dianggap sebagai vektor normal garis a pada jarak dari asal kepada garis a dengan unit p . Ia adalah perlu untuk memaparkan semua data dalam rajah, tambah satu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1), di mana vektor jejari titik M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Ia adalah perlu untuk melukis garis lurus dari satu titik ke garis lurus, yang kita nyatakan sebagai M 1 H 1 . Adalah perlu untuk menunjukkan unjuran M 2 dan H 2 bagi titik M 1 dan H 2 ke atas garis lurus yang melalui titik O dengan vektor arah dalam bentuk n → = (cos α, cos β), dan menandakan unjuran berangka vektor sebagai O M 1 → = (x 1, y 1) ke arah n → = (cos α , cos β) sebagai n p n → O M 1 → .

Variasi bergantung pada lokasi titik M1 itu sendiri. Mari lihat rajah di bawah.

Kami menetapkan keputusan menggunakan formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Kemudian kita bawa kesamaan kepada bentuk ini M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p untuk mendapatkan n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Hasil darab skalar bagi vektor menghasilkan formula berubah bentuk n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , iaitu hasil darab dalam bentuk koordinat daripada bentuk n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ini bermakna kita mendapat bahawa n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ia berikutan bahawa M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teorem terbukti.

Kami mendapati bahawa untuk mencari jarak dari titik M 1 (x 1 , y 1) ke garis lurus a pada satah, anda perlu melakukan beberapa tindakan:

Definisi 4

• mendapatkan persamaan normal garis lurus a cos α · x + cos β · y - p = 0, dengan syarat ia tidak berada dalam tugas;
• pengiraan ungkapan cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, di mana nilai yang terhasil mengambil M 1 H 1.

Mari gunakan kaedah ini untuk menyelesaikan masalah dengan mencari jarak dari titik ke satah.

Contoh 1

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 1, 2) ke garis lurus 4 x - 3 y + 35 = 0.

Penyelesaian

Mari gunakan kaedah pertama untuk menyelesaikannya.

Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mencari persamaan umum garis b, yang melalui titik tertentu M 1 (- 1, 2), berserenjang dengan garis 4 x - 3 y + 35 = 0. Daripada keadaan itu jelas bahawa garis b adalah berserenjang dengan garis a, maka vektor arahnya mempunyai koordinat sama dengan (4, - 3). Oleh itu, kita mempunyai peluang untuk menuliskan persamaan kanonik garis b pada satah, kerana terdapat koordinat titik M 1, yang tergolong dalam garis b. Mari tentukan koordinat bagi vektor arah bagi garis lurus b. Kami mendapat bahawa x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Persamaan kanonik yang terhasil mesti ditukar kepada persamaan umum. Kemudian kita mendapat itu

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Mari kita cari koordinat titik persilangan garis, yang akan kita ambil sebagai sebutan H 1. Transformasi kelihatan seperti ini:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Daripada apa yang ditulis di atas, kita mempunyai bahawa koordinat titik H 1 adalah sama dengan (- 5; 5).

Ia adalah perlu untuk mengira jarak dari titik M 1 ke garis lurus a. Kami mempunyai koordinat titik M 1 (- 1, 2) dan H 1 (- 5, 5), kemudian kami menggantikannya ke dalam formula untuk mencari jarak dan mendapatkannya

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Penyelesaian kedua.

Untuk menyelesaikan dengan cara lain, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan normal garis. Kami mengira nilai faktor penormalan dan darab kedua-dua belah persamaan 4 x - 3 y + 35 = 0. Dari sini kita dapati bahawa faktor penormalan adalah sama dengan - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, dan persamaan normal adalah dalam bentuk - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Menurut algoritma pengiraan, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan normal garis dan mengiranya dengan nilai x = - 1, y = 2. Kemudian kita mendapat itu

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Daripada ini kita perolehi bahawa jarak dari titik M 1 (- 1, 2) ke garis lurus yang diberi 4 x - 3 y + 35 = 0 mempunyai nilai - 5 = 5.

Jawapan: 5 .

Ia boleh dilihat bahawa dalam kaedah ini adalah penting untuk menggunakan persamaan normal garis, kerana kaedah ini adalah yang terpendek. Tetapi kaedah pertama adalah mudah kerana ia konsisten dan logik, walaupun ia mempunyai lebih banyak mata pengiraan.

Contoh 2

Pada satah itu terdapat sistem koordinat segi empat tepat O x y dengan titik M 1 (8, 0) dan garis lurus y = 1 2 x + 1. Cari jarak dari titik tertentu ke garis lurus.

Penyelesaian

Penyelesaian dengan cara pertama melibatkan pengurangan persamaan yang diberikan dengan cerun kepada persamaan Pandangan umum. Untuk memudahkan, anda boleh melakukannya secara berbeza.

Jika hasil darab pekali sudut garis lurus berserenjang mempunyai nilai - 1, maka cerun garis berserenjang dengan yang diberi y = 1 2 x + 1 mempunyai nilai 2. Sekarang kita mendapat persamaan garis yang melalui titik dengan koordinat M 1 (8, 0). Kami mempunyai y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Kami meneruskan untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu titik persilangan y = - 2 x + 16 dan y = 1 2 x + 1. Kami menyusun sistem persamaan dan mendapatkan:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Ia berikutan bahawa jarak dari titik dengan koordinat M 1 (8, 0) ke garis lurus y = 1 2 x + 1 adalah sama dengan jarak dari titik mula dan titik akhir dengan koordinat M 1 (8, 0) dan H 1 (6, 4) . Mari kita mengira dan mendapati bahawa M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Penyelesaian dalam cara kedua ialah bergerak dari persamaan dengan pekali ke bentuk normalnya. Iaitu, kita mendapat y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, maka nilai faktor penormalan ialah - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Ia berikutan bahawa persamaan normal garis itu mengambil bentuk - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Mari kita laksanakan pengiraan dari titik M 1 8, 0 kepada garis bentuk - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Kita mendapatkan:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Jawapan: 2 5 .

Contoh 3

Ia adalah perlu untuk mengira jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 2, 4) ke garisan 2 x - 3 = 0 dan y + 1 = 0.

Penyelesaian

Kami memperoleh persamaan bentuk normal garis lurus 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Kemudian kita meneruskan pengiraan jarak dari titik M 1 - 2, 4 ke garis lurus x - 3 2 = 0. Kita mendapatkan:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Persamaan garis lurus y + 1 = 0 mempunyai faktor penormalan dengan nilai sama dengan -1. Ini bermakna persamaan akan mengambil bentuk - y - 1 = 0. Kami meneruskan pengiraan jarak dari titik M 1 (- 2, 4) ke garis lurus - y - 1 = 0. Kami mendapati bahawa ia adalah sama dengan - 4 - 1 = 5.

Jawapan: 3 1 2 dan 5.

Mari kita lihat lebih dekat mencari jarak dari titik tertentu pada pesawat ke paksi koordinat O x dan O y.

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, paksi O y mempunyai persamaan garis lurus, yang tidak lengkap dan mempunyai bentuk x = 0, dan O x - y = 0. Persamaan adalah normal untuk paksi koordinat, maka perlu mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 x 1, y 1 ke garisan. Ini dilakukan berdasarkan formula M 1 H 1 = x 1 dan M 1 H 1 = y 1. Mari lihat rajah di bawah.

Contoh 4

Cari jarak dari titik M 1 (6, - 7) ke garis koordinat yang terletak dalam satah O x y.

Penyelesaian

Oleh kerana persamaan y = 0 berkaitan dengan garis O x, kita boleh mencari jarak dari M 1 s koordinat yang diberikan, ke garis lurus ini menggunakan formula. Kami mendapat bahawa 6 = 6.

Oleh kerana persamaan x = 0 merujuk kepada garis lurus O y, anda boleh mencari jarak dari M 1 ke garis lurus ini menggunakan formula. Kemudian kita mendapat bahawa - 7 = 7.

Jawapan: jarak dari M 1 ke O x mempunyai nilai 6, dan dari M 1 ke O y mempunyai nilai 7.

Apabila dalam ruang tiga dimensi kita mempunyai titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1), adalah perlu untuk mencari jarak dari titik A ke garis lurus a.

Mari kita pertimbangkan dua kaedah yang membolehkan anda mengira jarak dari satu titik ke garis lurus yang terletak di angkasa. Kes pertama mempertimbangkan jarak dari titik M 1 ke garis, di mana titik pada garis dipanggil H 1 dan merupakan tapak serenjang yang dilukis dari titik M 1 ke garis a. Kes kedua menunjukkan bahawa titik satah ini mesti dicari sebagai ketinggian segi empat selari.

Cara pertama

Daripada definisi kita mempunyai bahawa jarak dari titik M 1 yang terletak pada garis lurus a ialah panjang serenjang M 1 H 1, maka kita memperolehi bahawa dengan koordinat titik H 1 yang ditemui, maka kita mencari jarak antara M 1 ( x 1, y 1, z 1 ) dan H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , berdasarkan formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Kami dapati bahawa keseluruhan penyelesaian menuju ke arah mencari koordinat tapak serenjang yang dilukis dari M 1 ke garis lurus a. Ini dilakukan seperti berikut: H 1 ialah titik di mana garis lurus a bersilang dengan satah yang melalui titik yang diberikan.

Ini bermakna bahawa algoritma untuk menentukan jarak dari titik M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garisan a dalam ruang membayangkan beberapa titik:

Definisi 5

• merangka persamaan satah χ sebagai persamaan satah yang melalui titik tertentu yang terletak berserenjang dengan garis;
• penentuan koordinat (x 2, y 2, z 2) kepunyaan titik H 1, iaitu titik persilangan garis lurus a dan satah χ;
• mengira jarak dari titik ke garis menggunakan formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Cara kedua

Daripada keadaan kita mempunyai garis lurus a, maka kita boleh menentukan vektor arah a → = a x, a y, a z dengan koordinat x 3, y 3, z 3 dan titik tertentu M 3 kepunyaan lurus a. Jika anda mempunyai koordinat titik M 1 (x 1, y 1) dan M 3 x 3, y 3, z 3, anda boleh mengira M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Kita harus mengetepikan vektor a → = a x , a y , a z dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 dari titik M 3 , sambungkannya dan dapatkan rajah selari . M 1 H 1 ialah ketinggian segi empat selari.

Mari lihat rajah di bawah.

Kami mempunyai ketinggian M 1 H 1 adalah jarak yang diperlukan, maka perlu mencarinya menggunakan formula. Iaitu, kami sedang mencari M 1 H 1.

Mari kita nyatakan luas segi empat selari dengan huruf S, didapati dengan formula menggunakan vektor a → = (a x, a y, a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Formula luas ialah S = a → × M 3 M 1 → . Juga, luas rajah adalah sama dengan hasil darab panjang sisi dan ketinggiannya, kita dapat S = a → · M 1 H 1 dengan a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, yang mana ialah panjang vektor a → = (a x, a y, a z), yang sama dengan sisi segiempat selari. Ini bermakna M 1 H 1 ialah jarak dari titik ke garisan. Ia didapati menggunakan formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Untuk mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garis lurus a dalam ruang, anda perlu melakukan beberapa langkah algoritma:

Definisi 6

• penentuan vektor arah garis lurus a - a → = (a x, a y, a z);
• mengira panjang vektor arah a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• mendapatkan koordinat x 3 , y 3 , z 3 kepunyaan titik M 3 yang terletak pada garis lurus a;
• mengira koordinat bagi vektor M 3 M 1 → ;
• mencari hasil darab vektor bagi vektor a → (a x , a y , a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 sebagai a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 untuk mendapatkan panjang menggunakan formula a → × M 3 M 1 → ;
• mengira jarak dari satu titik ke garis M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Menyelesaikan masalah mencari jarak dari titik tertentu ke garis tertentu dalam ruang

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 2, - 4, - 1 ke garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Penyelesaian

Kaedah pertama bermula dengan menulis persamaan satah χ melalui M 1 dan berserenjang dengan titik tertentu. Kami mendapat ungkapan seperti:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu titik persilangan dengan satah χ kepada garis yang ditentukan oleh keadaan. Anda harus beralih dari pandangan kanonik kepada yang bersilang. Kemudian kita memperoleh sistem persamaan bentuk:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Adalah perlu untuk mengira sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 dengan kaedah Cramer, maka kita dapati bahawa:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0

