Parfois, la tâche se pose - fabriquer un parapluie de protection pour un échappement ou une cheminée, un déflecteur d'échappement pour la ventilation, etc. Mais avant de commencer la fabrication, vous devez créer un motif (ou numériser) pour le matériau. Sur Internet, il existe toutes sortes de programmes pour calculer de tels balayages. Cependant, le problème est si facile à résoudre que vous le calculerez rapidement avec une calculatrice (sur un ordinateur) que vous chercherez, téléchargerez et traiterez ces programmes.

Commençons par une option simple - le développement d'un simple cône. La façon la plus simple d'expliquer le principe de calcul du modèle est avec un exemple.

Supposons que nous devions faire un cône d'un diamètre de D cm et d'une hauteur de H centimètres. Il est tout à fait clair qu'un cercle avec un segment coupé agira comme un blanc. Deux paramètres sont connus - le diamètre et la hauteur. En utilisant le théorème de Pythagore, nous calculons le diamètre du cercle de la pièce (ne le confondez pas avec le rayon achevée cônes). La moitié du diamètre (rayon) et la hauteur forment un triangle rectangle. Alors:

Donc, maintenant nous connaissons le rayon de la pièce et nous pouvons découper le cercle.

Calculer l'angle du secteur à découper du cercle. Nous argumentons comme suit : Le diamètre de la pièce est 2R, ce qui signifie que la circonférence est Pi * 2 * R - c'est-à-dire 6,28*R. On le note L. Le cercle est complet, c'est-à-dire 360 degrés. Et la circonférence du cône fini est Pi * D. On le note Lm. Elle est bien sûr inférieure à la circonférence de la pièce. Nous devons couper un segment avec une longueur d'arc égale à la différence entre ces longueurs. Appliquez la règle du ratio. Si 360 degrés nous donne la circonférence complète de la pièce, l'angle souhaité doit donner la circonférence du cône fini.

À partir de la formule du rapport, nous obtenons la taille de l'angle X. Et le secteur coupé est trouvé en soustrayant 360 - X.

A partir d'une ébauche ronde de rayon R, un secteur d'angle (360-X) doit être découpé. Assurez-vous de laisser une petite bande de matériau qui se chevauche (si le support du cône se chevauche). Après avoir connecté les côtés du secteur coupé, nous obtenons un cône d'une taille donnée.

Par exemple : Nous avons besoin d'un cône de hotte cheminée d'une hauteur (H) de 100 mm et d'un diamètre (D) de 250 mm. Selon la formule de Pythagore, nous obtenons le rayon de la pièce - 160 mm. Et la circonférence de la pièce, respectivement, 160 x 6,28 = 1005 mm. Dans le même temps, la circonférence du cône dont nous avons besoin est de 250 x 3,14 = 785 mm.

Ensuite, nous obtenons que le rapport des angles sera : 785 / 1005 x 360 = 281 degrés. En conséquence, il est nécessaire de couper le secteur 360 - 281 = 79 degrés.

Calcul de l'ébauche d'un tronc de cône.

Un tel détail est parfois nécessaire dans la fabrication d'adaptateurs d'un diamètre à un autre ou pour les déflecteurs Volpert-Grigorovitch ou Khanzhenkov. Ils sont utilisés pour améliorer le tirage dans une cheminée ou un tuyau de ventilation.

La tâche est légèrement compliquée par le fait que nous ne connaissons pas la hauteur de tout le cône, mais seulement sa partie tronquée. En général, il y a trois nombres initiaux : la hauteur du tronc de cône H, le diamètre du trou inférieur (base) D et le diamètre du trou supérieur Dm (à la section transversale du cône plein). Mais nous aurons recours aux mêmes constructions mathématiques simples basées sur le théorème de Pythagore et la similarité.

En effet, il est évident que la valeur (D-Dm)/2 (la moitié de la différence des diamètres) sera liée à la hauteur du tronc de cône H de la même manière que le rayon de la base à la hauteur du cône entier, comme s'il n'était pas tronqué. Nous trouvons la hauteur totale (P) à partir de ce rapport.

(D – Dm)/ 2H = D/2P

D'où Р = D x H / (D-Dm).

Connaissant maintenant la hauteur totale du cône, nous pouvons réduire la solution du problème au précédent. Calculez le développement de la pièce comme pour un cône plein, puis "en soustrayez" le développement de sa partie supérieure inutile. Et nous pouvons calculer directement les rayons de la pièce.

Nous obtenons par le théorème de Pythagore un plus grand rayon de la pièce - Rz. C'est la racine carrée de la somme des carrés de la hauteur P et D/2.

Le plus petit rayon Rm est la racine carrée de la somme des carrés (P-H) et Dm/2.

La circonférence de notre pièce est de 2 x Pi x Rz, soit 6,28 x Rz. Et la circonférence de la base du cône est Pi x D, ou 3,14 x D. Le rapport de leurs longueurs donnera le rapport des angles des secteurs, si nous supposons que l'angle complet dans la pièce est de 360 ​​degrés.

Ceux. X / 360 = 3,14 x D / 6,28 x Rz

D'où X \u003d 180 x D / Rz (C'est l'angle qu'il faut laisser pour obtenir la circonférence de la base). Et vous devez couper en conséquence 360 ​​- X.

Par exemple : Nous devons faire un tronc de cône de 250 mm de haut, diamètre de la base 300 mm, diamètre du trou supérieur 200 mm.

On retrouve la hauteur du cône plein P : 300 x 250 / (300 - 200) = 600 mm

Selon la méthode de Pythagore, on trouve le rayon extérieur de la pièce Rz : La racine carrée de (300/2) ^ 2 + 6002 = 618,5 mm

Par le même théorème, on trouve le plus petit rayon Rm : La racine carrée de (600 - 250)^2 + (200/2)^2 = 364 mm.

Nous déterminons l'angle du secteur de notre pièce : 180 x 300 / 618,5 = 87,3 degrés.

Sur le matériau, nous dessinons un arc avec un rayon de 618,5 mm, puis à partir du même centre - un arc avec un rayon de 364 mm. L'angle de l'arc peut avoir environ 90 à 100 degrés d'ouverture. Nous dessinons des rayons avec un angle d'ouverture de 87,3 degrés. Notre préparation est prête. N'oubliez pas de tenir compte des bords de couture s'ils se chevauchent.

La géométrie en tant que science s'est formée dans l'Égypte ancienne et a atteint un haut niveau de développement. Le célèbre philosophe Platon a fondé l'Académie, où une attention particulière a été accordée à la systématisation des connaissances existantes. Le cône comme l'une des figures géométriques a été mentionné pour la première fois dans le célèbre traité d'Euclide "Les débuts". Euclide connaissait les œuvres de Platon. Maintenant, peu de gens savent que le mot "cône" en grec signifie "pomme de pin". Le mathématicien grec Euclide, qui a vécu à Alexandrie, est à juste titre considéré comme le fondateur de l'algèbre géométrique. Les anciens Grecs sont non seulement devenus les successeurs de la connaissance des Égyptiens, mais ont également considérablement élargi la théorie.

Histoire de la définition d'un cône

La géométrie en tant que science est née des exigences pratiques de la construction et de l'observation de la nature. Peu à peu, les connaissances expérimentales se sont généralisées, et les propriétés de certains corps ont été prouvées à travers d'autres. Les anciens Grecs ont introduit le concept d'axiomes et de preuves. Un axiome est un énoncé obtenu de manière pratique et ne nécessite pas de preuve.

Dans son livre, Euclide a donné la définition d'un cône comme une figure obtenue en faisant tourner un triangle rectangle autour d'une des jambes. Il possède également le théorème principal qui détermine le volume d'un cône. Et l'ancien mathématicien grec Eudoxe de Cnide a prouvé ce théorème.

Un autre mathématicien de la Grèce antique, Apollonius de Perga, qui était un étudiant d'Euclide, a développé et exposé la théorie des surfaces coniques dans ses livres. Il possède la définition d'une surface conique et d'une sécante. Les écoliers de nos jours étudient la géométrie euclidienne, qui a conservé les principaux théorèmes et définitions de l'Antiquité.

Définitions basiques

Un cône circulaire droit est formé par la rotation d'un triangle rectangle autour d'une jambe. Comme vous pouvez le voir, le concept de cône n'a pas changé depuis l'époque d'Euclide.

L'hypoténuse AS d'un triangle rectangle AOS, lorsqu'elle tourne autour de la jambe OS, forme la surface latérale du cône, elle s'appelle donc la génératrice. La jambe OS du triangle tourne simultanément dans la hauteur du cône et son axe. Le point S devient le sommet du cône. La jambe AO, ayant décrit le cercle (base), s'est transformée en rayon du cône.

Si nous dessinons un plan d'en haut passant par le sommet et l'axe du cône, nous pouvons voir que la section axiale résultante est un triangle isocèle, dans lequel l'axe est la hauteur du triangle.

où C- circonférence de la base, je est la longueur de la génératrice du cône, R est le rayon de la base.

La formule pour calculer le volume d'un cône

La formule suivante est utilisée pour calculer le volume d'un cône :

où S est l'aire de la base du cône. Puisque la base est un cercle, son aire est calculée comme suit :

Cela implique:

où V est le volume du cône ;

n est un nombre égal à 3,14 ;

R est le rayon de la base correspondant au segment AO sur la figure 1 ;

H est la hauteur égale au segment OS.

Cône tronqué, volume

Il y a un cône circulaire droit. Si la partie supérieure est coupée par un plan perpendiculaire à la hauteur, alors un cône tronqué sera obtenu. Ses deux bases ont la forme d'un cercle de rayons R 1 et R 2 .

Si un cône droit est formé par la rotation d'un triangle rectangle, alors un cône tronqué est formé par la rotation d'un trapèze rectangle autour du côté droit.

Le volume d'un tronc de cône se calcule à l'aide de la formule suivante :

V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Cône et sa section par un plan

Le Pérou de l'ancien mathématicien grec Apollonius de Perga appartient au travail théorique "Sections coniques". Grâce à ses travaux en géométrie, des définitions de courbes apparaissent : parabole, ellipse, hyperbole. Considérez, et ici le cône.

Prenez un cône circulaire droit. Si le plan le coupe perpendiculairement à l'axe, un cercle se forme dans la section. Lorsque la sécante traverse le cône à un angle par rapport à l'axe, une ellipse est alors obtenue dans la section.

Le plan sécant, perpendiculaire à la base et parallèle à l'axe du cône, forme une hyperbole sur la surface. Un plan coupant le cône à un angle par rapport à la base et parallèle à la tangente au cône crée une courbe sur la surface, appelée parabole.

La solution du problème

Même la simple tâche de fabriquer un seau d'un certain volume nécessite des connaissances. Par exemple, vous devez calculer les dimensions d'un seau pour qu'il ait un volume de 10 litres.

V \u003d 10 l \u003d 10 dm 3;

Le développement du cône a la forme représentée schématiquement sur la figure 3.

L - génératrice du cône.

Pour connaître la surface d'un seau, qui est calculée à l'aide de la formule suivante :

S \u003d n * (R 1 + R 2) * L,

il faut calculer la génératrice. Nous le trouvons à partir de la valeur de volume V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Donc H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

Un cône tronqué est formé par la rotation d'un trapèze rectangle, dont le côté latéral est la génératrice du cône.

L 2 \u003d (R 2- R 1) 2 + H 2.

Nous avons maintenant toutes les données pour construire le dessin du godet.

Pourquoi les seaux à incendie ont-ils la forme d'un cône ?

Qui s'est demandé pourquoi les seaux à incendie avaient une forme conique apparemment étrange ? Et il n'y a pas que ça. Il s'avère que lors de l'extinction d'un incendie, un godet conique présente de nombreux avantages par rapport à un godet conventionnel en forme de cône tronqué.

Tout d'abord, il s'avère que le seau à incendie se remplit d'eau plus rapidement et ne se renverse pas lorsqu'il est transporté. Un cône plus grand qu'un seau ordinaire vous permet de transporter plus d'eau à la fois.

Deuxièmement, l'eau qu'il contient peut être rejetée à une plus grande distance que celle d'un seau conventionnel.

Troisièmement, si le seau conique tombe des mains et tombe dans le feu, alors toute l'eau est versée sur le feu.

Tous ces facteurs permettent de gagner du temps - le principal facteur d'extinction d'un incendie.

Utilisation pratique

Les écoliers se demandent souvent pourquoi apprendre à calculer le volume de divers corps géométriques, y compris un cône.

Et les ingénieurs d'études sont constamment confrontés à la nécessité de calculer le volume des parties coniques des pièces de mécanisme. Ce sont les pointes des perceuses, des pièces de tours et de fraiseuses. La forme du cône permettra aux forets de pénétrer facilement dans le matériau sans nécessiter de badigeonnage initial avec un outil spécial.

Le volume du cône a un tas de sable ou de terre versé sur le sol. Si nécessaire, en effectuant des mesures simples, vous pouvez calculer son volume. Pour certains, la question de savoir comment connaître le rayon et la hauteur d'un tas de sable posera des difficultés. Armés d'un ruban à mesurer, nous mesurons la circonférence du monticule C. En utilisant la formule R \u003d C / 2n, nous déterminons le rayon. En lançant une corde (roulette) par-dessus, on trouve la longueur de la génératrice. Et calculer la hauteur en utilisant le théorème de Pythagore et le volume n'est pas difficile. Bien sûr, un tel calcul est approximatif, mais il permet de déterminer si vous ne vous êtes pas trompé en apportant une tonne de sable au lieu d'un cube.

Certains bâtiments ont la forme d'un cône tronqué. Par exemple, la tour de télévision d'Ostankino se rapproche de la forme d'un cône. Il peut être représenté comme composé de deux cônes placés l'un sur l'autre. Les dômes des anciens châteaux et cathédrales sont un cône dont les anciens architectes ont calculé le volume avec une précision étonnante.

Si vous regardez attentivement les objets environnants, beaucoup d'entre eux sont des cônes :

• entonnoirs pour verser des liquides;
• haut-parleur à pavillon ;
• cônes de stationnement;
• abat-jour pour lampadaire;
• l'arbre de Noël habituel;
• instruments de musique à vent.

Comme on peut le voir dans les exemples ci-dessus, la capacité de calculer le volume d'un cône, sa surface est nécessaire dans la vie professionnelle et quotidienne. Nous espérons que cet article vous aidera.

Définition du cône tronqué

Un cône tronqué peut être obtenu à partir d'un cône ordinaire si un tel cône est coupé par un plan parallèle à la base. Alors la figure qui est entre deux plans (ce plan et la base d'un cône ordinaire) sera appelée tronc de cône.

Il possède deux socles, qui pour un cône circulaire sont des cercles, et l'un d'eux est plus grand que l'autre. Le cône tronqué a aussi la taille- un segment reliant deux bases et perpendiculaire à chacune d'elles.

Calculatrice en ligne

Le cône tronqué peut être direct, alors le centre d'une base est projeté au centre de la seconde. Si le cône incliné, alors une telle projection n'a pas lieu.

Considérons un cône circulaire droit. Le volume de cette figure peut être calculé de plusieurs manières.

La formule du volume d'un cône tronqué en fonction des rayons des bases et de la distance entre elles

Si on nous donne un tronc de cône circulaire, alors nous pouvons trouver son volume en utilisant la formule :

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V =3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R 1 , r 2 r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - rayons des bases du cône ;
h h h- la distance entre ces bases (la hauteur du tronc de cône).

Prenons un exemple.

Trouver le volume d'un tronc de cône si l'on sait que l'aire de la petite base est égale à 64 π cm 2 64\pi\text( cm)^26 4 pi cm2 , gros - 169 π cm 2 169\pi\text( cm)^21 6 9 cm2 , et sa hauteur est 14 cm 14\texte( cm) 1 4 cm.

Décision

S 1 \u003d 64 π S_1 \u003d 64 \ pi S 1 ​ = 6 4 pi
S 2 \u003d 169 π S_2 \u003d 169 \ pi S 2 ​ = 1 6 9
h=14 h=14 h =1 4

Trouver le rayon de la petite base :

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2S 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2 ​

64=r 1 2 64=r_1^2 6 4 = r 1 2 ​

R1=8 r_1=8 r 1 ​ = 8

De même, pour la grande base :

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2S 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9π ⋅ r 2 2 ​

169=r 2 2 169=r_2^2 1 6 9 = r 2 2 ​

R2=13 r_2=13 r 2 ​ = 1 3

Calculer le volume du cône :

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 cm 3 V= \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\approx4938\text(cm)^3V =3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 cm3

Répondre

4938 cm3. 4938\text(cm)^3.4 9 3 8 cm3 .

La formule du volume d'un cône tronqué en fonction des aires des bases et de leur distance au sommet

Disons que nous avons un cône tronqué. Ajoutez-y mentalement la pièce manquante, ce qui en fait un "cône normal" avec un sommet. Ensuite, le volume d'un cône tronqué peut être trouvé comme la différence entre les volumes de deux cônes avec des bases correspondantes et leur distance (hauteur) au sommet du cône.

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V =3 1 ​ ⋅ S ⋅H-3 1 ​ ⋅ s⋅h =3 1 ​ ⋅ (S ⋅H-s⋅h)

S S S est l'aire de la base du grand cône;
HH H est la hauteur de ce (grand) cône ;
s s s- aire de la base du petit cône;
h h h- la hauteur de ce (petit) cône ;

Déterminer le volume du cône tronqué si la hauteur du cône plein est HH H est égal à 10 cm 10\texte(cm) 1 0 cm, rayon de la base inférieure R RR - 5 cm 5\texte(cm)5 cm, plus haut r rr - 4 cm 4\texte( cm)4 cm, et la hauteur du tronc de cône est 8cm 8\texte(cm)8 cm.

Décision

R=5 R=5R= 5
r=4 r=4r= 4
H=10 H=10H= 1 0
H − h = 8 H-h=8H− h= 8 ,
où h hh est la hauteur du petit cône.

Trouver l'aire des deux bases du cône :

$S=\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Trouver la hauteur du petit cône h hh:

$H-h=8$

$h=H-8$

$h=10-8$

$h=2$

Le volume est égal à la formule :

$V=31\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{cm3}$

Répondre

$228\text{cm3 .}$

En géométrie, un cône tronqué est un corps formé par la rotation d'un trapèze rectangulaire autour de son côté perpendiculaire à la base. Comment calculent-ils volume de cône tronqué, tout le monde le sait depuis le cours de géométrie de l'école, et dans la pratique, ces connaissances sont souvent utilisées par les concepteurs de diverses machines et mécanismes, les développeurs de certains biens de consommation, ainsi que les architectes.

Calcul du volume d'un tronc de cône

La formule pour calculer le volume d'un cône tronqué

Le volume d'un tronc de cône est calculé par la formule :

h- hauteur du cône

r- rayon de la base supérieure

R- rayon de base inférieur

V- volume du tronc de cône

π - 3,14

Avec des corps géométriques tels que cônes tronqués, dans la vie de tous les jours, tout le monde en rencontre assez souvent, voire constamment. Leur forme présente une grande variété de contenants largement utilisés dans la vie de tous les jours : seaux, verres, certaines tasses. Il va sans dire que les concepteurs qui les ont développés ont dû utiliser une formule qui calcule volume de cône tronqué, car cette valeur est très importante dans ce cas, car elle détermine une caractéristique aussi importante que la capacité du produit.

Les ouvrages d'art, qui sont cônes tronqués, peut souvent être vu dans les grandes entreprises industrielles, ainsi que dans les centrales thermiques et nucléaires. C'est cette forme que les tours de refroidissement ont - des dispositifs conçus pour refroidir de grands volumes d'eau en forçant un contre-courant d'air atmosphérique. Le plus souvent, ces conceptions sont utilisées dans les cas où il est nécessaire de réduire considérablement la température d'une grande quantité de liquide en peu de temps. Les développeurs de ces structures doivent déterminer volume de cône tronqué la formule de calcul qui est assez simple et connue de tous ceux qui ont bien étudié autrefois au lycée.

Les détails ayant cette forme géométrique se retrouvent assez souvent dans la conception de divers dispositifs techniques. Par exemple, les engrenages utilisés dans les systèmes où il est nécessaire de changer le sens de la transmission cinétique sont le plus souvent mis en œuvre à l'aide d'engrenages coniques. Ces pièces font partie intégrante d'une grande variété de boîtes de vitesses, ainsi que des boîtes de vitesses automatiques et manuelles utilisées dans les voitures modernes.

La forme d'un cône tronqué a des outils de coupe largement utilisés dans la production, par exemple des fraises. Avec leur aide, vous pouvez traiter des surfaces inclinées sous un certain angle. Pour affûter les fraises des équipements de travail des métaux et du bois, on utilise souvent des meules abrasives, qui sont également des cônes tronqués. Outre, volume de cône tronqué il est nécessaire de déterminer les concepteurs de machines de tournage et de fraisage, qui impliquent la fixation d'un outil de coupe équipé de queues coniques (forets, alésoirs, etc.).