എല്ലാവരും കേട്ടിട്ടുണ്ടെന്ന് തോന്നുന്ന ഒന്നാണ് മൊഡ്യൂൾ, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ ആരും മനസ്സിലാക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, ഇന്ന് മൊഡ്യൂളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു വലിയ പാഠം ഉണ്ടാകും.

ഞാൻ ഉടനെ പറയണം: പാഠം ലളിതമായിരിക്കും. പൊതുവേ, മൊഡ്യൂളുകൾ പൊതുവെ താരതമ്യേന ലളിതമായ വിഷയമാണ്. “അതെ, തീർച്ചയായും ലളിതമാണ്! എന്റെ മസ്തിഷ്കം അവളിൽ നിന്ന് തകരുന്നു! ” - പല വിദ്യാർത്ഥികളും പറയും, എന്നാൽ ഈ തലച്ചോറിലെ കണ്ണുനീർ കാരണം മിക്ക ആളുകളുടെയും തലയിൽ കുറച്ച് അറിവില്ല, മറിച്ച് ഒരുതരം വൃത്തികെട്ടതാണ്. ഈ പാഠത്തിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം വിദഗ്ധരെ അറിവായി മാറ്റുക എന്നതാണ്. :)

സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ബിറ്റ്

അതിനാൽ നമുക്ക് പോകാം. ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടവയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം: എന്താണ് ഒരു മൊഡ്യൂൾ? എന്നെ ഒരു നമ്പറിന്റെ മൊഡ്യൂളുകൾ ലളിതമായി അതേ എണ്ണം, എന്നാൽ മൈനസ് ചിഹ്നം ഇല്ലാതെ എടുത്ത കാര്യം ഓർമിപ്പിക്കാൻ അനുവദിക്കുക. അതായത്, $ \\ ഇടത് | -5 \\ വലത് | \u003d 5 $. അല്ലെങ്കിൽ $ \\ ഇടത് | -129.5 \\ വലത് | \u003d $ 129.5.

അത് ലളിതമാണോ? അതെ, ലളിതമാണ്. പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് എന്താണ്? ഇവിടെ ഇത് കൂടുതൽ ലളിതമാണ്: ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ആ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്: $ \\ ഇടത് | 5 \\ വലത് | \u003d 5 $; $ \\ ഇടത് | 129.5 \\ വലത് | \u003d $ 129.5 മുതലായവ.

ഇത് ഒരു ക urious തുകകരമായ കാര്യമായി മാറുന്നു: വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ ഒരേ ഘടകം ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്: $ \\ ഇടത് | -5 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | 5 \\ വലത് | \u003d 5 $; $ \\ ഇടത് | -129.5 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | 129.5 \\ വലത് | \u003d $ 129.5. മൊഡ്യൂളുകൾ തുല്യമായ ഇവ ഏതുതരം അക്കങ്ങളാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: ഈ സംഖ്യകൾ വിപരീതമാണ്. അങ്ങനെ, നാം തന്നേ ശ്രദ്ധിക്കുക എതിർ സംഖ്യകളുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ തുല്യരാണ് എന്നു:

\\ [\\ ഇടത് | -a \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | a \\ വലത് | \\]

ഒന്ന് കൂടി പ്രധാനപ്പെട്ട വസ്തുത: മൊഡ്യൂൾ ഒരിക്കലും നെഗറ്റീവ് അല്ല. നമ്മൾ എന്ത് സംഖ്യ എടുത്താലും - പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് പോലും - അതിന്റെ മോഡുലസ് എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയി മാറുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ അങ്ങേയറ്റത്തെ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പൂജ്യം). അതിനാലാണ് മൊഡ്യൂളിനെ പലപ്പോഴും സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.

കൂടാതെ, മൊഡ്യൂളിന്റെ നിർവചനം പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, തുടർന്ന് എല്ലാ അക്കങ്ങൾക്കും മൊഡ്യൂളിന്റെ ആഗോള നിർവചനം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു. അതായത്: ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം) ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ നമ്പർ നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ വിപരീത സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഒരു ഫോർമുലയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

ഒരു പൂജ്യം മോഡുലസും ഉണ്ട്, പക്ഷേ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യമാണ്. കൂടാതെ, വിപരീതമില്ലാത്ത ഒരേയൊരു സംഖ്യ പൂജ്യമാണ്.

അങ്ങനെ, function y \u003d \\ ഇടത് | x \\ right | $ എന്നിട്ട് അതിന്റെ ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അത്തരമൊരു “ജാക്ക്ഡാവ്” ലഭിക്കും:

മൊഡ്യൂളിന്റെ ഗ്രാഫും സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണവും

ഈ ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി $ \\ ഇടത് | കാണാൻ കഴിയും -m \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | m \\ വലത് | $, മൊഡ്യൂളിന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരിക്കലും അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിന് താഴെയാകില്ല. എന്നാൽ ഇതെല്ലാം അങ്ങനെയല്ല: ചുവന്ന വര $ y \u003d a line എന്ന വരിയെ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു, ഇത് പോസിറ്റീവ് $ a $ നമുക്ക് ഒരേസമയം രണ്ട് വേരുകൾ നൽകുന്നു: $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ അതിനെക്കുറിച്ച് പിന്നീട് സംസാരിക്കും. :)

പൂർണ്ണമായും ബീജഗണിത നിർവചനത്തിന് പുറമേ, ഒരു ജ്യാമിതീയവും ഉണ്ട്. ഒരു സംഖ്യയിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകളുണ്ടെന്ന് കരുതുക: $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, expression \\ ഇടത് | ((x) _ (1)) - ((x) _ (2)) \\ വലത് | the എന്നത് നിർദ്ദിഷ്ട പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം മാത്രമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ പോയിന്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സെഗ്\u200cമെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യം:

മൊഡ്യൂൾ എല്ലായ്പ്പോഴും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതും ഈ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. എന്നാൽ മതിയായ നിർവചനങ്ങളും സിദ്ധാന്തവും - നമുക്ക് ഈ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പോകാം. :)

അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം

ശരി, ഒരു നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് അടുക്കി. പക്ഷേ അത് എളുപ്പമാക്കിയില്ല. ഈ മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും?

ശാന്തം, ശാന്തം മാത്രം. നമുക്ക് ലളിതമായ കാര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. ഇതുപോലുള്ള ഒന്ന് പരിഗണിക്കുക:

\\ [\\ ഇടത് | x \\ വലത് | \u003d 3 \\]

അതിനാൽ, $ x the മൊഡ്യൂൾ 3 ന് തുല്യമാണ്. $ X to ന് തുല്യമായത് എന്താണ്? ശരി, നിർവചനം അനുസരിച്ച് വിഭജിക്കുമ്പോൾ, $ x \u003d 3 with ൽ ഞങ്ങൾ സന്തുഷ്ടരാണ്. ശരിക്കും:

\\ [\\ ഇടത് | 3 \\ വലത് | \u003d 3 \\]

മറ്റെന്തെങ്കിലും നമ്പറുകളുണ്ടോ? തൊപ്പി, എന്താണെന്നതിനെക്കുറിച്ച് സൂചന നൽകുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, $ x \u003d -3 $ - അവനും $ \\ ഇടത് | -3 \\ വലത് | \u003d 3 $, അതായത്. ആവശ്യമായ സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു.

അതിനാൽ, നിങ്ങൾ തിരയുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ നമ്പറുകൾ കണ്ടെത്തുമെന്ന് കരുതുന്നുണ്ടോ? എന്നാൽ പൊട്ടിക്കുക: കൂടുതൽ അക്കങ്ങളൊന്നുമില്ല. സമവാക്യം \\ \\ ഇടത് | x \\ വലത് | \u003d 3 two ന് രണ്ട് വേരുകളേ ഉള്ളൂ: $ x \u003d 3 $, $ x \u003d -3 $.

ഇനി നമുക്ക് ടാസ്\u200cക് അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. $ X the എന്ന വേരിയബിളിന് പകരമായി, $ f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) the ഫംഗ്ഷൻ മൊഡ്യൂളിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലും വലതുവശത്ത് ട്രിപ്പിളിനുപകരം ഇടുക അനിയന്ത്രിതമായ നമ്പർ $ a $. നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു:

\\ [\\ ഇടത് | എഫ് \\ അവശേഷിക്കുന്നു (X \\ ശരിയായ) \\ ശരിയായ | \u003d ഒരു \\]

ശരി, ഇത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മപ്പെടുത്തട്ടെ: $ f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) an ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പ്രവർത്തനമാണ്, any a any ഏത് സംഖ്യയുമാണ്. ആ. പൊതുവെ ഏതെങ്കിലും! ഉദാഹരണത്തിന്:

\\ [\\ ഇടത് | 2x + 1 \\ വലത് | \u003d 5 \\]

\\ [\\ ഇടത് | 10x-5 \\ വലത് | \u003d -65 \\]

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് അദ്ദേഹത്തെക്കുറിച്ച് ഉടനടി പറയാൻ കഴിയും: അവന് വേരുകളില്ല. എന്തുകൊണ്ട്? അത് ശരിയാണ്: കാരണം മൊഡ്യൂളിന് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് ഒരിക്കലും സംഭവിക്കില്ല, കാരണം മൊഡ്യൂൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം, അങ്ങേയറ്റത്തെ സന്ദർഭങ്ങളിൽ പൂജ്യം.

എന്നാൽ ആദ്യ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം കൂടുതൽ രസകരമാണ്. രണ്ട് ഓപ്\u200cഷനുകളുണ്ട്: ഒന്നുകിൽ മൊഡ്യൂളിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു പോസിറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷനാണ്, തുടർന്ന് $ \\ ഇടത് | 2x + 1 \\ വലത് | \u003d 2x + 1 $, അല്ലെങ്കിൽ ഈ പദപ്രയോഗം ഇപ്പോഴും നെഗറ്റീവ് ആണ്, തുടർന്ന് $ \\ ഇടത് | 2x + 1 \\ വലത് | \u003d - \\ ഇടത് (2x + 1 \\ വലത്) \u003d - 2x-1 $. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

\\ [\\ ഇടത് | 2x + 1 \\ വലത് | \u003d 5 \\ വലതുവശത്ത് 2x + 1 \u003d 5 \\]

Mod 2x + 1 sub എന്ന ഉപമോഡുലാർ എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷൻ ശരിക്കും പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് പെട്ടെന്ന് മാറുന്നു - ഇത് 5 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം ശാന്തമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും - തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന റൂട്ട് ഉത്തരത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗമായിരിക്കും:

പ്രത്യേകിച്ച് ഇന്ച്രെദുലൊഉസ് ആളുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം കണ്ടെത്തി റൂട്ട് അതില്നിന്നൊക്കെ ഘടകം കീഴിൽ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ ഉണ്ടാകും ഉറപ്പു എന്ന് ഉറപ്പുവരുത്തുക ശ്രമിച്ചേക്കാം.

ഇപ്പോൾ ഒരു നെഗറ്റീവ് സബ് മൊഡ്യൂൾ എക്സ്പ്രഷന്റെ കാര്യം നോക്കാം:

\\ [\\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & \\ ഇടത് | 2x + 1 \\ വലത് | \u003d 5 \\\\ & 2x + 1 \\ lt 0 \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\ വലതുവശത്ത് -2x-1 \u003d 5 \\ രിഘ്തര്രൊവ് 2x +1 \u003d -5 \\]

ക്ഷമിക്കണം! എല്ലാം വീണ്ടും വ്യക്തമാണ്: ഞങ്ങൾ ആ $ 2x +1 \\ സംഗീതം 0 $ അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ ഫലമായി നാം ആ $ 2x +1 \u003d -5 $ ലഭിച്ചു -, തീർച്ചയായും ഈ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, കണ്ടെത്തിയ റൂട്ട് നമുക്ക് അനുയോജ്യമാകുമെന്ന് ഇതിനകം തന്നെ അറിയാം:

മൊത്തത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് വീണ്ടും രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിച്ചു: $ x \u003d 2 $, $ x \u003d 3 $. അതെ, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് വളരെ ലളിതമായ സമവാക്യമായ than \\ ഇടത് | എന്നതിനേക്കാൾ അല്പം വലുതായി മാറി x \\ വലത് | \u003d 3 $, പക്ഷേ അടിസ്ഥാനപരമായി ഒന്നും മാറിയിട്ടില്ല. അതിനാൽ ചിലതരം ഉണ്ടാവാം സാർവത്രിക അൽ\u200cഗോരിതം?

അതെ, അത്തരമൊരു അൽഗോരിതം നിലവിലുണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത് വേർപെടുത്തും.

മൊഡ്യൂൾ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നു

നമുക്ക് $ \\ ഇടത് | എന്ന സമവാക്യം നൽകാം f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \u003d a $, $ a \\ ge 0 $ (അല്ലെങ്കിൽ, നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, വേരുകളൊന്നുമില്ല). ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം അനുസരിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് മൊഡ്യൂളിന്റെ ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കാം:

\\ [\\ ഇടത് | f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \u003d a \\ വലതുവശത്ത് f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \u003d \\ pm a \\]

അങ്ങനെ, ഒരു മൊഡ്യൂളുമായുള്ള ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം രണ്ടായി വിഭജിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഒരു മൊഡ്യൂൾ ഇല്ലാതെ. അത്രയേയുള്ളൂ സാങ്കേതികവിദ്യ! കുറച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം

\\ [\\ ഇടത് | 5 മടങ്ങ് + 4 \\ ശരിയായ | \u003d 10 \\ രിഘ്തര്രൊവ് 5x + 4 \u003d \\ ന് 10 \\]

ഒരു പ്ലസ് ഉള്ള ഒരു ഡസൻ വലതുവശത്തും മൈനസ് ഉള്ളപ്പോൾ വെവ്വേറെയും ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കും. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & 5x + 4 \u003d 10 \\ വലതുവശത്തെ 5x \u003d 6 \\ വലതുവശത്തെ x \u003d \\ frac (6) (5) \u003d 1,2; \\\\ & 5x + 4 \u003d -10 \\ വലതുവശത്ത് 5x \u003d -14 \\ വലതുവശത്തെ x \u003d - \\ frac (14) (5) \u003d - 2.8. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അത്രയേയുള്ളൂ! ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു: $ x \u003d 1.2 $, $ x \u003d -2.8 $. മുഴുവൻ തീരുമാനവും അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ രണ്ട് വരികളാണ് എടുത്തത്.

ശരി, ചോദ്യമില്ല, കുറച്ചുകൂടി ഗ serious രവമുള്ള എന്തെങ്കിലും നോക്കാം:

\\ [\\ വിട്ടു | ൭-൫ക്സ \\ വലത് | \u003d 13 \\]

വീണ്ടും, പ്ലസ്, മൈനസ് എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് മൊഡ്യൂൾ തുറക്കുക:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & 7-5x \u003d 13 \\ വലതുവശത്ത് -5x \u003d 6 \\ വലതുവശത്തെ x \u003d - \\ frac (6) (5) \u003d - 1,2; \\\\ & 7-5x \u003d -13 \\ വലതുവശത്ത് -5x \u003d -20 \\ വലതുവശത്തെ x \u003d 4. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

വീണ്ടും കുറച്ച് വരികൾ - ഉത്തരം തയ്യാറാണ്! ഞാൻ പറഞ്ഞതുപോലെ, മൊഡ്യൂളുകളിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. ഏതാനും നിയമങ്ങൾ ഓർക്കുക വേണം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ മുന്നോട്ട് പോയി കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികളുമായി മുന്നോട്ട് പോകുന്നു.

വേരിയബിൾ വലതുവശത്തെ കേസ്

ഇപ്പോൾ ഈ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:

\\ [\\ ഇടത് | 3x-2 \\ വലത് | \u003d 2x \\]

ഈ സമവാക്യം മുമ്പത്തെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തമാണ്. എന്നതിനേക്കാൾ? തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് x 2x expression എന്ന പദപ്രയോഗം ഉണ്ട് - ഇത് പോസിറ്റീവ് ആണോ നെഗറ്റീവ് ആണോ എന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് മുൻകൂട്ടി അറിയാൻ കഴിയില്ല.

ഈ കേസിൽ എന്തുചെയ്യണം? ഒന്നാമതായി, നാം ഒരിക്കൽ കൂടി അത് മനസ്സിലാക്കണം സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് നെഗറ്റീവ് ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല - മൊഡ്യൂൾ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം.

രണ്ടാമതായി, വലത് ഭാഗം ഇപ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്), നിങ്ങൾക്ക് മുമ്പത്തെപ്പോലെ തന്നെ പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും: ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് വെവ്വേറെ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മൊഡ്യൂൾ തുറക്കുക.

അങ്ങനെ, ഏകപക്ഷീയമായ ഫംഗ്ഷനുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ ഒരു നിയമം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു $ f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) $, $ g \\ ഇടത് (x \\ വലത്) $:

\\ [\\ ഇടത് | f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \u003d g \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് വലത് \\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \u003d \\ pm g \\ ഇടത് (x \\ വലത്) ), \\\\ & g \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ ge 0. \\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\\ [\\ ഇടത് | 3x-2 \\ വലത് | \u003d 2x \\ വലത് \\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & 3x-2 \u003d \\ pm 2x, \\\\ & 2x \\ ge 0. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

ശരി, ഞങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെയെങ്കിലും x 2x \\ ge 0 $ ആവശ്യകത കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയും. അവസാനം, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന വേരുകളെ നിങ്ങൾക്ക് വിഡ് id ിത്തമായി മാറ്റി പകരം അസമത്വം ഉണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം തന്നെ പരിഹരിക്കുന്നു:

\\ [\\ (വിന്യസിക്കുക) തുടങ്ങും & 3x-2 \u003d 2 \\ രിഘ്തര്രൊവ് 3x \u003d 4 \\ രിഘ്തര്രൊവ് X \u003d \\ frac (4) (3); \\\\ & 3x-2 \u003d -2 \\ വലതുവശത്ത് 3x \u003d 0 \\ വലതുവശത്തെ x \u003d 0. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ശരി, ഈ രണ്ട് വേരുകളിൽ ഏത് $ 2x \\ ge 0 of ന്റെ ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു? അതെ രണ്ടും! അതിനാൽ, രണ്ട് അക്കങ്ങൾ തിരികെ പോകും: $ x \u003d (4) / (3) \\; $, $ x \u003d 0 $. അതാണ് മുഴുവൻ പരിഹാരവും. :)

ഒരു വിദ്യാർത്ഥി ഇതിനകം ബോറടിക്കാൻ തുടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞാൻ സംശയിക്കുന്നു? ശരി, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:

\\ [\\ ഇടത് | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ വലത് | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

ഇത് മോശമായി തോന്നുന്നുവെങ്കിലും, വാസ്തവത്തിൽ ഇത് “മൊഡ്യൂൾ പ്രവർത്തനത്തിന് തുല്യമാണ്” എന്ന രൂപത്തിന്റെ അതേ സമവാക്യമാണ്:

\\ [\\ ഇടത് | f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \u003d g \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\]

അത് അതേ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു:

\\ [\\ ഇടത് | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ വലത് | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\ വലത് വലത് \\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ( (x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d \\ pm \\ ഇടത് (x - ((x) ^ (3)) \\ വലത്), \\\\ & x - ((x ) ^ (3)) \\ ge 0. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

ഞങ്ങൾ പിന്നീട് അസമത്വം കൈകാര്യം ചെയ്യും - ഇത് എങ്ങനെയെങ്കിലും വളരെ മോശമാണ് (യഥാർത്ഥത്തിൽ ലളിതമാണ്, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കില്ല). ഇപ്പോൾ, ലഭിച്ച സമവാക്യങ്ങളുമായി ഞങ്ങൾ നന്നായി ഇടപെടും. ആദ്യ കേസ് പരിഗണിക്കുക - ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നത്തിലൂടെ മൊഡ്യൂൾ വികസിക്കുമ്പോൾ ഇതാണ്:

\\ [(((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

ശരി, ഇവിടെയും ഒരു മുള്ളൻപന്നി ഇടതും നിങ്ങൾ എല്ലാം ശേഖരിക്കണമെന്നും സമാനമായവ കൊണ്ടുവന്ന് എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കാണണമെന്നും വ്യക്തമാണ്. ഇതാണ് സംഭവിക്കുന്നത്:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)); \\\\ & 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) \u003d 0; \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് factor ((x) ^ (2)) factor എന്ന പൊതു ഘടകം എടുത്ത് വളരെ ലളിതമായ ഒരു സമവാക്യം നേടുന്നു:

\\ [(((x) ^ (2)) \\ ഇടത് (2x-3 \\ വലത്) \u003d 0 \\ വലത് വലത് \\ ഇടത് [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((x) ^ (2)) \u003d 0 \\\\ & 2x-3 \u003d 0 \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

\\ [(((x) _ (1)) \u003d 0; \\ ക്വാഡ് ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (3) (2) \u003d 1.5. \\]

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ, ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഘടകങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ബഹുപദസമവാക്യം ബാഗിലാക്കിയ ഇതിൽ നിമിത്തം: കുറഞ്ഞത് ഘടകങ്ങളിൽ ഒന്ന് പൂജ്യമായി തുല്യമാണ് വരുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമായി തുല്യമാണ്.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ അതേ രീതിയിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യും, ഇത് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മൊഡ്യൂൾ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ലഭിക്കും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d - \\ ഇടത് (x - ((x) ^ (3)) \\ വലത്); \\\\ & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d -x + ((x) ^ (3)); \\\\ & -3 ((x) ^ (2)) + 2x \u003d 0; \\\\ & x \\ ഇടത് (-3x + 2 \\ വലത്) \u003d 0. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

വീണ്ടും അതേ കാര്യം: കുറഞ്ഞത് ഒരു ഘടകമെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

\\ [\\ ശേഷിക്കുന്നു [\\ തുടങ്ങും (വിന്യസിക്കുക) & X \u003d 0 \\\\ & -൩ക്സ 2 \u003d 0 \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

ശരി, ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് വേരുകൾ ലഭിച്ചു: $ x \u003d 0 $, $ x \u003d 1,5 $, $ x \u003d (2) / (3) \\; $. അപ്പോൾ ഈ സെറ്റിന്റെ അവസാന ഉത്തരത്തിലേക്ക് പോകുന്നത് എന്താണ്? ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അസമത്വത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു അധിക പരിമിതി ഉണ്ടെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക:

അക്കൗണ്ടിലേക്ക് ഈ ആവശ്യകത എങ്ങനെ? അതെ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ മാറ്റി പകരംവയ്ക്കുക: അസമത്വം ഇവയ്ക്ക് $ x for അല്ലെങ്കിൽ ഇല്ല. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & x \u003d 0 \\ വലതുവശത്തെ x - ((x) ^ (3)) \u003d 0-0 \u003d 0 \\ ge 0; \\\\ & x \u003d 1.5 \\ വലതുവശത്തെ x - ((x) ^ (3)) \u003d 1.5 - ((1,5) ^ (3)) \\ lt 0; \\\\ & x \u003d \\ frac (2) (3) \\ വലത് x - ((x) ^ (3)) \u003d \\ frac (2) (3) - \\ frac (8) (27) \u003d \\ frac (10) (27) \\ ge 0; \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അങ്ങനെ, $ x \u003d 1.5 the റൂട്ട് നമുക്ക് അനുയോജ്യമല്ല. പ്രതികരണമായി, രണ്ട് വേരുകൾ മാത്രമേ പോകൂ:

\\ [(((x) _ (1)) \u003d 0; \\ ക്വാഡ് ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2) (3). \\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പോലും സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല - മൊഡ്യൂളുകളുമായുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും അൽഗോരിതം പരിഹരിക്കും. പോളിനോമിയലുകളും അസമത്വങ്ങളും നന്നായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു - ഇതിനകം ഒന്നല്ല, രണ്ട് മൊഡ്യൂളുകൾ ഉണ്ടാകും.

രണ്ട് മൊഡ്യൂളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ

ഇതുവരെ, ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും കൂടുതൽ പഠിച്ചത് മാത്രമാണ് ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ - ഒരു മൊഡ്യൂളും മറ്റെന്തെങ്കിലും ഉണ്ടായിരുന്നു. മൊഡ്യൂളിൽ നിന്ന് അകലെ, അസമത്വത്തിന്റെ മറ്റൊരു ഭാഗത്തേക്ക് ഞങ്ങൾ ഈ “മറ്റെന്തെങ്കിലും” അയച്ചു, അങ്ങനെ അവസാനം എല്ലാം form \\ ഇടത് | എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് വരുന്നു. എഫ് \\ അവശേഷിക്കുന്നു (X \\ ശരിയായ) \\ വലതു | \u003d ഗ്രാം \\ അവശേഷിക്കുന്നു (X \\ വലത്) $ അല്ലെങ്കിൽ ലളിതവും $ \\ വിട്ടു | f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \u003d a $.

പക്ഷേ കിന്റർഗാർട്ടൻ കഴിഞ്ഞു - കൂടുതൽ ഗുരുതരമായ ഒന്ന് പരിഗണിക്കേണ്ട സമയമാണിത്. ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം:

\\ [\\ ഇടത് | f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | g \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \\]

ഈ സമവാക്യം “മൊഡ്യൂളിന് മൊഡ്യൂളിന് തുല്യമാണ്” എന്ന രൂപത്തിലാണ്. അടിസ്ഥാനപരമായി പ്രധാന കാര്യം മറ്റ് നിബന്ധനകളുടെയും ഘടകങ്ങളുടെയും അഭാവമാണ്: ഇടതുവശത്ത് ഒരു മൊഡ്യൂൾ മാത്രം, വലതുവശത്ത് മറ്റൊരു മൊഡ്യൂൾ - കൂടാതെ കൂടുതലൊന്നും ഇല്ല.

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ നമ്മൾ ഇതുവരെ പഠിച്ചതിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് പരിഹരിച്ചതായി ആരെങ്കിലും ഇപ്പോൾ ചിന്തിക്കും. ഇവിടെ അത് അങ്ങനെയല്ല: ഈ സമവാക്യങ്ങൾ കൂടുതൽ ലളിതമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. സമവാക്യം ഇതാ:

\\ [\\ ഇടത് | f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | g \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \\ വലതുവശത്ത് f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \u003d \\ pm g \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\]

എല്ലാം! അവയിൽ ഒന്നിന് മുന്നിൽ ഒരു പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ് ചിഹ്നം സ്ഥാപിച്ച് ഞങ്ങൾ സബ് മോഡുലാർ എക്സ്പ്രഷനുകളെ തുല്യമാക്കുന്നു. ലഭിച്ച രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു - വേരുകൾ തയ്യാറാണ്! അധിക നിയന്ത്രണങ്ങളില്ല, അസമത്വങ്ങളില്ല. എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്.

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

\\ [\\ ഇടത് | 2x + 3 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | 2x-7 \\ വലത് | \\]

പ്രാഥമിക വാട്സൺ! ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂളുകൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു:

\\ [\\ ഇടത് | 2x + 3 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | 2x-7 \\ വലത് | \\ വലതുവശത്ത് 2x + 3 \u003d \\ pm \\ ഇടത് (2x-7 \\ വലത്) \\]

ഓരോ കേസും ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & 2x + 3 \u003d 2x-7 \\ വലതുവശത്ത് 3 \u003d -7 \\ വലതുവശത്തെ \\ ശൂന്യത; \\\\ & 2x + 3 \u003d - \\ ഇടത് (2x-7 \\ വലത്) \\ വലത് 2x + 3 \u003d -2x + 7. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിൽ വേരുകളൊന്നുമില്ല. കാരണം എപ്പോഴാണ് $ 3 \u003d -7 $? $ X of ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്? "എന്താ $ x $? നിങ്ങൾ പുകവലിച്ചിട്ടുണ്ടോ? $ X $ ഇല്ല, ”നിങ്ങൾ പറയുന്നു. നിങ്ങൾ ശരിയാകും. $ X the വേരിയബിളിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായി ഞങ്ങൾ ഒരു സമത്വം നേടി, സമത്വം തന്നെ തെറ്റാണ്. അതിനാൽ, വേരുകളൊന്നുമില്ല. :)

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ, എല്ലാം കുറച്ചുകൂടി രസകരമാണ്, മാത്രമല്ല വളരെ ലളിതവുമാണ്:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എല്ലാം അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ രണ്ട് വരികളിലാണ് തീരുമാനിച്ചത് - രേഖീയ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിച്ചില്ല. :)

അവസാന ഉത്തരം: $ x \u003d 1 $.

എങ്ങനെ? സങ്കീർണ്ണമാണോ? തീർച്ചയായും ഇല്ല. നമുക്ക് മറ്റെന്തെങ്കിലും ശ്രമിക്കാം:

\\ [\\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ വലത് | \\]

വീണ്ടും, നമുക്ക് \\ \\ ഇടത് | എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ട് f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | g \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | $. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ ഇത് മാറ്റിയെഴുതുന്നു, മൊഡ്യൂളിന്റെ അടയാളം വെളിപ്പെടുത്തുന്നു:

\\ [(((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d \\ pm \\ ഇടത് (x-1 \\ വലത്) \\]

ഒരുപക്ഷേ ആരെങ്കിലും ഇപ്പോൾ ചോദിക്കും: “ഹേയ്, എന്ത് തരം വിഡ് ense ിത്തമാണ്? എന്തുകൊണ്ടാണ് “പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ്” വലതുവശത്ത്, ഇടതുവശത്ത് അല്ല? ” ശാന്തമായി, ഞാൻ ഇപ്പോൾ എല്ലാം വിശദീകരിക്കും. തീർച്ചയായും, ഒരു നല്ല രീതിയിൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതേണ്ടതുണ്ട്:

അതിനുശേഷം നിങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കേണ്ടതുണ്ട്, എല്ലാ പദങ്ങളും തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഒരു വശത്തേക്ക് നീക്കുക (കാരണം സമവാക്യം രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിലും സമചതുരമായിരിക്കും), തുടർന്ന് വേരുകൾ കൂടുതൽ കണ്ടെത്തുക. എന്നാൽ നിങ്ങൾ സമ്മതിക്കണം: പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ് മൂന്ന് പദങ്ങൾക്ക് മുന്നിലായിരിക്കുമ്പോൾ (പ്രത്യേകിച്ചും ഈ പദങ്ങളിലൊന്ന് ഒരു ചതുര പദപ്രയോഗമാകുമ്പോൾ), പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ് രണ്ട് പദങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ മാത്രമുള്ള സാഹചര്യത്തേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായി തോന്നുന്നു.

എന്നാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നതിൽ നിന്ന് ഒന്നും ഞങ്ങളെ തടയുന്നില്ല:

\\ [\\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ വലത് | \\ വലതുവശത്ത് \\ ഇടത് | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \\]

എന്താണ് സംഭവിച്ചത്? പ്രത്യേകിച്ചൊന്നുമില്ല: അവ ഇടതും വലതും മാറ്റി. ഒരു നിസ്സാരത, അവസാനം നമ്മുടെ ജീവിതത്തെ അൽപ്പം ലളിതമാക്കും. :)

പൊതുവേ, പ്ലസും മൈനസും ഉള്ള ഓപ്ഷനുകൾ പരിഗണിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d x-1 \\ വലതുവശത്ത് ((x) ^ (2)) - 4x + 3 \u003d 0; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d - \\ ഇടത് (x-1 \\ വലത്) \\ വലതുവശത്ത് ((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d 0. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ആദ്യ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട് $ x \u003d 3 $, $ x \u003d 1 $. രണ്ടാമത്തേത് സാധാരണയായി ഒരു കൃത്യമായ ചതുരമാണ്:

\\ [(((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d ((\\ ഇടത് (x-1 \\ വലത്)) ^ (2)) \\]

അതിനാൽ, ഇതിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്: $ x \u003d 1 $. എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ഈ റൂട്ട് നേരത്തെ ലഭിച്ചു. അതിനാൽ, രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ മാത്രമേ അന്തിമ ഉത്തരത്തിലേക്ക് പോകുകയുള്ളൂ:

\\ [(((x) _ (1)) \u003d 3; \\ ക്വാഡ് ((x) _ (2)) \u003d 1. \\]

ദൗത്യം പൂർത്തിയായി! നിങ്ങൾക്ക് അത് അലമാരയിൽ നിന്ന് എടുത്ത് ഒരു പൈ കഴിക്കാം. അവയിൽ 2 ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ ശരാശരി. :)

പ്രധാനപ്പെട്ട നോട്ടീസ്. ഒരേ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം വ്യത്യസ്ത ഓപ്ഷനുകൾ മൊഡ്യൂളിന്റെ വിപുലീകരണം അർത്ഥമാക്കുന്നത് യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലുകൾ ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യപ്പെട്ടതാണ്, ഈ ഘടകങ്ങൾക്കിടയിൽ തീർച്ചയായും പൊതുവായ ഒന്ന് ഉണ്ടാകും. ശരിക്കും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & \\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ വലത് |; \\\\ & \\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | \\ ഇടത് (x-1 \\ വലത്) \\ ഇടത് (x-2 \\ വലത്) \\ വലത് |. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ ഒന്ന്: $ \\ ഇടത് | a \\ cdot b \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | a \\ വലത് | \\ cdot \\ ഇടത് | b \\ right | $ (അതായത്, ഉൽപ്പന്ന മൊഡ്യൂൾ മൊഡ്യൂളുകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്), അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

\\ [\\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \\ cdot \\ ഇടത് | x-2 \\ വലത് | \\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയുന്ന പോലെ, ഞങ്ങൾ ശരിക്കും ഒരു സാധാരണ ഘടകം ഉണ്ട്. ഇപ്പോൾ, നിങ്ങൾ എല്ലാ മൊഡ്യൂളുകളും ഒരു വശത്ത് ശേഖരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഈ ഘടകം ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് മാറ്റാം:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & \\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \u003d \\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \\ cdot \\ ഇടത് | x-2 \\ വലത് |; \\\\ & \\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | - \\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \\ cdot \\ ഇടത് | x-2 \\ വലത് | \u003d 0; \\\\ & \\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \\ cdot \\ ഇടത് (1- \\ ഇടത് | x-2 \\ വലത് | \\ വലത്) \u003d 0. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

ശരി, ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ ഓർക്കുക:

\\ [\\ ഇടത് [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & \\ ഇടത് | x-1 \\ വലത് | \u003d 0, \\\\ & \\ ഇടത് | x-2 \\ വലത് | \u003d 1. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

അങ്ങനെ, രണ്ട് മൊഡ്യൂളുകളുള്ള യഥാർത്ഥ സമവാക്യം രണ്ട് ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളായി ചുരുക്കി, അത് പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഞങ്ങൾ സംസാരിച്ചു. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ രണ്ട് വരികളിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടും. :)

ഈ പരാമർശം അനാവശ്യമായി സങ്കീർണ്ണവും പ്രായോഗികമായി ബാധകമല്ലാത്തതുമായി തോന്നാം. എന്നിരുന്നാലും, വാസ്തവത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ കാര്യങ്ങൾ നേരിടാം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികൾഇന്ന് ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനേക്കാൾ. അവയിൽ\u200c, മൊഡ്യൂളുകൾ\u200c പോളിനോമിയലുകൾ\u200c, ഗണിത വേരുകൾ\u200c, ലോഗരിതം മുതലായവയുമായി സംയോജിപ്പിക്കാൻ\u200c കഴിയും. അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് എന്തെങ്കിലും മാറ്റിക്കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള അളവ് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവ് വളരെ സഹായകരമാകും. :)

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ വ്യാമോഹമെന്ന് തോന്നിയേക്കാവുന്ന മറ്റൊരു സമവാക്യം ഇപ്പോൾ വ്യാകരിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. പല വിദ്യാർത്ഥികളും അതിൽ "പറ്റിനിൽക്കുന്നു" - മൊഡ്യൂളുകളെക്കുറിച്ച് അവർക്ക് നല്ല ധാരണയുണ്ടെന്ന് വിശ്വസിക്കുന്നവർ പോലും.

എങ്കിലും, ഈ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നേരത്തെ പരിഗണിക്കും അതിനെക്കാളും പോലും ലളിതവും തീർന്നു. എന്തുകൊണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ മനസിലാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, മൊഡ്യൂളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു ട്രിക്ക് ലഭിക്കും.

അതിനാൽ സമവാക്യം ഇതാണ്:

\\ [\\ ഇടത് | x - ((x) ^ (3)) \\ വലത് | + \\ ഇടത് | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ വലത് | \u003d 0 \\]

ഇല്ല, ഇത് ഒരു അക്ഷരപ്പിശകല്ല: മൊഡ്യൂളുകൾക്കിടയിൽ കൃത്യമായി ഒരു പ്ലസ് ആണ്. രണ്ട് മൊഡ്യൂളുകളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. :)

എന്താണ് പ്രശ്നം? ഓരോ മൊഡ്യൂളും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അല്ലെങ്കിൽ അങ്ങേയറ്റത്തെ സന്ദർഭങ്ങളിൽ പൂജ്യമാണ് എന്നതാണ് പ്രശ്നം. നിങ്ങൾ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ ചേർത്താൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? വ്യക്തമായും, ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ വീണ്ടും:

\\ [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & 5 + 7 \u003d 12 \\ gt 0; \\\\ & 0.004 + 0.0001 \u003d 0.0041 \\ gt 0; \\\\ & 5 + 0 \u003d 5 \\ gt 0. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\]

അവസാന വരി ചിന്തയിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം: മൊഡ്യൂളുകളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഓരോ മൊഡ്യൂളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം:

\\ [\\ ഇടത് | x - ((x) ^ (3)) \\ വലത് | + \\ ഇടത് | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ വലത് | \u003d 0 \\ വലതുവശത്ത് \\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & \\ ഇടത് | x - ((x) ^ (3)) \\ വലത് | \u003d 0, \\\\ & \\ വിട്ടു | ((X) ^ (2)) + X-2 \\ ശരിയായ |. \u003d 0. \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ ശരിയായ \\]

എപ്പോഴാണ് മൊഡ്യൂൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുക? ഒരു കേസിൽ മാത്രം - സബ്\u200cമോഡ്യൂൾ എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷൻ പൂജ്യമാകുമ്പോൾ:

\\ [((x) ^ (2)) + x-2 \u003d 0 \\ വലത് വലത് \\ ഇടത് (x + 2 \\ വലത്) \\ ഇടത് (x-1 \\ വലത്) \u003d 0 \\ വലതുവശത്ത് \\ ഇടത് [\\ ആരംഭിക്കുക (വിന്യസിക്കുക) & x \u003d -2 \\\\ & x \u003d 1 \\\\\\ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \\ വലത്. \\]

അങ്ങനെ, ആദ്യത്തെ മൊഡ്യൂൾ പൂജ്യമാകുന്ന മൂന്ന് പോയിന്റുകളുണ്ട്: 0, 1, −1; രണ്ടാമത്തെ മൊഡ്യൂൾ പൂജ്യമാകുന്ന രണ്ട് പോയിന്റുകളും: −2, 1. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിലേക്ക് രണ്ട് മൊഡ്യൂളുകളും ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ കണ്ടെത്തിയ അക്കങ്ങൾക്കിടയിൽ, രണ്ട് സെറ്റുകളിലുമുള്ളവ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. വ്യക്തമായും, ഈ നമ്പർ ഒന്നാണ്: $ X \u003d 1 $ - ഈ അന്തിമ ഉത്തരം ആയിരിക്കും.

പിളർപ്പ് രീതി

ശരി, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഒരു കൂട്ടം ജോലികൾ ഉൾക്കൊള്ളുകയും ധാരാളം തന്ത്രങ്ങൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്തു. അത്രയേയുള്ളൂ എന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? ഇല്ല! ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അന്തിമ സ്വീകരണം പരിഗണിക്കും - അതേ സമയം ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതും. ഇത് ഒരു മൊഡ്യൂളുമായി സമവാക്യങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചായിരിക്കും. ഇത് എന്തിനെക്കുറിച്ചായിരിക്കും? ബാക്ക് ചില ലളിതമായ സമവാക്യം ഒരു ബിറ്റ് കാഴ്ചയും പോകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത്:

\\ [\\ ഇടത് | 3x-5 \\ വലത് | \u003d 5-3x \\]

തത്വത്തിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം, കാരണം ഇത് $ \\ ഇടത് | എന്ന ഫോമിന്റെ അടിസ്ഥാന നിർമ്മാണമാണ് f \\ ഇടത് (x \\ വലത്) \\ വലത് | \u003d g \\ ഇടത് (x \\ വലത്) $. എന്നാൽ ഈ സമവാക്യം അല്പം വ്യത്യസ്തമായ കോണിൽ നിന്ന് നോക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, മൊഡ്യൂളിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക. ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും മോഡുലസ് സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാകാം, അല്ലെങ്കിൽ അത് ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് വിപരീതമായിരിക്കാമെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം:

\\ [\\ ഇടത് | a \\ right | \u003d \\ left \\ (\\ begin (align) & a, \\ quad a \\ ge 0, \\\\ & -a, \\ quad a \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഈ അസന്നിഗ്ദമായി മുഴുവൻ പ്രശ്നമാണ്: ഘടകം മാറ്റങ്ങൾ (അത് വേരിയബിൾ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു) പ്രകാരം എണ്ണം മുതൽ, അത് ഇതിനെ അനുകൂലമോ പ്രതികൂലമോ എന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമല്ല.

എന്നാൽ ഈ നമ്പർ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണമെന്നാണ് പ്രാഥമിക നിബന്ധനയെങ്കിലോ? ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾക്ക് $ 3x-5 \\ gt 0 that ആവശ്യമുണ്ട് - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മൊഡ്യൂളിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പുണ്ട്, മാത്രമല്ല ഈ മൊഡ്യൂളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് പൂർണ്ണമായും ഒഴിവാക്കാനും കഴിയും:

അങ്ങനെ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഒരു രേഖീയമായി മാറും, അത് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും:

ശരിയാണ് ഈ എല്ലാ പരിഗണനകൾ ർ $ 3x-5 \\ gt; 0 $ കീഴിൽ അർത്ഥവുമില്ല - നാം സ്വയം ഉനംബിഗുഒഉസ്ല്യ് ഘടകം വെളിപ്പെടുത്താൻ വേണ്ടി ഈ ആവശ്യമായ അവതരിപ്പിച്ചു. അതിനാൽ, കണ്ടെത്തിയ $ x \u003d \\ frac (5) (3) condition ഈ അവസ്ഥയിലേക്ക് മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുക:

Required x of ന്റെ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യത്തിനൊപ്പം ഞങ്ങളുടെ ആവശ്യകത നിറവേറ്റുന്നില്ലെന്ന് ഇത് മാറുന്നു പദപ്രയോഗം പൂജ്യമായി മാറി, അത് പൂജ്യത്തേക്കാൾ കർശനമായിരിക്കണം. സങ്കടം .:(

എന്നാൽ വലിയ കാര്യമൊന്നുമില്ല! എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇപ്പോഴും $ 3x-5 \\ lt 0 option ഓപ്ഷൻ ഉണ്ട്. മാത്രമല്ല: x 3x-5 \u003d 0 of എന്ന കേസും ഉണ്ട് - ഇതും പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അല്ലാത്തപക്ഷം പരിഹാരം അപൂർണ്ണമായിരിക്കും. അതിനാൽ, x 3x-5 \\ lt 0 of ന്റെ കേസ് പരിഗണിക്കുക:

വ്യക്തമായും, ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മൊഡ്യൂൾ തുറക്കും. എന്നാൽ ഒരു വിചിത്രമായ സാഹചര്യം ഉടലെടുക്കുന്നു: ഒരേ പദപ്രയോഗം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ ഇടതും വലതും വ്യക്തമാകും:

ഏത് തരത്തിലുള്ള $ x $ എക്സ്പ്രഷൻ $ 5-3x the the 5-3x expression എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമാകുമെന്ന് ഞാൻ ചിന്തിക്കുന്നു? അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, ക്യാപ്റ്റൻ പോലും ഉമിനീരിൽ ശ്വാസം മുട്ടിക്കുമായിരുന്നു, പക്ഷേ നമുക്ക് ചിലത് അറിയാം: ഈ സമവാക്യം ഒരു ഐഡന്റിറ്റിയാണ്, അതായത്. വേരിയബിളിന്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും ഇത് ശരിയാണ്!

ഇതിനർത്ഥം ഏതെങ്കിലും $ x $ ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമാകും. എന്നാൽ, നാം ഒരു പരിമിതികളുണ്ട്:

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഉത്തരം ഒരൊറ്റ സംഖ്യയല്ല, മുഴുവൻ ഇടവേളയും:

അവസാനമായി, ഇത് മറ്റൊരു കേസ് പരിഗണിക്കുന്നത് അവശേഷിക്കുന്നു: $ 3x-5 \u003d 0 $. എല്ലാം ലളിതമാണ്: മൊഡ്യൂളിന് കീഴിൽ പൂജ്യം ഉണ്ടാകും, കൂടാതെ പൂജ്യ മൊഡ്യൂളും പൂജ്യമായിരിക്കും (ഇത് നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു):

എന്നാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം $ \\ ഇടത് | 3 മടങ്ങ്-5 \\ ശരിയായ | താഴെ പോലെ \u003d ൫-൩ക്സ $ മാറ്റിയെഴുതി ചെയ്യും:

Root 3x-5 \\ gt 0 of ന്റെ കാര്യം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം തന്നെ ഈ റൂട്ട് ലഭിച്ചു. മാത്രമല്ല, ഈ റൂട്ട് x 3x-5 \u003d 0 the എന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ് - മൊഡ്യൂൾ പുന reset സജ്ജമാക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ സ്വയം അവതരിപ്പിച്ച ഒരു നിയന്ത്രണമാണിത്. :)

അതിനാൽ, ഇടവേളയ്\u200cക്ക് പുറമേ, ഈ ഇടവേളയുടെ അവസാനത്തിൽ\u200c കിടക്കുന്ന സംഖ്യയിലും ഞങ്ങൾ\u200c സംതൃപ്തരാണ്:

ആകെ അന്തിമ ഉത്തരം: \\ ഇടത് (- \\ infty; \\ frac (5) (3) \\ വലത്] $. ഒരു മൊഡ്യൂളിനൊപ്പം ലളിതമായ (അടിസ്ഥാനപരമായി രേഖീയ) സമവാക്യത്തിനുള്ള ഉത്തരത്തിൽ അത്തരം അപകർഷത കാണുന്നത് പതിവല്ല. ശരി, ഇത് ഉപയോഗപ്പെടുത്തുക: മൊഡ്യൂളിന്റെ സങ്കീർണ്ണത അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിലെ ഉത്തരങ്ങൾ പൂർണ്ണമായും പ്രവചനാതീതമായി മാറും എന്നതാണ്.

അതിലും പ്രധാനം മറ്റൊന്ന്: ഒരു മോഡുലേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാർവത്രിക അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി! ഈ അൽ\u200cഗോരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. സമവാക്യത്തിലെ ഓരോ മൊഡ്യൂളിനെയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക. ഞങ്ങൾക്ക് ചില സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും;
2. ഈ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക, നമ്പർ ലൈനിൽ വേരുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക. തൽഫലമായി, ലൈൻ നിരവധി ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കും, അവയിൽ ഓരോന്നും എല്ലാ മൊഡ്യൂളുകളും അദ്വിതീയമായി വികസിപ്പിക്കുന്നു;
3. ഓരോ ഇടവേളയ്ക്കും യഥാർത്ഥ സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് ലഭിച്ച ഉത്തരങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുക.

അത്രയേയുള്ളൂ! ഒരു ചോദ്യം മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ: ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ തന്നെ വേരുകൾ എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും? നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക: $ x \u003d 1 $, $ x \u003d 5 $. അവ സംഖ്യയെ 3 കഷണങ്ങളായി തകർക്കും:

ശരി, ഇവിടെ ഇടവേളകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം ഉണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്:

1. ഇടത് വശത്ത്: $ x \\ lt 1 $ - ഇടവേളയിൽ യൂണിറ്റ് തന്നെ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല;
2. മധ്യഭാഗം: $ 1 \\ le x \\ lt 5 $ - ഇവിടെ യൂണിറ്റ് ഇടവേളയിൽ പ്രവേശിക്കുന്നു, പക്ഷേ അഞ്ച് പ്രവേശിക്കുന്നില്ല;
3. വലതുഭാഗത്തെ: $ X \\ ജ് 5 $ - അഞ്ചു മാത്രം ഇവിടെ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്!

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഇതിനകം മാതൃക മനസ്സിലാക്കി തോന്നുന്നു. ഓരോ ഇടവേളയിലും ഇടത് അവസാനം ഉൾപ്പെടുന്നു, അതിൽ വലത് ഉൾപ്പെടുന്നില്ല.

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് അസുഖകരവും യുക്തിരഹിതവും പൊതുവെ ഒരുതരം ഭ്രാന്തനുമായി തോന്നാം. എന്നാൽ എന്നെ വിശ്വസിക്കൂ: ഒരു ഹ്രസ്വ പരിശീലന സെഷനുശേഷം, ഈ സമീപനമാണ് ഏറ്റവും വിശ്വസനീയവും അതേസമയം മൊഡ്യൂളുകളുടെ വ്യക്തമായ വെളിപ്പെടുത്തലിൽ ഇടപെടുന്നില്ലെന്നും നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. ഓരോ തവണയും ചിന്തിക്കുന്നതിനേക്കാൾ അത്തരമൊരു സ്കീം ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്: നിലവിലെ ഇടവേളയ്ക്ക് ഇടത് / വലത് അവസാനം നൽകുക അല്ലെങ്കിൽ അടുത്തതിലേക്ക് “എറിയുക”.

ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും ഒരു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം. ഞങ്ങൾ നൽകും വിവിധ നിർവചനങ്ങൾ   നമ്പറിന്റെ മൊഡ്യൂൾ, ഞങ്ങൾ നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഗ്രാഫിക് ചിത്രീകരണങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു വിവിധ ഉദാഹരണങ്ങൾ   നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനുശേഷം, മൊഡ്യൂളിന്റെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുകയും ന്യായീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ലേഖനം അവസാനം, ഞങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ നമ്പർ ഘടകം എങ്ങനെ തീരുമാനിക്കുകയും കണ്ടെത്തിയാൽ സംസാരിക്കുന്നത്.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

നമ്പർ മൊഡ്യൂൾ - നിർവചനം, പദവി, ഉദാഹരണങ്ങൾ

ആദ്യം ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു നമ്പർ മൊഡ്യൂൾ പദവി. ഒരു സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂൾ, അതായത്, ഇടത്, വലത് വശത്ത്, മൊഡ്യൂളിന്റെ ചിഹ്നമായി ലംബ ബാറുകൾ സ്ഥാപിക്കും. കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ. ഉദാഹരണത്തിന്, മൊഡ്യൂൾ −7 ഇങ്ങനെ എഴുതാം; 4.125 മൊഡ്യൂൾ ഇതായി എഴുതി, മൊഡ്യൂളിന് ഒരു വ്യൂ റെക്കോർഡ് ഉണ്ട്.

ഒരു മൊഡ്യൂളിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം ഒരു കൂട്ടം യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഘടകഭാഗങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അതിനാൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, യുക്തിസഹമായ, യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ലെ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ മൊഡ്യൂളിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കും.

നിർവചനം

A യുടെ മോഡുലസ്   ഒന്നുകിൽ ഒരു സംഖ്യ തന്നെയാണോ, a ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ numbera സംഖ്യയാണോ? സംഖ്യയ്ക്ക് വിപരീതമായി   a ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ 0 \u003d a \u003d 0 ആണെങ്കിൽ.

ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ ശബ്\u200cദ നിർവചനം പലപ്പോഴും ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു , ഈ എൻ\u200cട്രി അർത്ഥമാക്കുന്നത് a\u003e 0 ആണെങ്കിൽ, a \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, a<0 .

റെക്കോർഡ് കൂടുതൽ കോം\u200cപാക്റ്റ് രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും . ഈ എൻ\u200cട്രി അർത്ഥമാക്കുന്നത് (a എന്നത് 0 നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെങ്കിൽ), a എങ്കിൽ<0 .

ഒരു റെക്കോർഡും ഉണ്ട് . ഇവിടെ, ഒരു \u003d 0 പ്രത്യേകമായി വ്യക്തമാക്കേണ്ട കേസ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ഉണ്ട്, പക്ഷേ −0 \u003d 0, കാരണം പൂജ്യത്തിന് വിപരീതമായ ഒരു സംഖ്യയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ   ശബ്\u200cദ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പറുകൾ 15 എന്ന മൊഡ്യൂളുകൾ കണ്ടെത്താൻ. അത് കണ്ടെത്തി ആരംഭിക്കാം. 15 എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച് അതിന്റെ മൊഡ്യൂൾ ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത്. ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് എന്താണ്? ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായതിനാൽ, അതിന്റെ മോഡുലസ് സംഖ്യയ്ക്ക് വിപരീത സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് സംഖ്യയ്ക്ക് . ഈ വഴിയിൽ, .

ഈ ഖണ്ഡികയുടെ സമാപനത്തിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ പ്രയോഗത്തിൽ വരുത്താൻ വളരെ സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു നിഗമനം ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു അക്കത്തിന്റെ മൊഡ്യൂൾ അതിന്റെ ചിഹ്നം കണക്കിലെടുക്കാതെ മൊഡ്യൂളിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് വളരെ വ്യക്തമായി കാണാം. സംഖ്യ മൊഡ്യൂളിനെ എന്തിനാണ് വിളിക്കുന്നതെന്ന് പ്രസ്താവിച്ച പ്രസ്താവന വിശദീകരിക്കുന്നു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം. അതിനാൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസും ഒരു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യവും ഒന്നുതന്നെയാണ്.

ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ദൂരമായി

ജ്യാമിതീയമായി, ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് എന്ന് വ്യാഖ്യാനിക്കാം ദൂരം. ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു ദൂരത്തിന് മുകളിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർണ്ണയം.

നിർവചനം

A യുടെ മോഡുലസ്   കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം a എന്ന നമ്പറുമായി യോജിക്കുന്നു.

ഈ നിർവചനം ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഈ നിമിഷം നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. ഉത്ഭവം മുതൽ പോയിന്റ് വരെ ഒരു നല്ല എണ്ണം അനുബന്ധഘടകങ്ങളെ ദൂരം ഈ നമ്പറിലേക്ക് തുല്യമാണ്. പൂജ്യം പോയിന്റ് ഉറവിടവുമായി യോജിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് കോർഡിനേറ്റ് 0 ഉള്ള പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം പൂജ്യമാണ് (നിങ്ങൾ ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്മെന്റ് നീട്ടിവെക്കേണ്ടതില്ല, പോയിന്റ് ഒയിൽ നിന്ന് കോർഡിനേറ്റ് 0 ഉപയോഗിച്ച് പോയിന്റ് നേടുന്നതിന് ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്\u200cമെന്റിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ഭാഗം പോലും സൃഷ്ടിക്കുന്നില്ല). നെഗറ്റീവ് കോർഡിനേറ്റുള്ള ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം ഈ പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റിന് വിപരീത സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, കാരണം ഇത് ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റ് വിപരീത സംഖ്യയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 9 ന്റെ മോഡുലസ് 9 ആണ്, കാരണം ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് കോർഡിനേറ്റ് 9 ഉള്ള പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം ഒമ്പതാണ്. നാം മറ്റൊരു ഉദാഹരണം. −3.25 എന്ന കോർഡിനേറ്റുള്ള പോയിന്റ് O പോയിന്റിൽ നിന്ന് 3.25 അകലെ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു .

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ മോഡുലസ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ ശബ്\u200cദ നിർവചനം.

നിർവചനം

രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ മൊഡ്യൂൾ   a, b എന്നിവ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിന്റെ പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ് a, b.

അതായത്, എ (എ), ബി (ബി) എന്നീ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ പോയിന്റുകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, പോയിന്റ് എ മുതൽ പോയിന്റ് ബി വരെയുള്ള ദൂരം എ, ബി സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ മോഡുലസിന് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങൾ പോയിന്റ് ബി പോലെ പോയിന്റ് ഒ (ഉത്ഭവം) എടുത്തു എങ്കിൽ, പിന്നെ ഈ വിഭാഗം തുടക്കത്തിൽ നൽകിയ ഒരു സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ നിർവചനം ലഭിക്കും.

അരിത്മെറ്റിക് സ്ക്വയർ റൂട്ടിലൂടെ ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് നിർണ്ണയിക്കൽ

ചിലപ്പോൾ കണ്ടെത്തി അരിത്മെറ്റിക് സ്ക്വയർ റൂട്ടിലൂടെ മൊഡ്യൂൾ നിർവചനം.

ഉദാഹരണത്തിന്, −30 അക്കങ്ങളുടെ മൊഡ്യൂളികൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, ഈ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി. നമുക്ക് ഉണ്ട്. അതുപോലെ, മൂന്നിൽ രണ്ട് മൊഡ്യൂളുകളും ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു: .

അരിത്മെറ്റിക് സ്ക്വയർ റൂട്ടിലൂടെ ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനവും ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ആദ്യ ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. കാണിക്കൂ. ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ, a ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. പിന്നെ   ഒപ്പം a \u003d 0 ആണെങ്കിൽ .

മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടികൾ

മൊഡ്യൂളിന് നിരവധി സ്വഭാവ ഫലങ്ങളുണ്ട് - മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടികൾ. അവയിൽ പ്രധാനവും പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്നതും ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു. ഈ സവിശേഷതകളെ ശരിവയ്ക്കുന്നതിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർവചനത്തെ ഞങ്ങൾ ആശ്രയിക്കും.

ഏറ്റവും വ്യക്തമായ മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടിയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം - ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കരുത്. അക്ഷര രൂപത്തിൽ, ഈ പ്രോപ്പർട്ടിക്ക് ഏത് നമ്പറിനും ഫോമിന്റെ റെക്കോർഡ് ഉണ്ട്. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ന്യായീകരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്: ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ദൂരമാണ്, ദൂരം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല.

മൊഡ്യൂളിന്റെ അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ കടന്നുപോകുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ ഈ സംഖ്യ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം. നിർവചനം അനുസരിച്ച് പൂജ്യത്തിന്റെ മോഡുലസ് പൂജ്യമാണ്. പൂജ്യം പോയിന്റ് ഉറവിടവുമായി യോജിക്കുന്നു, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ മറ്റൊരു പോയിന്റും പൂജ്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, കാരണം ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ഒരു അദ്വിതീയ പോയിന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതേ കാരണത്താൽ, പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഉത്ഭവം ഒഴികെയുള്ള ഒരു പോയിന്റുമായി യോജിക്കുന്നു. പോയിന്റ് O ഒഴികെയുള്ള മറ്റേതൊരു പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, കാരണം രണ്ട് പോയിന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ ഈ പോയിന്റുകൾ യോജിക്കുന്നുവെങ്കിൽ മാത്രം. മുകളിലുള്ള വാദങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന്റെ കേവല മൂല്യം മാത്രമേ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുന്നു.

നീങ്ങുക. വിപരീത സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യ മൊഡ്യൂളികളുണ്ട്, അതായത്, ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും a. വാസ്തവത്തിൽ, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ, അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വിപരീത സംഖ്യകളാണ്, ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ്, അതായത് വിപരീത സംഖ്യകളുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ തുല്യമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടി: രണ്ട് അക്കങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മൊഡ്യൂൾ ഈ സംഖ്യകളുടെ മൊഡ്യൂളുകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് ,. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a, b എന്നിവയുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന്റെ മോഡുലസ് ഒന്നുകിൽ · b ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ - (a · b) എങ്കിൽ. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗുണന നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന്, a, b എന്നിവയുടെ മൊഡ്യൂളികളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം ഒന്നുകിൽ · b, അല്ലെങ്കിൽ - (a · b) എങ്കിൽ, അത് സംശയാസ്\u200cപദമായ സ്വത്ത് തെളിയിക്കുന്നു.

A കൊണ്ട് b കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള ഘടകത്തിന്റെ മൊഡ്യൂളുകൾ a യുടെ മോഡുലസ് b യുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് ,. മൊഡ്യൂളിന്റെ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ ന്യായീകരിക്കുന്നു. ഉൽ\u200cപന്നം ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ\u200c. മുമ്പത്തെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട് . ഒരു നമ്പറിന്റെ മൊഡ്യൂളുകൾ നിർവചനം പുതിയനിയമം സാധുവായ ആണ്, സമത്വം ഉപയോഗിക്കാൻ മാത്രം നിലനിൽക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടി അസമത്വം എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു: , a, b, c എന്നിവ അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്. രേഖപ്പെടുത്തിയ അസമത്വം അതിലുപരിയല്ല ത്രികോണ അസമത്വം. ഇത് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ എ (എ), ബി (ബി), സി (സി) പോയിന്റുകൾ എടുക്കുകയും എബിസി അധ enera പതിച്ച ത്രികോണം പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിൽ ലംബങ്ങൾ ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കുന്നു. നിർവചനം അനുസരിച്ച്, വ്യത്യാസ മൊഡ്യൂൾ എബി സെഗ്\u200cമെന്റിന്റെ നീളത്തിന് തുല്യമാണ്, - സെഗ്മെന്റ് എസിയുടെ നീളം, - സിബി സെഗ്\u200cമെന്റിന്റെ നീളം. ത്രികോണത്തിന്റെ ഇരുവശത്തിന്റെയും നീളം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ആകെത്തുക കവിയാത്തതിനാൽ, അസമത്വം അതിനാൽ, അസമത്വം നിലനിൽക്കുന്നു.

തെളിയിക്കപ്പെട്ട അസമത്വം രൂപത്തിൽ വളരെ സാധാരണമാണ് . രേഖാമൂലമുള്ള അസമത്വം സാധാരണയായി മൊഡ്യൂളിന്റെ പ്രത്യേക സ്വത്തായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു: “ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെ മൊഡ്യൂൾ ഈ സംഖ്യകളുടെ മൊഡ്യൂളുകളുടെ ആകെത്തുക കവിയരുത്". എന്നാൽ, b എന്നതിനുപകരം −b അതിൽ ഇടുക, c \u003d 0 എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ അസമത്വം നേരിട്ട് അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

സങ്കീർണ്ണ നമ്പർ മൊഡ്യൂൾ

കൊടുക്കുക സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിന്റെ നിർണ്ണയം. നമുക്ക് നൽകാം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യബീജഗണിത രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഇവിടെ x, y എന്നിവ ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, അവ യഥാക്രമം തന്നിരിക്കുന്ന സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ z ന്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളാണ്, ഇത് സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റാണ്.

മൊഡ്യൂളിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക എന്നതാണ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഷയങ്ങളിലൊന്ന്. ഇത് എന്തിനുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് ആദ്യം നോക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, മിക്ക കുട്ടികളും അണ്ടിപ്പരിപ്പ് പോലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ക്ലിക്കുചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ ഒരു മൊഡ്യൂൾ പോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ ആശയത്തിൽ നിന്ന് വളരെ ദൂരെയുള്ള നിരവധി പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ ഉള്ളത് എന്തുകൊണ്ടാണ്?

എന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ ഈ തടസ്സങ്ങളുടെ ഒരു മൊഡ്യൂൾ സമവാക്യം വ്യക്തമായി രൂപം നിയമങ്ങൾ അഭാവത്തിൽ ബന്ധപ്പെട്ട. അതിനാൽ, തീരുമാനിക്കുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ആദ്യം വിവേചന സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്നും തുടർന്ന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്നും വിദ്യാർത്ഥിക്ക് അറിയാം. സമവാക്യത്തിൽ ഒരു മൊഡ്യൂൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടാലോ? മൊഡ്യൂളിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു അജ്ഞാതം അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ, ആവശ്യമായ പ്രവർത്തന പദ്ധതി വ്യക്തമായി വിവരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും. ഓരോ കേസിലും ഞങ്ങൾ കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നു.

എന്നാൽ ആദ്യം നമുക്ക് ഓർമിക്കാം മൊഡ്യൂൾ നിർവചനം. അതിനാൽ, സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് a   if ഈ സംഖ്യയെ തന്നെ വിളിക്കുന്നു a   നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതും -എനമ്പർ ആണെങ്കിൽ a   പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്. ഇത് ഇതുപോലെ എഴുതാം:

| a | \u003d a എങ്കിൽ ≥ 0 ഉം | a | ഉം \u003d -a എങ്കിൽ< 0

മൊഡ്യൂളിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും സംഖ്യാ അക്ഷത്തിലെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ് - അതിൻറെ ഏകോപിപ്പിക്കുക അതിനാൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യത്തെ ഈ പോയിന്റിൽ നിന്ന് സംഖ്യാ അക്ഷത്തിന്റെ ഉത്ഭവത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ദൂരം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ് നൽകുന്നത്. അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. വഴിയിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ പോലും, പല വിദ്യാർത്ഥികളും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാൻ തുടങ്ങുന്നു. ഏത് നമ്പറും മൊഡ്യൂളിൽ ആകാം, പക്ഷേ മൊഡ്യൂൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്റെ ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് നേരിട്ട് പോകുന്നു.

1.   | X | എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക \u003d c, ഇവിടെ c ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്. മൊഡ്യൂളിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനാകും.

എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെയും ഞങ്ങൾ മൂന്ന് ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കുന്നു: പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുത്, പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവുള്ളവ, മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് 0 എന്ന സംഖ്യ. ഞങ്ങൾ ഒരു സ്കീമിന്റെ രൂപത്തിൽ പരിഹാരം എഴുതുന്നു:

(\u003e C, c\u003e 0 ആണെങ്കിൽ

എങ്കിൽ | x | \u003d c, തുടർന്ന് x \u003d (0, c \u003d 0 ആണെങ്കിൽ

(വേരുകളില്ലെങ്കിൽ< 0

1) | x | \u003d 5, കാരണം 5\u003e 0, തുടർന്ന് x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, കാരണം -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, തുടർന്ന് x \u003d 0.

എഫ് (X) | ഫോം 2. ഒരു സമവാക്യം | \u003d b, ഇവിടെ b\u003e 0. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മൊഡ്യൂളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾ ഇത് ഇതുപോലെ ചെയ്യുന്നു: f (x) \u003d b അല്ലെങ്കിൽ f (x) \u003d -b. ഇപ്പോൾ ലഭിച്ച ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും വെവ്വേറെ പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലാണെങ്കിൽ b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, കാരണം 4\u003e 0, പിന്നെ

x + 2 \u003d 4 അല്ലെങ്കിൽ x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, കാരണം 11\u003e 0, പിന്നീട്

x 2 - 5 \u003d 11 അല്ലെങ്കിൽ X 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 വേരുകളില്ല

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, കാരണം -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3.   | F (x) | എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യം \u003d g (x). മൊഡ്യൂളിന്റെ അർത്ഥത്തിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെങ്കിൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകും, അതായത്. ഗ്രാം (X) ≥ 0. അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഉണ്ടാകും:

f (x) \u003d g (x)അഥവാ   f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. 5x - 10 0 ആണെങ്കിൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ടാകും. ഇതിൽ നിന്നാണ് അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നത്.

1. O.D.Z. 5x - 10 0

2. പരിഹാരം:

2x - 1 \u003d 5x - 10 അല്ലെങ്കിൽ 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. O.D.Z. സംയോജിപ്പിക്കുക. പരിഹാരം, നമുക്ക് ലഭിക്കും:

റൂട്ട് x \u003d 11/7 O.D.Z അനുസരിച്ച് പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, ഇത് 2 ൽ കുറവാണ്, x \u003d 3 ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഉത്തരം: x \u003d 3

2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 0. ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് തന്നിരിക്കുന്ന അസമത്വം പരിഹരിക്കാം:

(1 - x) (1 + x) 0

2. പരിഹാരം:

x - 1 \u003d 1 - x 2 അല്ലെങ്കിൽ x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 അല്ലെങ്കിൽ x \u003d 1 x \u003d 0 അല്ലെങ്കിൽ x \u003d 1

3. തീരുമാനവും O.D.Z ഉം സംയോജിപ്പിക്കുക:

X \u003d 1, x \u003d 0 എന്നീ വേരുകൾ മാത്രമേ അനുയോജ്യമാകൂ.

ഉത്തരം: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. ഫോമിന്റെ സമവാക്യം | f (x) | \u003d | g (x) |. അത്തരമൊരു സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ് f (x) \u003d g (x) അല്ലെങ്കിൽ f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. ഈ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ടിന് തുല്യമാണ്:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 അല്ലെങ്കിൽ x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 അല്ലെങ്കിൽ x \u003d 4 x \u003d 2 അല്ലെങ്കിൽ x \u003d 1

ഉത്തരം: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. പകരക്കാരന്റെ രീതി (വേരിയബിൾ പകരക്കാരൻ) പരിഹരിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ. ഈ പരിഹാര രീതി വിശദീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് കേസ് പഠനം. അതിനാൽ, ഒരു മൊഡ്യൂളിനൊപ്പം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നൽകട്ടെ:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. x 2 \u003d | x | എന്ന മൊഡ്യൂളിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച് 2, അതിനാൽ, സമവാക്യം താഴെ പറയുന്നു ജയിച്ച് കഴിയും:

| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു | x | \u003d t ≥ 0, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇവ ഉണ്ടാകും:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, ആ t \u003d 1 അല്ലെങ്കിൽ t \u003d 5 നമുക്ക് ലഭിക്കും. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം:

| x | \u003d 1 അല്ലെങ്കിൽ | x | \u003d 5

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

ഉത്തരം: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. x 2 \u003d | x | എന്ന മൊഡ്യൂളിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച് 2, അതിനാൽ

| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു | x | \u003d t ≥ 0, തുടർന്ന്:

t 2 + t - 2 \u003d 0. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് t \u003d -2 അല്ലെങ്കിൽ t \u003d 1 ലഭിക്കും. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം:

| x | \u003d -2 അല്ലെങ്കിൽ | x | \u003d 1

വേരുകളില്ല x \u003d ± 1

ഉത്തരം: x \u003d -1, x \u003d 1.

6.   “സങ്കീർണ്ണമായ” മൊഡ്യൂളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ് മറ്റൊരു തരം സമവാക്യം. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിൽ “ഒരു മൊഡ്യൂളിൽ മൊഡ്യൂളുകൾ” ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. മൊഡ്യൂളിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

1) | 3 - | x || \u003d 4. രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലെ അതേ രീതിയിൽ ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കും. കാരണം 4\u003e 0, അപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും:

3 - | x | \u003d 4 അല്ലെങ്കിൽ 3 - | x | \u003d -4.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഓരോ സമവാക്യത്തിലും x മൊഡ്യൂൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് | x | \u003d -1 അല്ലെങ്കിൽ | x | \u003d 7.

ലഭിച്ച ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ വേരുകളൊന്നുമില്ല, കാരണം -1< 0, а во втором x = ±7.

X \u003d -7, x \u003d 7 എന്നാണ് ഉത്തരം.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം അതേ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കുന്നു:

3 + | x + 1 | \u003d 5 അല്ലെങ്കിൽ 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8

x + 1 \u003d 2 അല്ലെങ്കിൽ x + 1 \u003d -2. വേരുകളൊന്നുമില്ല.

ഉത്തരം: x \u003d -3, x \u003d 1.

ഒരു മൊഡ്യൂളിനൊപ്പം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഒരു സാർവത്രിക രീതിയും ഉണ്ട്. ഇതാണ് ഇടവേള രീതി. എന്നാൽ ഭാവിയിൽ ഞങ്ങൾ അത് പരിഗണിക്കും.

blog.site, മെറ്റീരിയലിന്റെ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുന്നതിലൂടെ, ഉറവിടത്തിലേക്ക് ഒരു റഫറൻസ് ആവശ്യമാണ്.

ഒരു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം a പോയിന്റ് ഒറിജിനും അകലം ഒപ്പം(a).

ഈ നിർവചനം മനസിലാക്കാൻ, ഒരു വേരിയബിളിന് പകരമായി a   ഏതെങ്കിലും നമ്പർ, ഉദാഹരണത്തിന് 3 എന്നിട്ട് അത് വീണ്ടും വായിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഒരു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം 3    ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം ഒപ്പം(3 ).

ഒരു മൊഡ്യൂൾ ഒരു സാധാരണ ദൂരത്തേക്കാൾ കൂടുതലല്ലെന്ന് വ്യക്തമാകും. ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റ് എയിലേക്കുള്ള ദൂരം കാണാൻ ശ്രമിക്കാം ( 3 )

ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റ് എയിലേക്കുള്ള ദൂരം ( 3 ) 3 (മൂന്ന് യൂണിറ്റ് മൂന്നു ചുവടുകളാണ്).

ഒരു നമ്പറിന്റെ മൊഡ്യൂളുകൾ ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് ലംബമായ വരികൾ തന്നെ തെളിവാണ്:

നമ്പർ 3 ന്റെ മൊഡ്യൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: | 3 |

4 എന്ന നമ്പറിന്റെ മൊഡ്യൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: | 4 |

5 എന്ന നമ്പറിന്റെ മൊഡ്യൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: | 5 |

ഞങ്ങൾ നമ്പർ 3 ന്റെ മൊഡ്യൂളിനായി തിരഞ്ഞു, അത് 3 ന് തുല്യമാണെന്ന് കണ്ടെത്തി. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഇനിപ്പറയുന്നവ വായിക്കുന്നു: "മൂന്നിന്റെ മൊഡ്യൂൾ മൂന്നിന് തുല്യമാണ്"

ഇപ്പോൾ -3 എന്ന നമ്പറിന്റെ മൊഡ്യൂൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. വീണ്ടും, ഞങ്ങൾ നിർവചനത്തിലേക്ക് മടങ്ങുകയും അതിൽ -3 നമ്പർ പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഒരു പോയിന്റിന് പകരം മാത്രം എ   ഒരു പുതിയ പോയിന്റ് ഉപയോഗിക്കുക ബി. പോയിന്റ് എ   ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഉപയോഗിച്ചു.

നമ്പർ മൊഡ്യൂൾ 3    ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ബി(—3 ).

ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള ദൂരം നെഗറ്റീവ് ആകരുത്. അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ്, ദൂരം ആയതിനാൽ നെഗറ്റീവ് ആകില്ല. -3 എന്ന സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് സംഖ്യ 3 ആയിരിക്കും. ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പോയിന്റ് ബി (-3) വരെയുള്ള ദൂരം മൂന്ന് യൂണിറ്റുകൾക്ക് തുല്യമാണ്:

ഇനിപ്പറയുന്നവ വായിക്കുന്നു: “മൈനസ് ത്രീ നമ്പറിന്റെ മൊഡ്യൂൾ മൂന്ന്”

0 എന്ന സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് 0 ആണ്, കോർഡിനേറ്റ് 0 ഉള്ള പോയിന്റ് ഉറവിടവുമായി യോജിക്കുന്നു, അതായത്. ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം O (0)   പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

“സീറോ മോഡുലസ് പൂജ്യമാണ്”

ഞങ്ങൾ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

• ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് നെഗറ്റീവ് ആകരുത്;
• ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്കും പൂജ്യത്തിനും, മോഡുലസ് സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഒരു നെഗറ്റീവ് - വിപരീത സംഖ്യയിലേക്ക്;
• എതിർ നമ്പറുകൾ തുല്യ മൊദുലി ഉണ്ട്.

എതിർ നമ്പറുകൾ

ചിഹ്നങ്ങളിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ള അക്കങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു എതിർവശത്ത്. ഉദാഹരണത്തിന്, −2, 2 അക്കങ്ങൾ വിപരീതമാണ്. അവർ അടയാളങ്ങൾ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ള. −2 എന്ന നമ്പറിന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ട്, കൂടാതെ നമ്പർ 2 ന് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നമുണ്ട്, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ അത് കാണുന്നില്ല, കാരണം ഞങ്ങൾ നേരത്തെ പറഞ്ഞതുപോലെ പ്ലസ് പാരമ്പര്യമനുസരിച്ച് എഴുതിയിട്ടില്ല.

വിപരീത സംഖ്യകളുടെ കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

വിപരീത സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യ മൊഡ്യൂളികളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, −2, 2 എന്നിവയ്\u200cക്കായുള്ള മൊഡ്യൂളുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പോയിന്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരം കണക്കുകൾ കാണിക്കുന്നു A (−2)   ഒപ്പം ബി (2)   രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് പാഠം ഇഷ്ടമാണോ?
ഞങ്ങളുടെ ചേരുക പുതിയ ഗ്രൂപ്പ്   പുതിയ പാഠങ്ങളുടെ അറിയിപ്പുകൾ സ്വീകരിക്കാൻ ആരംഭിക്കുക

അത്തരം നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായാണ് ഇത് കണക്കാക്കുന്നത്:

സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി, പ്രയോഗിക്കുക | a |. അതിനാൽ, | 10 | \u003d 10; - 1/3 \u003d | 1/3 |; | -100 | \u003d 100, മുതലായവ.

ഏത് വലുപ്പവും x തികച്ചും കൃത്യമായ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു | x|. അതിനർത്ഥം ഐഡന്റിറ്റി at= |x| സെറ്റുകൾ at   ചിലത് പോലെ ആർഗ്യുമെന്റ് ഫംഗ്ഷൻ x.

പട്ടികഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ   ചുവടെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

വേണ്ടി x > 0 |x| = x, ഒപ്പം x< 0 |x|= -x; ഇക്കാര്യത്തിൽ, y \u003d | എന്ന വരി x| at x\u003e 0 ഒരു നേർരേഖയുമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു y \u003d x(ആദ്യത്തെ കോർഡിനേറ്റ് കോണിന്റെ ബൈസെക്ടർ), ഒപ്പം x< 0 - с прямой y \u003d -x(രണ്ടാമത്തെ കോർഡിനേറ്റ് കോണിന്റെ ബൈസെക്ടർ).

വേർതിരിക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ   ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ അജ്ഞാതരെ ഉൾപ്പെടുത്തുക മൊഡ്യൂൾ.

അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ അനിയന്ത്രിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ - | x— 1| = 2, |6 — 2x| =3x+ 1 മുതലായവ.

സമവാക്യ പരിഹാരംഘടകം അടയാളം കീഴിൽ അജ്ഞാത അടങ്ങുന്ന അജ്ഞാത നമ്പറിലേക്ക് സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം x എങ്കിൽ ആ സമപ്രായക്കാരായ വസ്തുത അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് പോസിറ്റീവ് നമ്പർ   a, അപ്പോൾ ഈ സംഖ്യ x തന്നെ ഒരു അല്ലെങ്കിൽ -a ന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്: എങ്കിൽ | x| \u003d 10, പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ x\u003d 10, അല്ലെങ്കിൽ x = -10.

പരിഗണിക്കുക വ്യക്തിഗത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം നമുക്ക് വിശകലനം ചെയ്യാം | x- 1| = 2.

  ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂൾ വെളിപ്പെടുത്തും   പിന്നെ വ്യത്യാസം x- 1 ഒന്നുകിൽ + 2, അല്ലെങ്കിൽ - 2. ആകാം x - 1 \u003d 2 എങ്കിൽ x   \u003d 3; എങ്കില് x   - 1 \u003d - 2, പിന്നെ x   \u003d - 1. ഞങ്ങൾ ഒരു പകരക്കാരനാക്കുകയും ഈ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളും സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉത്തരം.നിർദ്ദിഷ്ട സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: x 1 = 3, x 2 = - 1.

വിശകലനം ചെയ്യുക സമവാക്യ പരിഹാരം | 6 — 2x| = 3x+ 1.

ശേഷം മൊഡ്യൂൾ വെളിപ്പെടുത്തലുകൾനമുക്ക് ലഭിക്കും: അല്ലെങ്കിൽ 6 - 2 x= 3x+ 1, അല്ലെങ്കിൽ 6 - 2 x= - (3x+ 1).

ആദ്യ കേസിൽ x   \u003d 1, രണ്ടാമത്തേതിൽ x= - 7.

പരിശോധന   അറ്റ് x= 1 |6 — 2x| = |4| = 4, 3x   + 1 \u003d 4; കോടതി താഴെ നിന്ന് x = 1 - റൂട്ട്ഇതിൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

അറ്റ് x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 \u003d - 20; 20 ≠ -20 മുതൽ, പിന്നെ x   \u003d - 7 ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലമല്ല.

ഉത്തരം. അറ്റ്സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമാണ് റൂട്ട്: x = 1.

ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക് കഴിയും ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക.

അതിനാൽ തീരുമാനിക്കുക ഉദാഗ്രാഫിക് സമവാക്യം | x- 1| = 2.

തുടക്കത്തിൽ നിർമ്മിക്കുക ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിക്സ് at = |x- 1 |. ആദ്യം, ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുക at=x- 1:

അതിന്റെ ആ ഭാഗം ഗ്രാഫിക് ആർട്സ്അച്ചുതണ്ട് മുകളിൽ സ്ഥിതി x   ഞങ്ങൾ മാറില്ല. അവൾക്കായി x   - 1\u003e 0 അതിനാൽ | x-1|=x-1.

അക്ഷത്തിന് കീഴിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഗ്രാഫിന്റെ ഭാഗം xചിത്രീകരിക്കുക സമമിതി   ഈ അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ. ഈ ഭാഗത്തിന് ശേഷം x - 1 < 0 и соответственно |x - 1|= - (x -   1). ഫലം ലൈൻ   (സോളിഡ് ലൈൻ) ആയിരിക്കും ഫംഗ്ഷൻ ഷെഡ്യൂൾ   y \u003d | x—1|.

ഈ വരി വിഭജിക്കുന്നു ഋജുവായത് at   രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ \u003d 2: അബ്സിസ്സ -1 ഉള്ള എം 1, അബ്സിസ്സയുമൊത്തുള്ള എം 2. x- 1 | \u003d 2 രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും: x 1 = - 1, x 2 = 3.