De sok természetes számot is teljesen felosztnak más természetes számokra.

Például:

A 12 szám osztva 1, 2, 3, 4, 6, 12;

A 36 szám el van osztva 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36-al.

Azokat a számokat, amelyekbe a szám teljesen fel van osztva (12-re ez 1, 2, 3, 4, 6 és 12) hívják számválasztó. Természetes szám elválasztó egy   egy természetes szám, amely osztja az adott számot egy   nyom nélkül. Olyan természetes számot hívnak, amelynél kettőnél több osztó van összetett .

Vegye figyelembe, hogy a 12. és a 36. szám közös osztóval rendelkezik. Ezek a számok: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ezeknek a számoknak a legnagyobb osztója 12. A két adott szám közös osztója egy   és b   az a szám, amellyel mindkét megadott szám osztható maradék nélkül egyés b.

Közös többszörös   a több számot olyan számnak nevezzük, amelyet ezekkel a számokkal osztunk. Például, a 9-es, a 18-as és a 45-es szám többszörösének 180-szorosa van. De a 90 és a 360 szintén a közös többszörösük. Az összes j-szorzóból mindig a legkisebb van, ebben az esetben 90. Ezt a számot hívják a legkisebbösszesen több (NOC).

A NOC mindig egy természetes szám, amelynek nagyobbnak kell lennie, mint a számok közül a legnagyobb, amelyekre meghatározásra kerül.

Least Common Multiple (NLC). Tulajdonságok.

kommutatív:

asszociativitás:

Konkrétan, ha és van példányszám, akkor:

Két egész szám legkevesebb közös száma més   n   az összes többi szorzó osztója més   n. Sőt, sok közös szorzó m, n   egybeesik a NOC szorzókészletével ( m, n).

Az aszimptotikus hatások néhány számelméleti függvényben kifejezhetők.

Például,   Chebyshev funkció   . És még:

Ez a Landau függvény meghatározásából és tulajdonságaiból következik g (n).

Mi következik a prímek elosztási törvényéből.

A legkisebb közös multiplex (LCL) megkeresése.

NOC ( a, b) többféle módon kiszámítható:

1. Ha ismert a legnagyobb közös osztó, akkor használhatja a NOC-val fennálló kapcsolatát:

2. Legyen ismert mindkét szám kanonikus tényezője:

ahol p 1, ..., p k   - különböző prímszámok, és d 1, ..., d k   és e 1, ..., e k   - nemnegatív egész számok (azok nullák lehetnek, ha a megfelelő prím nincs a kiterjesztésben).

Aztán NOC ( egy,b) kiszámítása a következő képlettel történik:

Más szavakkal, az LCL tágulása tartalmazza azokat az elsődleges tényezőket, amelyek a számok legalább egy bomlásában megjelennek a, b, és ennek a tényezőnek a két kitevője közül a legnagyobbat vesszük.

példa:

A több szám legkisebb közös többszörösének kiszámítása két egymást követő NOC számításra redukálható:

A szabály.   Több szám NOC-jának megtalálásához a következőkre van szüksége:

- bontja a számokat primer tényezőkké;

- vigyük át a legnagyobb bomlást a kívánt termék tényezőire (a megadott legnagyobb számú tényezők szorzata), majd adjuk hozzá a többi szám bomlásából származó tényezőket, amelyek nem fordulnak elő az első számban vagy kevesebbszor vannak benne;

- az elsődleges tényezők eredményének szorzata az adott szám NOC lesz.

Bármely két vagy több természetes számnak megvan a saját NOC. Ha a számok nem sokszorosak, vagy nem rendelkeznek ugyanazokkal a tényezőkkel a kiterjesztésben, akkor LCL egyenlő ezen számok szorzatával.

A 28 (2, 2, 7) egyszerű tényezői, kiegészítve 3-as tényezővel (21. szám), az eredményül kapott termék (84) a legkisebb szám, osztva 21-gyel és 28-val.

A 30 legnagyobb szám egyszerű tényezői, kiegészítve a 25-ös szám 5-es tényezőjével, a kapott 150 termék nagyobb, mint a 30 legnagyobb szám, és maradék nélkül az összes megadott számmal oszlik meg. Ez a lehető legkisebb termék (150, 250, 300 ...), amelyhez az összes megadott szám többszöröse.

A 2,3,11,37 számok primerek, tehát LCL egyenlő az adott szám szorzatával.

A szabály. A prím NOC kiszámításához meg kell szorozni ezeket a számokat egymás között.

Egy másik lehetőség:

Több szám legkisebb közös többszörösének (LCL) a kereséséhez:

1) mindegyik számot a fő tényező szorzataként kell ábrázolni, például:

504 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7,

2) írja le az összes alapvető tényező hatalmát:

504 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 \u003d 2 3 · 3 2 · 7 1,

3) írja ki ezeknek a számoknak az összes egyszerű osztóját (tényezőjét);

4) válassza ki mindegyikük legnagyobb fokát, amely ezen számok minden kiterjesztésében megtalálható;

5) meg kell szorozni ezeket a fokokat.

példa   . Keresse meg a NOC-számokat: 168, 180 és 3024.

döntés   . 168 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 7 \u003d 2 3 · 3 1 · 7 1,

180 \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 5 \u003d 2 2 · 3 2 · 5 1,

3024 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 \u003d 2 4 · 3 3 · 7 1.

Kiírjuk az összes egyszerű osztó legnagyobb fokát és szorzzuk meg őket:

NOC \u003d 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 \u003d 15120.

Második szám:   b \u003d

Bit elválasztó   Nincs elválasztó tér ""

eredmény:

A GCD legnagyobb közös osztója ( egy,b)=6

Legkevésbé gyakori többszörös NOC ( egy,b)=468

Felhívjuk a legnagyobb pozitív egész számot, amellyel az a és b szám osztható maradék nélkül legnagyobb közös tényező   (GCD). A jelölés GCD (a, b), (a, b), gcd (a, b) vagy hcf (a, b).

Legkevésbé gyakori többszörös   Két a és b egész szám (NOC) a legkisebb pozitív egész szám, amely osztható az a és b értékkel maradék nélkül. A jelölés NOC (a, b) vagy lcm (a, b).

Az a és b egészeket hívjuk kölcsönösen egyszerűha nincsenek közös tényezőik, csak a +1 és −1.

A legnagyobb közös tényező

Adjunk két pozitív számot egy   1 és egy   2 1). Meg kell találni ezeknek a számoknak a közös osztóját, azaz talál egy ilyen számot λ ami osztja a számokat egy   1 és egy   2 ugyanabban az időben. Leírjuk az algoritmust.

1) Ebben a cikkben a szó számát egészként értjük.

enged egy 1 ≥ egy   2 és hagyja

ahol m 1 , egy   3 egész szám egy 3 <egy   2 (a részleg fennmaradó része egy   1 on egy   2-nek kevesebbnek kell lennie egy 2).

Tegyük fel, hogy λ   részvény egy   1 és egy   Akkor 2 λ   részvény m 1 egy   És 2 λ   részvény egy 1 −m 1 egy 2 =egy   3 (A számok megoszthatósága. A megoszthatóság jele) cikk 2. állítása. Ebből következik, hogy minden közös osztó egy   1 és egy   A 2. ábra közös osztó egy   És 2 egy   3. Az ellenkezője akkor is igaz, ha λ   közös tényező egy   És 2 egy   Akkor 3 m 1 egy   És 2 egy 1 =m 1 egy 2 +egy   A 3 szintén fel van osztva λ . Ezért a közös osztó egy   És 2 egy   A 3. ábrán is van egy közös osztó egy   1 és egy   2. mert egy 3 <egy 2 ≤egy   1, akkor elmondhatjuk, hogy megoldást találtunk a számok közös osztójának megtalálására egy   1 és egy   A 2. ábrát a számok közös osztójának megtalálása egyszerűbb problémájára redukálják egy   És 2 egy 3 .

ha egy   3 ≠ 0, akkor osztható egy   2 be egy   3. majd

,

ahol m   1 és egy   4 egész szám, ( egy   4 a megosztás fennmaradó része egy   2 be egy 3 (egy 4 <egy   3)). Hasonló érveléssel azt a következtetést vonjuk le, hogy a számok közös osztói egy   3 és egy   4 megegyezik a számok közös osztójával egy   És 2 egy   3, valamint a közös elválasztókkal egy   1 és egy   2. mert egy 1 , egy 2 , egy 3 , egy   4, ... számok, amelyek folyamatosan csökkennek, és mivel véges szám van egész szám között egy   2 és 0, majd valamilyen lépésben n, a megosztás fennmaradó része egy   n be egy   n + 1 nulla lesz ( egy   n + 2 \u003d 0).

.

Minden közös osztó λ   szám egy   1 és egy   2 szintén egy osztó egy   És 2 egy 3 , egy   3 és egy 4 , .... egy   n és egy   n + 1. Az ellenkezője is igaz, a számok közös osztói egy   n és egy   Az n + 1 a szám osztója is egy   n - 1 és egy   n, ...., egy   És 2 egy 3 , egy   1 és egy   2. De a számok közös osztója egy   n és egy   n + 1 a szám egy   n + 1, mert egy   n és egy n + 1 osztható el egy   n + 1 (emlékezzünk rá egy   n + 2 \u003d 0). ezért egy   Az n + 1 szintén osztó egy   1 és egy 2 .

Vegye figyelembe, hogy a szám egy   n a számok osztója közül a legnagyobb egy   n és egy   n + 1, mivel a legnagyobb osztó egy   n + 1 önmagában egy   n + 1. ha egy   n + 1 egész számok szorzataként ábrázolható, akkor ezek a számok is a számok közös osztói egy   1 és egy   2. szám egy   n + 1 hívása   legnagyobb közös tényező   szám egy   1 és egy 2 .

A számok egy   1 és egy   2 lehet pozitív és negatív szám is. Ha a számok egyike nulla, akkor ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója megegyezik a másik szám abszolút értékével. A nulla számok legnagyobb közös osztója nincs meghatározva.

A fenti algoritmust nevezzük euklideszi algoritmushogy megtalálja a két egész szám legnagyobb közös osztóját.

Példa a két szám legnagyobb közös osztójának megtalálására

Keresse meg a 630 és 434 számok legnagyobb közös tényezőjét.

• 1. lépés Osszuk el a 630-as számot 434-rel. A fennmaradó szám 196.
• 2. lépés: Osszuk el a 434-es számot 196-rel. A fennmaradó érték 42-es.
• 3. lépés: Osszuk el a 196 számot 42-rel. A fennmaradó szám 28.
• 4. lépés Ossza el a 42-es számot 28-mal. A fennmaradó érték 14-es.
• 5. lépés Ossza el a 28 számot 14-rel. A fennmaradó érték 0.

Az 5. lépésben a megosztás fennmaradó értéke 0. Ezért a 630 és 434 számok legnagyobb közös osztója 14. Ne feledje, hogy a 2 és 7 számok a 630 és 434 szám osztói is.

  Kölcsönösen primerek

meghatározás 1.   Legyen a számok legnagyobb közös osztója egy   1 és egy   2 egyenlő egyvel. Akkor ezeket a számokat hívják kölcsönösen prímszámoknincs közös osztó.

A tétel 1.   ha egy   1 és egy   2 példányszám, és λ   valamilyen számot, akkor a számok közös osztóját λa   1 és egy   A 2 szintén közönséges osztó λ   és egy 2 .

Bizonyítás. Vegyük figyelembe az euklideszi algoritmust a számok legnagyobb közös osztójának megtalálására egy   1 és egy   2. ábra (lásd fent).

.

A tétel feltételeiből következik, hogy a számok legnagyobb közös osztója egy   1 és egy   És ezért egy   n és egy   n + 1 értéke 1. azaz egy   n + 1 \u003d 1.

Szorozzuk meg ezeket az egyenlőségeket szorzattal λ majd

.

Hagyja, hogy a közös tényező egy 1 λ   és egy   2 enni δ . majd δ   egy tényező a egy 1 λ , m 1 egy 2 λ   és be egy 1 λ -m 1 egy 2 λ =egy 3 λ   (lásd "A számok megoszthatósága", 2. javaslat). további δ   egy tényező a egy 2 λ   és m 2 egy 3 λ , és ezért a egy 2 λ -m 2 egy 3 λ =egy 4 λ .

Indokolás, így meggyőződésünk δ   egy tényező a egy   n - 1 λ   és m   n - 1 egy   n λ , és ezért a egy   n - 1 λ −m   n - 1 egy   n λ =egy   n + 1 λ . mert egy   n + 1 \u003d 1, akkor δ   egy tényező a λ . Ezért a szám δ   egy közös szám elválasztó λ   és egy 2 .

Az 1. tétel egyes eseteit vesszük figyelembe.

eredmény 1.   enged egy   és c   A PRIM viszonylag nagy b. Aztán a termékük ac   egy elsődleges viszony a b.

Valóban. Az 1. tételből ac   és b   ugyanazok a közös osztók, mint a c   és b. De a számok c   és b   kölcsönösen egyszerű, azaz legyen egyetlen közös tényezője 1. Akkor ac   és b továbbá egyetlen közös tényezőjük van 1. Ezért ac   és b   kölcsönösen egyszerű.

eredmény 2.   enged egy   és b   coprime számokat, és hagyja b   részvény ak. majd b   osztja és k.

Valóban. Az állítás feltételétől ak   és b   legyen közös osztójuk b. Az 1. tétel alapján b   közös osztónak kell lennie b   és k. ezért b   részvény k.

Az 1. következtetés általánosítható.

eredmény 3.   1. Hagyja a számokat egy 1 , egy 2 , egy 3 , ..., egy   m a szám függvényében b. majd egy 1 egy 2 , egy 1 egy   2 · egy 3 , ..., egy 1 egy 2 egy   3 ··· egy   m, ezeknek a számoknak a szorzata a számhoz viszonyítva elsődleges b.

2. Nézzünk két számot

oly módon, hogy az első sorban minden szám elsődleges a második sor minden számához képest. Aztán a termék

Meg kell találni azokat a számokat, amelyek oszthatók ezen számok mindegyikével.

Ha a szám osztható el egy   1, akkor megkapja a formáját sa   1 ahol s   valamilyen szám. ha q   a számok legnagyobb közös osztója egy   1 és egy   Akkor 2

ahol s   1 valamilyen egész szám. majd

van legkisebb közös többszörös egy   1 és egy 2 .

egy   1 és egy   2 a coprime, akkor a számok legkevésbé gyakori többszöröse egy   1 és egy 2:

Meg kell találnia ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszörösét.

A fentiekből következik, hogy a számok bármilyen többszöröse egy 1 , egy 2 , egy   A 3 számnak többszörösnek kell lennie ε   és egy   3, és fordítva. Hagyjuk a legkevésbé gyakori számot ε   és egy   3 enni ε   1. Ezután egy szám többszörösét egy 1 , egy 2 , egy 3 , egy   A 4 számnak többszörösnek kell lennie ε   1 és egy   4. Hagyjuk a legkevésbé gyakori számot ε   1 és egy   4 enni ε   2. Így kiderült, hogy mind több szám egy 1 , egy 2 , egy 3 ,...,egy   m egybeesik egy bizonyos szám szorzóival ε   n, amelyet az adott számok legkisebb közös többszöröseinek nevezünk.

Abban az esetben, ha a számok egy 1 , egy 2 , egy 3 ,...,egy   m másodlagos, akkor a számok legkevésbé gyakori többszöröse egy 1 , egy   A 2. ábrán látható, a fentiek szerint (3). Továbbá, azóta egy   3 elsődleges a számok vonatkozásában egy 1 , egy   Akkor 2 egy   3 elsődleges a számhoz viszonyítva egy   1 · egy   2 (1. következtetés). Tehát a számok legkevésbé gyakori száma egy 1 ,egy 2 ,egy   3 egy szám egy   1 · egy   2 · egy   3. Hasonló érveléssel érkezünk a következő állításokra.

jóváhagyás 1.   A kölcsönösen primerek legkevésbé gyakori többszöröse egy 1 , egy 2 , egy 3 ,...,egy   m egyenlő a termékükkel egy   1 · egy   2 · egy   3 ··· egy   m.

jóváhagyás 2.   Bármely szám, amely osztható az egyes primerekkel egy 1 , egy 2 , egy 3 ,...,egy   m szintén megoszlik termékük szerint egy   1 · egy   2 · egy   3 ··· egy   m.

Definíció.   Felhívjuk a legnagyobb pozitív egész számot, amely osztható az a és b számok fennmaradó száma nélkül legnagyobb közös tényező (GCD)   ezeket a számokat.

Keresse meg a 24. és a 35. szám legnagyobb közös osztóját.
  A 24 elválasztó szám 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a 35 elválasztó pedig 1, 5, 7, 35.
  Látjuk, hogy a 24. és a 35. számnak csak egy közös tényezője van - az 1. szám. Az ilyen számokat hívják kölcsönösen egyszerű.

Definíció.   A természetes számokat hívják kölcsönösen egyszerűha a legnagyobb közös tényező (GCD) 1.

A legnagyobb közös tényező (GCD)   megtalálható anélkül, hogy kiírnánk az adott számok összes osztóját.

A 48-os és a 36-as tényezőt kapjuk:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
  Az első szám kiterjesztésében szereplő tényezők közül törölje ki azokat, amelyek nem tartoznak a második szám bővítésébe (azaz két egység).
  A 2 * 2 * 3 tényezők megmaradnak és szorzata 12. Ez a szám a 48 és 36 közötti leggyakoribb tényező. Megtalálják a három vagy több szám legnagyobb közös tényezőjét is.

Megtalálni legnagyobb közös tényező

  2) e számok egyikének kibővítésébe bevont tényezőkből törölje ki azokat, amelyek nem tartoznak a többi szám bővítésébe;
  3) keresse meg a fennmaradó tényezők szorzatát.

Ha az összes megadott szám el van osztva egyikükkel, akkor ez a szám legnagyobb közös tényező   adott számok.
  Például a 15, 45, 75 és 180 számok legnagyobb közös osztója a 15-es szám lesz, mivel az összes többi szám fel van osztva: 45, 75 és 180.

Least Common Multiple (NLC)

Definíció. Least Common Multiple (NLC)   az a és b pozitív egész számok a legkisebb pozitív egész szám, amely az a és b egyaránt többszöröse. A 75. és a 60. szám legkisebb közös többszörösét (LCL) a számok egymást követő többszöröseinek kiírása nélkül lehet megtalálni. Ehhez a 75-et és a 60-at egyszerű tényezőkre bontjuk: 75 \u003d 3 * 5 * 5 és 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
  Kiírjuk azokat a tényezőket, amelyek az első szám kiterjesztésében szerepelnek, és hozzáadjuk hozzájuk a hiányzó 2. és 2. tényezőt a második szám kiterjesztéséből (azaz összekapcsoljuk a tényezőket).
  Öt tényezőt kapunk, 2 * 2 * 3 * 5 * 5, amelynek szorzata 300. Ez a szám a legkisebb közös szorzó, 75 és 60.

Megtalálják a legkevésbé gyakori többszöröset három vagy több számhoz.

hogy keresse meg a legkevésbé gyakori többszörösét   több természetes számra van szükség:
  1) bontja őket fő tényezőkké;
  2) írja ki a számok egyikének kibővítésébe bevont tényezőket;
  3) hozzá kell adni a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bomlásához;
  4) keresse meg a kapott tényezők szorzatát.

Vegye figyelembe, hogy ha ezeknek a számoknak az egyikét elosztjuk az összes többi számmal, akkor ez a szám a számok legkisebb közös száma.
  Például a 12, 15, 20 és 60 legkisebb közös többszörösének 60 lesz, mivel azt osztja az összes megadott számmal.

Pythagoras (Kr. E. VI. Század) és tanulói a számok oszthatóságának kérdését vizsgálták. Az összes osztó összegével megegyező számot (maga a szám nélkül) a tökéletes számnak hívták. Például a 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) szám tökéletes. A következő tökéletes szám a 496, 8128, 33 550 336. A pitagoraiak csak az első három tökéletes számot tudták. A negyedik - 8128 - az 1. században vált ismertté. n. e. Az ötödik - 33 550 336 - a XV. Században található. 1983-ra már 27 tökéletes szám volt ismert. De eddig a tudósok nem tudják, léteznek-e páratlan tökéletes számok, létezik-e a legnagyobb tökéletes szám.
  Az ókori matematikusok iránti érdeklődés a primok iránt az a tény, hogy bármely szám prím vagy a prím szorzataként ábrázolható, azaz a prímok olyanok, mint a tégla, ahonnan a fennmaradó természetes számok épülnek.
  Valószínűleg észrevetted, hogy a természetes számok egy sorában a prímek egyenetlenek - a sorozat egyes részeiben több, másokban kevesebb. De minél tovább haladunk a számvonal mentén, annál kevésbé általánosak a prímjek. Felmerül a kérdés: van-e egy utolsó (legnagyobb) prímszám? Az ókori görög Euclid matematikus (Kr. E. III. Század) a „Kezdetek” című könyvében, amely kétezer évig volt a matematika fő tankönyve, bebizonyította, hogy végtelenül sok prím létezik, vagyis minden egyes prím mögött még nagyobb prím van. számát.
  A prímszámok meghatározására ugyanezen idõszak egy másik görög matematikus, Eratosthenes talált fel egy ilyen módszert. Az összes számot az 1-ből egy bizonyos számra írta, majd egy olyan egységet áthúzott, amely nem prím, sem összetett szám, majd az összesen áthúzza a 2 utáni összes számot (2-re osztható szám, azaz 4, 6 , 8 stb.). Az első maradék szám 2 után 3 volt. Ezután mind a két számot 3 után törölték kettő után (számok, amelyek 3-szorosai, azaz 6, 9, 12 stb.). végül csak a prímszámok maradtak keresztezettek.

A tanulóknak sok feladatot kapnak a matematika. Közülük az ilyen megfogalmazással kapcsolatos problémák nagyon gyakoriak: két jelentése van. Hogyan lehet megtalálni az adott számok legkisebb közös többszörösét? Az ilyen feladatok elvégzésére képesnek kell lennie, mivel a megszerzett készségeket különféle nevezőkkel ellátott frakciókkal való munka során használják fel. A cikkben elemezzük a NOC és az alapfogalmak megtalálását.

Mielőtt megválaszolná a NOC megtalálásának kérdését, el kell döntenie a többes kifejezésről. Leggyakrabban ennek a fogalomnak a megfogalmazása a következő: egy A bizonyos értékének szorzóját természetes számnak nevezzük, amelyet oszthatunk az A-val. Maradék nélkül 8, 12, 16, 20 és így tovább, a szükséges határig, 4-es szorzata lesz.

Sőt, egy adott érték osztóinak száma korlátozott lehet, és végtelen sok szorzó. Ugyanígy van ugyanaz az érték a természeti értékeknél. Ez egy olyan mutató, amely nyom nélkül oszlik meg rájuk. Miután megvizsgáltuk az egyes mutatók legkisebb értékének fogalmát, továbbmegyünk a továbblépéshez.

Keresse meg a NOC-t

A kettő vagy több mutató közül a legkisebb többszöröse a legkisebb természetes szám, amelyet teljes mértékben oszt meg az összes megadott szám.

Számos módon lehet megtalálni egy ilyen értéket., vegye figyelembe a következő módszereket:

1. Ha a számok kicsi, akkor írja le a sorba osztó összes sort. Addig folytassa ezt, amíg közönséget nem talál köztük. A rekordban azokat K. betű jelöli. Például 4-es és 3-as esetében a legkisebb szorzó 12.
2. Ha nagy, vagy ha többszöröset szeretne találni 3 vagy több értékhez, akkor egy másik technikát kell használnia, amely magában foglalja a számok bontását elsődleges tényezőkké. Először fektesse le a megadott közül a legnagyobbat, majd az összeset. Mindegyiknek megvan a maga tényezője. Példaként 20 (2 * 2 * 5) és 50 (5 * 5 * 2) bontjuk le. A kisebbeknél hangsúlyozza a tényezőket, és adja hozzá a legnagyobbkat. Az eredmény 100, ami a fenti számok legkisebb közös szorzója.
3. Ha három számot találunk (16, 24 és 36), akkor az alapelvek megegyeznek a másik kettővel. Bővítsük mindegyiket: 16 \u003d 2 * 2 * 2 * 2, 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 36 \u003d 2 * 2 * 3 * 3. A 16. szám bontásából csak két mértéket nem vettünk bele a legnagyobb bomlásába. Összeadjuk őket, és 144-et kapunk, ami a korábban megadott számértékek legkisebb eredménye.

Most már tudjuk, mi az általános módszer a kettő, három vagy több érték legkisebb értékének meghatározására.   Vannak azonban magán módszerek.segít a NOC keresésében, ha az előzőek nem segítenek.

Hogyan lehet megtalálni a GCD-t és a NOC-t?

Privát módon lehet megtalálni

Mint minden matematikai szakaszban, vannak olyan speciális esetek, amikor olyan NOC-kat találnak, amelyek segítenek bizonyos helyzetekben:

• ha az egyik szám megoszlik másokkal maradék nélkül, akkor ezeknek a számoknak a legalacsonyabb szorzata egyenlő (LCL 60 és 15 15);
• a kölcsönösen elsődleges számoknak nincs közös elsődleges osztójuk. Legkisebb értékük megegyezik ezeknek a számoknak a szorzatával. Így a 7. és a 8. számnál ez 56 lesz;
• ugyanez a szabály érvényes más esetekre is, ideértve a különleges eseteket is, amelyek a szakirodalomban olvashatók. Ez magában foglalja az összetett számok bomlásának eseteit is, amelyek az egyes cikkek és akár jelölt értekezés tárgyát képezik.

A különleges esetek kevésbé általánosak, mint a szokásos példák. De nekik köszönhetően megtanulhatja, hogy különféle bonyolultságú frakciókkal dolgozzon. Ez különösen igaz a frakciókra.ahol különböző nevezők vannak.

Néhány példa

Nézzünk meg néhány példát, amelyeknek köszönhetően megértjük a legkevesebb többszörös megtalálásának elvét:

1. Megtaláljuk a NOC-t (35; 40). Először 35 \u003d 5 * 7, majd 40 \u003d 5 * 8 bomlik. Adjon hozzá 8-at a legkisebb számjegyhez, és kap NOC 280-at.
2. NOC (45; 54). Mindegyiket elbontjuk: 45 \u003d 3 * 3 * 5 és 54 \u003d 3 * 3 * 6. Adjuk hozzá a 6-os számot 45-ig. Kapjuk a NOC-t, ami 270.
3. Nos, az utolsó példa. 5 és 4 létezik. Nincs egyszerű szorzó számukra, tehát ebben az esetben a legkevésbé gyakori szorzó lesz a szorzata, 20-mal egyenlő.

A példáknak köszönhetően megértheti, hogy a NOC hogyan helyezkedik el, milyen árnyalatok vannak, és mi az ilyen manipulációk értelme.

Sokkal könnyebb megtalálni a NOC-ot, mint az eredetileg tűnhet. Ehhez mind az egyszerű bomlást, mind az egyszerű értékek szorozását használjuk. A matematika ezen szakaszával való munkavégzés elősegíti a matematikai témák további tanulmányozását, különös tekintettel a különböző bonyolultságú frakciókra.

Ne felejtse el rendszeresen megoldani a példákat különféle módszerekkel, ez logikai eszközt fejleszti ki, és lehetővé teszi számos kifejezés emlékezetét. Ismerje meg az ilyen mutató megtalálásának módszereit, és jól tudjon működni a matematikai szakaszok többi részével. Jó szórakozást a matematika tanulásában!

videó

Ez a videó segít megérteni és megjegyezni, hogyan lehet megtalálni a legkisebb közös többeset.

Folytatjuk a „NOC - a legkisebb közös többszörös, meghatározás, példák” c. Szakaszban a legkevésbé gyakori többszörösről szóló vitát. Ebben a témában megvizsgáljuk a három vagy több szám NOC-jának megtalálásának módját, megvizsgáljuk a negatív szám NOC-jának megtalálásának kérdését.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A legkisebb közös multiplex (NLC) kiszámítása a GCD-n keresztül

Már létrehoztuk a legkevésbé közös multiplex kapcsolatát a legnagyobb közös osztóval. Most megtanuljuk meghatározni a NOC-ot a GCD-n keresztül. Először találjuk ki, hogyan lehet ezt megtenni a pozitív számokhoz.

1. meghatározás

A legkisebb közös szorzót a legnagyobb közös tényezővel lehet megtalálni az alábbi képlettel: NOC (a, b) \u003d a · b: GCD (a, b).

1. példa

Meg kell találnia a 126 és 70 NOC számot.

döntés

Vegyük a \u003d 126, b \u003d 70. Kicseréljük a képletben szereplő értékeket a legkevésbé gyakori szorzó kiszámítására az LCL legnagyobb közös osztóján keresztül (a, b) \u003d a · b: GCD (a, b).

Keresse meg a 70 és a 126 számú GCD-t. Ehhez szükségünk van az euklideszi algoritmusra: 126 \u003d 70 · 1 + 56, 70 \u003d 56 · 1 + 14, 56 \u003d 14,4, tehát GCD (126 , 70) = 14 .

Kiszámítjuk a NOC-ot: NOC (126, 70) \u003d 12670: GCD (126, 70) \u003d 12670: 14 \u003d 630.

A válasz:   NOC (126, 70) \u003d 630.

2. példa

Keresse meg a 68 és 34 számok kopogtatását.

döntés

A NOD ebben az esetben nem nehéz semlegesíteni, mivel a 68 osztva 34-vel. A legkisebb közös szorzót a következő képlettel számoljuk: NOC (68, 34) \u003d 68,34: GCD (68, 34) \u003d 68,34: 34 \u003d 68.

A válasz:   NOC (68, 34) \u003d 68.

Ebben a példában az a és b pozitív egész számok legkevésbé gyakori többszörösének megtalálására vonatkozó szabályt alkalmaztuk: ha az első szám osztható a másodikval, akkor ezen számok LCM-je megegyezik az első számmal.

NOC-k megtalálása a számok faktorozással való faktorozásával

Most nézzük meg azt a módszert, amellyel megtalálhatjuk a NOC-t, amely a számok primer tényezőkre történő felbontására épül.

2. meghatározás

A legkevésbé gyakori többszörös megkereséséhez számos egyszerű lépést kell végrehajtanunk:

• összeállítunk minden olyan számtényező szorzatát, amelyekre meg kell találnunk a NOC-t;
• kizárja a kapott termékeket az összes alapvető tényezőből;
• a közös alaptényezők kiküszöbölése után kapott termék megegyezik ezen számok NOC értékével.

A legkisebb közös multiplex megtalálásának ez a módszere a NOC (a, b) \u003d a · b: GCD (a, b) egyenlőségén alapszik. Ha megnézzük a képletet, világossá válik: az a és b szám szorzata megegyezik a két szám kibővítésében részt vevő összes tényező szorzatával. Ezenkívül a két szám GCD-je megegyezik az összes olyan primer tényező szorzatával, amelyek egyszerre vannak jelen a két szám faktorizálásában.

3. példa

Két számunk van 75 és 210. Az alábbiak szerint számolhatjuk be őket:   75 \u003d 3,5 · 5   és   210 \u003d 2,3 · 5,7. Ha két forrásszám összes tényezőjének eredményét összeállítjuk, akkor a következőt kapjuk:   2,3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7.

Ha kizárjuk a közös tényezőket mind a 3-as, mind az 5-ös számokhoz, akkor a következő formában kapjuk meg a terméket:   2,3 · 5 · 5 · 7 \u003d 1050. Ez a munka lesz a 75-es és 210-es számok NOC-ja.

4. példa

Keresse meg a számok NOC-ját 441   és 700 faktorozva mindkét számot elsődleges tényezőkké.

döntés

Keresse meg a feltételben megadott számok összes fő tényezőjét:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Két számláncot kapunk: 441 \u003d 3 · 3 · 7 · 7 és 700 \u003d 2 · 2 · 5 · 5 · 7.

Az összes tényező szorzata, amely részt vett e számok bomlásában, a következőképpen néz ki:   2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Keresse meg a közös tényezőket. Ez a 7-es szám. Kizárjuk az általános munkából:   2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Kiderül, hogy a NOC   (441, 700) \u003d 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 \u003d 44 100.

A válasz:   NOC (441, 700) \u003d 44 100.

Adjunk még egy megfogalmazást az LCL megállapítására szolgáló módszerhez, a számokat primer tényezőkké bontva.

3. meghatározás

Korábban kizártuk a két tényező közös tényezőit az összes tényezőből. Most másképp tesszük:

• mindkét számot tényezőké alakítja:
• az első szám elsődleges tényezőihez adja hozzá a második szám hiányzó tényezőit;
• megkapjuk a terméket, amely két szám kívánt NOC lesz.

5. példa

Térjünk vissza a 75 és 210 számhoz, amelyekre a korábbi példák egyikében már keresettük a NOC-t. Főbb tényezőkre bontjuk őket:   75 \u003d 3,5 · 5   és   210 \u003d 2,3 · 5,7. A 3., 5. És 5. Tényező szorzata 5   a 75. szám hozzáadja a hiányzó tényezőket 2   és 7   szám 210. Megkapjuk:   2,3 · 5 · 5 · 7.Ez a 75-es és 210-es szám NOC.

6. példa

Ki kell számítani a 84-es és a 648-as NOC-számot.

döntés

A számokat a feltételtől bontjuk fő tényezőkké:   84 \u003d 2, 2, 3, 3, 7   és   648 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. Adja hozzá a 2., 2., 3. és 3. tényező szorzatához 7   84 hiányzó 2., 3., 3. és 3. tényező
3   számok 648. Megkapjuk a terméket   2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 \u003d 4536.   Ez a legkisebb közös többszörös a 84 és 648 közül.

A válasz:   NOC (84, 648) \u003d 4536.

Három vagy több szám NOC-jainak megkeresése

Függetlenül attól, hogy hány számmal foglalkozunk, műveleteink algoritmusa mindig azonos lesz: egymás után két szám NOC-ját találjuk meg. Erre az esetre létezik tétel.

1. tétel

Tegyük fel, hogy egész számok vannak   a 1, 2, ..., k. NOC   m k   ezeket a számokat m 2 \u003d NOC (a 1, a 2), m 3 \u003d NOC (m 2, a 3), m 3 \u003d NOC (m k - 1, a k) egymást követő számításában találjuk.

Most megvizsgáljuk, hogyan lehet a tételt alkalmazni bizonyos problémák megoldására.

7. példa

Ki kell számítani a 140, 9, 54 és a négy szám legkisebb közös szorzóját 250 .

döntés

Bemutatjuk a jelölést: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Először kiszámoljuk m 2 \u003d NOC (a 1, a 2) \u003d NOC (140, 9). Az Euklideszi algoritmust alkalmazzuk a 140 és 9 számú GCD kiszámításához: 140 \u003d 9 · 15 + 5, 9 \u003d 5 · 1 + 4, 5 \u003d 4 · 1 + 1, 4 \u003d 1 · 4. Kapjuk: GCD (140, 9) \u003d 1, NOC (140, 9) \u003d 140 · 9: GCD (140, 9) \u003d 140 · 9: 1 \u003d 1,260. Ezért m 2 \u003d 1,260.

Most ugyanazzal az algoritmussal kiszámoljuk m 3 \u003d NOC (m 2, a 3) \u003d NOC (1,260, 54). A számítások során m 3 \u003d 3780 értéket kapunk.

Fenn kell hagyni, hogy kiszámítsuk m 4 \u003d NOC (m 3, a 4) \u003d NOC (3 780, 250). Ugyanezt az algoritmust követjük. Kapunk m 4 \u003d 94 500.

A példa feltételei közül a négy szám NOC értéke 94500.

A válasz:   NOC (140, 9, 54, 250) \u003d 94 500.

Mint láthatja, a számítások egyszerűek, ám időigényesek. Időt takaríthat meg a másik irányba.

4. meghatározás

A következő műveleti algoritmust kínáljuk Önnek:

• minden számot primer tényezőkre bontunk;
• hozzáadjuk a hiányzó tényezőket a második szám szorzatából az első szám tényezőinek szorzatához;
• az előző szakaszban kapott termékhez illessze be a harmadik szám hiányzó tényezőit stb .;
• a kapott termék a feltétel összes számának legkisebb közös szorzója.

8. példa

Meg kell találni a 84, 6, 48, 7, 143 öt szám NOC-ját.

döntés

Mind az öt számot primer tényezőkké bontjuk: 84 \u003d 2 · 2 · 3 · 7, 6 \u003d 2 · 3, 48 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7, 143 \u003d 11 · 13. Az elsődleges számok, amelyek a 7-es számok, nem bonthatók primertényezőkké. Ezek a számok egybeesnek a faktorizációval.

Most vegyük a 84-es 2-es, 2-es, 3-as és 7-es szorzó szorzatát, és adjuk hozzá a második szám hiányzó tényezõit. A 6-os számot 2-re és 3-ra bontjuk. Ezek a tényezők már az első szám szorzatában vannak. Ezért kihagyjuk őket.

Folytatjuk a hiányzó tényezők hozzáadását. Átlépünk a 48-as számra, annak a primer tényezőnek a szorzatából, amelynek 2-et és 2-et veszünk. Ezután adjuk hozzá a negyedik 7-es, illetve az ötödik 11-es és 13-as faktorit. A következőket kapjuk: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 \u003d 48 048. Ez az öt forrásszám legkisebb közös szorzója.

A válasz:   NOC (84, 6, 48, 7, 143) \u003d 48 048.

Megtaláljuk a negatív számok legkisebb közös többszörösét

Annak érdekében, hogy megtaláljuk a negatív számok legkisebb közös többszörösét, ezeket a számokat először ellentétes jelű számokkal kell cserélni, majd a fenti algoritmusok segítségével elvégezni a számításokat.

9. példa

NOC (54, - 34) \u003d NOC (54, 34) és NOC (- 622, - 46, - 54, - 888) \u003d NOC (622, 46, 54, 888).

Ilyen cselekedetek megengedettek, mert ha elfogadjuk ezt   egy   és   - a   - ellentétes számok,
  majd a szorzók halmaza egy   egyezik több többes számmal   - a.

10. példa

Ki kell számítani a negatív számok NOC-ját − 145   és − 45 .

döntés

Kicseréljük a számokat − 145   és − 45   az ellenkező számokra 145 és 45 . Most az algoritmus szerint kiszámoljuk a NOC (145, 45) \u003d 145 · 45: GCD (145, 45) \u003d 145 · 45: 5 \u003d 1 305 értékét, miután korábban meghatározzuk a GCD-t az euklideszi algoritmus segítségével.

Azt kapjuk, hogy a számok NOC értéke 145 és − 45   jelentése 1 305 .

A válasz:   NOC (- 145, - 45) \u003d 1 305.

Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki azt, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket