Luas permukaan sisi piramid arbitrari adalah sama dengan jumlah luas muka sisinya. Adalah masuk akal untuk memberikan formula khas untuk menyatakan kawasan ini dalam kes piramid biasa. Oleh itu, marilah kita diberi piramid sekata, di pangkalnya terletak sebuah n-gon sekata dengan sisi sama dengan a. Biarkan h ialah ketinggian muka sisi, juga dipanggil apotema piramid. Luas satu muka sebelah ialah 1/2ah, dan keseluruhannya permukaan sisi piramid mempunyai luas bersamaan dengan n/2ha Memandangkan na ialah perimeter tapak piramid, kita boleh menulis formula yang ditemui dalam bentuk:

Luas permukaan sisi piramid sekata adalah sama dengan hasil darab apotemanya dan separuh perimeter tapak.

Berkenaan jumlah luas permukaan, maka kami hanya menambah kawasan pangkalan ke sisi sebelah.

Sfera dan sfera yang ditulis dan dihadkan. Perlu diingatkan bahawa pusat sfera yang tertulis dalam piramid terletak di persimpangan satah pembahagi dua sudut dihedral dalaman piramid. Pusat sfera yang diterangkan berhampiran piramid terletak pada persimpangan satah yang melalui titik tengah tepi piramid dan berserenjang dengannya.

Piramid terpotong. Jika piramid dipotong oleh satah selari dengan tapaknya, maka bahagian yang tertutup di antara satah pemotong dan tapak dipanggil piramid terpotong. Rajah menunjukkan piramid yang membuang bahagiannya yang terletak di atas satah pemotongan, kita mendapat piramid terpotong. Jelas sekali bahawa piramid kecil yang dibuang adalah homotetik dengan piramid besar dengan pusat homotheti di puncak. Pekali kesamaan adalah sama dengan nisbah ketinggian: k=h 2 /j 1, atau tepi sisi, atau lain-lain yang sepadan dimensi linear kedua-dua piramid. Kita tahu bahawa kawasan rajah yang serupa adalah berkaitan seperti segi empat sama dimensi linear; jadi kawasan tapak kedua-dua piramid (iaitu luas tapak piramid terpotong) adalah berkaitan sebagai

Di sini S 1 ialah luas tapak bawah, dan S 2 ialah luas tapak atas piramid terpotong. Permukaan sisi piramid adalah dalam hubungan yang sama. Peraturan serupa wujud untuk jilid.

Jilid badan yang serupa adalah berkaitan seperti kiub dimensi linear mereka; sebagai contoh, isipadu piramid berkaitan sebagai hasil darab ketinggiannya dan luas tapak, dari mana peraturan kami diperolehi dengan segera. Ia adalah sifat umum sepenuhnya dan secara langsung mengikuti fakta bahawa isipadu sentiasa mempunyai dimensi kuasa ketiga panjang. Menggunakan peraturan ini, kami memperoleh formula yang menyatakan isipadu piramid terpotong melalui ketinggian dan luas tapak.

Biarkan piramid terpotong dengan ketinggian h dan luas tapak S 1 dan S 2 diberi. Jika kita membayangkan bahawa ia dilanjutkan kepada piramid penuh, maka pekali persamaan antara piramid penuh dan piramid kecil boleh didapati dengan mudah sebagai punca nisbah S 2 /S 1 . Ketinggian piramid terpotong dinyatakan sebagai h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Sekarang kita ada untuk isipadu piramid terpotong (V 1 dan V 2 menandakan isipadu piramid penuh dan kecil)

formula untuk isipadu piramid terpotong

Mari kita terbitkan formula untuk luas S permukaan sisi piramid terpotong sekata melalui perimeter P 1 dan P 2 tapak dan panjang apotema a. Kami menaakul dengan cara yang sama seperti ketika memperoleh formula untuk volum. Melengkapkan piramid bahagian atas, kita mempunyai P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1, di mana k ialah pekali persamaan, P 1 dan P 2 ialah perimeter tapak, dan S 1 dan S 2 ialah kawasan permukaan sisi bagi keseluruhan piramid yang terhasil dan bahagian atasnya, masing-masing. Untuk permukaan sisi kita dapati (a 1 dan 2 ialah apotema bagi piramid, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula untuk luas permukaan sisi piramid terpotong biasa

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permintaan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentangnya tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam perbicaraan, dan/atau berdasarkan permintaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Silinder ialah jasad geometri yang dibatasi oleh dua satah selari dan permukaan silinder. Dalam artikel itu kita akan bercakap tentang cara mencari luas silinder dan, menggunakan formula, kita akan menyelesaikan beberapa masalah sebagai contoh.

