Vrlo često je moguće identificirati važne karakteristike pokret mehanički sustav bez pribjegavanja integraciji sustava diferencijalne jednadžbe pokreta. To se postiže primjenom općih teorema dinamike.

5.1. Osnovni pojmovi i definicije

Vanjske i unutarnje sile. Svaka sila koja djeluje na točku u mehaničkom sustavu nužno je ili aktivna sila ili reakcija sprezanja. Cijeli skup sila koje djeluju na točke sustava možemo različito podijeliti u dvije klase: vanjske sile i unutarnje sile (indeksi e i i - od latinskih riječi externus - vanjski i internus - unutarnji). Vanjske sile su one koje na točke sustava djeluju iz točaka i tijela koja nisu dio promatranog sustava. Sile međudjelovanja između točaka i tijela razmatranog sustava nazivaju se unutarnjim.

Ova podjela ovisi o tome koje materijalne točke i tijela istraživač uključuje u razmatrani mehanički sustav. Ako proširimo sastav sustava uključivanjem dodatnih točaka i tijela, tada neke sile koje su bile vanjske za prethodni sustav mogu postati unutarnje za prošireni sustav.

Svojstva unutarnjih sila. Budući da su te sile sile međudjelovanja između dijelova sustava, one ulaze u cjelovit sustav unutarnjih sila u “dvoje”, organizirane u skladu s aksiomom akcija-reakcija. Svaka takva "dvojka" ima jake strane

glavni vektor i glavna točka u odnosu na proizvoljno središte jednaki su nuli. Budući da se kompletan sustav unutarnjih sila sastoji samo od “dvojki”, onda

1) glavni vektor sustava unutarnjih sila je nula,

2) glavni moment sustava unutarnjih sila u odnosu na proizvoljnu točku jednak je nuli.

Masa sustava naziva se aritmetički zbroj mase tk svih točaka i tijela koja čine sustav:

Centar mase(središte tromosti) mehaničkog sustava je geometrijska točka C čiji su radijus vektor i koordinate određeni formulama

gdje su radijus vektori i koordinate točaka koje tvore sustav.

Za čvrsta, koji se nalazi u uniformnom gravitacijskom polju, položaji središta mase i težišta se podudaraju, u drugim slučajevima to su različite geometrijske točke.

Zajedno s inercijskim referentnim sustavom često se istovremeno razmatra i neinercijalni referentni sustav koji se giba translatorno. Njegove koordinatne osi (Königove osi) odabrane su tako da se ishodište C stalno poklapa sa središtem mase mehaničkog sustava. U skladu s definicijom, centar mase je nepomičan u Koenigovim osima i nalazi se u ishodištu koordinata.

Moment tromosti sustava u odnosu na os je skalarna veličina jednaka zbroju umnožaka masa mk svih točaka sustava s kvadratima njihovih udaljenosti od osi:

Ako je mehanički sustav kruto tijelo, za pronalaženje 12 možete koristiti formulu

gdje je gustoća, volumen koji tijelo zauzima.

MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE I PREHRANE REPUBLIKE BJELORUSIJE

Obrazovna ustanova "BJELORUSKA DRŽAVNA POLJOPRIVREDNA

TEHNIČKO SVEUČILIŠTE"

Zavod za teorijsku mehaniku i teoriju mehanizama i strojeva

TEORIJSKA MEHANIKA

metodološki kompleks za studente specijalnosti

74 06 Agroinženjering

U 2 dijela 1. dio

UDK 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Sastavio:

Kandidat fizičkih i matematičkih znanosti, izvanredni profesor Yu. S. Biza, kandidat tehničke znanosti, izvanredni profesor N. L. Rakova, viši predavač. A. Tarasevich

Recenzenti:

Odjel za teorijsku mehaniku obrazovne ustanove "Bjelorusko nacionalno tehničko sveučilište" (voditelj

Odjel za teorijsku mehaniku BNTU doktor fizikalnih i matematičkih znanosti, profesor A. V. Čigarev);

Vodeći istraživač Laboratorija za zaštitu od vibracija strojarskih sustava Državne znanstvene ustanove Objedinjeni institut za strojarstvo

NAS Bjelorusije", kandidat tehničkih znanosti, izvanredni profesor A. M. Goman

Teorijska mehanika. Odjeljak "Dinamika": obrazovni

T33 metoda. kompleks. U 2 dijela, 1. dio / sastavili: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – Minsk: BGATU, 2013. – 120 str.

ISBN 978-985-519-616-8.

Obrazovni i metodološki kompleks predstavlja materijale za proučavanje odjeljka "Dinamika", 1. dijela, koji je dio discipline "Teorijska mehanika". Uključuje tečaj predavanja, osnovne materijale za izvođenje praktična nastava, zadaće i uzorke zadaća za samostalan rad i kontrolu obrazovne aktivnosti redoviti i izvanredni studenti.

UDK 531.3(07) BBK 22.213ya7

UVOD

Teorijska mehanika je znanost o općim zakonima mehaničkog gibanja, ravnoteže i međudjelovanja materijalnih tijela.

Ovo je jedna od temeljnih općeznanstvenih fizikalno-matematičkih disciplina. To je teorijska osnova moderne tehnologije.

Studij teorijske mehanike, uz ostale fizikalne i matematičke discipline, pridonosi širenju znanstvenih horizonata, razvijanju sposobnosti konkretnog i apstraktnog mišljenja te podizanju opće tehničke kulture budućeg specijalista.

Teorijska mehanika, kao znanstvena osnova svih tehničkih disciplina, pridonosi razvoju vještina racionalne odluke inženjerski poslovi koji se odnose na rad, popravak i projektiranje strojeva i opreme za poljoprivredu i melioraciju.

Na temelju prirode problema koji se razmatra, mehanika se dijeli na statiku, kinematiku i dinamiku. Dinamika je grana teorijske mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela pod utjecajem primijenjenih sila.

U obrazovne i metodičke kompleks (UMK) predstavlja materijale za proučavanje odjeljka "Dinamika", koji uključuje tečaj predavanja, osnovne materijale za vođenje praktični rad, zadaci i uzorci izvršenja za samostalan rad te praćenje obrazovne aktivnosti redovitih i izvanrednih studenata.

U Kao rezultat proučavanja odjeljka "Dinamika", student mora naučiti teorijska osnova dinamike i ovladati osnovnim metodama rješavanja zadataka dinamike:

Poznavati metode za rješavanje dinamičkih problema, opći teoremi dinamika, principi mehanike;

Znati odrediti zakonitosti gibanja tijela ovisno o silama koje na njega djeluju; primijeniti zakone i teoreme mehanike za rješavanje problema; odrediti statičke i dinamičke reakcije veza koje ograničavaju kretanje tijela.

Nastavni plan i program discipline "Teorijska mehanika" predviđa ukupan broj sati nastave - 136, uključujući 36 sati za proučavanje odjeljka "Dinamika".

1. ZNANSTVENI I TEORIJSKI SADRŽAJ OBRAZOVNO-METODIČKOG KOMPLEKSA

1.1. Glosar

Statika je dio mehanike koji postavlja opći nauk o silama i proučava smanjenje složeni sustavi sile do najjednostavnijeg oblika i uspostavljaju se uvjeti ravnoteže raznih sustava snaga

Kinematika je grana teorijske mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela bez obzira na razloge koji uzrokuju to kretanje, tj. bez obzira na sile koje djeluju na te objekte.

Dinamika je grana teorijske mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela (točaka) pod djelovanjem primijenjenih sila.

Materijalna točka– materijalno tijelo čija je razlika u kretanju točaka beznačajna.

Masa tijela je skalarna pozitivna veličina koja ovisi o količini tvari sadržane u određenom tijelu i određuje njegovu mjeru tromosti tijekom translatornog gibanja.

Referentni sustav je koordinatni sustav povezan s tijelom u odnosu na koje se proučava kretanje drugog tijela.

Inercijski sustav– sustav u kojem su zadovoljeni prvi i drugi zakon dinamike.

Impuls sile je vektorska mjera djelovanja sile u nekom vremenu.

Impuls materijalne točke – vektorska mjera njezina gibanja, jednaka umnošku mase točke i vektora njezine brzine.

Kinetička energija– skalarna mjera mehaničkog gibanja.

Elementarni rad sile je infinitezimalna skalarna veličina jednaka skalarnom umnošku vektora sile i vektora beskonačno malog pomaka točke primjene sile.

Kinetička energija– skalarna mjera mehaničkog gibanja.

Kinetička energija materijalne točke je skalarna energija

pozitivna veličina jednaka polovici umnoška mase točke i kvadrata njezine brzine.

Kinetička energija mehaničkog sustava - aritme-

tic zbroj kinetickih energija svih materijalnih tocaka ovog sustava.

Sila je mjera mehaničke interakcije tijela, koja karakterizira njezin intenzitet i smjer.

1.2. Teme i sadržaj predavanja

Odjeljak 1. Uvod u dinamiku. Osnovni koncepti

klasična mehanika

Tema 1. Dinamika materijalne točke

Zakoni dinamike materijalne točke (Galilejevi – Newtonovi zakoni). Diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke. Dva glavna problema dinamike za materijalnu točku. Rješenje drugog problema dinamike; konstante integracije i njihovo određivanje početnim uvjetima.

Literatura:, s. 180-196, , s. 12-26.

Tema 2. Dinamika relativnog kretanja materijala

Relativno gibanje materijalne točke. Diferencijalne jednadžbe relativnog gibanja točke; prijenosne i Coriolisove inercijalne sile. Načelo relativnosti u klasičnoj mehanici. Slučaj relativnog mira.

Literatura: , s. 180-196, , s. 127-155.

Tema 3. Geometrija masa. Središte mase mehaničkog sustava

Masa sustava. Središte mase sustava i njegove koordinate.

Literatura:, s. 86-93, s. 264-265

Tema 4. Momenti tromosti krutog tijela

Momenti tromosti krutog tijela u odnosu na os i pol. Polumjer tromosti. Teorem o momentima tromosti oko paralelnih osi. Aksijalni momenti tromosti nekih tijela.

Centrifugalni momenti tromosti kao karakteristika asimetrije tijela.

Literatura: , s. 265-271, , s. 155-173.

Odjeljak 2. Opći teoremi o dinamici materijalne točke

i mehanički sustav

Tema 5. Teorem o gibanju središta mase sustava

Teorem o gibanju središta mase sustava. Korolari iz teorema o gibanju središta mase sustava.

Literatura: , s. 274-277, , s. 175-192.

Tema 6. Moment materijalne točke

i mehanički sustav

Količina gibanja materijalne točke i mehaničkog sustava. Elementarni impuls i impuls sile u konačnom vremenskom razdoblju. Teorem o promjeni količine gibanja točke i sustava u diferencijalnom i integralnom obliku. Zakon očuvanja količine gibanja.

Literatura: , s. 280-284, , s. 192-207.

Tema 7. Moment materijalne točke

i mehanički sustav u odnosu na središte i os

Moment količine gibanja točke u odnosu na središte i os. Teorem o promjeni kutne količine gibanja točke. Kinetički moment mehaničkog sustava u odnosu na središte i os.

Kinetički moment rotacije krutog tijela oko osi rotacije. Teorem o promjeni kutne količine gibanja sustava. Zakon održanja kutne količine gibanja.

Literatura: , s. 292-298, , s. 207-258.

Tema 8. Rad i snaga sila

Elementarni rad sile, njegov analitički izraz. Rad koji obavlja sila na konačnom putu. Rad sile teže, elastična sila. Zbroj rada unutarnjih sila koje djeluju u čvrstom tijelu jednak je nuli. Rad sila koje djeluju na kruto tijelo koje rotira oko nepomične osi. Vlast. Učinkovitost.

Literatura: , s. 208-213, , s. 280-290.

Tema 9. Kinetička energija materijalne točke

i mehanički sustav

Kinetička energija materijalne točke i mehanički sustav. Proračun kinetičke energije krutog tijela u različitim slučajevima njegova gibanja. Koenigov teorem. Teorem o promjeni kinetičke energije točke u diferencijalnom i integralnom obliku. Teorem o promjeni kinetičke energije mehaničkog sustava u diferencijalnom i integralnom obliku.

Literatura: , s. 301-310, , s. 290-344.

Tema 10. Potencijalno polje sila i potencijal

Pojam polja sila. Potencijalno polje sila i funkcija sile. Rad sile na konačnom pomaku točke u potencijalnom polju sila. Potencijalna energija.

Literatura: , s. 317-320, , s. 344-347.

Tema 11. Dinamika krutog tijela

Diferencijalne jednadžbe translatornog gibanja krutog tijela. Diferencijalna jednadžba rotacijskog gibanja krutog tijela oko nepomične osi. Fizičko njihalo. Diferencijalne jednadžbe gibanja krutog tijela u ravnini.

Literatura: , s. 323-334, , s. 157-173.

Odjeljak 1. Uvod u dinamiku. Osnovni koncepti

klasična mehanika

Dinamika je grana teorijske mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela (točaka) pod djelovanjem primijenjenih sila.

materijalno tijelo- tijelo koje ima masu.

Materijalna točka– materijalno tijelo čija je razlika u kretanju točaka beznačajna. To može biti ili tijelo čije se dimenzije pri kretanju mogu zanemariti ili tijelo konačnih dimenzija ako se giba translatorno.

Materijalnim točkama nazivaju se i čestice na koje se čvrsto tijelo mentalno rastavlja pri određivanju neke njegove dinamičke karakteristike. Primjeri materijalnih točaka (sl. 1): a – kretanje Zemlje oko Sunca. Zemlja je materijalna točka; b – translatorno gibanje krutog tijela. Čvrsto tijelo – majka

al točka, jer je V B = V A ; a B = a A; c – rotacija tijela oko osi.

Čestica tijela je materijalna točka.

Tromost je svojstvo materijalnih tijela da pod utjecajem primijenjenih sila brže ili sporije mijenjaju brzinu svog kretanja.

Masa tijela je skalarna pozitivna veličina koja ovisi o količini tvari sadržane u određenom tijelu i određuje njegovu mjeru tromosti tijekom translatornog gibanja. U klasičnoj mehanici masa je konstantna veličina.

Sila je kvantitativna mjera mehaničkog međudjelovanja između tijela ili između tijela (točke) i polja (električnog, magnetskog itd.).

Sila je vektorska veličina karakterizirana veličinom, točkom primjene i smjerom (crta djelovanja) (Sl. 2: A - točka primjene; ​​AB - linija djelovanja sile).

Riža. 2

U dinamici, uz stalne sile, postoje i promjenljive sile, koje mogu ovisiti o vremenu t, brziniϑ, udaljenosti ili o kombinaciji tih veličina, tj.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ) ;

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ) .

električna lokomotiva; c − F = F (r) – sila odbijanja od centra O ili privlačenja prema njemu.

Referentni sustav je koordinatni sustav povezan s tijelom u odnosu na koje se proučava kretanje drugog tijela.

Inercijalni sustav je sustav u kojem su zadovoljeni prvi i drugi zakon dinamike. Ovo je fiksni koordinatni sustav ili sustav koji se kreće ravnomjerno i linearno.

Gibanje u mehanici je promjena položaja tijela u prostoru i vremenu u odnosu na druga tijela.

Prostor u klasičnoj mehanici je trodimenzionalan, pokoravajući se euklidskoj geometriji.

Vrijeme je skalarna veličina koja teče jednako u svakom referentnom sustavu.

Sustav jedinica skup je mjernih jedinica fizikalne veličine. Za mjerenje svih mehaničkih veličina dovoljne su tri osnovne jedinice: jedinice duljine, vremena, mase ili sile.

Sve druge mjerne jedinice mehaničkih veličina izvedene su iz njih. Koriste se dvije vrste sustava jedinica: međunarodni sustav jedinica SI (ili manji - GHS) i tehnički sustav jedinica - ICGSS.

Tema 1. Dinamika materijalne točke

1.1. Zakoni dinamike materijalne točke (Galileo–Newton zakoni)

Prvi zakon (zakon inercije).

Materijalna točka izolirana od vanjskih utjecaja održava svoje stanje mirovanja ili se giba jednoliko i pravocrtno sve dok je primijenjene sile ne prisile da promijeni to stanje.

Gibanje koje točka izvodi u odsutnosti sila ili pod djelovanjem uravnoteženog sustava sila naziva se gibanje po inerciji.

Na primjer, kretanje tijela duž glatke (sila trenja je nula)

horizontalna površina (Sl. 4: G – tjelesna težina; N – normalna ravninska reakcija).

Kako je G = − N, onda je G + N = 0.

Kada je ϑ 0 ≠ 0 tijelo se giba istom brzinom; kada je ϑ 0 = 0 tijelo miruje (ϑ 0 je početna brzina).

Drugi zakon (osnovni zakon dinamike).

Umnožak mase točke i akceleracije koju ona dobiva pod utjecajem zadane sile po veličini je jednak toj sili, a smjer joj se podudara sa smjerom akceleracije.

a b

Matematički se ovaj zakon izražava vektorskom jednakošću

Kada je F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – točka se giba jednoliko i pravocrtno ili kod ϑ 0 = 0 – miruje (zakon tromosti). Drugi

zakon nam omogućuje da uspostavimo vezu između mase m tijela koje se nalazi u blizini zemljine površine i njegove težine G .G = mg, gdje je g

ubrzanje gravitacije.

Treći zakon (zakon jednakosti akcije i reakcije). Dvije materijalne točke djeluju jedna na drugu silama jednakim po veličini usmjerenim duž pravca koji spaja

ove točke u suprotnim smjerovima.

Budući da sile F 1 = − F 2 djeluju na različite točke, sustav sila (F 1 , F 2 ) nije uravnotežen, tj. (F 1 , F 2 )≈ 0 (slika 6).

mase međusobno djelujućih točaka obrnuto su proporcionalne njihovim ubrzanjima.

Četvrti zakon (zakon neovisnosti o djelovanju sila). Ubrzanje koje prima točka kada na nju djeluje u isto vrijeme

nego nekoliko sila, jednakih geometrijskom zbroju onih ubrzanja koje bi točka primila kad bi se svaka sila na nju posebno primijenila.

