L'aire de surface latérale d'une pyramide arbitraire est égale à la somme des aires de ses faces latérales. Il est logique de donner une formule spéciale pour exprimer cette aire dans le cas d'une pyramide régulière. Soit donc une pyramide régulière, à la base de laquelle se trouve un n-gon régulier de côté égal à a. Soit h la hauteur de la face latérale, aussi appelée apothème pyramides. L'aire d'une face latérale est égale à 1/2ah, et toute la surface latérale de la pyramide a une aire égale à n/2ha. Puisque na est le périmètre de la base de la pyramide, on peut écrire la formule trouvée sous la forme:

Surface latérale d'une pyramide régulière est égal au produit de son apothème par la moitié du périmètre de la base.

Concernant superficie totale, puis ajoutez simplement la zone de base sur le côté.

Sphère et boule inscrites et décrites... Il est à noter que le centre de la sphère inscrite dans la pyramide se situe à l'intersection des plans bissecteurs des angles dièdres intérieurs de la pyramide. Le centre de la sphère décrite près de la pyramide se situe à l'intersection des plans passant par les milieux des bords de la pyramide et perpendiculaires à ceux-ci.

Pyramide tronquée. Si la pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base, alors la partie comprise entre le plan sécant et la base est appelée pyramide tronquée. La figure montre une pyramide, en écartant sa partie qui se trouve au-dessus du plan de coupe, nous obtenons une pyramide tronquée. Il est clair que la petite pyramide écartée est homothétique de la grande pyramide avec le centre d'homothétie au sommet. Le coefficient de similarité est égal au rapport des hauteurs : k = h 2 / h 1, ou bords latéraux, ou autre correspondant cotes linéaires les deux pyramides. Nous savons que les aires de telles figures sont liées comme des carrés de dimensions linéaires ; ainsi les aires des bases des deux pyramides (c'est-à-dire l'aire des bases de la pyramide tronquée) sont appelées

Ici, S 1 est l'aire de la base inférieure et S 2 est l'aire de la base supérieure de la pyramide tronquée. Les surfaces latérales des pyramides sont dans le même rapport. Il existe une règle similaire pour les volumes.

Volumes de corps similaires se référer à des cubes à leurs dimensions linéaires ; par exemple, les volumes des pyramides sont liés comme les produits de leurs hauteurs sur la surface des bases, d'où notre règle est obtenue immédiatement. Il a un caractère tout à fait général et découle directement du fait que le volume a toujours la dimension de la troisième puissance de la longueur. En utilisant cette règle, nous dérivons une formule exprimant le volume de la pyramide tronquée en fonction de la hauteur et de l'aire des bases.

Soit une pyramide tronquée de hauteur h et d'aires de base S 1 et S 2. Si nous imaginons qu'elle se prolonge jusqu'à une pyramide complète, alors le coefficient de similitude de la pyramide complète et de la petite pyramide peut être facilement trouvé comme la racine du rapport S 2 / S 1. La hauteur de la pyramide tronquée est exprimée par h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). On a maintenant pour le volume de la pyramide tronquée (V 1 et V 2 désignent les volumes des pyramides pleine et petite)

formule de volume de pyramide tronquée

Dérivons la formule de l'aire S de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière passant par les périmètres P 1 et P 2 des bases et la longueur de l'apothème a. Nous argumentons exactement de la même manière que lorsque nous dérivions la formule du volume. Compléter la pyramide Haut, on a P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, où k est le coefficient de similarité, P 1 et P 2 sont les périmètres des bases, et S 1 et S 2 sont les chevaux des surfaces latérales de la pyramide résultante entière et sa partie supérieure, respectivement. Pour la surface latérale, on trouve (a 1 et a 2 sont les apothèmes des pyramides, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formule de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière

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Un cylindre est un corps géométrique délimité par deux plans parallèles et surface cylindrique... Dans cet article, nous allons parler de la façon de trouver l'aire d'un cylindre et, à l'aide de la formule, nous allons résoudre plusieurs problèmes par exemple.

Un cylindre a trois surfaces : le haut, le bas et le flanc.

Le haut et le bas d'un cylindre sont des cercles et sont faciles à identifier.

On sait que l'aire d'un cercle est égale à r 2. Par conséquent, la formule pour l'aire de deux cercles (le haut et le bas du cylindre) sera πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

La troisième surface latérale du cylindre est la paroi incurvée du cylindre. Afin de mieux représenter cette surface, essayons de la transformer pour obtenir une forme reconnaissable. Imaginez qu'un chapeau haut de forme est un ordinaire étain qui n'a pas de couvercle supérieur et inférieur. Faisons une coupe verticale sur la paroi latérale du haut vers le bas de la boîte (étape 1 sur la photo) et essayons d'ouvrir (redresser) la figure résultante autant que possible (étape 2).

Après avoir complètement ouvert le pot obtenu, nous verrons la forme déjà familière (étape 3), il s'agit d'un rectangle. L'aire d'un rectangle est facile à calculer. Mais avant cela, revenons un instant au cylindre d'origine. Le sommet du cylindre d'origine est un cercle, et nous savons que la circonférence est calculée par la formule : L = 2πr. Il est marqué en rouge sur la figure.

Lorsque la paroi latérale du cylindre est complètement ouverte, nous voyons que la circonférence devient la longueur du rectangle résultant. Les côtés de ce rectangle seront la circonférence (L = 2πr) et la hauteur du cylindre (h). L'aire d'un rectangle est égale au produit de ses côtés - S = longueur x largeur = L x h = 2πr x h = 2πrh. En conséquence, nous avons obtenu une formule pour calculer l'aire de la surface latérale d'un cylindre.

Formule de la surface latérale d'un cylindre
côté S. = 2πrh

Surface totale du cylindre

Enfin, si nous additionnons les aires des trois surfaces, nous obtenons la formule de la surface totale d'un cylindre. L'aire de la surface du cylindre est égale à l'aire du sommet du cylindre + l'aire de la base du cylindre + l'aire de la surface latérale du cylindre ou S = πr 2 + r 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Parfois cette expression s'écrit avec la formule identique 2πr (r + h).

La formule de la surface totale d'un cylindre
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h)
r est le rayon du cylindre, h est la hauteur du cylindre

Exemples de calcul de la surface d'un cylindre

Pour comprendre les formules ci-dessus, essayons de calculer la surface d'un cylindre à l'aide d'exemples.

1. Le rayon de la base du cylindre est de 2, la hauteur est de 3. Déterminez l'aire de la surface latérale du cylindre.

La superficie totale est calculée par la formule : côté S. = 2πrh

côté S. = 2 * 3,14 * 2 * 3

côté S. = 6,28 * 6

côté S. = 37,68

La surface latérale du cylindre est de 37,68.

2. Comment trouver la surface d'un cylindre si la hauteur est de 4 et le rayon est de 6 ?

La surface totale est calculée par la formule : S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• Problème 1. Trouver la surface totale de la pyramide
• Problème 2. Trouver la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière

Problème 1... Trouver la surface totale d'une pyramide régulière

Solution.

Un triangle équilatéral se trouve à la base d'une pyramide triangulaire régulière.
Par conséquent, pour résoudre le problème, nous utiliserons les propriétés d'un triangle régulier :

Nous connaissons la hauteur du triangle, d'où nous pouvons trouver son aire.
h = 3 / 2 a
a = h / (√3 / 2)
a = 3 / (√3 / 2)
a = 6 / 3

D'où l'aire de base sera égale à :
S = 3 / 4 a 2
S = 3 / 4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Afin de trouver l'aire de la face latérale, calculez la hauteur KM. L'angle OKM est de 45 degrés selon l'énoncé du problème.
Ainsi:
OK / MK = cos 45
Utilisons le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques et substituons les valeurs connues.

OK / MK = 2 / 2

Prenons en compte que OK est égal au rayon du cercle inscrit. Puis
OK = 3 / 6 a
D'accord = 3 / 6 * 6 / √3 = 1

Puis
OK / MK = 2 / 2
1 / MK = 2 / 2
MK = 2 / 2

L'aire de la face latérale est alors égale à la moitié du produit de la hauteur et de la base du triangle.
Côté = 1/2 (6 / √3) (2 / √2) = 6 / √6

Ainsi, la surface totale de la pyramide sera égale à
S = 3√3 + 3 * 6 / √6
S = 3√3 + 18 / √6

Réponse: 3√3 + 18/√6

Tâche 2... Trouver la surface latérale d'une pyramide régulière

Solution.

Puisque la base d'une pyramide triangulaire régulière est un triangle équilatéral, AO est le rayon d'un cercle circonscrit autour de la base.
(Cela découle de)

Le rayon d'un cercle circonscrit autour d'un triangle équilatéral se trouve à partir de ses propriétés

D'où la longueur des arêtes d'une pyramide triangulaire régulière sera égale à :
AM 2 = MO 2 + AO 2
la hauteur de la pyramide est connue par la condition (10 cm), AO = 16√3 / 3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = (556/3)

Chaque côté de la pyramide est un triangle isocèle. Carré triangle isocèle on retrouve à partir de la première formule présentée ci-dessous

S = 1/2 * 16 carré ((√ (556/3) + 8) (√ (556/3) - 8))
S = 8 pieds carrés ((556/3) - 64)
S = 8 carré (364/3)
S = 16 pieds carrés (91/3)

Puisque les trois faces d'une pyramide régulière sont égales, la surface latérale sera égale à
3S = 48 (91/3)

Réponse: 48 √(91/3)

Problème 3. Trouver la surface totale d'une pyramide régulière

Le côté d'une pyramide triangulaire régulière est de 3 cm et l'angle entre la face latérale et la base de la pyramide est de 45 degrés. Trouver la surface totale de la pyramide.

Solution.
La pyramide étant régulière, un triangle équilatéral se trouve à sa base. Par conséquent, l'aire de la base est


Donc = 9 * 3 / 4

Afin de trouver l'aire de la face latérale, calculez la hauteur KM. L'angle OKM est de 45 degrés selon l'énoncé du problème.
Ainsi:
OK / MK = cos 45
Nous utiliserons

Est une figure polyédrique, à la base de laquelle se trouve un polygone, et les autres faces sont représentées par des triangles avec un sommet commun.

S'il y a un carré à la base, alors la pyramide s'appelle quadrangulaire, si un triangle - alors triangulaire... La hauteur de la pyramide est tirée de son sommet perpendiculaire à la base. Également utilisé pour calculer l'aire apothème- la hauteur de la face latérale descendue de son sommet.
La formule de l'aire de surface latérale d'une pyramide est la somme des aires de ses faces latérales, qui sont égales les unes aux autres. Cependant, cette méthode de calcul est très rarement utilisée. Fondamentalement, l'aire de la pyramide est calculée à travers le périmètre de la base et de l'apothème :

Considérons un exemple de calcul de l'aire de la surface latérale d'une pyramide.

Soit une pyramide de base ABCDE et de sommet F. AB = BC = CD = DE = EA = 3 cm Apothème a = 5 cm Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Trouvons le périmètre. Puisque toutes les faces de la base sont égales, le périmètre du pentagone sera égal à :
Peut maintenant être trouvé zone latérale pyramides :

Aire d'une pyramide triangulaire régulière

Une pyramide triangulaire régulière se compose d'une base dans laquelle se trouve un triangle régulier et de trois faces latérales de même surface.
La formule de la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière peut être calculée différentes façons... Vous pouvez appliquer la formule habituelle de calcul à travers le périmètre et l'apothème, ou vous pouvez trouver l'aire d'un visage et la multiplier par trois. Puisque la face de la pyramide est un triangle, nous appliquerons la formule de l'aire d'un triangle. Il faudra un apothème et une longueur de base. Considérons un exemple de calcul de la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière.

On vous donne une pyramide avec l'apothème a = 4 cm et une facette de la base b = 2 cm Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Tout d'abord, trouvez l'aire de l'une des faces latérales. V dans ce cas Elle sera:
Remplacez les valeurs dans la formule :
Puisque dans une pyramide régulière tous les côtés sont les mêmes, l'aire de la surface latérale de la pyramide sera égale à la somme des aires des trois faces. Respectivement:

Aire de la pyramide tronquée

Tronqué Une pyramide est un polyèdre formé d'une pyramide et de sa section parallèle à la base.
La formule de la surface latérale d'une pyramide tronquée est très simple. L'aire est égale au produit de la moitié de la somme des périmètres des bases par l'apothème :