Silinder mempunyai tiga permukaan: bahagian atas, tapak dan permukaan sisi.

Bahagian atas dan tapak silinder adalah bulatan dan mudah dikenal pasti.

Diketahui bahawa luas bulatan adalah sama dengan πr 2. Oleh itu, formula untuk luas dua bulatan (bahagian atas dan tapak silinder) ialah πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Ketiga, permukaan sisi silinder, ialah dinding melengkung silinder. Untuk membayangkan permukaan ini dengan lebih baik, mari cuba mengubahnya untuk mendapatkan bentuk yang boleh dikenali. Bayangkan bahawa silinder itu biasa timah, yang tidak mempunyai penutup atas atau bawah. Mari buat potongan menegak pada dinding sisi dari atas ke bawah tin (Langkah 1 dalam rajah) dan cuba buka (luruskan) rajah yang terhasil sebanyak mungkin (Langkah 2).

Selepas balang yang dihasilkan dibuka sepenuhnya, kita akan melihat angka yang biasa (Langkah 3), ini adalah segi empat tepat. Luas segi empat tepat mudah dikira. Tetapi sebelum itu, mari kita kembali seketika kepada silinder asal. Puncak silinder asal ialah bulatan, dan kita tahu bahawa lilitan dikira dengan formula: L = 2πr. Ia ditandakan dengan warna merah dalam rajah.

Apabila dinding sisi silinder dibuka sepenuhnya, kita melihat bahawa lilitan menjadi panjang segi empat tepat yang terhasil. Sisi segi empat tepat ini ialah lilitan (L = 2πr) dan ketinggian silinder (h). Luas segi empat tepat adalah sama dengan hasil darab sisinya - S = panjang x lebar = L x h = 2πr x h = 2πrh. Akibatnya, kami menerima formula untuk mengira luas permukaan sisi silinder.

Formula untuk luas permukaan sisi silinder
sebelah S = 2πrh

Jumlah luas permukaan silinder

Akhirnya, jika kita menambah luas ketiga-tiga permukaan, kita mendapat formula untuk jumlah luas permukaan silinder. Luas permukaan silinder adalah sama dengan luas bahagian atas silinder + luas tapak silinder + luas permukaan sisi silinder atau S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Kadangkala ungkapan ini ditulis sama dengan formula 2πr (r + h).

Formula untuk jumlah luas permukaan silinder
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – jejari silinder, h – ketinggian silinder

Contoh pengiraan luas permukaan silinder

Untuk memahami formula di atas, mari kita cuba mengira luas permukaan silinder menggunakan contoh.

1. Jejari tapak silinder ialah 2, tingginya ialah 3. Tentukan luas permukaan sisi silinder.

Jumlah luas permukaan dikira menggunakan formula: sisi S. = 2πrh

sebelah S = 2 * 3.14 * 2 * 3

S sebelah = 6.28 * 6

S sebelah = 37.68

Luas permukaan sisi silinder ialah 37.68.

2. Bagaimana untuk mencari luas permukaan silinder jika ketinggian ialah 4 dan jejari ialah 6?

Jumlah luas permukaan dikira dengan formula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

• Masalah 1. Cari jumlah luas permukaan piramid
• Masalah 2. Cari luas permukaan sisi piramid segi tiga biasa

Masalah 1. Cari jumlah luas permukaan piramid sekata

Penyelesaian.

Di dasar piramid segi tiga sekata terletak sebuah segi tiga sama sisi.
Oleh itu, untuk menyelesaikan masalah, kami akan menggunakan sifat segitiga biasa:

Kita tahu ketinggian segi tiga, dari mana kita boleh mencari luasnya.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Dari mana luas tapak akan sama dengan:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Untuk mencari luas muka sisi, kami mengira ketinggian KM. Mengikut masalah, sudut OKM ialah 45 darjah.
Oleh itu:
OK / MK = cos 45
Mari kita gunakan jadual nilai fungsi trigonometri dan gantikan nilai yang diketahui.

OK / MK = √2/2

Mari kita ambil kira bahawa OK adalah sama dengan jejari bulatan yang tertera. Kemudian
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Kemudian
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Luas muka sisi kemudiannya sama dengan separuh hasil darab ketinggian dan tapak segi tiga.
Sisi = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Oleh itu, jumlah luas permukaan piramid akan sama dengan
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Jawab: 3√3 + 18/√6

Masalah 2. Cari luas permukaan sisi piramid biasa

Penyelesaian.

