هدف:

• شکل گیری مفهوم ضد مشتق.
• آمادگی برای درک انتگرال.
• شکل گیری مهارت های محاسباتی.
• پرورش حس زیبایی (توانایی دیدن زیبایی در موارد غیرعادی).

تحلیل ریاضی مجموعه‌ای از شاخه‌های ریاضیات است که به مطالعه توابع و تعمیم آنها با استفاده از روش‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال اختصاص دارد.

تاکنون شاخه ای از آنالیز ریاضی به نام حساب دیفرانسیل را مطالعه کرده ایم که ماهیت آن مطالعه یک تابع در "کوچک" است.

آن ها مطالعه یک تابع در محله های به اندازه کافی کوچک هر نقطه تعریف. یکی از عملیات تمایز یافتن مشتق (دیفرانسیل) و به کار بردن آن در مطالعه توابع است.

مسئله معکوس هم کم اهمیت نیست. اگر رفتار یک تابع در مجاورت هر نقطه از تعریف آن مشخص باشد، پس چگونه می توان آن تابع را به عنوان یک کل بازسازی کرد. در کل محدوده تعریف آن. این مسئله موضوع مطالعه حساب انتگرال است.

ادغام عمل معکوس تمایز است. یا بازیابی تابع f(x) از مشتق داده شده f`(x). کلمه لاتین "integro" به معنای بازسازی است.

مثال شماره 1.

اجازه دهید (x)`=3x 2.
بیایید f(x) را پیدا کنیم.

راه حل:

بر اساس قاعده تمایز، حدس زدن f(x) = x 3 دشوار نیست، زیرا (x3)` = 3x2
با این حال، شما به راحتی می توانید متوجه شوید که f(x) به طور یکتا یافت نمی شود.
به عنوان f(x) می توانیم بگیریم
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 و غیره

زیرا مشتق هر یک از آنها برابر با 3x2 است. (مشتق یک ثابت 0 است). همه این توابع با یک جمله ثابت با یکدیگر تفاوت دارند. به همین دلیل است راه حل کلیمسئله را می توان به شکل f(x)= x 3 +C نوشت، که در آن C هر عدد واقعی ثابت است.

هر یک از توابع یافت شده f(x) فراخوانی می شود PRIMODIUMبرای تابع F`(x)= 3x 2

تعریف. یک تابع F(x) برای تابع f(x) در بازه J معین، پاد مشتق نامیده می شود، اگر برای تمام x از این بازه F`(x)= f(x). بنابراین تابع F(x)=x 3 برای f(x)=3x 2 در (-∞ ; ∞) ضد مشتق است.
از آنجایی که برای همه x ~R برابری درست است: F`(x)=(x 3)`=3x 2

همانطور که قبلاً متوجه شدیم، این تابعدارای تعداد نامتناهی ضد مشتقات است (به مثال شماره 1 مراجعه کنید).

مثال شماره 2. تابع F(x)=x برای همه f(x)= 1/x در بازه (0; +) ضد مشتق است، زیرا برای تمام x از این بازه، تساوی برقرار است.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

مثال شماره 3. تابع F(x)=tg3x یک پاد مشتق برای f(x)=3/cos3x در بازه (-n/) است. 2; p/ 2),
چون F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

مثال شماره 4. تابع F(x)=3sin4x+1/x-2 برای f(x)=12cos4x-1/x2 در بازه (0;∞) ضد مشتق است.
چون F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

سخنرانی 2.

موضوع: ضد مشتق. ویژگی اصلی یک تابع ضد مشتق.

هنگام مطالعه ضد مشتق، به عبارت زیر تکیه می کنیم. علامت ثبات یک تابع: اگر در بازه J مشتق Ψ(x) تابع برابر با 0 باشد، در این بازه تابع Ψ(x) ثابت است.

این عبارت را می توان به صورت هندسی نشان داد.

مشخص است که Ψ`(x)=tgα، γde α زاویه میل مماس بر نمودار تابع Ψ(x) در نقطه با آبسیسا x 0 است. اگر Ψ`(υ)=0 در هر نقطه از بازه J، آنگاه tanα=0 δ برای هر مماس بر نمودار تابع Ψ(x). این بدان معنی است که مماس بر نمودار تابع در هر نقطه موازی با محور آبسیسا است. بنابراین، در بازه مشخص شده، نمودار تابع Ψ(x) با پاره خط مستقیم y=C منطبق است.

بنابراین، تابع f(x)=c در بازه J ثابت است اگر f`(x)=0 در این بازه.

در واقع، برای یک x 1 و x 2 دلخواه از بازه J، با استفاده از قضیه روی مقدار میانگین یک تابع، می‌توانیم بنویسیم:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1)، زیرا f`(c)=0، سپس f(x 2)= f(x 1)

قضیه: (ویژگی اصلی تابع ضد مشتق)

اگر F(x) یکی از پاد مشتق‌های تابع f(x) در بازه J باشد، مجموعه تمام پاد مشتق‌های این تابع به شکل F(x) + C است که در آن C هر عدد واقعی است.

اثبات:

اجازه دهید F`(x) = f (x)، سپس (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x)، برای x Є J.
فرض کنید Φ(x) وجود دارد - ضد مشتق دیگری برای f (x) در بازه J، یعنی. Φ`(x) = f (x)،
سپس (Φ(x) - F(x))` = f (x) - f (x) = 0، برای x Є J.
این بدان معنی است که Φ(x) - F(x) در بازه J ثابت است.
بنابراین، Φ(x) - F(x) = C.
از جایی که Φ(x)= F(x)+C.
این بدان معنی است که اگر F(x) یک پاد مشتق برای تابع f (x) در بازه J باشد، مجموعه تمام پاد مشتق های این تابع به شکل: F(x)+C است که در آن C هر عدد واقعی است.
در نتیجه، هر دو ضد مشتق از یک تابع معین با یک جمله ثابت با یکدیگر تفاوت دارند.

مثال: مجموعه پاد مشتق های تابع f (x) = cos x را بیابید. نمودارهای سه مورد اول را رسم کنید.

راه حل: Sin x یکی از پاد مشتق‌های تابع f (x) = cos x است
F(x) = Sin x+C – مجموعه همه پاد مشتق ها.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

تصویر هندسی:نمودار هر ضد مشتق F(x)+C را می توان از نمودار ضد مشتق F(x) با استفاده از انتقال موازی r (0;c) بدست آورد.

مثال: برای تابع f (x) = 2x، یک پاد مشتق را پیدا کنید که نمودار آن از t.M عبور کند (1;4)

راه حل: F(x)=x 2 +C – مجموعه تمام پاد مشتق ها، F(1)=4 – با توجه به شرایط مسئله.
بنابراین، 4 = 1 2 + C
C = 3
F(x) = x 2 +3

ضد مشتق.

ضد مشتق با یک مثال به راحتی قابل درک است.

بیایید تابع را بگیریم y = x 3. همانطور که از بخش های قبلی می دانیم، مشتق از X 3 می شود 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

بنابراین، از تابع y = x 3 دریافت می کنیم ویژگی جدید: در = 3X 2 .
به بیان تصویری، عملکرد در = X 3 عملکرد تولید شده در = 3X 2 و «والد» آن است. در ریاضیات کلمه "والد" وجود ندارد، اما یک مفهوم مرتبط وجود دارد: ضد مشتق.

یعنی: تابع y = x 3 ضد مشتق تابع است در = 3X 2 .

تعریف آنتی مشتق:

در مثال ما ( X 3)" = 3X 2 بنابراین y = x 3 - ضد مشتق برای در = 3X 2 .

یکپارچه سازی.

همانطور که می دانید فرآیند یافتن مشتق یک تابع معین را تمایز می گویند. و عمل معکوس را یکپارچه سازی می نامند.

مثال - توضیح:

در = 3X 2 + گناه x.

راه حل:

ما می دانیم که ضد مشتق برای 3 X 2 است X 3 .

ضد مشتق برای گناه x cos است x.

دو ضد مشتق اضافه می کنیم و ضد مشتق برای تابع داده شده به دست می آوریم:

y = x 3 + (-cos x),

y = x 3 - cos x.

پاسخ:
برای عملکرد در = 3X 2 + گناه x y = x 3 - cos x.

مثال - توضیح:

بیایید یک ضد مشتق برای تابع پیدا کنیم در= 2 گناه x.

راه حل:

توجه می کنیم که k = 2. ضد مشتق برای گناه x cos است x.

بنابراین، برای تابع در= 2 گناه xضد مشتق تابع است در= -2cos x.
ضریب 2 در تابع y = 2 sin xمربوط به ضریب ضد مشتقی است که این تابع از آن تشکیل شده است.

مثال - توضیح:

بیایید یک ضد مشتق برای تابع پیدا کنیم y= گناه 2 x.

راه حل:

ما متوجه آن هستیم ک= 2. ضد مشتق برای گناه x cos است x.

ما فرمول خود را برای یافتن پاد مشتق تابع اعمال می کنیم y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
پاسخ: برای یک تابع y= گناه 2 xضد مشتق تابع است y = – ----
2

(4)

مثال - توضیح.

بیایید تابع را از مثال قبلی بگیریم: y= گناه 2 x.

برای این تابع، همه آنتی مشتق ها به شکل زیر هستند:

cos 2 x
y = – ---- + سی.
2

توضیح.

بیایید خط اول را انتخاب کنیم. به صورت زیر خوانده می شود: اگر تابع y = f( x) 0 است، سپس ضد مشتق آن 1 است. چرا؟ زیرا مشتق واحد صفر است: 1 = 0.

سطرهای باقی مانده به همین ترتیب خوانده می شوند.

چگونه داده ها را از جدول بنویسیم؟ بیایید خط هشت را در نظر بگیریم:

(-cos x)" = گناه x

قسمت دوم را با علامت مشتق و سپس علامت مساوی و مشتق می نویسیم.

می خوانیم: ضد مشتق برای تابع sin xتابع cos است x.

یا: تابع -cos xضد مشتق برای تابع sin است x.

بیایید حرکت یک نقطه را در امتداد یک خط مستقیم در نظر بگیریم. بگذار زمان ببرد تیاز ابتدای حرکت نقطه مسافتی را طی کرده است s(t).سپس سرعت آنی v(t)برابر با مشتق تابع s(t)،یعنی v(t) = s"(t).

در عمل با مشکل معکوس مواجه می شویم: با توجه به سرعت حرکت یک نقطه v(t)مسیری را که او طی کرده است پیدا کند s(t)، یعنی چنین تابعی را پیدا کنید s(t)،که مشتق آن برابر است با v(t). تابع s(t)،به گونه ای که s"(t) = v(t)، ضد مشتق تابع نامیده می شود v(t).

به عنوان مثال، اگر v(t) = аt، کجا الفیک عدد داده شده است، سپس تابع
s(t) = (در 2) / 2v(t)چون
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

تابع F(x)پاد مشتق تابع نامیده می شود f(x)در یک فاصله زمانی، اگر برای همه Xاز این شکاف F"(x) = f(x).

به عنوان مثال، تابع F(x) = گناه xضد مشتق تابع است f(x) = cos x،چون (سین x)" = cos x; تابع F(x) = x 4/4ضد مشتق تابع است f(x) = x 3، زیرا (x 4/4)" = x 3.

بیایید مشکل را در نظر بگیریم.

وظیفه.

ثابت کنید که توابع x 3 / 3، x 3 / 3 + 1، x 3 / 3 – 4 ضد مشتقات همان تابع f(x) = x 2 هستند.

راه حل.

1) اجازه دهید F 1 (x) = x 3 /3 را نشان دهیم، سپس F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1، F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4، F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

به طور کلی، هر تابع x 3 / 3 + C، که در آن C یک ثابت است، ضد مشتق تابع x 2 است. این از این واقعیت ناشی می شود که مشتق ثابت صفر است. این مثال نشان می دهد که برای یک تابع معین، ضد مشتق آن به طور مبهم تعیین می شود.

فرض کنید F 1 (x) و F 2 (x) دو ضد مشتق از یک تابع f(x) باشند.

سپس F 1 "(x) = f(x) و F" 2 (x) = f(x).

مشتق تفاوت آنها g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) برابر با صفر است، زیرا g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.

اگر g"(x) = 0 در یک بازه معین، آنگاه مماس بر نمودار تابع y = g(x) در هر نقطه از این بازه، موازی با محور Ox است. بنابراین، نمودار تابع y = g(x) یک خط مستقیم موازی با محور Ox است، یعنی g(x) = C، که در آن C مقداری ثابت است g(x) = C، g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) نتیجه می شود که F 1 (x) = F 2 (x) + S.

بنابراین، اگر تابع F(x) پاد مشتق تابع f(x) در بازه‌ای معین باشد، آنگاه همه پاد مشتق‌های تابع f(x) به شکل F(x) + C نوشته می‌شوند، جایی که C یک ثابت دلخواه

بیایید نمودارهای همه پاد مشتق‌های تابع f(x) را در نظر بگیریم. اگر F(x) یکی از پاد مشتق های تابع f(x) باشد، هر پاد مشتق این تابع با افزودن مقداری ثابت به F(x) به دست می آید: F(x) + C. نمودارهای توابع y = F( x) + C از نمودار y = F(x) با تغییر در محور Oy به دست می آید. با انتخاب C، می توانید اطمینان حاصل کنید که نمودار ضد مشتق از یک نقطه معین عبور می کند.

اجازه دهید به قوانین یافتن ضد مشتقات توجه کنیم.

به یاد بیاورید که عملیات یافتن مشتق برای یک تابع معین نامیده می شود تمایز. عمل معکوس یافتن پاد مشتق برای یک تابع معین نامیده می شود ادغام(از کلمه لاتین "بازیابی").

جدول آنتی مشتقاتبرای برخی از توابع می توان آن را با استفاده از جدول مشتقات کامپایل کرد. مثلاً دانستن آن (cos x)" = -sin x،دریافت می کنیم (-cos x)" = گناه x، که از آن نتیجه می شود که همه توابع ضد مشتق گناه xدر فرم نوشته شده اند -cos x + C، کجا با- ثابت

بیایید به برخی از معانی ضد مشتقات نگاه کنیم.

1) عملکرد: x p، p ≠ -1. ضد مشتق: (x p+1) / (p+1) + C.

2) عملکرد: 1/x، x > 0.ضد مشتق: ln x + C.

3) عملکرد: x p، p ≠ -1. ضد مشتق: (x p+1) / (p+1) + C.

4) عملکرد: e x. ضد مشتق: e x + C.

5) عملکرد: گناه x. ضد مشتق: -cos x + C.

6) عملکرد: (kx + b) p، р ≠ -1، k ≠ 0.ضد مشتق: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) عملکرد: 1/(kx + b)، k ≠ 0. ضد مشتق: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) عملکرد: e kx + b، k ≠ 0. ضد مشتق: (1/k) e kx + b + C.

9) عملکرد: sin (kx + b)، k ≠ 0. ضد مشتق: (-1/k) cos (kx + b).

10) عملکرد: cos (kx + b)، k ≠ 0.ضد مشتق: (1/k) گناه (kx + b).

قوانین یکپارچه سازیرا می توان با استفاده از قوانین تمایز. بیایید به برخی از قوانین نگاه کنیم.

اجازه دهید F(x)و G(x)- ضد مشتقات توابع مربوطه f(x)و g(x)در یک فاصله زمانی سپس:

1) تابع F(x) ± G(x)ضد مشتق تابع است f(x) ± g(x);

2) تابع аF(x)ضد مشتق تابع است аf(x).

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

حل انتگرال ها کار آسانی است، اما فقط برای تعداد معدودی. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را بفهمند، اما چیزی یا تقریباً هیچ چیز در مورد آنها نمی دانند. انتگرال ... چرا مورد نیاز است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ انتگرال معین و نامعین چیست؟ اگر تنها استفاده ای که از انتگرال می شناسید استفاده از قلاب قلاب بافی به شکل یک نماد انتگرال است تا چیز مفیدی از آن به دست آورید. مکان های سخت دسترسی، پس خوش آمدید! دریابید که چگونه انتگرال ها را حل کنید و چرا نمی توانید بدون آن کار کنید.

ما مفهوم "انتگرال" را مطالعه می کنیم

ادغام در گذشته شناخته شده بود مصر باستان. البته نه در فرم مدرن، اما هنوز از آن زمان، ریاضیدانان کتاب های زیادی در این زمینه نوشته اند. به خصوص خود را متمایز کردند نیوتن و لایب نیتس ، اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است. چگونه انتگرال ها را از ابتدا بفهمیم؟ به هیچ وجه! برای درک این مبحث، همچنان به دانش اولیه مبانی آنالیز ریاضی نیاز دارید. این اطلاعات اساسی است که در وبلاگ ما خواهید یافت.

انتگرال نامعین

اجازه دهید عملکردی داشته باشیم f(x) .

تابع انتگرال نامعین f(x) این تابع نامیده می شود F(x) ، که مشتق آن برابر با تابع است f(x) .

به عبارت دیگر، انتگرال مشتق معکوس یا ضد مشتق است. به هر حال، در مورد چگونگی در مقاله ما بخوانید.

یک پاد مشتق برای همه توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، اغلب یک علامت ثابت به ضد مشتق اضافه می شود، زیرا مشتقات توابعی که با یک ثابت متفاوت هستند، مطابقت دارند. فرآیند یافتن انتگرال را انتگرال می گویند.

مثال ساده:

برای اینکه به طور مداوم ضد مشتقات توابع ابتدایی را محاسبه نکنید، راحت است آنها را در یک جدول خلاصه کنید و از مقادیر آماده استفاده کنید:

انتگرال معین

وقتی با مفهوم انتگرال سروکار داریم، با کمیت های بی نهایت کوچک سروکار داریم. انتگرال به محاسبه مساحت یک شکل، جرم یک جسم غیریکنواخت، مسافت طی شده در هنگام حرکت ناهموار و موارد دیگر کمک می کند. باید به خاطر داشت که انتگرال مجموع تعداد بی نهایت زیادی از جمله های بی نهایت کوچک است.

به عنوان مثال، نموداری از یک تابع را تصور کنید. چگونه مساحت شکل محدود شده با نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟

با استفاده از یک انتگرال! اجازه دهید ذوزنقه منحنی را که توسط محورهای مختصات و نمودار تابع محدود شده است، به بخش های بی نهایت کوچک تقسیم کنیم. به این ترتیب شکل به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها مساحت ذوزنقه خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسبه ای نتیجه تقریبی خواهد داشت. با این حال، هرچه قطعات کوچکتر و باریکتر باشند، محاسبه دقیق تر خواهد بود. اگر آنها را به حدی کاهش دهیم که طول به صفر برسد، مجموع مساحت قطعات به مساحت شکل متمایل می شود. این یک انتگرال معین است که به صورت زیر نوشته شده است:

نقاط a و b حد ادغام نامیده می شود.

باری علیباسوف و گروه "اینتگرال"

اتفاقا! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است

قوانین محاسبه انتگرال برای آدمک ها

خواص انتگرال نامعین

چگونه یک انتگرال نامعین را حل کنیم؟ در اینجا به ویژگی های انتگرال نامعین می پردازیم که در حل مثال ها مفید خواهد بود.

• مشتق انتگرال برابر با انتگرال است:

• ثابت را می توان از زیر علامت انتگرال خارج کرد:

• انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها. این در مورد تفاوت نیز صادق است:

ویژگی های یک انتگرال معین

• خطی بودن:

• علامت انتگرال در صورت تعویض حدود یکپارچه تغییر می کند:

• در هرامتیاز الف, بو با:

قبلاً فهمیدیم که انتگرال معین حد یک جمع است. اما چگونه می توان یک مقدار خاص را هنگام حل یک مثال به دست آورد؟ برای این کار فرمول نیوتن-لایب نیتس وجود دارد:

نمونه هایی از حل انتگرال ها

در زیر چندین نمونه از یافتن انتگرال نامعین را بررسی خواهیم کرد. ما از شما دعوت می کنیم که پیچیدگی های راه حل را خودتان بفهمید و اگر چیزی نامشخص است، در نظرات سؤالات خود را بپرسید.

برای تقویت مطالب، ویدئویی در مورد نحوه حل انتگرال ها در عمل تماشا کنید. اگر فوراً انتگرال داده نشد، ناامید نشوید. بپرسید و هر آنچه در مورد محاسبه انتگرال می دانند به شما خواهند گفت. با کمک ما، هر انتگرال سه گانه یا منحنی روی یک سطح بسته در توان شما خواهد بود.

تابع F(x ) تماس گرفت ضد مشتق برای عملکرد f(x) در یک بازه زمانی معین، اگر برای همه x از این فاصله برابری برقرار است

F"(x ) = f(x ) .

به عنوان مثال، تابع F(x) = x 2 f(x ) = 2X ، زیرا

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

خاصیت اصلی ضد مشتق

اگر F(x) - ضد مشتق یک تابع f(x) در یک بازه معین، سپس تابع f(x) ضد مشتق های بی نهایت زیادی دارد و همه این ضد مشتق ها را می توان به شکل نوشت F(x) + C، کجا با یک ثابت دلخواه است.

قوانین محاسبه ضد مشتقات

1. اگر F(x) - ضد مشتق برای f(x) ، A G(x) - ضد مشتق برای g(x) ، آن F(x) + G(x) - ضد مشتق برای f(x) + g(x) . به عبارت دیگر، ضد مشتق جمع برابر است با مجموع ضد مشتقات .
2. اگر F(x) - ضد مشتق برای f(x) ، و ک - ثابت، پس ک · F(x) - ضد مشتق برای ک · f(x) . به عبارت دیگر، عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد .
3. اگر F(x) - ضد مشتق برای f(x) ، و ک,ب- ثابت، و k ≠ 0 ، آن 1 / ک F(ک x+ب ) - ضد مشتق برای f(ک x+ ب) .

انتگرال نامعین

نه انتگرال معین از تابع f(x) بیان نامیده می شود F(x) + C، یعنی مجموعه ای از تمام پاد مشتق های یک تابع معین f(x) . انتگرال نامعین به صورت زیر نشان داده می شود:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- زنگ می زنند تابع انتگرال ;

f(x)dx- زنگ می زنند یکپارچه ;

x - زنگ می زنند متغیر ادغام ;

F(x) - یکی از توابع اولیه f(x) ;

با یک ثابت دلخواه است.

به عنوان مثال، ∫ 2 x dx =X 2 + با , ∫ cosx dx =گناه X + با و غیره ◄

کلمه "انتگرال" از کلمه لاتین آمده است عدد صحیح ، که به معنای "بازیابی" است. با در نظر گرفتن انتگرال نامعین از 2 x، به نظر می رسد ما عملکرد را بازیابی می کنیم X 2 ، که مشتق آن برابر است با 2 x. بازیابی یک تابع از مشتق آن، یا همان، یافتن یک انتگرال نامعین بر روی یک انتگرال داده شده نامیده می شود. ادغام این تابع ادغام عملیات معکوس تمایز است برای بررسی اینکه آیا ادغام به درستی انجام شده است، کافی است که نتیجه را متمایز کنیم و انتگرال را بدست آوریم.

ویژگی های اساسی انتگرال نامعین

1. مشتق انتگرال نامعین برابر با انتگرال است:

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. ضریب ثابت انتگرال را می توان از علامت انتگرال خارج کرد:

∫ ک · f(x)dx = ک · ∫ f(x)dx .

3. انتگرال مجموع (تفاوت) توابع برابر است با مجموع (تفاوت) انتگرال های این توابع:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

4. اگر ک,ب- ثابت، و k ≠ 0 ، آن

∫ f ( ک x+ ب) dx = 1 / ک F(ک x+ب ) + سی .

جدول پاد مشتق ها و انتگرال های نامعین

انتگرال معین

بگذار در بین [الف; ب] یک تابع پیوسته داده می شود y = f(x) ، سپس انتگرال معین از a تا b توابع f(x) افزایش ضد مشتق نامیده می شود F(x) این تابع، یعنی

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

اعداد الفو ببر این اساس نامیده می شوند پایین تر و بالا محدودیت های ادغام

قوانین اساسی برای محاسبه انتگرال معین

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) که در آن ک - ثابت؛

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\)، که در آن f(x) - عملکرد یکنواخت؛

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\)، که در آن f(x) یک تابع فرد است

نظر دهید . در همه موارد، فرض بر این است که انتگرال ها در بازه های عددی قابل انتگرال هستند که مرزهای آن، حدود یکپارچه سازی است.

معنای هندسی و فیزیکی انتگرال معین

معنای هندسی انتگرال معین	معنای فیزیکی انتگرال معین
مربع اسذوزنقه منحنی (شکل محدود شده توسط نمودار مثبت پیوسته در بازه [الف; ب] توابع f(x) ، محور گاو نر و مستقیم x=a , x=b ) با فرمول محاسبه می شود $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	مسیر س، که نقطه مادی بر آن غلبه کرده است و به صورت مستقیم با سرعت متغیر مطابق قانون حرکت می کند. v(t) ، برای مدتی a ; ب] ، سپس مساحت شکل توسط نمودارهای این توابع و خطوط مستقیم محدود می شود x = a , x = b ، با فرمول محاسبه می شود $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	به عنوان مثال. بیایید مساحت شکل را محاسبه کنیم، محدود به خطوط y = x 2 و y= 2- x . اجازه دهید نمودارهای این توابع را به صورت شماتیک به تصویر بکشیم و شکلی که مساحت آن باید پیدا شود را با رنگی متفاوت برجسته کنیم. برای یافتن حدود ادغام، معادله را حل می کنیم: x 2 = 2- x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2، x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\چپ (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \راست )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

حجم یک بدنه چرخشی

	اگر جسمی در نتیجه چرخش حول یک محور به دست آید گاو نر ذوزنقه منحنی که توسط یک نمودار پیوسته و غیر منفی در فاصله محدود شده است [الف; ب] توابع y = f(x) و مستقیم x = aو x = b ، سپس نامیده می شود بدنه چرخشی . حجم یک بدنه چرخشی با فرمول محاسبه می شود $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ اگر در نتیجه چرخش شکلی که در بالا و پایین توسط نمودارهای توابع محدود شده است، بدنه چرخشی به دست آید. y = f(x) و y = g(x) ، بر این اساس، پس $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	به عنوان مثال. بیایید حجم یک مخروط را با شعاع محاسبه کنیم r و ارتفاع ساعت . اجازه دهید مخروط را در یک سیستم مختصات مستطیلی قرار دهیم تا محور آن با محور منطبق باشد. گاو نر ، و مرکز پایه در مبدا قرار داشت. چرخش ژنراتور ABمخروط را تعریف می کند. از آنجا که معادله AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
و برای حجم مخروط داریم $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\ چپ (0-\frac(1)(3) \راست)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