6.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

هنگام حل مسائل مختلف در ریاضیات و فیزیک، زیست شناسی و پزشکی، اغلب نمی توان بلافاصله یک رابطه عملکردی را در قالب فرمول اتصال برقرار کرد. متغیرها، که فرآیند مورد مطالعه را توصیف می کند. معمولاً باید از معادلاتی استفاده کنید که علاوه بر متغیر مستقل و تابع مجهول، مشتقات آن را نیز در بر گیرند.

تعریف.معادله ای که یک متغیر مستقل، یک تابع مجهول و مشتقات مرتبه های مختلف آن را به هم متصل می کند نامیده می شود دیفرانسیل.

معمولاً یک تابع ناشناخته مشخص می شود y(x)یا به سادگی y،و مشتقات آن - y", y"و غیره.

نامگذاری های دیگر نیز ممکن است، به عنوان مثال: اگر y= x(t)، سپس x"(t)، x""(t)- مشتقات آن، و تی- متغیر مستقل

تعریف.اگر تابعی به یک متغیر وابسته باشد، معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود. فرم کلی معادله دیفرانسیل معمولی:

یا

کارکرد افو fممکن است حاوی برخی از آرگومان ها نباشد، اما برای دیفرانسیل بودن معادلات، وجود یک مشتق ضروری است.

تعریف.ترتیب معادله دیفرانسیلمرتبه بالاترین مشتق موجود در آن نامیده می شود.

مثلا، x 2 y"- y= 0، y" + گناه ایکس= 0 معادلات مرتبه اول هستند و y"+ 2 y"+ 5 y= ایکس- معادله مرتبه دوم

هنگام حل معادلات دیفرانسیل، از عملیات یکپارچه سازی استفاده می شود که با ظاهر یک ثابت دلخواه همراه است. اگر عمل ادغام اعمال شود nبار، پس بدیهی است که راه حل شامل خواهد شد nثابت های دلخواه

6.2. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

فرم کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اولبا بیان مشخص می شود

معادله ممکن است به صراحت شامل نباشد ایکسو y،اما لزوماً حاوی y است».

اگر بتوان معادله را به صورت

سپس یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول با توجه به مشتق حل شده بدست می آوریم.

تعریف.جواب کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اول (6.3) (یا (6.4)) مجموعه ای از جواب ها است. ، جایی که با- ثابت دلخواه

نمودار حل معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال

دادن یک ثابت دلخواه بامقادیر مختلف، راه حل های جزئی را می توان به دست آورد. روی سطح xOyراه حل کلی خانواده ای از منحنی های انتگرال مربوط به هر راه حل خاص است.

اگر نقطه ای تعیین کنید A (x 0 , y 0)منحنی انتگرال باید از آن عبور کند، سپس، به عنوان یک قاعده، از مجموعه ای از توابع می توان یکی را مشخص کرد - یک راه حل خصوصی.

تعریف.تصمیم خصوصییک معادله دیفرانسیل حل آن است که حاوی ثابت دلخواه نباشد.

اگر یک راه حل کلی است، سپس از شرایط

می توانید یک ثابت پیدا کنید با.شرط نامیده می شود شرایط آغازین.

مشکل یافتن یک راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل (6.3) یا (6.4) که شرط اولیه را برآورده کند. در تماس گرفت مشکل کوشیآیا این مشکل همیشه راه حلی دارد؟ پاسخ در قضیه زیر آمده است.

قضیه کوشی(قضیه وجود و یکتایی یک راه حل). معادله دیفرانسیل را بگذارید y"= f(x,y)تابع f(x,y)و او

مشتق جزئی در برخی تعریف شده و مستمر است

منطقه د،حاوی یک نقطه سپس در منطقه Dوجود دارد

تنها تصمیممعادله ای که شرط اولیه را برآورده می کند در

قضیه کوشی بیان می کند که تحت شرایط خاص یک منحنی انتگرال منحصر به فرد وجود دارد y= f(x)عبور از یک نقطه نقاطی که در آن شرایط قضیه برقرار نیست

کوشی نامیده می شود خاصدر این نقاط می شکند f(x، y) یا.

یا چندین منحنی انتگرال یا هیچ یک از یک نقطه منفرد عبور نمی کنند.

تعریف.اگر راه حل (6.3)، (6.4) در شکل یافت شود f(x, y, ج)= 0، نسبت به y مجاز نیست، سپس فراخوانی می شود انتگرال کلیمعادله دیفرانسیل.

قضیه کوشی فقط وجود راه حل را تضمین می کند. از آنجایی که هیچ روش واحدی برای یافتن راه حل وجود ندارد، ما فقط برخی از انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر خواهیم گرفت که می توانند در آنها ادغام شوند. مربعات

تعریف.معادله دیفرانسیل نامیده می شود قابل ادغام در مربعات،اگر یافتن راه حل آن به ادغام توابع ختم شود.

6.2.1. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله با نامیده می شود متغیرهای قابل تفکیک،

سمت راست معادله (6.5) حاصل ضرب دو تابع است که هر کدام تنها به یک متغیر بستگی دارد.

مثلا معادله معادله ای با جداسازی است

با متغیرها
و معادله

نمی توان در فرم (6.5) نشان داد.

با توجه به اینکه ، (6.5) را در فرم بازنویسی می کنیم

از این معادله یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده بدست می آوریم که در آن دیفرانسیل ها توابعی هستند که فقط به متغیر مربوطه بستگی دارند:

ادغام ترم به ترم، داریم

جایی که C = C 2 - C 1 - ثابت دلخواه. عبارت (6.6) انتگرال کلی معادله (6.5) است.

با تقسیم هر دو طرف معادله (6.5) بر، می توانیم آن دسته از راه حل هایی را که برای آنها، در واقع، اگر در

که بدیهی است که راه حلی برای معادله (6.5) است.

مثال 1.برای معادله ای که جواب می دهد راه حلی پیدا کنید

وضعیت: y= 6 در ایکس= 2 (y(2) = 6).

راه حل.جایگزین خواهیم کرد y"سپس . هر دو طرف را در ضرب کنید

dx،از آنجایی که در طول ادغام بیشتر ترک آن غیرممکن است dxدر مخرج:

و سپس هر دو قسمت را به معادله را می گیریم،

که می تواند یکپارچه شود. بیایید ادغام کنیم:

سپس ; با تقویت، y = C را دریافت می کنیم. (x + 1) - ob-

راه حل کلی

با استفاده از داده های اولیه، یک ثابت دلخواه را تعیین می کنیم و آنها را به حل کلی جایگزین می کنیم

بالاخره می رسیم y= 2 (x + 1) یک راه حل خاص است. بیایید به چند مثال دیگر از حل معادلات با متغیرهای قابل تفکیک نگاه کنیم.

مثال 2.جواب معادله را پیدا کنید

راه حل.با توجه به اینکه ، ما گرفتیم .

با ادغام هر دو طرف معادله، داریم

جایی که

مثال 3.جواب معادله را پیدا کنید راه حل.ما هر دو طرف معادله را به عواملی تقسیم می کنیم که به متغیری بستگی دارد که با متغیر زیر علامت دیفرانسیل مطابقت ندارد، یعنی. و ادغام کنید. سپس می گیریم

و در نهایت

مثال 4.جواب معادله را پیدا کنید

راه حل.دانستن اینکه چه چیزی به دست خواهیم آورد. بخش

متغیرهای lim سپس

ادغام، دریافت می کنیم

اظهار نظر.در مثال های 1 و 2 تابع مورد نیاز است yبه صراحت بیان شده است (راه حل کلی). در مثال های 3 و 4 - به طور ضمنی (انتگرال کلی). در آینده شکل تصمیم گیری مشخص نخواهد شد.

مثال 5.جواب معادله را پیدا کنید راه حل.

مثال 6.جواب معادله را پیدا کنید ، رضایت بخش

وضعیت y(e)= 1.

راه حل.بیایید معادله را به شکل بنویسیم

ضرب دو طرف معادله در dxو در ادامه، دریافت می کنیم

با ادغام هر دو طرف معادله (انتگرال سمت راست توسط قطعات گرفته می شود)، به دست می آوریم

اما با توجه به شرایط y= 1 در ایکس= ه. سپس

بیایید مقادیر یافت شده را جایگزین کنیم بابه راه حل کلی:

عبارت حاصل را حل جزئی معادله دیفرانسیل می نامند.

6.2.2. معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه اول نامیده می شود همگن،اگر بتوان آن را در فرم نشان داد

اجازه دهید یک الگوریتم برای حل یک معادله همگن ارائه کنیم.

1-به جای آن yسپس یک تابع جدید معرفی می کنیم و بنابراین

2. از نظر عملکرد تومعادله (6.7) شکل می گیرد

یعنی جایگزینی کاهش می یابد معادله همگنبه معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک.

3. حل معادله (6.8)، ابتدا u را پیدا می کنیم و سپس y= ux.

مثال 1.معادله را حل کنید راه حل.بیایید معادله را به شکل بنویسیم

ما جایگزین را انجام می دهیم:
سپس

جایگزین خواهیم کرد

ضرب در dx: تقسیم بر ایکسو در سپس

با ادغام هر دو طرف معادله روی متغیرهای مربوطه، داریم

یا با بازگشت به متغیرهای قدیمی، در نهایت می‌گیریم

مثال 2.معادله را حل کنید راه حل.اجازه دهید سپس

بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم x2: بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات را دوباره مرتب کنیم:

با رفتن به متغیرهای قدیمی، به نتیجه نهایی می رسیم:

مثال 3.جواب معادله را پیدا کنید با توجه به اینکه

راه حل.انجام تعویض استاندارد ما گرفتیم

یا

یا

این بدان معنی است که راه حل خاص دارای فرم است مثال 4.جواب معادله را پیدا کنید

راه حل.

مثال 5.جواب معادله را پیدا کنید راه حل.

کار مستقل

حل معادلات دیفرانسیل را با متغیرهای قابل تفکیک بیابید (1-9).

برای معادلات دیفرانسیل همگن جواب پیدا کنید (9-18).

6.2.3. برخی از کاربردهای معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

مشکل واپاشی رادیواکتیو

سرعت واپاشی Ra (رادیوم) در هر لحظه از زمان متناسب با جرم موجود آن است. قانون واپاشی رادیواکتیو Ra را بیابید اگر بدانیم که در لحظه اولیه Ra وجود داشته و نیمه عمر Ra 1590 سال است.

راه حل.بگذارید در لحظه جرم Ra باشد ایکس= x(t) g، و سپس نرخ واپاشی Ra برابر است با

با توجه به شرایط مشکل

جایی که ک

با جدا کردن متغیرها در آخرین معادله و ادغام، به دست می آوریم

جایی که

برای تعیین سیاز شرط اولیه استفاده می کنیم: When .

سپس و بنابراین،

عامل تناسب کاز شرط اضافی تعیین می شود:

ما داریم

از اینجا و فرمول مورد نیاز

مشکل سرعت تولید مثل باکتری

سرعت تولید مثل باکتری ها متناسب با تعداد آنها است. در ابتدا 100 باکتری وجود داشت. در عرض 3 ساعت تعداد آنها دو برابر شد. وابستگی تعداد باکتری ها به زمان را پیدا کنید. تعداد باکتری ها در عرض 9 ساعت چند برابر می شود؟

راه حل.اجازه دهید ایکس- تعداد باکتری در یک زمان تیسپس با توجه به شرایط،

جایی که ک- ضریب تناسب

از اینجا از شرایط معلوم است که . به معنای،

از شرط اضافی . سپس

تابعی که به دنبال آن هستید:

بنابراین، هنگامی که تی= 9 ایکس= 800، یعنی در عرض 9 ساعت تعداد باکتری ها 8 برابر افزایش یافت.

مشکل افزایش مقدار آنزیم

در کشت مخمر آبجو، سرعت رشد آنزیم فعال متناسب با مقدار اولیه آن است. ایکس.مقدار اولیه آنزیم آدر عرض یک ساعت دو برابر شد وابستگی را پیدا کنید

x(t).

راه حل.با شرط، معادله دیفرانسیل فرآیند دارای شکل است

از اینجا

ولی . به معنای، سی= آو سپس

همچنین شناخته شده است که

از این رو،

6.3. معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

6.3.1. مفاهیم اساسی

تعریف.معادله دیفرانسیل مرتبه دومرابطه ای نامیده می شود که متغیر مستقل، تابع مورد نظر و مشتقات اول و دوم آن را به هم متصل می کند.

در موارد خاص، x ممکن است از معادله غایب باشد، دریا y". با این حال، یک معادله مرتبه دوم باید لزوماً حاوی y باشد." در حالت کلی، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود:

یا، در صورت امکان، به شکل حل شده با توجه به مشتق دوم:

همانطور که در مورد یک معادله مرتبه اول، برای یک معادله مرتبه دوم می تواند راه حل های کلی و جزئی وجود داشته باشد. راه حل کلی این است:

یافتن راه حلی خاص

تحت شرایط اولیه - داده شده است

اعداد) نامیده می شود مشکل کوشیاز نظر هندسی، این بدان معنی است که ما باید منحنی انتگرال را پیدا کنیم در= y (x)،عبور از یک نقطه معین و داشتن مماس در این نقطه که است

با جهت محور مثبت همسو می شود گاو نرزاویه مشخص شده ه. (شکل 6.1). مسئله کوشی راه حل منحصر به فردی دارد اگر سمت راست معادله (6.10)، بی وقفه

ناپیوسته است و دارای مشتقات جزئی پیوسته نسبت به اوه، اوه"در برخی از محله های نقطه شروع

برای یافتن ثابت ها در یک راه حل خصوصی گنجانده شده است، سیستم باید حل شود

برنج. 6.1.منحنی انتگرال

I. معادلات دیفرانسیل معمولی

1.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

معادله دیفرانسیل معادله ای است که یک متغیر مستقل را به هم مرتبط می کند ایکس، تابع مورد نیاز است yو مشتقات یا دیفرانسیل های آن.

معادله دیفرانسیل به صورت نمادین به صورت زیر نوشته می شود:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y,y,.., y (n))=0

اگر تابع مورد نیاز به یک متغیر مستقل وابسته باشد، معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود.

حل معادله دیفرانسیلتابعی نامیده می شود که این معادله را به یک هویت تبدیل می کند.

ترتیب معادله دیفرانسیلترتیب بالاترین مشتق موجود در این معادله است

مثال ها.

1. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید

جواب این معادله تابع y = 5 ln x است. در واقع، جایگزینی y"در معادله، هویت را دریافت می کنیم.

و این بدان معنی است که تابع y = 5 ln x– راه حلی برای این معادله دیفرانسیل است.

2. معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را در نظر بگیرید y" - 5y" +6y = 0. تابع جواب این معادله است.

واقعا، .

با جایگزینی این عبارات در معادله، به دست می آوریم: , – هویت.

و این بدان معنی است که تابع راه حل این معادله دیفرانسیل است.

ادغام معادلات دیفرانسیلفرآیند یافتن راه حل برای معادلات دیفرانسیل است.

حل کلی معادله دیفرانسیلتابع فرم نامیده می شود ، که به اندازه ترتیب معادله شامل ثابت دلخواه مستقل است.

حل جزئی معادله دیفرانسیلراه حلی است که از یک راه حل کلی برای مقادیر مختلف عددی ثابت های دلخواه بدست می آید. مقادیر ثابت دلخواه در مقادیر اولیه معینی از آرگومان و تابع یافت می شود.

نمودار یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال.

مثال ها

1. برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول راه حل خاصی پیدا کنید

xdx + ydy = 0، اگر y= 4 در ایکس = 3.

راه حل. با ادغام هر دو طرف معادله، به دست می آوریم

اظهار نظر. یک ثابت دلخواه C که در نتیجه ادغام به دست می آید را می توان به هر شکلی که برای تبدیل های بعدی مناسب است نشان داد. در این مورد، با در نظر گرفتن معادله متعارف یک دایره، نشان دادن یک ثابت دلخواه C به شکل راحت است.

- حل کلی معادله دیفرانسیل.

حل خاص معادله ای که شرایط اولیه را برآورده می کند y = 4 در ایکس = 3 از کلی با جایگزین کردن شرایط اولیه به راه حل کلی پیدا می شود: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

با جایگزینی C=5 به جواب کلی، دریافت می کنیم x 2 +y 2 = 5 2 .

این یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل است که از یک راه حل کلی در شرایط اولیه مشخص به دست می آید.

2. جواب کلی معادله دیفرانسیل را بیابید

راه حل این معادله هر تابعی از شکل است که در آن C یک ثابت دلخواه است. در واقع، با جایگزینی معادلات، به دست می آوریم: , .

در نتیجه، این معادله دیفرانسیل دارای بی نهایت جواب است، زیرا برای مقادیر مختلف ثابت C، تساوی راه حل های متفاوتی را برای معادله تعیین می کند.

به عنوان مثال، با جایگزینی مستقیم می توانید تأیید کنید که توابع راه حل های معادله هستند.

مسئله ای که در آن باید راه حل خاصی برای معادله پیدا کنید y" = f(x,y)ارضای شرایط اولیه y (x 0) = y 0، مسئله کوشی نامیده می شود.

حل معادله y" = f(x,y)، ارضای شرایط اولیه، y (x 0) = y 0، راه حلی برای مشکل کوشی نامیده می شود.

راه حل مسئله کوشی معنای هندسی ساده ای دارد. در واقع، با توجه به این تعاریف، مشکل کوشی را حل کنید y" = f(x,y)با توجه به اینکه y (x 0) = y 0، یعنی پیدا کردن منحنی انتگرال معادله y" = f(x,y)که از یک نقطه معین می گذرد M 0 (x 0,y 0).

II. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

2.1. مفاهیم اساسی

یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول معادله ای از فرم است F(x,y,y") = 0.

معادله دیفرانسیل مرتبه اول مشتق اول را شامل می شود و مشتقات مرتبه بالاتر را شامل نمی شود.

معادله y" = f(x,y)معادله مرتبه اول حل شده با توجه به مشتق نامیده می شود.

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول تابعی از شکل است که شامل یک ثابت دلخواه است.

مثال.یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را در نظر بگیرید.

راه حل این معادله تابع است.

در واقع، با جایگزینی این معادله با مقدار آن، دریافت می کنیم

به این معنا که 3x=3x

بنابراین، تابع یک راه حل کلی برای معادله برای هر ثابت C است.

راه حل خاصی برای این معادله پیدا کنید که شرط اولیه را برآورده کند y(1)=1جایگزینی شرایط اولیه x = 1، y = 1به حل کلی معادله، از کجا می‌رسیم C=0.

بنابراین، با جایگزین کردن مقدار به دست آمده در این معادله، یک راه حل خاص از یک راه حل عمومی به دست می آوریم C=0- راه حل خصوصی

2.2. معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک معادله ای به شکل زیر است: y"=f(x)g(y)یا از طریق دیفرانسیل، که در آن f(x)و g(y)- توابع مشخص شده

برای آن ها y، که برای آن، معادله y"=f(x)g(y)معادل معادله است، که در آن متغیر yفقط در سمت چپ وجود دارد و متغیر x فقط در سمت راست است. آنها می گویند: «در معادله y"=f(x)g(yبیایید متغیرها را از هم جدا کنیم."

معادله فرم معادله متغیر جدا شده نامیده می شود.

ادغام دو طرف معادله توسط ایکس، ما گرفتیم G(y) = F(x) + Cجواب کلی معادله است که در آن G(y)و F(x)- برخی از ضد مشتقات، به ترتیب، از توابع و f(x), سیثابت دلخواه

الگوریتم حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک

مثال 1

معادله را حل کنید y" = xy

راه حل. مشتق از یک تابع y"آن را جایگزین کنید

بیایید متغیرها را از هم جدا کنیم

بیایید هر دو طرف برابری را ادغام کنیم:

مثال 2

2 سال" = 1- 3x 2، اگر y 0 = 3در x 0 = 1

این یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید آن را در دیفرانسیل تصور کنیم. برای این کار این معادله را در فرم بازنویسی می کنیم از اینجا

با ادغام هر دو طرف آخرین برابری، متوجه می شویم

جایگزینی مقادیر اولیه x 0 = 1، y 0 = 3ما پیدا خواهیم کرد با 9=1-1+سی، یعنی C = 9.

بنابراین، انتگرال جزئی مورد نیاز خواهد بود یا

مثال 3

برای منحنی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید M(2;-3)و داشتن مماس با ضریب زاویه ای

راه حل. با توجه به شرایط

این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است. با تقسیم متغیرها به دست می آید:

با ادغام هر دو طرف معادله، بدست می آوریم:

با استفاده از شرایط اولیه، x = 2و y = - 3ما پیدا خواهیم کرد سی:

بنابراین معادله مورد نیاز شکل دارد

2.3. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول معادله ای از فرم است y" = f(x)y + g(x)

جایی که f(x)و g(x)- برخی از توابع مشخص شده

اگر g(x)=0سپس معادله دیفرانسیل خطی همگن نامیده می شود و به شکل زیر است: y" = f(x)y

اگر پس معادله y" = f(x)y + g(x)ناهمگن نامیده می شود.

حل کلی معادله دیفرانسیل همگن خطی y" = f(x)yبا فرمول: Where با- ثابت دلخواه

به ویژه، اگر C=0،سپس راه حل است y = 0اگر یک معادله همگن خطی دارای شکل باشد y" = کیجایی که کمقداری ثابت است، سپس حل کلی آن به شکل زیر است: .

حل کلی معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی y" = f(x)y + g(x)با فرمول داده می شود ,

آن ها برابر است با مجموع جواب کلی معادله همگن خطی مربوطه و جواب خاص این معادله.

برای یک معادله ناهمگن خطی شکل y" = kx + b,

جایی که کو ب- برخی از اعداد و یک راه حل خاص تابع ثابت خواهند بود. بنابراین، راه حل کلی شکل دارد.

مثال. معادله را حل کنید y" + 2y +3 = 0

راه حل. بیایید معادله را به شکل نمایش دهیم y" = -2y - 3جایی که k = -2، b= -3راه حل کلی با فرمول ارائه می شود.

بنابراین، جایی که C یک ثابت دلخواه است.

2.4. حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول به روش برنولی

یافتن یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول y" = f(x)y + g(x)به حل دو معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده با استفاده از جایگزینی کاهش می یابد y=uv، جایی که توو v- توابع ناشناخته از ایکس. این روش حل را روش برنولی می نامند.

الگوریتم حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول

y" = f(x)y + g(x)

1. جایگزینی را وارد کنید y=uv.

2. این برابری را متمایز کنید y" = u"v + uv"

3. جایگزین yو y"در این معادله: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)یا u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. عبارات معادله را طوری گروه بندی کنید که توآن را از پرانتز خارج کنید:

5. از براکت، با برابر کردن آن با صفر، تابع را پیدا کنید

این یک معادله قابل تفکیک است:

بیایید متغیرها را تقسیم کنیم و بدست آوریم:

جایی که . .

6. مقدار حاصل را جایگزین کنید vبه معادله (از مرحله 4):

و تابع را پیدا کنید این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است:

7- راه حل کلی را به شکل زیر بنویسید: ، یعنی .

مثال 1

یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنید y" = -2y +3 = 0اگر y=1در x = 0

راه حل. بیایید آن را با استفاده از جایگزینی حل کنیم y=uv،.y" = u"v + uv"

جایگزین کردن yو y"به این معادله می رسیم

با گروه بندی جمله های دوم و سوم در سمت چپ معادله، عامل مشترک را خارج می کنیم تو خارج از پرانتز

عبارت داخل پرانتز را با صفر برابر می کنیم و با حل معادله حاصل، تابع را پیدا می کنیم v = v(x)

معادله ای با متغیرهای جدا شده بدست می آوریم. بیایید هر دو طرف این معادله را ادغام کنیم: تابع را پیدا کنید v:

بیایید مقدار حاصل را جایگزین کنیم vدر معادله به دست می آوریم:

این یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم: بیایید تابع را پیدا کنیم u = u(x,c) بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم: اجازه دهید یک راه حل خاص برای معادله پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند y = 1در x = 0:

III. معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

3.1. مفاهیم و تعاریف اساسی

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم معادله ای است که مشتقات آن بالاتر از مرتبه دوم نباشد. در حالت کلی، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر نوشته می شود: F(x،y،y،y") = 0

جواب کلی یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم تابعی از شکل است که شامل دو ثابت دلخواه است. ج 1و ج 2.

یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم، راه حلی است که از یک جواب کلی برای مقادیر معینی از ثابت های دلخواه به دست می آید. ج 1و ج 2.

3.2. معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت

معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابتمعادله فرم نامیده می شود y" + py" +qy = 0، جایی که پو q- مقادیر ثابت

الگوریتم حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت

1. معادله دیفرانسیل را به شکل زیر بنویسید: y" + py" +qy = 0.

2. معادله مشخصه آن را ایجاد کنید، نشان دهید y"از طریق r 2, y"از طریق r, yدر 1: r 2 + pr + q = 0

یا قبلاً با توجه به مشتق حل شده اند یا می توان آنها را با توجه به مشتق حل کرد. .

حل کلی معادلات دیفرانسیل از نوع بر روی بازه ایکسرا می توان با گرفتن انتگرال هر دو طرف این برابری پیدا کرد.

ما گرفتیم .

اگر به خصوصیات انتگرال نامعین نگاه کنیم، جواب کلی مورد نظر را پیدا می کنیم:

y = F(x) + C,

جایی که F(x)- یکی از توابع ضد مشتق f(x)در بین ایکس، آ با- ثابت دلخواه

لطفا توجه داشته باشید که در اکثر مشکلات فاصله ایکسنشان نمی دهد. یعنی باید برای همه راه حلی پیدا کرد. ایکس، برای آن و تابع مورد نظر yو معادله اصلی معنا پیدا می کند.

اگر شما نیاز به محاسبه یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل دارید که شرایط اولیه را برآورده می کند y (x 0) = y 0، سپس پس از محاسبه انتگرال عمومی y = F(x) + C، هنوز باید مقدار ثابت را تعیین کرد C = C 0، با استفاده از شرایط اولیه. یعنی یک ثابت C = C 0از معادله تعیین می شود F(x 0) + C = y 0و حل جزئی مورد نظر معادله دیفرانسیل به شکل زیر خواهد بود:

y = F(x) + C 0.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

بیایید یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل پیدا کنیم و صحت نتیجه را بررسی کنیم. اجازه دهید راه حل خاصی برای این معادله پیدا کنیم که شرایط اولیه را برآورده کند.

راه حل:

پس از ادغام معادله دیفرانسیل داده شده، به دست می آید:

.

بیایید این انتگرال را با استفاده از روش ادغام با قطعات در نظر بگیریم:

که.، یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل است.

برای اطمینان از صحت نتیجه، بیایید بررسی کنیم. برای انجام این کار، راه حلی را که پیدا کردیم در معادله داده شده جایگزین می کنیم:

.

آن موقع است که معادله اصلی به یک هویت تبدیل می شود:

بنابراین حل کلی معادله دیفرانسیل به درستی تعیین شد.

راه حلی که ما پیدا کردیم یک راه حل کلی برای معادله دیفرانسیل برای هر مقدار واقعی آرگومان است ایکس.

باقی مانده است که یک راه حل خاص برای ODE محاسبه شود که شرایط اولیه را برآورده کند. به عبارت دیگر، محاسبه مقدار ثابت ضروری است با، که در آن برابری صادق خواهد بود:

.

.

سپس، جایگزینی C = 2در حل کلی ODE، یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل به دست می آوریم که شرایط اولیه را برآورده می کند:

.

معادله دیفرانسیل معمولی برای مشتق می توان با تقسیم دو طرف معادله بر f(x). این تبدیل معادل خواهد بود اگر f(x)تحت هیچ شرایطی به صفر نمی رسد ایکساز فاصله ادغام معادله دیفرانسیل ایکس.

به احتمال زیاد موقعیت هایی وجود دارد که برای برخی از مقادیر استدلال وجود دارد ایکس ∈ ایکسکارکرد f(x)و g(x)به طور همزمان صفر می شوند. برای مقادیر مشابه ایکسجواب کلی معادله دیفرانسیل هر تابعی است y، که در آنها تعریف شده است، زیرا .

اگر برای برخی از مقادیر آرگومان ایکس ∈ ایکسشرط برآورده است، به این معنی که در این مورد ODE هیچ راه حلی ندارد.

برای بقیه ایکساز فاصله ایکسحل کلی معادله دیفرانسیل از معادله تبدیل شده تعیین می شود.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

مثال 1.

بیایید یک راه حل کلی برای ODE پیدا کنیم: .

راه حل.

از خصوصیات توابع ابتدایی اولیه مشخص است که تابع لگاریتم طبیعی برای مقادیر غیر منفی آرگومان تعریف شده است، بنابراین دامنه تعریف عبارت ln(x+3)فاصله وجود دارد ایکس > -3 . این بدان معنی است که معادله دیفرانسیل داده شده برای آن منطقی است ایکس > -3 . برای این مقادیر آرگومان، عبارت x+3ناپدید نمی شود، بنابراین می توانید ODE را برای مشتق با تقسیم 2 قسمت بر حل کنید x + 3.

ما گرفتیم .

در مرحله بعد، معادله دیفرانسیل حاصل را با توجه به مشتق حل شده ادغام می کنیم: . برای گرفتن این انتگرال، از روش جمع کردن علامت دیفرانسیل استفاده می کنیم.