Oleh kerana tapak piramid segi tiga sekata ialah segi tiga sama, AO ialah jejari bulatan yang dihadkan di sekeliling tapak.
(Ini susulan daripada)

Kami mendapati jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segitiga sama sisi daripada sifatnya

Dari mana panjang tepi piramid segi tiga biasa akan sama dengan:
AM 2 = MO 2 + AO 2
ketinggian piramid diketahui dengan keadaan (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Setiap sisi piramid ialah segi tiga sama kaki. Segi empat segi tiga sama kaki kita dapati daripada formula pertama yang dibentangkan di bawah

S = 1/2 * 16 persegi((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 persegi((556/3) - 64)
S = 8 persegi(364/3)
S = 16 persegi(91/3)

Oleh kerana ketiga-tiga muka piramid sekata adalah sama, luas permukaan sisi akan sama dengan
3S = 48 √(91/3)

Jawapan: 48 √(91/3)

Masalah 3. Cari jumlah luas permukaan piramid biasa

Sisi piramid segi tiga sekata ialah 3 cm dan sudut antara muka sisi dan tapak piramid ialah 45 darjah. Cari jumlah luas permukaan piramid itu.

Penyelesaian.
Oleh kerana piramid adalah sekata, terdapat segi tiga sama di tapaknya. Oleh itu luas tapak adalah


Jadi = 9 * √3/4

Untuk mencari luas muka sisi, kami mengira ketinggian KM. Mengikut masalah, sudut OKM ialah 45 darjah.
Oleh itu:
OK / MK = cos 45
Jom ambil kesempatan

ialah rajah pelbagai rupa, asasnya ialah poligon, dan muka yang selebihnya diwakili oleh segi tiga dengan bucu sepunya.

Jika tapaknya adalah segi empat sama, maka piramid itu dipanggil segi empat, jika segitiga – maka segi tiga. Ketinggian piramid dilukis dari atasnya berserenjang ke pangkalan. Juga digunakan untuk mengira luas apotema– ketinggian muka sisi, diturunkan dari atasnya.
Formula untuk luas permukaan sisi piramid ialah jumlah luas muka sisinya, yang sama antara satu sama lain. Walau bagaimanapun, kaedah pengiraan ini sangat jarang digunakan. Pada asasnya, luas piramid dikira melalui perimeter pangkalan dan apotema:

Mari kita pertimbangkan contoh pengiraan luas permukaan sisi piramid.

Marilah kita diberikan piramid dengan tapak ABCDE dan F atas. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Cari luas permukaan sisi piramid itu.
Mari cari perimeter. Oleh kerana semua tepi tapak adalah sama, perimeter pentagon akan sama dengan:
Kini anda boleh mencari kawasan sisi piramid:

Kawasan piramid segi tiga biasa

Piramid segi tiga sekata terdiri daripada tapak yang terletak sebuah segitiga sekata dan tiga muka sisi yang sama luasnya.
Formula untuk luas permukaan sisi piramid segi tiga biasa boleh dikira cara yang berbeza. Anda boleh menggunakan formula pengiraan biasa menggunakan perimeter dan apotema, atau anda boleh mencari luas satu muka dan darab dengan tiga. Oleh kerana muka piramid ialah segi tiga, kami menggunakan formula untuk luas segi tiga. Ia akan memerlukan apotema dan panjang pangkalan. Mari kita pertimbangkan contoh pengiraan luas permukaan sisi piramid segi tiga biasa.

Diberi sebuah piramid dengan apotema a = 4 cm dan muka tapak b = 2 cm Cari luas permukaan sisi piramid itu.
Mula-mula, cari luas salah satu muka sisi. DALAM dalam kes ini Dia akan:
Gantikan nilai ke dalam formula:
Oleh kerana dalam piramid biasa semua sisi adalah sama, luas permukaan sisi piramid akan sama dengan jumlah luas tiga muka. Masing-masing:

Kawasan piramid terpotong

Dipenggal Piramid ialah polihedron yang dibentuk oleh piramid dan keratan rentasnya selari dengan tapak.
Formula untuk luas permukaan sisi piramid terpotong adalah sangat mudah. Luasnya adalah sama dengan hasil darab separuh jumlah perimeter tapak dan apotema: