മുമ്പത്തെ ലേഖനങ്ങളിലൊന്നിൽ, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ സംഖ്യയുടെ അളവ് പരാമർശിച്ചു. ഇന്ന് അതിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയിൽ നമ്മെത്തന്നെ നയിക്കാൻ ശ്രമിക്കും. ശാസ്ത്രീയമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് എങ്ങനെ ശരിയായി ഉയർത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. ഈ പ്രക്രിയ എങ്ങനെ നടക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, അതേ സമയം ഡിഗ്രിയുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ സൂചകങ്ങളിലും ഞങ്ങൾ സ്പർശിക്കും: പ്രകൃതി, യുക്തിരഹിതം, യുക്തിസഹമായത്, മുഴുവൻ.

അതിനാൽ, ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിച്ച് അതിന്റെ അർത്ഥമെന്തെന്ന് കണ്ടെത്താം:

1. ആശയത്തിന്റെ നിർവചനം.
2. നെഗറ്റീവ് ആർട്ടിലേക്കുള്ള ഉയർച്ച.
3. മുഴുവൻ സൂചകം.
4. ഒരു നമ്പർ ഉയർത്തുന്നു യുക്തിരഹിതമായ ബിരുദം.

അർത്ഥത്തെ കൃത്യമായി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നിർവചനം ഇതാ: "ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ അർത്ഥത്തിന്റെ നിർവചനമാണ് എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ."

അതനുസരിച്ച്, ആർട്ടിലേക്ക് ഒരു നമ്പർ ഉയർത്തുന്നു. r ഉം എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് r ഉള്ള എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയും സമാന ആശയങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, power ർജ്ജത്തിന്റെ മൂല്യം (0.6) 6 ulate കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, “0.6 എന്ന സംഖ്യ 6 ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക” എന്ന പ്രയോഗത്തിലേക്ക് ഇത് ലളിതമാക്കാം.

അതിനുശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് നിർമ്മാണ നിയമങ്ങളിലേക്ക് നേരിട്ട് പോകാം.

നെഗറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ശൃംഖലയിൽ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കണം:

110 \u003d 0.1 \u003d 1 * 10 മൈനസ് 1 സ്റ്റ.,

മൈനസ് 2 ഘട്ടങ്ങളിൽ 1100 \u003d 0.01 \u003d 1 * 10.,

11000 \u003d 0.0001 \u003d 1 * 10 മൈനസ് 3 സെ.,

മൈനസ് 4 ഡിഗ്രിയിൽ 110000 \u003d 0.00001 \u003d 1 * 10.

ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് നന്ദി, ഏത് മൈനസ് പവറിലേക്കും 10 തൽക്ഷണം കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവ് നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമായി കാണാൻ കഴിയും. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ദശാംശ ഘടകം മാറ്റുന്നത് തികച്ചും കോർണിയയാണ്:

• 10 മുതൽ -1 ഡിഗ്രി വരെ - യൂണിറ്റ് 1 പൂജ്യത്തിന് മുമ്പ്;
• -3 ന് - ഒന്നിന് മുമ്പായി മൂന്ന് പൂജ്യങ്ങൾ;
• -9 ൽ 9 പൂജ്യങ്ങളും മറ്റും.

ഈ സ്കീം അനുസരിച്ച് മനസിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്, 10 മുതൽ മൈനസ് 5 ടീസ്പൂൺ വരെ. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എങ്ങനെ ഉയർത്താം

നിർവചനം ഓർ\u200cക്കുമ്പോൾ\u200c, ആർ\u200cട്ടിലെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ഞങ്ങൾ\u200c കണക്കിലെടുക്കുന്നു. n എന്നത് n ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അവ ഓരോന്നും a ന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് ഇത് വിശദീകരിക്കാം: (a * a * ... a) n, ഇവിടെ n എന്നത് ഗുണിത സംഖ്യകളുടെ എണ്ണമാണ്. അതനുസരിച്ച്, a മുതൽ n വരെ ഉയർത്തുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: a * a * ... n തവണ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

ഇതിൽ നിന്ന് അത് വ്യക്തമാകും പ്രകൃതി കലയിൽ ഉദ്ധാരണം. ഗുണിക്കാനുള്ള കഴിവിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു (ഈ മെറ്റീരിയൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള വിഭാഗത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു). പ്രശ്നം നോക്കാം:

നാലാം ക്ലാസ്സിൽ -2 നിവർന്നുനിൽക്കുക.

ഞങ്ങൾ ഒരു സ്വാഭാവിക സൂചകമാണ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്. അതനുസരിച്ച്, തീരുമാനത്തിന്റെ ഗതി ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും: (-2) കലയിൽ. 4 \u003d (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). ഇപ്പോൾ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം നടപ്പിലാക്കാൻ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). ഞങ്ങൾക്ക് 16 ലഭിക്കുന്നു.

പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം:

(-2) കലയിൽ. 4 \u003d 16.

ഉദാഹരണം:

മൂല്യം കണക്കാക്കുക: മൂന്ന് പോയിന്റ് രണ്ട് സെവൻസ് സ്ക്വയർ.

ഈ ഉദാഹരണം ഇനിപ്പറയുന്ന ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്: മൂന്ന് മുഴുവൻ രണ്ട് ഏഴാമത്തേതും മൂന്ന് രണ്ട് ഏഴാമത്തെ ഗുണിച്ചാൽ. മിശ്രിത സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം എങ്ങനെ നടക്കുന്നുവെന്ന് ഓർമിച്ച് ഞങ്ങൾ നിർമ്മാണം പൂർത്തിയാക്കുന്നു:

• 3 പോയിന്റ് 2 7 സെ സ്വയം ഗുണിക്കുന്നു;
• 23 ഏഴാം തവണ 23 ഏഴാം;
• 529 നാൽപത്തിയൊമ്പതാം തുല്യമാണ്;
• ഞങ്ങൾ വെട്ടി 10 മുപ്പത്തൊമ്പത് നാൽപത്തിയൊമ്പത്.

ഉത്തരം: 10 39/49

യുക്തിരഹിതമായ ഒരു സൂചകത്തിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന പ്രശ്നവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഒരു നിശ്ചിത കൃത്യതയോടെ മൂല്യം നേടാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഏത് വിഭാഗത്തിലേക്കും ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിന്റെ പ്രാഥമിക റൗണ്ടിംഗ് പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആരംഭിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് P (pi) സംഖ്യ ചതുരമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പി നൂറിലൊന്ന് റൗണ്ട് ചെയ്തുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നു:

പി ചതുരം \u003d (3.14) 2 \u003d 9.8596. എന്നിരുന്നാലും, പി പതിനായിരത്തിലൊന്നായി കുറച്ചാൽ നമുക്ക് പി \u003d 3.14159 ലഭിക്കും. അപ്പോൾ സ്ക്വയറിംഗിന് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു നമ്പർ ലഭിക്കും: 9.8695877281.

