|
Ez a módszertani anyag csak hivatkozásként szolgál, és számos témára vonatkozik. A cikk áttekintést nyújt az alapvető alapvető funkciók grafikonjairól, és a legfontosabb kérdéssel foglalkozik - hogyan lehet gyorsan és gyorsan elkészíteni egy diagramot. A felső matematika tanulása az alapvető funkciók grafikonjainak ismerete nélkül nehéz lesz, ezért nagyon fontos emlékezni arra, hogy miként néznek ki a parabola, hiperbola, szinusz, koszinus stb. Grafikonjai, és emlékezni a függvények egyes értékeire. Ezenkívül a fő funkciók néhány tulajdonságáról is beszélünk. Nem úgy teszek, mintha az anyagok teljesek és tudományos alaposak lennének, elsősorban a gyakorlatra helyezzük a hangsúlyt - azokra a dolgokra, amelyekkel minden lépésben szó szerint szembesülnie kell a magasabb matematika bármely témájával. Diagramok a próbabábukról? Ezt mondhatnád.
Az olvasók népszerű igénye szerint kattintható tartalomjegyzék:
Ezen kívül van egy nagyon rövid összefoglaló a témáról.
- Készítsen el 16 grafikontípust, hat oldal tanulmányozása után!
Komolyan hat, még én is meglepődtem. Ez a gyűjtemény továbbfejlesztett grafikákat tartalmaz, és névleges díj ellenében elérhető, demo verzió megtekinthető. Kényelmes kinyomtatni a fájlt úgy, hogy a grafikonok mindig kéznél legyenek. Köszönjük a projekt támogatását!
És rögtön megyünk:
Hogyan építsünk koordináta tengelyeket?
A gyakorlatban a tesztlapokat a hallgatók szinte mindig a ketrecbe bélelt különálló jegyzetfüzetekben készítik. Miért ellenőrizni a jelölést? Végül is a munka elvileg A4-es lapon készülhet. Cella szükséges csak a kiváló minőségű és pontos tervezési rajzokhoz.
A függvény gráfok bármely rajza a koordinátatengelyekkel kezdődik.
A rajzok kétdimenziós és háromdimenziósak.
Először a kétdimenziós esetet vizsgáljuk meg derékszögű téglalap alakú koordinátarendszer:
1) Koordináta tengelyeket rajzolunk. Tengelyt hívnak abszcissza tengely
és a tengely ordináta tengely
. Mindig megpróbáljuk rajzolni őket ügyes és nem görbe. A nyilaknak sem szabad hasonlítaniuk Papa Carlo szakállát.
2) A tengelyeket "X" és "igrek" betűkkel írjuk alá. Ne felejtsük el aláírni a tengelyt.
3) Beállítottuk a skálát a tengelyek mentén: rajzolj nullát és kettőt. A rajz végrehajtásakor a legkényelmesebb és leggyakrabban előforduló skála: 1 egység \u003d 2 cella (rajz a bal oldalon) - ha lehetséges, ragaszkodjon hozzá. Időnként azonban előfordul, hogy a rajz nem illeszkedik a notebook lapra - akkor méretezzük le: 1 egység \u003d 1 cella (rajz a jobb oldalon). Ez ritka, de előfordul, hogy a rajz méretarányát még tovább kell csökkenteni (vagy növelni)
NE "írja le a géppuska" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... A koordináta sík nem Descartes emlékműve, és a hallgató nem galamb. Mi tedd zéró és két tengelyes egység. néha helyett Egységek esetén kényelmes más érzékeléseket, például „kettőt” az abszcissza tengelyen és „három” a ordináta tengelyen - és ez a rendszer (0, 2 és 3) egyedileg meghatározza a koordináta rácsát is.
A becsült rajzméreteket legjobban a rajz elõtt lehet becsülni. Tehát például, ha a feladat megköveteli egy háromszög rajzolását a csúcsokkal,, akkor egyértelmű, hogy a népszerű skála 1 egység \u003d 2 cella nem fog működni. Miért? Nézzük meg a pontot - itt tizenöt centimétert kell lejjebb mérnünk, és nyilvánvalóan a rajz nem illeszkedik (vagy alig illeszkedik) a notebook lapjára. Ezért azonnal válasszon kisebb egységet \u003d 1 egység \u003d 1 cella.
By the way, körülbelül centiméter és notebook cellák. Igaz, hogy a 30 tetrad sejt 15 centimétert tartalmaz? Mérjen egy érdekes notebookban 15 centimétert egy vonalzóval. A Szovjetunióban talán ez igaz volt ... Érdekes megjegyezni, hogy ha ugyanezeket a centimétereket vízszintesen és függőlegesen mérjük, akkor az eredmények (a cellákban) különböznek! Szigorúan véve, a modern notebook nem kockás, hanem téglalap alakú. Lehet, hogy ez hülyeségnek tűnik, de például egy kört rajzolni egy iránytűvel egy ilyen helyzetben nagyon kényelmetlen. Hogy őszinte legyek, ilyen pillanatokban elkezdi gondolkodni Sztálin elvtárs helyességéről, aki a gyárban tábortűzre küldött táborba, nem is beszélve a hazai autóiparról, eső repülőgépekről vagy robbanó erőművekről.
Beszélve a minőségről, vagy egy rövid ajánlás az irodaszerekről. Manapság a legtöbb notebook eladó, rossz szavak nélkül, teljesen homogén. Azért, mert megnedvesednek, és nem csak gélből, hanem golyóstollakból is! Mentés papírra. A regisztrációs tesztekhez az Arhangelski Pép- és Papírgyár (18 lap, ketrec) vagy a Pyaterochka notebookjait ajánlom, bár ezek drágábbak. Javasoljuk, hogy válasszon géltollot, még a legolcsóbb kínai gél toll is sokkal jobb, mint egy golyóstoll, amely papírt kenet vagy húz. Az emlékeim közül egyetlen "versenyképes" golyóstoll Erich Krause. Világosan, gyönyörűen és egyenletesen ír - teljes maggal, szinte üresvel.
emellett: A téglalap alakú koordinátarendszer látását az analitikai geometria szemén keresztül tárgyalja a cikk A vektorok lineáris (nem) függősége. A vektorok alapjai, a koordináta-negyedekkel kapcsolatos részletes információk az óra második bekezdésében találhatók Lineáris egyenlőtlenségek.
Háromdimenziós eset
Szinte minden ugyanaz itt.
1) Koordináta tengelyeket rajzolunk. szabvány: alkalmazza a tengelyt
- felfelé, tengely - jobbra, tengely - balra pontosan 45 fokos szögben.
2) aláírjuk a tengelyt.
3) Beállítottuk a skálát a tengelyek mentén. Tengely skála - a többi tengely méretének fele. Azt is meg kell jegyeznünk, hogy a jobb oldali rajzban nem szabványos „szerifet” használtam a tengely mentén (ezt a lehetőséget már fentebb említettük). Véleményem szerint pontosabb, gyorsabb és esztétikusabb - nem kell a sejt közepét a mikroszkóp alatt keresnie, és az egységet közvetlenül az eredet mellett „le kell faragnia”.
Háromdimenziós rajz készítésekor ismételje meg a prioritást a méretarányban
1 egység \u003d 2 cella (rajz a bal oldalon).
Mire vonatkoznak ezek a szabályok? Szabályok léteznek annak megszüntetése érdekében. Mit fogok csinálni most. A helyzet az, hogy a cikk későbbi rajzai az Excel által készülnek, és a koordinátatengelyek helytelennek tűnnek a megfelelő tervezés szempontjából. Rajzolhattam volna az összes grafikont kézzel, de valójában rajzolhattam volna őket, minthogy egy szörnyen vonakodó Excel sokkal pontosabban rajzolná őket.
Az alapvető függvények grafikonjai és alapvető tulajdonságai
A lineáris függvényt az egyenlet adja. A lineáris függvény gráf egyenes. A vonal felépítéséhez elegendő két pont ismerete.
1. példa
Készítsen függvénydiagramot. Keressen két pontot. Előnyös, ha a nulla pontot választja.
Ha, akkor
Vegyünk egy másik pontot, például 1.
Ha, akkor
A feladatok elvégzésekor a pontok koordinátáit általában egy táblázatban foglalják össze:
És magukat az értékeket szóban vagy vázlatszámológépen kell kiszámítani.
Két pont található, hajtsa végre a rajzot:
Rajzoláskor mindig grafikákat írunk alá.
Nem lesz felesleges egy lineáris függvény egyes eseteit felidézni:
Figyelem, hogyan rendeztem a feliratokat, az aláírásokat nem szabad félreérteni egy rajz tanulmányozásakor. Ebben az esetben rendkívül nem kívánatos volt az aláírást a vonalak metszéspontjának közelében vagy a grafikonok jobb alsó sarkában elhelyezni.
1) A forma () lineáris függvényét közvetlen arányosságnak nevezzük. Például. A közvetlen arányosság gráfja mindig áthalad az eredetön. Így a vonal felépítése egyszerűbb - keressen csak egy pontot.
2) A forma egyenlete a tengelyével párhuzamos egyeneset határoz meg, főleg maga a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvénydiagram azonnal felépítésre kerül, pontok nélkül. Vagyis a rekordot a következőképpen kell érteni: "A játék mindig –4-rel egyenlő, x bármely értékére."
3) A forma egyenlete a tengelyével párhuzamos egyeneset határoz meg, főleg maga a tengelyt adja meg az egyenlet. A függvénydiagram azonnal felépítésre kerül. A rekordot a következőképpen kell érteni: "X a játékos bármely értékére mindig 1-gyel egyenlő".
Néhányan azt kérdezik: miért emlékszik a 6. osztályra ?! Így hát ez valószínűleg csak a gyakorlat évei során tucatnyi hallgatóval találkoztam, akiket zavarba hozott az a feladat, hogy olyan ütemtervet készítsen, mint vagy.
Rajzoláskor a leggyakoribb az egyenes vonal építése.
Az egyenes vonalat az elemző geometria során részletesen megvizsgálják, és azok, akik szeretnék, hivatkozhatnak a cikkre Egy sík egyenlete.
Egy kvadratikus, köbös függvény grafikonja, egy polinom grafikonja
Parabola. Kvadratikus függvény gráf  () egy parabola. Vegyük figyelembe a híres esetet:
Emlékezzen a funkció néhány tulajdonságára.
Tehát a megoldás egyenletünkre: - Ezen a ponton helyezkedik el a parabola teteje. Miért van ez így, a származékakra vonatkozó elméleti cikkben és a funkcionális szélsőségek leckéjében találhatjuk meg. Időközben kiszámoljuk a "játék" megfelelő értékét:
Tehát a csúcs van a pontban
Most találunk más pontokat is, miközben zseniálisan a parabola szimmetriáját használjuk. Meg kell jegyezni, hogy a funkció  – még csak nem isde ennek ellenére senki sem törölte meg a parabola szimmetriáját.
Szerintem milyen sorrendben találjuk meg a fennmaradó pontokat, az a döntő asztalból világossá válik:
Ezt az építési algoritmust ábrázoltan „shuttle” vagy „oda-vissza” elvnek lehet nevezni Anfisa Chekhova-val.
Végezzük el a rajzot:
A vizsgált grafikonokból emlékeztetünk egy másik hasznos jelet:
Egy másodlagos függvényhez  () a következő igaz:
Ha, akkor a parabola ágait felfelé kell irányítani.
Ha, akkor a parabola ágait lefelé kell irányítani.
A görbe alapos ismerete a Hyperbola és a Parabola lecke során szerezhető be.
A köbös parabolát függvény határozza meg. Itt található egy iskolából ismerős rajz:
Felsoroljuk a függvény fő tulajdonságait
Funkció grafikon
Ez egy parabola egyik ágát képviseli. Végezzük el a rajzot:
A funkció fő tulajdonságai:
Ebben az esetben a tengely függőleges aszimptot
a hiperbola-diagramhoz a.
BIG hiba lesz, ha hanyagságból rajzot készítünk, megengedjük, hogy a grafikon kereszteződjön az aszimptotussal.
Az egyoldalú határok azt is megmondják nekünk, hogy a hiperbol fentről nem korlátozva és alulról nem korlátozva.
A függvényt a végtelennél tanulmányozzuk: vagyis ha elkezdünk balra (vagy jobbra) a tengely mentén haladni a végtelenig, akkor a „játékok” karcsú lépés lesz végtelenül közel megközelíti a nullát, és ennek megfelelően a hiperbola ágait végtelenül közel közeledjen a tengelyhez.
Tehát a tengely vízszintes aszimptot
a függvény gráfhoz, ha az „X” plusz vagy mínusz végtelenre hajlik.
Funkció páratlan, és ezért a hiperbola szimmetrikus az eredethez viszonyítva. Ez a tény a rajzból nyilvánvaló, ráadásul analitikailag könnyen igazolható:  .
A forma () függvényének grafikonja a hiperbola két ágát ábrázolja.
Ha, akkor a hiperbola az első és a harmadik koordináta negyedben található (lásd a fenti képet).
Ha, akkor a hiperbol a második és a negyedik koordináta negyedben található.
A hiperbola tartózkodásának feltüntetett szabályszerűségét nem nehéz elemezni a grafikonok geometriai transzformációinak szempontjából.
3. példa
Építsd meg a hiperbola jobb ágát
A pontszerű szerkesztési módszert használjuk, miközben előnyös az értékeket úgy választani, hogy azok teljesen meg legyenek osztva:
Végezzük el a rajzot:
Nem lesz nehéz felépíteni a hiperbola bal ágát, itt segít a funkció furcsasága. Nagyjából szólva, a hegyes szerkezet táblázata mentálisan adjon mínuszot minden számhoz, tegye a megfelelő pontokat és rajzolja meg a második ágat.
A vizsgált vonal részletes geometriai információit a Hiperbola és Parabola cikk tartalmazza.
Exponenciális függvény gráf
Ebben a részben azonnal megvizsgálom az exponenciális függvényt, mivel a magasabb matematika problémáiban az esetek 95% -ában exponens.
Emlékeztetni szeretném, hogy ez egy irracionális szám: ehhez egy ütemterv összeállításához lesz szükség, amelyet valójában szertartás nélkül építek. Három pont valószínűleg elég:
Hagyjuk békén a függvénydiagramot, erről később.
A funkció fő tulajdonságai:
A függvények grafikonjai alapvetően ugyanazok, stb.
Azt kell mondanom, hogy a második eset a gyakorlatban ritkábban fordul elő, de előfordul, ezért szükségesnek tartottam belefoglalni ebbe a cikkbe.
A logaritmikus függvény grafikonja
Vegyünk egy függvényt természetes logaritmussal.
Csináljunk egy rajzot:
Ha elfelejtette, mi a logaritmus, kérjük, olvassa el az iskolai könyveket.
A funkció fő tulajdonságai:
meghatározó régió: 
Értéktartomány:
A funkció felülről nem korlátozott:  , bár lassan, de a logaritmus ága eljut a végtelenségig.
A jobb oldalon lévő nulla közeli függvény viselkedését vizsgáljuk:  . Tehát a tengely függőleges aszimptot
a függvény gráfhoz, ahol az "x" jobbra nullára mutat.
Ügyeljen arra, hogy ismerje és emlékezzen a logaritmus jellemző értékére: .
A logaritmus gráf alapjában ugyanúgy néz ki: ,,, (tizedes logaritmus a 10 alap alapján) stb. Sőt, minél nagyobb az alap, annál szelídebb lesz az ütemterv.
Nem fogjuk megvizsgálni az esetet; nem emlékszem valamire, amikor utoljára ilyen okból készítettem ütemtervet. És úgy tűnik, hogy a logaritmus nagyon ritka vendég a magasabb matematikai problémákban.
Végezetül még egy tényt mondok: Exponenciális függvény és logaritmikus függvényKét kölcsönösen inverz függvény. Ha közelebbről megvizsgáljuk a logaritmus grafikonját, láthatjuk, hogy ez ugyanaz az exponens, csak egy kicsit másképp található.
A trigonometrikus függvények grafikonjai
Mivel kezdődik az iskola trigonometrikus gyötrelme? Ez így van. Szinuszos
Ábrázoljuk a függvényt
Ezt a sort hívják szinuszhullám.
Emlékeztetek arra, hogy a „pi” egy irracionális szám:, és trigonometria formájában a szemében hullámzik.
A funkció fő tulajdonságai:
Ez a funkció időszakos egy periódussal. Mit jelent ez? Nézzük meg a szegmenst. Balra és jobbra, pontosan ugyanaz a darab a grafikonon ismétlődik végtelenül.
meghatározó régió:, azaz az "X" bármely értékére szinuszérték van.
Értéktartomány: Funkció korlátozott: vagyis az összes "játék" szigorúan a szegmensben ül.
Ez nem történik meg, vagy pontosabban történik, de a feltüntetett egyenleteknek nincs megoldása. |
Parabola. A kvadratikus függvény () gráfja egy parabola. Vegyük figyelembe a kanonikus esetet:
Emlékezzen a funkció néhány tulajdonságára.
A hatókör bármilyen valós szám (bármilyen x-érték). Mit jelent ez? Bármelyik tengely pontot is választjuk - minden „X” -hez van egy parabola-pont. Matematikailag így írják: Bármely funkció hatókörét általában vagy jelöli. A betű valós számok halmazát, vagy egyszerűbben „bármelyik X” -t jelöli (amikor a munkát egy notebookban hajtják végre, nem göndör betűt, hanem félkövér betűt írnak R).
Az értéktartomány az összes érték halmaza, amelyet a рек lejátszó változó felvehet. Ebben az esetben: - az összes pozitív érték halmaza, beleértve a nullát is. Az értéktartományt általában a vagy a jelzi.
Funkció még. Ha a függvény egyenletes, akkor gráfja szimmetrikus a tengely körül. Ez egy nagyon hasznos tulajdonság, amely jelentősen leegyszerűsíti a grafikon felépítését, amelyet hamarosan látni fogunk. Analitikusan egy függvény paritását egy feltétel fejezi ki. Hogyan lehet ellenőrizni bármely függvény paritását? Az egyenletben helyettesíteni kell. Parabola esetén az ellenőrzés így néz ki: ez azt jelenti, hogy a funkció egyenletes.
függvény fentről nem korlátozva. Analitikusan egy tulajdonság így van írva:. Egyébként, itt van egy példa a függvény határának geometriai jelentésére: ha a tengely mentén (balra vagy jobbra) végtelenségig haladunk, akkor a parabola ágak („játék” értékek) korlátlanul felmegynek „plusz végtelenségre”.
a a tanulási funkció korlátai kívánatos megérteni a határ geometriai jelentését.
Nem véletlen, hogy a függvény tulajdonságait ilyen részletesen festettem fel, az összes fenti dolog hasznos tudni és megjegyezni a függvények ábrázolásakor, valamint a függvénydiagramok feltárásakor.
2. példa
Ábrázolási funkció 
.
Ebben a példában egy fontos technikai kérdést vizsgálunk meg: Hogyan lehet gyorsan felépíteni egy parabolat? A gyakorlati feladatokban nagyon gyakran felmerül a parabola rajzolásának szükségessége, különösen akkor, ha egy alak egy adott integrál segítségével kiszámolják egy alak területét. Ezért tanácsos megtanulni, hogyan kell gyorsan rajzolni, minimális időveszteséggel. A következő konstrukciós algoritmust javaslom.
Először találjuk a parabola tetejét. Ehhez vegye az első deriváltot és egyenlítse meg nullával:
Ha a származékok rosszak, olvassa el a leckét. Hogyan lehet származékot találni?
Tehát a megoldás egyenletünkre: - Ezen a ponton helyezkedik el a parabola teteje. Kiszámítjuk a "játék" megfelelő értékét:
Tehát a csúcs van a pontban
Most találunk más pontokat is, miközben zseniálisan a parabola szimmetriáját használjuk. Meg kell jegyezni, hogy a funkció – még csak nem isde ennek ellenére senki sem törölte meg a parabola szimmetriáját.
Szerintem milyen sorrendben találjuk meg a fennmaradó pontokat, az a döntő asztalból világossá válik:
Ezt az építési algoritmust ábrázoltan „shuttle” -nek lehet nevezni. Talán nem mindenki érti az űrsikló lényegét, összehasonlításként emlékeztetem önöket a jól ismert „tudy-syudy with Anfisa Chekhova” TV-műsorra.
Végezzük el a rajzot:
A vizsgált grafikonokból emlékeztetünk egy másik hasznos jelet:
A kvadratikus függvény () esetében a következő igaz:
Ha, akkor a parabola ágait felfelé kell irányítani.
Ha, akkor a parabola ágait lefelé kell irányítani.
Kockás parabola
A köbös parabolát függvény határozza meg. Itt található egy iskolából ismerős rajz:
Felsoroljuk a függvény fő tulajdonságait
Hatály - bármilyen valós szám :.
Az értéktartomány bármilyen valós szám lehet:.
Funkció furcsa. Ha a függvény páratlan, akkor annak grafikonja szimmetrikus az eredethez viszonyítva. Elemzésképpen egy függvény furcsaságát a feltétel fejezi ki 
. Ellenőrizzük a köbös függvényt, ehhez az „X” helyett „mínusz X” helyettesítjük:
, akkor a függvény páratlan.
függvény nem korlátozott. A funkcionális korlátok nyelvén ez a következőképpen írható:
Sokkal hatékonyabb egy köbös parabola létrehozása Anfisa Chekhova „shuttle” algoritmusának segítségével:
Bizonyára észrevette, miben is megjelenik a funkció furcsasága. Ha megtalálnánk 
, akkor a kiszámításhoz már nem szükséges semmit megszámolni, ezt automatikusan meg kell írni. Ez a szolgáltatás igaz minden páratlan funkcióra.
Most beszéljünk egy kicsit a polinom gráfokról.
Bármely harmadik fokú polinom grafikonja 
() alapvetően a következő formában van:
Ebben a példában az együttható a legmagasabb, tehát a grafikon megfordul. Az ötödik, hetedik, kilencedik és egyéb páratlan polinomok gráfjai elvileg azonos formában vannak. Minél magasabb a fok, annál inkább köztes „zagibulin”.
A 4., 6. és egyéb páros fokú polinomok grafikonja alapvetően a következő:
Ez az ismeret hasznos a függvénydiagramok vizsgálatában.
Funkció grafikon
Végezzük el a rajzot:
A funkció fő tulajdonságai:
meghatározó régió :.
Értéktartomány:
Vagyis a függvény gráf teljesen az első koordináta negyedben van.
függvény fentről nem korlátozva. Vagy használja a limitet: 
A legegyszerűbb gráfok gyökerekkel történő összeállításakor szintén megfelelő egy pontonkénti felépítési módszer, miközben előnyös az „X” értékeket úgy választani, hogy a gyökér teljesen kinyerhető legyen:
Parabola. A kvadratikus függvény () gráfja egy parabola. Vegyük figyelembe a kanonikus esetet:
Emlékezzen a funkció néhány tulajdonságára.
A hatókör bármilyen valós szám (bármilyen x-érték). Mit jelent ez? Bármelyik tengely pontot is választjuk - minden „X” -hez van egy parabola-pont. Matematikailag így írják: Bármely funkció hatókörét általában vagy jelöli. A betű valós számok halmazát, vagy egyszerűbben „bármelyik X” -t jelöli (amikor a munkát egy notebookban hajtják végre, nem göndör betűt, hanem félkövér betűt írnak R).
Az értéktartomány az összes érték halmaza, amelyet a рек lejátszó változó felvehet. Ebben az esetben: - az összes pozitív érték halmaza, beleértve a nullát is. Az értéktartományt általában a vagy a jelzi.
Funkció még. Ha a függvény egyenletes, akkor gráfja szimmetrikus a tengely körül. Ez egy nagyon hasznos tulajdonság, amely jelentősen leegyszerűsíti a grafikon felépítését, amelyet hamarosan látni fogunk. Analitikusan egy függvény paritását egy feltétel fejezi ki. Hogyan lehet ellenőrizni bármely függvény paritását? Az egyenletben helyettesíteni kell. Parabola esetén az ellenőrzés így néz ki: ez azt jelenti, hogy a funkció egyenletes.
függvény fentről nem korlátozva. Analitikusan egy tulajdonság így van írva:. Egyébként, itt van egy példa a függvény határának geometriai jelentésére: ha a tengely mentén (balra vagy jobbra) végtelenségig haladunk, akkor a parabola ágak („játék” értékek) korlátlanul felmegynek „plusz végtelenségre”.
a a tanulási funkció korlátai kívánatos megérteni a határ geometriai jelentését.
Nem véletlen, hogy a függvény tulajdonságait ilyen részletesen festettem fel, az összes fenti dolog hasznos tudni és megjegyezni a függvények ábrázolásakor, valamint a függvénydiagramok feltárásakor.
2. példa
Készítsen függvénydiagramot.
Ebben a példában egy fontos technikai kérdést vizsgálunk meg: Hogyan lehet gyorsan felépíteni egy parabolat? A gyakorlati feladatokban nagyon gyakran felmerül a parabola rajzolásának szükségessége, különösen a számítás során egy ábra egy területe egy bizonyos integrál felhasználásával. Ezért tanácsos megtanulni, hogyan kell gyorsan rajzolni, minimális időveszteséggel. A következő konstrukciós algoritmust javaslom.
Először találjuk a parabola tetejét. Ehhez vegye az első deriváltot és egyenlítse meg nullával:
Ha a származékok rosszak, olvassa el a leckét. Hogyan lehet származékot találni?
Tehát a megoldás egyenletünkre: - Ezen a ponton helyezkedik el a parabola teteje. Kiszámítjuk a "játék" megfelelő értékét:
Tehát a csúcs van a pontban
Most találunk más pontokat is, miközben zseniálisan a parabola szimmetriáját használjuk. Meg kell jegyezni, hogy a függvény - még csak nem isde ennek ellenére senki sem törölte meg a parabola szimmetriáját.
Szerintem milyen sorrendben találjuk meg a fennmaradó pontokat, az a döntő asztalból világossá válik:
Ezt az építési algoritmust ábrázoltan „shuttle” -nek lehet nevezni. Talán nem mindenki érti az űrsikló lényegét, összehasonlításként emlékeztetem önöket a jól ismert „tudy-syudy with Anfisa Chekhova” TV-műsorra.
Végezzük el a rajzot:
A vizsgált grafikonokból emlékeztetünk egy másik hasznos jelet:
A kvadratikus függvény () esetében a következő igaz:
Ha, akkor a parabola ágait felfelé kell irányítani.
Ha, akkor a parabola ágait lefelé kell irányítani.
Kockás parabola
A köbös parabolát függvény határozza meg. Itt található egy iskolából ismerős rajz:
Felsoroljuk a függvény fő tulajdonságait
Hatály - bármilyen valós szám :.
Az értéktartomány bármilyen valós szám lehet:.
Funkció furcsa. Ha a függvény páratlan, akkor annak grafikonja szimmetrikus az eredethez viszonyítva. Elemzésképpen egy függvény furcsaságát a feltétel fejezi ki 
. Ellenőrizzük a köbös függvényt, ehhez az „X” helyett „mínusz X” helyettesítjük:
, akkor a függvény páratlan.
függvény nem korlátozott. A funkcionális korlátok nyelvén ez a következőképpen írható:
Sokkal hatékonyabb egy köbös parabola létrehozása Anfisa Chekhova „shuttle” algoritmusának segítségével:
Bizonyára észrevette, miben is megjelenik a funkció furcsasága. Ha megtalálnánk 
, akkor a kiszámításhoz már nem szükséges semmit megszámolni, ezt automatikusan meg kell írni. Ez a szolgáltatás igaz minden páratlan funkcióra.
Most beszéljünk egy kicsit a polinom gráfokról.
Bármely harmadik fokú polinom grafikonja 
() alapvetően a következő formában van:
Ebben a példában az együttható a legmagasabb, tehát a grafikon megfordul. Az ötödik, hetedik, kilencedik és egyéb páratlan polinomok gráfjai elvileg azonos formában vannak. Minél magasabb a fok, annál inkább köztes „zagibulin”.
A 4., 6. és egyéb páros fokú polinomok grafikonja alapvetően a következő:
Ez az ismeret hasznos a függvénydiagramok vizsgálatában.
Funkció grafikon
Végezzük el a rajzot:
A funkció fő tulajdonságai:
meghatározó régió :.
Értéktartomány:
Vagyis a függvény gráf teljesen az első koordináta negyedben van.
függvény fentről nem korlátozva. Vagy használja a limitet: 
A legegyszerűbb gráfok gyökerekkel történő összeállításakor szintén megfelelő egy pontonkénti felépítési módszer, miközben előnyös az „X” értékeket úgy választani, hogy a gyökér teljesen kinyerhető legyen:
Valójában szeretnék több példát elemezni például a gyökerekkel, de ezek sokkal ritkábbak. A gyakoribb esetekre összpontosítom, és amint azt a gyakorlat azt mutatja, hogy valami olyasmit, amit sokkal gyakrabban kell építeni. Ha szükségessé válik, hogy megtudja, hogyan néz ki a grafikon más gyökerekkel, akkor azt javaslom, hogy vizsgálja meg az iskolai tankönyvet vagy a matematikai kézikönyvet.
Hiperbola grafikon
Ne felejtsd el ismét a triviális "iskola" hiperbólt.
Végezzük el a rajzot:
A funkció fő tulajdonságai:
meghatározó régió :.
Értéktartomány:
A bejegyzés azt jelenti: "bármilyen valós szám, nulla kivételével"
Egy ponton a funkció végtelen szünetet szenved. Vagy használja egyoldalúhatárok :. Beszéljünk egy kicsit az egyoldalú korlátokról. A belépés azt jelenti, hogy mi végtelenül közel a tengely nullához közeledik balra. Hogyan viselkedik az ütemterv? A mínusz végtelenségig csökken végtelenül közel közeledik a tengelyhez. Ezt a tényt írja a határ. Hasonlóképpen, a belépés azt jelenti, hogy mi végtelenül közel a tengely nullához közeledik a jobb oldalon. Ebben az esetben a hiperbola elágazása plusz végtelenséggel megy fel, végtelenül közel közeledik a tengelyhez. Vagy röviden:
egyfajta
ahol Más szavakkal, a köbös függvényt a harmadik fokú polinom határozza meg.
Analitikai tulajdonságok
kérelem
A köbméter parabolát néha használják az átmeneti görbe kiszámításához a szállításban, mivel számítása sokkal egyszerűbb, mint a clothoid felépítése.
Lásd még
Írjon véleményt a "Cubic Function" cikkről
jegyzetek
irodalom
- L. S. Pontryagin, // "Quantum", 1984, 3. szám.
- I. N. Bronstein, K. A. Semendyaev, "A matematika kézikönyve", "Science" Kiadó, M. 1967, p. 84
Kivonat a köbös függvényről
- Nos, ott, bármiért ...
Abban az időben Petya, akire senki sem figyelmelt, megközelítette az apját, és mindent vörösre törve, majd durván, majd vékony hangon azt mondta:
"Nos, apu, határozottan mondom - és a mama is, ahogy akarod - határozottan azt mondom, hogy engedi katonai szolgálatba, mert nem tudok ... ennyi ..."
A grófnő borzalommal nézett az ég felé, összeszorította a kezét és dühösen fordult a férje felé.
- Szóval beleegyeztem! - mondta.
De a gróf azonnal felépült izgalmából.
- Nos, hát - mondta. - Itt van még egy harcos! Hagyj ostobaságot: meg kell tanulnod.
- Nem hülye, apa. Obolensky Fedya fiatalabb nálam, és megy is, és ami a legfontosabb, mindazonáltal most semmit sem tudok megtanulni.
- Teljes, tele, hülye ...
- Miért mondtad magad, hogy mindent feláldozunk.
- Petya, mondom neked, fogd be! - kiáltotta a gróf, visszatekintve a feleségére, aki sápadtan megfordult szemmel nézett a kisebbik fiára.
- És én mondom neked. Tehát Pjotr \u200b\u200bKirillovics azt fogja mondani:
- Mondom neked - ostobaság, a tej még nem száradt le, de katonai szolgálatba akar menni! Nos, nos, azt mondom neked, - és a gróf, aki magával vitte a papírokat, valószínűleg azért, hogy pihenés előtt újra elolvassa a tanulmányát, kiment a szobából.
- Pjotr \u200b\u200bKirillovics, hát menjünk füstölni ...
Pierre szégyentelte és határozatlan volt. Natasha szokatlanul ragyogó és élénk szeme folyamatosan, több mint szeretetteljes felé fordítva vezetett ebbe az állapotba.
"Nem, azt hiszem hazamegyek ..."
- Hogy menj haza, de estét akarsz volna velünk tartani ... És ez ritkán kezdődött. És ez az enyém ... - mondta a gróf jóindulatúan, Natasha felé mutatva -, csak veled vidám volt ...
- Igen, elfelejtettem ... határozottan haza kell mennem ... Esettanulmányok - mondta Pierre sietve.
- Nos, viszlát - mondta Earl, teljesen elhagyva a helyiséget.
- Miért indulsz? Miért vagy ideges? Miért? .. - kérdezte Pierre Natasha, dacolva a szemébe.
„Mert szeretlek! Azt akarta mondani, de nem mondta, könnyre elpirult és leengedte a szemét.
"Mert jobb, ha kevésbé látogatok meg téged ... Mert ... nem, ez csak az én dolgom."
- Miért? nem, mondd el - kezdte Natasha határozottan, és hirtelen elhallgatott. Mindketten néztek egymásra, megdöbbenve és zavartan. Megpróbált vigyorogni, de nem tudta: a mosolya szenvedést fejezett ki, és csendesen megcsókolta a kezét, és kiment.
Pierre egyedül úgy döntött, hogy már nem marad a Rostovokkal. Petya, miután megkapta a határozott megtagadást, bement a szobájába, és ott, mindenki elől bezárva, keservesen sírt. Mindenki úgy tett, mintha nem vett volna észre semmit, amikor csendes és komor, könnyes szemmel jött a teahoz.
Másnap a császár megérkezett. A rostovski udvarban több ember megengedte, hogy megnézze a királyt. Ma reggel Petya hosszú ideig öltözött, fésült a hajába, és gallérokat rendezett, ahogy a nagyokkal. A homlokát ráncolta a tükör előtt, gesztusokat tett, megvonta a vállát, és végül anélkül, hogy senkinek mondaná, feltette a kupakját, és elhagyta a házat a tornácról, megpróbálva nem észrevenni. Petya úgy döntött, hogy egyenesen arra a helyre megy, ahol a szuverén volt, és közvetlenül magyarázta el valamelyik kamaranak (Petya azt gondolta, hogy az államot mindig kamarai körülvették), hogy ő, Rostov gróf fiatalságának ellenére is szülőföldjét szolgálta, hogy az ifjúság ne legyen akadálya odaadásra és arra, hogy készen álljon ... Petya, miközben készül, sok csodálatos szót készített, amelyeket mondana a kamaraszalonnak.
Az y \u003d x ^ 2 függvényt kvadratikus függvénynek nevezzük. A kvadratikus függvény gráfja egy parabola. A parabola általános nézetét az alábbi ábra mutatja.
Másodlagos függvény
1. ábra: A parabola általános képe
A grafikonból látható, hogy szimmetrikus az Oy tengely körül. Az Oy tengelyt a parabola szimmetria tengelyének nevezzük. Ez azt jelenti, hogy ha a grafikonon az Ox tengelyével párhuzamos vonalat rajzol a tengely felett. Akkor két ponton keresztezi a parabolát. Ezen pontok és az Oy tengely közötti távolság megegyezik.
A szimmetriatengely a parabola grafikonját két részre osztja. Ezeket a részeket parabola ágaknak nevezzük. A parabola azon pontját, amely a szimmetria tengelyén fekszik, a parabola csúcsának nevezzük. Vagyis a szimmetriatengely áthalad a parabola tetején. Ennek a pontnak a koordinátái (0; 0).
A másodlagos függvény alapvető tulajdonságai
1. x \u003d 0 esetén, y \u003d 0, és y\u003e 0 x0 esetén
2. A kvadratikus függvény csúcsán eléri a minimális értéket. Ymin x \u003d 0-on; Azt is meg kell jegyezni, hogy a függvény maximális értéke nem létezik.
3. A funkció csökken az intervallumban (-∞; 0], és növekszik az intervallumban)
