|
روش ذوزنقه ای
مقاله اصلی:روش ذوزنقه ای
اگر تابع هر یک از قطعات جزئی با یک خط مستقیم که از آن می گذرد تقریب یابد مقادیر نهایی، سپس روش ذوزنقه ای را بدست می آوریم.
مساحت ذوزنقه در هر بخش:
خطای تقریب در هر بخش:
 کجا 
فرمول کاملذوزنقه در مورد تقسیم کل فاصله ادغام به بخش هایی با طول مساوی:
 کجا
خطای فرمول ذوزنقه ای:
 کجا 
روش سیمپسون
 یکپارچه سازی f(x)جایگزین شده است چند جمله ای درون یابیدرجه دوم P(x)- سهمی که از سه گره عبور می کند، برای مثال، همانطور که در شکل نشان داده شده است ((1) - تابع، (2) - چند جمله ای).
اجازه دهید دو مرحله ادغام را در نظر بگیریم ( ساعت= const = x i+1 – x i) یعنی سه گره x 0، x 1، x 2، که از طریق آن سهمی را با استفاده از معادله نیوتن رسم می کنیم:
اجازه دهید z = x - x 0,
سپس
حال با استفاده از رابطه به دست آمده، انتگرال را در این بازه محاسبه می کنیم:
.
برای مش یکنواختو تعداد مراحل زوج nفرمول سیمپسون به شکل زیر است:
اینجا  ، A  با فرض تداوم مشتق چهارم انتگرال.
[ویرایش] افزایش دقت
تقریب یک تابع توسط یک چند جمله ای منفرد در کل بازه انتگرال، به عنوان یک قاعده، منجر به یک خطای بزرگ در تخمین مقدار انتگرال می شود.
برای کاهش خطا، بخش ادغام به قسمت‌هایی تقسیم می‌شود و از روش عددی برای ارزیابی انتگرال در هر یک از آنها استفاده می‌شود.
همانطور که تعداد پارتیشن ها به بی نهایت میل می کند، تخمین انتگرال به مقدار واقعی آن برای توابع تحلیلی برای هر روش عددی تمایل دارد.
روشهای فوق یک روش ساده برای نصف کردن مرحله را امکان‌پذیر می‌سازد، که در هر مرحله باید مقادیر تابع فقط در گره‌های تازه اضافه شده محاسبه شود. برای تخمین خطای محاسباتی از قانون Runge استفاده می شود.
کاربرد قاعده رانگ
ویرایش] ارزیابی دقت محاسبه یک انتگرال خاص
انتگرال با استفاده از فرمول انتخاب شده (مستطیل ها، ذوزنقه ها، سهمی های سیمپسون) با تعداد مراحل برابر با n و سپس با تعداد مراحل برابر با 2n محاسبه می شود. خطا در محاسبه مقدار انتگرال با تعداد مراحل برابر با 2n با فرمول Runge تعیین می شود:
برای فرمول های مستطیل ها و ذوزنقه ها و برای فرمول سیمپسون.
بنابراین، انتگرال برای مقادیر متوالی تعداد مراحل محاسبه می شود، که در آن n 0 تعداد اولیه مراحل است. فرآیند محاسبه زمانی پایان می یابد که شرط برای مقدار بعدی N برآورده شود، جایی که ε دقت مشخص شده است.
ویژگی های رفتار خطا
به نظر می رسد، چرا تجزیه و تحلیل روش های مختلفاگر بتوانیم به ادغام برسیم دقت بالا، به سادگی اندازه مرحله ادغام را کاهش می دهد. با این حال، نمودار رفتار خطای پسین را در نظر بگیرید آرنتایج محاسبات عددی بسته به  و از شماره nپارتیشن های بازه ای (یعنی در مرحله. در بخش (1)، خطا به دلیل کاهش مرحله h کاهش می یابد. اما در بخش (2)، خطای محاسباتی شروع به غالب شدن می کند و در نتیجه عملیات های حسابی متعدد جمع می شود. بنابراین. ، هر روش مختص به خود را دارد Rmin، که به عوامل زیادی بستگی دارد، اما در درجه اول به مقدار پیشینی خطای روش بستگی دارد آر.
فرمول شفاف سازی رامبرگ
روش Romberg شامل پالایش متوالی مقدار انتگرال با افزایش چند برابری در تعداد پارتیشن ها است. فرمول ذوزنقه هایی با پله های یکنواخت را می توان به عنوان پایه در نظر گرفت ساعت.
اجازه دهید انتگرال را با تعداد پارتیشن ها نشان دهیم n= 1 به عنوان  .
با کاهش گام به نصف، به دست می آوریم  .
اگر به طور متوالی گام را 2 n بار کاهش دهیم، یک رابطه بازگشتی برای محاسبه بدست می آوریم.
انتگرال معین. نمونه هایی از راه حل هاسلام مجدد در این درس ما چنین چیز شگفت انگیزی به عنوان یک انتگرال معین را با جزئیات بررسی خواهیم کرد. این بار مقدمه کوتاه خواهد بود. همه چون بیرون پنجره طوفان برف می آید. برای یادگیری نحوه حل انتگرال های معین باید:
1) بتوانید پیدا کردنانتگرال های نامعین
2) بتوانید محاسبه کنیدانتگرال معین
همانطور که می بینید، برای تسلط بر یک انتگرال معین، باید درک نسبتاً خوبی از انتگرال نامعین «معمولی» داشته باشید. بنابراین، اگر تازه شروع به شیرجه زدن به حساب انتگرال کرده اید و کتری هنوز اصلاً به جوش نیامده است، بهتر است با درس شروع کنید. انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل ها.
در نمای کلیانتگرال معین به صورت زیر نوشته می شود:
در مقایسه با انتگرال نامعین چه چیزی اضافه می شود؟ بیشتر محدودیت های ادغام.
حد پایین ادغام
حد بالایی ادغامبه طور استاندارد با حرف نشان داده می شود.
بخش نامیده می شود بخش ادغام.
قبل از اینکه به نمونه های عملی، یک بحث کوچک در مورد انتگرال معین.
حل یک انتگرال معین به چه معناست؟حل انتگرال معین یعنی پیدا کردن عدد.
