عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

کلید واژه ها:ذوزنقه منحنی منحنی یکپارچه، ناحیه ای از شکل های محدود شده توسط نیلوفرها

تجهیزات: برد نشانگر، کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای

نوع درس: درس-سخنرانی

اهداف درس:

• آموزشی:ایجاد فرهنگ کار ذهنی، ایجاد موقعیت موفقیت برای هر دانش آموز و ایجاد انگیزه مثبت برای یادگیری. توانایی صحبت کردن و گوش دادن به دیگران را توسعه دهید.
• در حال توسعه:شکل گیری تفکر مستقل دانش آموز در به کارگیری دانش در موقعیت های مختلف، توانایی تجزیه و تحلیل و نتیجه گیری، توسعه منطق، توسعه توانایی طرح صحیح سؤالات و یافتن پاسخ آنها. بهبود شکل گیری مهارت های محاسباتی، توسعه تفکر دانش آموزان در دوره تکمیل وظایف پیشنهادی، توسعه فرهنگ الگوریتمی.
• آموزشی: ایجاد مفاهیم در مورد ذوزنقه منحنی، در مورد یک انتگرال، برای تسلط بر مهارت های محاسبه مساحت شکل های صفحه

روش تدریس:توضیحی و گویا

در طول کلاس ها

در کلاس های قبلی یاد گرفتیم که مساحت شکل هایی را که مرز آنها خطوط شکسته است محاسبه کنیم. در ریاضیات، روش هایی وجود دارد که به شما امکان می دهد مساحت ارقام محدود شده با منحنی ها را محاسبه کنید. چنین ارقامی ذوزنقه های منحنی نامیده می شوند و مساحت آنها با استفاده از ضد مشتقات محاسبه می شود.

ذوزنقه منحنی ( اسلاید 1)

ذوزنقه منحنی شکلی است که با نمودار یک تابع محدود شده است. sh.m.)، سر راست x = aو x = bو محور x

انواع ذوزنقه های منحنی ( اسلاید 2)

در حال بررسی هستیم انواع مختلفذوزنقه های منحنی و توجه: یکی از خطوط به یک نقطه تبدیل می شود، نقش تابع محدود کننده توسط خط بازی می شود.

مساحت ذوزنقه منحنی (اسلاید 3)

انتهای سمت چپ فاصله را ثابت کنید آ،و حق ایکسما تغییر خواهیم کرد، یعنی دیوار سمت راست ذوزنقه منحنی را جابجا می کنیم و یک شکل متغیر به دست می آوریم. مساحت یک ذوزنقه منحنی متغیر که توسط نمودار تابع محدود شده است یک ضد مشتق است. افبرای عملکرد f

و در بخش [ آ؛ ب] ناحیه یک ذوزنقه منحنی شکل که توسط تابع تشکیل شده است fبرابر است با افزایش ضد مشتق این تابع:

تمرین 1:

مساحت ذوزنقه منحنی را که با نمودار تابع محدود شده است را بیابید: f(x) = x 2و مستقیم y = 0، x = 1، x = 2.

راه حل: ( طبق اسلاید 3 الگوریتم)

بیایید یک نمودار از تابع و خطوط رسم کنیم

بیایید یکی از آنها را پیدا کنیم توابع ضد مشتق f(x) = x 2 :

خودآزمایی اسلاید

انتگرال

ذوزنقه ای منحنی را در نظر بگیرید که با تابع تعریف شده است fدر بخش [ آ؛ ب]. بیایید این بخش را به چند قسمت تقسیم کنیم. مساحت کل ذوزنقه به مجموع مساحت ذوزنقه های منحنی کوچکتر تقسیم می شود. ( اسلاید 5). هر یک از این ذوزنقه ها را می توان تقریباً یک مستطیل در نظر گرفت. مجموع مساحت این مستطیل ها تصوری تقریبی از کل مساحت ذوزنقه منحنی به دست می دهد. هر چه کوچکتر قسمت را تقسیم کنیم [ آ؛ ب]، هر چه مساحت را با دقت بیشتری محاسبه کنیم.

اجازه دهید این استدلال ها را در قالب فرمول بنویسیم.

تقسیم بخش [ آ؛ ب] به n قسمت با نقطه x 0 = a، x1،…، xn = b.طول k-هفتم با نشان دادن xk = xk – xk-1. بیایید یک جمع بندی کنیم

از نظر هندسی، این مجموع نشان دهنده مساحت شکل سایه دار در شکل است ( sh.m.)

مجموع فرم را مجموع انتگرال تابع می نامند f. (sh.m.)

مجموع انتگرال مقدار تقریبی مساحت را می دهد. مقدار دقیق با عبور از حد به دست می آید. بیایید تصور کنیم که در حال اصلاح پارتیشن بخش [ آ؛ ب] به طوری که طول تمام بخش های کوچک به صفر تمایل دارد. سپس ناحیه شکل تشکیل شده به ناحیه ذوزنقه منحنی نزدیک می شود. می توان گفت مساحت ذوزنقه منحنی برابر با حد مجموع انتگرال است. Sc.t. (sh.m.)یا انتگرال، یعنی

تعریف:

انتگرال یک تابع f(x)از جانب آقبل از بحد مجموع انتگرال نامیده می شود

= (sh.m.)

فرمول نیوتن لایب نیتس

به یاد می آوریم که حد مجموع انتگرال برابر با مساحت ذوزنقه منحنی است، به این معنی که می توانیم بنویسیم:

Sc.t. = (sh.m.)

از طرف دیگر، مساحت ذوزنقه منحنی با استفاده از فرمول محاسبه می شود

S k.t. (sh.m.)

با مقایسه این فرمول ها به این نتیجه می رسیم:

این برابری فرمول نیوتن لایب نیتس نامیده می شود.

برای سهولت در محاسبه، فرمول به صورت زیر نوشته شده است:

وظایف: (sh.m.)

1. انتگرال را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه کنید: اسلاید 5 را بررسی کنید)

2. انتگرال ها را مطابق نقشه بنویسید ( اسلاید 6 را بررسی کنید)

3. مساحت شکل محدود شده با خطوط را بیابید: y = x 3، y = 0، x = 1، x = 2. ( اسلاید 7)

پیدا کردن مساحت شکل های صفحه ( اسلاید 8)

چگونه می توان مساحت شکل هایی را که ذوزنقه های منحنی نیستند پیدا کرد؟

اجازه دهید دو تابع داده شود که نمودارهای آنها را در اسلاید می بینید . (sh.m.)مساحت شکل سایه دار را پیدا کنید . (sh.m.). آیا شکل مورد بحث ذوزنقه منحنی است؟ چگونه می توان مساحت آن را با استفاده از خاصیت افزایشی مساحت پیدا کرد؟ دو ذوزنقه منحنی را در نظر بگیرید و مساحت دیگری را از مساحت یکی از آنها کم کنید ( sh.m.)

بیایید یک الگوریتم برای یافتن منطقه با استفاده از انیمیشن در یک اسلاید ایجاد کنیم:

1. توابع نمودار
2. نقاط تقاطع نمودارها را روی محور x طرح ریزی کنید
3. شکل به دست آمده را هنگام تلاقی نمودارها سایه بزنید
4. ذوزنقه های منحنی را پیدا کنید که تقاطع یا اتحاد آنها شکل داده شده است.
5. مساحت هر یک از آنها را محاسبه کنید
6. تفاوت یا مجموع مساحت ها را پیدا کنید

تکلیف شفاهی: نحوه بدست آوردن مساحت یک شکل سایه دار (با استفاده از انیمیشن بگویید، اسلاید 8 و 9)

مشق شب:از طریق یادداشت ها، شماره 353 (الف)، شماره 364 (الف) کار کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاس های 9-11 مدرسه عصر (نوبت) / ویرایش. G.D. گلیزر. - م: روشنگری، 1983.
2. باشماکوف M.I. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاس های 10-11 دبیرستان / باشماکوف M.I. - م: روشنگری، 1991.
3. باشماکوف M.I. ریاضیات: کتاب درسی برای مؤسسات آغازین. و چهارشنبه پروفسور تحصیلات / M.I. باشماکوف - م: آکادمی، 2010.
4. کولموگروف A.N. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10-11. موسسات آموزشی / A.N. Kolmogorov. - م: آموزش، 2010.
5. Ostrovsky S.L. چگونه برای یک درس ارائه دهیم؟/ S.L. استروفسکی. - م.: 1 سپتامبر 2010.

کار شماره 3. یک نقاشی بکشید و مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

کاربرد انتگرال برای حل مسائل کاربردی

محاسبه مساحت

انتگرال معین یک تابع غیرمنفی پیوسته f(x) از نظر عددی برابر استمساحت ذوزنقه منحنی که توسط منحنی y = f(x)، محور Ox و خطوط مستقیم x = a و x = b محدود شده است. بر این اساس فرمول مساحت به صورت زیر نوشته می شود:

بیایید به چند نمونه از محاسبه مساحت ارقام صفحه نگاه کنیم.

کار شماره 1. مساحت محدود شده توسط خطوط y = x 2 +1، y = 0، x = 0، x = 2 را محاسبه کنید.

راه حل.بیایید شکلی بسازیم که مساحت آن را باید محاسبه کنیم.

y = x 2 + 1 سهمی است که شاخه های آن به سمت بالا هدایت می شوند و سهمی نسبت به محور O y یک واحد به سمت بالا جابه جا می شود (شکل 1).

شکل 1. نمودار تابع y = x 2 + 1

کار شماره 2. مساحت محدود شده توسط خطوط y = x 2 – 1، y = 0 در محدوده 0 تا 1 را محاسبه کنید.

راه حل.نمودار این تابع سهمی از شاخه هایی است که به سمت بالا هدایت می شوند و سهمی نسبت به محور O y یک واحد به سمت پایین جابه جا می شود (شکل 2).

شکل 2. نمودار تابع y = x 2 – 1

کار شماره 3. یک نقاشی بکشید و مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

y = 8 + 2x – x 2 و y = 2x – 4.

راه حل.اولی از این دو خط یک سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین هستند، زیرا ضریب x 2 منفی است و خط دوم یک خط مستقیم است که هر دو محور مختصات را قطع می کند.

برای ساختن سهمی، مختصات راس آن را پیدا می کنیم: y’=2 – 2x; 2 - 2x = 0، x = 1 - آبسیس رأس. y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 مختصات آن است، N(1;9) راس آن است.

حال بیایید با حل سیستم معادلات، نقاط تقاطع سهمی و خط مستقیم را پیدا کنیم:

معادل سازی اضلاع راست معادله ای که ضلع چپ آن برابر است.

ما 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 یا x 2 - 12 = 0 بدست می آوریم، از این رو .

بنابراین، نقاط، نقاط تقاطع یک سهمی و یک خط مستقیم هستند (شکل 1).

شکل 3 نمودارهای توابع y = 8 + 2x – x 2 و y = 2x – 4

بیایید یک خط مستقیم y = 2x – 4 بسازیم. از نقاط (0;-4)، (2;0) روی محورهای مختصات می گذرد.

برای ساخت سهمی می توانید از نقاط تقاطع آن با محور 0x نیز استفاده کنید، یعنی ریشه های معادله 8 + 2x – x 2 = 0 یا x 2 – 2x – 8 = 0. با استفاده از قضیه ویتا، این کار آسان است. برای یافتن ریشه های آن: x 1 = 2، x 2 = 4.

شکل 3 شکل (قطعه سهموی M 1 N M 2) را نشان می دهد که با این خطوط محدود شده است.

بخش دوم مشکل یافتن مساحت این شکل است. مساحت آن را می توان با استفاده از انتگرال معینطبق فرمول .

در رابطه با این شرط، انتگرال را بدست می آوریم:

2 محاسبه حجم یک بدنه چرخشی

حجم جسم به دست آمده از چرخش منحنی y = f(x) حول محور Ox با فرمول محاسبه می شود:

هنگام چرخش حول محور O y، فرمول به نظر می رسد:

وظیفه شماره 4. حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه منحنی که با خطوط مستقیم x = 0 x = 3 و منحنی y = حول محور Ox محدود شده است را تعیین کنید.

راه حل.بیایید یک تصویر بکشیم (شکل 4).

شکل 4. نمودار تابع y =

حجم مورد نیاز است

وظیفه شماره 5. حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه منحنی را که با منحنی y = x 2 و خطوط مستقیم y = 0 و y = 4 حول محور O y محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل.ما داریم:

سوالات را مرور کنید

اجازه دهید یک ذوزنقه منحنی محدود به محور Ox، منحنی y=f(x) و دو خط مستقیم را در نظر بگیریم: x=a و x=b (شکل 85). بیایید مقدار دلخواه x را در نظر بگیریم (فقط نه a و نه b). بیایید به آن افزایشی h = dx بدهیم و نواری را در نظر بگیریم که با خطوط مستقیم AB و CD، محور Ox و قوس BD محدود شده است که متعلق به منحنی مورد بررسی است. ما این نوار را یک نوار ابتدایی می نامیم. مساحت یک نوار ابتدایی با مساحت مستطیل ACQB توسط مثلث منحنی BQD و مساحت دومی متفاوت است. مساحت کمترمستطیل BQDM با اضلاع BQ = =h=dx) QD=Ay و مساحت برابر hAy = Ay dx. با کاهش ضلع h، ضلع Du نیز کاهش می یابد و همزمان با h به سمت صفر میل می کند. بنابراین، مساحت BQDM مرتبه دوم بینهایت کوچک است. مساحت یک نوار ابتدایی افزایش مساحت است و مساحت مستطیل ACQB برابر با AB-AC ==/(x) dx> دیفرانسیل مساحت است. در نتیجه، ما خود ناحیه را با ادغام دیفرانسیل آن پیدا می کنیم. در شکل مورد نظر، متغیر مستقل l: از a به b تغییر می کند، بنابراین مساحت مورد نیاز 5 برابر با 5 = \f(x) dx خواهد بود. (I) مثال 1. بیایید مساحت محدود شده توسط سهمی y - 1 -x*، خطوط مستقیم X =--Fj-، x = 1 و محور O* را محاسبه کنیم (شکل 86). در شکل 87. شکل. 86. 1 در اینجا f(x) = 1 - l؟، حدود ادغام a = - و £ = 1 است، بنابراین J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* مثال 2. بیایید مساحت محدود شده توسط سینوسی y = sinXy، محور Ox و خط مستقیم را محاسبه کنیم (شکل 87). با استفاده از فرمول (I)، A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf به دست می آوریم. مثال 3. مساحت محدود شده توسط قوس سینوسی ^у = sin jc، محصور شده را محاسبه کنید. بین دو نقطه تقاطع مجاور با محور Ox (به عنوان مثال، بین مبدا و نقطه با abscissa i). توجه داشته باشید که از ملاحظات هندسی مشخص است که این مساحت دو برابر خواهد بود منطقه بیشترمثال قبلی با این حال، بیایید محاسبات را انجام دهیم: I 5 = | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o در واقع، فرض ما درست بود. مثال 4. مساحت محدود شده توسط سینوسی و محور Ox را در یک دوره محاسبه کنید (شکل 88). محاسبات اولیه نشان می دهد که مساحت چهار برابر بزرگتر از مثال 2 خواهد بود. با این حال، پس از انجام محاسبات، "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x] 0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. این نتیجه نیاز به توضیح دارد. برای روشن شدن اصل موضوع، مساحت محدود شده توسط همان سینوسی y = sin l: و محور Ox را در محدوده l تا 2i نیز محاسبه می کنیم. با استفاده از فرمول (I)، 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 به دست می آوریم. بنابراین، می بینیم که این منطقه منفی شد. با مقایسه آن با مساحت محاسبه شده در تمرین 3، متوجه می شویم که آنها ارزش های مطلقیکسان هستند، اما نشانه ها متفاوت است. اگر خاصیت V را اعمال کنیم (به فصل XI، § 4 مراجعه کنید)، 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 آنچه در این مثال اتفاق افتاد، تصادفی نیست. همیشه مساحتی که در زیر محور Ox قرار دارد، به شرطی که متغیر مستقل از چپ به راست تغییر کند، هنگام محاسبه با استفاده از انتگرال ها به دست می آید. در این دوره ما همیشه مناطق بدون علامت را در نظر خواهیم گرفت. بنابراین، پاسخ در مثال مورد بحث این خواهد بود: ناحیه مورد نیاز 2 + |-2| است = 4. مثال 5. بیایید مساحت BAB نشان داده شده در شکل را محاسبه کنیم. 89. این ناحیه توسط محور Ox، سهمی y = - xr و خط مستقیم y - = -x+\ محدود می شود. مساحت ذوزنقه منحنی منطقه مورد نیاز OAB از دو بخش OAM و MAV تشکیل شده است. از آنجایی که نقطه A نقطه تقاطع سهمی و خط مستقیم است، مختصات آن را با حل معادلات 3 2 Y = mx خواهیم یافت. (فقط باید ابسیسا نقطه A را پیدا کنیم). با حل سیستم، l را پیدا می کنیم. = ~. بنابراین، مساحت باید به صورت جزئی، مربع اول محاسبه شود. OAM و سپس pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. نمودار تابع QAM-^x y=x 2 +2 واقع شده بالای محور گاو نر ، از همین رو:

پاسخ: اس =9 واحد مربع

پس از اتمام کار، همیشه مفید است که به نقاشی نگاه کنید و بفهمید که آیا پاسخ واقعی است یا خیر. که در در این مورد"با چشم" تعداد سلول ها را در نقاشی می شماریم - خوب، حدود 9 خواهد بود، به نظر می رسد درست باشد. کاملاً واضح است که اگر ما مثلاً پاسخ را دریافت کنیم: 20 واحد مربع ، واضح است که در جایی اشتباه شده است - 20 سلول به وضوح در شکل مورد نظر ، حداکثر یک دوجین نمی گنجد. اگر پاسخ منفی است، تکلیف نیز به اشتباه حل شده است.

اگر ذوزنقه منحنی واقع شده باشد چه باید کرد زیر محور اوه؟

ب)مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید y=-e x , x=1 و محورهای مختصات.

راه حل.

بیایید یک نقاشی بکشیم.

اگر ذوزنقه منحنی کاملاً در زیر محور قرار دارد اوه , سپس مساحت آن را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

پاسخ: S=(e-1) واحدهای مربع "1.72 واحد مربع

توجه! این دو نوع کار را نباید با هم اشتباه گرفت:

1) اگر از شما خواسته شود که یک انتگرال معین را بدون هیچ معنای هندسی حل کنید، ممکن است منفی باشد.

2) اگر از شما خواسته شود که مساحت یک شکل را با استفاده از یک انتگرال معین پیدا کنید، مساحت همیشه مثبت است! به همین دلیل است که منهای در فرمول مورد بحث ظاهر می شود.

در عمل، اغلب شکل در هر دو نیم صفحه بالا و پایین قرار دارد.

با)مساحت شکل صفحه ای که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید y=2x-x 2، y=-x.

راه حل.

ابتدا باید نقاشی را کامل کنید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقشه در مسائل مساحت، ما بیشتر به نقاط تلاقی خطوط علاقه مند هستیم. بیایید نقاط تقاطع سهمی را پیدا کنیم و مستقیم این میتواند با دو راه انجام شود. روش اول تحلیلی است.

معادله را حل می کنیم:

این بدان معنی است که حد پایین ادغام a=0 ، حد بالایی ادغام b=3 .

شما می توانید خطوط را نقطه به نقطه بسازید، و محدودیت های یکپارچه سازی "به خودی خود" مشخص می شود. با این وجود، اگر برای مثال، نمودار به اندازه کافی بزرگ باشد، یا ساختار دقیق محدودیت‌های ادغام را آشکار نکند، گاهی اوقات باید از روش تحلیلی برای یافتن محدودیت‌ها استفاده کرد (آنها می‌توانند کسری یا غیرمنطقی باشند).

شکل مورد نظر با یک سهمی در بالا و یک خط مستقیم در زیر محدود می شود.

در بخش ، طبق فرمول مربوطه:

پاسخ: اس =4.5 واحد مربع