Dari sini kita mempunyai H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Kaedah kedua mesti bermula dengan mencari koordinat dalam persamaan kanonik. Untuk melakukan ini, anda perlu memberi perhatian kepada penyebut pecahan. Maka a → = 2, - 1, 5 ialah vektor arah bagi garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Ia adalah perlu untuk mengira panjang menggunakan formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jelas bahawa garis lurus x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 bersilang dengan titik M 3 (- 1 , 0 , - 5), maka kita mempunyai bahawa vektor dengan asalan M 3 (- 1 , 0 , - 5) dan hujungnya pada titik M 1 2, - 4, - 1 ialah M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Cari hasil darab vektor a → = (2, - 1, 5) dan M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Kami mendapat ungkapan bentuk a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

kita dapati bahawa panjang hasil darab vektor adalah sama dengan a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Kami mempunyai semua data untuk menggunakan formula untuk mengira jarak dari titik untuk garis lurus, jadi mari kita gunakannya dan dapatkan:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Jawapan: 11 .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Universiti Teknikal Marin Negeri St. Petersburg

Jabatan Grafik Komputer dan Sokongan Maklumat

PELAJARAN 3

TUGASAN AMALI Bil 3

Menentukan jarak dari satu titik ke garis lurus.

Anda boleh menentukan jarak antara titik dan garis lurus dengan melakukan pembinaan berikut (lihat Rajah 1):

· dari titik DENGAN turunkan serenjang kepada garis lurus A;

· menandakan satu titik KEPADA persilangan serenjang dengan garis lurus;

ukur panjang segmen KS, yang permulaannya ialah titik tertentu, dan penghujungnya ialah titik persilangan yang ditanda.

Rajah 1. Jarak dari titik ke garis.

Asas untuk menyelesaikan masalah jenis ini ialah peraturan unjuran sudut tepat: sudut tegak diunjurkan tanpa herotan jika sekurang-kurangnya satu sisinya selari dengan satah unjuran(iaitu menduduki jawatan peribadi). Mari kita mulakan dengan hanya kes sedemikian dan pertimbangkan pembinaan untuk menentukan jarak dari satu titik DENGAN kepada segmen garis lurus AB.

Tiada contoh ujian dalam tugasan ini dan pilihan untuk menyelesaikan tugasan individu diberikan jadual1 dan jadual2. Penyelesaian kepada masalah diterangkan di bawah, dan pembinaan yang sepadan ditunjukkan dalam Rajah 2.

1. Menentukan jarak dari satu titik ke garis tertentu.

Pertama, unjuran titik dan segmen dibina. Unjuran A1B1 selari dengan paksi X. Ini bermakna bahawa segmen AB selari dengan kapal terbang P2. Jika dari titik DENGAN lukis berserenjang dengan AB, kemudian sudut tepat diunjurkan tanpa herotan ke atas satah P2. Ini membolehkan anda melukis serenjang dari satu titik C2 kepada unjuran A2B2.

Menu lungsur turun Segmen Lukisan (Lukis- Talian) . Letakkan kursor pada titik C2 dan menetapkannya sebagai titik pertama segmen. Gerakkan kursor ke arah normal ke segmen A2B2 dan betulkan titik kedua padanya pada saat pembayang muncul Biasa (Serenjang) . Tandakan titik yang dibina K2. Dayakan mod ORTHO(ORTHO) , dan dari sudut K2 lukis garis sambungan menegak sehingga ia bersilang dengan unjuran A1 B1. Tentukan titik persilangan dengan K1. titik KEPADA, berbaring di segmen AB, ialah titik persilangan bagi serenjang yang dilukis dari titik itu DENGAN, dengan segmen AB. Oleh itu, segmen KS ialah jarak yang diperlukan dari titik ke garisan.

Daripada pembinaan adalah jelas bahawa segmen KS menduduki kedudukan umum dan, oleh itu, unjurannya diputarbelitkan. Apabila bercakap tentang jarak, kita selalu maksudkan nilai sebenar segmen, menyatakan jarak. Oleh itu, kita perlu mencari nilai sebenar segmen tersebut KS, dengan memutarkannya ke kedudukan tertentu, contohnya, KS|| P1. Hasil binaan ditunjukkan dalam Rajah 2.

