Pour déterminer l'aire d'un triangle, vous pouvez utiliser différentes formules. De toutes les méthodes, la plus simple et la plus fréquemment utilisée consiste à multiplier la hauteur par la longueur de la base puis à diviser le résultat par deux. Cependant, cette méthode est loin d’être la seule. Ci-dessous, vous pouvez lire comment trouver l'aire d'un triangle à l'aide de différentes formules.

Séparément, nous examinerons les moyens de calculer l'aire de types spécifiques de triangles - rectangulaires, isocèles et équilatéraux. Nous accompagnons chaque formule d'une courte explication qui vous aidera à comprendre son essence.

Méthodes universelles pour trouver l'aire d'un triangle

Les formules ci-dessous utilisent une notation spéciale. Nous allons décrypter chacun d'eux :

• a, b, c – les longueurs des trois côtés de la figure que nous considérons ;
• r est le rayon du cercle pouvant être inscrit dans notre triangle ;
• R est le rayon du cercle qui peut être décrit autour de lui ;
• α est la grandeur de l'angle formé par les côtés b et c ;
• β est la grandeur de l'angle entre a et c ;
• γ est la grandeur de l'angle formé par les côtés a et b ;
• h est la hauteur de notre triangle, abaissé de l'angle α au côté a ;
• p – la moitié de la somme des côtés a, b et c.

Il est logiquement clair pourquoi vous pouvez trouver l'aire d'un triangle de cette manière. Le triangle peut facilement être complété en un parallélogramme, dans lequel un côté du triangle fera office de diagonale. L'aire d'un parallélogramme se trouve en multipliant la longueur d'un de ses côtés par la valeur de la hauteur qui y est dessinée. La diagonale divise ce parallélogramme conditionnel en 2 triangles identiques. Il est donc bien évident que l'aire de notre triangle d'origine doit être égale à la moitié de l'aire de ce parallélogramme auxiliaire.

S=½ a b sin γ

Selon cette formule, l'aire d'un triangle se trouve en multipliant les longueurs de ses deux côtés, c'est-à-dire a et b, par le sinus de l'angle qu'ils forment. Cette formule dérive logiquement de la précédente. Si l'on abaisse la hauteur de l'angle β au côté b, alors, selon les propriétés triangle rectangle, en multipliant la longueur du côté a par le sinus de l'angle γ, on obtient la hauteur du triangle, c'est-à-dire h.

L'aire de la figure en question se trouve en multipliant la moitié du rayon du cercle qui peut y être inscrit par son périmètre. Autrement dit, on trouve le produit du demi-périmètre et du rayon du cercle mentionné.

S = a b c/4R

Selon cette formule, la valeur dont nous avons besoin peut être trouvée en divisant le produit des côtés de la figure par 4 rayons du cercle décrit autour d'elle.

Ces formules sont universelles, car elles permettent de déterminer l'aire de n'importe quel triangle (scalène, isocèle, équilatéral, rectangulaire). Cela peut également se faire à l'aide de calculs plus complexes, sur lesquels nous ne nous attarderons pas en détail.

Aires de triangles avec des propriétés spécifiques

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle ? La particularité de cette figure est que ses deux côtés sont simultanément ses hauteurs. Si a et b sont des jambes et que c devient l'hypoténuse, alors nous trouvons l'aire comme ceci :

Comment trouver l'aire d'un triangle isocèle ? Il a deux côtés de longueur a et un côté de longueur b. Par conséquent, son aire peut être déterminée en divisant par 2 le produit du carré du côté a par le sinus de l'angle γ.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral ? Dans celui-ci, la longueur de tous les côtés est égale à a et la grandeur de tous les angles est α. Sa hauteur est égale à la moitié du produit de la longueur du côté a et de la racine carrée de 3. Pour trouver l'aire d'un triangle régulier, il faut multiplier le carré du côté a par la racine carrée de 3 et diviser par 4.

Depuis sommet opposé) et divisez le produit obtenu par deux. Cela ressemble à ceci :

S = ½ * a * h,

Où:
S – aire du triangle,
a est la longueur de son côté,
h est la hauteur abaissée de ce côté.

La longueur et la hauteur des côtés doivent être présentées dans les mêmes unités de mesure. Dans ce cas, l’aire du triangle sera obtenue dans les unités « » correspondantes.

Exemple.
D'un côté d'un triangle scalène de 20 cm de long, une perpendiculaire au sommet opposé de 10 cm de long est abaissée.
L'aire du triangle est obligatoire.
Solution.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Si les longueurs de deux côtés quelconques d'un triangle scalène et l'angle entre eux sont connus, utilisez la formule :

S = ½ * a * b * sinγ,

où : a, b sont les longueurs de deux côtés arbitraires et γ est l'angle entre eux.

En pratique, par exemple, lors de la mesure de terrains, l'utilisation des formules ci-dessus est parfois difficile, car elle nécessite une construction et une mesure d'angles supplémentaires.

Si vous connaissez les longueurs des trois côtés d’un triangle scalène, utilisez la formule de Heron :

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – longueurs des côtés du triangle,
p – demi-périmètre : p = (a+b+c)/2.

Si, en plus des longueurs de tous les côtés, le rayon du cercle inscrit dans le triangle est connu, alors utilisez la formule compacte suivante :

où : r – rayon du cercle inscrit (р – demi-périmètre).

Pour calculer l'aire d'un triangle scalène et la longueur de ses côtés, utilisez la formule :

où : R – rayon du cercle circonscrit.

Si la longueur d'un des côtés du triangle et trois angles sont connus (en principe, deux suffisent - la valeur du troisième est calculée à partir de l'égalité de la somme des trois angles du triangle - 180º), alors utilisez la formule:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

où α est la valeur de l'angle opposé au côté a ;
β, γ – valeurs des deux angles restants du triangle.

Le besoin de trouver divers éléments, y compris les zones Triangle, apparu plusieurs siècles avant JC parmi les astronomes érudits La Grèce ancienne. Carré Triangle peut être calculé différentes façons en utilisant différentes formules. La méthode de calcul dépend des éléments Triangle connu.

Instructions

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de deux côtés b, c et l'angle qu'ils forment ?, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = (bcsin?)/2.

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de deux côtés a, b et l'angle qu'ils ne forment pas ?, alors l'aire Triangle ABC se trouve comme suit :
Trouver l'angle ?, péché ? = bsin?/a, puis utilisez le tableau pour déterminer l'angle lui-même.
Trouver l'angle ?, ? = 180°-?-?.
On retrouve l'aire elle-même S = (absine ?)/2.

Si à partir de la condition nous connaissons les valeurs de seulement trois côtés Triangle a, b et c, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), où p est le demi-périmètre p = (a+b+c)/2

Si, à partir des conditions problématiques, nous connaissons la hauteur Triangle h et le côté vers lequel cette hauteur est abaissée, puis la surface Triangle ABC selon la formule :
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Si nous connaissons la signification des côtés Triangle a, b, c et le rayon décrit à ce sujet Triangle R, alors l'aire de ceci Triangle ABC est déterminé par la formule :
S = abc/4R.
Si trois côtés a, b, c et le rayon de ce qui est inscrit dans sont connus, alors l'aire Triangle ABC se trouve par la formule :
S = pr, où p est le demi-périmètre, p = (a+b+c)/2.

Si ABC est équilatéral, alors l'aire est trouvée par la formule :
S = (a^2v3)/4.
Si le triangle ABC est isocèle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = (cv(4a^2-c^2))/4, où c – Triangle.
Si le triangle ABC est rectangle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = ab/2, où a et b sont des jambes Triangle.
Si le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle, alors l'aire est déterminée par la formule :
S = c^2/4 = a^2/2, où c est l'hypoténuse Triangle, a=b – jambe.

Vidéo sur le sujet

Sources:

• comment mesurer l'aire d'un triangle

Astuce 3 : Comment trouver l'aire d'un triangle si l'angle est connu

Connaître un seul paramètre (l'angle) ne suffit pas pour trouver l'aire tre carré . S'il existe des dimensions supplémentaires, pour déterminer la zone, vous pouvez choisir l'une des formules dans lesquelles la valeur de l'angle est également utilisée comme l'une des variables connues. Plusieurs des formules les plus fréquemment utilisées sont indiquées ci-dessous.

Instructions

Si, en plus de la taille de l'angle (γ) formé par les deux côtés tre carré , les longueurs de ces côtés (A et B) sont également connues, alors carré(S) d'une figure peut être défini comme la moitié du produit des longueurs des côtés et du sinus de cet angle connu : S=½×A×B×sin(γ).

Aire d'un triangle - formules et exemples de résolution de problèmes

Ci-dessous sont formules pour trouver l'aire d'un triangle arbitraire qui conviennent pour trouver l'aire de n'importe quel triangle, quels que soient ses propriétés, ses angles ou ses tailles. Les formules sont présentées sous forme d'image, avec des explications sur leur application ou une justification de leur exactitude. Les correspondances sont également indiquées dans une figure séparée désignations de lettres dans les formules et symboles graphiques sur le dessin.

Note . Si le triangle a propriétés spéciales(isocèle, rectangulaire, équilatéral), vous pouvez utiliser les formules données ci-dessous, ainsi que des formules spéciales supplémentaires qui ne sont valables que pour les triangles ayant ces propriétés :

• "Formules pour l'aire d'un triangle équilatéral"

Formules d'aire triangulaire

Explications des formules:
une, b, c- les longueurs des côtés du triangle dont on veut trouver l'aire
r- rayon du cercle inscrit dans le triangle
R.- rayon du cercle circonscrit au triangle
h- hauteur du triangle abaissé sur le côté
p- demi-périmètre d'un triangle, 1/2 de la somme de ses côtés (périmètre)
α - angle opposé au côté a du triangle
β - angle opposé au côté b du triangle
γ - angle opposé au côté c du triangle
h un, h b , h c- hauteur du triangle abaissé des côtés a, b, c

Veuillez noter que les notations données correspondent à la figure ci-dessus, de sorte que lors de la résolution d'un problème de géométrie réel, il vous sera visuellement plus facile de substituer les valeurs correctes aux bons endroits dans la formule.

• L'aire du triangle est la moitié du produit de la hauteur du triangle et de la longueur du côté dont cette hauteur est abaissée(Formule 1). L'exactitude de cette formule peut être comprise logiquement. La hauteur abaissée jusqu'à la base divisera un triangle arbitraire en deux rectangles. Si vous construisez chacun d'eux dans un rectangle de dimensions b et h, alors évidemment l'aire de ces triangles sera égale exactement à la moitié de l'aire du rectangle (Spr = bh)
• L'aire du triangle est la moitié du produit de ses deux côtés par le sinus de l'angle qui les sépare(Formule 2) (voir un exemple de résolution d'un problème en utilisant cette formule ci-dessous). Malgré le fait qu'il semble différent du précédent, il peut facilement s'y transformer. Si nous abaissons la hauteur de l'angle B au côté b, il s'avère que le produit du côté a et du sinus de l'angle γ, selon les propriétés du sinus dans un triangle rectangle, est égal à la hauteur du triangle que nous avons dessiné , ce qui nous donne la formule précédente
• L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée à travers travail la moitié du rayon du cercle qui y est inscrit par la somme des longueurs de tous ses côtés(Formule 3), en termes simples, vous devez multiplier le demi-périmètre du triangle par le rayon du cercle inscrit (c'est plus facile à retenir)
• L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée en divisant le produit de tous ses côtés par 4 rayons du cercle circonscrit autour de lui (Formule 4)
• La formule 5 consiste à trouver l'aire d'un triangle à travers les longueurs de ses côtés et son demi-périmètre (la moitié de la somme de tous ses côtés)
• La formule du héron(6) est une représentation de la même formule sans utiliser la notion de demi-périmètre, uniquement à travers les longueurs des côtés
• L'aire d'un triangle arbitraire est égale au produit du carré du côté du triangle et des sinus des angles adjacents à ce côté divisé par le double sinus de l'angle opposé à ce côté (Formule 7)
• L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée comme le produit de deux carrés du cercle circonscrit autour de lui par les sinus de chacun de ses angles. (Formule 8)
• Si la longueur d'un côté et les valeurs de deux angles adjacents sont connues, alors l'aire du triangle peut être trouvée comme le carré de ce côté divisé par la double somme des cotangentes de ces angles (Formule 9)
• Si seule la longueur de chacune des hauteurs du triangle est connue (Formule 10), alors l'aire d'un tel triangle est inversement proportionnelle aux longueurs de ces hauteurs, comme selon la formule de Héron
• La Formule 11 permet de calculer aire d'un triangle basée sur les coordonnées de ses sommets, qui sont spécifiés sous forme de valeurs (x;y) pour chacun des sommets. Veuillez noter que la valeur résultante doit être prise modulo, car les coordonnées des sommets individuels (ou même de tous) peuvent se situer dans la région des valeurs négatives.

Note. Voici des exemples de résolution de problèmes de géométrie pour trouver l'aire d'un triangle. Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas similaire ici, écrivez-le sur le forum. Dans les solutions, au lieu du symbole " Racine carrée" on peut utiliser la fonction sqrt(), dans laquelle sqrt est le symbole de la racine carrée, et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses.Parfois, pour des expressions radicales simples, le symbole peut être utilisé √

Tâche. Trouver l'aire donnée par deux côtés et l'angle entre eux

Les côtés du triangle mesurent 5 et 6 cm. L'angle entre eux est de 60 degrés. Trouver l'aire du triangle.

Solution.

Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule numéro deux de la partie théorique de la leçon.
L'aire d'un triangle peut être trouvée à travers les longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare et sera égale à
S = 1/2 ab sin γ

Puisque nous disposons de toutes les données nécessaires à la solution (selon la formule), nous ne pouvons substituer que les valeurs des conditions du problème dans la formule :
S = 1/2 * 5 * 6 * péché 60

Dans le tableau des valeurs fonctions trigonométriques Trouvons et remplaçons la valeur du sinus 60 degrés dans l'expression. Ce sera égal à la racine de trois fois deux.
S = 15 √3 / 2

Répondre: 7,5 √3 (selon les exigences du professeur, vous pouvez probablement laisser 15 √3/2)

Tâche. Trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Trouvez l'aire d'un triangle équilatéral de côté 3 cm.

Solution .

L'aire d'un triangle peut être trouvée à l'aide de la formule de Heron :

S = 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Puisque a = b = c, la formule de l'aire d'un triangle équilatéral prend la forme :

S = √3 / 4 * une 2

S = √3 / 4 * 3 2

Répondre: 9 √3 / 4.

Tâche. Changement de surface lors du changement de longueur des côtés

Combien de fois l'aire du triangle augmentera-t-elle si les côtés sont augmentés de 4 fois ?

Solution.

Puisque les dimensions des côtés du triangle nous sont inconnues, pour résoudre le problème nous supposerons que les longueurs des côtés sont respectivement égales nombres arbitraires une, b, c. Ensuite, afin de répondre à la question du problème, nous trouverons l'aire du triangle donné, puis nous trouverons l'aire du triangle dont les côtés sont quatre fois plus grands. Le rapport des aires de ces triangles nous donnera la réponse au problème.

Ci-dessous, nous fournissons une explication textuelle de la solution au problème étape par étape. Cependant, à la toute fin, cette même solution est présentée sous une forme graphique plus pratique. Ceux qui le souhaitent peuvent immédiatement consulter la solution.

Pour résoudre, on utilise la formule de Héron (voir ci-dessus dans la partie théorique de la leçon). Cela ressemble à ceci :

S = 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir première ligne de l'image ci-dessous)

Les longueurs des côtés d'un triangle arbitraire sont spécifiées par les variables a, b, c.
Si les côtés sont augmentés de 4 fois, alors l'aire du nouveau triangle c sera :

S 2 = 1/4 carré ((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(voir deuxième ligne dans l'image ci-dessous)

Comme vous pouvez le voir, 4 est un facteur commun qui peut être retiré des parenthèses des quatre expressions selon règles générales mathématiques.
Alors

S 2 = 1/4 carré(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sur la troisième ligne de l'image
S 2 = 1/4 carré(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - quatrième ligne

La racine carrée du nombre 256 est parfaitement extraite, alors retirons-la sous la racine
S 2 = 16 * 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir cinquième ligne de l'image ci-dessous)

Pour répondre à la question posée dans le problème, il suffit de diviser l'aire du triangle obtenu par l'aire de celui d'origine.
Déterminons les rapports de superficie en divisant les expressions les unes par les autres et en réduisant la fraction résultante.

Instructions

Des soirées et les angles sont considérés comme des éléments de base UN. Un triangle est complètement défini par l'un de ses éléments de base suivants : soit trois côtés, soit un côté et deux angles, soit deux côtés et un angle entre eux. Pour l'existence Triangle donné par trois côtés a, b, c, il est nécessaire et suffisant de satisfaire les inégalités dites inégalités Triangle:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Pour la construction Triangle sur trois côtés a, b, c, il faut à partir du point C du segment CB = a tracer au compas un cercle de rayon b. Ensuite, de la même manière, tracez à partir du point B un cercle de rayon égal au côté c. Leur point d'intersection A est le troisième sommet du Triangle ABC, où AB=c, CB=a, CA=b - côtés Triangle. Le problème est que, si les côtés a, b, c satisfont aux inégalités Triangle spécifié à l’étape 1.

Zone S ainsi construite Triangle ABC avec les côtés connus a, b, c, est calculé à l'aide de la formule de Heron :
S = v (p (p-a)(p-b)(p-c)),
où a, b, c sont des côtés Triangle, p – demi-périmètre.
p = (a+b+c)/2

Si un triangle est équilatéral, c'est-à-dire que tous ses côtés sont égaux (a=b=c).Aire Triangle calculé par la formule :
S=(a^2 v3)/4

Si le triangle est rectangle, c'est-à-dire qu'un de ses angles est égal à 90° et que les côtés qui le forment sont des jambes, le troisième côté est l'hypoténuse. DANS dans ce cas carré est égal au produit des jambes divisé par deux.
S=ab/2

Trouver carré Triangle, vous pouvez utiliser l'une des nombreuses formules. Choisissez une formule en fonction des données déjà connues.

Tu auras besoin de

• connaissance des formules pour trouver l'aire d'un triangle

Instructions

Si vous connaissez la taille d'un des côtés et la valeur de la hauteur abaissée de ce côté à partir de l'angle opposé à celui-ci, alors vous pouvez trouver l'aire en utilisant la formule suivante : S = a*h/2, où S est l'aire du triangle, a est l'un des côtés du triangle, et h - hauteur, au côté a.

Il existe une méthode connue pour déterminer l'aire d'un triangle si ses trois côtés sont connus. C'est la formule de Heron. Pour simplifier son enregistrement, une valeur intermédiaire est introduite - semi-périmètre : p = (a+b+c)/2, où a, b, c - . Alors la formule de Heron est la suivante : S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ exponentiation.

Supposons que vous connaissiez l'un des côtés d'un triangle et trois angles. Il est alors facile de trouver l'aire du triangle : S = a²sinα sinγ / (2sinβ), où β est l'angle opposé au côté a, et α et γ sont des angles adjacents au côté.

Vidéo sur le sujet

note

La formule la plus générale et adaptée à tous les cas est la formule de Héron.

Sources:

Astuce 3 : Comment trouver l'aire d'un triangle en fonction de trois côtés

Trouver l'aire d'un triangle est l'un des problèmes les plus courants en planimétrie scolaire. Connaître les trois côtés d'un triangle suffit pour déterminer l'aire de n'importe quel triangle. Dans des cas particuliers de triangles équilatéraux, il suffit de connaître respectivement les longueurs de deux et d'un côté.

Tu auras besoin de

• longueurs des côtés des triangles, formule de Heron, théorème du cosinus

Instructions

La formule de Heron pour l'aire d'un triangle est la suivante : S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Si on écrit le demi-périmètre p, on obtient : S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Vous pouvez dériver une formule pour l'aire d'un triangle à partir de considérations, par exemple en appliquant le théorème du cosinus.

D'après le théorème du cosinus, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). En utilisant les notations introduites, celles-ci peuvent également être écrites sous la forme : b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Par conséquent, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

L'aire d'un triangle est également trouvée par la formule S = a*c*sin(ABC)/2 en utilisant deux côtés et l'angle qui les sépare. Le sinus de l'angle ABC peut être exprimé à travers lui en utilisant l'identité trigonométrique de base : sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). En remplaçant le sinus dans la formule de l'aire et en l'écrivant , vous pouvez arriver à la formule de l’aire du triangle ABC.

Vidéo sur le sujet

Pour travaux de réparation il peut être nécessaire de mesurer carré des murs Cela facilite le calcul de la quantité requise de peinture ou de papier peint. Pour les mesures, il est préférable d'utiliser un ruban à mesurer ou un ruban à mesurer. Les mesures doivent être prises après des murs ont été nivelés.

Tu auras besoin de

• -roulette;
• -échelle.

Instructions

Compter carré murs, vous devez connaître la hauteur exacte des plafonds et également mesurer la longueur le long du sol. Cela se fait comme suit : prenez un centimètre et posez-le sur la plinthe. Habituellement, un centimètre ne suffit pas pour toute la longueur, alors fixez-le dans le coin, puis déroulez-le longueur maximale. À ce stade, faites une marque avec un crayon, notez le résultat obtenu et effectuez d'autres mesures de la même manière, en commençant par le dernier point de mesure.

Plafonds standards dans les modèles typiques - 2 mètres 80 centimètres, 3 mètres et 3 mètres 20 centimètres, selon la maison. Si la maison a été construite avant les années 50, la hauteur réelle est probablement légèrement inférieure à celle indiquée. Si vous calculez carré pour les travaux de réparation, une petite quantité ne fera pas de mal - à considérer en fonction de la norme. Si tu as encore besoin de savoir hauteur réelle- prendre des mesures. Le principe est similaire à la mesure de la longueur, mais vous aurez besoin d'un escabeau.

Multipliez les indicateurs résultants - c'est carré le vôtre des murs. C'est vrai, quand travaux de peinture ou car il faut soustraire carré porte et ouvertures de fenêtres. Pour ce faire, posez un centimètre le long de l'ouverture. Si nous parlons de sur la porte que vous allez changer par la suite, puis effectuez-la avec le cadre de porte, en considérant uniquement carré directement à l'ouverture elle-même. La superficie de la fenêtre est calculée le long du périmètre de son cadre. Après carré fenêtre et porte calculées, soustrayez le résultat de la surface totale résultante de la pièce.

Veuillez noter que la mesure de la longueur et de la largeur de la pièce est effectuée par deux personnes, cela permet de fixer plus facilement un centimètre ou un ruban à mesurer et, par conséquent, d'obtenir un résultat plus précis. Prenez la même mesure plusieurs fois pour vous assurer que les chiffres que vous obtenez sont exacts.

Vidéo sur le sujet

Trouver le volume d'un triangle est vraiment une tâche non triviale. Le fait est qu'un triangle est une figure à deux dimensions, c'est-à-dire il se trouve entièrement dans un seul plan, ce qui signifie qu'il n'a tout simplement pas de volume. Bien sûr, on ne trouve pas quelque chose qui n’existe pas. Mais n'abandonnons pas ! Nous pouvons accepter l'hypothèse suivante : le volume d'une figure bidimensionnelle est son aire. Nous chercherons l'aire du triangle.

Tu auras besoin de

• feuille de papier, crayon, règle, calculatrice

Instructions

Dessinez sur une feuille de papier à l’aide d’une règle et d’un crayon. En examinant attentivement le triangle, vous pouvez vous assurer qu'il n'y a vraiment pas de triangle, puisqu'il est dessiné sur un plan. Étiquetez les côtés du triangle : un côté est le côté "a", l'autre côté "b" et le troisième côté "c". Étiquetez les sommets du triangle avec les lettres « A », « B » et « C ».

Mesurez n'importe quel côté du triangle avec une règle et notez le résultat. Après cela, restaurez la perpendiculaire au côté mesuré à partir du sommet opposé, une telle perpendiculaire sera la hauteur du triangle. Dans le cas représenté sur la figure, la perpendiculaire "h" est restituée du côté "c" à partir du sommet "A". Mesurez la hauteur obtenue avec une règle et notez le résultat de la mesure.

Il peut être difficile pour vous de rétablir la perpendiculaire exacte. Dans ce cas, vous devez utiliser une formule différente. Mesurez tous les côtés du triangle avec une règle. Après cela, calculez le demi-périmètre du triangle « p » en additionnant les longueurs des côtés résultantes et en divisant leur somme par deux. Ayant à votre disposition la valeur du demi-périmètre, vous pouvez utiliser la formule de Héron. Pour ce faire, vous devez prendre la racine carrée de ce qui suit : p(p-a)(p-b)(p-c).

Tu as reçu la valeur requise aire du triangle. Le problème de trouver le volume d’un triangle n’a pas été résolu, mais comme mentionné ci-dessus, le volume ne l’est pas. Vous pouvez trouver un volume qui est essentiellement un triangle dans le monde tridimensionnel. Si nous imaginons que notre triangle d'origine est devenu une pyramide tridimensionnelle, alors le volume d'une telle pyramide sera le produit de la longueur de sa base par l'aire du triangle que nous avons obtenu.

note

Plus vous mesurez avec soin, plus vos calculs seront précis.

Sources:

• Calculateur «Tout pour tout» - un portail pour les valeurs de référence
• volume triangulaire en 2019

Les trois points qui définissent de manière unique un triangle dans le système de coordonnées cartésiennes sont ses sommets. Connaissant leur position par rapport à chacun des axes de coordonnées, vous pouvez calculer tous les paramètres de celui-ci silhouette plate, incluant et limité par son périmètre carré. Cela peut être fait de plusieurs manières.

Instructions

Utilisez la formule de Heron pour calculer la superficie Triangle. Il s'agit des dimensions des trois côtés de la figure, alors commencez vos calculs par . La longueur de chaque côté doit être égale à la racine de la somme des carrés des longueurs de ses projections sur axes de coordonnées. Si l'on note les coordonnées A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) et C(X₃,Y₃,Z₃), les longueurs de leurs côtés peuvent s'exprimer ainsi : AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Pour simplifier les calculs, introduisez une variable auxiliaire - le demi-périmètre (P). Du fait que cela représente la moitié de la somme des longueurs de tous les côtés : P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Vous pouvez trouver plus de 10 formules pour calculer l'aire d'un triangle sur Internet. Beaucoup d'entre elles sont utilisées dans des problèmes avec les côtés et les angles connus d'un triangle. Cependant, il existe un certain nombre d'exemples complexes où, selon les conditions de mission, un seul côté et les angles d'un triangle sont connus, ou le rayon d'un cercle circonscrit ou inscrit et une autre caractéristique. Dans de tels cas, une formule simple ne peut pas être appliquée.

Les formules ci-dessous résoudront 95 pour cent des problèmes dans lesquels vous devez trouver l'aire d'un triangle.
Passons à l'examen des formules d'espace commun.
Considérons le triangle montré dans la figure ci-dessous

Dans la figure et ci-dessous dans les formules, les désignations classiques de toutes ses caractéristiques sont introduites
a,b,c – côtés du triangle,
R – rayon du cercle circonscrit,
r – rayon du cercle inscrit,
h[b],h[a],h[c] – hauteurs tracées conformément aux côtés a,b,c.
alpha, bêta, hamma – angles proches des sommets.

Formules de base pour l'aire d'un triangle

1. L'aire est égale à la moitié du produit du côté du triangle et de la hauteur abaissée de ce côté. Dans le langage des formules, cette définition peut s'écrire ainsi

Ainsi, si le côté et la hauteur sont connus, alors chaque élève trouvera l'aire.
À propos, de cette formule, on peut déduire une relation utile entre les hauteurs

2. Si l'on tient compte du fait que la hauteur d'un triangle passant par le côté adjacent est exprimée par la dépendance

Ensuite la première formule d'aire est suivie des secondes du même type

Regardez attentivement les formules : elles sont faciles à retenir, car le travail implique deux côtés et l'angle qui les sépare. Si nous désignons correctement les côtés et les angles du triangle (comme dans la figure ci-dessus), nous obtiendrons deux côtés a, b et l'angle est relié au troisième Avec (hamma).

3. Pour les angles d'un triangle, la relation est vraie

La dépendance vous permet d'utiliser les formules suivantes pour l'aire d'un triangle dans les calculs :

Les exemples de cette dépendance sont extrêmement rares, mais il ne faut pas oublier qu'une telle formule existe.

4. Si le côté et deux angles adjacents sont connus, alors l'aire est trouvée par la formule

5. La formule pour l'aire en termes de côté et de cotangente des angles adjacents est la suivante

En réorganisant les index, vous pouvez obtenir des dépendances pour d'autres parties.

6. La formule d'aire ci-dessous est utilisée dans les problèmes lorsque les sommets d'un triangle sont spécifiés sur le plan par des coordonnées. Dans ce cas, l'aire est égale à la moitié du déterminant pris modulo.

7. La formule du héron utilisé dans des exemples avec des côtés connus d'un triangle.
Trouvez d’abord le demi-périmètre du triangle

Et puis déterminez la superficie en utilisant la formule

ou

Il est assez souvent utilisé dans le code des programmes de calculatrice.

8. Si toutes les hauteurs du triangle sont connues, alors l'aire est déterminée par la formule

Il est difficile de calculer sur une calculatrice, mais dans les packages MathCad, Mathematica et Maple, la zone est le « temps deux ».

9. Les formules suivantes utilisent les rayons connus des cercles inscrits et circonscrits.

En particulier, si le rayon et les côtés du triangle, ou son périmètre, sont connus, alors l'aire est calculée selon la formule

10. Dans les exemples où les côtés et le rayon ou le diamètre du cercle circonscrit sont donnés, l'aire est trouvée à l'aide de la formule

11. La formule suivante détermine l'aire d'un triangle en termes de côté et d'angles du triangle.

Et enfin - cas particuliers :
Aire d'un triangle rectangle avec les jambes a et b égales à la moitié de leur produit

Formule pour l'aire d'un triangle équilatéral (régulier)=

= un quart du produit du carré du côté par la racine de trois.