وزارت کشاورزی و مواد غذایی جمهوری بلاروس

موسسه آموزشی "کشاورزی دولتی بلاروس

دانشگاه فنی"

بخش مکانیک نظریو نظریه های مکانیزم ها و ماشین ها

مکانیک نظری

مجموعه روش شناسی برای دانشجویان رشته های تخصصی

74 06 مهندسی کشاورزی

در 2 قسمت قسمت 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

گردآوری شده توسط:

کاندیدای علوم فیزیک و ریاضی، دانشیار یو. اس بیزا، نامزد علوم فنی، دانشیار ن. L. Rakova، مدرس ارشد. A. Tarasevich

داوران:

گروه مکانیک نظری موسسه آموزشی "دانشگاه فنی ملی بلاروس" (رئیس

گروه مکانیک نظری BNTU دکترای علوم فیزیک و ریاضی، پروفسور ع. V. Chigarev)؛

محقق برجسته آزمایشگاه حفاظت ارتعاشی سیستم های مکانیکی موسسه علمی دولتی موسسه مهندسی مکانیک متحد

NAS بلاروس»، کاندیدای علوم فنی، دانشیار A. M. Goman

مکانیک نظری. بخش "پویایی": آموزشی

روش T33. مجتمع در 2 قسمت 1 / گردآوری شده توسط: Yu S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – Minsk: BGATU، 2013. – 120 p.

شابک 978-985-519-616-8.

مجموعه آموزشی و روش شناسی مطالبی را برای مطالعه بخش "دینامیک" قسمت 1 ارائه می دهد که بخشی از رشته "مکانیک نظری" است. شامل یک دوره سخنرانی، مواد اولیه برای اجرا است کلاس های عملی، تکالیف و نمونه تکالیف برای کار مستقل و کنترل فعالیت های آموزشیدانشجویان تمام وقت و پاره وقت.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

مقدمه

مکانیک نظری علم قوانین کلی حرکت مکانیکی، تعادل و اندرکنش اجسام مادی است.

این یکی از رشته های بنیادی عمومی علمی فیزیک و ریاضی است. این اساس نظری فناوری مدرن است.

مطالعه مکانیک نظری در کنار سایر رشته های فیزیکی و ریاضی به گسترش افق های علمی، توسعه توانایی تفکر عینی و انتزاعی کمک می کند و به بهبود فرهنگ فنی عمومی متخصصان آینده کمک می کند.

مکانیک نظری که پایه علمی همه رشته های فنی است، به توسعه مهارت ها کمک می کند. تصمیمات منطقیوظایف مهندسی مربوط به بهره برداری، تعمیر و طراحی ماشین آلات و تجهیزات کشاورزی و احیاء اراضی.

بر اساس ماهیت مسائل مورد بررسی، مکانیک به استاتیک، سینماتیک و دینامیک تقسیم می شود. دینامیک شاخه ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام مادی را تحت تأثیر نیروهای وارده مطالعه می کند.

در آموزشی و روش شناختیمجتمع (UMK) مطالبی را برای مطالعه بخش "دینامیک" ارائه می دهد که شامل دوره ای از سخنرانی ها، مواد اولیه برای انجام است. کار عملی، وظایف و نمونه های اجرا برای کار مستقلو نظارت بر فعالیت های آموزشی دانشجویان تمام وقت و پاره وقت.

در در نتیجه مطالعه بخش "دینامیک" دانش آموز باید یاد بگیرد مبانی نظریدینامیک و تسلط بر روشهای اساسی حل مسائل دینامیک:

روش های حل مسائل دینامیک را بشناسید، قضایای عمومیدینامیک، اصول مکانیک؛

قادر به تعیین قوانین حرکت بدن بسته به نیروهای وارد بر آن باشد. اعمال قوانین و قضایای مکانیک برای حل مسائل؛ تعیین واکنش های استاتیکی و دینامیکی اتصالات که حرکت اجسام را محدود می کند.

برنامه درسی رشته "مکانیک نظری" تعداد کل ساعت های کلاس درس - 136، از جمله 36 ساعت برای مطالعه بخش "دینامیک" را ارائه می دهد.

1. محتوای علمی و نظری مجتمع آموزشی و روش شناسی

1.1. واژه نامه

استاتیک بخشی از مکانیک است که دکترین کلی نیروها را بیان می کند و کاهش را مطالعه می کند سیستم های پیچیدهنیروها به ساده ترین شکل و شرایط تعادل برقرار می شود سیستم های مختلفقدرت

سینماتیک شاخه ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام مادی را بدون توجه به دلایل ایجاد این حرکت، یعنی بدون توجه به نیروهای وارد بر این اجسام مطالعه می کند.

دینامیک شاخه ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام (نقاط) مادی را تحت تأثیر نیروهای وارده مطالعه می کند.

نقطه مادی- جسم مادی که تفاوت حرکت نقاط آن ناچیز است.

جرم یک جسم یک کمیت مثبت اسکالر است که به مقدار ماده موجود در یک جسم معین بستگی دارد و اندازه اینرسی آن را در طول حرکت انتقالی تعیین می کند.

سیستم مرجع یک سیستم مختصات مرتبط با جسمی است که در رابطه با آن حرکت جسم دیگری مطالعه می شود.

سیستم اینرسی- سیستمی که در آن قانون اول و دوم دینامیک رعایت می شود.

ضربه نیرو یک اندازه گیری برداری از عمل نیرو در طول مدت زمانی است.

تکانه نقطه مادی - اندازه گیری بردار حرکت آن، برابر با حاصل ضرب جرم نقطه و بردار سرعت آن.

انرژی جنبشی- اندازه گیری اسکالر حرکت مکانیکی.

کار اولیه نیرویک کمیت اسکالر بینهایت کوچک برابر با حاصل ضرب اسکالر بردار نیرو و بردار جابجایی کوچک بی نهایت نقطه اعمال نیرو است.

انرژی جنبشی- اندازه گیری اسکالر حرکت مکانیکی.

انرژی جنبشی یک نقطه مادی یک انرژی اسکالر است

کمیت مثبت برابر با نصف حاصلضرب جرم یک نقطه و مجذور سرعت آن.

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی - حساب -

مجموع تیک انرژی های جنبشی تمام نقاط مادی این سیستم.

نیرو معیاری برای برهمکنش مکانیکی اجسام است که شدت و جهت آن را مشخص می کند.

1.2. موضوعات و محتوای سخنرانی

بخش 1. مقدمه ای بر دینامیک. مفاهیم اساسی

مکانیک کلاسیک

مبحث 1. دینامیک یک نقطه مادی

قوانین دینامیک یک نقطه مادی (قوانین گالیله - نیوتن). معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی. دو مشکل اصلی دینامیک برای یک نقطه مادی. حل مسئله دوم دینامیک; ثابت های ادغام و تعیین آنها با شرایط اولیه

ادبیات:، ص 180-196، ص 12-26.

مبحث 2. دینامیک حرکت نسبی مواد

حرکت نسبی یک نقطه مادی معادلات دیفرانسیل حرکت نسبی یک نقطه; نیروهای اینرسی قابل حمل و کوریولیس. اصل نسبیت در مکانیک کلاسیک یک مورد صلح نسبی.

ادبیات: ، ص 180-196، ص 127-155.

مبحث 3. هندسه جرم ها. مرکز جرم یک سیستم مکانیکی

جرم سیستم مرکز جرم سیستم و مختصات آن.

ادبیات:، ص 86-93، ص 264-265

مبحث 4. لحظه های اینرسی جسم صلب

گشتاورهای اینرسی جسم صلب نسبت به محور و قطب. شعاع اینرسی. قضیه گشتاورهای اینرسی در مورد محورهای موازی. گشتاورهای محوری اینرسی برخی اجسام.

گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی به عنوان مشخصه عدم تقارن بدنه.

ادبیات: ، ص 265-271، ص 155-173.

بخش 2. قضایای عمومی در مورد دینامیک یک نقطه مادی

و سیستم مکانیکی

مبحث 5. قضیه حرکت مرکز جرم سیستم

قضیه حرکت مرکز جرم سیستم. نتایج حاصل از قضیه حرکت مرکز جرم سیستم.

ادبیات: ، ص 274-277، ص 175-192.

مبحث 6. تکانه نقطه مادی

و سیستم مکانیکی

میزان حرکت یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. تکانه اولیه و تکانه نیرو در یک دوره زمانی محدود. قضیه تغییر تکانه نقطه و سیستم در اشکال دیفرانسیل و انتگرال. قانون بقای حرکت

ادبیات: ، ص 280-284، ص 192-207.