Objašnjenje (slika 7).

t a n

a 1 a kF n

Rezultantna sila R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Budući da je ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = čovjek, tada

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, tj. četvrti zakon je ekvivalentan

k = 1

pravilo zbrajanja sila.

1.2. Diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke

Neka na materijalnu točku istodobno djeluje više sila, među kojima postoje stalne i promjenljive.

Zapišimo drugi zakon dinamike u obliku

točaka, tada (1.2) sadrži derivacije od r i diferencijalna je jednadžba gibanja materijalne točke u vektorskom obliku ili osnovna jednadžba dinamike materijalne točke.

Projekcije vektorske jednakosti (1.2): - na osi Kartezijevih koordinata (slika 8, a)

Na prirodnoj osi (slika 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Jednadžbe (1.3) i (1.4) su diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke, odnosno u Kartezijevim koordinatnim osima i prirodnim osima, tj. prirodne diferencijalne jednadžbe koje se obično koriste za krivuljasto gibanje točke, ako je putanja poznata je točka i njen radijus zakrivljenosti.

1.3. Dva glavna problema dinamike za materijalnu točku i njihovo rješenje

Prvi (izravni) zadatak.

Poznavajući zakon gibanja i masu točke, odredite silu koja djeluje na točku.

Da biste riješili ovaj problem, morate znati ubrzanje točke. U zadacima ove vrste može se zadati izravno ili zadati zakon gibanja točke u skladu s kojim se može odrediti.

1. Dakle, ako je gibanje točke određeno u kartezijevim koordinatama

x = f 1 (t), y = f 2 (t) i z = f 3 (t), tada se određuju projekcije ubrzanja

Teorem o gibanju centra mase. Diferencijalne jednadžbe gibanja mehaničkog sustava. Teorem o gibanju središta mase mehaničkog sustava. Zakon očuvanja gibanja centra mase.

Teorem o promjeni količine gibanja. Količina gibanja materijalne točke. Elementarni impuls sile. Impuls sile za konačno vremensko razdoblje i njegova projekcija na koordinatne osi. Teorem o promjeni količine gibanja materijalne točke u diferencijalnom i konačnom obliku.

Količina gibanja mehaničkog sustava; njegov izraz kroz masu sustava i brzinu njegovog centra mase. Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava u diferencijalnom i konačnom obliku. Zakon održanja mehaničke količine gibanja

(Pojam tijela i točke promjenjive mase. Jednadžba Meščerskog. Formula Ciolkovskog.)

Teorem o promjeni kutne količine gibanja. Moment količine gibanja materijalne točke u odnosu na središte i u odnosu na os. Teorem o promjeni kutne količine gibanja materijalne točke. Centralna moć. Očuvanje kutne količine gibanja materijalne točke u slučaju središnje sile. (Pojam sektorske brzine. Zakon površina.)

Glavni moment količine gibanja ili kinetički moment mehaničkog sustava u odnosu na središte i u odnosu na os. Kinetički moment rotacije krutog tijela oko osi rotacije. Teorem o promjeni kinetičkog momenta mehaničkog sustava. Zakon očuvanja kutne količine gibanja mehaničkog sustava. (Teorem o promjeni kinetičkog momenta mehaničkog sustava u relativno kretanje u odnosu na centar mase.)

Teorem o promjeni kinetičke energije. Kinetička energija materijalne točke. Elementarni rad sile; analitičko izražavanje elementarnog rada. Rad sile na konačnom pomaku točke njezine primjene. Rad sile teže, elastična sila i gravitacijska sila. Teorem o promjeni kinetičke energije materijalne točke u diferencijalnom i konačnom obliku.

Kinetička energija mehaničkog sustava. Formule za izračunavanje kinetičke energije krutog tijela tijekom translatornog gibanja, tijekom rotacije oko nepomične osi i u opći slučaj gibanja (osobito, s planparalelnim gibanjem). Teorem o promjeni kinetičke energije mehaničkog sustava u diferencijalnom i konačnom obliku. Zbroj rada unutarnjih sila u čvrstom tijelu jednak je nuli. Rad i snaga sila koje djeluju na kruto tijelo koje rotira oko nepomične osi.

Pojam polja sila. Potencijalno polje sila i funkcija sile. Izražavanje projekcija sile kroz funkciju sile. Površine jednakog potencijala. Rad sile na konačnom pomaku točke u potencijalnom polju sila. Potencijalna energija. Primjeri potencijalne sile nova polja: uniformno gravitacijsko polje i gravitacijsko polje. Zakon održanja mehaničke energije.

Dinamika krutog tijela. Diferencijalne jednadžbe translatornog gibanja krutog tijela. Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela oko nepomične osi. Fizičko njihalo. Diferencijalne jednadžbe gibanja krutog tijela u ravnini.

D'Alembertov princip. D'Alembertov princip za materijalnu točku; inercijalna sila. D'Alembertov princip za mehanički sustav. Dovođenje sila inercije točaka krutog tijela u središte; glavni vektor i glavni moment sila tromosti.

(Određivanje dinamičkih reakcija ležajeva pri rotaciji krutog tijela oko nepomične osi. Slučaj kada je os rotacije glavna središnja os tromosti tijela.)

Princip mogućih gibanja i opća jednadžba dinamike. Veze nametnute mehaničkom sustavu. Moguća (ili virtualna) kretanja materijalne točke i mehaničkog sustava. Broj stupnjeva slobode sustava. Idealne veze. Princip mogućih kretanja. Opća jednadžba zvučnici.

Jednadžbe gibanja sustava u generaliziranim koordinatama (Lagrangeove jednadžbe). Generalizirane koordinate sustava; generalizirane brzine. Izražavanje elementarnog rada u generaliziranim koordinatama. Generalizirane sile i njihov proračun; slučaju sila s potencijalom. Uvjeti ravnoteže sustava u generaliziranim koordinatama. Diferencijalne jednadžbe gibanja sustava u generaliziranim koordinatama ili Lagrangeove jednadžbe 2. vrste. Lagrangeove jednadžbe u slučaju potencijalnih sila; Lagrangeova funkcija (kinetički potencijal).

Pojam stabilnosti ravnoteže. Male slobodne vibracije mehaničkog sustava s jednim stupnjem slobode u blizini položaja stabilne ravnoteže sustava i njihova svojstva.

Elementi teorije udara. Fenomen udara. Udarna sila i udarni impuls. Djelovanje udarne sile na materijalnu točku. Teorem o promjeni količine gibanja mehaničkog sustava pri udaru. Izravni središnji udar tijela na nepokretnu površinu; elastični i neelastični udarci. Udarni koeficijent povrata i njegovo eksperimentalno određivanje. Izravni središnji udar dvaju tijela. Carnotov teorem.

BIBLIOGRAFIJA

Osnovni, temeljni

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Kolegij teorijske mehanike. T. 1, 2. M., 1985. i prethodna izdanja.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kolegij teorijske mehanike. M., 1983.

Staržinski V. M. Teorijska mehanika. M., 1980.

Targ S. M. Kratki tečaj teorijske mehanike. M., 1986 i prethodna izdanja.

Yablonsky A. A., Nikiforova V. M. Kolegij teorijske mehanike. Dio 1. M., 1984 i prethodna izdanja.

Yablonsky A. A. Kolegij teorijske mehanike. Dio 2. M., 1984 i prethodna izdanja.

Meščerski I. V. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike. M., 1986 i prethodna izdanja.

Zbirka zadataka iz teorijske mehanike/Ur. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Dodatni

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Teorijska mehanika u primjerima i problemima. Dijelovi 1, 2. M., 1984. i prethodna izdanja.

Zbirka zadataka iz teorijske mehanike/5razhnichen/so N. A., Kan V. L., Mintzberg B. L. i drugi, M., 1987.

Novožilov I. V., Zacepin M. F. Tipični računalni proračuni u teorijskoj mehanici. M., 1986.,

Zbirka zadataka za kolegij o teorijskoj mehanici / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 i prethodna izdanja (sadrži primjere rješavanja problema).

Korištenje zdravstvenog osiguranja u rješavanju problema povezano je s određenim poteškoćama. Stoga se između karakteristika gibanja i sila obično uspostavljaju dodatni odnosi koji su pogodniji za praktična aplikacija. Takvi odnosi su opći teoremi dinamike. Oni, kao posljedice OMS-a, uspostavljaju odnose između brzine promjene nekih posebno uvedenih mjera kretanja i karakteristika vanjskih sila.

Teorem o promjeni količine gibanja. Uvedimo pojam vektora količine gibanja (R. Descartes) materijalne točke (sl. 3.4):

I i = t V G (3.9)

Riža. 3.4.

Za sustav uvodimo koncept glavni vektor impulsa sustava kao geometrijski zbir:

Q = Y, m " V r

U skladu s OZMS: Xu, -^=i) ili X

R (E) .

Uzimajući u obzir da je /w, = const dobivamo: -Ym,!" = R (E),

ili u konačnom obliku

dO/di = A (E (3.11)

oni. prva derivacija po vremenu glavnog vektora količine gibanja sustava jednaka je glavnom vektoru vanjskih sila.

Teorem o gibanju centra mase. Središte mase sustava zove se geometrijska točka čiji položaj ovisi o T, itd. iz raspodjele masa /g/, u sustavu i određuje se izrazom za radijus vektor centra mase (sl. 3.5):

Gdje g s - radijus vektor centra mase.

Riža. 3.5.

Nazovimo = t s masom sustava. Nakon množenja izraza

primjenom (3.12) na nazivnik i diferenciranjem obje strane dobivenog

imat ćemo vrijednu jednakost: g s t s = ^t.U. = 0, ili 0 = t s U s.

Dakle, glavni vektor količine gibanja sustava jednak je umnošku mase sustava i brzine centra mase. Koristeći teorem o promjeni količine gibanja (3.11), dobivamo:

t s dU s / dí = A (E) , ili

Formula (3.13) izražava teorem o kretanju središta mase: središte mase sustava kreće se kao materijalna točka koja ima masu sustava, na koju djeluje glavni vektor vanjskih sila.

Teorem o promjeni kutne količine gibanja. Uvedimo pojam kutne količine gibanja materijalne točke kao vektorskog umnoška njezina radijus vektora i količine gibanja:

za oh = bl x da, (3.14)

Gdje za OI - kutni moment materijalne točke u odnosu na fiksnu točku OKO(Slika 3.6).

Sada definiramo kutni moment mehaničkog sustava kao geometrijski zbroj:

K() = X ko, = ŠU, ? O-15>

Diferenciranjem (3.15) dobivamo:

Ґ sek--- X t i U. + g u x t i

S obzirom na to = U G U i x t i u i= 0 i formule (3.2) dobivamo:

síK a /s1í̈ - í̈ 0 .

Na temelju drugog izraza u (3.6) konačno ćemo imati teorem o promjeni kutne količine gibanja sustava:

Prva vremenska derivacija momenta količine gibanja mehaničkog sustava u odnosu na nepomično središte O jednaka je glavnom momentu vanjskih sila koje djeluju na taj sustav u odnosu na isto središte.

Pri izvođenju relacije (3.16) pretpostavljeno je da OKO- fiksna točka. Međutim, može se pokazati da se u nizu drugih slučajeva oblik relacije (3.16) neće promijeniti, osobito ako je u ravninskom gibanju trenutna točka odabrana u središtu mase, trenutnom središtu brzina ili ubrzanja. Osim toga, ako je točka OKO poklapa s pokretnom materijalnom točkom, jednakost (3.16) zapisana za tu točku pretvorit će se u identitet 0 = 0.

Teorem o promjeni kinetičke energije. Kada se mehanički sustav kreće, mijenjaju se i "vanjska" i unutarnja energija sustava. Ako karakteristike unutarnjih sila, glavni vektor i glavni moment, ne utječu na promjenu glavnog vektora i glavnog momenta broja ubrzanja, tada unutarnje sile mogu se uključiti u ocjenu procesa energetskog stanja sustava. Stoga, kada se razmatraju promjene energije sustava, potrebno je uzeti u obzir kretanja pojedinih točaka, na koje također djeluju unutarnje sile.

Kinetička energija materijalne točke definirana je kao veličina

T^tuTsg. (3.17)

Kinetička energija mehaničkog sustava jednaka je zbroju kinetičkih energija materijalnih točaka sustava:

primijeti da T > 0.

Definirajmo snagu sile kao skalarni umnožak vektora sile i vektora brzine:

Promotrimo kretanje određenog sustava materijalnih objekata u odnosu na fiksni koordinatni sustav. Kada sustav nije slobodan, tada se može smatrati slobodnim ako odbacimo veze nametnute sustavu i zamijenimo njihovo djelovanje odgovarajućim reakcijama.

Podijelimo sve sile koje djeluju na sustav na vanjske i unutarnje; oba mogu uključivati ​​reakcije odbačenog

veze. Označimo s i glavni vektor i glavni moment vanjskih sila u odnosu na točku A.

1. Teorem o promjeni količine gibanja. Ako je količina gibanja sustava, tada (vidi)

odnosno vrijedi teorem: vremenska derivacija količine gibanja sustava jednaka je glavnom vektoru svih vanjskih sila.

Zamjenom vektora njegovim izrazom gdje je masa sustava, brzina centra mase, jednadžba (4.1) se može dati u drugom obliku:

Ova jednakost znači da se središte mase sustava giba poput materijalne točke čija je masa jednaka masi sustava i na koju djeluje sila koja je geometrijski jednaka glavnom vektoru svih vanjskih sila sustava. Posljednja tvrdnja naziva se teorem o gibanju središta mase (centra tromosti) sustava.

Ako tada iz (4.1) slijedi da je vektor količine gibanja konstantan po veličini i smjeru. Projicirajući ga na koordinatnu os, dobivamo tri skalarna prva integrala, diferencijalne jednadžbe dvostruke kape sustava:

Ti se integrali nazivaju integrali impulsa. Kada je brzina centra mase konstantna, tj. giba se jednoliko i pravocrtno.

Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju os, npr. na os, jednaka nuli, tada imamo jedan prvi integral, ili ako su dvije projekcije glavnog vektora jednake nuli, tada postoje dva integrali količine gibanja.

2. Teorem o promjeni kutne količine gibanja. Neka je A neka proizvoljna točka u prostoru (pokretna ili nepokretna), koja se ne mora nužno poklapati s nekom određenom materijalnom točkom sustava tijekom cijelog vremena gibanja. Njegovu brzinu u nepomičnom koordinatnom sustavu označavamo s Teorem o promjeni kinetičkog momenta materijalnog sustava u odnosu na točku A ima oblik

Ako je točka A fiksna, tada jednakost (4.3) poprima jednostavniji oblik:

Ova jednakost izražava teorem o varijaciji kutne količine gibanja sustava u odnosu na fiksnu točku: vremenska derivacija kutne količine gibanja sustava, izračunata u odnosu na neku fiksnu točku, jednaka je glavnom momentu svih vanjskih sila u odnosu na do ove točke.

Ako je tada prema (4.4) vektor kutne količine gibanja konstantan po veličini i smjeru. Projicirajući ga na koordinatne osi, dobivamo skalarne prve integrale diferencijalnih jednadžbi dvostrukog sustava:

Ti se integrali nazivaju integrali impulsa ili integrali površine.

Ako se točka A poklapa sa središtem mase sustava, tada prvi član s desne strane jednakosti (4.3) nestaje i teorem o promjeni kutne količine gibanja ima isti oblik zapisa (4.4) kao u slučaju fiksnu točku A. Imajte na umu (vidi str. 4 § 3) da se u slučaju koji razmatramo apsolutni kutni moment sustava na lijevoj strani jednakosti (4.4) može zamijeniti jednakim kutnim momentom sustava u svom kretanju u odnosu na centar mase.

Neka je neka konstantna os ili os konstantnog smjera koja prolazi kroz središte mase sustava, i neka je kinetički moment sustava u odnosu na tu os. Iz (4.4) slijedi da

gdje je moment vanjskih sila u odnosu na os. Ako tijekom cijelog gibanja imamo prvi integral

U radovima S.A. Chaplygina dobiveno je nekoliko generalizacija teorema o promjeni kinetičke količine gibanja, koje su zatim primijenjene za rješavanje niza problema o kotrljajućim loptama. U radovima su sadržane daljnje generalizacije teorema o promjeni mehaničkog momenta i njihove primjene u problemima dinamike krutog tijela. Glavni rezultati ovih radova vezani su uz teorem o promjeni kinetičke količine gibanja u odnosu na pokretnu, koja stalno prolazi kroz neku pokretnu točku A. Neka je jedinični vektor usmjeren duž ove osi. Množenjem skalarno s obje strane jednakosti (4.3) i dodavanjem člana njezina dva dijela dobivamo

Kada je ispunjen kinematski uvjet

Jednadžba (4.5) slijedi iz (4.7). A ako je uvjet (4.8) zadovoljen tijekom cijelog gibanja, tada prvi integral (4.6) postoji.

Ako su veze sustava idealne i dopuštaju, među virtualnim pomacima, rotaciju sustava kao krutog tijela oko osi i, tada je glavni moment reakcija u odnosu na os i jednak nuli, a tada je vrijednost na desna strana jednadžbe (4.5) predstavlja glavni moment svih vanjskih djelatnih sila u odnosu na os i . Jednakost nuli ovog momenta i valjanost relacije (4.8) bit će u razmatranom slučaju dovoljni uvjeti za postojanje integrala (4.6).

Ako je smjer osi i konstantan, tada će se uvjet (4.8) napisati u obliku

Ova jednakost znači da su projekcije brzine centra mase i brzine točke A na os i na ravninu okomitu na nju paralelne. U radu S.A. Chaplygina, umjesto (4.9), manje od opće stanje gdje je X proizvoljna konstantna vrijednost.

Uočimo da uvjet (4.8) ne ovisi o izboru točke na . Doista, neka je P proizvoljna točka na osi. Zatim

i stoga

Zaključno, bilježimo Rézalovu geometrijsku interpretaciju jednadžbi (4.1) i (4.4): vektori apsolutne brzine krajeva vektora i jednaki su glavnom vektoru i glavnom momentu svih vanjskih sila u odnosu na točku A. .