Daripada binaan yang ditunjukkan dalam Rajah 2, kita boleh membuat kesimpulan: kedudukan garis tertentu (segmen adalah selari P1 atau P2) membolehkan anda membina unjuran jarak dari titik ke garis dengan cepat, tetapi ia diherotkan.

Rajah.2. Menentukan jarak dari titik ke garis tertentu.

2. Menentukan jarak dari satu titik ke garis umum.

Segmen tidak selalu menduduki kedudukan tertentu dalam keadaan awal. Dengan kedudukan awal umum, pembinaan berikut dilakukan untuk menentukan jarak dari titik ke garis:

a) menggunakan kaedah transformasi lukisan, tukar segmen daripada kedudukan umum kepada satu tertentu - ini akan membolehkan membina unjuran jarak (herot);

b) menggunakan kaedah itu sekali lagi, tukarkan segmen yang sepadan dengan jarak yang diperlukan ke kedudukan tertentu - kami memperoleh unjuran jarak dalam magnitud yang sama dengan yang sebenar.

Pertimbangkan urutan binaan untuk menentukan jarak dari suatu titik A kepada segmen dalam kedudukan umum matahari(Gamb. 3).

Pada putaran pertama adalah perlu untuk mendapatkan kedudukan tertentu segmen DALAMC. Untuk melakukan ini dalam lapisan TMR perlu menyambung titik PADA 2, C2 Dan A2. Menggunakan arahan Tukar-Putar (Ubah suai – Putar) segi tiga В2С2А2 berputar mengelilingi satu titik C2 kepada kedudukan di mana unjuran baru B2*C2 akan diletakkan secara mendatar (titik DENGAN tidak bergerak dan, oleh itu, unjuran baharunya bertepatan dengan unjuran asal dan penamaan C2* Dan C1* mungkin tidak ditunjukkan pada lukisan). Hasilnya, unjuran baharu segmen akan diperolehi B2*C2 dan mata: A2*. Seterusnya dari mata A2* Dan PADA 2* yang menegak dijalankan, dan dari mata DALAM 1 Dan A1 talian komunikasi mendatar. Persilangan garisan yang sepadan akan menentukan kedudukan titik unjuran mendatar baharu: segmen B1*C1 dan titik A1*.

Dalam kedudukan tertentu yang terhasil, kita boleh membina unjuran jarak untuk ini: dari titik A1* biasa ke B1*C1. Titik persimpangan antara mereka adalah K1*. Garis sambungan menegak dilukis dari titik ini sehingga ia bersilang dengan unjuran B2*C2. Satu titik ditanda K2*. Hasilnya, unjuran segmen diperoleh AK, iaitu jarak yang diperlukan dari titik A kepada segmen garis lurus matahari.

Seterusnya, adalah perlu untuk membina unjuran jarak dalam keadaan awal. Untuk melakukan ini dari sudut K1* ia adalah mudah untuk melukis garisan mendatar sehingga ia bersilang dengan unjuran В1С1 dan tandakan titik persimpangan K1. Kemudian satu titik dibina K2 pada unjuran hadapan segmen dan unjuran dijalankan A1K1 Dan A2K2. Hasil daripada pembinaan, unjuran jarak diperolehi, tetapi kedua-duanya dalam kedudukan awal dan dalam kedudukan separa baru segmen Matahari, segmen garisan AK menduduki kedudukan umum, dan ini membawa kepada fakta bahawa semua unjurannya diputarbelitkan.

Pada putaran kedua adalah perlu untuk memutarkan segmen AK ke kedudukan tertentu, yang akan membolehkan kita menentukan nilai sebenar jarak - unjuran A2*K2**. Keputusan semua pembinaan ditunjukkan dalam Rajah 3.

TUGASAN No 3-1. DENGAN kepada garis lurus kedudukan tertentu yang ditentukan oleh segmen AB. Berikan jawapan dalam mm (Jadual 1).Tanggalkan kanta unjuran

Jadual 1

TUGASAN No 3-2. Cari jarak sebenar dari satu titik M kepada garis lurus dalam kedudukan umum yang diberikan oleh segmen ED. Berikan jawapan dalam mm (jadual 2).

jadual 2

Menyemak dan lulus TUGASAN yang telah siap No. 3.

Untuk mengira jarak dari titik tertentu M ke garis lurus L, anda boleh menggunakan cara yang berbeza. Sebagai contoh, jika kita mengambil titik sewenang-wenangnya M 0 pada garis L, maka kita boleh menentukan unjuran ortogon vektor M 0 M ke arah vektor normal garis. Unjuran ini, sehingga tanda, adalah jarak yang diperlukan.

Cara lain untuk mengira jarak dari titik ke garis adalah berdasarkan penggunaan persamaan normal garis. Biarkan garis lurus L diberikan oleh persamaan normal (4.23). Jika titik M(x; y) tidak terletak pada garis L, maka unjuran ortogon pr n OM vektor jejari titik M ke arah unit vektor normal n garis lurus L adalah sama dengan hasil skalar bagi vektor OM dan n, i.e. x cosφ + y sinφ. Unjuran yang sama adalah sama dengan jumlah jarak p dari asal ke garis dan nilai tertentu δ (Rajah 4.10). Nilai δ oleh nilai mutlak sama dengan jarak dari titik M ke garis lurus. Dalam kes ini, δ > 0 jika titik M dan O terletak pada sisi bertentangan garis lurus, dan δ ialah sisihan titik M dari garis lurus.

Sisihan δ untuk titik M(x; y) daripada garis lurus L dikira sebagai perbezaan antara unjuran pr n OM dan jarak p dari asal ke garis lurus (lihat Rajah 4.10), i.e. δ = x cosφ + y sinφ - p.

Menggunakan formula ini, anda juga boleh mendapatkan jarak p(M, L) dari titik M(x; y) ke garis lurus L, diberikan oleh persamaan normal: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Dua sudut bersebelahan menambah sehingga 180°

Memandangkan prosedur penukaran di atas persamaan am garis ke dalam persamaan normalnya, kita memperoleh formula untuk jarak dari titik M(x; y) ke garis lurus L, diberikan oleh persamaan amnya:

Contoh 4.8. Mari kita cari persamaan am untuk ketinggian AH, median AM dan pembahagi dua AD bagi segi tiga ABC, yang muncul dari bucu A. Koordinat bucu segitiga itu diketahui: A(-1;- 3), B(7; 3) ), C(1;7).

Pertama sekali, mari kita jelaskan keadaan contoh: dengan persamaan yang ditunjukkan kita maksudkan persamaan garis L AH, L AM dan L AD, di mana ketinggian AH, median AM dan pembahagi dua AD bagi segitiga yang ditentukan terletak. , masing-masing (Rajah 4.11).

Untuk mencari persamaan garis lurus L AM, kita menggunakan fakta bahawa median membahagikan sisi bertentangan segitiga itu kepada separuh. Setelah menemui koordinat (x 1 ; y 1) tengah sisi BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, kita tulis persamaan untuk L AM dalam borang persamaan garis yang melalui dua titik,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Selepas penjelmaan kita memperoleh persamaan am bagi median 8x - 5y - 7 = 0./p>

Untuk mencari persamaan bagi ketinggian L AH, kita menggunakan fakta bahawa ketinggian adalah berserenjang dengan sisi bertentangan segitiga. Oleh itu, vektor BC adalah berserenjang dengan ketinggian AH dan boleh dipilih sebagai vektor normal garis lurus L AH. Persamaan garis ini diperoleh daripada (4.15), menggantikan koordinat titik A dan vektor normal garis L AH:

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Selepas penjelmaan, kita memperoleh persamaan ketinggian am 3x - 2y - 3 = 0.

Untuk mencari persamaan pembahagi dua L AD, kita menggunakan fakta bahawa pembahagi dua AD tergolong dalam set titik N(x; y) yang berjarak sama dari garis L AB dan L AC. Persamaan set ini mempunyai bentuk

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

dan ia mentakrifkan dua garisan yang melalui titik A dan membahagikan sudut antara garis L AB dan L AC kepada separuh. Dengan menggunakan persamaan garis yang melalui dua titik, kita dapati persamaan umum garis L AB dan L AC:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

Selepas penjelmaan, kita memperoleh L AB: 3x - 4y - 9 = 0, L AC: 5x - y + 2 = 0. Menggunakan formula (4.27) untuk mengira jarak dari titik ke garis, kita tulis Persamaan (4.28) dalam borang

Mari kita mengubahnya dengan mengembangkan modul:

Hasilnya, kita memperoleh persamaan umum dua garis

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Untuk memilih persamaan pembahagi dua daripadanya, kita mengambil kira bahawa bucu B dan C segi tiga terletak pada sisi bertentangan garis yang dikehendaki dan oleh itu menggantikan koordinatnya ke dalam sebelah kiri persamaan am garis lurus L AD harus memberikan nilai dengan tanda yang berbeza. Kami memilih persamaan yang sepadan dengan tanda atas, i.e.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

Menggantikan koordinat titik B ke sebelah kiri persamaan ini memberikan nilai negatif, kerana

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

dan tanda yang sama diperolehi untuk koordinat titik C, kerana

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Akibatnya, bucu B dan C terletak pada sisi yang sama garis dengan persamaan yang dipilih, dan oleh itu persamaan pembahagi dua adalah

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

Jarak dari titik ke garis ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik ke garis. Dalam geometri deskriptif, ia ditentukan secara grafik menggunakan algoritma yang diberikan di bawah.

Algoritma

1. Garis lurus digerakkan ke kedudukan di mana ia akan selari dengan mana-mana satah unjuran. Untuk tujuan ini, kaedah mengubah unjuran ortogon digunakan.
2. Dari satu titik serenjang dilukis ke garisan. Pembinaan ini berdasarkan teorem tentang unjuran sudut tegak.
3. Panjang serenjang ditentukan dengan mengubah unjurannya atau menggunakan kaedah segi tiga tepat.

Rajah berikut menunjukkan lukisan kompleks titik M dan garis b ditakrifkan oleh CD segmen. Anda perlu mencari jarak antara mereka.

Menurut algoritma kami, perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mengalihkan garisan ke kedudukan selari dengan satah unjuran. Adalah penting untuk memahami bahawa selepas transformasi, jarak sebenar antara titik dan garis tidak sepatutnya berubah. Itulah sebabnya adalah mudah di sini untuk menggunakan kaedah penggantian pesawat, yang tidak melibatkan angka bergerak di angkasa.

Keputusan peringkat pertama pembinaan ditunjukkan di bawah. Rajah menunjukkan bagaimana satah hadapan tambahan P 4 diperkenalkan selari dengan b. DALAM sistem baru(P 1, P 4) titik C"" 1, D"" 1, M"" 1 berada pada jarak yang sama dari paksi X 1 dengan C"", D"", M"" dari paksi X.

Menjalankan bahagian kedua algoritma, dari M"" 1 kita menurunkan serenjang M"" 1 N"" 1 ke garis lurus b"" 1, kerana sudut tepat MND antara b dan MN diunjurkan ke satah P 4 dalam saiz penuh. Menggunakan talian komunikasi, kami menentukan kedudukan titik N" dan menjalankan unjuran M"N" segmen MN.

Pada peringkat akhir, anda perlu menentukan saiz segmen MN daripada unjurannya M"N" dan M"" 1 N"" 1. Untuk ini kami sedang membina segi tiga tepat M"" 1 N"" 1 N 0, yang kakinya N"" 1 N 0 adalah sama dengan beza (Y M 1 – Y N 1) jarak titik M" dan N" dari paksi X 1. Panjang hipotenus M"" 1 N 0 segitiga M"" 1 N"" 1 N 0 sepadan dengan jarak yang dikehendaki dari M ke b.

Penyelesaian kedua

• Selari dengan CD, kami memperkenalkan pesawat hadapan P 4 yang baharu. Ia bersilang P 1 sepanjang paksi X 1, dan X 1 ∥C"D". Selaras dengan kaedah menggantikan satah, kami menentukan unjuran titik C"" 1, D"" 1 dan M"" 1, seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
• Serenjang dengan C"" 1 D"" 1 kita membina tambahan satah mendatar P 5 ke atas garis lurus b diunjurkan ke titik C" 2 = b" 2.
• Jarak antara titik M dan garis b ditentukan oleh panjang segmen M" 2 C" 2, ditunjukkan dengan warna merah.

Tugasan serupa: