എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ പ്രവർത്തനം. പാഠ ലക്ഷ്യങ്ങൾ: യുക്തിരഹിതമായ സൂചകമുള്ള ഒരു ബിരുദം പരിഗണിക്കുന്നതിന്; ഒരു എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കുക.പ്രധാനമായവ രൂപപ്പെടുത്തുക. സംഖ്യയുടെ ബിരുദം: നിർവചനങ്ങൾ, പദവി, ഉദാഹരണങ്ങൾ

വെബ്\u200cസൈറ്റ് വിഭാഗങ്ങൾ

എഡിറ്റർ\u200c ചോയ്\u200cസ്:

പരസ്യം ചെയ്യൽ

എന്താണെന്ന് ഈ ലേഖനത്തിൽ നമുക്ക് മനസ്സിലാകും ബിരുദം. സ്വാഭാവിക സൂചകം മുതൽ യുക്തിരഹിതമായ ഒന്ന് വരെ സാധ്യമായ എല്ലാ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളും ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനങ്ങൾ ഇവിടെ നൽകുന്നു. ഉയർന്നുവരുന്ന എല്ലാ സൂക്ഷ്മതകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഡിഗ്രികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ മെറ്റീരിയലിൽ കാണാം.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

സ്വാഭാവിക സൂചകം, ചതുരാകൃതി, ക്യൂബ് നമ്പർ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ബിരുദം

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് നൽകാം. മുന്നോട്ട് നോക്കുമ്പോൾ, സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് n ഉള്ള a യുടെ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം a നായി നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയുന്നു, അതിനെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും ഡിഗ്രി അടിസ്ഥാനത്തിൽ, n എന്നിവ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ്. സ്വാഭാവിക സൂചകമുള്ള ഒരു ഡിഗ്രി ഉൽപ്പന്നത്തിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നുവെന്നും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ ചുവടെയുള്ള മെറ്റീരിയൽ മനസിലാക്കാൻ, അക്കങ്ങളുടെ ഗുണനത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ധാരണ ആവശ്യമാണ്.

നിർവചനം

സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉള്ള a യുടെ ശക്തി n n എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു പ്രകടനമാണ്, അതിന്റെ മൂല്യം n ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അവ ഓരോന്നും a ന് തുല്യമാണ്, അതായത്.
പ്രത്യേകിച്ചും, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് 1 ഉള്ള a യുടെ ബിരുദം ഒരു സംഖ്യ തന്നെയാണ്, അതായത് 1 \u003d a.

ഡിഗ്രികൾ വായിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ പരാമർശിക്കുന്നത് ഉടനടി വിലമതിക്കുന്നു. ഒരു n വായിക്കാനുള്ള സാർവത്രിക മാർഗം ഇപ്രകാരമാണ്: “a ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക്”. ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഓപ്ഷനുകളും സ്വീകാര്യമാണ്: “a മുതൽ nth power”, “a യുടെ nth power”. ഉദാഹരണത്തിന്, 8 12 ഡിഗ്രി എടുക്കുക, അത് "പന്ത്രണ്ടിന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് എട്ട്", അല്ലെങ്കിൽ "എട്ട് മുതൽ പന്ത്രണ്ടാമത്തെ ശക്തി" അല്ലെങ്കിൽ "എട്ടിന്റെ പന്ത്രണ്ടാമത്തെ ശക്തി".

സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിക്കും സംഖ്യയുടെ മൂന്നാമത്തെ ശക്തിക്കും അവയുടെ പേരുകളുണ്ട്. സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയെ വിളിക്കുന്നു ചതുരശ്ര നമ്പർഉദാഹരണത്തിന്, 7 2 “ഏഴ് സ്ക്വയർ” അല്ലെങ്കിൽ “സ്ക്വയർ ഏഴ്” എന്ന് വായിക്കുന്നു. സംഖ്യയുടെ മൂന്നാമത്തെ ശക്തിയെ വിളിക്കുന്നു സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ്ഉദാഹരണത്തിന്, 5 3 നെ “ഒരു ക്യൂബിലെ അഞ്ച്” എന്ന് വായിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ “5 എന്ന നമ്പറിന്റെ ക്യൂബ്” എന്ന് പറയാം.

കൊണ്ടുവരാനുള്ള സമയമാണിത് സ്വാഭാവിക സൂചകങ്ങളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. നമുക്ക് ഡിഗ്രി 5 7 ൽ ആരംഭിക്കാം, ഇവിടെ 5 ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം, 7 എക്സ്പോണന്റ്. ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നൽകുന്നു: 4.32 അടിസ്ഥാനമാണ്, കൂടാതെ സ്വാഭാവിക നമ്പർ 9 - എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് (4.32) 9.

അവസാന ഉദാഹരണത്തിൽ, ഡിഗ്രി 4.32 ന്റെ അടിസ്ഥാനം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്: പൊരുത്തക്കേടുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഡിഗ്രിയുടെ എല്ലാ അടിസ്ഥാനങ്ങളും ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റ് ചെയ്യും. ഒരു ഉദാഹരണമായി, സ്വാഭാവിക സൂചകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഡിഗ്രികൾ നൽകുന്നു , അവയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളല്ല, അതിനാൽ അവ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ശരി, വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഈ ഘട്ടത്തിൽ, ഫോം (−2) 3, −2 3 എന്നിവയുടെ എൻ\u200cട്രികളിലെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. എക്സ്പ്രഷൻ (−2) 3 സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് 3 ഉള്ള ഡിഗ്രി −2 ആണ്, −2 3 (ഇതിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം - (2 3)) ഒരു സംഖ്യയുമായി യോജിക്കുന്നു, ഡിഗ്രി 2 3 ന്റെ മൂല്യം.

A എന്ന ഫോമിന്റെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് n ഉള്ള സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിക്ക് ഒരു നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. മാത്രമല്ല, n ഒരു മൾട്ടി-വാല്യുഡ് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എടുക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 4 ^ 9 ഡിഗ്രി 4 9 ന്റെ മറ്റൊരു എൻ\u200cട്രിയാണ്. “^” ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികൾ എഴുതുന്നതിനുള്ള ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ, നമ്മൾ പ്രാഥമികമായി ഒരു n ഫോമിന്റെ ഡിഗ്രി നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കും.

ഒരു ടാസ്ക്, സ്വാഭാവിക സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിന്റെ വിപരീതമാണ്, ഡിഗ്രിയുടെ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യവും അറിയപ്പെടുന്ന സൂചകവും ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നമാണ്. ഈ ചുമതല നയിക്കുന്നു.

യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഭിന്നസംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഓരോന്നും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആയി അവതരിപ്പിക്കാം സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യ. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിലെ ഒരു സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിച്ചു, അതിനാൽ ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് പൂർത്തിയാക്കാൻ യുക്തിസഹമായ സൂചകം, ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള a യുടെ ശക്തിക്ക് നിങ്ങൾ അർത്ഥം നൽകേണ്ടതുണ്ട്, ഇവിടെ m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുമാണ്. അങ്ങിനെ ചെയ്യാം.

ഫോമിന്റെ ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ബിരുദം പരിഗണിക്കുക. ബിരുദത്തിലെ ബിരുദത്തിന്റെ സ്വത്ത് സാധുവായി തുടരുന്നതിന്, തുല്യത . ലഭിച്ച സമത്വവും ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ച രീതിയും കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, m, n, a എന്നിവ നൽകിയാൽ പദപ്രയോഗത്തിന് അർത്ഥമുണ്ടെങ്കിൽ അത് സ്വീകരിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്.

ഒരു സംഖ്യ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ശരിയാണെങ്കിൽ (ഇത് യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ സ്വത്തിന്റെ വിഭാഗത്തിലാണ് ചെയ്യുന്നത്) സ്ഥിരീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

മേൽപ്പറഞ്ഞ ന്യായവാദം ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ഉപസംഹാരം: നൽകിയ m, n, ഒരു പദപ്രയോഗം എന്നിവയ്ക്ക് അർത്ഥമുണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള a യുടെ ഡിഗ്രി a മുതൽ ഡിഗ്രി m വരെ nth ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് ആണ്.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഇൻഡിക്കേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ബിരുദം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഈ പ്രസ്താവന ഞങ്ങളെ നേരിട്ട് നയിക്കുന്നു. M, n, ഒരു പദപ്രയോഗം എന്നിവ അർത്ഥമാക്കുന്ന പെയിന്റ് ചെയ്യാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ. M, n, a എന്നിവയിൽ ഏർപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന നിയന്ത്രണങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച്, രണ്ട് പ്രധാന സമീപനങ്ങളുണ്ട്.

A എന്നതിന് ഒരു നിയന്ത്രണം ഏർപ്പെടുത്തുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള മാർഗം, പോസിറ്റീവ് m ന് a im0 ഉം നെഗറ്റീവ് m ന് a\u003e 0 ഉം എടുക്കുക (m≤0 ന് 0 m ഡിഗ്രി നിർവചിച്ചിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ). ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഡിഗ്രി നിർവചനം ലഭിക്കും.

നിർവചനം

ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n, ഇവിടെ m എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, a മുതൽ m ന്റെ ശക്തി വരെ nth സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സൂചകം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം എന്ന മുന്നറിയിപ്പിനൊപ്പം പൂജ്യത്തിന്റെ ഭിന്നശേഷിയും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

നിർവചനം

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പോസിറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള പൂജ്യത്തിന്റെ ബിരുദം, m ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, n ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് .
ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിക്കാത്തപ്പോൾ, അതായത്, ഒരു ഭിന്ന നെഗറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള പൂജ്യ സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ ഈ നിർവചനത്തിൽ ഒരു ന്യൂനൻസ് ഉണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്: ചില നെഗറ്റീവ് a, ചില m, n എന്നിവയ്\u200cക്ക് പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നു, കൂടാതെ a≥0 എന്ന വ്യവസ്ഥ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഈ കേസുകൾ ഉപേക്ഷിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്, എഴുതുന്നതിൽ അർത്ഥമുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ, മുകളിലുള്ള നിർവചനം ഫോമിന്റെ ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രികൾ എന്ന് പറയാൻ ഞങ്ങളെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു അടിസ്ഥാനം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത് എന്നതിനാൽ അർത്ഥമില്ല.

ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു സമീപനം, റൂട്ടിന്റെ ഇരട്ട, വിചിത്രമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളെ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കുക എന്നതാണ്. ഈ സമീപനത്തിന് ഒരു അധിക നിബന്ധന ആവശ്യമാണ്: ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി, അതിന്റെ സൂചകമാണ്, സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, ഇതിന്റെ സൂചകം അനുബന്ധമായ മാറ്റാനാവാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയാണ് (ഈ അവസ്ഥയുടെ പ്രാധാന്യം ചുവടെ വിശദീകരിച്ചിരിക്കുന്നു). അതായത്, m / n എന്നത് മാറ്റാൻ കഴിയാത്ത ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്ക് k ഡിഗ്രി പ്രാഥമികമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

N, പോസിറ്റീവ് m എന്നിവയ്\u200cക്ക്, എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷൻ ഏതെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ഒരു അർത്ഥം നൽകുന്നു (നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല), നെഗറ്റീവ് m ന് ഒരു സംഖ്യയും നോൺ\u200cജെറോ ആയിരിക്കണം (അല്ലാത്തപക്ഷം പൂജ്യത്താൽ വിഭജനം ഉണ്ടാകും). വിചിത്രമായ n, പോസിറ്റീവ് m എന്നിവയ്\u200cക്ക്, a എന്ന സംഖ്യ ഏതെങ്കിലും ആകാം (ഒറ്റ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു), നെഗറ്റീവ് m ന് ഒരു സംഖ്യ നോൺ\u200cജെറോ ആയിരിക്കണം (അതിനാൽ പൂജ്യത്താൽ വിഭജനം ഉണ്ടാകില്ല).

മുകളിലുള്ള യുക്തി ഒരു ഭിന്ന സൂചകമുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ അത്തരമൊരു നിർവചനത്തിലേക്ക് നമ്മെ നയിക്കുന്നു.

നിർവചനം

M / n ഒരു മാറ്റാനാവാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ, m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായിരിക്കണം, n ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. ചുരുങ്ങാവുന്ന ഏതൊരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്കും, ഡിഗ്രി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. മാറ്റാൻ കഴിയാത്ത ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള a യുടെ ശക്തി

റിഡ്യൂസിബിൾ ഫ്രാക്ഷണൽ ഇൻഡിക്കേറ്ററുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയെ പ്രാഥമികമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഇൻഡിക്കേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഡിഗ്രി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. M / n എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ അപ്രസക്തതയെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രി നിർവചിക്കുകയും ഒരു റിസർവേഷൻ നടത്താതിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവയ്ക്ക് സമാനമായ സാഹചര്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കും: 6/10 \u003d 3/5 മുതൽ, സമത്വം പക്ഷേ , ഒപ്പം .

സംഖ്യയുടെ അളവ് നിർണ്ണയിച്ചതിനുശേഷം, അതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ് ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ. സാധ്യമായ എല്ലാ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളെയും സ്പർശിക്കുമ്പോൾ ഈ ലേഖനത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ നൽകും. ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ എല്ലാ സവിശേഷതകളുടെയും തെളിവുകൾ ഇവിടെ ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു, കൂടാതെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഈ സവിശേഷതകൾ എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കുന്നുവെന്നും കാണിക്കുന്നു.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

പ്രകൃതി സൂചകങ്ങളുള്ള ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ

സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, n എന്ന ഡിഗ്രി n ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ്, അവ ഓരോന്നും a ന് തുല്യമാണ്. ഈ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അതുപോലെ തന്നെ യഥാർത്ഥ ഗുണന സവിശേഷതകൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ നേടാനും ന്യായീകരിക്കാനും കഴിയും സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

ഡിഗ്രിയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് m · a n \u003d a m + n, അതിന്റെ പൊതുവൽക്കരണം;
സമാന അടിത്തറയുള്ള ഭാഗിക ഡിഗ്രികളുടെ സ്വത്ത് a m: a n \u003d a m - n;
ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡിഗ്രിയുടെ സ്വത്ത് (a · b) n \u003d a n · b n, അതിന്റെ വിപുലീകരണം;
സ്വകാര്യ സ്വത്ത് സ്വാഭാവിക ബിരുദം (a: b) n \u003d a n: b n;
exponentiation (a m) n \u003d a m · n, അതിന്റെ പൊതുവൽക്കരണം (((a n 1) n 2) ...) n k \u003d a n 1 · n 2 · ... · n k;
ഡിഗ്രി പൂജ്യവുമായി താരതമ്യം:
- a\u003e 0 ആണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ n ന് ഒരു n\u003e 0;
- a \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, ഒരു n \u003d 0;
- അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 എങ്കിൽ<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
a, b എന്നിവ പോസിറ്റീവ് അക്കങ്ങളും a ഉം ആണെങ്കിൽ
m, n എന്നിവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ m\u003e n, 0 ന് 0 അസമത്വം a m\u003e a n പിടിക്കുന്നു.

രേഖാമൂലമുള്ള എല്ലാ തുല്യതകളും ഞങ്ങൾ ഉടനടി ശ്രദ്ധിക്കുന്നു സമാനമാണ് നിർദ്ദിഷ്ട വ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിധേയമായി, അവയുടെ വലത്, ഇടത് ഭാഗങ്ങൾ പരസ്പരം മാറ്റാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് a m · a n \u003d a m + n പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ലഘൂകരണം പലപ്പോഴും m + n \u003d a m · a n രൂപത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ അവ ഓരോന്നും വിശദമായി പരിഗണിക്കുക.

ഒരേ അടിസ്ഥാനമുള്ള രണ്ട് ഡിഗ്രി ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടിയിൽ നിന്നാണ് ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നത്, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ബിരുദത്തിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത്: ഏതൊരു റിയൽ നമ്പറിനും a, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളായ m, n എന്നിവയ്ക്കും, m · a n \u003d a m + n എന്ന തുല്യത സാധുവാണ്.

ബിരുദത്തിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, m · n എന്ന രൂപത്തിന്റെ അതേ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി എഴുതാം. ഗുണനത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ കാരണം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഇങ്ങനെ എഴുതാം , ഈ ഉൽപ്പന്നം m + n എന്ന സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള a യുടെ ശക്തിയാണ്, അതായത്, m + n. ഇത് തെളിവ് പൂർത്തിയാക്കുന്നു.

ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്ന ഒരു ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു. സമാന ബേസ് 2, സ്വാഭാവിക ഡിഗ്രി 2, 3 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികൾ എടുക്കുന്നു; ഡിഗ്രിയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് അനുസരിച്ച് നമുക്ക് 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5 എന്ന തുല്യത എഴുതാം. നമുക്ക് അതിന്റെ സാധുത പരിശോധിക്കാം, ഇതിനായി 2 2 · 2 3, 2 5 എന്നീ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു. എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ നടത്തുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട് 2 2 · 2 3 \u003d (2 · 2) · (2 \u200b\u200b· 2 · 2) \u003d 4 · 8 \u003d 32 ഒപ്പം 2 5 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32, തുല്യ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിനാൽ, തുല്യത 2 2 · 2 3 \u003d 2 5 ശരിയാണ്, ഇത് ഡിഗ്രിയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു.

ഗുണനത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് മൂന്നോ അതിലധികമോ ഡിഗ്രികളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിലേക്ക് ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളും പ്രകൃതി സൂചകങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാനാകും. അതിനാൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും n 1, n 2, ..., n k സമത്വം a n 1 · a n 2 · ... · a n k \u003d a n 1 + n 2 + ... + n k.

ഉദാഹരണത്തിന്, (2.1) 3 · (2.1) 3 · (2.1) 4 · (2.1) 7 \u003d (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഡിഗ്രികളുടെ അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടിയിലേക്ക് പോകാം - സമാന അടിത്തറയുള്ള പ്രത്യേക ഡിഗ്രികളുടെ സ്വത്ത്: പൂജ്യമല്ലാത്ത യഥാർത്ഥ സംഖ്യ a, അനിയന്ത്രിതമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ m, n എന്നിവ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു m\u003e n, സമത്വം a m: a n \u003d a m - n സാധുവാണ്.

ഈ പ്രോപ്പർട്ടിക്ക് ഒരു തെളിവ് നൽകുന്നതിനുമുമ്പ്, ഫോർമുലേഷനിൽ അധിക വ്യവസ്ഥകളുടെ അർത്ഥം ഞങ്ങൾ ചർച്ചചെയ്യുന്നു. 0 n \u003d 0 മുതൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് വിഭജനം ഒഴിവാക്കാൻ ≠ 0 എന്ന നിബന്ധന ആവശ്യമാണ്, ഒപ്പം വിഭജനത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുമ്പോൾ, പൂജ്യത്താൽ വിഭജിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ സമ്മതിച്ചു. സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകൾക്ക് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകാതിരിക്കാൻ m\u003e n എന്ന വ്യവസ്ഥ അവതരിപ്പിച്ചു. വാസ്തവത്തിൽ, m\u003e n ന്, m - n എന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം അത് പൂജ്യമോ (ഇത് m - n ഉപയോഗിച്ച് സംഭവിക്കുന്നു) അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയോ ആയിരിക്കും (ഇത് m ഉപയോഗിച്ച് സംഭവിക്കുന്നു
തെളിവ്. ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് സമത്വം എഴുതാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു a m - n · a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m. ലഭിച്ച സമത്വത്തിൽ നിന്ന് ഒരു m - n · a n \u003d a m, അത് ഒരു m - n എന്നത് ഒരു m ഉം n ഉം ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു ഘടകമാണെന്ന് പിന്തുടരുന്നു. സമാന അടിത്തറയുള്ള ഘടക ഡിഗ്രികളുടെ സ്വത്ത് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകുന്നു. സമാന അടിത്തറകളുള്ള രണ്ട് ഡിഗ്രികളും സ്വാഭാവിക സൂചകങ്ങളായ 5 ഉം 2 ഉം ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു; സമത്വം π 5 എന്നത് ഡിഗ്രിയുടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സ്വത്തിനോട് യോജിക്കുന്നു: π 2 \u003d π 5−3 \u003d π 3.

ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക ഉൽപ്പന്ന ഡിഗ്രിയുടെ സ്വത്ത്: a, b എന്നീ രണ്ട് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ഡിഗ്രി n, n, b n ഡിഗ്രികളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, (a · b) n \u003d a n · b n.

സ്വാഭാവിക സൂചകമുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഉണ്ട് . ഗുണനത്തിന്റെ സവിശേഷതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അവസാന കൃതി ഇതുപോലെ മാറ്റിയെഴുതാം , ഇത് ഒരു n · b n ന് തുല്യമാണ്.

ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: .

ഈ പ്രോപ്പർ\u200cട്ടി മൂന്നോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന്റെ അളവിലേക്ക് വ്യാപിക്കുന്നു. അതായത്, k ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന്റെ സ്വാഭാവിക ഡിഗ്രി n ന്റെ ഒരു സ്വത്ത് ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു (a 1 · a 2 · · · a k) n \u003d a 1 n · a 2 n · · k a k n.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഒരു ഉദാഹരണമായി കാണിക്കുന്നു. ഡിഗ്രി 7 ന്റെ മൂന്ന് ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിനായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടി സ്വകാര്യ സ്വത്ത്: സ്വാഭാവിക ഡിഗ്രി n ലെ a, b, b ≠ 0 എന്ന യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ അളവ് a n, b n ഡിഗ്രികളുടെ ഘടകത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് (a: b) n \u003d a n: b n.

മുമ്പത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച് തെളിവ് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും. അതിനാൽ (a: b) n b n \u003d ((a: b) b) n \u003d a n, സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (a: b) n · b n \u003d a n ഇത് പിന്തുടരുന്നത് (a: b) n എന്നത് ഒരു n നെ b n കൊണ്ട് ഹരിക്കാനുള്ള ഘടകമാണ്.

കോൺക്രീറ്റ് നമ്പറുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഞങ്ങൾ ഈ പ്രോപ്പർട്ടി എഴുതുന്നത്: .

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ശബ്ദിക്കാം എക്\u200cസ്\u200cപോണൻസേഷൻ പ്രോപ്പർട്ടി: ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും a, ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ m, n എന്നിവയ്ക്കും, ഡിഗ്രി n ന്റെ ഡിഗ്രി എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m · n ഉള്ള a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് (a m) n \u003d a m · n.

ഉദാഹരണത്തിന്, (5 2) 3 \u003d 5 2 · 3 \u003d 5 6.

ഡിഗ്രി ബിരുദത്തിന്റെ സ്വത്തിന്റെ തെളിവ് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതാ ശൃംഖലയാണ്: .

പരിഗണിക്കുന്ന സ്വത്ത് ഡിഗ്രി മുതലായവയിലേക്ക് ഉയർത്താം. ഉദാഹരണത്തിന്, p, q, r, s എന്നീ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് സമത്വം . വ്യക്തതയ്ക്കായി, നിർദ്ദിഷ്ട അക്കങ്ങളുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

ഡിഗ്രികളെ സ്വാഭാവിക സൂചകവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്ന സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ ഇത് നിലനിൽക്കുന്നു.

പൂജ്യവും ഒരു ഡിഗ്രിയും സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതിന്റെ സ്വത്ത് തെളിയിച്ചുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നത്.

ആദ്യം, ഏതെങ്കിലും ഒരു\u003e 0 ന് ഒരു n\u003e 0 എന്ന് ഞങ്ങൾ ന്യായീകരിക്കുന്നു.

രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, ഇത് ഗുണനത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് വരുന്നു. ഈ വസ്തുതയും ഗുണനത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളും സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എത്ര പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളെ ഗുണിച്ചാലും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും. സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് n ഉള്ള a യുടെ ബിരുദം നിർവചനം അനുസരിച്ച് n ഘടകങ്ങളുടെ ഫലമാണ്, അവ ഓരോന്നും a ന് തുല്യമാണ്. ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് അടിസ്ഥാനത്തിലും ഒരു ഡിഗ്രി ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെന്ന് പ്രസ്താവിക്കാൻ ഈ പരിഗണനകൾ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം, 3 5\u003e 0, (0,00201) 2\u003e 0 ഒപ്പം .

A \u003d 0 ഉള്ള ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്കും n ന്റെ ഡിഗ്രി പൂജ്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. തീർച്ചയായും, 0 n \u003d 0 · 0 · ... · 0 \u003d 0. ഉദാഹരണത്തിന്, 0 3 \u003d 0, 0 762 \u003d 0.

ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രിയുടെ നെഗറ്റീവ് അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് കടന്നുപോകുന്നു.

എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ കേസ് ആരംഭിക്കുന്നു, അതിനെ 2 · m എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇവിടെ m ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. പിന്നെ . ഫോമിന്റെ ഓരോ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിനും a a എന്ന സംഖ്യകളുടെ മൊഡ്യൂളികളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് · a, അതായത് ഇത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. തൽഫലമായി, ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. ഡിഗ്രി ഒരു 2 · മീ. ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നു: (−6) 4\u003e 0, (−2,2) 12\u003e 0 ഒപ്പം.

അവസാനമായി, ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് വിചിത്ര സംഖ്യ 2 · m - 1 ഉം ആയിരിക്കുമ്പോൾ, . എല്ലാ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും positive a പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്, ഈ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നവും പോസിറ്റീവ് ആണ്, കൂടാതെ ശേഷിക്കുന്ന നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഗുണിതവും ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് കാരണമാകുന്നു. ഈ സ്വത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

ഡിഗ്രികളെ സമാനമായ പ്രകൃതി എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്ന സ്വത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ തിരിയുന്നു, അതിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലേഷൻ ഉണ്ട്: സമാനമായ പ്രകൃതി എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള രണ്ട് ഡിഗ്രിയിൽ, n അടിസ്ഥാനം ചെറുതിനേക്കാൾ ചെറുതാണ്, അടിസ്ഥാനം വലുതായിരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ വലുതാണ്. ഞങ്ങൾ അത് തെളിയിക്കുന്നു.

അസമത്വം a n അസമത്വ സവിശേഷതകൾ ഫോമിന്റെ തെളിയിക്കപ്പെട്ട അസമത്വം n .

സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ലിസ്റ്റുചെയ്\u200cത ഗുണങ്ങളിൽ അവസാനത്തേത് തെളിയിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ അത് രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. സ്വാഭാവിക സൂചകങ്ങളും ഒരേ പോസിറ്റീവ് അടിസ്ഥാനവുമുള്ള രണ്ട് ഡിഗ്രികളിൽ, ഒന്നിൽ താഴെ, വലുത് അതിന്റെ സൂചകം കുറവാണ്; സ്വാഭാവിക സൂചകങ്ങളുള്ള രണ്ട് ഡിഗ്രിയിലും ഒരേ മൈതാനത്തിലും ഒന്നിൽ കൂടുതൽ വലുത് ഡിഗ്രി വലുതാണ്, അതിന്റെ സൂചകം വലുതാണ്. ഈ സ്വത്തിന്റെ തെളിവിലേക്ക് ഞങ്ങൾ കടന്നുപോകുന്നു.

M\u003e n, 0 എന്നിവയ്\u200cക്കായി അത് തെളിയിക്കാം 0 എന്ന പ്രാരംഭ നിബന്ധന പ്രകാരം m\u003e n, അത് എവിടെ നിന്ന് 0 എന്നതിനായി പിന്തുടരുന്നു
സ്വത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം തെളിയിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. M\u003e n, a\u003e 1, a m\u003e a n എന്നിവയ്ക്കായി നമുക്ക് അത് തെളിയിക്കാം. ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു n ഇട്ടതിനുശേഷം ഒരു m −a n എന്ന വ്യത്യാസം ഒരു n form (a m - n −1) രൂപമെടുക്കുന്നു. ഈ ഉൽ\u200cപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആണ്, കാരണം ഒരു\u003e 1 ഡിഗ്രി ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, കൂടാതെ വ്യത്യാസം am - n −1 ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, കാരണം പ്രാരംഭ നിബന്ധന പ്രകാരം m - n\u003e 0, കൂടാതെ ഒരു\u003e 1 ഡിഗ്രി am - n ഐക്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് . അതിനാൽ, ആവശ്യാനുസരണം ഒരു m −a n\u003e 0 ഉം ഒരു m\u003e a n ഉം. അസമത്വം 3 7\u003e 3 2 ഈ സ്വത്തെ വ്യക്തമാക്കുന്നു.

ഇൻറിജർ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ സവിശേഷതകൾ
പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളായതിനാൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും മുൻ വിഭാഗത്തിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്\u200cത് തെളിയിക്കപ്പെട്ട സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണങ്ങളുമായി കൃത്യമായി യോജിക്കുന്നു.

ഒരു നെഗറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയും പൂജ്യം എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയും ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ചു, അങ്ങനെ തുല്യത പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ശരിയായി തുടരും. അതിനാൽ, ഈ സവിശേഷതകളെല്ലാം പൂജ്യം എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകൾക്കും നെഗറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകൾക്കും ശരിയാണ്, അതേസമയം, ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാനം നോൺജെറോ ആണ്.

അതിനാൽ, a, b എന്നിവ യഥാർ\u200cത്ഥവും പൂജ്യമല്ലാത്തതുമായ സംഖ്യകൾ\u200cക്കും അതുപോലെ തന്നെ m, n, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ\u200cക്കും ഇനിപ്പറയുന്നവ ഇൻറിജർ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

a m · a n \u003d a m + n;

a m: a n \u003d a m - n;

(a b) n \u003d a n b b n;

(a: b) n \u003d a n: b n;

(a m) n \u003d a m · n;

n ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, a, b എന്നിവ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്, a b; n;

m ഉം n ഉം പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, m\u003e n, 0 ന് 1, a m\u003e a n ഉള്ള അസമത്വം.

A \u003d 0 ന്, m ഉം n ഉം ഡിഗ്രികൾ m ഉം n ഉം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അർത്ഥമുള്ളൂ, അതായത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ. അതിനാൽ, ഇപ്പോൾ റെക്കോർഡുചെയ്\u200cത ഗുണവിശേഷതകൾ a \u003d 0, m, n എന്നീ സംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളായിരിക്കുമ്പോൾ കേസുകൾക്കും സാധുതയുള്ളതാണ്.

ഈ സവിശേഷതകളെല്ലാം തെളിയിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല, ഇതിനായി സ്വാഭാവികവും പൂർണ്ണസംഖ്യയുമായ ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം, അതുപോലെ തന്നെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ എന്നിവ മതിയാകും. ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടി പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകൾക്കും തൃപ്തികരമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, p പൂജ്യമോ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയോ q പൂജ്യമോ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയോ ആണെങ്കിൽ, തുല്യങ്ങൾ (ap) q \u003d ap · q, (a −p) q \u003d a (−p) · q, (ap ) −q \u003d ap (−q) കൂടാതെ (a −p) −q \u003d a (−p). അങ്ങിനെ ചെയ്യാം.

പോസിറ്റീവ് p, q എന്നിവയ്\u200cക്ക്, സമത്വം (a p) q \u003d a p · q മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു. P \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് (a 0) q \u003d 1 q \u003d 1, 0 · q \u003d a 0 \u003d 1, എവിടെ നിന്ന് (a 0) q \u003d a 0 · q. അതുപോലെ, q \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, (a p) 0 \u003d 1, ഒരു p · 0 \u003d a 0 \u003d 1, എവിടെ നിന്ന് (a p) 0 \u003d a p · 0. P \u003d 0 ഉം q \u003d 0 ഉം ആണെങ്കിൽ (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 ഉം 0 · 0 \u003d a 0 \u003d 1 ഉം, എവിടെ നിന്ന് (a 0) 0 \u003d a 0 · 0.

(A −p) q \u003d a (−p) · q എന്ന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു. ഒരു നെഗറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, തുടർന്ന് . ഘടകത്തിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട് . 1 p \u003d 1 · 1 · ... · 1 \u003d 1 മുതൽ, എന്നിട്ട്. അവസാനത്തെ പദപ്രയോഗം, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a - (p · q) എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു അളവാണ്, ഇത് ഗുണന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഒരു (−p) as q എന്ന് എഴുതാം.

സമാനമായി .

ഒപ്പം .

അതേ തത്വമനുസരിച്ച്, ഒരു സംഖ്യയുടെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ മറ്റെല്ലാ ഗുണങ്ങളും തുല്യതയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

റെക്കോർഡുചെയ്\u200cത പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ അന്തിമഘട്ടത്തിൽ, ഒരു −n\u003e b −n എന്ന അസമത്വത്തിന്റെ തെളിവിൽ താമസിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, ഇത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് forn നും ഏത് പോസിറ്റീവ് a, b നും ഏത് അവസ്ഥയ്ക്ക് a . വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം a 0. പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ a n, b n എന്നിവയുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നമായതിനാൽ n · b n എന്ന ഉൽപ്പന്നവും പോസിറ്റീവ് ആണ്. അപ്പോൾ ലഭിച്ച ഭിന്നസംഖ്യ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഘടകമായ b n −a n, a n · b n എന്നിവയാണ്. അതിനാൽ, ആവശ്യാനുസരണം ഒരു −n\u003e b −n എവിടെ നിന്ന്.

സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ സമാന സ്വത്ത് പോലെ തന്നെ സംഖ്യ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ അവസാന സ്വത്തും തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

യുക്തിപരമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഇൻഡിക്കേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിച്ചു, ഒരു ഇൻഡിക്കേറ്ററിനൊപ്പം ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ സവിശേഷതകൾ അതിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിച്ചു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികൾക്ക് ഇൻറിജർ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികൾക്ക് തുല്യമായ ഗുണങ്ങളുണ്ട്. അതായത്:

ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷങ്ങളുടെ തെളിവ് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തെയും ഒരു സംഖ്യ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഞങ്ങൾ തെളിവുകൾ നൽകുന്നു.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഇൻഡിക്കേറ്റർ ഉള്ള ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, തുടർന്ന് . ഗണിത റൂട്ടിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതകൾ എഴുതാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ഒരു ഇൻറിജർ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് എവിടെയാണ് ലഭിക്കുന്നത് , ലഭിച്ച ഡിഗ്രിയുടെ സൂചകം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും :. ഇത് തെളിവ് പൂർത്തിയാക്കുന്നു.

ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ രണ്ടാമത്തെ സ്വത്ത് അതേ രീതിയിൽ തന്നെ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു:

സമാന തത്വങ്ങളാൽ, ശേഷിക്കുന്ന തുല്യതകൾ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു:

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്തിന്റെ തെളിവിലേക്ക് ഞങ്ങൾ കടന്നുപോകുന്നു. ഏതൊരു പോസിറ്റീവായ എ, ബി, എ b പി. P എന്ന യുക്തിസഹ സംഖ്യയെ m / n എന്ന് എഴുതുന്നു, ഇവിടെ m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുമാണ്. വ്യവസ്ഥകൾ പി<0 и p>0 ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വ്യവസ്ഥകൾ m<0 и m>യഥാക്രമം 0. M\u003e 0, a എന്നിവയ്\u200cക്കായി
അതുപോലെ, എം<0 имеем a m >b m, എവിടെ നിന്ന്, അതായത്, ഒരു p\u003e b p.

ലിസ്റ്റുചെയ്\u200cത പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ അവസാനത്തേത് തെളിയിക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. യുക്തിസഹമായ p, q, p\u003e q എന്നിവ 0 ന് എന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം 0 എന്നത് അസമത്വം a p\u003e a q. നമുക്ക് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഭിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും, m 1, m 2 എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളും n ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുമാണെങ്കിലും നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും p, q എന്ന യുക്തിസഹ സംഖ്യകളെ ഒരു സാധാരണ വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, p\u003e q എന്ന അവസ്ഥ m 1\u003e m 2 എന്ന അവസ്ഥയുമായി പൊരുത്തപ്പെടും, അത് ഇനിപ്പറയുന്നതിൽ നിന്ന് വരുന്നു. ഡിഗ്രികളെ സമാന അടിത്തറകളുമായും സ്വാഭാവിക സൂചകങ്ങളുമായും 0 താരതമ്യം ചെയ്യുന്ന സ്വത്ത് അനുസരിച്ച് 1 - അസമത്വം a m 1\u003e a m 2. വേരുകളുടെ സ്വഭാവത്തിലെ ഈ അസമത്വങ്ങൾ യഥാക്രമം തിരുത്തിയെഴുതാം ഒപ്പം . യുക്തിസഹമായ സൂചകമുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അസമത്വങ്ങളിലേക്ക് പോകാനും അതിനനുസരിച്ച് പോകാനും അനുവദിക്കുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അന്തിമ നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു: p\u003e q, 0 എന്നിവയ്ക്കായി 0 എന്നത് അസമത്വം a p\u003e a q.

യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ സവിശേഷതകൾ

യുക്തിരഹിതമായ സൂചകമുള്ള ഒരു ഡിഗ്രി എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു എന്നതിൽ നിന്ന്, യുക്തിസഹമായ സൂചകങ്ങളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഇതിന് ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. അതിനാൽ ഏതെങ്കിലും a\u003e 0, b\u003e 0, യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ p, q എന്നിവ ഇനിപ്പറയുന്നവയ്ക്ക് യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ സവിശേഷതകൾ:

a p · a q \u003d a p + q;

a p: a q \u003d a p - q;

(a · b) p \u003d a p · b p;

(a: b) p \u003d a p: b p;

(a p) q \u003d a p · q;

a, b, a 0 അസമത്വം a p b പി;

യുക്തിരഹിതമായ അക്കങ്ങൾക്ക് p, q, p\u003e q 0 ന് 0 എന്നത് അസമത്വം a p\u003e a q.

ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം, ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള p, q എന്നിവ a\u003e 0 ന് സമാന ഗുണങ്ങളാണുള്ളത്.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

വിലെൻകിൻ എൻ.യാ, സോഖോവ് വി.ഐ., ചെസ്\u200cനോക്കോവ് എ.എസ്., ഷ്വാർസ്ബർഡ് എസ്.ഐ. 5 cl നുള്ള മാത്തമാറ്റിക്സ് ജെ പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.

മകരാചേവ് യു.എൻ., മിൻഡ്യൂക് എൻ.ജി., നെഷ്കോവ് കെ.ഐ., സുവോറോവ എസ്.ബി. ആൾജിബ്ര: ഏഴാം ക്ലാസിനുള്ള പാഠപുസ്തകം വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.

മകരാചേവ് യു.എൻ., മിൻഡ്യൂക് എൻ.ജി., നെഷ്കോവ് കെ.ഐ., സുവോറോവ എസ്.ബി. ആൾജിബ്ര: 8 ക്ലോയ്ക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.

മകരാചേവ് യു.എൻ., മിൻഡ്യൂക് എൻ.ജി., നെഷ്കോവ് കെ.ഐ. ആൾജിബ്ര: ഒൻപതാം ക്ലാസിനുള്ള പാഠപുസ്തകം വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.

കോൾ\u200cമോഗോറോവ് A.N., അബ്രമോവ് A.M., ദുഡ്\u200cനിറ്റ്\u200cസിൻ യു.പി. ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിന്റെ ആരംഭവും: പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 10–11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.

ഗുസെവ് വി.ആർ., മൊർഡ്\u200cകോവിച്ച് എ.ജി. മാത്തമാറ്റിക്സ് (സാങ്കേതിക സ്കൂളുകളിലേക്കുള്ള അപേക്ഷകർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ).

ഭാഗം II അധ്യായം 6
നമ്പറുകളുടെ ക്രമം

യുക്തിരഹിതമായ സൂചകമുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ ആശയം

ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയും യുക്തിരഹിതവും ആയിരിക്കട്ടെ.
A * എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് എന്ത് അർത്ഥം നൽകണം?
അവതരണം കൂടുതൽ ദൃശ്യമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അത് സ്വകാര്യമായി നടത്തും
ഒരു ഉദാഹരണം. അതായത്, ഞങ്ങൾ a - 2 ഉം a \u003d 1, 624121121112 ഉം ഇടുന്നു. . . .
ഇവിടെ, a അനുസരിച്ച് അനന്തമായ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്
നിയമം: ചിത്രത്തിനായി നാലാമത്തെ ദശാംശ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു a
1, 2 അക്കങ്ങൾ\u200c മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ, കൂടാതെ 1, 1 സംഖ്യകളുടെ സംഖ്യയും,
നമ്പർ 2 ന് മുമ്പായി ഒരു വരിയിൽ റെക്കോർഡുചെയ്\u200cതു, എല്ലായ്\u200cപ്പോഴും വർദ്ധിക്കുന്നു
ഒന്ന്. A എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ ആനുകാലികമല്ലാത്തതാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം 1,
അവന്റെ ഇമേജിൽ ഒരു വരിയിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത് പരിമിതപ്പെടുത്തും.
അതിനാൽ, a യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയാണ്.
അപ്പോൾ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥമെന്താണ്
21, v2Sh1Sh1Sh11Sh11Sh. . . ആർ
ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങളുടെ ക്രമങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും
ഒപ്പം കുറവുള്ളതും അടുത്തുള്ള (0,1) അധികവും *. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
നമ്പർ 2 ന്റെ ഡിഗ്രികളുടെ അനുബന്ധ ശ്രേണി ഞങ്ങൾ രചിക്കുന്നു:
2 എം. 2 എം *; 21 * 624; 21’62 * 1; ..., (3)
21 ഡി. 21 ”63; 2 * ”62Vu 21.6Sh; . (4)
സീക്വൻസ് കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് സീക്വൻസ് (3) വർദ്ധിക്കുന്നു
(1) (§ 6 ന്റെ സിദ്ധാന്തം 2).
സീക്വൻസ് കുറയുന്നതിനാൽ സീക്വൻസ് (4) കുറയുന്നു
(2).
സീക്വൻസിലെ ഓരോ അംഗവും (3) സീക്വൻസിലെ ഓരോ അംഗത്തേക്കാളും കുറവാണ്
(4), അങ്ങനെ (3) ശ്രേണി പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു
മുകളിൽ, സീക്വൻസ് (4) ചുവടെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
മോണോടോൺ ബൗണ്ടഡ് സീക്വൻസ് സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി
(3), (4) സീക്വൻസുകൾക്ക് ഓരോ പരിധിയുണ്ട്. എങ്കിൽ

യുക്തിരഹിതമായ സൂചകമുള്ള ഡിഗ്രി ആശയം . .

(4), (3) ശ്രേണികളുടെ വ്യത്യാസം കൂടിച്ചേരുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ മാറുന്നു
പൂജ്യത്തിലേക്ക്, ഈ രണ്ട് സീക്വൻസുകളും ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു,
ഒരു പൊതു പരിധി ഉണ്ട്.
(3), (4) ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
21-7 - 21 ’* \u003d 2 |, ൽ (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
രണ്ടാമത്തെ അംഗ വ്യത്യാസം
21’63 - 21.62 \u003d 21.62 (2 ° ’01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
N- അംഗ വ്യത്യാസം
0,0000. ..0 1
2\u003e. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
സിദ്ധാന്തം 3 § 6 അടിസ്ഥാനമാക്കി
lim 10 ″ / 2 \u003d 1.
അതിനാൽ, (3), (4) സീക്വൻസുകൾക്ക് ഒരു പൊതു പരിധിയുണ്ട്. ഈ
എന്നതിനേക്കാൾ വലുതായ ഒരേയൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ് പരിധി
സീക്വൻസിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും (3) കൂടാതെ സീക്വൻസിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളേക്കാളും കുറവ്
(4), കൂടാതെ ഇത് 2 * ന്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്.
പൊതുവായി അംഗീകരിക്കുന്നതാണ് ഉചിതമെന്ന് പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു
ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം:
നിർവചനം. ഒരു\u003e 1 ആണെങ്കിൽ, യുക്തിരഹിതമായ a യുടെ ബിരുദം
എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് a ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്,
ഇത് സൂചകങ്ങളായ ഈ സംഖ്യയുടെ എല്ലാ ഡിഗ്രികളേക്കാളും വലുതാണ്
എല്ലാ ഡിഗ്രികളേക്കാളും കുറവുള്ളതും കുറവുള്ളതുമായ യുവിന്റെ യുക്തിസഹമായ ഏകദേശങ്ങൾ
ഈ സംഖ്യയുടെ യുക്തിസഹമായ ഏകദേശ സൂചകങ്ങൾ
അധികമായി.
അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
എല്ലാ ഡിഗ്രികളേക്കാളും വലുതായ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു
ഈ സംഖ്യയുടെ യുക്തിസഹമായ ഏകദേശ സൂചകങ്ങൾ a
ഈ സംഖ്യയുടെ എല്ലാ ഡിഗ്രികളേക്കാളും കുറവാണ്, അവയുടെ സൂചകങ്ങൾ
- ഒരു പോരായ്മയുള്ള യുവിന്റെ യുക്തിസഹമായ ഏകദേശങ്ങൾ.
.ഒരു - 1 ആണെങ്കിൽ, യുക്തിരഹിതമായ സൂചകമുള്ള ഡിഗ്രി a
1 ആണ്.
പരിധി എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച്, ഈ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്താം
അതിനാൽ:
യുക്തിരഹിതമായ സൂചകമുള്ള പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ബിരുദം
ഒപ്പം സീക്വൻസ് അന്വേഷിക്കുന്ന പരിധിയെ വിളിക്കുന്നു
ഈ സംഖ്യയുടെ യുക്തിസഹമായ ശക്തികൾ, ഈ ശ്രേണി നൽകുന്നു
ഈ ഡിഗ്രികളുടെ സൂചകങ്ങൾ a, അതായത്.
aa \u003d lim aCh
ബി - *
13 ഡി, കെ. ഫാറ്റ്ചീവ്, ഐ.എസ്. സോമിൻസ്കി

ഈ മെറ്റീരിയലിന്റെ ചട്ടക്കൂടിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ\u200cക്ക് പുറമേ, സ്വാഭാവിക, സംഖ്യ, യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സൂചകങ്ങൾ\u200cക്കൊപ്പം ഏതെല്ലാം ഡിഗ്രികളാണുള്ളതെന്ന് ഞങ്ങൾ\u200c പ്രസ്താവിക്കുന്നു. എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, എല്ലാ ആശയങ്ങളും ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കും.
Yandex.RTB R-A-339285-1
ആദ്യം, ഒരു സ്വാഭാവിക സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാന നിർവചനം ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഗുണനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തൽക്കാലം ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും (a എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്), ഒരു സൂചകമായി - സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും (n അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്) എടുക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ മുൻകൂട്ടി വ്യക്തമാക്കുന്നു.
നിർവചനം 1
സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് n ഉള്ള a യുടെ ശക്തി, ഒൻപതാമത്തെ ഘടകങ്ങളുടെ ഫലമാണ്, അവ ഓരോന്നും a എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ബിരുദം ഇതുപോലെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: a n, ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ, അതിന്റെ ഘടനയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് 1 ഉം അടിസ്ഥാനം a ഉം ആണെങ്കിൽ, a യുടെ ആദ്യ ഡിഗ്രി ഇങ്ങനെ എഴുതുന്നു a 1. A എന്നത് ഘടകത്തിന്റെ മൂല്യം, 1 എന്നത് ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം എന്നിവയാൽ നമുക്ക് അത് നിഗമനം ചെയ്യാം a 1 \u003d a.

പൊതുവേ, ഒരു ബിരുദം ഒരു വലിയ എണ്ണം തുല്യ ഘടകങ്ങൾ എഴുതുന്നതിനുള്ള സ form കര്യപ്രദമായ രൂപമാണെന്ന് പറയാം. അതിനാൽ, ഒരു വ്യൂ റെക്കോർഡ് 8 · 8 · 8 · 8 എന്നതിലേക്ക് കുറയ്\u200cക്കാം 8 4 . ഏതാണ്ട് സമാനമായ രീതിയിൽ, ധാരാളം പദങ്ങൾ എഴുതുന്നത് ഒഴിവാക്കാൻ ഈ കൃതി ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 · 4); സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിനായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇത് ഇതിനകം പരിശോധിച്ചു.

ഡിഗ്രി റെക്കോർഡ് എങ്ങനെ ശരിയായി വായിക്കാം? പൊതുവായി അംഗീകരിച്ച ഓപ്ഷൻ “n ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക്” ആണ്. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് "n-th ഡിഗ്രി a" അല്ലെങ്കിൽ "a n-th ഡിഗ്രി" എന്ന് പറയാം. ഉദാഹരണത്തിൽ, എൻട്രി എന്ന് പറയുകയാണെങ്കിൽ 8 12 , നമുക്ക് “8 മുതൽ 12 വരെ ശക്തി”, “8 ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക്” അല്ലെങ്കിൽ “എട്ടാമത്തെ പന്ത്രണ്ടാം ശക്തി” എന്നിവ വായിക്കാം.

സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഡിഗ്രികൾക്ക് അവരുടേതായ സ്ഥാപിത പേരുകളുണ്ട്: ചതുരം, ക്യൂബ്. രണ്ടാമത്തെ ശക്തി, ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ 7 (7 2) കാണുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് “7 ചതുരം” അല്ലെങ്കിൽ “ചതുരം 7” എന്ന് പറയാൻ കഴിയും. അതുപോലെ, മൂന്നാം ഡിഗ്രി ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: 5 3 - ഇതാണ് "5 എന്ന നമ്പറിന്റെ ക്യൂബ്" അല്ലെങ്കിൽ "ക്യൂബിലെ 5". എന്നിരുന്നാലും, “രണ്ടാമത്തെ / മൂന്നാം ഡിഗ്രിയിൽ” സ്റ്റാൻഡേർഡ് പദങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും, ഇത് ഒരു തെറ്റായിരിക്കില്ല.
ഉദാഹരണം 1
സ്വാഭാവിക സൂചകമുള്ള ഒരു ബിരുദത്തിന്റെ ഉദാഹരണം നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം: കാരണം 5 7 അഞ്ചെണ്ണം അടിസ്ഥാനവും ഏഴ് സൂചകവും ആയിരിക്കും.

അടിസ്ഥാനം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ആയിരിക്കണമെന്നില്ല: ഒരു ഡിഗ്രിക്ക് (4 , 32) 9 അടിസ്ഥാനം 4, 32 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയും സൂചകം ഒമ്പതും ആയിരിക്കും. ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ശ്രദ്ധ ചെലുത്തുക: സ്വാഭാവിക റെക്കോർഡുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ എല്ലാ ഡിഗ്രികൾക്കും അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് നിർമ്മിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

പരാൻതീസിസ് എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്? കണക്കുകൂട്ടൽ പിശകുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ അവ സഹായിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് എൻ\u200cട്രികൾ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം: (− 2) 3 ഒപ്പം − 2 3 . അവയിൽ ആദ്യത്തേത് മൈനസ് രണ്ട് എന്ന നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ അർത്ഥമാക്കുന്നു, ഇത് മൂന്ന് സ്വാഭാവിക സൂചകമുള്ള ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു; രണ്ടാമത്തേത് ഡിഗ്രിയുടെ വിപരീത മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സംഖ്യയാണ് 2 3 .

ചിലപ്പോൾ പുസ്തകങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയുടെ അല്പം വ്യത്യസ്തമായ അക്ഷരവിന്യാസം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും - a ^ n (ഇവിടെ a അടിസ്ഥാനമാണ്, n എന്നത് സൂചകമാണ്). അതായത്, 4 ^ 9 എന്നതിന് തുല്യമാണ് 4 9 . N ഒരു മൾട്ടി-അക്ക നമ്പറാണെങ്കിൽ, അത് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എടുക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). എന്നാൽ ഞങ്ങൾ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കും a nകൂടുതൽ സാധാരണമായി.

ഡിഗ്രി മൂല്യം അതിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് to ഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: നിങ്ങൾ ഒരു n-th തവണ ഗുണിച്ചാൽ മതി. മറ്റൊരു ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ എഴുതി.

ഡിഗ്രി എന്ന ആശയം മറ്റൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര സങ്കൽപ്പത്തിന്റെ വിപരീതമാണ് - സംഖ്യയുടെ റൂട്ട്. ഡിഗ്രിയുടെയും സൂചകത്തിന്റെയും മൂല്യം ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. ഒരു പ്രത്യേക മെറ്റീരിയലിൽ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്ത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉപയോഗപ്രദമാകുന്ന ചില പ്രത്യേക സവിശേഷതകൾ ഡിഗ്രിക്ക് ഉണ്ട്.

എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ മാത്രമല്ല, നെഗറ്റീവ്, പൂജ്യങ്ങൾ എന്നിവയുൾപ്പെടെയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യ മൂല്യങ്ങളും ഉണ്ടാകാം, കാരണം അവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടത്തിൽ പെടുന്നു.
നിർവചനം 2
ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഒരു സമവാക്യമായി പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: .

മാത്രമല്ല, n എന്നത് ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

സീറോ ഡിഗ്രി എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, തുല്യ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികൾക്കുള്ള ഘടകത്തിന്റെ സ്വത്ത് കണക്കിലെടുക്കുന്ന ഒരു സമീപനമാണ് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു:
നിർവചനം 3
സമത്വം a m: a n \u003d a m - n വ്യവസ്ഥകളിൽ ഇത് ശരിയായിരിക്കും: m, n എന്നിവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്, m< n , a ≠ 0 .

അവസാന വ്യവസ്ഥ പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഇത് പൂജ്യത്താൽ വിഭജനം ഒഴിവാക്കുന്നു. M, n എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം ലഭിക്കും: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0

എന്നാൽ അതേ സമയം ഒരു n: a n \u003d 1 എന്നത് തുല്യ സംഖ്യകളുടെ ഘടകമാണ് a n a. ഏതെങ്കിലും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെ പൂജ്യം ഡിഗ്രി ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, അത്തരമൊരു തെളിവ് പൂജ്യം ഡിഗ്രിയിൽ പൂജ്യത്തിന് അനുയോജ്യമല്ല. ഇതിനായി നമുക്ക് ഡിഗ്രികളുടെ മറ്റൊരു സ്വത്ത് ആവശ്യമാണ് - തുല്യ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ സ്വത്ത്. ഇത് ഇതായി തോന്നുന്നു: a m · a n \u003d a m + n .

N 0 ആണെങ്കിൽ a m · a 0 \u003d a m (അത്തരം സമത്വം അത് തെളിയിക്കുന്നു a 0 \u003d 1) എന്നാൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നമ്മുടെ സമത്വം രൂപം കൊള്ളുന്നു 0 മീ 0 0 \u003d 0 മീ, N ന്റെ ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക മൂല്യത്തിന് ഇത് ശരിയായിരിക്കും, കൂടാതെ ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം കൃത്യമായി എന്താണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല 0 0 അതായത്, ഇത് ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യമാകാം, ഇത് സമത്വത്തിന്റെ വിശ്വസ്തതയെ ബാധിക്കില്ല. അതിനാൽ, ഫോമിന്റെ ഒരു റെക്കോർഡ് 0 0 ഇതിന് പ്രത്യേക അർത്ഥമൊന്നുമില്ല, ഞങ്ങൾ അത് അദ്ദേഹത്തിന് നൽകില്ല.

വേണമെങ്കിൽ, അത് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് a 0 \u003d 1 ഡിഗ്രിയുടെ സ്വത്തുമായി സംയോജിക്കുന്നു (a m) n \u003d a m ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് നൽകിയിട്ടുണ്ട്. അങ്ങനെ, പൂജ്യം എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഏതെങ്കിലും നോൺ\u200cജെറോ സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
ഉദാഹരണം 2
നിർദ്ദിഷ്ട അക്കങ്ങളുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: അതിനാൽ, 5 0 - യൂണിറ്റ് (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 \u003d 1, മൂല്യം 0 0 നിർവചിച്ചിട്ടില്ല.

സീറോ ഡിഗ്രിക്ക് ശേഷം, നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി എന്താണെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. ഇതിനായി നമുക്ക് ഇതിനകം മുകളിൽ ഉപയോഗിച്ച തുല്യ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന്റെ അതേ സ്വത്ത് ആവശ്യമാണ്: a m · a n \u003d a m + n.

ഞങ്ങൾ ഈ വ്യവസ്ഥ അവതരിപ്പിക്കുന്നു: m \u003d - n, പിന്നെ പൂജ്യമാകരുത്. അത് പിന്തുടരുന്നു a - n · a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1. ഇത് ഒരു n ഉം a - n ഞങ്ങൾ പരസ്പരം വിപരീത സംഖ്യകളാണ്.

തൽഫലമായി, a മുതൽ മുഴുവൻ നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി വരെ 1 a n എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല.

ഒരു സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക്, സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് ഈ വാക്ക് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു (അടിസ്ഥാനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ).
ഉദാഹരണം 3
പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് n ഉള്ള ഡിഗ്രി 1 a n എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അങ്ങനെ, വ്യവസ്ഥയിൽ a - n \u003d 1 a n a 0 n എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

വ്യക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പോയിന്റ് വിശദീകരിക്കുന്നു:
ഉദാഹരണം 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

ഖണ്ഡികയുടെ അവസാന ഭാഗത്ത് വ്യക്തമായി പറഞ്ഞതെല്ലാം ഒരു സൂത്രവാക്യത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും:
നിർവചനം 4
സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് z ഉള്ള a യുടെ ശക്തി: az \u003d az, e, a, z എന്നിവയ്ക്കൊപ്പം ഒരു ≠ 0, (ഉദാഹരണത്തിന്, z \u003d 0, a \u003d 0, ഇത് 0 0 ആണ്, എന്നാൽ മൂല്യം 0 0 അല്ല നിർവചനം) 1 az, esl, z - purposefull, ≠ 0 ( Z ഉദ്ദേശ്യത്തിനാണെങ്കിൽ, a \u003d 0 0 z ആണെങ്കിൽ, അത് n ഒരു ടിംഗ് n)

യുക്തിസഹമായ സൂചകമുള്ള ഡിഗ്രികൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ ഒരു സംഖ്യ ഉള്ള കേസുകൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്\u200cതു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ അതിന്റെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിലായിരിക്കുമ്പോൾ പോലും ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താൻ കഴിയും. ഇതിനെ യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ വിഭാഗത്തിൽ മറ്റ് ഡിഗ്രികളുടേതിന് സമാനമായ ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു.

യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? അവയുടെ ഗണത്തിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഭിന്നസംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നു, അതേസമയം ഭിന്നസംഖ്യകളെ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്). ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, ഇവിടെ n ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയും m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുമാണ്.

ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് a m n ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് കുറച്ച് ശക്തിയുണ്ട്. ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർ\u200cട്ടി തൃപ്\u200cതിപ്പെടുത്തുന്നതിന്, a m n n \u003d a m n · n \u003d a m എന്ന തുല്യത ശരിയായിരിക്കണം.

ഒൻപതാം ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനവും ഒരു m n n \u003d a m ഉം, m, n, a എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഒരു m n അർത്ഥമുണ്ടെങ്കിൽ നമുക്ക് m m \u003d a m n എന്ന അവസ്ഥ അംഗീകരിക്കാം.

ഒരു m n \u003d a m n നൽകിയാൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള മുകളിലുള്ള എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ ശരിയാകും.

ഞങ്ങളുടെ യുക്തിയിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന നിഗമനം ഇപ്രകാരമാണ്: ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി a മുതൽ m വരെയുള്ള ഒൻപതാം ഡിഗ്രിയുടെ മൂലമാണ്. M, n, a എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾക്ക്, m m എന്ന പദപ്രയോഗം അർത്ഥം നിലനിർത്തുന്നുവെങ്കിൽ ഇത് ശരിയാണ്.

1. നമുക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിന്റെ മൂല്യം പരിമിതപ്പെടുത്താൻ കഴിയും: a എടുക്കുക, അത് m ന്റെ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് 0 നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയിരിക്കും, കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഇത് കർശനമായി കുറവായിരിക്കും (m ≤ 0 മുതൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും 0 മീ, പക്ഷേ അത്തരമൊരു ബിരുദം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ഭിന്ന സൂചകമുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം ഇതുപോലെയാകും:

ചില പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്ക് ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള ഒരു പവർ, ഉയർത്തിയതിൽ നിന്ന് പവർ m ലേക്ക് nth പവറിന്റെ റൂട്ട് ആണ്. ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

പൂജ്യ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക്, ഈ സ്ഥാനവും അനുയോജ്യമാണ്, പക്ഷേ അതിന്റെ സൂചകം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ മാത്രം.

സീറോ ബേസ് ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയും ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പോസിറ്റീവ് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉം ആയി പ്രകടിപ്പിക്കാം

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ m നും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ n നും വിധേയമാണ്.

നെഗറ്റീവ് അനുപാതത്തിൽ m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ഞങ്ങൾ ഒരു കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. ഒരു പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെന്ന വ്യവസ്ഥ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചതിനാൽ, ചില കേസുകൾ ഞങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കി.

ഒരു m n എന്ന പദപ്രയോഗം a, ചില m എന്നിവയുടെ ചില നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അർത്ഥമുണ്ട്. അതിനാൽ, അടിസ്ഥാനം നെഗറ്റീവ് ആയ (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 എൻ\u200cട്രികൾ ശരിയാണ്.

2. രണ്ടാമത്തെ സമീപനം റൂട്ട് ഒരു m n ഇരട്ട സംഖ്യകളുമായി പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കുക എന്നതാണ്. അതിനുശേഷം നമ്മൾ ഒരു നിബന്ധന കൂടി അവതരിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്: കുറയ്ക്കാവുന്ന സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സൂചികയിലെ ഡിഗ്രി a യുടെ ഡിഗ്രിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, ഇതിന്റെ സൂചികയിൽ അനുബന്ധമായ മാറ്റാനാവാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. ഈ അവസ്ഥ എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾക്ക് ഉള്ളതെന്നും എന്തുകൊണ്ട് ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണെന്നും പിന്നീട് ഞങ്ങൾ വിശദീകരിക്കും. അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു റെക്കോർഡ് m · k n · k ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് അത് ഒരു m n n ആയി കുറയ്ക്കാനും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാനും കഴിയും.

N എന്നത് ഒറ്റ സംഖ്യയും m പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, a നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയുമാണെങ്കിൽ, ഒരു m n അർത്ഥമാക്കുന്നു. നെഗറ്റീവ് നമ്പറിൽ നിന്ന് ഇരട്ട ഡിഗ്രി റൂട്ട് എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യാത്തതിനാൽ നോൺ\u200cനെഗറ്റീവ് എ യുടെ അവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്. M ന്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, a നെഗറ്റീവ്, പൂജ്യം എന്നിവ ആകാം, കാരണം ഒറ്റ റൂട്ട് ഏത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിൽ നിന്നും വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും.

നിർവചനത്തിന് മുകളിലുള്ള എല്ലാ ഡാറ്റയും ഒരു റെക്കോർഡിൽ സംയോജിപ്പിക്കുക:

ഇവിടെ m / n എന്നാൽ മാറ്റാൻ കഴിയാത്ത ഭിന്നസംഖ്യ, m എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ, n എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എന്നിവയാണ്.
നിർവചനം 5
ഏതൊരു സാധാരണ സങ്കോചിത ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്കും m · k n · k, ഡിഗ്രി ഒരു m n ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

മാറ്റാൻ കഴിയാത്ത ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രി ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഒരു m n ആയി പ്രകടിപ്പിക്കാം: - ഏതൊരു യഥാർത്ഥ a നും, m, വിചിത്രമായ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ n എന്നിവയുടെ പൂർണ്ണ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ. ഉദാഹരണം: 2 5 3 \u003d 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 \u003d 0 5 19.

ഏതൊരു നോൺ\u200cജെറോ റിയൽ\u200c എ, നെഗറ്റീവ് ഇൻ\u200cറിജർ\u200c m, വിചിത്രമായ n എന്നിവയ്\u200cക്ക്, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7

നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത a, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ m, n എന്നിവപോലും, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 1 4 \u003d 2 1 4, (5, 1) 3 2 \u003d (5, 1) 3, 0 7 18 \u003d 0 7 18.

ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് a, പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് m, n എന്നിവപോലും, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 \u003d (5, 1) - 3 ,.

മറ്റ് മൂല്യങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഒരു ഭിന്ന സൂചകമുള്ള ബിരുദം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നില്ല. അത്തരം ഡിഗ്രികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച അവസ്ഥയുടെ പ്രാധാന്യം ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം: എന്തിനാണ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ കുറയ്ക്കാവുന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ മാറ്റാനാവാത്ത ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത്. ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്തില്ലെങ്കിൽ, അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളുണ്ടാകും, പറയുക, 6/10 \u003d 3/5. അപ്പോൾ ഇത് ശരിയായിരിക്കണം (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5, പക്ഷേ - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1, (- 1) 3 5 \u003d (- 1) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഇൻഡിക്കേറ്റർ ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം, ആദ്യം ഞങ്ങൾ ഉദ്ധരിച്ച, പ്രായോഗികത്തിൽ രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ പ്രയോഗിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് ഉപയോഗിക്കുന്നത് തുടരും.
നിർവചനം 6
അതിനാൽ, ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ അളവ് ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 ആയി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ a ഒരു m n എഴുതുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല. പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ അളവുകൾക്കുള്ള പൂജ്യം ഡിഗ്രി m / n 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 എന്ന് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, നെഗറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ സൂചകങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കില്ല.

നിഗമനങ്ങളിൽ, ഏതൊരു ഭിന്ന സൂചകത്തെയും ഒരു മിശ്രിത സംഖ്യയായും ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായും എഴുതാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

കണക്കുകൂട്ടലിൽ, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിനെ ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി ഡിഗ്രി നിർവചനം ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക്, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

യുക്തിരഹിതവും സാധുവായതുമായ സൂചകമുള്ള ഡിഗ്രികൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? അവരുടെ സെറ്റിൽ യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു യഥാർത്ഥ സൂചകമുള്ള ബിരുദം എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സൂചകങ്ങളുള്ള ഡിഗ്രികൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. യുക്തിയെക്കുറിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതാണ്. യുക്തിരഹിതമായ സൂചകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഘട്ടം ഘട്ടമായി കൈകാര്യം ചെയ്യും.
ഉദാഹരണം 5
നമുക്ക് ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയും അതിന്റെ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയും 0, a 1, a 2, ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. . . . ഉദാഹരണത്തിന്, a \u003d 1, 67175331 എന്ന മൂല്യം എടുക്കുക. . . തുടർന്ന്

a 0 \u003d 1, 6, a 1 \u003d 1, 67, a 2 \u003d 1, 671 ,. . . , a 0 \u003d 1, 67, a 1 \u003d 1, 6717, a 2 \u003d 1, 671753 ,. . .

ഏകദേശ ശ്രേണികളെ നമുക്ക് 0, a 1, a 2 ഡിഗ്രി ഡിഗ്രികളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താം. . . . ഒരു യുക്തിസഹമായ അളവിലേക്ക് സംഖ്യകളെ ഉയർത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ നേരത്തെ സംസാരിച്ചുവെന്ന് ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ ഡിഗ്രികളുടെ മൂല്യങ്ങൾ സ്വയം കണക്കാക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന് എടുക്കുക a \u003d 3a a 0 \u003d 3 1, 67, a 1 \u003d 3 1, 6717, a 2 \u003d 3 1, 671753 ,. . . തുടങ്ങിയവ.

ഡിഗ്രികളുടെ ശ്രേണി ഒരു സംഖ്യയായി കുറയ്\u200cക്കാൻ കഴിയും, അത് അടിസ്ഥാന a, യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് a എന്നിവയുമായുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യമായിരിക്കും. ഫലമായി: 3 1, 67175331 എന്ന ഫോമിന്റെ യുക്തിരഹിതമായ സൂചകമുള്ള ബിരുദം. . 6, 27 എന്ന നമ്പറിലേക്ക് കുറയ്\u200cക്കാൻ\u200c കഴിയും.
നിർവചനം 7
യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള a പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി a എന്ന് എഴുതുന്നു. 0, a 1, a 2, എന്ന ശ്രേണിയുടെ പരിധിയാണ് ഇതിന്റെ മൂല്യം. . . , ഇവിടെ 0, a 1, a 2 ,. . . യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയുടെ തുടർച്ചയായ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങളാണ് a. പോസിറ്റീവ് യുക്തിരഹിതമായ സൂചകങ്ങൾക്കായി 0 a \u003d 0 ഉപയോഗിച്ച് പൂജ്യ അടിത്തറയുള്ള ഒരു ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിക്കാനാകും, അതിനാൽ, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. എന്നാൽ നെഗറ്റീവിന് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, കാരണം, ഉദാഹരണത്തിന്, 0 - 5, 0 - 2 value എന്ന മൂല്യം നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. ഏതെങ്കിലും യുക്തിരഹിതമായ ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന ഒരു യൂണിറ്റ് ഒരു യൂണിറ്റായി തുടരുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 ൽ 1 2, 1 5, 1 - 5 എന്നിവ 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

വാചകത്തിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് തിരഞ്ഞെടുത്ത് Ctrl + Enter അമർത്തുക

യുക്തിസഹമായ സൂചകത്തോടുകൂടിയ ബിരുദം, അതിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.
എക്സ്പ്രഷൻ a n n≤0 ന് a \u003d 0 എന്ന കേസ് ഒഴികെ എല്ലാ a, n നും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അത്തരം ഡിഗ്രികളുടെ സവിശേഷതകൾ ഓർമ്മിക്കുക.

A, b, ഏത് സംഖ്യകൾക്കും m, n എന്നിവ തുല്യമാണ്.
A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (ബി ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്തും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

M\u003e n ആണെങ്കിൽ, a\u003e 1 ന് ഒരു m\u003e a n ഉം m ഉം<а n при 0<а<1.

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, ടൈപ്പ് 2 ന്റെ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് അർത്ഥം നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നു 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 മുതലായവ. യുക്തിസഹമായ സൂചകങ്ങളുള്ള ഡിഗ്രികൾക്ക് മുഴുവൻ സൂചകമുള്ള ഡിഗ്രികളുടേതിന് സമാനമായ ഗുണങ്ങൾ (അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ഭാഗമെങ്കിലും) ഉള്ള രീതിയിൽ നിർവചനം നൽകുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്. പിന്നെ, പ്രത്യേകിച്ചും, സംഖ്യയുടെ ഒൻപതാം ശക്തി a ന് തുല്യമായിരിക്കണം മീ . തീർച്ചയായും, സ്വത്താണെങ്കിൽ
(a p) q \u003d a pq

തുടർന്ന് നിർവഹിച്ചു

അവസാന സമത്വം എന്നതിനർത്ഥം (ഒൻപതാം ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്) അക്കമാണ് a മുതൽ nth ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് ആയിരിക്കണം മീ.

നിർവചനം

യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള a\u003e 0 ന്റെ ഡിഗ്രി, ഇവിടെ m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമാണ് (n\u003e 1), അതിനെ സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

അതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്
(1)

പോസിറ്റീവ് സൂചകങ്ങൾക്ക് മാത്രം 0 എന്ന സംഖ്യയുടെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു; നിർവചനം പ്രകാരം 0 ഏത് r\u003e 0 നും r \u003d 0.
യുക്തിരഹിതമായ സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് ബിരുദം.
യുക്തിരഹിതമായ നമ്പർആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാംയുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി പരിമിതപ്പെടുത്തുക: .
ആകട്ടെ. പിന്നെ യുക്തിസഹമായ സൂചകമുള്ള ഡിഗ്രികളുണ്ട്. ഈ ഡിഗ്രികളുടെ ക്രമം ഒത്തുചേരുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. ഈ ശ്രേണിയുടെ പരിധി വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാനവും യുക്തിരഹിതമായ നിരക്കും ഉള്ള ബിരുദം: .
ഞങ്ങൾ ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ a ശരിയാക്കി ഓരോ നമ്പറുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു. അങ്ങനെ, f (x) \u003d a എന്ന സംഖ്യാ പ്രവർത്തനം നമുക്ക് ലഭിക്കും x യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ സെറ്റ് ക്യൂവിൽ നിർവചിക്കുകയും മുകളിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്\u200cതിരിക്കുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ കൈവശമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. A \u003d 1 ന്, f (x) \u003d a എന്ന പ്രവർത്തനം x 1 മുതൽ സ്ഥിരമാണ് x ഏത് യുക്തിസഹമായ x- നും \u003d 1.

Y \u003d 2 ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ നിരവധി പോയിന്റുകൾ ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു x മുമ്പ് കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മൂല്യം 2 കണക്കാക്കുന്നു x വിഭാഗത്തിൽ [—2; 3] 1/4 (ചിത്രം 1, എ), തുടർന്ന് 1/8 (ചിത്രം 1, ബി) ഉപയോഗിച്ച്. 1/16, 1/32 മുതലായവ ഉപയോഗിച്ച് മാനസികമായി അതേ നിർമ്മാണങ്ങൾ തുടരുക, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോയിന്റുകൾ ഒരു മിനുസമാർന്ന കർവ് ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, ഇത് സ്വാഭാവികമായും നിർവചിക്കപ്പെട്ട ചില ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ആയി കണക്കാക്കുകയും ഇതിനകം തന്നെ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിൽ വർദ്ധിക്കുകയും മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു യുക്തിസഹമായ പോയിന്റുകളിൽ (ചിത്രം 1, സി). ആവശ്യത്തിന് പണിതു വലിയ സംഖ്യ ഗ്രാഫ് ഫംഗ്ഷൻ പോയിന്റുകൾ, ഈ ഫംഗ്ഷനും സമാനമായ ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും (വ്യത്യാസം ഫംഗ്ഷനാണ് R ൽ കുറയുന്നു).

ഈ നിരീക്ഷണങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് 2 അക്കങ്ങളെ ഈ രീതിയിൽ നിർവചിക്കാം. α ഉം യുക്തിരഹിതമായ ഓരോ for നും, y \u003d 2 സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ x ഉം തുടരും, y \u003d 2 എന്ന ഫംഗ്ഷനും x വർദ്ധിക്കുകയും പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിലും കുറയുന്നു.

എ എന്ന സംഖ്യ എങ്ങനെയെന്ന് പൊതുവായി വിവരിക്കാം α യുക്തിരഹിതമായ for a\u003e 1 ന്. നമുക്ക് y \u003d a ഫംഗ്ഷൻ വേണം x വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരുന്നു. പിന്നെ ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹമായ r 1 ഉം r 2 ഉം r 1<α അസമത്വങ്ങൾ നിറവേറ്റണം a r 1<а α <а r 1 .

R മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു 1, r 2 x- നെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, a യുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ\u200c ഒരാൾ\u200cക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ\u200c കഴിയും r 1 ഉം ഒരു r 2 ഉം കുറച്ച് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. നിലവിലുണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും, മാത്രമല്ല, ഒരെണ്ണം മാത്രം, y എന്ന സംഖ്യയെക്കാൾ വലുതാണ് r 1 എല്ലാ യുക്തിസഹമായ r 1 ഉം എല്ലാ r 2 നെക്കാളും കുറവ് എല്ലാ യുക്തിസഹമായ r 2 . നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് a ഉണ്ട് α .

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മൂല്യം 2 കണക്കാക്കുന്നു x പോയിന്റുകളിൽ x n, x` n, ഇവിടെ x n, x` n - ഒരു സംഖ്യയുടെ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങൾ അടുത്തുള്ള x n, x` n കെ കുറഞ്ഞ വ്യത്യാസം 2 x n ഉം 2 x` n ഉം.

അപ്പോൾ മുതൽ

അതിനാൽ

അതുപോലെ, ഇനിപ്പറയുന്ന ദശാംശ ഏകദേശങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക അപര്യാപ്തതയും അമിതവുമായാണ് ഞങ്ങൾ ബന്ധങ്ങളിലേക്ക് വരുന്നത്
;

;

;

;

.

മൂല്യം ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ കണക്കാക്കുന്നു, ഇത്:
.

A എന്ന സംഖ്യയും സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു α 0 ന്<α<1. Кроме того полагают 1 α ഏതെങ്കിലും α, 0 എന്നിവയ്\u200cക്ക് \u003d 1 α\u003e 0 ന് α \u003d 0.
എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ പ്രവർത്തനം.

അറ്റ് a > 0, a = 1, പ്രവർത്തനം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു y \u003d a x സ്ഥിരത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ ഫംഗ്ഷനെ വിളിക്കുന്നു എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻയുക്തിസഹമായിa.

y\u003d a x at a> 1:

ബേസ് 0 ഉള്ള എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ< a < 1 и a \u003e 1 ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ y\u003d a x 0 ന്< a < 1:
ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ വരിയാണ്.

പ്രവർത്തന മൂല്യ ശ്രേണി - സ്\u200cപാൻ (0; + ) .

ഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിൽ ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത്, എങ്കിൽ x 1 < x 2 പിന്നെ ഒരു x 1 \u003e ഒരു x 2 .

അറ്റ് x \u003d 0, ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം 1 ആണ്.

എങ്കിൽ x\u003e 0, തുടർന്ന് 0< a < 1 എങ്കിൽ x < 0, то ഒരു x > 1.
TO പൊതു സവിശേഷതകൾ എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ 0< a < 1, так и при a\u003e 1 ഉൾപ്പെടുന്നു:
a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, എല്ലാവർക്കും x 1 ഒപ്പം x 2.

a - x= ( a x) − 1 = 1 ax ആർക്കും x.

na x= a

വായിക്കുക:

മെയിലിംഗ് പാക്കേജിംഗ് പ്ലാന്റ് മെയിൽ വഴി അയയ്ക്കുക പ്ലോട്ടിലെ ബിർച്ച്: വളർച്ചാ നിയന്ത്രണവും കിരീട രൂപീകരണ ഓപ്ഷനുകളും ഹവോർത്തിയ ഹോം കെയർ നനവ് ട്രാൻസ്പ്ലാൻറ് പുനരുൽപാദന പ്ലാന്റ് കെയർ ഇൻഡോർ വായു ശുദ്ധീകരിക്കുന്ന ഇൻഡോർ സസ്യങ്ങൾ സ്പാത്തിഫില്ലം പൂക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യണം: സസ്യ സംരക്ഷണം

വായിക്കുക: