célkitűzés:

• A primitív koncepció kialakulása.
• Felkészülés az integrál érzékelésére.
• A számítási készségek kialakulása.
• A szépségérzet táplálása (a szokatlan látás képessége).

A matematikai elemzés a matematika szakaszának gyűjteménye, amely a függvények és azok általánosításának tanulmányozására szolgál a differenciális és az integrális számítások módszerével.

Ha eddig a matematikai elemzésnek a differenciálszámításnak nevezett részét tanulmányoztuk, amelynek lényege a „kicsiben” lévő funkciók tanulmányozása.

Ie egy funkció vizsgálata az egyes meghatározási pontok kellően kicsi környékeiben. A differenciálás egyik művelete a derivátum (differenciális) megtalálása és alkalmazása a függvények vizsgálatához.

Ugyanilyen fontos a fordított probléma. Ha a függvény viselkedése a meghatározás minden pontja közelében ismert, akkor hogyan lehet a funkciót egészben helyreállítani, azaz a meghatározás teljes területén. Ez a feladat tárgya az úgynevezett integrált kalkulus vizsgálata.

Az integráció a differenciálás fordítottja. Vagy az f (x) függvény visszaállítása az adott f '(x) származékból. Az „integro” latin szó helyreállítást jelent.

1. példa.

Legyen (x) `\u003d 3x 2.
  Keresse meg f (x) -ot.

megoldás:

A differenciálási szabály alapján könnyű kitalálni, hogy f (x) \u003d x 3, mert (x 3), \u003d 3x 2
   Könnyű belátni, hogy f (x) nem egyértelmű.
  F (x) -ként felvehetjük
  f (x) \u003d x 3 +1
  f (x) \u003d x 3 +2
  f (x) \u003d x 3 -3, stb.

Mivel mindegyik deriváltja 3x2. (Az állandó deriváltja 0). Ezek a funkciók állandó kifejezéssel különböznek egymástól. Ezért a probléma általános megoldását f (x) \u003d x 3 + C formában lehet írni, ahol C bármilyen állandó valós szám.

Bármelyik f (x) függvényt meghívjuk antiderivatives  az F` függvényhez (x) \u003d 3x 2

Definíció. Az F (x) függvényt az f (x) függvény antiderivatívumának nevezzük egy adott J intervallumon, ha ezen x intervallum mindegyikére vonatkoznak F` (x) \u003d f (x). Tehát az F (x) \u003d x 3 függvény származékos, ha f (x) \u003d 3x 2 -re (- ∞; ∞).
   Mivel az összes x ~ R esetén az egyenlőség érvényes: F` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Mint már észrevettük, ez a funkció végtelen számú antiderivatívát tartalmaz (lásd az 1. példát).

2. példa   Az F (x) \u003d x függvény a (0; +) intervallumban levő összes f (x) \u003d 1 / x antiderivatívája, ettől az időtartamtól kezdve az összes x esetében az egyenlőség érvényes.
  F` (x) \u003d (x 1/2) `\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1/2 x

3. példa   Az F (x) \u003d tg3x függvény származtatja az f (x) \u003d 3 / cos3x intervallumot (-n / 2;   n / a 2),
mert F` (x) \u003d (tg3х) `\u003d 3 / cos 2 3х

4. példa Az F (x) \u003d 3sin4x + 1 / x-2 függvény az f (x) \u003d 12cos4x-1 / x2 (0; the) intervallum antiderivatívája.
  mert F` (x) \u003d (3sin4x) + 1 / x-2) `\u003d 4cos4x-1 / x 2

2. előadás

Téma: származék. Az primitív funkció fő tulajdonsága.

Az antiderivatívum tanulmányozásakor az alábbi állításra támaszkodunk. A függvény állandóságának jele: Ha a függvény Ψ (x) deriváltja a J intervallumon 0, akkor az Ψ (x) függvény állandó ezen az intervallumon.

Ez az állítás geometriailag megmutatható.

Ismert, hogy Ψ` (x) \u003d tanα, γ az gent (x) függvény gráfához tartozó érintő α-dőlésszöge az abszcisszával x 0 pontban. Ha Ψ` (υ) \u003d 0 a J intervallum bármely pontján, akkor tgα \u003d 0 δ az Ψ (x) függvény gráfjának bármely érintőjéhez. Ez azt jelenti, hogy a függvény gráfjának érintője bármely ponton párhuzamos az abszcissza tengelyével. Ezért a megadott intervallumon a Ψ (x) függvény gráfja egybeesik az y \u003d C egyenes szegmensével.

Tehát az f (x) \u003d c függvény állandó a J intervallumon, ha f` (x) \u003d 0 ezen intervallumon.

Valójában egy J intervallumból származó tetszőleges x 1 és x 2 esetén a függvény átlagértékének tételével a következőt írhatjuk:
  f (x 2) - f (x 1) \u003d f '(s) (x 2 - x 1), mert f` (c) \u003d 0, akkor f (x 2) \u003d f (x 1)

Tétel: (Egy primitív függvény fő tulajdonsága)

Ha F (x) az f (x) függvény egyik antiderivatívája a J intervallumon, akkor ennek a függvénynek az összes antiderivatívája halmaz formája: F (x) + C, ahol C bármilyen valós szám.

bizonyíték:

Legyen F` (x) \u003d f (x), akkor (F (x) + C) `\u003d F` (x) + C` \u003d f (x), x Є J esetén.
  Tegyük fel, hogy létezik Φ (x) - egy másik antiderivatívum az f (x) számára a J intervallumban, azaz Φ` (x) \u003d f (x),
  akkor (Φ (x) - F (x)) `\u003d f (x) - f (x) \u003d 0, x Є J esetén.
  Ez azt jelenti, hogy Φ (x) - F (x) állandó a J intervallumban.
  Ezért Φ (x) - F (x) \u003d C.
  Honnan Φ (x) \u003d F (x) + C.
  Ez azt jelenti, hogy ha F (x) az f (x) függvény antiderivatívája a J intervallumon, akkor ennek a függvénynek az összes antiderivatívája halmaz formája: F (x) + C, ahol C bármilyen valós szám.
  Következésképpen egy adott funkció bármelyik két származéka állandó kifejezéssel különbözik egymástól.

Példa: Keresse meg az f (x) \u003d cos x függvény antiderivatívumait. Rajzolja az első három grafikonját.

megoldás:  Sin x az f (x) \u003d cos x függvény egyik antiderivatívája
  F (x) \u003d Sin x + C az összes antiderivatívum halmaza.

F 1 (x) \u003d Sin x-1
  F 2 (x) \u003d sin x
  F 3 (x) \u003d Sin x + 1

Geometrikus ábra:  Az F (x) + C antiderivatívumok grafikonja az r (0; c) párhuzamos átvitel segítségével az F (x) antiderivatívák grafikonjából nyerhető.

Példa: Az f (x) \u003d 2x függvényhez keresse meg az antiderivatívát, amelynek gráfja áthalad a T.M-en (1; 4)

megoldás:  F (x) \u003d x 2 + C az összes antiderivatívum halmaza, F (1) \u003d 4 - a probléma feltételével.
  Ezért 4 \u003d 1 2 + C
  C \u003d 3
F (x) \u003d x 2 +3

Antiderivált.

Az primitív példákkal könnyen érthető.

Vedd be a funkciót y \u003d x  3. Amint az előző szakaszokból tudjuk, származik x  3 \u003d 3 x 2:

(x 3)" = 3x 2 .

Ezért a függvényből y \u003d x  3 kapunk egy új funkciót: a = 3x 2 .
  Figyelembe véve a funkciót a = x  3 előállított funkció a = 3x  És a „szülő”. A matematikában nincs „szülő” szó, de van egy kapcsolódó fogalma: primitív.

Vagyis: funkció y \u003d x  A 3. ábra a funkció primitív eleme a = 3x 2 .

Az antiderivatívum meghatározása:

Példánkban ( x 3)" = 3x  2. ezért y \u003d x  3 - antibakteriális származék a = 3x 2 .

Integráció.

Mint tudod, a származék egy adott függvényhez viszonyításának folyamatát differenciálásnak nevezzük. A fordított műveletet integrációnak nevezzük.

Magyarázat példa:

a = 3x  2 + bűn x.

megoldás:

Tudjuk, hogy a 3 x  2 van x 3 .

A bűn elleni szerek x  is –cos x.

Adja hozzá a két antiderivatívát, és kapja meg az adott függvény antiderivatíváját:

y \u003d x  3 + (–koz x),

y \u003d x  3 - cos x.

A válasz:
  a funkcióhoz a = 3x  2 + bűn x y \u003d x  3 - cos x.

Magyarázat példa:

Keresse meg a függvény származékát a  \u003d 2 bűn x.

megoldás:

Figyelembe vesszük, hogy k \u003d 2. A bűn ellenszármazéka x  is –cos x.

Ezért a funkcióhoz a  \u003d 2 bűn x  az antiderivatívum a függvény a  \u003d –2 cos x.
2. együttható az y \u003d 2 sin függvénynél x  megfelel annak a primitív együtthatónak, amelyből ez a funkció kialakult.

Magyarázat példa:

Keresse meg a függvény származékát y  \u003d sin 2 x.

megoldás:

Figyeljük meg ezt k  \u003d 2. A bűn ellenszármazéka x  is –cos x.

A képletünket alkalmazzuk a függvény antiderivatívumának megtalálásakor y  \u003d cos 2 x:

1
y  \u003d - · (–2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Válasz: a funkcióhoz y  \u003d sin 2 x  az antiderivatívum a függvény y = – ----
2

(4)

Magyarázat példa.

Vegyük a függvényt az előző példából: y  \u003d sin 2 x.

Ehhez a funkcióhoz az összes primitív forma:

cos 2 x
y = – ---- + C.
2

Magyarázat.

Vegyük az első sort. A következőképpen szól: ha az y \u003d f ( x) 0, akkor annak antiderivatívája 1. Miért? Mivel az egység deriváltja nulla: 1 "\u003d 0.

A fennmaradó sorokat ugyanabban a sorrendben olvassa el.

Hogyan írhatunk adatokat táblából? Vegyük a nyolcadik sort:

(-cos x) "\u003d bűn x

A második részt a deriválási jellel írjuk, majd az egyenlőjelet és a deriváltot.

A következőket olvassuk: a sin függvény antiderivatívuma x  a -cos függvény x.

Vagy: -cos függvény x  primitív a sin függvényre x.

Fontolja meg egy pont egyenes vonal mentén történő mozgását. Időben! t  a mozgás kezdete óta a pont átjutott az úton s (t).  Aztán pillanatnyi sebesség v (t)  megegyezik a függvény derivációjával   s (t)  azaz v (t) \u003d s "(t).

A gyakorlatban fordított probléma merül fel: egy adott pontsebességnél v (t)  megtalálja az útját s (t), azaz megtalálni egy ilyen funkciót s (t)  amelynek származéka v (t). függvény s (t)  olyan, hogy s "(t) \u003d v (t)primitív funkcióknak nevezzük v (t).

Például, ha v (t) \u003d atahol ésAdott szám, akkor a függvény
s (t) \u003d (2-nél) / 2  v (t)  mert
s "(t) \u003d ((2-nél) / 2)" \u003d at \u003d v (t) -nél.

függvény F (x)  úgynevezett antiderivatív funkció f (x)egy bizonyos időközönként, ha minden xebből a résből F "(x) \u003d f (x).

Például a függvény F (x) \u003d sin xegy primitív függvény f (x) \u003d cos x,mert   (sin x) "\u003d cos x; függvény F (x) \u003d x 4/4egy primitív függvény f (x) \u003d x 3mint (x 4/4) "\u003d x 3.

Fontolja meg a problémát.

feladat.

Bizonyítsuk be, hogy az x 3/3, x 3/3 + 1, x 3/3 - 4 függvények azonos fderi (x) \u003d x 2 függvény származékai.

döntés.

1) Jelölje F 1 (x) \u003d x 3/3, akkor F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2/3) \u003d x 2 \u003d f (x).

2) F 2 (x) \u003d x 3/3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3/3 + 1)" \u003d (x 3/3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f ( x).

3) F 3 (x) \u003d x 3/3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3/3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).

Általában bármely x 3/3 + C függvény, ahol C állandó, az x 2 függvény primitívje. Ez abból a tényből következik, hogy az állandó deriváltja nulla. Ez a példa azt mutatja, hogy egy adott funkcióra annak antiderivatíváját egyértelműen definiálják.

Legyen F 1 (x) és F 2 (x) két azonos származéka, amelyek azonos f (x) funkcióval rendelkeznek.

Ezután F 1 "(x) \u003d f (x) és F" 2 (x) \u003d f (x).

G (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) különbségük deriváltja nulla, mivel g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0.

Ha g "(x) \u003d 0 egy adott intervallumon, akkor az y \u003d g (x) függvény gráfához tartozó érintõ ezen intervallum minden pontján párhuzamos az Ox tengelyével. Ezért az y \u003d g (x) függvény gráfja az Ox tengelyével párhuzamos egyenes, t. például g (x) \u003d C, ahol C állandó, g (x) \u003d C, g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) egyenlőségből következik, hogy F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C

Tehát, ha az F (x) függvény az f (x) függvény antiderivatívája valamilyen intervallumon, akkor az f (x) összes antiderivatíváját F (x) + C formában írjuk, ahol C egy tetszőleges állandó.

Vegyük figyelembe az adott f (x) függvény összes antiderivatívumának grafikonjait. Ha F (x) az f (x) egyik ellenszármazéka, akkor ennek a függvénynek az esetleges antiderivatívumait állandó (F) (x) hozzáadásával kapjuk: F (x) + C. Az y \u003d F (x) + C függvény grafikonjait a grafikonból kapjuk meg. y \u003d F (x) az Oy tengely mentén eltolódva. A C kiválasztásával biztosítható, hogy az antiderivatív gráf áthaladjon egy adott ponton.

Vigyázzunk az antiderivatívumok megtalálásának szabályaira.

Emlékezzünk arra, hogy meghívjuk egy adott függvény deriváltjának a megkeresését különbségtétel. Az adott függvény antiderivatívumának keresésének fordított műveletét hívjuk integráció(a latin szóból) „Helyreállítása”).

Antiderivatív táblázat  Bizonyos funkciókhoz a származtatott táblázat segítségével komponálhat. Például ezt tudva (cos x) "\u003d -sin x,  megkapjuk (-cos x) "\u003d sin x, honnan következik az összes primitív funkció sin x  úgy vannak írva, mint -cos x + Cahol C- állandó.

Vegyük figyelembe az antiderivatívák néhány jelentését.

1) funkció:   x p, p ≠ -1. antiderivált: (x p + 1) / (p + 1) + C.

2)   funkció: 1 / x, x\u003e 0.  antiderivált: ln + + C

3)   funkció: x p, p ≠ -1. antiderivált:   (x p + 1) / (p + 1) + C.

4)   funkció: e x. antiderivált: e x + C.

5)   funkció: sin x. antiderivált: -cos x + C

6)   funkció:   (kx + b) p, p ≠ -1, k ≠ 0.  antiderivált: (((kx + b) p + 1) / k (p + 1)) + C.

7)   funkció: 1 / (kx + b), k ≠ 0. antiderivált: (1 / k) ln (kx + b) + C.

8)   funkció: e kx + b, k ≠ 0. antiderivált:   (1 / k) e kx + b + C.

9)   funkció: sin (kx + b), k ≠ 0. antiderivált:   (-1 / k) cos (kx + b).

10)   funkció: cos (kx + b), k ≠ 0.antiderivált: (1 / k) sin (kx + b).

Integrációs szabályok  beszerezhető a differenciálási szabályok. Nézzük meg néhány szabályt.

enged   F (x)  és   G (x)  - származékok, illetve funkciók f (x)és g (x)egy meghatározott időközönként. majd:

1) függvény   F (x) ± G (x)  egy primitív függvény f (x) ± g (x);

2)   függvény aF (x)egy primitív függvény af (x).

az anyag teljes vagy részleges másolásával, a forráshoz mutató linkre van szükség.

Az integrálok megoldása könnyű feladat, de csak az elit számára. Ez a cikk azoknak szól, akik meg akarják tanulni az integrálok megértését, de nem tudnak róluk vagy szinte semmit. Szerves ... Miért van szüksége? Hogyan lehet kiszámítani? Mik a határozott és határozatlan integrálok? Ha az integrált anyag egyetlen felhasználása az, hogy valami hasznosat szerez nehezen megközelíthető helyekről, horgolással integrált jelvény formájában, akkor üdvözlöm! Tanulja meg, hogyan lehet megoldani az integrálokat, és miért nem tud megtenni nélküle.

Tanulmányozzuk az "integrál" fogalmát

Az integráció az ókori Egyiptomban ismert volt. Természetesen, nem a modern formájában, de mégis. Azóta a matematikusok sok könyvet írtak erről a témáról. Különösen megkülönböztetett Newton   és Leibniz de a dolgok lényege nem változott. Hogyan lehet megérteni az integrálokat a semmiből? Semmilyen módon! A téma megértéséhez továbbra is szükség van alapvető ismeretekre a matematikai elemzés alapjairól. Ezek az alapvető információk, amelyeket blogunkban talál.

Határtalan integrál

Vegyünk valamilyen funkciót f (x) .

Meghatározatlan funkció integrál f (x)   ezt a funkciót hívják F (x) amelynek deriváltja megegyezik a funkcióval f (x) .

Más szavakkal, az integrál ellentétben a származék vagy az antiderivatívum. By the way, arról, hogyan kell olvasni a cikkben.

Primitív létezik minden folyamatos függvényhez. Emellett egy állandó jelet adnak az antiderivatívához, mivel az állandóval eltérő függvények származékai egybeesnek. Az integrál megtalálásának folyamatát integrációnak nevezzük.

Egy egyszerű példa:

Annak elkerülése érdekében, hogy folyamatosan kiszámítsuk az elemi függvények primitívumait, kényelmes azt táblázatokra redukálni és kész értékeket használni:

Határozott integrál

Az integrál fogalmával foglalkozva, végtelen mennyiségekkel kell foglalkoznunk. Az integrál segít kiszámítani az ábra területét, az inhomogén test tömegét, az egyenetlen mozgással megtett utat és még sok minden mást. Emlékeztetni kell arra, hogy az integrál egy végtelenül sok végtelen szám kifejezése.

Példaként képzelje el egy függvény grafikonját. Hogyan lehet megtalálni egy ábra függvény gráf által határolt területét?

Az integrál használata! A koordináta-tengelyek és a függvény gráf által korlátozott, ívelt trapéz alakzatot végtelen szegmensekre osztjuk. Így az ábrát vékony oszlopokra osztják. Az oszlopok területeinek összege a trapéz területének lesz. De ne feledje, hogy egy ilyen számítás hozzávetőleges eredményt ad. Minél azonban kisebb és keskenyebb a szegmens, annál pontosabb a számítás. Ha olyan mértékben csökkentjük őket, hogy a hossza nullára csökken, akkor a szegmensek területeinek összege az ábra területére fog hajlamosítani. Ez egy határozott integrál, amelyet így írnak:

  Az a és b pontot integrációs korlátoknak nevezzük.

  Bari Alibasov és az Integral Csoport

Mellesleg! Olvasóink most 10% kedvezményt kapnak

A próbabábu integrálok kiszámításának szabályai

A határozatlan integrál tulajdonságai

Hogyan lehet megoldani egy határozatlan integrált? Itt tekintjük a határozatlan integrál tulajdonságait, amelyek hasznosak a példák megoldásában.

• Az integrál deriváltja egyenlő az integranddal:

• Az állandó kiolvasható az integrál jel alatt:

• Az összeg integrálja megegyezik az integrálok összegével. Ugyanez igaz a különbségre:

Egy határozott integrál tulajdonságai

• linearitás:

• Az integrálódás jele megváltozik, ha felváltjuk az integráció határait:

• a bármilyen  pont egy, b  és a:

Már rájöttünk, hogy egy bizonyos integrál az összeghatár. De hogyan szerezzünk egy adott értéket egy példa megoldásakor? Ehhez van egy Newton-Leibniz képlet:

Példák az integrálok megoldására

Az alábbiakban néhány példát mutatunk be a határozatlan integrálok megtalálására. Javasoljuk, hogy önállóan ismerje meg a megoldás bonyolultságát, és ha valami nem világos, tegye fel kérdéseit a megjegyzésekben.

Az anyag megszilárdításához nézzen meg egy videót arról, hogy miként oldják meg az integrálokat a gyakorlatban. Ne ess kétségbe, ha az integrált nem kapja meg azonnal. Kérdezd meg, és elmondják az integrálok kiszámításáról mindent, amit ők maguk is tudnak. Segítségünkkel bármely zárt felületű hármas vagy görbe vonalú integrál lesz az erőd.

függvény F (x ) ez az úgynevezett primitív   a funkcióhoz f (x)   adott időközönként, ha minden x   ettől az időtartamtól érvényes az egyenlőség

F "(x ) = f(x ) .

Például a függvény F (x) \u003d x 2 f (x ) = 2x   mint

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄

Az antiderivatívum fő tulajdonsága

ha F (x)   - antiderivatívák a funkcióhoz f (x)   egy adott időközönként, akkor a függvény f (x)   végtelenül sok primitívvel rendelkezik, és ezeket a primitivákat úgy lehet írni, mint F (x) + Cahol C   Tetszőleges állandó.

Az antiderivatívák számításának szabályai

1. ha F (x) - származékanyagok   f (x) és G (x) - származékanyagok g (x) majd F (x) + G (x)   - származékanyagok f (x) + g (x) . Más szavakkal az antiderivatívák összege megegyezik az antiderivatívák összegével .
2. ha F (x) - származékanyagok   f (x) és k Akkor állandó k · F (x)   - származékanyagok k · f (x) . Más szavakkal az állandó tényező kivehető a derivált jelből .
3. ha F (x) - származékanyagok   f (x) és k,  b- állandó, és k ≠ 0 majd 1 /   k   F (k x +b )   - származékanyagok f(k x + b) .

Határtalan integrál

Határtalan integrál   funkciótól   f (x)   úgynevezett kifejezés F (x) + Cvagyis az adott funkció összes antiderivatívumainak összessége f (x) . A határozatlan integrált a következőképpen jelöljük:

∫ f (x) dx \u003d F (x) + C ,

f (x)- hívta integrand függvény ;

f (x) dx  - hívta integrandus ;

x   - hívta integrációs változó ;

F (x) - az egyik származék   f (x) ;

C   Tetszőleges állandó.

Például ∫ 2 x dx \u003dx 2 + C , ∫ kötözősalátax dx \u003dbűn x + C   és így tovább. ◄

Az "integrál" szó a latin szóból származik egész szám , ami azt jelenti, hogy "visszaállítva". Feltételezve a 2 x  , visszaállítottuk a funkciót x 2 amelynek származéka 2 x  . Egy függvénynek a származékából való helyreállítását, vagy ennek megfelelõen egy határozatlan integrál keresését egy adott integrandon keresztül nevezzük integráció   ezt a funkciót. Az integráció a differenciálás inverze: Annak igazolásához, hogy az integráció helyesen hajtódik végre, elegendő az eredmény differenciálása és az integrand megszerzése.

A határozatlan integrál fő tulajdonságai

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integranddal:

(∫ f (x) dx )" \u003d f (x) .

2. Az integrand állandó tényezőjét ki lehet venni az integrál jelből:

∫ k · f (x) dx = k · ∫ f (x) dx .

3. A függvények összegének (különbség) integrálja megegyezik az alábbi függvények integrálok összegével (különbséggel):

∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x ) dx .

4. ha k,  b- állandó, és k ≠ 0 majd

∫ f ( k x + b) dx = 1 /   k   F (k x +b ) + C .

Az antiderivatívumok és a határozatlan integrálok táblázata

Határozott integrál

Hagyja közt [egy;   b]   folyamatos funkció meghatározva y \u003d f (x) majd határozott integrál a-tól b-ig   a funkciókat f (x)   primitív növekedésnek nevezzük F (x) ennek a funkciónak a száma, azaz

$$ \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d F (x) | (_a ^ b) \u003d ~ ~ F (a) -F (b). $$

A számok egyés b  ennek megfelelően hívják alacsonyabb   és felső az integráció korlátai.

Egy bizonyos integrál kiszámításának alapvető szabályai

1. \\ (\\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\);

2. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d - \\ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \\);

3. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx \u003d k \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx, \\) ahol k   - állandó;

4. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \\ int_ (a) ^ (b) g (x) dx \\);

5. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \\ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \\);

6. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 2 \\ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \\), ahol   f (x)   - egyenletes funkció;

7. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\), ahol f (x)   Páratlan függvény.

megjegyzés . Minden esetben feltételezzük, hogy az integrátumok numerikus intervallumokon integrálhatók, amelyek határainál az integráció határait tekintik.

Egy bizonyos integrál geometriai és fizikai jelentése

Geometriai jelentés határozott integrál	Fizikai jelentés határozott integrál
terület S  görbületű trapéz alakú (egy ábrát a rés folyamatos pozitív gráfja korlátoz [egy;   b]   a funkciókat f (x) A tengely ökör   és egyenes x \u003d a , x \u003d b ) kiszámítása a képlettel történik $$ S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$	Az út samelyet az anyagi pont legyőzött, ha lineárisan mozog a törvénytől függő sebességgel v (t) az a időtartamra ;   b], majd az ábra területét, amelyet ezen függvények grafikonjai és egyenes vonal határolnak x \u003d a , x \u003d b a képlet alapján számítva $$ S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx. $$
	Például. Kiszámoljuk az ábra vonallal határolt területét y \u003d x 2 és y \u003d2  - x . Rajzoljuk vázlatosan ezeknek a függvényeknek a grafikonjait, és más színben emeljük ki az ábrát, amelynek területét meg kell találni. Az integráció határainak meghatározásához az alábbi egyenletet oldjuk meg: x 2 = 2  - x ; x 2 +   x -2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$ S \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx \u003d $$
$$ \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx \u003d \\ balra (2x- \\ frac (x ^ 2) (2) - \\ frac (x ^ 3) (2) \\ jobbra ) \\ bigm | (_ (- 2) ^ (~ 1)) \u003d 4 \\ frac (1) (2). $$ ◄

A test forgási térfogata

	Ha a testet a tengely körül történő forgatás eredményeként kapják meg ökör   ívelt trapéz alakú, amelyet a rés folyamatos és nem negatív grafikonja korlátoz [egy;   b] a funkciókat y \u003d f (x)   és egyenes x \u003d aés x \u003d b akkor hívják forgástest . A forradalom testének térfogatát a képlettel kell kiszámítani $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$ Ha a forgástestet az ábra elforgatásának eredményeként kapjuk meg, amelyet a függvénydiagramok határolnak fel és le y \u003d f (x) és y \u003d g (x) , majd $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) dx. $$
	Például. Kiszámoljuk a kúp térfogatát sugárral r   és magas h . A kúpot egy téglalap alakú koordinátarendszerben rendezzük el úgy, hogy tengelye megegyezzen a tengelyével ökör , és a bázis központja a kiindulási helyen volt. A generátor forgása AB  meghatároz egy kúpot. Mivel az egyenlet AB $$ \\ frac (x) (h) + \\ frac (y) (r) \u003d 1, $$ $$ y \u003d r- \\ frac (rx) (h) $$
és a kúp térfogatához $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (0) ^ (h) (r- \\ frac (rx) (h)) ^ 2dx \u003d \\ pi r ^ 2 \\ int_ (0) ^ (h) (1- \\ frac ( x) (h)) ^ 2dx \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ cdot \\ frac ((1- \\ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ balra (0- \\ frac (1) (3) \\ jobbra) \u003d \\ frac (\\ pi r ^ 2h) (3). $$ ◄