قضایای عمومی در مورد دینامیک یک سیستم اجسام. قضایا در مورد حرکت مرکز جرم، در مورد تغییر تکانه، در مورد تغییر در تکانه زاویه ای اصلی، در مورد تغییر در انرژی جنبشی. اصول و حرکات احتمالی دالامبر. معادله کلیبلندگوها معادلات لاگرانژ

قضایای عمومی در مورد دینامیک جسم صلب و سیستم اجسام

قضایای عمومی دینامیک- این یک قضیه در مورد حرکت مرکز جرم است سیستم مکانیکی، قضیه تغییر در تکانه، قضیه تغییر در تکانه زاویه ای اصلی (تکانه جنبشی) و قضیه تغییر در انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی.

قضیه حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی

قضیه حرکت مرکز جرم.
حاصل ضرب جرم یک سیستم و شتاب مرکز جرم آن برابر است با مجموع بردار تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم:
.

در اینجا M جرم سیستم است:
;
a C شتاب مرکز جرم سیستم است:
;
v ج - سرعت مرکز جرم سیستم:
;
r C - بردار شعاع (مختصات) مرکز جرم سیستم:
;
- مختصات (نسبت به مرکز ثابت) و جرم نقاط تشکیل دهنده سیستم.

قضیه تغییر تکانه (تکانه)

کمیت حرکت (ضربه) سیستمبرابر است با حاصل ضرب جرم کل سیستم با سرعت مرکز جرم آن یا مجموع تکانه (مجموع تکانه ها) تک نقطه ها یا قطعاتی که سیستم را تشکیل می دهند:
.

قضیه تغییر تکانه به شکل دیفرانسیل.
مشتق زمانی مقدار حرکت (تکانه) سیستم برابر است با مجموع بردار تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم:
.

قضیه تغییر تکانه به شکل انتگرال.
تغییر در تکانه (تکانه) سیستم در یک دوره زمانی معین برابر است با مجموع تکانه های نیروهای خارجی در همان بازه زمانی:
.

قانون بقای تکانه (تکانه).
اگر مجموع تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر باشد، بردار تکانه سیستم ثابت خواهد بود. یعنی تمام پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات مقادیر ثابتی را حفظ خواهند کرد.

اگر مجموع برآمدگی های نیروهای خارجی بر روی هر محوری صفر باشد، میزان حرکت سیستم بر روی این محور ثابت خواهد بود.

قضیه تغییر در تکانه زاویه ای اصلی (قضیه گشتاورها)

تکانه زاویه ای اصلی یک سیستم نسبت به یک مرکز معین O مقداری برابر با مجموع بردار تکانه زاویه ای تمام نقاط سیستم نسبت به این مرکز نامیده می شود:
.
در اینجا براکت های مربع نشان دهنده ی حاصل ضرب است.

سیستم های متصل

قضیه زیر در موردی اعمال می شود که یک سیستم مکانیکی دارای یک نقطه یا محور ثابت است که نسبت به یک قاب مرجع اینرسی ثابت است. به عنوان مثال، بدنه ای که توسط یک یاتاقان کروی محکم شده است. یا سیستمی از اجسام که در اطراف یک مرکز ثابت حرکت می کنند. همچنین می تواند یک محور ثابت باشد که بدن یا سیستمی از اجسام به دور آن می چرخد. در این حالت، ممان‌ها را باید به‌عنوان لحظه‌های ضربه و نیرو نسبت به محور ثابت درک کرد.

قضیه تغییر در تکانه زاویه ای اصلی (قضیه گشتاورها)
مشتق زمانی تکانه زاویه ای اصلی سیستم نسبت به مرکز ثابت O برابر است با مجموع گشتاورهای تمام نیروهای خارجی سیستم نسبت به همان مرکز.

قانون بقای تکانه زاویه ای اصلی (تکانه زاویه ای).
اگر مجموع گشتاورهای تمام نیروهای خارجی اعمال شده به سیستم نسبت به یک مرکز ثابت معین O برابر با صفر باشد، نکته اصلیمقدار حرکت سیستم نسبت به این مرکز ثابت خواهد بود. یعنی تمام پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات مقادیر ثابتی را حفظ خواهند کرد.

اگر مجموع گشتاورهای نیروهای خارجی نسبت به یک محور ثابت صفر باشد، تکانه زاویه ای سیستم نسبت به این محور ثابت خواهد بود.

سیستم های خودسرانه

قضیه زیر یک ویژگی جهانی دارد. این برای هر دو سیستم ثابت و آزادانه اعمال می شود. در مورد سیستم های ثابت، باید واکنش های اتصالات در نقاط ثابت را در نظر گرفت. تفاوت آن با قضیه قبلی در این است که به جای نقطه ثابت O باید مرکز جرم C سیستم را گرفت.

قضیه گشتاورها در مورد مرکز جرم
مشتق زمانی تکانه زاویه ای اصلی سیستم نسبت به مرکز جرم C برابر است با مجموع گشتاورهای تمام نیروهای خارجی سیستم نسبت به همان مرکز.

قانون بقای تکانه زاویه ای
اگر مجموع گشتاورهای تمام نیروهای خارجی وارد شده به سیستم نسبت به مرکز جرم C برابر با صفر باشد، ممان اصلی تکانه سیستم نسبت به این مرکز ثابت خواهد بود. یعنی تمام پیش بینی های آن بر روی محورهای مختصات مقادیر ثابتی را حفظ خواهند کرد.

لحظه اینرسی بدن

اگر بدن حول محور z بچرخدبا سرعت زاویه ایω z، سپس تکانه زاویه ای آن (گمان جنبشی) نسبت به محور z با فرمول تعیین می شود:
L z = J z ω z،
که در آن J z ممان اینرسی بدن نسبت به محور z است.

ممان اینرسی بدن نسبت به محور zبا فرمول تعیین می شود:
,
که در آن h k فاصله یک نقطه با جرم m k تا محور z است.
برای حلقه نازکی به جرم M و شعاع R یا استوانه ای که جرم آن در امتداد لبه آن توزیع شده است،
J z = M R 2 .
برای یک حلقه یا استوانه همگن جامد،
.

قضیه اشتاینر-هویگنز.
بگذارید Cz محوری باشد که از مرکز جرم جسم می گذرد، اوز محور موازی با آن باشد. سپس گشتاورهای اینرسی بدن نسبت به این محورها با رابطه:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
که در آن M وزن بدن است. a فاصله بین محورها است.

در بیشتر مورد کلی :
,
تانسور اینرسی بدن کجاست
در اینجا برداری از مرکز جرم بدن به نقطه ای با جرم m k کشیده شده است.

قضیه تغییر انرژی جنبشی

اجازه دهید جسمی به جرم M حرکت انتقالی و چرخشی را با سرعت زاویه ای ω حول محور z انجام دهد.
,
سپس انرژی جنبشی بدن با فرمول تعیین می شود:
که در آن v C سرعت حرکت مرکز جرم بدن است.

J Cz ممان اینرسی جسم نسبت به محوری است که از مرکز جرم جسم موازی با محور چرخش می گذرد. جهت محور چرخش می تواند در طول زمان تغییر کند. این فرمول مقدار لحظه ای انرژی جنبشی را به دست می دهد.
قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم به شکل دیفرانسیل.
.

قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم به شکل انتگرال.
تغییر در انرژی جنبشی سیستم در طول برخی از حرکت ها برابر است با مجموع کار انجام شده بر روی این حرکت تمام نیروهای خارجی و داخلی اعمال شده به سیستم:
.

کار انجام شده توسط نیرو، برابر است با حاصل ضرب اسکالر بردارهای نیرو و جابجایی بینهایت کوچک نقطه اعمال آن:
,
یعنی حاصل ضرب مقادیر مطلق بردارهای F و ds توسط کسینوس زاویه بین آنها.

کاری که با لحظه زور انجام می شود، برابر است با حاصل ضرب اسکالر بردارهای گشتاور و زاویه چرخش بی نهایت کوچک:
.

اصل دالامبر

ماهیت اصل دالامبر این است که مشکلات دینامیک را به مسائل استاتیک تقلیل دهد. برای انجام این کار، فرض می شود (یا از قبل مشخص است) که بدنه های سیستم دارای شتاب های (زاویه ای) خاصی هستند. در مرحله بعد، نیروهای اینرسی و (یا) گشتاورهای نیروهای اینرسی معرفی می شوند که از نظر بزرگی برابر و در جهت مخالف نیروها و گشتاورهایی هستند که طبق قوانین مکانیک، شتاب های داده شده یا شتاب های زاویه ای ایجاد می کنند.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بدن تحت حرکت انتقالی قرار می گیرد و توسط نیروهای خارجی بر آن اثر می گذارد. ما همچنین فرض می کنیم که این نیروها شتاب مرکز جرم سیستم را ایجاد می کنند. بر اساس قضیه حرکت مرکز جرم، اگر نیرویی بر جسم وارد شود، مرکز جرم یک جسم شتاب یکسانی خواهد داشت. در ادامه نیروی اینرسی را معرفی می کنیم:
.
بعد از این، مشکل دینامیک:
.
;
.

برای حرکت چرخشی به همین ترتیب ادامه دهید. اجازه دهید بدن حول محور z بچرخد و گشتاورهای خارجی نیروی M e zk بر آن اثر بگذارد.
.
فرض می کنیم که این ممان ها شتاب زاویه ای ε z ایجاد می کنند.
;
.

در مرحله بعد، گشتاور نیروهای اینرسی M И = - J z ε z را معرفی می کنیم.

بعد از این، مشکل دینامیک:

تبدیل به یک مشکل استاتیک:.
اصل حرکات ممکن

از اصل جابجایی های ممکن برای حل مسائل استاتیکی استفاده می شود. در برخی مسائل، راه حل کوتاه تری نسبت به تشکیل معادلات تعادلی می دهد. این امر مخصوصاً در مورد سیستم‌های دارای اتصال (مثلاً سیستم‌های بدنه‌ای که توسط رشته‌ها و بلوک‌ها به هم متصل شده‌اند) که از بدنه‌های زیادی تشکیل شده‌اند صادق است.اصل حرکات ممکن

برای تعادل یک سیستم مکانیکی با اتصالات ایده آل، لازم و کافی است که مجموع کارهای اولیه همه نیروهای فعال وارد بر آن برای هر حرکت احتمالی سیستم برابر با صفر باشد.امکان جابجایی سیستم

معادله عمومی دینامیک (دالامبر - اصل لاگرانژ)

اصل دالامبر-لاگرانژ ترکیبی از اصل دالامبر با اصل حرکات ممکن است. یعنی هنگام حل یک مسئله دینامیکی، نیروهای اینرسی را وارد می کنیم و مسئله را به یک مسئله ایستا تقلیل می دهیم که با استفاده از اصل جابجایی های ممکن آن را حل می کنیم.

اصل دالامبر-لاگرانژ.
هنگامی که یک سیستم مکانیکی با اتصالات ایده آل حرکت می کند، در هر لحظه از زمان مجموع کارهای اولیه همه نیروهای فعال اعمال شده و همه نیروهای اینرسی در هر حرکت احتمالی سیستم صفر است:
.
این معادله نامیده می شود معادله کلی دینامیک.

معادلات لاگرانژ

مختصات q تعمیم یافته 1، q 2، ...، q n مجموعه ای از n کمیت است که به طور منحصر به فرد موقعیت سیستم را تعیین می کند.

تعداد مختصات تعمیم یافته n با تعداد درجات آزادی سیستم منطبق است.

سرعت های تعمیم یافتهمشتقاتی از مختصات تعمیم یافته با توجه به زمان t هستند.

نیروهای تعمیم یافته Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
بیایید یک حرکت احتمالی سیستم را در نظر بگیریم که در آن مختصات q k یک حرکت δq k را دریافت می کند.
مختصات باقی مانده بدون تغییر باقی می ماند. فرض کنید δA k کار انجام شده توسط نیروهای خارجی در طول چنین حرکتی باشد. سپس
.

δA k = Q k δq k ، یا
اگر با یک حرکت احتمالی سیستم، همه مختصات تغییر کند، کار انجام شده توسط نیروهای خارجی در طول چنین حرکتی به شکل زیر است: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

سپس نیروهای تعمیم یافته مشتقات جزئی کار روی جابجایی ها هستند: برای نیروهای بالقوه
.

با پتانسیل Π،معادلات لاگرانژ

معادلات حرکت یک سیستم مکانیکی در مختصات تعمیم یافته هستند:
.

در اینجا T انرژی جنبشی است. تابعی از مختصات تعمیم یافته، سرعت ها و احتمالاً زمان است. بنابراین، مشتق جزئی آن نیز تابعی از مختصات، سرعت و زمان تعمیم یافته است. در مرحله بعد، باید در نظر بگیرید که مختصات و سرعت ها تابع زمان هستند. بنابراین، برای یافتن مشتق کل با توجه به زمان، باید قانون تمایز یک تابع مختلط را اعمال کنید:
ادبیات مورد استفاده: اس ام تارگ،دوره کوتاه

مکانیک نظری، دبیرستان، 1389.

(سیستم های مکانیکی) – گزینه IV 1. معادله اساسی دینامیک یک نقطه مادی، همانطور که مشخص است، با معادله بیان می شود.معادلات دیفرانسیل

(1) حرکات نقاط دلخواه یک سیستم مکانیکی غیرآزاد بر اساس دو روش تقسیم نیروها را می توان به دو صورت نوشت:

(2)

جرم نقطه k کجاست. - بردار شعاع نقطه k - یک نیروی معین (فعال) وارد بر نقطه k یا برآیند همه نیروهای فعال وارد بر نقطه k. - حاصل نیروهای واکنش پیوندی که در نقطه k ام عمل می کنند. - حاصل نیروهای داخلی وارد بر نقطه k. - حاصل نیروهای خارجی وارد بر نقطه k.

با استفاده از معادلات (1) و (2) می توان برای حل هر دو مسئله اول و دوم دینامیک تلاش کرد. با این حال، حل مسئله دوم دینامیک برای یک سیستم بسیار پیچیده می شود، نه تنها از نظر ریاضی، بلکه به این دلیل که ما با مشکلات اساسی روبرو هستیم. آنها شامل این واقعیت هستند که هم برای سیستم (1) و هم برای سیستم (2) تعداد معادلات قابل توجه است تعداد کمترناشناخته

بنابراین، اگر از (1) استفاده کنیم، دینامیک شناخته شده برای مسئله دوم (معکوس) خواهد بود و و مجهول‌ها و . معادلات برداری خواهد بود " n"، و موارد ناشناخته - "2n".

اگر از سیستم معادلات (2) پیش برویم، برخی از نیروهای خارجی مشخص هستند. چرا قسمت؟ واقعیت این است که تعداد نیروهای خارجی شامل واکنش های خارجی اتصالات ناشناخته نیز می شود. علاوه بر این، ناشناخته خواهد بود.

بنابراین، هر دو سیستم (1) و سیستم (2) UNCLOSED هستند. باید معادلات را با در نظر گرفتن معادلات اتصالات اضافه کرد و شاید لازم باشد محدودیت هایی نیز برای خود اتصالات اعمال شود. چه باید کرد؟

اگر از (1) شروع کنیم، می‌توانیم مسیر تشکیل معادلات لاگرانژ از نوع اول را طی کنیم. اما این مسیر عقلانی نیست زیرا کار ساده تر(درجات آزادی کمتر)، حل آن از نقطه نظر ریاضی دشوارتر است.

سپس بیایید توجه خود را به سیستم (2) معطوف کنیم، جایی که - همیشه ناشناخته هستند. اولین قدم در حل یک سیستم، حذف این مجهولات است. باید در نظر داشت که قاعدتاً هنگام حرکت سیستم به نیروهای داخلی علاقه ای نداریم، یعنی وقتی سیستم حرکت می کند لازم نیست هر نقطه از سیستم چگونه حرکت می کند، بلکه کافی است. بدانیم سیستم به عنوان یک کل چگونه حرکت می کند.

بنابراین، اگر به طرق مختلفنیروهای ناشناخته را از سیستم (2) حذف می کنیم، سپس برخی از روابط را به دست می آوریم، یعنی برخی ظاهر می شوند ویژگی های عمومیبرای سیستمی که آگاهی از آن به ما اجازه می دهد تا در مورد نحوه حرکت سیستم به طور کلی قضاوت کنیم. این ویژگی ها با استفاده از به اصطلاح معرفی می شوند قضایای عمومی دینامیک چهار قضیه از این قبیل وجود دارد:

1. قضیه در مورد حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی;

2. قضیه در مورد تغییر در تکانه یک سیستم مکانیکی;

3. قضیه در مورد تغییر در گشتاور جنبشی سیستم مکانیکی;

4. قضیه در مورد تغییر در انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی.

اغلب اوقات امکان شناسایی وجود دارد ویژگی های مهمحرکت یک سیستم مکانیکی بدون توسل به ادغام یک سیستم معادلات دیفرانسیل حرکت. این با اعمال قضایای عمومی دینامیک به دست می آید.

5.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

نیروهای خارجی و داخلی.هر نیرویی که بر یک نقطه در یک سیستم مکانیکی وارد شود، لزوماً یا یک نیروی فعال یا یک واکنش جفت است. کل مجموعه نیروهای وارد بر نقاط سیستم را می توان به دو دسته متفاوت تقسیم کرد: نیروهای خارجی و نیروهای داخلی (شاخص های e و i - از کلمات لاتین externus - خارجی و internus - داخلی). نیروهای خارجی نیروهایی هستند که بر روی نقاط یک سیستم از نقاط و اجسامی که بخشی از سیستم مورد بررسی نیستند، عمل می کنند. نیروهای برهمکنش بین نقاط و اجسام سیستم مورد بررسی را درونی می نامند.

این تقسیم بندی بستگی به این دارد که محقق کدام نقاط و اجسام مادی را در سیستم مکانیکی مورد بررسی قرار می دهد. اگر ترکیب سیستم را با گنجاندن نقاط و اجسام اضافی گسترش دهیم، آنگاه برخی از نیروهایی که برای سیستم قبلی خارجی بودند، می توانند برای سیستم منبسط شده داخلی شوند.

خواص نیروهای داخلیاز آنجایی که این نیروها نیروهای برهمکنش بین بخش‌های سیستم هستند، در سیستم کامل نیروهای داخلی به صورت "دو" وارد می‌شوند که مطابق با اصل عمل - واکنش سازماندهی شده‌اند. هر یک از این "دو" دارای نقاط قوتی هستند

بردار اصلی و ممان اصلی در مورد یک مرکز دلخواه برابر با صفر است. از آنجا که سیستم کامل نیروهای داخلی فقط از "دو" تشکیل شده است، پس

1) بردار اصلی سیستم نیروهای داخلی صفر است،

2) ممان اصلی سیستم نیروهای داخلی نسبت به یک نقطه دلخواه برابر با صفر است.

جرم سیستم نامیده می شود جمع حسابیجرم tk تمام نقاط و اجسام تشکیل دهنده سیستم:

مرکز جرم(مرکز اینرسی) یک سیستم مکانیکی نقطه هندسی C است که بردار شعاع و مختصات آن با فرمول تعیین می شود.

بردارهای شعاع و مختصات نقاط تشکیل دهنده سیستم کجا هستند.

سپس نیروهای تعمیم یافته مشتقات جزئی کار روی جابجایی ها هستند: جامددر یک میدان گرانش یکنواخت قرار دارد، موقعیت های مرکز جرم و مرکز ثقل بر هم منطبق است، در موارد دیگر اینها نقاط هندسی متفاوتی هستند.

همراه با سیستم مرجع اینرسی، یک سیستم مرجع غیر اینرسی که به صورت ترجمه حرکت می کند اغلب به طور همزمان در نظر گرفته می شود. محورهای مختصات آن (محورهای König) طوری انتخاب می شوند که مبدأ C دائماً با مرکز جرم سیستم مکانیکی منطبق باشد. مطابق با تعریف، مرکز جرم در محورهای کونیگ بی حرکت است و در مبدأ مختصات قرار دارد.

لحظه اینرسی سیستمنسبت به یک محور، کمیت اسکالر برابر با مجموع حاصلضرب جرم‌های mk تمام نقاط سیستم با مجذور فاصله آنها تا محور است:

اگر سیستم مکانیکی بدنه ای سفت و سخت است، برای یافتن عدد 12 می توانید از فرمول استفاده کنید

چگالی، حجم اشغال شده توسط بدن کجاست.

با تعداد زیادی از نقاط مادی موجود در سیستم مکانیکی، یا اگر شامل اجسام کاملاً صلب () باشد که حرکت غیر ترجمه‌ای را انجام می‌دهند، استفاده از سیستم معادلات دیفرانسیل حرکت در حل مشکل اصلی دینامیک یک سیستم مکانیکی. معلوم می شود که عملا غیرممکن است. با این حال، هنگام حل بسیاری از مسائل مهندسی، نیازی به تعیین حرکت هر نقطه از یک سیستم مکانیکی به طور جداگانه نیست. گاهی اوقات کافی است بدون حل کامل سیستم معادلات حرکت، در مورد مهمترین جنبه های فرآیند حرکت مورد مطالعه نتیجه گیری کنیم. این نتایج حاصل از معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی محتوای قضایای کلی دینامیک را تشکیل می دهد. قضایای عمومی، اولاً، ما را از نیاز به انجام در هر مورد جداگانه آن تبدیلات ریاضی که در مسائل مختلف مشترک هستند و یکبار برای همیشه هنگام استخراج قضایا از معادلات دیفرانسیل حرکت انجام می شوند، رها می کنند. ثانیاً، قضایای کلی ارتباطی را بین ویژگی‌های کلی حرکت یک سیستم مکانیکی ایجاد می‌کنند که معنای فیزیکی واضحی دارند. این خصوصیات کلی مانند تکانه، تکانه زاویه ای، انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی نامیده می شود اندازه گیری حرکت یک سیستم مکانیکی

اولین معیار حرکت، میزان حرکت یک سیستم مکانیکی است.

کمیت حرکت یک نقطه مادی، اندازه برداری حرکت آن است، برابر حاصلضرب جرم نقطه و سرعت آن:

.

کمیت حرکت یک سیستم مکانیکی، اندازه برداری حرکت آن است، برابر با مجموع کمیت های حرکت نقاط آن:

, (13.1)

اجازه دهید سمت راست فرمول (23.1) را تبدیل کنیم:

کجا
- جرم کل سیستم،
- سرعت مرکز جرم

از این رو، مقدار حرکت یک سیستم مکانیکی برابر با مقدار حرکت مرکز جرم آن است اگر کل جرم سیستم در آن متمرکز شود:

.

نیروی ضربه

حاصل ضرب یک نیرو و فاصله زمانی اولیه عمل آن
به نام تکانه اولیه نیرو.

یک انگیزه از قدرت در یک دوره زمانی انتگرال تکانه اولیه نیرو نامیده می شود

.

قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی

اجازه دهید برای هر نقطه
سیستم مکانیکی در نتیجه نیروهای خارجی عمل می کند و حاصل نیروهای داخلی .

بیایید معادلات اساسی دینامیک یک سیستم مکانیکی را در نظر بگیریم

اضافه کردن معادلات (13.2) ترم به ترم برای nنقاط سیستم را می گیریم

(13.3)

اولین مجموع سمت راست برابر با بردار اصلی است نیروهای خارجی سیستم حاصل جمع دوم به دلیل خاصیت نیروهای داخلی سیستم برابر با صفر است. در نظر بگیریم سمت چپبرابری ها (13.3):

بنابراین، دریافت می کنیم:

, (13.4)

یا در پیش بینی ها روی محورهای مختصات

(13.5)

معادلات (13.4) و (13.5) قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی را بیان می کنند:

مشتق زمانی تکانه یک سیستم مکانیکی برابر است با بردار اصلی تمام نیروهای خارجی سیستم مکانیکی.

این قضیه همچنین می تواند به صورت انتگرال با ادغام هر دو طرف برابری (13.4) در طول زمان در محدوده از تی 0 تا تی:

, (13.6)

کجا
، و انتگرال در سمت راست تکانه نیروهای خارجی برای است

زمان تی-تی 0 .

تساوی (13.6) قضیه را به شکل انتگرال ارائه می دهد:

افزایش تکانه یک سیستم مکانیکی در یک زمان محدود برابر است با ضربه نیروهای خارجی در این زمان.

قضیه نیز نامیده می شود قضیه تکانه

در پیش بینی ها روی محورهای مختصات، قضیه به صورت زیر نوشته می شود:

نتایج (قوانین بقای حرکت)

1). اگر بردار اصلی نیروهای خارجی برای دوره زمانی در نظر گرفته شده برابر با صفر باشد، مقدار حرکت سیستم مکانیکی ثابت است، یعنی. اگر
,
.

2). اگر تابش بردار اصلی نیروهای خارجی بر روی هر محوری در بازه زمانی مورد بررسی صفر باشد، در این صورت پیش بینی تکانه سیستم مکانیکی بر روی این محور ثابت است.

آن ها اگر
که
.

قضیه حرکت مرکز جرم.معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی. قضیه حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی. قانون بقای حرکت مرکز جرم

قضیه تغییر تکانه.میزان حرکت یک نقطه مادی. انگیزه اولیه نیرو نیروی تکانه برای یک دوره زمانی محدود و فرافکنی آن بر روی محورهای مختصات. قضیه تغییر تکانه نقطه مادی در اشکال دیفرانسیل و متناهی.

میزان حرکت یک سیستم مکانیکی؛ بیان آن از طریق جرم سیستم و سرعت مرکز جرم آن. قضیه تغییر تکانه یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و متناهی. قانون بقای تکانه مکانیکی

(مفهوم جسم و نقطه ای با جرم متغیر. معادله مشچرسکی. فرمول Tsiolkovsky.)

قضیه تغییر تکانه زاویه ای.ممان تکانه یک نقطه مادی نسبت به مرکز و نسبت به محور. قضیه تغییر تکانه زاویه ای یک نقطه مادی. قدرت مرکزی پایستگی تکانه زاویه ای یک نقطه مادی در مورد نیروی مرکزی. (مفهوم سرعت بخش. قانون مساحت ها.)

ممان اصلی تکانه یا گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی نسبت به مرکز و نسبت به محور. گشتاور جنبشی یک جسم صلب در حال چرخش حول محور چرخش. قضیه تغییر گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی. قانون بقای تکانه زاویه ای یک سیستم مکانیکی. (قضیه تغییر گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی در حرکت نسبینسبت به مرکز جرم.)

قضیه تغییر انرژی جنبشی.انرژی جنبشی یک نقطه مادی. کار اولیه نیرو؛ بیان تحلیلی کار ابتدایی کاری که توسط نیرویی بر روی جابجایی نهایی نقطه اعمال آن انجام می شود. کار گرانش، نیروی کشسان و نیروی گرانشی. قضیه تغییر انرژی جنبشی یک نقطه مادی در اشکال دیفرانسیل و متناهی.

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی فرمول هایی برای محاسبه انرژی جنبشی یک جسم صلب در حین حرکت انتقالی، در حین چرخش حول یک محور ثابت و در حالت کلی حرکت (به ویژه در حین حرکت صفحه موازی). قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و متناهی. مجموع کار انجام شده توسط نیروهای داخلی در یک جسم جامد برابر با صفر است. کار و قدرت نیروهای اعمال شده به یک جسم صلب که حول یک محور ثابت می چرخد.

مفهوم میدان نیرو میدان نیروی بالقوه و تابع نیرو. بیان پیش بینی نیرو از طریق تابع نیرو. سطوح با پتانسیل برابر کار یک نیرو بر روی جابجایی نهایی یک نقطه در میدان نیروی بالقوه. انرژی بالقوه نمونه هایی از میدان های نیروی بالقوه: میدان گرانشی یکنواخت و میدان گرانشی. قانون بقای انرژی مکانیکی

دینامیک بدنه سفت و سختمعادلات دیفرانسیل حرکت انتقالی یک جسم صلب. معادله دیفرانسیل برای چرخش جسم صلب حول یک محور ثابت. آونگ فیزیکی. معادلات دیفرانسیل حرکت صفحه یک جسم صلب.

اصل دالامبراصل دالامبر برای یک نکته مادی. نیروی اینرسی اصل دالامبر برای یک سیستم مکانیکی. آوردن نیروهای اینرسی نقاط یک جسم صلب به مرکز؛ بردار اصلی و گشتاور اصلی نیروهای اینرسی.

(تعیین واکنش های دینامیکی یاتاقان ها در حین چرخش جسم صلب حول یک محور ثابت. حالتی که محور چرخش محور مرکزی اصلی اینرسی بدنه باشد.)

اصل حرکات ممکن و معادله کلی دینامیک.اتصالات اعمال شده بر روی یک سیستم مکانیکی حرکات ممکن (یا مجازی) یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. تعداد درجات آزادی سیستم. اتصالات ایده آل اصل حرکات ممکن معادله کلی دینامیک.

معادلات حرکت یک سیستم در مختصات تعمیم یافته (معادلات لاگرانژ).مختصات تعمیم یافته سیستم؛ سرعت های تعمیم یافته بیان کار ابتدایی در مختصات تعمیم یافته. نیروهای تعمیم یافته و محاسبه آنها. مورد نیروهای با پتانسیل شرایط تعادل یک سیستم در مختصات تعمیم یافته. معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم در مختصات تعمیم یافته یا معادلات لاگرانژ از نوع دوم. معادلات لاگرانژ در مورد نیروهای بالقوه. تابع لاگرانژ (پتانسیل جنبشی).

مفهوم پایداری تعادل ارتعاشات کوچک آزاد یک سیستم مکانیکی با یک درجه آزادی نزدیک به موقعیت تعادل پایدار سیستم و خواص آنها.

عناصر نظریه تاثیرپدیده ضربه. نیروی ضربه و ضربه ضربه. اثر نیروی ضربه بر یک نقطه مادی. قضیه تغییر حرکت یک سیستم مکانیکی بر اثر ضربه. ضربه مرکزی مستقیم بدن بر روی یک سطح ثابت؛ ضربه های الاستیک و غیر ارتجاعی ضریب بازیابی ضربه و تعیین تجربی آن. ضربه مرکزی مستقیم دو جسم. قضیه کارنو

مراجع

اساسی

بوتنین N.V.، Lunts Ya-L.، Merkin D.R.درس مکانیک نظری. T. 1, 2. M., 1985 و نسخه های قبلی.

Dobronravov V.V.، Nikitin N.N.درس مکانیک نظری. م.، 1983.

استارژینسکی وی. ام.مکانیک نظری. م.، 1980.

تارگ اس ام.دوره کوتاه مکانیک نظری. م.، 1986 و چاپ های قبلی.

یابلونسکی A. A.، Nikiforova V. M.درس مکانیک نظری. قسمت 1. م.، 1984 و چاپ های قبلی.

یابلونسکی A. A.درس مکانیک نظری. قسمت 2. م.، 1984 و چاپ های قبلی.

مشچرسکی I. V.مجموعه مشکلات در مکانیک نظری. م.، 1986 و چاپ های قبلی.

مجموعه مسائل مکانیک نظری / ویرایش. K. S. Kolesnikova. م.، 1983.

اضافی

Bat M. I.، Dzhanelidze G. Yu.، Kelzon A. S.مکانیک نظری در مثال ها و مسائل. قسمت 1، 2. م.، 1984 و چاپ های قبلی.

مجموعه مسائل مکانیک نظری/5razhnichen/so N. A.، Kan V. L.، Mintzberg B. L.و دیگران، 1987.

نووژیلوف I. V.، Zatsepin M. F.محاسبات معمولی مبتنی بر کامپیوتر در مکانیک نظری. م.، 1986،

مجموعه وظایف برای دورهدر مکانیک نظری / ویرایش. A. A. Yablonsky. M.، 1985 و نسخه های قبلی (شامل نمونه هایی از حل مسئله).