چگونه یک انتگرال معین را حل کنیم؟با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس آشنا از مدرسه:
بهتر است فرمول را در یک تکه کاغذ جداگانه بازنویسی کنید.
مراحل حل یک انتگرال معین به شرح زیر است:
1) ابتدا تابع ضد مشتق (انتگرال نامعین) را پیدا می کنیم. توجه داشته باشید که ثابت در انتگرال معین اضافه نشده است. نامگذاری صرفاً فنی است و چوب عمودی هیچ معنایی ریاضی ندارد، در واقع فقط یک علامت گذاری است. چرا خود ضبط مورد نیاز است؟ آماده سازی برای اعمال فرمول نیوتن-لایبنیتس.
2) مقدار حد بالایی را با تابع ضد مشتق جایگزین کنید: .
3) مقدار حد پایین را با تابع ضد مشتق جایگزین کنید: .
4) تفاوت را محاسبه می کنیم (بدون خطا!) یعنی عدد را پیدا می کنیم.
آیا یک انتگرال معین همیشه وجود دارد؟نه همیشه نه
به عنوان مثال، انتگرال وجود ندارد، زیرا بخش ادغام در دامنه تعریف انتگرال گنجانده نشده است (مقادیر زیر ریشه مربعنمی تواند منفی باشد). در اینجا یک مثال کمتر واضح آورده شده است: . چنین انتگرالی نیز وجود ندارد، زیرا هیچ مماس در نقاط قطعه وجود ندارد. راستی کی هنوز نخونده؟ مواد روش شناختی نمودارها و ویژگی های اساسی توابع ابتدایی- زمان انجام آن اکنون است. کمک کردن در طول دوره ریاضیات عالی بسیار عالی خواهد بود.
برای آن برای اینکه اصلاً یک انتگرال معین وجود داشته باشد، کافی است که انتگرال در بازه یکپارچگی پیوسته باشد..
از موارد فوق، اولین توصیه مهم به شرح زیر است: قبل از شروع حل هر انتگرال معین، باید مطمئن شوید که تابع انتگرال در بازه ادغام پیوسته است. زمانی که دانش آموز بودم، بارها و بارها برایم اتفاقی افتاد که برای مدت طولانی با یافتن یک ضدمشتق دشوار تلاش می کردم، و وقتی بالاخره آن را پیدا کردم، سرم به یک سوال دیگر مشغول شد: «این چه مزخرفی بود. ؟" در یک نسخه ساده شده، وضعیت چیزی شبیه به این است:  ؟؟؟! شما نمی توانید اعداد منفی را زیر ریشه جایگزین کنید! این چه جهنمی است؟! بی توجهی اولیه
اگر حل شود (در کار آزمایشی، در یک آزمون، امتحان) به شما یک انتگرال غیر موجود مانند پیشنهاد می شود، سپس باید پاسخ دهید که انتگرال وجود ندارد و دلیل آن را توجیه کنید.
آیا انتگرال معین برابر است با عدد منفی?
شاید. و یک عدد منفی و صفر. حتی ممکن است بی نهایت باشد، اما همین حالا خواهد بود انتگرال نامناسب، که یک سخنرانی جداگانه ارائه می شود.
آیا حد پایین ادغام می تواند بیشتر از حد بالایی یکپارچگی باشد؟شاید این وضعیت واقعاً در عمل رخ دهد.
- انتگرال را می توان به راحتی با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبه کرد.
ریاضیات عالی چه چیزی ضروری است؟ البته بدون انواع خاصیت. بنابراین، اجازه دهید برخی از ویژگی های انتگرال معین را در نظر بگیریم.
در یک انتگرال مشخص، می توانید حد بالا و پایین را مجدداً تنظیم کنید و علامت را تغییر دهید: 
به عنوان مثال، در یک انتگرال معین، قبل از ادغام، توصیه می شود محدودیت های ادغام را به ترتیب "معمول" تغییر دهید:
 - در این شکل ادغام بسیار راحت تر است.
 - این نه تنها برای دو، بلکه برای هر تعداد توابع نیز صادق است.
در یک انتگرال معین می توان انجام داد جایگزینی متغیر ادغاماما در مقایسه با انتگرال نامعین، این ویژگی خاص خود را دارد که بعداً در مورد آن صحبت خواهیم کرد.
برای یک انتگرال معین، موارد زیر صادق است: ادغام با فرمول قطعات:
مثال 1
راه حل:
(1) ثابت را از علامت انتگرال خارج می کنیم.
(2) با استفاده از محبوب ترین فرمول روی جدول ادغام کنید  . توصیه می شود ثابت ظهور را از براکت جدا کرده و در خارج از براکت قرار دهید. انجام این کار ضروری نیست، اما توصیه می شود - چرا محاسبات اضافی؟
 . ابتدا حد بالا و سپس حد پایین را جایگزین می کنیم. ما محاسبات بیشتری را انجام می دهیم و پاسخ نهایی را می گیریم.
مثال 2
انتگرال معین را محاسبه کنید
این مثالی است که خودتان می توانید آن را حل کنید، راه حل و پاسخ آن در پایان درس است.
بیایید کار را کمی پیچیده کنیم:
مثال 3
انتگرال معین را محاسبه کنید
راه حل:
(1) ما از خصوصیات خطی بودن انتگرال معین استفاده می کنیم.
(2) ما مطابق جدول ادغام می کنیم، در حالی که تمام ثابت ها را خارج می کنیم - آنها در جایگزینی حد بالا و پایین شرکت نمی کنند.
(3) برای هر یک از سه عبارت، فرمول نیوتن-لایبنیتس را اعمال می کنیم:
پیوند ضعیف در انتگرال معین، خطاهای محاسباتی و سردرگمی رایج در علائم است. مراقب باش! توجه ویژهمن روی ترم سوم تمرکز می کنم:  - رتبه اول در رژه آمار خطاهای ناشی از بی توجهی، اغلب آنها به طور خودکار می نویسند  (به ویژه زمانی که جایگزینی حد بالا و پایین به صورت شفاهی انجام می شود و با این جزئیات نوشته نمی شود). یک بار دیگر مثال بالا را با دقت مطالعه کنید.
لازم به ذکر است که روش در نظر گرفته شده برای حل یک انتگرال معین تنها روش نیست. با کمی تجربه، راه حل را می توان به طور قابل توجهی کاهش داد. برای مثال، من خودم به حل چنین انتگرال هایی مانند این عادت دارم:
در اینجا من به صورت شفاهی از قواعد خطی بودن استفاده کردم و به صورت شفاهی با استفاده از جدول ادغام کردم. من فقط با یک براکت با محدودیت های مشخص شده به پایان رسیدم:  (بر خلاف سه براکت در روش اول). و در تابع ضد مشتق «کل»، ابتدا 4 و سپس 2- را جایگزین کردم، و دوباره تمام اعمال را در ذهنم انجام دادم.
معایب راه حل کوتاه چیست؟ همه چیز در اینجا از نظر منطقی بودن محاسبات خوب نیست ، اما شخصاً اهمیتی نمی دهم - کسرهای رایجمن روی یک ماشین حساب حساب می کنم.
علاوه بر این، خطر خطا در محاسبات افزایش می یابد، بنابراین بهتر است یک دانش آموز چای از روش اول با روش حل استفاده کند، قطعاً علامت در جایی گم می شود.
با این حال مزایای بدون شکروش دوم سرعت حل، فشردگی نماد و این واقعیت است که ضد مشتق در یک براکت است.
توصیه: قبل از استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس، بررسی این نکته مفید است که آیا خود پاد مشتق به درستی پیدا شده است؟
بنابراین، در رابطه با مثال مورد بررسی: قبل از جایگزینی حدهای بالا و پایین به تابع ضد مشتق، توصیه می شود پیش نویس را بررسی کنید که آیا انتگرال نامعین به درستی پیدا شده است؟ بیایید تفکیک کنیم:
تابع انتگرال اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال نامعین به درستی پیدا شده است. اکنون می توانیم فرمول نیوتن-لایبنیتس را اعمال کنیم.
چنین چکی هنگام محاسبه انتگرال معین اضافی نخواهد بود.
مثال 4
انتگرال معین را محاسبه کنید
این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. سعی کنید آن را به صورت مختصر و دقیق حل کنید.
تغییر یک متغیر در یک انتگرال معین
برای یک انتگرال معین، همه انواع جانشینی مانند انتگرال نامعین معتبر است. بنابراین، اگر با جایگزینی خیلی خوب نیستید، باید درس را با دقت بخوانید روش جایگزینی در انتگرال نامعین.
هیچ چیز ترسناک یا سختی در این پاراگراف وجود ندارد. تازگی در این سوال نهفته است نحوه تغییر محدودیت های ادغام هنگام جایگزینی.
در مثال هایی سعی می کنم انواع جایگزین هایی را که هنوز در هیچ کجای سایت یافت نشده اند ارائه دهم.
مثال 5
انتگرال معین را محاسبه کنید
سوال اصلی در اینجا انتگرال قطعی نیست، بلکه چگونگی انجام صحیح جایگزینی است. بیایید نگاه کنیم جدول انتگرال هاو بفهمید که تابع انتگرال ما بیشتر شبیه چه چیزی است؟ بدیهی است که برای لگاریتم طولانی:  . اما یک اختلاف وجود دارد، در جدول انتگرال زیر ریشه، و در ما - "x" تا قدرت چهارم. ایده جایگزینی نیز از استدلال ناشی می شود - خوب است که به نحوی چهارمین قدرت خود را به یک مربع تبدیل کنیم. این واقعی است.
ابتدا انتگرال خود را برای جایگزینی آماده می کنیم:
با توجه به ملاحظات فوق، یک جایگزین کاملا طبیعی بوجود می آید:
بنابراین، همه چیز در مخرج خوب خواهد بود: .
ما متوجه می شویم که بخش باقی مانده از انتگرال به چه چیزی تبدیل می شود، برای این ما دیفرانسیل را پیدا می کنیم:
در مقایسه با جایگزینی در انتگرال نامعین، یک مرحله اضافی اضافه می کنیم.
یافتن محدودیت های جدید ادغام.
این کاملا ساده است. بیایید به جایگزین خود و محدودیت های قدیمی ادغام نگاه کنیم.
ابتدا حد پایین ادغام یعنی صفر را با عبارت جایگزین جایگزین می کنیم:
سپس حد بالای ادغام را با عبارت جایگزین جایگزین می کنیم، یعنی ریشه سه:
آماده است. و فقط...
بیایید راه حل را ادامه دهیم.
(1) با توجه به جایگزینی یک انتگرال جدید با محدودیت های جدید ادغام بنویسید.
(2) این ساده ترین انتگرال جدول است، ما روی جدول ادغام می کنیم. بهتر است ثابت را خارج از براکت ها بگذارید (لازم نیست این کار را انجام دهید) تا در محاسبات بیشتر تداخل نداشته باشد. در سمت راست خطی را ترسیم می کنیم که محدودیت های جدید ادغام را نشان می دهد - این آماده سازی برای استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس است.
(3) ما از فرمول نیوتن-لایب نیتس استفاده می کنیم  .
ما سعی می کنیم تا حد امکان پاسخ را یادداشت کنیم. فرم فشرده، در اینجا از خواص لگاریتم استفاده کردم.
تفاوت دیگر با انتگرال نامعین این است که پس از انجام جایگزینی، نیازی به تعویض معکوس نیست.
و اکنون چند مثال برای تصمیم مستقل. چه جایگزین هایی ایجاد کنید - سعی کنید خودتان حدس بزنید.
مثال 6
انتگرال معین را محاسبه کنید
مثال 7
انتگرال معین را محاسبه کنید
اینها نمونه هایی هستند که می توانید خودتان تصمیم بگیرید. راه حل و پاسخ در پایان درس.
و در پایان پاراگراف نکات مهم، که تجزیه و تحلیل آن به لطف بازدید کنندگان سایت ظاهر شد. اولی مربوط می شود قانونی بودن جایگزینی. در برخی موارد نمی توان آن را انجام داد!بنابراین، به نظر می رسد که مثال 6 را می توان با استفاده از آن حل کرد جایگزینی مثلثاتی جهانیبا این حال، حد بالایی یکپارچگی ("pi")شامل نمی شود حوزه تعریفاین مماس و بنابراین این جایگزینی غیرقانونی است! بنابراین، تابع "جایگزینی" باید پیوسته باشد در همهنقاط بخش ادغام.
در دیگری ایمیلوارد شد سوال بعدی: "آیا زمانی که تابع را زیر علامت دیفرانسیل قرار می دهیم، محدودیت های یکپارچگی را تغییر دهیم؟" در ابتدا می خواستم "بیهوده ها را رد کنم" و به طور خودکار پاسخ دهم "البته نه"، اما بعد به دلیل چنین سوالی فکر کردم و ناگهان متوجه شدم که هیچ اطلاعاتی وجود ندارد.
کافی نیست اما اگرچه واضح است، اما بسیار مهم است:
اگر تابع را زیر علامت دیفرانسیل قرار دهیم، دیگر نیازی به تغییر حدود ادغام نیست! چرا؟ زیرا در این مورد بدون انتقال واقعی به متغیر جدید. به عنوان مثال:
و در اینجا جمع بندی بسیار راحت تر از جایگزینی آکادمیک با "نقاشی" بعدی محدودیت های جدید ادغام است. بنابراین، اگر انتگرال معین خیلی پیچیده نیست، همیشه سعی کنید تابع را زیر علامت دیفرانسیل قرار دهید! سریعتر است، جمع و جورتر است، و معمولی است - همانطور که ده ها بار خواهید دید!
از نامه های شما بسیار سپاسگزارم!
روش ادغام توسط قطعات در یک انتگرال معین
در اینجا حتی تازگی کمتری وجود دارد. تمام محاسبات مقاله ادغام توسط قطعات در انتگرال نامعینبرای انتگرال معین کاملاً معتبر هستند.
تنها یک جزئیات وجود دارد که در فرمول ادغام بر اساس قطعات، محدودیت های یکپارچه سازی اضافه شده است.
فرمول نیوتن-لایبنیتس باید دو بار در اینجا اعمال شود: برای محصول و بعد از اینکه انتگرال را می گیریم.
برای مثال، من دوباره نوع انتگرال را انتخاب کردم که هنوز در هیچ جای سایت یافت نشده است. مثال ساده ترین نیست، اما بسیار بسیار آموزنده است.
مثال 8
انتگرال معین را محاسبه کنید
بیا تصمیم بگیریم
بیایید با قطعات ادغام کنیم:
هر کس با انتگرال مشکل دارد، به درس نگاه کند انتگرال توابع مثلثاتی، در آنجا به تفصیل بحث شده است.
(1) ما راه حل را مطابق با فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات می نویسیم.
(2) برای محصول از فرمول نیوتن-لایبنیتس استفاده می کنیم. برای انتگرال باقیمانده از ویژگی های خطی بودن استفاده می کنیم و آن را به دو انتگرال تقسیم می کنیم. با علائم گیج نشوید!
(4) ما فرمول نیوتن-لایبنیتس را برای دو ضد مشتق یافت شده اعمال می کنیم.
راستش من از فرمولش خوشم نمیاد.  و در صورت امکان ... من اصلاً بدون آن کار می کنم! بیایید راه حل دوم را از دیدگاه من در نظر بگیریم.
انتگرال معین را محاسبه کنید
در مرحله اول انتگرال نامعین را پیدا می کنم:
بیایید با قطعات ادغام کنیم:
تابع ضد مشتق پیدا شده است. ثابت در در این مورداضافه کردن فایده ای ندارد
مزیت چنین صعودی چیست؟ نیازی به «حفظ» محدودیت‌های ادغام وجود ندارد، در واقع نوشتن نمادهای کوچک حدود یکپارچگی چند بار خسته‌کننده است.
در مرحله دوم بررسی می کنم(معمولاً در پیش نویس).
همچنین منطقی است. اگر تابع ضد مشتق را اشتباه پیدا کردم، انتگرال معین را اشتباه حل می کنم. بهتر است فوراً متوجه شوید، بیایید پاسخ را متمایز کنیم:
تابع انتگرال اصلی به دست آمده است، به این معنی که تابع ضد مشتق به درستی پیدا شده است.
مرحله سوم استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس است:
و در اینجا یک فایده قابل توجه وجود دارد! در روش حل "من" خطر بسیار کمتری برای گیج شدن در جایگزینی ها و محاسبات وجود دارد - فرمول نیوتن-لایب نیتس فقط یک بار اعمال می شود. اگر قوری یک انتگرال مشابه را با استفاده از فرمول حل کند  (به طریق اول) پس حتماً در جایی اشتباه می کند.
الگوریتم حل در نظر گرفته شده را می توان برای هر انتگرال معینی اعمال کرد.
دانشجوی عزیز چاپ و ذخیره کنید:
اگر یک انتگرال مشخص به شما داده شود که پیچیده به نظر می رسد یا فوراً مشخص نیست که چگونه آن را حل کنید، چه کاری باید انجام دهید؟
1) ابتدا انتگرال نامعین (تابع ضد مشتق) را پیدا می کنیم. اگر در مرحله اول هولناکی وجود داشت، دیگر هیچ فایده ای برای تکان دادن قایق با نیوتن و لایب نیتس وجود ندارد. تنها یک راه وجود دارد - افزایش سطح دانش و مهارت های خود در حل انتگرال های نامعین.
2) تابع ضد مشتق یافت شده را با تمایز بررسی می کنیم. اگر اشتباه پیدا شود، مرحله سوم اتلاف وقت خواهد بود.
3) از فرمول نیوتن لایب نیتس استفاده می کنیم. ما تمام محاسبات را با دقت انجام می دهیم - این ضعیف ترین حلقه کار است.
و برای یک میان وعده، یک راه حل جدایی ناپذیر برای مستقل.
مثال 9
انتگرال معین را محاسبه کنید
راه حل و پاسخ در همین نزدیکی است.
درس پیشنهادی بعدی در مورد این موضوع است چگونه مساحت یک شکل را با استفاده از یک انتگرال معین محاسبه کنیم؟
بیایید با قطعات ادغام کنیم:
آیا مطمئن هستید که آنها را حل کرده اید و این پاسخ ها را گرفته اید؟ ;-) و پورن برای یک پیرزن وجود دارد. |
قضیه. اگر تابع f(x)قابل ادغام در بازه [ الف، ب]، کجا الف< b
، و برای همه x∈نابرابری برقرار است
با استفاده از نابرابری های قضیه، می توان انتگرال معین را تخمین زد. مرزهایی را نشان می دهد که معنای آن در بین آنها قرار دارد. این نابرابری ها تخمینی از انتگرال معین را بیان می کنند.
قضیه [میانگین قضیه]. اگر تابع f(x)قابل ادغام در بازه [ الف، ب] و برای همه x∈نابرابری ها ارضا می شوند m ≤ f(x) ≤ M، آن
کجا m ≤ μ ≤ M.
نظر دهید. در صورتی که تابع f(x)پیوسته در بازه [ الف، ب]، برابری از قضیه شکل می گیرد
کجا ج ∈. شماره μ=f(c)، با این فرمول تعریف می شود، نامیده می شود مقدار متوسطتوابع f(x)در بخش [ الف، ب]. این برابری دارای موارد زیر است معنی هندسی: ناحیه یک ذوزنقه منحنی که با یک خط پیوسته محدود شده است y=f(x) (f(x) ≤ 0) برابر است با مساحت مستطیلی با قاعده یکسان و ارتفاع برابر با مختصات نقطه ای از این خط.
وجود یک پاد مشتق برای یک تابع پیوسته
ابتدا مفهوم انتگرال با حد بالایی متغیر را معرفی می کنیم.
اجازه دهید تابع f(x)قابل ادغام در بازه [ الف، ب]. سپس هر عددی که باشد xاز [ الف، ب]، عملکرد f(x)قابل ادغام در بازه [ الف، ب]. بنابراین، در فاصله [ الف، ب] تابع تعریف شده است
که انتگرال با حد بالایی متغیر نامیده می شود.
قضیه. اگر انتگرال در بازه [ الف، ب]، پس مشتق یک انتگرال معین با حد بالایی متغیر وجود دارد و برابر است با مقدار انتگرال برای این حد، یعنی
نتیجه. یک انتگرال معین با حد بالایی متغیر یکی از ضد مشتقات یک انتگرال پیوسته است. به عبارت دیگر، برای هر تابع پیوسته در یک بازه، یک پاد مشتق وجود دارد.
تبصره 1. توجه داشته باشید که اگر تابع f(x)قابل ادغام در بازه [ الف، ب]، سپس انتگرال با حد بالایی متغیر تابعی از حد بالایی است که در این بخش پیوسته است. در واقع، از St.2 و قضیه مقدار میانگین داریم
تبصره 2. انتگرال با حد بالایی متغیر ادغام در تعریف بسیاری از توابع جدید استفاده می شود، به عنوان مثال، 
. این توابع اساسی نیستند. همانطور که قبلا ذکر شد، ضد مشتقات انتگرال های نشان داده شده از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شوند.
قوانین اساسی ادغام
فرمول نیوتن لایب نیتس
از آنجایی که هر دو توابع ضد مشتق f(x)با یک ثابت متفاوت است، سپس با توجه به قضیه قبلی می توان استدلال کرد که هر پاد مشتق Φ(x)پیوسته در بخش [ الف، ب] توابع f(x)به نظر می رسد
کجا سی- مقداری ثابت
با فرض این فرمول x=aو x=b، با استفاده از انتگرال های معین St.1، پیدا می کنیم
این برابری ها دلالت بر رابطه دارند
که نامیده می شود فرمول نیوتن لایب نیتس.
بنابراین قضیه زیر را ثابت کردیم:
قضیه. انتگرال قطعی یک تابع پیوسته برابر است با تفاوت بین مقادیر هر یک از ضد مشتقات آن برای حد بالایی و پایینی ادغام.
فرمول نیوتن-لایب نیتس را می توان به صورت بازنویسی کرد
تغییر یک متغیر در یک انتگرال معین
قضیه. اگر
- تابع f(x)پیوسته در بازه [ الف، ب];
- بخش [ الف، ب] مجموعه ای از مقادیر تابع است φ(t)، در بخش تعریف شده است α ≤ t ≤ βو داشتن مشتق پیوسته بر آن;
- φ(α)=a, φ(β)=b
سپس فرمول صحیح است
فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات
قضیه. اگر توابع u=u(x), v=v(x)دارای مشتقات پیوسته در بازه [ الف، ب]، پس فرمول معتبر است
ارزش کاربردی قضایای ارزش میانگین
امکان به دست آوردن است ارزیابی کیفیمقدار یک انتگرال معین بدون محاسبه آن. فرمول بندی کنیم
: اگر تابعی در یک بازه پیوسته باشد، در داخل این بازه نقطه ای وجود دارد که 
.
این فرمول برای تخمین تقریبی انتگرال یک تابع پیچیده یا دست و پا گیر کاملاً مناسب است. تنها نکته ای که فرمول را می سازد تقریبی
، یک ضرورت است انتخاب مستقل
نقطه ها اگر ساده ترین مسیر را انتخاب کنیم - وسط فاصله ادغام (همانطور که در تعدادی از کتاب های درسی پیشنهاد شده است)، خطا می تواند بسیار مهم باشد. برای گرفتن نتیجه دقیق تر توصیه می کنیم
محاسبه را به ترتیب زیر انجام دهید:
یک نمودار از یک تابع در بازه بسازید.
مرز بالایی مستطیل را طوری رسم کنید که قسمت های بریده شده نمودار تابع باشند مساحت تقریباً برابر است
(این دقیقاً همان چیزی است که در شکل بالا نشان داده شده است - دو مثلث منحنی تقریباً یکسان هستند).
از شکل مشخص کنید؛
از قضیه مقدار میانگین استفاده کنید.
به عنوان مثال، بیایید یک انتگرال ساده را محاسبه کنیم:
ارزش دقیق؛
برای وسط فاصله 
ما همچنین یک مقدار تقریبی به دست می آوریم، یعنی. نتیجه آشکارا نادرست؛
با ساختن نموداری با ضلع بالای مستطیل رسم شده مطابق با توصیه ها، مقدار تقریبی را بدست می آوریم. یک نتیجه کاملا رضایت بخش، خطا 0.75٪ است.
فرمول ذوزنقه ای
همانطور که نشان داده شد، دقت محاسبات با استفاده از قضیه مقدار میانگین به طور قابل توجهی بستگی دارد هدف بصری
طبق برنامه امتیازی در واقع، با انتخاب در همان مثال، نقاط یا می توانید مقادیر دیگری از انتگرال را به دست آورید و ممکن است خطا افزایش یابد. عوامل ذهنی، مقیاس نمودار و کیفیت ترسیم تا حد زیادی بر نتیجه تأثیر می گذارد. این غیر قابل قبول
در محاسبات بحرانی، بنابراین قضیه مقدار میانگین فقط برای سریع اعمال می شود کیفیت
برآوردهای انتگرالی
در این بخش یکی از محبوب ترین روش های ادغام تقریبی را در نظر خواهیم گرفت - فرمول ذوزنقه ای
. ایده اصلی ساخت این فرمول بر اساس این واقعیت است که منحنی را می توان تقریباً با یک خط شکسته جایگزین کرد، همانطور که در شکل نشان داده شده است.
اجازه دهید برای قطعیت (و مطابق با شکل) فرض کنیم که فاصله ادغام به برابر
(این اختیاری است، اما بسیار راحت) قطعات. طول هر یک از این قسمت ها با فرمول محاسبه شده و نامیده می شود گام
. ابسیساهای نقاط پارتیشن، اگر داده شوند، با فرمول تعیین می شوند، جایی که . با استفاده از ابسیساهای شناخته شده محاسبه دستورات آسان است. بنابراین،
این فرمول ذوزنقه ای برای مورد است. توجه داشته باشید که جمله اول داخل پرانتز، نصف مجموع مختصات اولیه و نهایی است که تمام امتدادهای میانی به آن اضافه می شوند. برای هر عددیپارتیشن های فاصله ادغام فرمول کلی ذوزنقه ها
دارای فرم: فرمول های مربعی: مستطیل، سیمپسون، گاوسی و غیره آنها بر اساس همان ایده نشان دادن یک ذوزنقه منحنی توسط مناطق ابتدایی هستند اشکال مختلفبنابراین پس از تسلط بر فرمول ذوزنقه ای، درک فرمول های مشابه کار دشواری نخواهد بود. بسیاری از فرمول ها به سادگی فرمول ذوزنقه ای نیستند، اما به شما این امکان را می دهند که با تعداد کمی پارتیشن، نتایجی با دقت بالا به دست آورید.
با استفاده از فرمول ذوزنقه ای (یا فرمول های مشابه)، می توانید با دقت مورد نیاز در عمل، هم انتگرال های "غیر قابل اجرا" و هم انتگرال های توابع پیچیده یا دست و پا گیر را محاسبه کنید.
قبلاً یک انتگرال معین را به عنوان تفاوت در مقادیر پاد مشتق برای انتگرال در نظر می گرفتیم. فرض بر این بود که انتگرال دارای یک پاد مشتق در بازه ادغام است.
در موردی که ضد مشتق از طریق توابع ابتدایی بیان می شود، می توان از وجود آن اطمینان داشت. اما اگر چنین عبارتی وجود نداشته باشد، سؤال از وجود یک ضد مشتق باز می ماند و ما نمی دانیم که آیا انتگرال معین متناظر وجود دارد یا خیر.
ملاحظات هندسی نشان می دهد که اگرچه، برای مثال، برای تابع y=e^(-x^2) غیرممکن است که ضد مشتق را از طریق توابع ابتدایی بیان کنیم، انتگرال \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx)وجود دارد و برابر مساحتشکل محدود شده با محور x، نمودار تابع y=e^(-x^2) و خطوط مستقیم x=a،~ x=b (شکل 6). اما با یک تحلیل دقیق‌تر، معلوم می‌شود که مفهوم منطقه خود نیاز به توجیه دارد و بنابراین نمی‌توان در حل مسائل وجود یک ضد مشتق و یک انتگرال معین به آن تکیه کرد.
این را ثابت کنیم هر تابع پیوسته در یک بازه دارای یک پاد مشتق در این بازه است، و بنابراین، یک انتگرال مشخص برای آن در این بخش وجود دارد. برای انجام این کار، ما نیاز به رویکرد متفاوتی نسبت به مفهوم انتگرال معین داریم، رویکردی که بر فرض وجود پاد مشتق متکی نباشد.
بیایید ابتدا برخی را ایجاد کنیم ویژگی های یک انتگرال معین، به عنوان تفاوت در مقادیر ضد مشتق درک می شود.
تخمین انتگرال های معین
قضیه 1. اجازه دهید تابع y=f(x) در بازه و محدود شود m=\min_(x\in)f(x)و M=\max_(x\in)f(x)، به ترتیب کوچکترین و بالاترین ارزشتوابع y=f(x) در و در این بخش تابع y=f(x) دارای یک پاد مشتق است. سپس
m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).
اثبات فرض کنید F(x) یکی از پاد مشتق‌های تابع y=f(x) در قطعه باشد. سپس
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)=F(b)-F(a).
طبق قضیه لاگرانژ F(b)-F(a)=F"(c)(b-a)، جایی که a \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=f(c)(b-a).
طبق شرط، برای تمام مقادیر x از بخش، نابرابری زیر برقرار است: m\leqslant f(x)\leqslant M، به همین دلیل است m\leqslant f(c)\leqslant Mو بنابراین
m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant m(b-a)، یعنی m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),
Q.E.D.
نابرابری مضاعف (1) فقط یک تخمین بسیار تقریبی برای مقدار انتگرال معین به دست می دهد. به عنوان مثال، در یک قطعه، مقادیر تابع y=x^2 بین 1 تا 25 است و بنابراین نابرابری ها رخ می دهد.
4=1\cdot(5-1)\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.
برای به دست آوردن تخمین دقیق تر، بخش را با نقطه به چند قسمت تقسیم کنید a=x_0 و نابرابری (1) برای هر قسمت اعمال می شود. اگر نابرابری روی بخش وجود داشته باشد، پس
m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,
که در آن \Delta x_k نشان دهنده تفاوت (x_(k+1)-x_k)، یعنی طول قطعه است. با نوشتن این نابرابری ها برای همه مقادیر k از 0 تا n-1 و جمع آنها، به دست می آید:
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1 ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)،
اما با توجه به خاصیت افزایشی یک انتگرال معین، مجموع انتگرال ها در تمام قسمت های قطعه برابر است با انتگرال روی این قطعه، یعنی.
\sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\limits_a)^(b)f(x) \,dx\,.
به معنی،
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x )\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)
به عنوان مثال، اگر یک قطعه را به 10 قسمت مساوی تقسیم کنید که طول هر کدام 0.4 است، سپس بر روی یک قطعه جزئی
نابرابری برقرار است
(1+0،\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0،\!4(k+1)\bigr)^2
بنابراین ما داریم:
0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\sum_(k=0)^(9)\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.
با محاسبه بدست می آوریم: 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. این تخمین بسیار دقیق تر از آنچه قبلاً به دست آمده است 4\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.
برای به دست آوردن تخمین دقیق تر از انتگرال، باید بخش را نه به 10، بلکه مثلاً به 100 یا 1000 قسمت تقسیم کنید و مبالغ مربوطه را محاسبه کنید. البته محاسبه این انتگرال با استفاده از ضد مشتق ساده تر است:
\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx= \left.(\frac(x^3)(3))\right|_(1)^(5)= \frac(1) (3)(125-1)= \frac(124)(3)\,.
اما اگر عبارت ضد مشتق برای ما ناشناخته باشد، نابرابری‌های (2) تخمین مقدار انتگرال را از پایین و از بالا ممکن می‌سازند.
انتگرال معین به عنوان یک عدد تقسیم کننده
اعداد m_k و M_k موجود در نابرابری (2) را می توان خودسرانه انتخاب کرد، تا زمانی که نابرابری در هر یک از بخش ها برآورده شود. m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. دقیق‌ترین تخمین انتگرال برای یک پارتیشن معین از بخش به دست می‌آید اگر M_k را کوچکترین و m_k را بزرگ‌ترین مقدار ممکن در نظر بگیریم. این به این معنی است که به عنوان m_k باید کران پایینی دقیق مقادیر تابع y=f(x) در قطعه را بگیریم و به عنوان M_k کران بالای دقیق این مقادیر را در همان بخش بگیریم:
m_k=\inf_(x\in)f(x)،\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x).
اگر y=f(x) یک تابع محدود در قطعه باشد، آنگاه به هر یک از پاره‌ها محدود می‌شود و بنابراین برای آن اعداد m_k و M_k،~ 0\leqslant k\leqslant n-1. با این انتخاب از اعداد m_k و M_k، مجموع \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)m_k\Delta x_k)و \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)M_k\Delta x_k)به ترتیب مجموع انتگرال داربوکس پایین و بالایی برای تابع y=-f(x) برای یک پارتیشن P داده شده نامیده می شوند:
a=x_0
بخش این مبالغ را به ترتیب s_(fP) و S_(fP) نشان می‌دهیم، و اگر تابع y=f(x) ثابت باشد، به سادگی s_P و S_P.
نابرابری (2) به این معنی است اگر یک تابع y=f(x) محدود به یک بازه دارای یک پاد مشتق در این بازه باشد، آنگاه یک انتگرال معین مجموعه های عددی \(s_p\) و \(S_P\) را از هم جدا می کند که به ترتیب از مجموع داربوهای پایین و بالایی برای تمام پارتیشن های ممکن P از بازه. به طور کلی، ممکن است اتفاق بیفتد که عدد جداکننده این دو مجموعه منحصر به فرد نباشد. اما در زیر خواهیم دید که برای مهمترین کلاس های توابع (به ویژه برای توابع پیوسته) منحصر به فرد است.
این به ما اجازه می دهد تا تعریف جدیدی برای \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx)، که مبتنی بر مفهوم ضد مشتق نیست، بلکه فقط از مجموع Darboux استفاده می کند.
تعریف.یک تابع y=f(x) که در یک بازه محدود شده است، در این بازه انتگرال پذیر نامیده می شود، اگر یک عدد واحد وجود داشته باشد که مجموع مجموع Darboux پایین و بالایی را که برای همه پارتیشن های ممکن این بازه تشکیل شده است، جدا می کند. اگر تابع y=f(x) در بازه انتگرال پذیر باشد، تنها عددی که این مجموعه ها را از هم جدا می کند، انتگرال معین این تابع در بازه نامیده می شود و به معنی .
ما انتگرال را تعریف کرده ایم \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx)برای موردی که الف ب، سپس قرار می دهیم
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.
این تعریف طبیعی است، زیرا هنگامی که جهت فاصله ادغام تغییر می کند، همه تفاوت ها وجود دارد \ دلتا x_k=x_(k+1)-x_kعلامت را تغییر دهید، و سپس علائم و مجموع Darboux و در نتیجه، تعداد جداکننده آنها را تغییر دهید، i.e. انتگرال
از زمانی که a=b همه \Delta x_k ناپدید می شوند، تنظیم می کنیم
\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.
ما دو تعریف از مفهوم یک انتگرال معین دریافت کردیم: به عنوان تفاوت بین مقادیر ضد مشتق و به عنوان عدد تقسیم برای مجموع Darboux. این تعاریف در مهمترین موارد به همین نتیجه منجر می شود:
قضیه 2. اگر تابع y=f(x) به یک بازه محدود شده باشد و دارای یک پاد مشتق y=F(x) روی آن باشد و یک عدد مجموع داربوکس پایین و بالایی را از هم جدا کند، این عدد برابر است با F(b )-F(a).
اثبات در بالا ثابت کردیم که عدد F(a)-F(b) مجموعه های \(s_P\) و \(S_P\) را از هم جدا می کند. از آنجایی که بر اساس شرط، عدد جداکننده منحصراً تعریف شده است، با F(b)-F(a) منطبق است.
از این به بعد از علامت گذاری استفاده خواهیم کرد \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx)فقط برای یک عدد واحد که مجموعه های \(s_P\) و \(S_P\) را از هم جدا می کند. از قضیه اثبات شده نتیجه می شود که هیچ تناقضی با درک این نمادی که در بالا استفاده کردیم وجود ندارد.
خواص مجموع داربوکس پایین و بالایی
برای اینکه تعریف یک انتگرال که قبلا ارائه شد منطقی باشد، لازم است ثابت کنیم که مجموعه مجموع داربوکس بالایی واقعاً در سمت راست مجموعه مجموع داربوکس پایینی قرار دارد.
لم 1. برای هر پارتیشن P، مجموع Darboux پایین مربوطه از مجموع Darboux بالایی، s_P\leqslant S_P تجاوز نمی کند.
اثبات بیایید چند پارتیشن P از بخش را در نظر بگیریم:
a=x_0 "
واضح است که برای هر k و برای هر پارتیشن P انتخاب شده، نابرابری s_P\leqslant S_P برقرار است. از این رو، m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k، و بنابراین
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.
Q.E.D. نابرابری (4) فقط برای یک پارتیشن ثابت P معتبر است. بنابراین، هنوز نمی توان گفت که مجموع داربوکس پایین یک پارتیشن نمی تواند از مجموع داربوکس بالایی پارتیشن دیگر تجاوز کند. برای اثبات این جمله به لم زیر نیاز داریم:
لم 2. با افزودن یک نقطه تقسیم جدید، مجموع داربوکس پایین نمی تواند کاهش یابد و مجموع بالا نمی تواند افزایش یابد.
اثبات بیایید چند پارتیشن P از بخش را انتخاب کنیم و یک نقطه تقسیم جدید به آن اضافه کنیم (x^(\ast)). اجازه دهید پارتیشن جدید را با P^(\ast) نشان دهیم. پارتیشن P^(\ast) اصلاحی از پارتیشن P است، یعنی. هر نقطه پارتیشن P نیز یک نقطه پارتیشن P^(\ast) است.
بگذارید نقطه (x^(\ast)) روی قطعه بیفتد \دو نقطه\، x_k . اجازه دهید دو بخش به دست آمده و را در نظر بگیریم
و کران های پایینی دقیق مربوط به مقادیر تابع را با m_(k)^(\ast) و m_(k)^(\ast\ast) و کران های بالایی دقیق را با M_(k)^(\ast نشان دهید. ) و M_(k )^(\ast\ast) .
الحاقیه m_k(x_(k+1)-m_(k))مجموع داربوکس پایین‌تر اصلی در مجموع داربوکس پایین‌تر جدید با دو عبارت مطابقت دارد:
m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).
در عین حال m_k\leqslant m_(k)^(\ast)و m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast)، از آنجایی که m_k کران پایینی دقیق برای مقادیر تابع f(x) در کل بخش است و m_(k)^(\ast) و m_(k)^(\ast\ast) فقط در آن است. قطعات و
به ترتیب.
اجازه دهید از زیر مجموع عبارات حاصل را تخمین بزنیم:
\begin(تراز شده) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1 )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\end(تراز شده)
از آنجایی که عبارات باقیمانده در مجموع داربوکس پایین قدیم و جدید بدون تغییر باقی ماندند، مجموع داربوکس پایین با افزودن یک نقطه تقسیم جدید، s_P\leqslant S_P، کاهش نیافت.
گزاره اثبات شده حتی زمانی که تعداد محدودی از نقاط را به پارتیشن P اضافه می کنیم، معتبر باقی می ماند.
گزاره در مورد مجموع داربوکس بالایی به روشی مشابه ثابت می شود: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).
بیایید به مقایسه مجموع Darboux برای هر دو پارتیشن ادامه دهیم.
لم 3. هیچ مجموع داربوکس پایین‌تری از مجموع داربوکس بالایی تجاوز نمی‌کند (حتی اگر مربوط به پارتیشن متفاوتی از بخش باشد).
اثبات دو پارتیشن دلخواه P_1 و P_2 از سگمنت را در نظر بگیرید و پارتیشن سوم P_3 را تشکیل دهید که از تمام نقاط پارتیشن های P_1 و P_2 تشکیل شده است. بنابراین، پارتیشن P_3 اصلاحی از پارتیشن P_1 و پارتیشن P_2 است (شکل 7).
اجازه دهید مجموع Darboux پایین و بالایی را به ترتیب برای این پارتیشن ها مشخص کنیم s_1،~S_1.~s_2،~S_2و ثابت کنید که s_1\leqslant S_2 .
از آنجایی که P_3 پالایش پارتیشن P_1 است، پس s_1\leqslant s_3 است. در مرحله بعد، s_3\leqslant S_3، زیرا مجموع s_3 و S_3 با یک پارتیشن مطابقت دارند. در نهایت، S_3\leqslant S_2، زیرا P_3 اصلاحی از پارتیشن P_2 است.
بنابراین، s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2، یعنی s_1\leqslant S_2 که نیاز به اثبات داشت.
از لمای 3 نتیجه می شود که مجموعه عددی X=\(s_P\) مجموع داربوی پایین در سمت چپ مجموعه عددی Y=\(S_P\) مجموع داربوی بالایی قرار دارد.
بر اساس قضیه وجود یک عدد جداکننده برای دو مجموعه عددی1، حداقل یک عدد / وجود دارد که مجموعه‌های X و Y را از هم جدا می‌کند. به طوری که برای هر بخش از بخش، نابرابری مضاعف برقرار است:
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.
اگر این عدد منحصر به فرد است، پس \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).
اجازه دهید مثالی بزنیم که نشان می دهد چنین عددی، به طور کلی، به طور یکتا تعریف نشده است. به یاد بیاورید که تابع دیریکله یک تابع y=D(x) در بازه ای است که با تساوی ها تعریف می شود:
D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(عدد غیر منطقی است)؛\\1& \text(if)~~ x~~ \text(است عدد گویا).\پایان(موارد)
هر قسمتی که بگیریم، هم نقاط عقلانی و هم غیرمنطقی در آن وجود خواهد داشت، یعنی. و نقاطی که D(x)=0 و نقاطی که D(x)=1 هستند. بنابراین، برای هر پارتیشن از بخش، تمام مقادیر m_k برابر با صفر و همه مقادیر M_k برابر با یک هستند. اما پس از آن تمام دارایی های پایین تر \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr))برابر با صفر هستند و تمام مجموع داربوکس بالایی هستند \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr))برابر یک،