مبحث 7. تکانه نقطه مادی

و سیستم مکانیکی نسبت به مرکز و محور

ممان تکانه یک نقطه نسبت به مرکز و محور. قضیه تغییر تکانه زاویه ای یک نقطه. گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی نسبت به مرکز و محور.

گشتاور جنبشی یک جسم صلب در حال چرخش حول محور چرخش. قضیه تغییر در تکانه زاویه ای یک سیستم. قانون بقای تکانه زاویه ای

ادبیات: ، ص 292-298، ص 207-258.

مبحث 8. کار و قدرت نیروها

کار ابتدایی نیرو، بیان تحلیلی آن. کاری که توسط یک نیرو در مسیر نهایی انجام می شود. کار گرانش، نیروی الاستیک. مجموع کارهایی که توسط نیروهای داخلی وارد بر جسم جامد انجام می شود برابر با صفر است. کار نیروهای اعمال شده به جسم صلب که حول یک محور ثابت می چرخد. قدرت. کارایی.

ادبیات: ، ص 208-213، ص 280-290.

مبحث 9. انرژی جنبشی یک نقطه مادی

و سیستم مکانیکی

انرژی جنبشی یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. محاسبه انرژی جنبشی یک جسم صلب در موارد مختلف حرکت آن. قضیه کونیگ. قضیه تغییر انرژی جنبشی یک نقطه در اشکال دیفرانسیل و انتگرال. قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و انتگرال.

ادبیات: ، ص 301-310، ص 290-344.

مبحث 10. میدان نیروی بالقوه و پتانسیل

مفهوم میدان نیرو میدان نیروی بالقوه و تابع نیرو. کار یک نیرو بر روی جابجایی نهایی یک نقطه در میدان نیروی بالقوه. انرژی بالقوه

ادبیات: ، ص 317-320، ص 344-347.

مبحث 11. دینامیک بدنه صلب

معادلات دیفرانسیل حرکت انتقالی یک جسم صلب. معادله دیفرانسیل حرکت چرخشی جسم صلب حول یک محور ثابت. آونگ فیزیکی. معادلات دیفرانسیل حرکت صفحه یک جسم صلب.

ادبیات: ، ص 323-334، صص 157-173.

بخش 1. مقدمه ای بر دینامیک. مفاهیم اساسی

مکانیک کلاسیک

دینامیک شاخه ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام (نقاط) مادی را تحت تأثیر نیروهای وارده مطالعه می کند.

بدن مادی- جسمی که جرم دارد.

نقطه مادی- جسم مادی که تفاوت حرکت نقاط آن ناچیز است. این می تواند یا جسمی باشد که ابعاد آن در حین حرکت نادیده گرفته شود یا اگر به صورت انتقالی حرکت کند جسمی با ابعاد محدود باشد.

به نقاط مادی ذراتی نیز گفته می شود که یک جسم جامد هنگام تعیین برخی از ویژگی های دینامیکی آن از نظر ذهنی در آنها شکسته می شود. نمونه هایی از نقاط مادی (شکل 1): الف – حرکت زمین به دور خورشید. زمین یک نقطه مادی است. b – حرکت انتقالی یک جسم صلب. بدن جامد - مادر

نقطه al، زیرا V B = V A ; a B = a A ; ج – چرخش بدن حول یک محور.

ذره یک جسم یک نقطه مادی است.

اینرسی خاصیت اجسام مادی است که تحت تأثیر نیروهای وارده سرعت حرکت خود را سریعتر یا کندتر تغییر دهند.

جرم یک جسم یک کمیت مثبت اسکالر است که به مقدار ماده موجود در یک جسم معین بستگی دارد و اندازه اینرسی آن را در طول حرکت انتقالی تعیین می کند. در مکانیک کلاسیک جرم یک کمیت ثابت است.

نیرو اندازه گیری کمی از اندرکنش مکانیکی بین اجسام یا بین جسم (نقطه) و میدان (الکتریکی، مغناطیسی و غیره) است.

نیرو یک کمیت برداری است که با بزرگی، نقطه اعمال و جهت (خط عمل) مشخص می شود (شکل 2: A - نقطه اعمال؛ AB - خط عمل نیرو).

برنج. 2

در دینامیک، همراه با نیروهای ثابت، نیروهای متغیری نیز وجود دارد که می‌تواند به زمان t، speedϑ، فاصله‌گر، یا ترکیبی از این کمیت‌ها بستگی داشته باشد.

F = const;

F = F(t) ;

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t، r، ϑ).

لوکوموتیو برقی; c - F = F (r) - نیروی دافعه از مرکز O یا جاذبه به آن.

سیستم مرجع یک سیستم مختصات مرتبط با جسمی است که در رابطه با آن حرکت جسم دیگری مطالعه می شود.

سیستم اینرسی سیستمی است که در آن قانون اول و دوم دینامیک رعایت می شود. این یک سیستم مختصات ثابت یا سیستمی است که به طور یکنواخت و خطی حرکت می کند.

حرکت در مکانیک عبارت است از تغییر موقعیت جسم در مکان و زمان نسبت به اجسام دیگر.

فضا در مکانیک کلاسیک سه بعدی است و از هندسه اقلیدسی پیروی می کند.

زمان یک کمیت اسکالر است که در هر سیستم مرجع به طور یکسان جریان دارد.

سیستم واحدها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری کمیت های فیزیکی است. برای اندازه گیری تمام کمیت های مکانیکی، سه واحد اساسی کافی است: واحد طول، زمان، جرم یا نیرو.

سایر واحدهای اندازه گیری کمیت های مکانیکی از این واحدها به دست می آیند. دو نوع سیستم واحد استفاده می شود: سیستم بین المللی واحدهای SI (یا کوچکتر - GHS) و سیستم فنی واحدها - ICGSS.

مبحث 1. دینامیک یک نقطه مادی

1.1. قوانین دینامیک یک نقطه مادی (قوانین گالیله-نیوتن)

قانون اول (قانون اینرسی).

یک نقطه مادی جدا شده از تأثیرات خارجی حالت سکون خود را حفظ می کند یا به طور یکنواخت و مستقیم حرکت می کند تا زمانی که نیروهای وارده آن را مجبور به تغییر این حالت کنند.

حرکتی که توسط یک نقطه در غیاب نیرو یا تحت عمل یک سیستم متعادل از نیروها انجام می شود حرکت با اینرسی نامیده می شود.

به عنوان مثال، حرکت یک جسم در امتداد صاف (نیروی اصطکاک صفر است)

سطح افقی (شکل 4: G - وزن بدن؛ N - واکنش صفحه نرمال).

از آنجایی که G = - N، پس G + N = 0.

وقتی ϑ 0 ≠ 0 بدن با همان سرعت حرکت می کند. هنگامی که ϑ 0 = 0 بدن در حال استراحت است (ϑ 0 سرعت اولیه است).

قانون دوم (قانون پایه دینامیک).

حاصل ضرب جرم یک نقطه و شتابی که تحت تأثیر نیروی معین دریافت می کند، از نظر بزرگی برابر با این نیرو است و جهت آن با جهت شتاب منطبق است.

a ب

از نظر ریاضی، این قانون با برابری برداری بیان می شود

هنگامی که F = 0، a 0 = 0 = ϑ 0 = ثابت - نقطه به طور یکنواخت و مستطیل حرکت می کند یا در ϑ 0 = 0 - در حالت سکون است (قانون اینرسی). دوم

قانون به ما اجازه می دهد تا بین جرم m جسم واقع در نزدیکی سطح زمین و وزن آن ارتباط برقرار کنیم G .G = mg، جایی که g

شتاب گرانش

قانون سوم (قانون برابری کنش و واکنش). دو نقطه مادی با نیروهای مساوی از نظر بزرگی و در امتداد خط مستقیم اتصال بر روی یکدیگر تأثیر می گذارند

این نقاط در جهت مخالف هستند.

از آنجایی که نیروهای F 1 = - F 2 به نقاط مختلف اعمال می شود، سیستم نیروها (F 1 , F 2 ) متعادل نیست، یعنی (F 1 , F 2 )≈ 0 (شکل 6).

جرم نقاط برهم کنش با شتاب آنها نسبت معکوس دارد.

قانون چهارم (قانون استقلال عمل نیروها). شتاب دریافتی توسط یک نقطه هنگام عمل همزمان روی آن

اما چندین نیرو، برابر با مجموع هندسی آن شتاب هایی که نقطه دریافت می کند اگر هر نیرو جداگانه به آن وارد شود.

توضیح (شکل 7).

t a n

a 1 a kF n

نیروی حاصل R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

از آنجایی که ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = مرد, پس

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k، یعنی قانون چهارم معادل است

k = 1

قانون اضافه شدن نیروها

1.2. معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی

بگذارید چندین نیرو به طور همزمان روی یک نقطه مادی عمل کنند که در بین آنها هم ثابت و هم متغیر وجود دارد.

اجازه دهید قانون دوم دینامیک را به شکل بنویسیم

نقاط، سپس (1.2) مشتقات r است و معادله دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی به صورت برداری یا معادله اصلی دینامیک یک نقطه مادی است.

پیش بینی برابری برداری (1.2): - بر روی محور مختصات دکارتی (شکل 8، a)

روی محور طبیعی (شکل 8، ب)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

معادلات (1.3) و (1.4) معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی هستند، به ترتیب در محورهای مختصات دکارتی و محورهای طبیعی، یعنی معادلات دیفرانسیل طبیعی که معمولاً برای حرکت منحنی یک نقطه استفاده می شوند، اگر مسیر حرکت نقطه و شعاع انحنای آن مشخص است.

1.3. دو مسئله اصلی دینامیک برای یک نقطه مادی و حل آنها

اولین کار (مستقیم).

با دانستن قانون حرکت و جرم نقطه، نیروی وارد بر نقطه را تعیین کنید.

برای حل این مشکل باید شتاب نقطه را بدانید. در مسائلی از این نوع می توان مستقیماً آن را مشخص کرد یا قانون حرکت یک نقطه را مشخص کرد که مطابق آن می توان آن را تعیین کرد.

1. بنابراین، اگر حرکت یک نقطه در مختصات دکارتی مشخص شود

x = f 1 (t)، y = f 2 (t) و z = f 3 (t)، سپس پیش بینی های شتاب تعیین می شوند

قضیه حرکت مرکز جرم.معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی. قضیه حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی. قانون بقای حرکت مرکز جرم

قضیه تغییر تکانه.میزان حرکت یک نقطه مادی. انگیزه اولیه نیرو ضربه نیرو برای یک دوره زمانی محدود و طرح ریزی آن بر روی محورهای مختصات. قضیه تغییر تکانه نقطه مادی در اشکال دیفرانسیل و متناهی.

میزان حرکت یک سیستم مکانیکی؛ بیان آن از طریق جرم سیستم و سرعت مرکز جرم آن. قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و متناهی. قانون بقای تکانه مکانیکی

(مفهوم جسم و نقطه ای با جرم متغیر. معادله مشچرسکی. فرمول Tsiolkovsky.)

قضیه تغییر تکانه زاویه ای.ممان تکانه یک نقطه مادی نسبت به مرکز و نسبت به محور. قضیه تغییر تکانه زاویه ای یک نقطه مادی. قدرت مرکزی پایستگی تکانه زاویه ای یک نقطه مادی در مورد نیروی مرکزی. (مفهوم سرعت بخش. قانون مساحت ها.)

ممان اصلی تکانه یا گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی نسبت به مرکز و نسبت به محور. گشتاور جنبشی یک جسم صلب در حال چرخش حول محور چرخش. قضیه تغییر گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی. قانون بقای تکانه زاویه ای یک سیستم مکانیکی. (قضیه تغییر گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی در حرکت نسبینسبت به مرکز جرم.)

قضیه تغییر انرژی جنبشی.انرژی جنبشی یک نقطه مادی. کار اولیه نیرو؛ بیان تحلیلی کار ابتدایی کاری که توسط یک نیرو بر روی جابجایی نهایی نقطه اعمال آن انجام می شود. کار گرانش، نیروی کشسان و نیروی گرانشی. قضیه تغییر انرژی جنبشی یک نقطه مادی در اشکال دیفرانسیل و متناهی.

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی فرمول های محاسبه انرژی جنبشی یک جسم صلب در حین حرکت انتقالی، در حین چرخش حول یک محور ثابت و در مورد کلیحرکت (به ویژه با حرکت صفحه موازی). قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و متناهی. مجموع کار انجام شده توسط نیروهای داخلی در یک جسم جامد برابر با صفر است. کار و قدرت نیروهای اعمال شده به جسم صلب که حول یک محور ثابت می چرخد.

مفهوم میدان نیرو میدان نیروی بالقوه و تابع نیرو. بیان پیش بینی نیرو از طریق تابع نیرو. سطوح با پتانسیل برابر کار یک نیرو بر روی جابجایی نهایی یک نقطه در میدان نیروی بالقوه. انرژی بالقوه نمونه ها نیروهای بالقوهمیدان های جدید: میدان گرانشی یکنواخت و میدان گرانشی. قانون بقای انرژی مکانیکی

دینامیک بدنه سفت و سختمعادلات دیفرانسیل حرکت انتقالی یک جسم صلب. معادله دیفرانسیل برای چرخش جسم صلب حول یک محور ثابت. آونگ فیزیکی. معادلات دیفرانسیل حرکت صفحه یک جسم صلب.

اصل دالامبراصل دالامبر برای یک نکته مادی. نیروی اینرسی اصل دالامبر برای یک سیستم مکانیکی. آوردن نیروهای اینرسی نقاط یک جسم صلب به مرکز. بردار اصلی و نکته اصلینیروهای اینرسی

(تعیین واکنش های دینامیکی یاتاقان ها در حین چرخش جسم صلب حول یک محور ثابت. حالتی که محور چرخش محور مرکزی اصلی اینرسی بدنه باشد.)

اصل حرکات ممکن و معادله کلی دینامیک.اتصالات اعمال شده بر روی یک سیستم مکانیکی حرکات ممکن (یا مجازی) یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. تعداد درجات آزادی سیستم. اتصالات ایده آل اصل حرکات ممکن معادله عمومی دینامیک.

معادلات حرکت یک سیستم در مختصات تعمیم یافته (معادلات لاگرانژ).مختصات تعمیم یافته سیستم؛ سرعت های تعمیم یافته بیان کار ابتدایی در مختصات تعمیم یافته. نیروهای تعمیم یافته و محاسبه آنها. مورد نیروهای با پتانسیل شرایط تعادل یک سیستم در مختصات تعمیم یافته. معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم در مختصات تعمیم یافته یا معادلات لاگرانژ از نوع دوم. معادلات لاگرانژ در مورد نیروهای بالقوه. تابع لاگرانژ (پتانسیل جنبشی).

مفهوم پایداری تعادل. ارتعاشات کوچک آزاد یک سیستم مکانیکی با یک درجه آزادی نزدیک به موقعیت تعادل پایدار سیستم و خواص آنها.

عناصر نظریه تاثیرپدیده ضربه. نیروی ضربه و ضربه ضربه. اثر نیروی ضربه بر یک نقطه مادی. قضیه تغییر تکانه سیستم مکانیکی بر اثر ضربه. ضربه مرکزی مستقیم بدن بر روی یک سطح ثابت؛ ضربه های الاستیک و غیر ارتجاعی ضریب بازیابی ضربه و تعیین تجربی آن. ضربه مرکزی مستقیم دو جسم. قضیه کارنو.

مراجع

اساسی

بوتنین N.V.، Lunts Ya-L.، Merkin D.R.درس مکانیک نظری. T. 1, 2. M., 1985 و نسخه های قبلی.

Dobronravov V.V.، Nikitin N.N.درس مکانیک نظری. م.، 1983.

استارژینسکی وی. ام.مکانیک نظری. م.، 1980.

تارگ اس ام.دوره کوتاهمکانیک نظری م.، 1986 و چاپ های قبلی.

یابلونسکی A. A.، Nikiforova V. M.درس مکانیک نظری. قسمت 1. م.، 1984 و چاپ های قبلی.

یابلونسکی A. A.درس مکانیک نظری. قسمت 2. م.، 1984 و چاپ های قبلی.

مشچرسکی I. V.مجموعه مسائل مربوط به مکانیک نظری. م.، 1986 و چاپ های قبلی.

مجموعه مسائل مکانیک نظری / ویرایش. K. S. Kolesnikova. م.، 1983.

اضافی

Bat M. I.، Dzhanelidze G. Yu.، Kelzon A. S.مکانیک نظری در مثال ها و مسائل. قسمت 1، 2. م.، 1984 و چاپ های قبلی.

مجموعه مسائل مکانیک نظری/5razhnichen/so N. A.، Kan V. L.، Mintzberg B. L.و دیگران، 1987.

نووژیلوف I. V.، Zatsepin M. F.محاسبات معمولی مبتنی بر کامپیوتر در مکانیک نظری. م.، 1986،

مجموعه وظایف برای دورهدر مکانیک نظری / ویرایش. A. A. Yablonsky. M.، 1985 و نسخه های قبلی (شامل نمونه هایی از حل مسئله).

سخنرانی 3. قضایای عمومی دینامیک

دینامیک یک سیستم از نقاط مادیشاخه مهمی از مکانیک نظری است. در اینجا ما عمدتاً مشکلات مربوط به حرکت سیستم های مکانیکی (سیستم های نقاط مادی) با تعداد محدود درجه آزادی را در نظر می گیریم - حداکثر تعداد پارامترهای مستقلی که موقعیت سیستم را تعیین می کنند. وظیفه اصلی دینامیک سیستم مطالعه قوانین حرکت یک جسم صلب و سیستم های مکانیکی است.

ساده ترین رویکرد برای مطالعه حرکت یک سیستم، متشکل از ننقاط مادی، به در نظر گرفتن حرکات هر نقطه از سیستم ختم می شود. در این حالت، تمام نیروهای وارد بر هر نقطه از سیستم، از جمله نیروهای برهمکنش بین نقاط، باید تعیین شوند.

با تعیین شتاب هر نقطه مطابق با قانون دوم نیوتن (1.2)، برای هر نقطه سه قانون دیفرانسیل اسکالر حرکت مرتبه دوم، یعنی. 3 ن قوانین دیفرانسیل حرکت برای کل سیستم

برای یافتن معادلات حرکت یک سیستم مکانیکی بر اساس نیروهای داده شده و شرایط اولیه برای هر نقطه از سیستم، قوانین دیفرانسیل حاصل باید یکپارچه شوند. این مشکل حتی در مورد دو نقطه مادی که فقط تحت تأثیر نیروهای متقابل طبق قانون جاذبه جهانی حرکت می کنند (مسئله دو جسم) دشوار است و در مورد سه نقطه متقابل (مسئله سه جسم) بسیار دشوار است. ).

بنابراین، یافتن روش هایی برای حل مسائل ضروری است که به معادلات قابل حل منجر شود و تصوری از حرکت یک سیستم مکانیکی ارائه دهد. قضایای عمومی دینامیک، که نتیجه قوانین دیفرانسیل حرکت است، به ما امکان می دهد از پیچیدگی ناشی از ادغام اجتناب کنیم و نتایج لازم را به دست آوریم.

3. 1. نکات عمومی

نقاط سیستم مکانیکی را با شاخص ها شماره گذاری می کنیم من, j, کو غیره که از تمام مقادیر عبور می کنند 1, 2, 3… ن، کجا ن - تعداد نقاط سیستم کمیت های فیزیکیمربوط به کنقطه با همان شاخص نقطه تعیین می شود. به عنوان مثال بردار شعاع و سرعت را به ترتیب بیان کنید کنقطه ام

هر نقطه از سیستم توسط نیروهایی با دو منشاء عمل می کند: اول، نیروهایی که منشأ آنها خارج از سیستم قرار دارد، به نام خارجینیروها و تعیین شده ; ثانیاً، نیروهایی از نقاط دیگر یک سیستم معین، نامیده می شوند داخلینیروها و تعیین شده . نیروهای داخلی قانون سوم نیوتن را برآورده می کنند. اجازه دهید ساده ترین خواص نیروهای داخلی را که بر کل سیستم مکانیکی در هر حالتی اعمال می کنند در نظر بگیریم.

ملک اول مجموع هندسی تمام نیروهای داخلی سیستم (بردار اصلی نیروهای داخلی) برابر با صفر است..

در واقع، اگر هر دو نقطه دلخواه سیستم را در نظر بگیریم، به عنوان مثال و (شکل 3.1)، سپس برای آنها ، زیرا نیروهای کنش و واکنش همیشه از نظر بزرگی برابر هستند و در امتداد یک خط عمل در جهت مخالف عمل می کنند که نقاط تعامل را به هم متصل می کند. بردار اصلی نیروهای داخلی متشکل از جفت نیروهای نقاط متقابل است

(3.1)

ملک دوم. مجموع هندسی گشتاورهای تمام نیروهای داخلی نسبت به یک نقطه دلخواه در فضا برابر با صفر است..

اجازه دهید سیستمی از گشتاور نیروها و نسبت به نقطه را در نظر بگیریم در مورد(شکل 3.1). از (شکل 3.1). واضح است که

,

چون هر دو نیرو دارای بازوهای یکسان و جهت مخالف گشتاورهای برداری هستند. گشتاور اصلی نیروهای داخلی نسبت به یک نقطه در مورداز مجموع برداری چنین عباراتی تشکیل شده و برابر با صفر است. از این رو،

اجازه دهید نیروهای خارجی و داخلی بر روی یک سیستم مکانیکی متشکل از نامتیاز (شکل 3.2). اگر برآیند نیروهای خارجی و برآیند تمام نیروهای داخلی به هر نقطه از سیستم اعمال شود، برای هر یک کدر نقطه ام سیستم می توان معادلات دیفرانسیل حرکت را ترسیم کرد. در مجموع چنین معادلاتی وجود خواهد داشت ن:

و در پیش بینی ها بر روی محورهای مختصات ثابت 3 ن:

(3.4)

معادلات برداری (3.3) یا معادلات اسکالر معادل (3.4) قوانین دیفرانسیل حرکت نقاط مادی کل سیستم را نشان می دهد. اگر همه نقاط به موازات یک صفحه یا یک خط مستقیم حرکت کنند، تعداد معادلات (3.4) در حالت اول خواهد بود. 2 ن، در دوم ن.

مثال 1.دو جرم توسط یک کابل غیر قابل امتداد که روی یک بلوک پرتاب می شود به یکدیگر متصل می شوند (شکل 3.3). نادیده گرفتن نیروهای اصطکاک و همچنین جرم بلوک و کابل، قانون حرکت بارها و کشش کابل را تعیین می کند.

راه حل. این سیستم از دو جسم مادی (که توسط یک کابل غیر قابل امتداد به هم متصل شده اند) تشکیل شده است که به موازات یک محور حرکت می کنند. Xاجازه دهید قوانین دیفرانسیل حرکت را در برآمدگی روی محور بنویسیم Xبرای هر بدن

اجازه دهید وزنه سمت راست با شتاب کاهش یابد، سپس وزن سمت چپ با شتاب بالا می رود. ما از نظر ذهنی خود را از اتصال (کابل) رها می کنیم و آن را با واکنش ها و (شکل 3.3). با در نظر گرفتن آزاد بودن اجسام، اجازه دهید قوانین دیفرانسیل حرکت را در طرح ریزی بر روی محور ترسیم کنیم. X(به این معنی که کشش رزوه نیروهای داخلی است و وزن بارها خارجی است):

از آنجایی که و (بدنه ها توسط یک کابل غیر قابل امتداد به هم متصل می شوند)، به دست می آوریم

حل این معادلات برای شتاب و کشش کابل تی، دریافت می کنیم

.

توجه داشته باشید که کشش در کابل با نیروی گرانش بار مربوطه برابر نیست.

3. 2. قضیه حرکت مرکز جرم

مشخص است که یک بدنه صلب و یک سیستم مکانیکی در یک هواپیما می تواند بسیار پیچیده حرکت کند. اولین قضیه در مورد حرکت یک جسم و یک سیستم مکانیکی را می توان به صورت زیر بدست آورد: یک k.-l را پرتاب کنید. جسمی متشکل از بسیاری از اجسام جامد که به هم چسبیده اند. واضح است که او با سهمی پرواز خواهد کرد. این هنگام مطالعه حرکت نقطه آشکار شد. با این حال، در حال حاضر شی یک نقطه نیست. در حین پرواز در اطراف مرکز مؤثری که به صورت سهمی حرکت می کند، می چرخد ​​و می چرخد. اولین قضیه در مورد حرکت اجسام پیچیده می گوید که یک مرکز مؤثر معین مرکز جرم یک جسم متحرک است. مرکز جرم لزوماً در خود بدن قرار ندارد.

قضیه. مرکز جرم یک سیستم مکانیکی به عنوان یک نقطه مادی با جرمی برابر با جرم کل سیستم حرکت می کند که تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم به آن اعمال می شود.

برای اثبات قضیه، قوانین دیفرانسیل حرکت (3.3) را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

(3.5)

کجا ن - تعداد نقاط سیستم

بیایید معادلات را ترم به ترم با هم جمع کنیم:

(الف)

موقعیت مرکز جرم سیستم مکانیکی نسبت به سیستم مختصات انتخاب شده با فرمول (2.1) تعیین می شود: کجا م- جرم سیستم سپس سمت چپ برابری (الف) نوشته می شود

اولین مجموع سمت راست برابری (الف) برابر با بردار اصلی نیروهای خارجی است و آخرین حاصل با خاصیت نیروهای داخلی برابر با صفر است. سپس برابری (الف) با در نظر گرفتن (ب) بازنویسی می شود

, (3.6)

آن ها حاصل ضرب جرم سیستم و شتاب مرکز جرم آن برابر است با مجموع هندسی تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم.

از رابطه (3.6) چنین بر می آید که نیروهای داخلی مستقیماً بر حرکت مرکز جرم تأثیر نمی گذارند. با این حال، در برخی موارد آنها عامل ظهور نیروهای خارجی اعمال شده به سیستم هستند. بنابراین، نیروهای داخلی که چرخ‌های محرک یک خودرو را به چرخش می‌آورند، باعث می‌شود که نیروی چسبندگی خارجی که به رینگ چرخ وارد می‌شود، روی آن اثر بگذارد.

مثال 2.مکانیزم، واقع در یک صفحه عمودی، بر روی یک صفحه صاف افقی نصب شده است و با میله هایی که به طور سفت و سخت به سطح ثابت شده اند، به آن متصل می شود. بهو L (شکل 3.4).

دیسک 1 شعاع آربی حرکت دیسک 2 جرم مترو شعاع r متصل به میل لنگ، طول آر+ rدر نقطه ج 2. میل لنگ ثابت می چرخد

سرعت زاویه ای. در لحظه اولیه، میل لنگ سمت راست را اشغال کرد موقعیت افقی. با صرف نظر از جرم میل لنگ، حداکثر نیروهای افقی و عمودی وارد بر میله ها را تعیین کنید اگر مجموع جرم قاب و چرخ 1 برابر باشد. م.همچنین رفتار مکانیسم را در غیاب میله ها در نظر بگیرید.

راه حل. این سیستم از دو جرم تشکیل شده است ( ن=2 ): دیسک ثابت 1 با قاب و دیسک متحرک 2. محور را هدایت کنید دراز طریق مرکز ثقل دیسک ثابت به صورت عمودی به سمت بالا، محور X- در امتداد صفحه افقی

اجازه دهید قضیه حرکت مرکز جرم (3.6) را به صورت مختصات بنویسیم

نیروهای خارجی این سیستم عبارتند از: وزن قاب و دیسک ثابت - Mg, وزن دیسک متحرک - میلی گرم, - واکنش افقی کل پیچ و مهره ها، - واکنش کل عادی هواپیما. از این رو،

سپس قوانین حرکت (ب) بازنویسی می شود

بیایید مختصات مرکز جرم سیستم مکانیکی را محاسبه کنیم:

; (G)

همانطور که می توان از (شکل 3.4), , , (زاویه میل لنگ)، . جایگزینی این عبارات به (d) و محاسبه مشتقات دوم با توجه به زمان تیاز , , ما آن را دریافت می کنیم

(د)

با جایگزینی (ج) و (ه) به (ب)، متوجه می شویم

فشار افقی وارد بر میله ها بیشترین و کمترین زمانی است cos = 1 بر این اساس، یعنی

فشار مکانیزم روی صفحه افقیدارای بزرگترین و کوچکترین مقادیر زمانی است که گناه بر این اساس، یعنی

در واقع اولین مشکل دینامیک حل شده است: با توجه به معادلات شناخته شده حرکت مرکز جرم سیستم (d)، نیروهای دخیل در حرکت بازیابی می شوند.

در غیاب میله ها کو L (شکل 3.4)، مکانیسم ممکن است شروع به جهش بالای صفحه افقی کند. این زمانی اتفاق خواهد افتاد که، هنگامی که، نتیجه می شود که سرعت زاویه ای چرخش میل لنگ، که در آن مکانیسم جهش می کند، باید برابری را برآورده کند.

.

3. 3. قانون بقای حرکت مرکز جرم

اگر بردار اصلی نیروهای خارجی وارد بر سیستم برابر با صفر باشد، یعنی. ، سپس از(3.6)نتیجه این است که شتاب مرکز جرم صفر است، بنابراین سرعت مرکز جرم از نظر قدر و جهت ثابت است. اگر، به ویژه، در لحظه اولیه، مرکز جرم در حالت سکون باشد، آنگاه برای تمام مدت در حال سکون است در حالی که بردار اصلی نیروهای خارجی برابر با صفر است.

چندین نتیجه از این قضیه حاصل می شود.

· نیروهای داخلی به تنهایی نمی توانند ماهیت حرکت مرکز جرم سیستم را تغییر دهند.

· اگر بردار اصلی نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر باشد، آنگاه مرکز جرم در حالت سکون است یا به صورت یکنواخت و مستقیم حرکت می کند.

· اگر تابش بردار اصلی نیروهای خارجی سیستم بر روی یک محور ثابت برابر با صفر باشد، در این صورت طرح سرعت مرکز جرم سیستم بر روی این محور تغییر نمی کند.

· یک جفت نیروی وارد شده به یک جسم صلب نمی تواند حرکت مرکز جرم آن را تغییر دهد (تنها می تواند باعث چرخش بدن به دور مرکز جرم شود).

بیایید مثالی را در نظر بگیریم که قانون بقای حرکت مرکز جرم را نشان می دهد.

مثال 3.دو جرم توسط یک نخ غیر قابل انبساط که از طریق یک بلوک پرتاب شده است به هم متصل می شوند (شکل 3.5)، روی یک گوه با یک جرم ثابت شده است م.گوه روی یک صفحه افقی صاف قرار دارد. در لحظه اولیه سیستم در حالت استراحت بود. جابجایی گوه را در امتداد صفحه هنگامی که اولین بار به ارتفاع پایین می آید، بیابید ن.از جرم بلوک و نخ غافل شوید.

راه حل.نیروهای خارجی وارد بر گوه همراه با بارها گرانش و Mgو همچنین واکنش عادی یک سطح افقی صاف N. در نتیجه،

از آنجایی که در لحظه اولیه سیستم در حالت استراحت بود، ما داریم.

اجازه دهید مختصات مرکز جرم سیستم را در لحظه و در لحظه محاسبه کنیم تی 1 وقتی بار وزن می کند gبه ارتفاعی فرود خواهد آمد اچ.

برای لحظه:

,

کجا , , X- به ترتیب مختصات مرکز جرم بارهای با وزن g، g و وزن گوه مg.

فرض کنید گوه در لحظه زمان در جهت مثبت محور حرکت می کند گاو نربا مقدار L، اگر وزن بار به یک ارتفاع کاهش یابد ن.سپس، برای لحظه

چون بارها همراه با گوه به سمت Lبه سمت راست، و بار در امتداد گوه به سمت بالا حرکت می کند. از آنجایی که پس از محاسبات دریافت می کنیم

.

3.4. کمیت حرکت سیستم

3.4.1. محاسبه حرکت سیستم

تکانه یک نقطه مادی یک کمیت برداری است برابر حاصلضرب جرم نقطه و بردار سرعت آن

واحد اندازه گیری تکانه -

تکانه یک سیستم مکانیکی حاصل جمع برداری تکانه تک تک نقاط سیستم است، یعنی.

کجا ن - تعداد نقاط سیستم

تکانه یک سیستم مکانیکی را می توان بر حسب جرم سیستم بیان کرد مو سرعت مرکز جرم واقعا،

آن ها تکانه سیستم برابر است با حاصل ضرب جرم کل سیستم و سرعت مرکز جرم آن.جهت همان جهت است (شکل 3.6)

در برجستگی ها روی محورهای مستطیلی داریم

که در آن،، پیش بینی های سرعت مرکز جرم سیستم هستند.

اینجا م- جرم سیستم مکانیکی؛ با حرکت سیستم تغییر نمی کند.

استفاده از این نتایج به ویژه هنگام محاسبه مقادیر حرکت اجسام صلب بسیار راحت است.

از فرمول (3.7) مشخص می شود که اگر یک سیستم مکانیکی به گونه ای حرکت کند که مرکز جرم آن ثابت بماند، تکانه سیستم برابر با صفر می شود.

3.4.2. تکانه اولیه و نیروی کامل

عمل یک نیرو بر یک نقطه مادی در طول زمان dtرا می توان با یک انگیزه ابتدایی مشخص کرد. کل تکانه نیرو در طول زمان تی, یا ضربه نیرو، که توسط فرمول تعیین می شود

یا در پیش بینی ها بر روی مختصات محور

(3.8a)

واحد ضربه نیرو است.

3.4.3. قضیه تغییر تکانه یک سیستم

اجازه دهید نیروهای خارجی و داخلی به نقاط سیستم اعمال شود. سپس برای هر نقطه از سیستم می توانیم قوانین دیفرانسیل حرکت (3.3) را اعمال کنیم، با در نظر گرفتن اینکه :

.

با جمع بندی تمام نقاط سیستم، به دست می آوریم

با خاصیت نیروهای داخلی و بنا به تعریف ما داریم

(3.9)

ضرب دو طرف این معادله در dt، یک قضیه در مورد تغییر تکانه به شکل دیفرانسیل به دست می آوریم:

, (3.10)

آن ها تکانه دیفرانسیل یک سیستم مکانیکی برابر است با مجموع برداری تکانه های اولیه تمام نیروهای خارجی که بر نقاط سیستم مکانیکی وارد می شوند.

محاسبه انتگرال هر دو طرف (3.10) در طول زمان از 0 تا تی, ما قضیه را به صورت متناهی یا انتگرال به دست می آوریم

(3.11)

در پیش بینی ها روی محورهای مختصات خواهیم داشت

تغییر در حرکت یک سیستم مکانیکی در طول زمانتی، برابر است با مجموع برداری تمام تکانه های نیروهای خارجی که در یک زمان به نقاطی از سیستم مکانیکی وارد می شوند.

مثال 4.وزن بار متر تحت تأثیر یک نیرو از حالت سکون از یک صفحه شیبدار پایین می آید اف, متناسب با زمان: ، کجا (شکل 3.7). بدن بعد از چه سرعتی به دست خواهد آورد تی ثانیه پس از شروع حرکت، اگر ضریب اصطکاک لغزشی بار بر روی صفحه شیبدار برابر با f.

راه حل.اجازه دهید نیروهای اعمال شده بر بار را به تصویر بکشیم: میلی گرم - نیروی گرانش بار، نواکنش نرمال هواپیما، نیروی اصطکاک لغزشی بار روی هواپیما است و . جهت تمام نیروها نشان داده شده است (شکل 3.7).

بیایید محور را هدایت کنیم Xدر امتداد صفحه شیب دار به سمت پایین. اجازه دهید قضیه تغییر تکانه (3.11) در طرح ریزی بر روی محور را بنویسیم. X:

(الف)

با توجه به شرط، زیرا در لحظه اولیه بار در حالت استراحت بود. مجموع برآمدگی‌های تکانه‌های همه نیروها روی محور x برابر است

از این رو،

,

.

3.4.4. قوانین بقای حرکت

قوانین بقای به عنوان موارد خاصی از قضیه تغییر در حرکت به دست می آید. دو مورد خاص امکان پذیر است.

· اگر مجموع برداری تمام نیروهای خارجی اعمال شده به سیستم برابر با صفر باشد، یعنی. ، سپس از قضیه به دست می آید (3.9) ، چی ,

آن ها اگر بردار اصلی نیروهای خارجی سیستم صفر باشد، مقدار حرکت سیستم از نظر بزرگی و جهت ثابت است.

· در صورتی که بردار اصلی نیروهای خارجی بر روی هر یک محور مختصاتبرابر با صفر، به عنوان مثال Oh، i.e. ، پس طرح تکانه روی این محور یک مقدار ثابت است.

بیایید مثالی از اعمال قانون بقای حرکت را در نظر بگیریم.

مثال 5.آونگ بالستیک جسمی است که جرم آن بر روی یک نخ بلند معلق است (شکل 3.8).

گلوله ای با جرم که با سرعت حرکت می کند Vو برخورد با جسم ساکن، در آن گیر می کند و بدن منحرف می شود. اگر جسد تا ارتفاع بالا می رفت سرعت گلوله چقدر بود ساعت ?

راه حل.اجازه دهید بدن با گلوله گیر کرده سرعت بگیرد. سپس با استفاده از قانون بقای تکانه در برهم کنش دو جسم می توان نوشت .

سرعت را می توان با استفاده از قانون بقای انرژی مکانیکی محاسبه کرد . سپس . در نتیجه ما پیدا می کنیم

.

مثال 6. آب وارد یک کانال ثابت می شود (شکل 3.9)مقطع متغیر با سرعت در زاویه نسبت به افقی. مربع مقطعکانال در ورودی؛ سرعت آب در خروجی از کانال با افق زاویه ایجاد می کند.

مولفه افقی واکنشی که آب روی دیواره کانال دارد را تعیین کنید. چگالی آب .

راه حل.ما جزء افقی واکنش اعمال شده توسط دیواره کانال بر روی آب را تعیین خواهیم کرد. این نیرو از نظر بزرگی برابر و از نظر علامت مخالف نیروی مورد نظر است. طبق (3.11a) داریم،

. (الف)

جرم حجم مایع ورودی به کانال را در زمان t محاسبه می کنیم:

مقدار rAV 0 نامیده می شود جرم دوم - جرم مایعی که در هر واحد زمان از هر بخش لوله عبور می کند.

همان مقدار آب در همان زمان از کانال خارج می شود. سرعت اولیه و نهایی در شرایط داده شده است.

اجازه دهید سمت راست برابری (a) را محاسبه کنیم، که مجموع برآمدگی ها را بر روی محور افقی نیروهای خارجی اعمال شده به سیستم (آب) تعیین می کند. تنها نیروی افقی، جزء افقی واکنش دیواره حاصل است Rx. این نیرو در طول حرکت ثابت آب ثابت است. به همین دلیل است

. (V)

با جایگزینی (b) و (c) به (الف)، دریافت می کنیم

3.5. گشتاور جنبشی سیستم

3.5.1. لحظه اصلی حرکت سیستم

فرض کنید بردار شعاع نقطه ای با جرم سیستم نسبت به نقطه ای A که مرکز نامیده می شود باشد (شکل 3.10).

تکانه تکانه (لحظه جنبشی) یک نقطه نسبت به مرکز Aبردار نامیده می شود , با فرمول تعیین می شود

. (3.12)

در این مورد، بردار عمود بر صفحه ای که از مرکز عبور می کند الفو بردار .

تکانه تکانه (گمان جنبشی) یک نقطه نسبت به محورفرافکنی بر روی این محور از گشتاور تکانه یک نقطه نسبت به مرکز انتخاب شده در این محور نامیده می شود.

ممان اصلی تکانه (لمان جنبشی) سیستم نسبت به مرکز Aکمیت نامیده می شود

(3.13)

ممان اصلی تکانه (لمان جنبشی) سیستم نسبت به محورفرافکنی بر روی این محور گشتاور اصلی تکانه سیستم نسبت به هر انتخاب شده بر روی آن نامیده می شود محور مرکزی

3.5.2. گشتاور جنبشی یک جسم صلب در حال چرخش حول محور چرخش

بیایید نقطه ثابت را تراز کنیم در موردبدن روی محور چرخش خوابیده است در موردz، با مبدأ سیستم مختصات اوهوzکه محورهای آن با بدنه خواهد چرخید (شکل 3.11). اجازه دهید شعاع بردار یک نقطه از بدن نسبت به مبدأ مختصات باشد. ما پیش بینی های بردار سرعت زاویه ای بدن را روی همان محورهای 0، 0، () نشان می دهیم.

قضایای عمومی در مورد دینامیک یک سیستم اجسام. قضایا در مورد حرکت مرکز جرم، در مورد تغییر تکانه، در مورد تغییر در تکانه زاویه ای اصلی، در مورد تغییر در انرژی جنبشی. اصول و حرکات احتمالی دالامبر. معادله کلی دینامیک. معادلات لاگرانژ

قضایای عمومی در مورد دینامیک جسم صلب و سیستم اجسام

قضایای عمومی دینامیک- این یک قضیه در مورد حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی، یک قضیه در مورد تغییر در تکانه، یک قضیه در مورد تغییر در تکانه زاویه ای اصلی (گمان جنبشی) و یک قضیه در مورد تغییر در انرژی جنبشی است. از یک سیستم مکانیکی

قضیه حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی

قضیه حرکت مرکز جرم.
حاصل ضرب جرم یک سیستم و شتاب مرکز جرم آن برابر است با مجموع بردار تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم:
.

در اینجا M جرم سیستم است:
;
a C شتاب مرکز جرم سیستم است:
;
v ج - سرعت مرکز جرم سیستم:
;
r C - بردار شعاع (مختصات) مرکز جرم سیستم:
;
- مختصات (نسبت به مرکز ثابت) و جرم نقاط تشکیل دهنده سیستم.

قضیه تغییر تکانه (تکانه)

کمیت حرکت (ضربه) سیستمبرابر است با حاصل ضرب جرم کل سیستم با سرعت مرکز جرم آن یا مجموع تکانه (مجموع تکانه ها) تک نقطه ها یا قطعاتی که سیستم را تشکیل می دهند:
.

قضیه تغییر تکانه به شکل دیفرانسیل.
مشتق زمانی مقدار حرکت (تکانه) سیستم برابر است با مجموع بردار تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم:
.

قضیه تغییر تکانه به شکل انتگرال.
تغییر در تکانه (تکانه) سیستم در یک دوره زمانی معین برابر است با مجموع تکانه های نیروهای خارجی در همان بازه زمانی:
.

قانون بقای تکانه (تکانه).
اگر مجموع تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر باشد، بردار تکانه سیستم ثابت خواهد بود. یعنی تمام پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات مقادیر ثابتی را حفظ خواهند کرد.

اگر مجموع برآمدگی های نیروهای خارجی بر روی هر محوری صفر باشد، میزان حرکت سیستم بر روی این محور ثابت خواهد بود.

قضیه تغییر در تکانه زاویه ای اصلی (قضیه گشتاورها)

تکانه زاویه ای اصلی یک سیستم نسبت به یک مرکز معین O مقداری برابر با مجموع بردار تکانه زاویه ای تمام نقاط سیستم نسبت به این مرکز نامیده می شود:
.
در اینجا براکت های مربع نشان دهنده ی حاصل ضرب است.

سیستم های متصل

قضیه زیر در موردی اعمال می شود که یک سیستم مکانیکی دارای یک نقطه یا محور ثابت است که نسبت به یک قاب مرجع اینرسی ثابت است. به عنوان مثال، بدنه ای که توسط یک یاتاقان کروی محکم شده است. یا سیستمی از اجسام که در اطراف یک مرکز ثابت حرکت می کنند. همچنین می تواند یک محور ثابت باشد که بدن یا سیستمی از اجسام به دور آن می چرخد. در این حالت، ممان‌ها را باید به‌عنوان لحظه‌های ضربه و نیرو نسبت به محور ثابت درک کرد.

قضیه تغییر در تکانه زاویه ای اصلی (قضیه گشتاورها)
مشتق زمانی تکانه زاویه ای اصلی سیستم نسبت به مرکز ثابت O برابر است با مجموع گشتاورهای تمام نیروهای خارجی سیستم نسبت به همان مرکز.

قانون بقای تکانه زاویه ای اصلی (تکانه زاویه ای).
اگر مجموع گشتاورهای تمام نیروهای خارجی وارد شده به سیستم نسبت به یک مرکز ثابت معین O برابر با صفر باشد، تکانه زاویه ای اصلی سیستم نسبت به این مرکز ثابت خواهد بود. یعنی تمام پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات مقادیر ثابتی را حفظ خواهند کرد.

اگر مجموع گشتاورهای نیروهای خارجی نسبت به یک محور ثابت صفر باشد، تکانه زاویه ای سیستم نسبت به این محور ثابت خواهد بود.

سیستم های خودسرانه

قضیه زیر یک ویژگی جهانی دارد. این برای هر دو سیستم ثابت و آزادانه اعمال می شود. در مورد سیستم های ثابت، باید واکنش های اتصالات در نقاط ثابت را در نظر گرفت. تفاوت آن با قضیه قبلی در این است که به جای نقطه ثابت O باید مرکز جرم C سیستم را گرفت.

قضیه گشتاورها در مورد مرکز جرم
مشتق زمانی تکانه زاویه ای اصلی سیستم نسبت به مرکز جرم C برابر است با مجموع گشتاورهای تمام نیروهای خارجی سیستم نسبت به همان مرکز.

قانون بقای تکانه زاویه ای
اگر مجموع گشتاورهای تمام نیروهای خارجی وارد شده به سیستم نسبت به مرکز جرم C برابر با صفر باشد، ممان اصلی تکانه سیستم نسبت به این مرکز ثابت خواهد بود. یعنی تمام پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات مقادیر ثابتی را حفظ خواهند کرد.

لحظه اینرسی بدن

اگر بدن حول محور z بچرخدبا سرعت زاویه ای ω z، سپس تکانه زاویه ای آن (لمان جنبشی) نسبت به محور z با فرمول تعیین می شود:
L z = J z ω z،
که در آن J z ممان اینرسی بدن نسبت به محور z است.

ممان اینرسی بدن نسبت به محور zبا فرمول تعیین می شود:
,
که در آن h k فاصله یک نقطه با جرم m k تا محور z است.
برای حلقه نازکی به جرم M و شعاع R یا استوانه ای که جرم آن در امتداد لبه آن توزیع شده است،
J z = M R 2 .
برای یک حلقه یا استوانه همگن جامد،
.

قضیه اشتاینر-هویگنز.
اجازه دهید Cz محوری باشد که از مرکز جرم جسم می گذرد، اوز محور موازی با آن باشد. سپس گشتاورهای اینرسی بدن نسبت به این محورها با رابطه زیر مرتبط می شوند:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
که در آن M وزن بدن است. a فاصله بین محورها است.

در یک مورد کلی تر:
,
تانسور اینرسی بدن کجاست
در اینجا برداری از مرکز جرم بدن به نقطه ای با جرم m k رسم شده است.

قضیه تغییر انرژی جنبشی

اجازه دهید جسمی به جرم M حرکت انتقالی و چرخشی را با سرعت زاویه ای ω حول محور z انجام دهد.
,
سپس انرژی جنبشی بدن با فرمول تعیین می شود:
که در آن v C سرعت حرکت مرکز جرم بدن است.

J Cz ممان اینرسی جسم نسبت به محوری است که از مرکز جرم جسم موازی با محور چرخش می گذرد. جهت محور چرخش می تواند در طول زمان تغییر کند. این فرمول مقدار لحظه ای انرژی جنبشی را به دست می دهد.
قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم به شکل دیفرانسیل.
.

دیفرانسیل (افزایش) انرژی جنبشی یک سیستم در طول برخی از حرکت ها برابر است با مجموع دیفرانسیل های کار در این حرکت همه نیروهای خارجی و داخلی اعمال شده به سیستم:
قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم به شکل انتگرال.
.

تغییر در انرژی جنبشی سیستم در طول برخی از حرکت ها برابر است با مجموع کار انجام شده بر روی این حرکت تمام نیروهای خارجی و داخلی اعمال شده به سیستم:کار انجام شده توسط نیرو
,
، برابر است با حاصل ضرب اسکالر بردارهای نیرو و جابجایی بینهایت کوچک نقطه اعمال آن:

یعنی حاصل ضرب مقادیر مطلق بردارهای F و ds توسط کسینوس زاویه بین آنها.کاری که با لحظه زور انجام می شود
.

، برابر است با حاصل ضرب اسکالر بردارهای گشتاور و زاویه بینهایت کوچک چرخش:

ماهیت اصل دالامبر این است که مشکلات دینامیک را به مسائل استاتیک تقلیل دهد. برای انجام این کار، فرض می شود (یا از قبل مشخص است) که بدنه های سیستم دارای شتاب های خاص (زاویه ای) هستند. در مرحله بعد، نیروهای اینرسی و (یا) گشتاورهای نیروهای اینرسی معرفی می شوند که از نظر بزرگی برابر و در جهت مخالف نیروها و گشتاورهایی هستند که طبق قوانین مکانیک، شتاب های داده شده یا شتاب های زاویه ای ایجاد می کنند.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بدن تحت حرکت انتقالی قرار می گیرد و توسط نیروهای خارجی بر آن اثر می گذارد. ما همچنین فرض می کنیم که این نیروها شتاب مرکز جرم سیستم را ایجاد می کنند. بر اساس قضیه حرکت مرکز جرم، اگر نیرویی بر جسم وارد شود، مرکز جرم یک جسم شتاب یکسانی خواهد داشت. در ادامه نیروی اینرسی را معرفی می کنیم:
.
بعد از این، مشکل دینامیک:
.
;
.

برای حرکت چرخشی به همین ترتیب ادامه دهید. اجازه دهید بدن حول محور z بچرخد و گشتاورهای خارجی نیروی M e zk بر آن اثر بگذارد.
.
فرض می کنیم که این ممان ها شتاب زاویه ای ε z ایجاد می کنند.
;
.

در مرحله بعد، گشتاور نیروهای اینرسی M И = - J z ε z را معرفی می کنیم.

بعد از این، مشکل دینامیک:

تبدیل به یک مشکل استاتیک:.
اصل حرکات ممکن

از اصل جابجایی های ممکن برای حل مسائل استاتیکی استفاده می شود. در برخی مسائل، راه حل کوتاه تری نسبت به تشکیل معادلات تعادلی می دهد. این امر مخصوصاً در مورد سیستم‌های دارای اتصال (مثلاً سیستم‌های بدنه‌ای که توسط رشته‌ها و بلوک‌ها به هم متصل شده‌اند) که از بدنه‌های زیادی تشکیل شده‌اند صادق است.اصل حرکات ممکن

برای تعادل یک سیستم مکانیکی با اتصالات ایده آل، لازم و کافی است که مجموع کارهای اولیه همه نیروهای فعال وارد بر آن برای هر حرکت احتمالی سیستم برابر با صفر باشد.امکان جابجایی سیستم

- این یک حرکت کوچک است که در آن اتصالات تحمیل شده به سیستم شکسته نمی شود.

اتصالات ایده آل

- اینها اتصالاتی هستند که هنگام حرکت سیستم کار نمی کنند. به طور دقیق تر، میزان کار انجام شده توسط خود اتصالات هنگام جابجایی سیستم صفر است..
معادله عمومی دینامیک (دالامبر - اصل لاگرانژ)
.
اصل دالامبر-لاگرانژ ترکیبی از اصل دالامبر با اصل حرکات ممکن است. یعنی هنگام حل یک مسئله دینامیکی، نیروهای اینرسی را وارد می کنیم و مسئله را به یک مسئله ایستا تقلیل می دهیم که با استفاده از اصل جابجایی های ممکن آن را حل می کنیم. اصل دالامبر-لاگرانژهنگامی که یک سیستم مکانیکی با اتصالات ایده آل حرکت می کند، در هر لحظه از زمان مجموع کارهای اولیه همه نیروهای فعال اعمال شده و همه نیروهای اینرسی در هر حرکت احتمالی سیستم صفر است:.

معادلات لاگرانژ

مختصات q تعمیم یافته 1، q 2، ...، q n مجموعه ای از n کمیت است که به طور منحصر به فرد موقعیت سیستم را تعیین می کند.

تعداد مختصات تعمیم یافته n با تعداد درجات آزادی سیستم منطبق است.

سرعت های تعمیم یافتهمشتقاتی از مختصات تعمیم یافته با توجه به زمان t هستند.

نیروهای تعمیم یافته Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
بیایید یک حرکت احتمالی سیستم را در نظر بگیریم که در آن مختصات q k یک حرکت δq k را دریافت می کند.
مختصات باقی مانده بدون تغییر باقی می ماند. فرض کنید δA k کار انجام شده توسط نیروهای خارجی در طول چنین حرکتی باشد. سپس
.

δA k = Q k δq k ، یا
اگر با یک حرکت احتمالی سیستم، همه مختصات تغییر کند، کار انجام شده توسط نیروهای خارجی در طول چنین حرکتی به شکل زیر است: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

سپس نیروهای تعمیم یافته مشتقات جزئی کار روی جابجایی ها هستند:برای نیروهای بالقوه
.

با پتانسیل Π،معادلات لاگرانژ

معادلات حرکت یک سیستم مکانیکی در مختصات تعمیم یافته هستند:
.

در اینجا T انرژی جنبشی است. تابعی از مختصات تعمیم یافته، سرعت ها و احتمالاً زمان است. بنابراین، مشتق جزئی آن نیز تابعی از مختصات، سرعت و زمان تعمیم یافته است. در مرحله بعد، باید در نظر بگیرید که مختصات و سرعت ها تابع زمان هستند. بنابراین، برای یافتن مشتق کل با توجه به زمان، باید قانون تمایز یک تابع مختلط را اعمال کنید:
ادبیات مورد استفاده:

با تعداد زیادی از نقاط مادی موجود در سیستم مکانیکی، یا اگر شامل اجسام کاملاً صلب () باشد که حرکت غیر ترجمه‌ای را انجام می‌دهند، استفاده از سیستم معادلات دیفرانسیل حرکت در حل مشکل اصلی دینامیک یک سیستم مکانیکی. معلوم می شود که عملا غیرممکن است. با این حال، هنگام حل بسیاری از مسائل مهندسی، نیازی به تعیین حرکت هر نقطه از یک سیستم مکانیکی به طور جداگانه نیست. گاهی اوقات کافی است بدون حل کامل سیستم معادلات حرکت، در مورد مهمترین جنبه های فرآیند حرکت مورد مطالعه نتیجه گیری کنیم. این نتایج حاصل از معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی محتوای قضایای عمومی دینامیک را تشکیل می دهد. قضایای عمومی، اولاً، ما را از نیاز به انجام در هر مورد جداگانه آن تبدیلات ریاضی که در مسائل مختلف مشترک هستند و یکبار برای همیشه هنگام استخراج قضایا از معادلات دیفرانسیل حرکت انجام می شوند، رها می کنند. ثانیاً، قضایای کلی ارتباطی را بین ویژگی‌های کلی حرکت یک سیستم مکانیکی ایجاد می‌کنند که معنای فیزیکی واضحی دارند. اینها ویژگی های عمومی، مانند تکانه، تکانه زاویه ای، انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی نامیده می شود اندازه گیری حرکت یک سیستم مکانیکی

اولین معیار حرکت، میزان حرکت یک سیستم مکانیکی است.

کمیت حرکت یک نقطه مادی، اندازه برداری حرکت آن است، برابر حاصلضرب جرم نقطه و سرعت آن:

.

کمیت حرکت یک سیستم مکانیکی، اندازه برداری حرکت آن است، برابر با مجموع کمیت های حرکت نقاط آن:

, (13.1)

بیایید سمت راست فرمول (23.1) را تبدیل کنیم:

کجا
- جرم کل سیستم،
- سرعت مرکز جرم

از این رو، مقدار حرکت یک سیستم مکانیکی برابر با مقدار حرکت مرکز جرم آن است اگر کل جرم سیستم در آن متمرکز شود:

.

نیروی ضربه

حاصل ضرب یک نیرو و فاصله زمانی اولیه عمل آن
به نام تکانه اولیه نیرو.

یک انگیزه از قدرت در یک دوره زمانی انتگرال تکانه اولیه نیرو نامیده می شود

.

قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی

اجازه دهید برای هر نقطه
سیستم مکانیکی در نتیجه نیروهای خارجی عمل می کند و حاصل نیروهای داخلی .

بیایید معادلات اساسی دینامیک یک سیستم مکانیکی را در نظر بگیریم

اضافه کردن معادلات (13.2) ترم به ترم برای nنقاط سیستم را می گیریم

(13.3)

اولین مجموع سمت راست برابر با بردار اصلی است نیروهای خارجی سیستم حاصل جمع دوم به دلیل خاصیت نیروهای داخلی سیستم برابر با صفر است. در نظر بگیریم سمت چپبرابری ها (13.3):

بنابراین، دریافت می کنیم:

, (13.4)

یا در پیش بینی ها روی محورهای مختصات

(13.5)

تساوی (13.4) و (13.5) قضیه تغییر حرکت یک سیستم مکانیکی را بیان می کنند:

مشتق زمانی تکانه یک سیستم مکانیکی برابر است با بردار اصلی تمام نیروهای خارجی سیستم مکانیکی.

این قضیه همچنین می تواند به صورت انتگرال با ادغام هر دو طرف برابری (13.4) در طول زمان در محدوده از تی 0 تا تی:

, (13.6)

کجا
، و انتگرال در سمت راست تکانه نیروهای خارجی برای است

زمان تی-تی 0 .

تساوی (13.6) قضیه را به شکل انتگرال ارائه می دهد:

افزایش تکانه یک سیستم مکانیکی در یک زمان محدود برابر است با ضربه نیروهای خارجی در این زمان.

قضیه نیز نامیده می شود قضیه تکانه

در پیش بینی ها روی محورهای مختصات، قضیه به صورت زیر نوشته می شود:

نتایج (قوانین بقای حرکت)

1). اگر بردار اصلی نیروهای خارجی برای دوره زمانی در نظر گرفته شده برابر با صفر باشد، مقدار حرکت سیستم مکانیکی ثابت است، یعنی. اگر
,
.

2). اگر تابش بردار اصلی نیروهای خارجی بر روی هر محوری در بازه زمانی مورد بررسی صفر باشد، در این صورت پیش بینی تکانه سیستم مکانیکی بر روی این محور ثابت است.

آن ها اگر
که
.