പല പ്രശ്നങ്ങളിലും യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ലെന്നത് ഇവിടെ ഓർക്കണം. ചട്ടം പോലെ, ഉത്തരം ഒന്നുകിൽ ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ രൂപത്തിലാണ് എഴുതുന്നത്, ഉദാഹരണത്തിന്, 6 ന്റെ റൂട്ട് 3 ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക്, അല്ലെങ്കിൽ, എക്സ്പ്രഷൻ അനുവദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ പരിവർത്തനം നടക്കുന്നു: 5 ന്റെ റൂട്ട് 5 മുതൽ 7 വരെ 5 ന്റെ 125 റൂട്ട്.

ഒരു മുഴുവൻ ശക്തിയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യ എങ്ങനെ ഉയർത്താം

ഈ ബീജഗണിത കൃത്രിമം ഉചിതമാണ് ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ കണക്കിലെടുക്കുക:

• മുഴുവൻ സംഖ്യകൾക്കും;
• പൂജ്യം സൂചകത്തിനായി;
• മുഴുവൻ പോസിറ്റീവ് സൂചകത്തിനും.

പ്രായോഗികമായി എല്ലാ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ പിണ്ഡവുമായി ഒത്തുപോകുന്നതിനാൽ, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ക്രമീകരിക്കുന്നത് കലയിലെ ക്രമീകരണത്തിന്റെ അതേ പ്രക്രിയയാണ്. സ്വാഭാവികം. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ ഈ പ്രക്രിയ വിവരിച്ചു.

ആർട്ട് കണക്കാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം. ശൂന്യം. ആർട്ടിന്റെ ഒരു നോൺ\u200cജെറോ എ (റിയൽ\u200c) നായി ഒരു സംഖ്യയുടെ പൂജ്യം ഡിഗ്രി നിർ\u200cണ്ണയിക്കാൻ\u200c കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ\u200c ഇതിനകം കണ്ടെത്തി. 0 എന്നത് 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

അതനുസരിച്ച്, ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ പൂജ്യ ആർട്ടിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു. ഒരെണ്ണം നൽകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 10-ാം നമ്പർ 0 \u003d 1, (-3.65) 0 \u003d 1, 0 സെന്റ്. 0 നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് പൂർത്തിയാക്കുന്നതിന്, പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ തീരുമാനിക്കുന്നത് അവശേഷിക്കുന്നു. ആ കല ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ നിന്ന് -z ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി നിർവചിക്കപ്പെടും. ഭിന്നസംഖ്യയുടെ വിഭജനം st. പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ മൂല്യത്തോടെ, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്താൻ പഠിച്ച മൂല്യം. നിർമ്മാണത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കാൻ മാത്രമാണ് ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത്.

ഉദാഹരണം:

പൂർണ്ണസംഖ്യയുള്ള ഒരു ക്യൂബിലെ നമ്പർ 2 ന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക നെഗറ്റീവ് സൂചകം.

പരിഹാര പ്രക്രിയ:

നെഗറ്റീവ് സൂചകമുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്: മൈനസ് 3 ടീസ്പൂൺ. മൂന്നാം ഡിഗ്രിയിൽ ഒന്ന് മുതൽ രണ്ട് വരെ തുല്യമാണ്.

ഡിനോമിനേറ്റർ ലളിതമായി കണക്കാക്കുന്നു: രണ്ട് ക്യൂബ്;

3 = 2*2*2=8.

ഉത്തരം: മൈനസ് 3 ടീസ്പൂൺ. \u003d ഒരു എട്ടാം.

ഈ മെറ്റീരിയലിന്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ അളവ് എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ\u200cക്ക് പുറമേ, സ്വാഭാവിക, മുഴുവൻ\u200c, യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികൾ\u200c എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ\u200c രൂപപ്പെടുത്തും. എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, എല്ലാ ആശയങ്ങളും ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ആദ്യം, ഒരു സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാന നിർവചനം ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഗുണനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്. തൽക്കാലം ഞങ്ങൾ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമായി എടുക്കുമെന്ന് മുൻകൂട്ടി വ്യക്തമാക്കാം (അതിനെ a എന്ന അക്ഷരത്തിലൂടെ സൂചിപ്പിക്കുക), ഒരു സൂചകമായി - ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ (അതിനെ n അക്ഷരത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കുക).

നിർവചനം 1

സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി n -th ഘടകങ്ങളുടെ ഫലമാണ്, അവ ഓരോന്നും a എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ബിരുദം ഇതുപോലെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: a n, ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ, അതിന്റെ ഘടനയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് 1 ഉം അടിസ്ഥാനം a ഉം ആണെങ്കിൽ, a യുടെ ആദ്യ പവർ ഇങ്ങനെ എഴുതുന്നു a 1... A എന്നത് ഗുണിതത്തിന്റെ മൂല്യവും 1 ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണവും ആയതിനാൽ, നമുക്ക് അത് നിഗമനം ചെയ്യാം a 1 \u003d a.

പൊതുവേ, വലിയ അളവിലുള്ള തുല്യ ഘടകങ്ങൾ എഴുതുന്നതിനുള്ള സ form കര്യപ്രദമായ രൂപമാണ് ഡിഗ്രി എന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, ഫോമിന്റെ ഒരു എൻ\u200cട്രി 8 8 8 8 എന്നതിലേക്ക് കുറയ്\u200cക്കാൻ കഴിയും 8 4 ... ഏതാണ്ട് അതേ രീതിയിൽ, ഒരു ഭാഗം എഴുതുന്നത് ഒഴിവാക്കാൻ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു ഒരു വലിയ സംഖ്യ നിബന്ധനകൾ (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 4); ഗുണനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇത് ഇതിനകം ചർച്ചചെയ്തു സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ.

ഒരാൾക്ക് എങ്ങനെ ഡിഗ്രി റെക്കോർഡ് ശരിയായി വായിക്കാൻ കഴിയും? പൊതുവായി അംഗീകരിച്ച ഓപ്ഷൻ "n ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക്" ആണ്. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് "n- ന്റെ ഡിഗ്രി" അല്ലെങ്കിൽ "ഒരു n -th ഡിഗ്രി" എന്ന് പറയാൻ കഴിയും. പറയുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിൽ എൻ\u200cട്രി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു 8 12 , നമുക്ക് "8 മുതൽ 12 വരെ ശക്തി", "8 മുതൽ 12 വരെ ശക്തി" അല്ലെങ്കിൽ "പന്ത്രണ്ടാമത്തെ ശക്തി 8 വരെ" എന്നിവ വായിക്കാം.

സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ശക്തികൾക്ക് അവയുടെ സുസ്ഥാപിതമായ പേരുകളുണ്ട്: ചതുരം, ക്യൂബ്. രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രി, ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ 7 (7 2) കാണുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് “7 ചതുരം” അല്ലെങ്കിൽ “7 എന്ന സംഖ്യയുടെ ചതുരം” എന്ന് പറയാൻ കഴിയും. അതുപോലെ, മൂന്നാം ഡിഗ്രി ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: 5 3 "5 എന്ന സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഒരു ക്യൂബിലെ 5" ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, "രണ്ടാമത്തെ / മൂന്നാം ഡിഗ്രിയിൽ" സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുലേഷൻ ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും, അത് ഒരു തെറ്റായിരിക്കില്ല.

ഉദാഹരണം 1

സ്വാഭാവിക സൂചകമുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: for 5 7 അഞ്ച് അടിസ്ഥാനവും ഏഴ് സൂചകവും ആയിരിക്കും.

അടിസ്ഥാനത്തിന് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല: ഡിഗ്രിക്ക് (4 , 32) 9 അടിസ്ഥാനം 4, 32 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയും എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഒമ്പതും ആണ്. പരാൻതീസിസിലേക്ക് ശ്രദ്ധ ചെലുത്തുക: അത്തരമൊരു എൻട്രി എല്ലാ ഡിഗ്രികൾക്കും നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

പരാൻതീസിസ് എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്? കണക്കുകൂട്ടൽ പിശകുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ അവ സഹായിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് എൻ\u200cട്രികൾ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം: (− 2) 3 ഒപ്പം − 2 3 ... ആദ്യത്തേത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് നെഗറ്റീവ് നമ്പർ മൈനസ് രണ്ട് സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് മൂന്നിലേക്ക് ഉയർത്തി; രണ്ടാമത്തേത് ഡിഗ്രിയുടെ വിപരീത മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സംഖ്യയാണ് 2 3 .

ചിലപ്പോൾ പുസ്തകങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയുടെ അല്പം വ്യത്യസ്തമായ അക്ഷരവിന്യാസം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും - a ^ n (ഇവിടെ a അടിസ്ഥാനവും n എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റും ആണ്). അതായത്, 4 ^ 9 എന്നതിന് തുല്യമാണ് 4 9 ... N എന്നത് ഒരു മൾട്ടി-അക്ക നമ്പറാണെങ്കിൽ, അത് പരാൻതീസിസിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). എന്നാൽ ഞങ്ങൾ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കും a nകൂടുതൽ സാധാരണമായി.

ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം അതിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് to ഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: നിങ്ങൾ ഒരു n -th തവണ ഗുണിച്ചാൽ മതി. മറ്റൊരു ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ എഴുതി.

ഡിഗ്രി എന്ന ആശയം മറ്റൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര സങ്കൽപ്പത്തിന് വിപരീതമാണ് - ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട്. ഡിഗ്രിയുടെയും എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിന്റെയും മൂല്യം നമുക്കറിയാമെങ്കിൽ, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. ഒരു പ്രത്യേക മെറ്റീരിയലിൽ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c ചർച്ച ചെയ്\u200cത പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ\u200c പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉപയോഗപ്രദമാകുന്ന ചില പ്രത്യേക സവിശേഷതകൾ\u200c ഡിഗ്രിക്ക് ഉണ്ട്.

എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് മാത്രമല്ല, പൊതുവേ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളും പൂജ്യങ്ങളും ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യ മൂല്യങ്ങളും നിലകൊള്ളാൻ കഴിയും, കാരണം അവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിൽ പെടുന്നു.

നിർവചനം 2

പോസിറ്റീവ് ഇൻറിജർ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ പവർ ഒരു ഫോർമുലയായി പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: .

മാത്രമല്ല, n എന്നത് ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

സീറോ ഡിഗ്രി എന്ന ആശയം കൈകാര്യം ചെയ്യാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, തുല്യ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികൾക്കായി ഘടകത്തിന്റെ സ്വത്ത് കണക്കിലെടുക്കുന്ന ഒരു സമീപനമാണ് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു:

നിർവചനം 3

സമത്വം a m: a n \u003d a m - n വ്യവസ്ഥകളിൽ ഇത് ശരിയായിരിക്കും: m, n എന്നിവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്, m< n , a ≠ 0 .

അവസാന വ്യവസ്ഥ പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഇത് പൂജ്യത്താൽ വിഭജനം ഒഴിവാക്കുന്നു. M, n എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം ലഭിക്കും: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0

എന്നാൽ അതേ സമയം ഒരു n: a n \u003d 1 ആണ് ഘടകങ്ങൾ തുല്യ സംഖ്യകൾ a n a. ഏതെങ്കിലും നോൺ\u200cജെറോ സംഖ്യയുടെ പൂജ്യം ഡിഗ്രി ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, അത്തരമൊരു തെളിവ് പൂജ്യം മുതൽ ഡിഗ്രി പൂജ്യം വരെ ബാധകമല്ല. ഇതിനായി നമുക്ക് ഡിഗ്രികളുടെ മറ്റൊരു സ്വത്ത് ആവശ്യമാണ് - തുല്യ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ സ്വത്ത്. ഇത് ഇതായി തോന്നുന്നു: a m a n \u003d a m + n .

നമുക്ക് 0 ന് തുല്യമായ n ഉണ്ടെങ്കിൽ a m a 0 \u003d a m (ഈ സമത്വം അത് തെളിയിക്കുന്നു a 0 \u003d 1). A എന്നത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നമ്മുടെ സമത്വം രൂപം കൊള്ളുന്നു 0 മീ 0 0 \u003d 0 മീ, N ന്റെ ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക മൂല്യത്തിന് ഇത് ശരിയായിരിക്കും, കൂടാതെ ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം കൃത്യമായി എന്താണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല 0 0 അതായത്, ഇത് ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യമാകാം, ഇത് സമത്വത്തിന്റെ വിശ്വസ്തതയെ ബാധിക്കില്ല. അതിനാൽ, ഫോമിന്റെ ഒരു നൊട്ടേഷൻ 0 0 പ്രത്യേക അർത്ഥമില്ല, ഞങ്ങൾ അത് അദ്ദേഹത്തിന് ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യില്ല.

വേണമെങ്കിൽ, അത് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് a 0 \u003d 1 ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർ\u200cട്ടിയുമായി സംയോജിക്കുന്നു (a m) n \u003d a m n ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം പൂജ്യമല്ലെന്ന് നൽകിയിട്ടുണ്ട്. അങ്ങനെ, പൂജ്യം എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഏതെങ്കിലും നോൺ\u200cജെറോ സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 2

നിർദ്ദിഷ്ട അക്കങ്ങളുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: അതിനാൽ, 5 0 - യൂണിറ്റ്, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 \u003d 1, മൂല്യം 0 0 നിർവചിച്ചിട്ടില്ല.

സീറോ ഡിഗ്രിക്ക് ശേഷം, നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി എന്താണെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച തുല്യ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന്റെ അതേ സ്വത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്: a m · a n \u003d a m + n.

നമുക്ക് ഈ അവസ്ഥ പരിചയപ്പെടുത്താം: m \u003d - n, തുടർന്ന് a പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകരുത്. അത് പിന്തുടരുന്നു a - n a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1... ഇത് ഒരു n ഉം a - n ഞങ്ങൾക്ക് പരസ്പരം വിപരീത സംഖ്യകളുണ്ട്.

തൽഫലമായി, a മുതൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് പവർ 1 a n എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക്, സമാന ഗുണങ്ങളെല്ലാം ഒരു സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക് സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് ഈ ഫോർമുലേഷൻ സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു (അടിസ്ഥാനം പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ).

ഉദാഹരണം 3

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ n ഉള്ള a യുടെ ശക്തിയെ 1 a n എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അങ്ങനെ, വ്യവസ്ഥയിൽ a - n \u003d 1 a n a 0 n എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ നമ്മുടെ ചിന്തയെ വിശദീകരിക്കാം:

ഉദാഹരണം 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

ഖണ്ഡികയുടെ അവസാന ഭാഗത്ത്, വ്യക്തമായി പറഞ്ഞതെല്ലാം ഒരു സൂത്രവാക്യത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും:

നിർവചനം 4

സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് z ഉള്ള a എന്ന സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഇതാണ്: az \u003d az, e, l, z എന്നിവയ്ക്കൊപ്പം - പൂർണ്ണസംഖ്യ 1, z \u003d 0, a ≠ 0, (ഒപ്പം z \u003d 0, a \u003d 0, നമുക്ക് 0 0, എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ 0 0 അല്ല നിർവചനങ്ങൾ) 1 az, എങ്കിൽ z എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും ≠ 0 ഉം ആണെങ്കിൽ (z ഒരു സംഖ്യയും a \u003d 0 ഉം 0 z ആണെങ്കിൽ, ego z n, n n e n d e d e t e s)

എന്താണ് യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഡിഗ്രികൾ

എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ ഒരു സംഖ്യ അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ കേസുകൾ പരിശോധിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉള്ളപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു പവർ ആയി ഉയർത്താനും കഴിയും. ഇതിനെ ഡിഗ്രി സി യുക്തിസഹമായ സൂചകം... ഈ ഉപവിഭാഗത്തിൽ മറ്റ് ഡിഗ്രികളുടേതിന് സമാനമായ ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും.

യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? അവരുടെ സെറ്റിൽ മുഴുവനും ഉൾപ്പെടുന്നു ഭിന്നസംഖ്യകൾ, ഭിന്നസംഖ്യകളെ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്). ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം, ഇവിടെ n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുമാണ്.

ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് a m n ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു പരിധിവരെ ഉണ്ട്. ഡിഗ്രി മുതൽ ഡിഗ്രി വരെയുള്ള സ്വത്ത് തൃപ്\u200cതിപ്പെടുത്തുന്നതിന്, a m n n \u003d a m n n \u003d a m എന്ന തുല്യത ശരിയായിരിക്കണം.

N, n, a എന്നിവയുടെ നിർവചനം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, m, n, a എന്നിവയുടെ തന്നിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഒരു m n അർത്ഥമുണ്ടെങ്കിൽ നമുക്ക് m m \u003d a m n എന്ന അവസ്ഥ അംഗീകരിക്കാം.

ഒരു സംഖ്യ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ മുകളിലുള്ള ഗുണവിശേഷതകൾ ഒരു m n \u003d a m n നൽകിയാൽ ശരിയാകും.

ഞങ്ങളുടെ യുക്തിയിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന നിഗമനം ഇപ്രകാരമാണ്: ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള ചില സംഖ്യകളുടെ ശക്തി, സംഖ്യയുടെ ഒൻപതാമത്തെ മൂലമാണ് m ന്റെ ശക്തി. M, n, a എന്നിവയുടെ തന്നിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾക്ക്, m m എന്ന പദപ്രയോഗം അർത്ഥവത്തായി തുടരുകയാണെങ്കിൽ ഇത് ശരിയാണ്.

1. നമുക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ അടിത്തറയുടെ മൂല്യം നിയന്ത്രിക്കാൻ കഴിയും: a എടുക്കുക, അത് m ന്റെ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് 0 നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയിരിക്കും, കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് - കർശനമായി കുറവാണ് (m for 0 മുതൽ ഞങ്ങൾ നേടുക 0 മീ, പക്ഷേ ഈ ബിരുദം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ചില പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള പവർ m ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയതിന്റെ ഒൻപതാമത്തെ റൂട്ടാണ്. ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

സീറോ ബേസ് ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക്, ഈ സ്ഥാനവും അനുയോജ്യമാണ്, പക്ഷേ അതിന്റെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ മാത്രം.

അടിസ്ഥാന പൂജ്യവും ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പോസിറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റും m / n ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രി ഇതായി പ്രകടിപ്പിക്കാം

പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ m, സ്വാഭാവിക n എന്നിവയുടെ അവസ്ഥയിൽ 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0.

നെഗറ്റീവ് അനുപാതത്തിൽ m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ഒരു കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കാം. A പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെന്ന വ്യവസ്ഥ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ചില കേസുകൾ ഉപേക്ഷിച്ചു.

ഒരു m n എന്ന പദപ്രയോഗം ചിലപ്പോൾ a, ചില m എന്നിവയുടെ ചില നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് അർത്ഥമാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ശരിയായ എൻ\u200cട്രികൾ (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, അതിൽ അടിസ്ഥാനം നെഗറ്റീവ് ആണ്.

2. രണ്ടാമത്തെ സമീപനം റൂട്ട് ഒരു m n ഇരട്ട സംഖ്യകളുമായി പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കുക എന്നതാണ്. അപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു നിബന്ധന കൂടി അവതരിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്: റദ്ദാക്കാവുന്ന സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ a യുടെ ശക്തി a യുടെ ശക്തിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ അനുബന്ധമായ പരിഹരിക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയുണ്ട്. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾക്ക് ഈ അവസ്ഥ ആവശ്യമായി വരുന്നത്, എന്തുകൊണ്ട് ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ് എന്ന് പിന്നീട് വിശദീകരിക്കും. അങ്ങനെ, നമുക്ക് ഒരു m k n k എന്ന റെക്കോർഡ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് അത് ഒരു m n ആയി കുറയ്ക്കാനും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാനും കഴിയും.

N ഒറ്റസംഖ്യയും m പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, a ഏതെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ഒരു m n അർത്ഥമാക്കുന്നു. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഇരട്ട റൂട്ട് എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യാത്തതിനാൽ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ഒരു അവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്. M ന്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, a മുതൽ നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം ആകാം വിചിത്രമായ റൂട്ട് ഏത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിൽ നിന്നും വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും.

നിർവചനത്തിന് മുകളിലുള്ള എല്ലാ ഡാറ്റയും ഒരു റെക്കോർഡിൽ സംയോജിപ്പിക്കാം:

ഇവിടെ m / n എന്നാൽ മാറ്റാൻ കഴിയാത്ത ഭിന്നസംഖ്യ, m എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ, n എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എന്നിവയാണ്.

നിർവചനം 5

റദ്ദാക്കാവുന്ന ഏതൊരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്കും m · k n · k, ഡിഗ്രി ഒരു m n ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

മാറ്റാൻ കഴിയാത്ത ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ m n ആയി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: - ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ a, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ m ഉം വിചിത്രമായ സ്വാഭാവിക മൂല്യങ്ങളും n. ഉദാഹരണം: 2 5 3 \u003d 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 \u003d 0 5 19.

ഏതെങ്കിലും നോൺ\u200cജെറോ റിയൽ\u200c എ, നെഗറ്റീവ് ഇൻ\u200cറിജർ\u200c എം, വിചിത്ര എൻ\u200c എന്നിവയ്\u200cക്ക്, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7

നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത a, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ m, n എന്നിവപോലും, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 1 4 \u003d 2 1 4, (5, 1) 3 2 \u003d (5, 1) 3, 0 7 18 \u003d 0 7 18.

ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് a, പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് m, n എന്നിവപോലും, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 \u003d (5, 1) - 3 ,.

മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്ക്, ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. അത്തരം ഡിഗ്രികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

ഇപ്പോൾ മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച അവസ്ഥയുടെ പ്രാധാന്യം നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം: റദ്ദാക്കാവുന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യയെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്തില്ലെങ്കിൽ, അത്തരം സാഹചര്യങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും, പറയുക, 6/10 \u003d 3/5. അപ്പോൾ അത് ശരിയായിരിക്കണം (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5, പക്ഷേ - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1, (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1.

ആദ്യത്തേത് നൽകിയ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് ഉപയോഗിക്കുന്നത് തുടരും.

നിർവചനം 6

അതിനാൽ, ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ അളവ് ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 ആയി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ a a m n എന്ന ചിഹ്നം അർത്ഥശൂന്യമാണ്. പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകൾക്ക് പൂജ്യത്തിന്റെ പവർ m / n 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 എന്ന് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, നെഗറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകൾക്ക് ഞങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കില്ല.

നിഗമനങ്ങളിൽ, ഏതെങ്കിലും ഫ്രാക്ഷണൽ ഇൻഡിക്കേറ്റർ ഫോമിലെന്നപോലെ എഴുതാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു മിക്സഡ് നമ്പർ, രൂപത്തിൽ ദശാംശ: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

കണക്കാക്കുമ്പോൾ, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിനെ ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി പകരം ഒരു എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിന്റെ നിർവചനം ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക്, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

യുക്തിരഹിതവും സാധുവായതുമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രികൾ എന്തൊക്കെയാണ്

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? അവരുടെ സെറ്റിൽ യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു യഥാർത്ഥ സൂചകമുള്ള ബിരുദം എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സൂചകങ്ങളുള്ള ഡിഗ്രികൾ നിർവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മുകളിലുള്ള യുക്തിസഹമായവ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരാമർശിച്ചു. യുക്തിരഹിതമായ സൂചകങ്ങളെ ഘട്ടം ഘട്ടമായി കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

ഉദാഹരണം 5

നമുക്ക് ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയും അതിന്റെ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയും 0, 1, 1, 2 എന്നിവ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ... ... ... ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് a \u003d 1.67175331 എന്ന മൂല്യം എടുക്കാം. ... ... തുടർന്ന്

a 0 \u003d 1.6, a 1 \u003d 1.67, a 2 \u003d 1.671 ,. ... ... , ഒരു 0 \u003d 1.67, ഒരു 1 \u003d 1.6717, ഒരു 2 \u003d 1.671753 ,. ... ...

ഏകദേശ ശ്രേണികളെ നമുക്ക് 0, a 1, a 2 ഡിഗ്രി ഡിഗ്രികളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താം. ... ... ... ഒരു യുക്തിസഹമായ ശക്തിയിലേക്ക് സംഖ്യകൾ ഉയർത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ നേരത്തെ പറഞ്ഞത് ഓർമിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ ശക്തികളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് സ്വയം കണക്കാക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന് എടുക്കുക a \u003d 3, തുടർന്ന് ഒരു 0 \u003d 31.67, ഒരു 1 \u003d 31.6717, ഒരു 2 \u003d 31.671753 ,. ... ... തുടങ്ങിയവ.

ഡിഗ്രികളുടെ ക്രമം ഒരു സംഖ്യയായി കുറയ്\u200cക്കാൻ കഴിയും, അത് അടിസ്ഥാന എ, യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് എന്നിവയുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യമായിരിക്കും. ഫലമായി: 3 1, 67175331 പോലുള്ള യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ബിരുദം. ... 6, 27 എന്ന നമ്പറിലേക്ക് കുറയ്\u200cക്കാനാകും.

നിർവചനം 7

യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള a പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി a എന്ന് എഴുതുന്നു. 0, a 1, a 2, എന്ന ശ്രേണിയുടെ പരിധിയാണ് ഇതിന്റെ മൂല്യം. ... ... , ഇവിടെ 0, a 1, a 2 ,. ... ... യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയുടെ തുടർച്ചയായ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങളാണ് a. പോസിറ്റീവ് യുക്തിരഹിതമായ സൂചകങ്ങൾക്കും പൂജ്യം അടിസ്ഥാനമുള്ള ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിക്കാനാകും, അതേസമയം 0 a \u003d 0 അതിനാൽ, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. നെഗറ്റീവ് ആയവർക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, 0 - 5, 0 - 2 value മൂല്യം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. ഏതെങ്കിലും യുക്തിരഹിതമായ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന ഒരു യൂണിറ്റ് ഒരു യൂണിറ്റായി തുടരുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, 2, 1 - 5, 2, 1 - 5 എന്നിവ 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

വാചകത്തിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് തിരഞ്ഞെടുത്ത് Ctrl + Enter അമർത്തുക

ബീജഗണിതത്തിലെ പ്രധാന സ്വഭാവങ്ങളിലൊന്നാണ്, തീർച്ചയായും എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും ബിരുദം. തീർച്ചയായും, 21-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഒരു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്ററിൽ നടത്താൻ കഴിയും, എന്നാൽ ഇത് സ്വയം എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് മനസിലാക്കുന്നത് തലച്ചോറിന്റെ വികാസത്തിന് നല്ലതാണ്.

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഈ നിർവചനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ചോദ്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. അതായത്, പൊതുവായി എന്താണെന്നും അതിന്റെ പ്രധാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്താണെന്നും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എന്തൊക്കെ ഗുണങ്ങളാണുള്ളതെന്നും ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും.

കണക്കുകൂട്ടൽ എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നു, അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ് എന്നതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. പ്രധാന അളവുകളുടെ അളവുകളും അവ മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്ന് വിശകലനം ചെയ്യാം.

ഈ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാം. പൂജ്യം പവർ, യുക്തിരഹിതം, നെഗറ്റീവ് മുതലായവയിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താമെന്ന് ഉദാഹരണങ്ങളുമായി നമുക്ക് കാണിക്കാം.

എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഓൺ\u200cലൈൻ

ഒരു സംഖ്യയുടെ ബിരുദം എന്താണ്

"ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക" എന്ന പ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥമെന്താണ്?

A എന്ന സംഖ്യയുടെ പവർ n എന്നത് ഒരു മൂല്യത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളുടെ തുടർച്ചയായ n തവണയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

a n \u003d a * a * a *… a n.

ഉദാഹരണത്തിന്:

• മൂന്നാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ 2 3 \u003d 2. \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 8;
• 4 2 \u003d 4 ഘട്ടത്തിൽ. രണ്ട് \u003d 4 * 4 \u003d 16;
• 5 4 \u003d 5 ഘട്ടത്തിൽ. നാല് \u003d 5 * 5 * 5 * 5 \u003d 625;
• 5 ഘട്ടങ്ങളിൽ 10 5 \u003d 10. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 100000;
• 4 ഘട്ടങ്ങളിൽ 10 4 \u003d 10. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 10000.

1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സ്ക്വയറുകളുടെയും സമചതുരങ്ങളുടെയും പട്ടിക ചുവടെയുണ്ട്.

1 മുതൽ 10 വരെ ഗ്രേഡ് പട്ടിക

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ പോസിറ്റീവ് ശക്തികളിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിന്റെ ഫലങ്ങൾ ചുവടെ നൽകും - "1 മുതൽ 100 \u200b\u200bവരെ".

പവർ പ്രോപ്പർട്ടികൾ

അത്തരമൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സവിശേഷത എന്താണ്? അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇനിപ്പറയുന്നവ സ്ഥാപിച്ചു എല്ലാ ഡിഗ്രികളുടെയും സ്വഭാവ സവിശേഷതകൾ:

• a n * a m \u003d (a) (n + m);
• a n: a m \u003d (a) (n-m);
• (a b) m \u003d (a) (b * m).

ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിക്കാം:

2 3 * 2 2 \u003d 8 * 4 \u003d 32. മറുവശത്ത് 2 5 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32.

അതുപോലെ: 2 3: 2 2 \u003d 8/4 \u003d 2. അല്ലെങ്കിൽ 2 3-2 \u003d 2 1 \u003d 2.

(2 3) 2 \u003d 8 2 \u003d 64. അത് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ? 2 6 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32 * 2 \u003d 64.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

എന്നാൽ എന്താണ് സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും ഉപയോഗിച്ച്? ഇത് ലളിതമാണ്. ആദ്യം, എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ നടത്തുന്നു, അതിനുശേഷം മാത്രമേ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും നടത്തുകയുള്ളൂ.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 \u003d 25 - 9 \u003d 16. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: നിങ്ങൾ ആദ്യം കുറച്ചാൽ നിയമം പ്രവർത്തിക്കില്ല: (5 - 3) 2 \u003d 2 2 \u003d 4.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ പ്രവർത്തനങ്ങളുള്ളതിനാൽ നിങ്ങൾ ആദ്യം സങ്കലനം കണക്കാക്കണം: (5 + 3) 3 \u003d 8 3 \u003d 512.

എങ്ങനെ ഉത്പാദിപ്പിക്കാം കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കേസുകൾ ? ഓർഡർ സമാനമാണ്:

• ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ - നിങ്ങൾ അവയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്;
• എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ;
• ഗുണനം, വിഭജനം എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക;
• കൂട്ടിച്ചേർക്കലിനുശേഷം, കുറയ്ക്കൽ.

എല്ലാ ഡിഗ്രികളുടെയും സ്വഭാവമില്ലാത്ത പ്രത്യേക സവിശേഷതകൾ ഉണ്ട്:

1. A മുതൽ m പവർ വരെയുള്ള സംഖ്യയുടെ n-th റൂട്ട് ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെടും: a m / n.
2. ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഉയർത്തുമ്പോൾ: ന്യൂമറേറ്ററും അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും ഈ നടപടിക്രമത്തിന് വിധേയമാണ്.
3. ഒരു കൃതി പണിയുമ്പോൾ വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക്, പദപ്രയോഗം ഈ സംഖ്യകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നവുമായി ഒരു നിശ്ചിത ശക്തിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടും. അതായത്: (a * b) n \u003d a n * b n.
4. ഒരു നെഗറ്റീവ് ഘട്ടത്തിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തുമ്പോൾ., നിങ്ങൾ ഒരേ st-no ലെ ഒരു സംഖ്യയെ 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, പക്ഷേ "+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച്.
5. ഭിന്നസംഖ്യയുടെ നെഗറ്റീവ് പവർ ആണെങ്കിൽ, ഈ പദപ്രയോഗം ന്യൂമെറേറ്ററിന്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിനും പോസിറ്റീവ് പവറിലെ ഡിനോമിനേറ്ററിനും തുല്യമായിരിക്കും.
6. ഡിഗ്രി 0 \u003d 1, ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഏത് സംഖ്യയും. 1 \u003d നിങ്ങൾക്ക്.

വ്യക്തിഗത കേസുകളിൽ ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രധാനമാണ്, അവ കൂടുതൽ വിശദമായി ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

നെഗറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ബിരുദം

ഡിഗ്രി മൈനസ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ എന്തുചെയ്യണം, അതായത് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ?

4, 5 ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (മുകളിലുള്ള പോയിന്റ് കാണുക), മാറുന്നു:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

തിരിച്ചും:

1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണെങ്കിൽ?

(A / B) (- n) \u003d (B / A) n, (3/5) (-2) \u003d (5/3) 2 \u003d 25/9.

സ്വാഭാവിക സൂചകത്തിൽ ബിരുദം

മുഴുവൻ അക്കങ്ങൾക്കും തുല്യമായ സൂചകങ്ങളുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയായാണ് ഇത് മനസ്സിലാക്കുന്നത്.

ഓർമ്മിക്കേണ്ട കാര്യങ്ങൾ:

ഒരു 0 \u003d 1, 1 0 \u003d 1; 2 0 \u003d 1; 3.15 0 \u003d 1; (-4) 0 \u003d 1 ... മുതലായവ.

A 1 \u003d A, 1 1 \u003d 1; 2 1 \u003d 2; 3 1 \u003d 3 ... മുതലായവ.

കൂടാതെ, (-a) 2 n +2, n \u003d 0, 1, 2 ... എങ്കിൽ ഫലം "+" ചിഹ്നത്തിനൊപ്പം ആയിരിക്കും. ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ വിചിത്രമായ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയാണെങ്കിൽ, തിരിച്ചും.

പൊതുവായ സവിശേഷതകളും മുകളിൽ വിവരിച്ച എല്ലാ സവിശേഷതകളും അവയുടെ സവിശേഷതയാണ്.

ഭിന്നസംഖ്യ

ഈ കാഴ്ച സ്കീമിന് എഴുതാം: A m / n. ഇത് ഇപ്രകാരമാണ്: എ മുതൽ പവർ എം വരെയുള്ള സംഖ്യയുടെ n-th റൂട്ട്.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളത് ചെയ്യാൻ കഴിയും: ഇത് കുറയ്ക്കുക, ഭാഗങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക, മറ്റൊരു തലത്തിലേക്ക് ഉയർത്തുക തുടങ്ങിയവ.

യുക്തിരഹിതമായ ഗ്രേഡ്

A ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയും A ˃ 0 ഉം ആകട്ടെ.

അത്തരമൊരു സൂചകമുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ സാരാംശം മനസിലാക്കാൻ, സാധ്യമായ വ്യത്യസ്ത കേസുകൾ പരിഗണിക്കുക:

• A \u003d 1. ഫലം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഒരു പ്രപഞ്ചം ഉള്ളതിനാൽ - എല്ലാ ഡിഗ്രികളിലും 1 ഒന്നിന് തുല്യമാണ്;

А r 1 ˂ α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾ;

• 0˂А˂1.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നേരെമറിച്ച്: para r 2 ˂ А α ˂ 1 r 1 രണ്ടാമത്തെ ഖണ്ഡികയിലെ അതേ വ്യവസ്ഥകളിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് is ആണ്. ഇത് യുക്തിസഹമാണ്.

r 1 - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ 3 ന് തുല്യമാണ്;

r 2 - 4 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

തുടർന്ന്, A \u003d 1, 1 π \u003d 1.

A \u003d 2, തുടർന്ന് 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A \u003d 1/2, തുടർന്ന് () 4 ˂ () π ˂ () 3, 1/16 ˂ () ˂ 1/8.

അത്തരം ഡിഗ്രികൾക്ക്, എല്ലാം ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം മുകളിൽ വിവരിച്ച നിർദ്ദിഷ്ട സവിശേഷതകളും.

ഉപസംഹാരം

ചുരുക്കത്തിൽ - ഈ മൂല്യങ്ങൾ എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്, അത്തരം ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പ്രയോജനം എന്താണ്? തീർച്ചയായും, ഒന്നാമതായി, ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അവർ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെയും പ്രോഗ്രാമർമാരുടെയും ജീവിതം ലളിതമാക്കുന്നു, കാരണം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കുറയ്\u200cക്കാനും അൽഗോരിതങ്ങൾ ചെറുതാക്കാനും ഡാറ്റ ഓർഗനൈസുചെയ്യാനും അതിലേറെ കാര്യങ്ങൾക്കും അവർ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഈ അറിവ് മറ്റെവിടെയാണ് ഉപയോഗപ്രദമാകുക? എന്തായാലും പ്രവർത്തന സവിശേഷത: മെഡിസിൻ, ഫാർമക്കോളജി, ഡെന്റിസ്ട്രി, നിർമ്മാണം, സാങ്കേതികവിദ്യ, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഡിസൈൻ മുതലായവ.

പവർ ഫോർമുലകൾ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന് സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനും ലളിതമാക്കുന്നതിനുമുള്ള പ്രക്രിയയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നമ്പർ സി ഒരു nസംഖ്യയുടെ ശക്തി a എപ്പോൾ:

ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

1. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളെ ഗുണിച്ചാൽ അവയുടെ സൂചകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു:

a മീA n \u003d a m + n.

2. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ വിഭജനത്തിൽ, അവയുടെ സൂചകങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു:

3. രണ്ടോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന്റെ അളവ് ഈ ഘടകങ്ങളുടെ ഡിഗ്രികളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

(abc ...) n \u003d a n b n c n ...

4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ശക്തി ഡിവിഡന്റിന്റെയും ഹരണത്തിന്റെയും ശക്തികളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്:

(a / b) n \u003d a n / b n.

5. ഒരു ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ഒരു ഡിഗ്രി ഉയർത്തുന്നത്, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകൾ ഗുണിതമാണ്:

(a m) n \u003d a m n.

മുകളിലുള്ള ഓരോ സൂത്രവാക്യവും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് ദിശയിലും തിരിച്ചും ശരിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്. (2 · 3 · 5/15) \u003d 2² · 3² · 5² / 15² \u003d 900/225 \u003d 4.

റൂട്ട് പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

1. നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന്റെ റൂട്ട് ഈ ഘടകങ്ങളുടെ വേരുകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

2. ബന്ധത്തിന്റെ റൂട്ട് ഡിവിഡന്റിന്റെ അനുപാതത്തിനും വേരുകളുടെ ഹരണത്തിനും തുല്യമാണ്:

3. ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഒരു റൂട്ട് ഉയർത്തുമ്പോൾ, ഈ ശക്തിയിലേക്ക് റൂട്ട് നമ്പർ ഉയർത്താൻ ഇത് മതിയാകും:

4. നിങ്ങൾ റൂട്ടിന്റെ അളവ് വർദ്ധിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ n ഒരിക്കൽ കൂടി നിർമ്മിക്കുക nറൂട്ട് നമ്പറിന്റെ -th പവർ, തുടർന്ന് റൂട്ട് മൂല്യം മാറില്ല:

5. നിങ്ങൾ റൂട്ടിന്റെ അളവ് കുറച്ചാൽ n ഒരിക്കൽ കൂടി റൂട്ട് എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യുക nറാഡിക്കൽ സംഖ്യയുടെ -th പവർ, അപ്പോൾ റൂട്ടിന്റെ മൂല്യം മാറില്ല:

നെഗറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ബിരുദം.പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത (ഇൻറിജർ) എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയെ അതേ സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാൽ വിഭജിച്ച് ഒന്നായി തുല്യമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത സൂചകം:

ഫോർമുല a മീ: a n \u003d a m - n മാത്രമല്ല ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും മീ> n , മാത്രമല്ല മീ< n.

ഉദാഹരണത്തിന്. a 4: a 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a -3.

അങ്ങനെ ഫോർമുല a മീ: a n \u003d a m - n എപ്പോൾ ന്യായമായി m \u003d n, പൂജ്യം ഡിഗ്രിയുടെ സാന്നിധ്യം ആവശ്യമാണ്.

സീറോ ഗ്രേഡ്.സീറോ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഏതൊരു നോൺജെറോ നമ്പറിന്റെയും ശക്തി ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ്.ഒരു യഥാർത്ഥ നമ്പർ സ്ഥാപിക്കാൻ ഒപ്പം ഡിഗ്രിയിലേക്ക് m / n, നിങ്ങൾ റൂട്ട് എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് n-ഇതിന്റെ ഡിഗ്രി മീ-ഈ സംഖ്യയുടെ പവർ ഒപ്പം.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയെക്കുറിച്ചുള്ള സംഭാഷണം തുടരുന്നതിലൂടെ, ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്. ഈ പ്രക്രിയയ്ക്ക് പേര് നൽകി എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ... ഈ ലേഖനത്തിൽ, എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ എങ്ങനെ നടക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ പഠിക്കും, സാധ്യമായ എല്ലാ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളെയും സ്പർശിക്കുമ്പോൾ - പ്രകൃതി, മുഴുവൻ, യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവും. പാരമ്പര്യമനുസരിച്ച്, വിവിധ ശക്തികളിലേക്ക് സംഖ്യ ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിഗണിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

എക്\u200cസ്\u200cപോണൻ\u200cസിയേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നവ വിശദീകരിച്ച് നിങ്ങൾ ആരംഭിക്കണം. ഉചിതമായ നിർവചനം ഇതാ.

നിർവചനം.

എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ - ഇത് ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു.

അങ്ങനെ, ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ മൂല്യം എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് r ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നതും പവർ r ലേക്ക് സംഖ്യ ഉയർത്തുന്നതും ഒരേ കാര്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രശ്നം “ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം (0.5) 5” ആണെങ്കിൽ, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിഷ്കരിക്കാം: “0.5 എന്ന സംഖ്യ 5 ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക”.

എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ നടത്തുന്ന നിയമങ്ങളിലേക്ക് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് നേരിട്ട് പോകാം.

ഒരു പ്രകൃതിശക്തിയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തുന്നു

പ്രായോഗികമായി, അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സമത്വം സാധാരണയായി രൂപത്തിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു. അതായത്, സംഖ്യയെ m / n ന്റെ ഒരു ഭിന്നശക്തിയായി ഉയർത്തുമ്പോൾ, a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഒൻപതാം റൂട്ട് ആദ്യം എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു, അതിനുശേഷം ഫലം m ന്റെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു.

ഒരു ഭിന്നശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

തീരുമാനം.

പരിഹരിക്കാനുള്ള രണ്ട് വഴികൾ നമുക്ക് കാണിക്കാം.

ആദ്യ വഴി. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ്. റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു ക്യൂബിക് റൂട്ട്: .

രണ്ടാമത്തെ വഴി. ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനവും വേരുകളുടെ സവിശേഷതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, തുല്യതകൾ ശരിയാണ് ... ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു അവസാനമായി, ഒരു മുഴുവൻ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക .

വ്യക്തമായും, ഒരു ഭിന്നശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിന്റെ ഫലങ്ങൾ യോജിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു മിശ്രിത സംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ അത് അനുബന്ധ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കണം, അതിനുശേഷം എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ നടത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം.

കണക്കാക്കുക (44.89) 2.5.

തീരുമാനം.

എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിനെ നമുക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യ (ആവശ്യമെങ്കിൽ ലേഖനം കാണുക): ... ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ നടത്തുന്നു:

ഉത്തരം:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

യുക്തിസഹമായ ശക്തികളിലേക്ക് സംഖ്യ ഉയർത്തുന്നത് പര്യാപ്തമാണെന്നും പറയണം അധ്വാന പ്രക്രിയ (പ്രത്യേകിച്ചും ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിലെ ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ആവശ്യത്തിന് വലിയ സംഖ്യകൾ ഉള്ളപ്പോൾ), ഇത് സാധാരണയായി കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യ ഉപയോഗിച്ച് നടപ്പിലാക്കുന്നു.

ഈ പോയിന്റിന്റെ സമാപനത്തിൽ, പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നശക്തിയായി ഉയർത്താം. ഫോമിന്റെ പൂജ്യത്തിന്റെ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അർത്ഥം നൽകി: കാരണം ഞങ്ങൾക്ക് , പൂജ്യത്തിൽ m / n ന്റെ ശക്തി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. അതിനാൽ, ഒരു ഭിന്ന പോസിറ്റീവ് ശക്തിയിലെ പൂജ്യം പൂജ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, ... ഒരു ഭിന്ന നെഗറ്റീവ് ശക്തിയിലെ പൂജ്യത്തിന് അർത്ഥമില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗങ്ങളും 0 -4.3 ഉം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

യുക്തിരഹിതമായ അളവിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ചിലപ്പോൾ ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി, ഒരു നിശ്ചിത ചിഹ്നത്തിന് കൃത്യമായ ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം നേടാൻ ഇത് സാധാരണയായി മതിയാകും. യുക്തിരഹിതമായ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് സ്വമേധയാ ഉയർത്തുന്നതിന് വളരെയധികം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമുള്ളതിനാൽ പ്രായോഗികമായി ഈ മൂല്യം ഇലക്ട്രോണിക് കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത് എന്ന് ഞങ്ങൾ ഉടനടി ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. എന്നിട്ടും, പ്രവൃത്തികളുടെ സാരാംശം ഞങ്ങൾ പൊതുവായി വിവരിക്കും.

യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ ഏകദേശ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിന്റെ ചില ദശാംശ ഏകദേശ കണക്കെടുക്കുകയും എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ ഏകദേശ മൂല്യമാണ് ഈ മൂല്യം. സംഖ്യയുടെ ദശാംശ ഏകദേശ കണക്കെടുപ്പ് തുടക്കത്തിൽ തന്നെ എടുക്കും, ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം അവസാനം ആയിരിക്കും.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, 2 1.174367 ന്റെ ശക്തിയുടെ ഏകദേശ മൂല്യം കണക്കാക്കാം .... ഇനിപ്പറയുന്ന ദശാംശ ഏകദേശമെടുക്കാം യുക്തിരഹിതമായ സൂചകം:. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ 1.17 ന്റെ യുക്തിസഹമായ ശക്തിയിലേക്ക് 2 ഉയർത്തുന്നു (മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ഈ പ്രക്രിയയുടെ സാരാംശം ഞങ്ങൾ വിവരിച്ചു), നമുക്ക് 2 1.17 ≈2.250116 ലഭിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിന്റെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ ദശാംശ ഏകദേശമാണ് ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നതെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, യഥാർത്ഥ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിന്റെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ മൂല്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

റഫറൻസുകളുടെ പട്ടിക.

• വിലെൻകിൻ എൻ.യാ, സോഖോവ് വി.ഐ., ചെസ്\u200cനോക്കോവ് എ.എസ്., ഷ്വാർട്\u200cസ്ബർഡ് എസ്.ഐ. അഞ്ചാം ക്ലാസിനുള്ള മാത്തമാറ്റിക്സ് ഇസഡ് പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.
• മകരാചേവ് യു.എൻ, മിൻഡ്യൂക് എൻ.ജി, നെഷ്കോവ് കെ.ഐ., സുവോറോവ എസ്.ബി. ആൾജിബ്ര: ഏഴാം ഗ്രേഡിനുള്ള പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.
• മകരാചേവ് യു.എൻ, മിൻഡ്യൂക് എൻ.ജി, നെഷ്കോവ് കെ.ഐ., സുവോറോവ എസ്.ബി. ആൾജിബ്ര: എട്ടാം ഗ്രേഡിനുള്ള പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.
• മകരാചേവ് യു.എൻ, മിൻഡ്യൂക് എൻ.ജി, നെഷ്കോവ് കെ.ഐ., സുവോറോവ എസ്.ബി. ആൾജിബ്ര: ഒൻപതാം ക്ലാസിനുള്ള പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.
• കോൾ\u200cമോഗോറോവ് A.N., അബ്രമോവ് A.M., ഡുഡ്\u200cനിറ്റ്\u200cസിൻ യു.പി. ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിന്റെ ആരംഭവും: 10 - 11 ഗ്രേഡുകൾ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
• ഗുസെവ് വി.ആർ., മൊർഡ്\u200cകോവിച്ച് എ.ജി. മാത്തമാറ്റിക്സ് (സാങ്കേതിക സ്കൂളുകളിലേക്കുള്ള അപേക്ഷകർക്കുള്ള ഒരു ഗൈഡ്).