اغلب اوقات امکان جداسازی وجود دارد ویژگی های مهمحرکت سیستم مکانیکیبدون توسل به یکپارچه سازی سیستم معادلات دیفرانسیلحرکات این با اعمال قضایای عمومی دینامیک به دست می آید.

5.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

نیروهای خارجی و داخلی.هر نیرویی که بر یک نقطه در یک سیستم مکانیکی وارد شود، لزوماً یا یک نیروی فعال یا یک واکنش جفت است. کل مجموعه نیروهای وارد بر نقاط سیستم را می توان به دو دسته متفاوت تقسیم کرد: نیروهای خارجی و نیروهای داخلی (شاخص های e و i - از کلمات لاتین externus - خارجی و internus - داخلی). نیروهای خارجی نیروهایی هستند که بر روی نقاط یک سیستم از نقاط و اجسامی که بخشی از سیستم مورد بررسی نیستند، عمل می کنند. نیروهای برهمکنش بین نقاط و اجسام سیستم مورد بررسی را درونی می نامند.

این تقسیم بندی بستگی به این دارد که محقق کدام نقاط و اجسام مادی را در سیستم مکانیکی مورد بررسی قرار می دهد. اگر ترکیب سیستم را با گنجاندن نقاط و اجسام اضافی گسترش دهیم، آنگاه برخی از نیروهایی که برای سیستم قبلی خارجی بودند، می توانند برای سیستم منبسط شده داخلی شوند.

خواص نیروهای داخلیاز آنجایی که این نیروها نیروهای برهمکنش بین بخش‌های سیستم هستند، در سیستم کامل نیروهای داخلی به صورت "دو" وارد می‌شوند که مطابق با اصل عمل - واکنش سازماندهی شده‌اند. هر یک از این "دو" دارای نقاط قوتی هستند

بردار اصلی و نکته اصلینسبت به یک مرکز دلخواه برابر با صفر است. از آنجا که سیستم کامل نیروهای داخلی فقط از "دو" تشکیل شده است، پس

1) بردار اصلی سیستم نیروهای داخلی صفر است،

2) ممان اصلی سیستم نیروهای داخلی نسبت به یک نقطه دلخواه برابر با صفر است.

جرم سیستم نامیده می شود جمع حسابیجرم tk تمام نقاط و اجسام تشکیل دهنده سیستم:

مرکز جرم(مرکز اینرسی) یک سیستم مکانیکی نقطه هندسی C است که بردار شعاع و مختصات آن با فرمول تعیین می شود.

بردارهای شعاع و مختصات نقاط تشکیل دهنده سیستم کجا هستند.

برای جامد، در یک میدان گرانش یکنواخت قرار دارد، موقعیت های مرکز جرم و مرکز ثقل بر هم منطبق است، در موارد دیگر اینها نقاط هندسی متفاوتی هستند.

همراه با سیستم مرجع اینرسی، یک سیستم مرجع غیر اینرسی که به صورت ترجمه حرکت می کند اغلب به طور همزمان در نظر گرفته می شود. محورهای مختصات آن (محورهای König) طوری انتخاب می شوند که مبدأ C دائماً با مرکز جرم سیستم مکانیکی منطبق باشد. مطابق با تعریف، مرکز جرم در محورهای کونیگ بی حرکت است و در مبدأ مختصات قرار دارد.

لحظه اینرسی سیستمنسبت به یک محور، کمیت اسکالر برابر با مجموع حاصلضرب جرم‌های mk تمام نقاط سیستم با مجذور فاصله آنها تا محور است:

اگر سیستم مکانیکی بدنه ای سفت و سخت است، برای یافتن عدد 12 می توانید از فرمول استفاده کنید

چگالی، حجم اشغال شده توسط بدن کجاست.

وزارت کشاورزی و مواد غذایی جمهوری بلاروس

موسسه آموزشی "کشاورزی دولتی بلاروس

دانشگاه فنی"

گروه مکانیک نظری و نظریه مکانیزم ها و ماشین ها

مکانیک نظری

مجموعه روش شناسی برای دانشجویان رشته های تخصصی

74 06 مهندسی کشاورزی

در 2 قسمت قسمت 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

گردآوری شده توسط:

کاندیدای علوم فیزیک و ریاضی، دانشیار یو. اس بیزا، نامزد علوم فنی، دانشیار ن. L. Rakova، مدرس ارشد. A. Tarasevich

داوران:

گروه مکانیک نظری موسسه آموزشی "دانشگاه فنی ملی بلاروس" (رئیس

گروه مکانیک نظری BNTU دکترای علوم فیزیک و ریاضی، پروفسور ع. V. Chigarev)؛

محقق برجسته آزمایشگاه حفاظت ارتعاشی سیستم های مکانیکی موسسه علمی دولتی موسسه مهندسی مکانیک متحد

NAS بلاروس»، کاندیدای علوم فنی، دانشیار A. M. Goman

مکانیک نظری. بخش "پویا": آموزشی

روش T33. مجتمع در 2 قسمت 1 / گردآوری شده توسط: Yu S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – Minsk: BGATU، 2013. – 120 p.

شابک 978-985-519-616-8.

مجموعه آموزشی و روش شناسی مطالبی را برای مطالعه بخش "دینامیک" قسمت 1 ارائه می دهد که بخشی از رشته "مکانیک نظری" است. شامل یک دوره سخنرانی، مواد اولیه برای اجرا است کلاس های عملی، تکالیف و نمونه تکالیف برای کار مستقل و کنترل فعالیت های آموزشیدانشجویان تمام وقت و پاره وقت.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

مقدمه

مکانیک نظری علم قوانین کلی حرکت مکانیکی، تعادل و اندرکنش اجسام مادی است.

این یکی از رشته های بنیادی عمومی علمی فیزیک و ریاضی است. این اساس نظری فناوری مدرن است.

مطالعه مکانیک نظری در کنار سایر رشته های فیزیکی و ریاضی به گسترش افق های علمی، توسعه توانایی تفکر عینی و انتزاعی کمک می کند و به بهبود فرهنگ فنی عمومی متخصصان آینده کمک می کند.

مکانیک نظری که پایه علمی همه رشته های فنی است، به توسعه مهارت ها کمک می کند. تصمیمات منطقیوظایف مهندسی مربوط به بهره برداری، تعمیر و طراحی ماشین آلات و تجهیزات کشاورزی و احیاء اراضی.

بر اساس ماهیت مسائل مورد بررسی، مکانیک به استاتیک، سینماتیک و دینامیک تقسیم می شود. دینامیک شاخه‌ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام مادی را تحت تأثیر نیروهای وارده مطالعه می‌کند.

در آموزشی و روش شناختیمجتمع (UMK) مطالبی را برای مطالعه بخش "دینامیک" ارائه می دهد که شامل دوره ای از سخنرانی ها، مواد اولیه برای انجام است. کار عملی، وظایف و نمونه های اجرا برای کار مستقلو نظارت بر فعالیت های آموزشی دانشجویان تمام وقت و پاره وقت.

در در نتیجه مطالعه بخش "دینامیک" دانش آموز باید یاد بگیرد مبانی نظریدینامیک و تسلط بر روشهای اساسی حل مسائل دینامیک:

روش های حل مسائل دینامیک را بشناسید، قضایای عمومیدینامیک، اصول مکانیک؛

قادر به تعیین قوانین حرکت بدن بسته به نیروهای وارد بر آن باشد. اعمال قوانین و قضایای مکانیک برای حل مسائل؛ تعیین واکنش های استاتیکی و دینامیکی اتصالات که حرکت اجسام را محدود می کند.

برنامه درسی رشته "مکانیک نظری" تعداد کل ساعت های کلاس درس - 136، از جمله 36 ساعت برای مطالعه بخش "دینامیک" را ارائه می دهد.

1. محتوای علمی و نظری مجتمع آموزشی و روشی.

1.1. واژه نامه

استاتیک بخشی از مکانیک است که دکترین کلی نیروها را بیان می کند و کاهش را مطالعه می کند سیستم های پیچیدهنیروها به ساده ترین شکل و شرایط تعادل برقرار می شود سیستم های مختلفقدرت

سینماتیک شاخه ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام مادی را بدون توجه به دلایل ایجاد این حرکت، یعنی بدون توجه به نیروهای وارد بر این اجسام مطالعه می کند.

دینامیک شاخه ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام (نقاط) مادی را تحت تأثیر نیروهای وارده مطالعه می کند.

نقطه مادی- جسم مادی که تفاوت حرکت نقاط آن ناچیز است.

جرم یک جسم یک کمیت مثبت اسکالر است که به مقدار ماده موجود در یک جسم معین بستگی دارد و اندازه اینرسی آن را در طول حرکت انتقالی تعیین می کند.

سیستم مرجع یک سیستم مختصات مرتبط با جسمی است که در رابطه با آن حرکت جسم دیگری مطالعه می شود.

سیستم اینرسی- سیستمی که در آن قانون اول و دوم دینامیک رعایت می شود.

ضربه نیرو یک اندازه گیری برداری از عمل نیرو در طول مدت زمانی است.

تکانه نقطه مادی - اندازه گیری بردار حرکت آن، برابر حاصلضرب جرم نقطه و بردار سرعت آن.

انرژی جنبشی- اندازه گیری اسکالر حرکت مکانیکی.

کار اولیه نیرویک کمیت اسکالر بینهایت کوچک برابر با حاصل ضرب اسکالر بردار نیرو و بردار جابجایی کوچک بی نهایت نقطه اعمال نیرو است.

انرژی جنبشی- اندازه گیری اسکالر حرکت مکانیکی.

انرژی جنبشی یک نقطه مادی یک انرژی اسکالر است

کمیت مثبت برابر با نصف حاصلضرب جرم یک نقطه و مجذور سرعت آن.

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی - حساب -

مجموع تیک انرژی های جنبشی تمام نقاط مادی این سیستم.

نیرو معیاری از برهمکنش مکانیکی اجسام است که شدت و جهت آن را مشخص می کند.

1.2. موضوعات و محتوای سخنرانی

بخش 1. مقدمه ای بر دینامیک. مفاهیم اساسی

مکانیک کلاسیک

مبحث 1. دینامیک یک نقطه مادی

قوانین دینامیک یک نقطه مادی (قوانین گالیله - نیوتن). معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی. دو مشکل اصلی دینامیک برای یک نقطه مادی. حل مسئله دوم دینامیک; ثابت های ادغام و تعیین آنها با شرایط اولیه

ادبیات:، ص 180-196، ص 12-26.

مبحث 2. دینامیک حرکت نسبی مواد

حرکت نسبی یک نقطه مادی معادلات دیفرانسیل حرکت نسبی یک نقطه; نیروهای اینرسی قابل حمل و کوریولیس. اصل نسبیت در مکانیک کلاسیک یک مورد از صلح نسبی.

ادبیات: ، ص 180-196، ص 127-155.

مبحث 3. هندسه جرم ها. مرکز جرم یک سیستم مکانیکی

جرم سیستم مرکز جرم سیستم و مختصات آن.

ادبیات:، ص 86-93، ص 264-265

مبحث 4. لحظه های اینرسی جسم صلب

گشتاورهای اینرسی جسم صلب نسبت به محور و قطب. شعاع اینرسی. قضیه گشتاورهای اینرسی در مورد محورهای موازی. گشتاورهای محوری اینرسی برخی اجسام.

گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی به عنوان مشخصه عدم تقارن بدنه.

ادبیات: ، ص 265-271، ص 155-173.

بخش 2. قضایای عمومی در مورد دینامیک یک نقطه مادی

و سیستم مکانیکی

مبحث 5. قضیه حرکت مرکز جرم سیستم

قضیه حرکت مرکز جرم سیستم. نتایج حاصل از قضیه حرکت مرکز جرم سیستم.

ادبیات: ، ص 274-277، ، ص 175-192.

مبحث 6. تکانه نقطه مادی

و سیستم مکانیکی

میزان حرکت یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. تکانه اولیه و تکانه نیرو در یک دوره زمانی محدود. قضیه تغییر تکانه نقطه و سیستم در اشکال دیفرانسیل و انتگرال. قانون بقای حرکت

ادبیات: ، ص 280-284، ص 192-207.

مبحث 7. تکانه نقطه مادی

و سیستم مکانیکی نسبت به مرکز و محور

ممان تکانه یک نقطه نسبت به مرکز و محور. قضیه تغییر تکانه زاویه ای یک نقطه. گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی نسبت به مرکز و محور.

گشتاور جنبشی یک جسم صلب در حال چرخش حول محور چرخش. قضیه تغییر در تکانه زاویه ای یک سیستم. قانون بقای تکانه زاویه ای

ادبیات: ، ص 292-298، ص 207-258.

مبحث 8. کار و قدرت نیروها

کار ابتدایی نیرو، بیان تحلیلی آن. کاری که توسط یک نیرو در مسیر نهایی انجام می شود. کار گرانش، نیروی الاستیک. مجموع کارهایی که توسط نیروهای داخلی وارد بر جسم جامد انجام می شود برابر با صفر است. کار نیروهای اعمال شده به جسم صلب که حول یک محور ثابت می چرخد. قدرت. کارایی.

ادبیات: ، ص 208-213، ص 280-290.

مبحث 9. انرژی جنبشی یک نقطه مادی

و سیستم مکانیکی

انرژی جنبشی یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. محاسبه انرژی جنبشی یک جسم صلب در موارد مختلف حرکت آن. قضیه کونیگ. قضیه تغییر انرژی جنبشی یک نقطه در اشکال دیفرانسیل و انتگرال. قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و انتگرال.

ادبیات: ، ص 301-310، ص 290-344.

مبحث 10. میدان نیروی بالقوه و پتانسیل

مفهوم میدان نیرو میدان نیروی بالقوه و تابع نیرو. کار یک نیرو بر روی جابجایی نهایی یک نقطه در میدان نیروی بالقوه. انرژی بالقوه

ادبیات: ، ص 317-320، ص 344-347.

مبحث 11. دینامیک بدنه صلب

معادلات دیفرانسیل حرکت انتقالی یک جسم صلب. معادله دیفرانسیل حرکت چرخشی جسم صلب حول یک محور ثابت. آونگ فیزیکی. معادلات دیفرانسیل حرکت صفحه یک جسم صلب.

ادبیات: ، ص 323-334، صص 157-173.

بخش 1. مقدمه ای بر دینامیک. مفاهیم اساسی

مکانیک کلاسیک

دینامیک شاخه ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام (نقاط) مادی را تحت تأثیر نیروهای وارده مطالعه می کند.

بدن مادی- جسمی که جرم دارد.

نقطه مادی- جسم مادی که تفاوت حرکت نقاط آن ناچیز است. این می تواند یا جسمی باشد که ابعاد آن در حین حرکت نادیده گرفته شود یا اگر به صورت انتقالی حرکت کند جسمی با ابعاد محدود باشد.

به نقاط مادی ذراتی نیز گفته می شود که یک جسم جامد هنگام تعیین برخی از ویژگی های دینامیکی آن از نظر ذهنی در آنها شکسته می شود. نمونه هایی از نقاط مادی (شکل 1): الف – حرکت زمین به دور خورشید. زمین یک نقطه مادی است. b – حرکت انتقالی یک جسم صلب. بدن جامد - مادر

نقطه al، زیرا V B = V A ; a B = a A ; ج – چرخش بدن حول یک محور.

ذره یک جسم یک نقطه مادی است.

اینرسی خاصیت اجسام مادی است که تحت تأثیر نیروهای وارده سرعت حرکت خود را سریعتر یا کندتر تغییر دهند.

جرم یک جسم یک کمیت مثبت اسکالر است که به مقدار ماده موجود در یک جسم معین بستگی دارد و اندازه اینرسی آن را در طول حرکت انتقالی تعیین می کند. در مکانیک کلاسیک جرم یک کمیت ثابت است.

نیرو معیار کمی از برهمکنش مکانیکی بین اجسام یا بین جسم (نقطه) و میدان (الکتریکی، مغناطیسی و غیره) است.

نیرو یک کمیت برداری است که با بزرگی، نقطه اعمال و جهت (خط عمل) مشخص می شود (شکل 2: A - نقطه اعمال؛ AB - خط عمل نیرو).

برنج. 2

در دینامیک، همراه با نیروهای ثابت، نیروهای متغیری نیز وجود دارد که می‌تواند به زمان t، speedϑ، فاصله‌گر، یا ترکیبی از این کمیت‌ها بستگی داشته باشد.

F = const;

F = F(t) ;

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t، r، ϑ).

لوکوموتیو برقی; c - F = F (r) - نیروی دافعه از مرکز O یا جاذبه به آن.

سیستم مرجع یک سیستم مختصات مرتبط با جسمی است که در رابطه با آن حرکت جسم دیگری مطالعه می شود.

سیستم اینرسی سیستمی است که در آن قانون اول و دوم دینامیک رعایت می شود. این یک سیستم مختصات ثابت یا سیستمی است که به طور یکنواخت و خطی حرکت می کند.

حرکت در مکانیک عبارت است از تغییر موقعیت جسم در مکان و زمان نسبت به اجسام دیگر.

فضا در مکانیک کلاسیک سه بعدی است و از هندسه اقلیدسی پیروی می کند.

زمان یک کمیت اسکالر است که در هر سیستم مرجع به طور یکسان جریان دارد.

سیستم واحدها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری است مقادیر فیزیکی. برای اندازه گیری تمام کمیت های مکانیکی، سه واحد اساسی کافی است: واحد طول، زمان، جرم یا نیرو.

سایر واحدهای اندازه گیری کمیت های مکانیکی از این واحدها به دست می آیند. دو نوع سیستم واحد استفاده می شود: سیستم بین المللی واحدهای SI (یا کوچکتر - GHS) و سیستم فنی واحدها - ICGSS.

مبحث 1. دینامیک یک نقطه مادی

1.1. قوانین دینامیک یک نقطه مادی (قوانین گالیله-نیوتن)

قانون اول (قانون اینرسی).

یک نقطه مادی جدا شده از تأثیرات خارجی حالت سکون خود را حفظ می کند یا به طور یکنواخت و مستقیم حرکت می کند تا زمانی که نیروهای وارده آن را مجبور به تغییر این حالت کنند.

حرکتی که توسط یک نقطه در غیاب نیرو یا تحت عمل یک سیستم متعادل از نیروها انجام می شود حرکت با اینرسی نامیده می شود.

به عنوان مثال، حرکت یک جسم در امتداد صاف (نیروی اصطکاک صفر است)

سطح افقی (شکل 4: G - وزن بدن؛ N - واکنش صفحه نرمال).

از آنجایی که G = - N، پس G + N = 0.

وقتی ϑ 0 ≠ 0 بدن با همان سرعت حرکت می کند. هنگامی که ϑ 0 = 0 بدن در حال استراحت است (ϑ 0 سرعت اولیه است).

قانون دوم (قانون پایه دینامیک).

حاصل ضرب جرم یک نقطه و شتابی که تحت تأثیر نیروی معین دریافت می کند، از نظر بزرگی برابر با این نیرو است و جهت آن با جهت شتاب منطبق است.

a ب

از نظر ریاضی، این قانون با برابری برداری بیان می شود

هنگامی که F = 0، a 0 = 0 = ϑ 0 = ثابت - نقطه به طور یکنواخت و مستطیل حرکت می کند یا در ϑ 0 = 0 - در حالت سکون است (قانون اینرسی). دوم

قانون به ما اجازه می دهد تا بین جرم m جسم واقع در نزدیکی سطح زمین و وزن آن ارتباط برقرار کنیم G .G = mg، جایی که g

شتاب گرانش

قانون سوم (قانون برابری کنش و واکنش). دو نقطه مادی با نیروهای مساوی از نظر بزرگی و در امتداد خط مستقیم اتصال بر روی یکدیگر تأثیر می‌گذارند

این نقاط در جهت مخالف هستند.

از آنجایی که نیروهای F 1 = - F 2 به نقاط مختلف اعمال می شود، سیستم نیروها (F 1 , F 2 ) متعادل نیست، یعنی (F 1 , F 2 )≈ 0 (شکل 6).

جرم نقاط برهم کنش با شتاب آنها نسبت معکوس دارد.

قانون چهارم (قانون استقلال عمل نیروها). شتاب دریافتی توسط یک نقطه هنگام عمل همزمان روی آن

اما چندین نیرو، برابر با مجموع هندسی آن شتاب هایی که نقطه دریافت می کند اگر هر نیرو جداگانه به آن وارد شود.

توضیح (شکل 7).

t a n

a 1 a kF n

نیروی حاصل R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

از آنجایی که ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = مرد, پس

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k، یعنی قانون چهارم معادل است

k = 1

قانون اضافه شدن نیروها

1.2. معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی

بگذارید چندین نیرو به طور همزمان روی یک نقطه مادی عمل کنند که در بین آنها هم ثابت و هم متغیر وجود دارد.

اجازه دهید قانون دوم دینامیک را به شکل بنویسیم

نقاط، سپس (1.2) مشتقات r است و معادله دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی به صورت برداری یا معادله اصلی دینامیک یک نقطه مادی است.

پیش بینی برابری برداری (1.2): - بر روی محور مختصات دکارتی (شکل 8، a)

روی محور طبیعی (شکل 8، ب)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

معادلات (1.3) و (1.4) معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی هستند، به ترتیب در محورهای مختصات دکارتی و محورهای طبیعی، یعنی معادلات دیفرانسیل طبیعی که معمولاً برای حرکت منحنی یک نقطه استفاده می شوند، اگر مسیر حرکت نقطه و شعاع انحنای آن مشخص است.

1.3. دو مسئله اصلی دینامیک برای یک نقطه مادی و حل آنها

اولین کار (مستقیم).

با دانستن قانون حرکت و جرم نقطه، نیروی وارد بر نقطه را تعیین کنید.

برای حل این مشکل باید شتاب نقطه را بدانید. در مسائلی از این نوع می توان مستقیماً آن را مشخص کرد یا قانون حرکت یک نقطه را مشخص کرد که مطابق آن می توان آن را تعیین کرد.

1. بنابراین، اگر حرکت یک نقطه در مختصات دکارتی مشخص شود

x = f 1 (t)، y = f 2 (t) و z = f 3 (t)، سپس پیش بینی های شتاب تعیین می شوند

قضیه حرکت مرکز جرم.معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی. قضیه حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی. قانون بقای حرکت مرکز جرم

قضیه تغییر تکانه.میزان حرکت یک نقطه مادی. انگیزه اولیه نیرو نیروی تکانه برای یک دوره زمانی محدود و فرافکنی آن بر روی محورهای مختصات. قضیه تغییر تکانه نقطه مادی در اشکال دیفرانسیل و متناهی.

میزان حرکت یک سیستم مکانیکی؛ بیان آن از طریق جرم سیستم و سرعت مرکز جرم آن. قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و متناهی. قانون بقای تکانه مکانیکی

(مفهوم جسم و نقطه ای با جرم متغیر. معادله مشچرسکی. فرمول Tsiolkovsky.)

قضیه تغییر تکانه زاویه ای.ممان تکانه یک نقطه مادی نسبت به مرکز و نسبت به محور. قضیه تغییر تکانه زاویه ای یک نقطه مادی. قدرت مرکزی پایستگی تکانه زاویه ای یک نقطه مادی در مورد نیروی مرکزی. (مفهوم سرعت بخش. قانون مساحت ها.)

ممان اصلی تکانه یا گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی نسبت به مرکز و نسبت به محور. گشتاور جنبشی یک جسم صلب در حال چرخش حول محور چرخش. قضیه تغییر گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی. قانون بقای تکانه زاویه ای یک سیستم مکانیکی. (قضیه تغییر گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی در حرکت نسبینسبت به مرکز جرم.)

قضیه تغییر انرژی جنبشی.انرژی جنبشی یک نقطه مادی. کار اولیه نیرو؛ بیان تحلیلی کار ابتدایی کاری که توسط نیرویی بر روی جابجایی نهایی نقطه اعمال آن انجام می شود. کار گرانش، نیروی کشسان و نیروی گرانشی. قضیه تغییر انرژی جنبشی یک نقطه مادی در اشکال دیفرانسیل و متناهی.

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی فرمول های محاسبه انرژی جنبشی یک جسم صلب در حین حرکت انتقالی، در حین چرخش حول یک محور ثابت و در مورد کلیحرکت (به ویژه با حرکت صفحه موازی). قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و متناهی. مجموع کار انجام شده توسط نیروهای داخلی در یک جسم جامد برابر با صفر است. کار و قدرت نیروهای اعمال شده به یک جسم صلب که حول یک محور ثابت می چرخد.

مفهوم میدان نیرو میدان نیروی بالقوه و تابع نیرو. بیان پیش بینی نیرو از طریق تابع نیرو. سطوح با پتانسیل برابر کار یک نیرو بر روی جابجایی نهایی یک نقطه در میدان نیروی بالقوه. انرژی بالقوه نمونه ها نیروهای بالقوهمیدان های جدید: میدان گرانشی یکنواخت و میدان گرانشی. قانون بقای انرژی مکانیکی

دینامیک بدنه سفت و سختمعادلات دیفرانسیل حرکت انتقالی یک جسم صلب. معادله دیفرانسیل برای چرخش جسم صلب حول یک محور ثابت. آونگ فیزیکی. معادلات دیفرانسیل حرکت صفحه یک جسم صلب.

اصل دالامبراصل دالامبر برای یک نکته مادی. نیروی اینرسی اصل دالامبر برای یک سیستم مکانیکی. آوردن نیروهای اینرسی نقاط یک جسم صلب به مرکز؛ بردار اصلی و گشتاور اصلی نیروهای اینرسی.

(تعیین واکنش های دینامیکی یاتاقان ها در حین چرخش جسم صلب حول یک محور ثابت. حالتی که محور چرخش محور مرکزی اصلی اینرسی بدنه باشد.)

اصل حرکات ممکن و معادله کلی دینامیک.اتصالات اعمال شده بر روی یک سیستم مکانیکی حرکات ممکن (یا مجازی) یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. تعداد درجات آزادی سیستم. اتصالات ایده آل اصل حرکات ممکن معادله کلیبلندگوها

معادلات حرکت یک سیستم در مختصات تعمیم یافته (معادلات لاگرانژ).مختصات تعمیم یافته سیستم؛ سرعت های تعمیم یافته بیان کار ابتدایی در مختصات تعمیم یافته. نیروهای تعمیم یافته و محاسبه آنها. مورد نیروهای با پتانسیل شرایط تعادل یک سیستم در مختصات تعمیم یافته. معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم در مختصات تعمیم یافته یا معادلات لاگرانژ از نوع دوم. معادلات لاگرانژ در مورد نیروهای بالقوه. تابع لاگرانژ (پتانسیل جنبشی).

مفهوم پایداری تعادل. ارتعاشات کوچک آزاد یک سیستم مکانیکی با یک درجه آزادی نزدیک به موقعیت تعادل پایدار سیستم و خواص آنها.

عناصر تئوری تاثیرپدیده ضربه. نیروی ضربه و ضربه ضربه. اثر نیروی ضربه بر یک نقطه مادی. قضیه تغییر تکانه سیستم مکانیکی بر اثر ضربه. ضربه مرکزی مستقیم بدن بر روی یک سطح ثابت؛ ضربه های الاستیک و غیر ارتجاعی ضریب بازیابی ضربه و تعیین تجربی آن. ضربه مرکزی مستقیم دو جسم. قضیه کارنو.

مراجع

اساسی

بوتنین N.V.، Lunts Ya-L.، Merkin D.R.درس مکانیک نظری. T. 1, 2. M., 1985 و نسخه های قبلی.

Dobronravov V.V.، Nikitin N.N.درس مکانیک نظری. م.، 1983.

استارژینسکی وی. ام.مکانیک نظری. م.، 1980.

تارگ اس ام.دوره کوتاه مکانیک نظری. م.، 1986 و چاپ های قبلی.

یابلونسکی A. A.، Nikiforova V. M.درس مکانیک نظری. قسمت 1. م.، 1984 و چاپ های قبلی.

یابلونسکی A. A.درس مکانیک نظری. قسمت 2. م.، 1984 و چاپ های قبلی.

مشچرسکی I. V.مجموعه مسائل مربوط به مکانیک نظری. م.، 1986 و چاپ های قبلی.

مجموعه مسائل مکانیک نظری / ویرایش. K. S. Kolesnikova. م.، 1983.

اضافی

Bat M. I.، Dzhanelidze G. Yu.، Kelzon A. S.مکانیک نظری در مثال ها و مسائل. قسمت 1، 2. م.، 1984 و چاپ های قبلی.

مجموعه مسائل مکانیک نظری/5razhnichen/so N. A.، Kan V. L.، Mintzberg B. L.و دیگران، 1987.

نووژیلوف I. V.، Zatsepin M. F.محاسبات معمولی مبتنی بر کامپیوتر در مکانیک نظری. م.، 1986،

مجموعه وظایف برای دورهدر مکانیک نظری / ویرایش. A. A. Yablonsky. M.، 1985 و نسخه های قبلی (شامل نمونه هایی از حل مسئله).

استفاده از بیمه سلامت در حل مشکلات با مشکلات خاصی همراه است. بنابراین، معمولاً روابط اضافی بین ویژگی های حرکت و نیروها برقرار می شود که برای آنها راحت تر است کاربرد عملی. چنین روابطی هستند قضایای عمومی دینامیکآنها، به عنوان پیامدهای OMS، بین سرعت تغییر برخی اقدامات معرفی شده ویژه حرکت و ویژگی های نیروهای خارجی رابطه برقرار می کنند.

قضیه تغییر تکانه. اجازه دهید مفهوم بردار تکانه (R. Descartes) یک نقطه مادی را معرفی کنیم (شکل 3.4):

I i = t V جی (3.9)

برنج. 3.4.

برای سیستم ما مفهوم را معرفی می کنیم بردار اصلی حرکت سیستمبه صورت مجموع هندسی:

Q = Y، m " V r

مطابق با OZMS: Xu، -^=i) یا X

R (E).

با در نظر گرفتن اینکه /w، = const دریافت می کنیم: -Ym،!" = R (E) ،

یا به شکل نهایی

dO/di = A (E (3.11)

آن ها اولین مشتق با توجه به زمان بردار اصلی تکانه سیستم برابر با بردار اصلی نیروهای خارجی است.

قضیه حرکت مرکز جرم. مرکز جرم سیستمنقطه هندسی نامیده می شود که موقعیت آن بستگی دارد تی،و غیره از توزیع جرم /g/، در سیستم و با بیان بردار شعاع مرکز جرم تعیین می شود (شکل 3.5):

کجا g s -بردار شعاع مرکز جرم

برنج. 3.5.

بیا زنگ بزنیم = t با جرم سیستم.پس از ضرب عبارت

اعمال (3.12) بر مخرج و متمایز کردن هر دو طرف حاصل

ما یک برابری ارزشمند خواهیم داشت: g s t s = ^ t.U. = 0 یا 0 = تی اس یو اس.

بنابراین، بردار حرکت اصلی سیستم برابر است با حاصل ضرب جرم سیستم و سرعت مرکز جرم. با استفاده از قضیه تغییر در حرکت (3.11)، به دست می آوریم:

t s dU s / dі = A (E) ,یا

فرمول (3.13) قضیه حرکت مرکز جرم را بیان می کند: مرکز جرم سیستم به عنوان یک نقطه مادی حرکت می کند که جرم سیستم را دارد که توسط بردار اصلی نیروهای خارجی بر روی آن اثر می گذارد.

قضیه تغییر تکانه زاویه ای. اجازه دهید مفهوم تکانه زاویه ای یک نقطه مادی را به عنوان حاصلضرب بردار شعاع و تکانه آن معرفی کنیم:

به آه = bl X که, (3.14)

کجا به OI -تکانه زاویه ای یک نقطه مادی نسبت به یک نقطه ثابت در مورد(شکل 3.6).

اکنون ما تکانه زاویه ای یک سیستم مکانیکی را به صورت مجموع هندسی تعریف می کنیم:

К() = X ko، = ШУ، ? O-15>

با تمایز (3.15)، به دست می آوریم:

Ґ ثانیه--- X t i U. + g u X تی من

با توجه به اینکه = U G U i X من تو من= 0، و فرمول (3.2)، دریافت می کنیم:

сіК а /с1ї - ї 0 .

بر اساس عبارت دوم در (3.6)، در نهایت یک قضیه در مورد تغییر تکانه زاویه ای سیستم خواهیم داشت:

اولین مشتق ممان تکانه یک سیستم مکانیکی نسبت به مرکز ثابت O برابر است با ممان اصلی نیروهای خارجی وارد بر این سیستم نسبت به همان مرکز.

هنگام استنتاج رابطه (3.16) فرض شد که در مورد- نقطه ثابت با این حال، می توان نشان داد که در تعدادی از موارد دیگر، شکل رابطه (3.16) تغییر نخواهد کرد، به ویژه، اگر در حرکت صفحه، نقطه لحظه در مرکز جرم، مرکز آنی سرعت ها یا شتاب ها انتخاب شود. علاوه بر این، اگر نقطه در موردمنطبق با یک نقطه مادی متحرک، برابری (3.16) نوشته شده برای این نقطه به هویت 0 = 0 تبدیل می شود.

قضیه تغییر انرژی جنبشی. هنگامی که یک سیستم مکانیکی حرکت می کند، هم انرژی "خارجی" و هم انرژی داخلی سیستم تغییر می کند. اگر مشخصه های نیروهای داخلی، بردار اصلی و ممان اصلی، بر تغییر بردار اصلی و ممان اصلی تعداد شتاب ها تأثیری نداشته باشد، آنگاه نیروهای داخلی را می توان در ارزیابی فرآیندهای وضعیت انرژی سیستم گنجاند.بنابراین، هنگام در نظر گرفتن تغییرات در انرژی یک سیستم، باید حرکات نقاط منفرد را در نظر گرفت که نیروهای داخلی نیز به آنها اعمال می شود.

انرژی جنبشی یک نقطه مادی به عنوان کمیت تعریف می شود

T^tuTsg. (3.17)

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی برابر است با مجموع انرژی جنبشی نقاط مادی سیستم:

توجه داشته باشید که T > 0.

اجازه دهید توان نیرو را به عنوان حاصل ضرب اسکالر بردار نیرو و بردار سرعت تعریف کنیم:

اجازه دهید حرکت یک سیستم معین از اشیاء مادی را نسبت به یک سیستم مختصات ثابت در نظر بگیریم، زمانی که سیستم آزاد نباشد، اگر اتصالات تحمیل شده به سیستم را کنار بگذاریم و عمل آنها را با واکنش های مربوطه جایگزین کنیم.

بیایید تمام نیروهای اعمال شده بر سیستم را به خارجی و داخلی تقسیم کنیم. هر دو ممکن است شامل واکنش های دور ریخته شده باشند

اتصالات بردار اصلی و ممان اصلی نیروهای خارجی را نسبت به نقطه A بگذارید و نشان دهید.

1. قضیه تغییر تکانه.اگر مقدار حرکت سیستم است، پس (نگاه کنید به)

یعنی قضیه معتبر است: مشتق زمانی تکانه سیستم برابر است با بردار اصلی تمام نیروهای خارجی.

با جایگزینی بردار از طریق بیان آن جایی که جرم سیستم، سرعت مرکز جرم است، معادله (4.1) را می توان شکل متفاوتی داد:

این برابری به این معنی است که مرکز جرم سیستم مانند یک نقطه مادی حرکت می کند که جرم آن برابر با جرم سیستم است و نیرویی به آن وارد می شود که از نظر هندسی برابر با بردار اصلی همه نیروهای خارجی سیستم است. آخرین جمله قضیه حرکت مرکز جرم (مرکز اینرسی) سیستم نامیده می شود.

اگر از (4.1) این نتیجه حاصل شود که بردار تکانه از نظر قدر و جهت ثابت است. با طرح آن بر روی محور مختصات، سه انتگرال اول اسکالر، معادلات دیفرانسیل کلاهک دوگانه سیستم را به دست می آوریم:

به این انتگرال ها انتگرال حرکتی می گویند. هنگامی که سرعت مرکز جرم ثابت است، یعنی به طور یکنواخت و مستقیم حرکت می کند.

اگر طرح بردار اصلی نیروهای خارجی بر روی یک محور، مثلاً روی یک محور، برابر با صفر باشد، یک انتگرال اول داریم، یا اگر دو برجستگی بردار اصلی برابر با صفر باشد، دو بردار وجود دارد. انتگرال های تکانه

2. قضیه تغییر تکانه زاویه ای.فرض کنید A یک نقطه دلخواه در فضا (متحرک یا ثابت) باشد که لزوماً با هیچ نقطه مادی خاصی از سیستم در کل زمان حرکت منطبق نیست. سرعت آن را در یک سیستم مختصات ثابت با قضیه تغییر در گشتاور جنبشی یک سیستم مادی نسبت به نقطه A به شکل

اگر نقطه A ثابت باشد، تساوی (4.3) شکل ساده تری به خود می گیرد:

این تساوی قضیه تغییر تکانه زاویه ای یک سیستم را نسبت به یک نقطه ثابت بیان می کند: مشتق زمانی تکانه زاویه ای سیستم که نسبت به نقطه ثابتی محاسبه می شود، برابر است با ممان اصلی تمام نیروهای خارجی نسبی. تا این نقطه

اگر طبق (4.4) بردار تکانه زاویه ای از نظر قدر و جهت ثابت باشد. با طرح آن بر روی محورهای مختصات، اولین انتگرال های اسکالر معادلات دیفرانسیل سیستم دوگانه را به دست می آوریم:

به این انتگرال ها انتگرال حرکت یا انتگرال ناحیه می گویند.

اگر نقطه A با مرکز جرم سیستم منطبق باشد، اولین جمله در سمت راست برابری (4.3) ناپدید می شود و قضیه تغییر در حرکت زاویه ای همان شکل نوشتن (4.4) را دارد که در مورد یک نقطه ثابت A. توجه داشته باشید (نگاه کنید به صفحه 4 § 3)، که در مورد مورد بررسی، تکانه زاویه ای مطلق سیستم در سمت چپ برابری (4.4) را می توان با تکانه زاویه ای برابر سیستم جایگزین کرد. در حرکت آن نسبت به مرکز جرم.

اجازه دهید یک محور ثابت یا محوری با جهت ثابت باشد که از مرکز جرم سیستم می گذرد، و بگذارید گشتاور جنبشی سیستم نسبت به این محور باشد. از (4.4) نتیجه می شود که

ممان نیروهای خارجی نسبت به محور کجاست. اگر در طول کل حرکت اولین انتگرال را داشته باشیم

در کارهای S.A. Chaplygin، تعمیم های متعددی از قضیه در مورد تغییر تکانه جنبشی به دست آمد، که سپس برای حل تعدادی از مسائل روی توپ های غلتان استفاده شد. تعمیم بیشتر قضیه در مورد تغییر در گشتاور مکانیکی و کاربردهای آنها در مسائل دینامیک جسم صلب در آثار موجود است. نتایج اصلی این کارها مربوط به قضیه تغییر تکانه جنبشی نسبت به یک حرکت متحرک است که دائماً از نقطه متحرک A عبور می کند. یک بردار واحد در امتداد این محور باشد. با ضرب اسکالار در هر دو طرف تساوی (4.3) و اضافه کردن عبارت به دو قسمت آن به دست می‌آید.

وقتی شرط سینماتیک برآورده شد

معادله (4.5) از (4.7) به دست می آید. و اگر شرط (4.8) در کل حرکت برآورده شود، اولین انتگرال (4.6) وجود دارد.

اگر اتصالات سیستم ایده آل باشد و از بین جابجایی های مجازی اجازه چرخش سیستم را به صورت جسم صلب حول محور می دهد و آنگاه ممان اصلی واکنش ها نسبت به محور برابر با صفر است و سپس مقدار روی سمت راست معادله (4.5) نشان دهنده گشتاور اصلی تمام نیروهای فعال خارجی نسبت به محور و . برابری صفر این لحظه و اعتبار رابطه (4.8) در صورت در نظر گرفتن شرایط کافی برای وجود انتگرال (4.6) خواهد بود.

اگر جهت محور و ثابت باشد، شرط (4.8) به شکل نوشته می شود

این برابری به این معنی است که پیش بینی های سرعت مرکز جرم و سرعت نقطه A روی محور و روی صفحه ای عمود بر آن موازی هستند. در کار S.A. Chaplygin به جای (4.9) کمتر از وضعیت عمومیکه در آن X یک مقدار ثابت دلخواه است.

توجه داشته باشید که شرط (4.8) به انتخاب نقطه روی بستگی ندارد. در واقع، اجازه دهید P یک نقطه دلخواه در محور باشد. سپس

و بنابراین

در پایان، ما به تفسیر هندسی رزال از معادلات (4.1) و (4.4) توجه می کنیم: بردارهای سرعت مطلق انتهای بردارها و به ترتیب با بردار اصلی و ممان اصلی تمام نیروهای خارجی نسبت به نقطه A برابر هستند. .