مساحت مثلث - فرمول ها و نمونه هایی از حل مسئله

در زیر آمده است فرمول هایی برای یافتن مساحت یک مثلث دلخواهکه برای یافتن مساحت هر مثلث، صرف نظر از خواص، زوایا و اندازه های آن مناسب هستند. فرمول ها در قالب یک تصویر همراه با توضیحاتی برای کاربرد یا توجیه درستی آنها ارائه شده است. مکاتبات نیز در شکل جداگانه نشان داده شده است تعیین حروفدر فرمول ها و نمادهای گرافیکیروی نقاشی

توجه داشته باشید . اگر مثلث داشته باشد خواص ویژه(متساوی الساقین، مستطیل، متساوی الاضلاع)، می توانید از فرمول های ارائه شده در زیر و همچنین فرمول های ویژه اضافی که فقط برای مثلث هایی با این ویژگی ها معتبر هستند استفاده کنید:

• "فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع"

فرمول های مساحت مثلث

توضیحات برای فرمول ها:
الف، ب، ج- طول اضلاع مثلثی که می خواهیم مساحت آن را پیدا کنیم
r- شعاع دایره محاط شده در مثلث
آر- شعاع دایره محصور در اطراف مثلث
ساعت- ارتفاع مثلث به سمت پایین آمده است
ص- نیم محیط یک مثلث، 1/2 مجموع اضلاع آن (محیط)
α - زاویه مخالف ضلع a مثلث
β - زاویه مخالف ضلع b مثلث
γ - زاویه مخالف ضلع c مثلث
ساعت الف, ساعت ب , ساعت ج- ارتفاع مثلث به اضلاع a، b، c کاهش یافته است

لطفاً توجه داشته باشید که نمادهای داده شده با شکل بالا مطابقت دارند، به طوری که هنگام حل یک مسئله هندسه واقعی، جایگزین کردن مقادیر صحیح در مکان های مناسب در فرمول از نظر بصری آسان تر خواهد بود.

• مساحت مثلث است نصف حاصل ضرب ارتفاع مثلث و طول ضلعی که این ارتفاع به وسیله آن کاهش می یابد(فرمول 1). درستی این فرمول را می توان منطقی فهمید. ارتفاع پایین‌تر از پایه، یک مثلث دلخواه را به دو مثلث مستطیلی تقسیم می‌کند. اگر هر یک از آنها را به صورت مستطیلی با ابعاد b و h بسازید، واضح است که مساحت این مثلث ها دقیقاً برابر با نصف مساحت مستطیل خواهد بود (Spr = bh)
• مساحت مثلث است نصف حاصل ضرب دو ضلع آن و سینوس زاویه بین آنها(فرمول 2) (نمونه ای از حل مسئله با استفاده از این فرمول را در زیر ببینید). حتی اگر به نظر متفاوت از قبلی است، به راحتی می توان آن را به آن تبدیل کرد. اگر ارتفاع را از زاویه B به ضلع b کم کنیم، معلوم می شود که حاصل ضرب ضلع a و سینوس زاویه γ، با توجه به ویژگی های سینوس در یک مثلث قائم الزاویه، برابر با ارتفاع مثلثی است که رسم کردیم. ، که فرمول قبلی را به ما می دهد
• مساحت یک مثلث دلخواه را می توان یافت از طریق کار کردننصف شعاع دایره محاط شده در آن با مجموع طول تمام اضلاع آن(فرمول 3)، به زبان ساده، باید نیم محیط مثلث را در شعاع دایره محاطی ضرب کنید (به خاطر سپردن آن آسان تر است)
• مساحت یک مثلث دلخواه را می‌توان با تقسیم حاصلضرب تمام اضلاع آن بر 4 شعاع دایره‌ای که به دور آن احاطه شده است پیدا کرد (فرمول 4)
• فرمول 5 مساحت یک مثلث را از طول اضلاع و نیم محیط آن (نصف مجموع اضلاع آن) پیدا می کند.
• فرمول هرون(6) نمایشی از همان فرمول بدون استفاده از مفهوم نیم محیط، تنها از طریق طول اضلاع است.
• مساحت یک مثلث دلخواه برابر است با حاصل ضرب مربع ضلع مثلث و سینوس های زوایای مجاور این ضلع تقسیم بر سینوس دوگانه زاویه مقابل این ضلع (فرمول 7)
• مساحت یک مثلث دلخواه را می توان به صورت حاصل ضرب دو مربع از دایره ای یافت که به وسیله سینوس های هر یک از زوایای آن دور آن محصور شده است. (فرمول 8)
• اگر طول یک ضلع و مقادیر دو زاویه مجاور مشخص باشد، مساحت مثلث را می توان به صورت مربع این ضلع تقسیم بر مجموع مضاعف همتجانس های این زاویه ها یافت (فرمول 9).
• اگر فقط طول هر یک از ارتفاعات مثلث مشخص باشد (فرمول 10)، مساحت چنین مثلثی با طول این ارتفاعات، مطابق با فرمول هرون، نسبت معکوس دارد.
• فرمول 11 به شما امکان محاسبه را می دهد مساحت یک مثلث بر اساس مختصات رئوس آن، که به عنوان مقادیر (x;y) برای هر یک از رئوس مشخص می شوند. لطفاً توجه داشته باشید که مقدار حاصل باید به صورت مدول در نظر گرفته شود، زیرا مختصات رئوس منفرد (یا حتی همه) ممکن است در ناحیه مقادیر منفی باشد.

توجه داشته باشید. در زیر نمونه هایی از حل مسائل هندسه برای یافتن مساحت مثلث آورده شده است. اگر نیاز به حل یک مسئله هندسه دارید که در اینجا مشابه نیست، در مورد آن در انجمن بنویسید. در راه حل ها، به جای نماد " ریشه مربعمی توان از تابع sqrt() استفاده کرد که در آن sqrt نماد ریشه مربع است و عبارت رادیکال در پرانتز نشان داده شده است..گاهی اوقات برای عبارات رادیکال ساده می توان از نماد استفاده کرد √

وظیفه مساحت دو ضلع و زاویه بین آنها را پیدا کنید

اضلاع مثلث 5 و 6 سانتی متر است و زاویه بین آنها 60 درجه است. مساحت مثلث را پیدا کنید.

راه حل.

برای حل این مشکل از فرمول شماره دو از قسمت تئوری درس استفاده می کنیم.
مساحت مثلث را می توان از طول دو ضلع و سینوس زاویه بین آنها پیدا کرد و برابر است با
S=1/2 ab sin γ

از آنجایی که ما تمام داده های لازم برای حل (طبق فرمول) را داریم، فقط می توانیم مقادیر را از شرایط مسئله به فرمول جایگزین کنیم:
S = 1/2 * 5 * 6 * گناه 60

در جدول مقادیر توابع مثلثاتیبیایید مقدار سینوس 60 درجه را پیدا کرده و در عبارت جایگزین کنیم. برابر با ریشه سه ضرب دو خواهد بود.
S = 15 √3 / 2

پاسخ دهید: 7.5 √3 (بسته به نیاز معلم، احتمالاً می توانید 15 √3/2 را ترک کنید)

وظیفه مساحت مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنید

مساحت مثلث متساوی الاضلاع با ضلع 3 سانتی متر را پیدا کنید.

راه حل .

مساحت یک مثلث را می توان با استفاده از فرمول هرون پیدا کرد:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

از آنجایی که a = b = c، فرمول مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع به شکل زیر است:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

پاسخ دهید: 9 √3 / 4.

وظیفه هنگام تغییر طول اضلاع، ناحیه را تغییر دهید

اگر اضلاع 4 برابر شوند، مساحت مثلث چند برابر می شود؟

راه حل.

از آنجایی که ابعاد اضلاع مثلث برای ما ناشناخته است، برای حل مسئله، طول اضلاع را به ترتیب برابر فرض می کنیم. اعداد دلخواهالف، ب، ج. سپس برای پاسخ به سوال، مساحت مثلث داده شده را می یابیم و سپس مساحت مثلثی را می یابیم که اضلاع آن چهار برابر بزرگتر است. نسبت مساحت این مثلث ها پاسخ مسئله را به ما می دهد.

در زیر توضیح متنی راه حل مسئله را به صورت گام به گام ارائه می دهیم. با این حال، در پایان، همین راه حل به شکل گرافیکی راحت تری ارائه شده است. علاقه مندان می توانند بلافاصله راه حل ها را پایین بیاورند.

برای حل، از فرمول هرون استفاده می کنیم (به بخش تئوری درس مراجعه کنید). به نظر می رسد این است:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(خط اول تصویر زیر را ببینید)

طول اضلاع یک مثلث دلخواه با متغیرهای a,b,c مشخص می شود.
اگر اضلاع 4 برابر شوند، مساحت مثلث جدید c خواهد بود:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(خط دوم را در تصویر زیر ببینید)

همانطور که می بینید، 4 یک عامل رایج است که می توان آن را از هر چهار عبارت از داخل پرانتز خارج کرد قوانین کلیریاضیات
سپس

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - در خط سوم تصویر
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - خط چهارم

جذر عدد 256 کاملاً استخراج شده است، پس بیایید آن را از زیر ریشه خارج کنیم
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(خط پنجم تصویر زیر را ببینید)

برای پاسخ به سوال مطرح شده در مسئله، فقط باید مساحت مثلث حاصل را بر مساحت مثلث اصلی تقسیم کنیم.
اجازه دهید نسبت مساحت را با تقسیم عبارات بر یکدیگر و کاهش کسر حاصل تعیین کنیم.

دستورالعمل ها

احزابو زوایا عناصر اساسی محسوب می شوند الف. یک مثلث کاملاً با هر یک از عناصر اصلی زیر تعریف می شود: یا سه ضلع، یا یک ضلع و دو زاویه، یا دو ضلع و یک زاویه بین آنها. برای وجود مثلثبا سه ضلع a، b، c، برای برآوردن نابرابری هایی به نام نابرابری لازم و کافی است. مثلث:
a+b > c،
a+c > b،
b+c > a.

برای ساختن مثلثدر سه ضلع a، b، c، لازم است از نقطه C از قطعه CB = a دایره ای به شعاع b با قطب نما رسم کنید. سپس به همین ترتیب از نقطه B دایره ای به شعاع ضلع c رسم کنید. نقطه تقاطع آنها A سومین راس مورد نظر است مثلث ABC، که در آن AB=c، CB=a، CA=b - اضلاع مثلث. اگر اضلاع a، b، c، نابرابری ها را برآورده کنند، مشکل وجود دارد مثلثدر مرحله 1 مشخص شده است.

منطقه S به این ترتیب ساخته شده است مثلث ABC با احزاب شناخته شده a، b، c، با استفاده از فرمول هرون محاسبه می شود:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c))،
که در آن a، b، c اضلاع هستند مثلث، p – نیم محیطی.
p = (a+b+c)/2

اگر مثلثی متساوی الاضلاع باشد، یعنی تمام اضلاع آن برابر باشند (a=b=c). مثلثبا فرمول محاسبه می شود:
S=(a^2 v3)/4

اگر مثلث قائم الزاويه باشد، يعني يكي از زواياي آن برابر 90 درجه و اضلاع تشكيل دهنده آن پايه باشند، ضلع سوم هيپوتنوس است. در در این مورد مربعبرابر است با حاصل ضرب پاها تقسیم بر دو.
S=ab/2

برای پیدا کردن مربع مثلث، می توانید از یکی از چندین فرمول استفاده کنید. بسته به داده هایی که قبلاً شناخته شده اند، فرمولی را انتخاب کنید.

شما نیاز خواهید داشت

• دانش فرمول های یافتن مساحت مثلث

دستورالعمل ها

اگر اندازه یکی از اضلاع و مقدار ارتفاع پایین‌آمده به این سمت را از زاویه مقابل آن می‌دانید، می‌توانید مساحت را با استفاده از موارد زیر پیدا کنید: S = a*h/2، که در آن S مساحت است. از مثلث، a یکی از اضلاع مثلث، و h - ارتفاع، به ضلع a است.

یک روش شناخته شده برای تعیین مساحت مثلث در صورتی وجود دارد که سه ضلع آن مشخص باشد. این فرمول هرون است. برای ساده کردن ضبط آن، یک مقدار میانی معرفی شده است - نیم محیط: p = (a+b+c)/2، که در آن a، b، c - . سپس فرمول هرون به صورت زیر است: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½، ^ توان.

فرض کنید یکی از اضلاع مثلث و سه زاویه را می شناسید. سپس به راحتی می توان مساحت مثلث را پیدا کرد: S = a²sinα sinγ / (2sinβ)، که β زاویه مقابل ضلع a است و α و γ زوایای مجاور ضلع هستند.

ویدئو در مورد موضوع

لطفا توجه داشته باشید

کلی ترین فرمولی که برای همه موارد مناسب است، فرمول هرون است.

منابع:

نکته 3: چگونه مساحت یک مثلث را بر اساس سه ضلع پیدا کنیم

یافتن مساحت مثلث یکی از رایج ترین مسائل در پلان سنجی مدرسه است. دانستن سه ضلع مثلث برای تعیین مساحت هر مثلث کافی است. در موارد خاص مثلث متساوی الاضلاع کافی است به ترتیب طول دو و یک ضلع را بدانیم.

شما نیاز خواهید داشت

• طول اضلاع مثلث، فرمول هرون، قضیه کسینوس

دستورالعمل ها

فرمول هرون برای مساحت مثلث به شرح زیر است: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). اگر نیم محیط p را بنویسیم، به دست می آید: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

شما می توانید فرمولی برای مساحت مثلث از ملاحظات به دست آورید، به عنوان مثال، با اعمال قضیه کسینوس.

با قضیه کسینوس، AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). با استفاده از نمادهای معرفی شده، می توان آنها را به شکل زیر نوشت: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). بنابراین، cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

مساحت یک مثلث نیز با فرمول S = a*c*sin(ABC)/2 با استفاده از دو ضلع و زاویه بین آنها پیدا می شود. سینوس زاویه ABC را می توان از طریق آن با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی بیان کرد: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) با جایگزینی سینوس در فرمول مساحت و نوشتن آن. ، می توانید به فرمول مساحت مثلث ABC برسید.

ویدئو در مورد موضوع

برای انجام تعمیر کارممکن است لازم باشد اندازه گیری شود مربعدیوارها این کار محاسبه مقدار مورد نیاز رنگ یا کاغذ دیواری را آسان تر می کند. برای اندازه گیری، بهتر است از یک متر یا نوار اندازه گیری استفاده کنید. اندازه گیری ها باید بعد از آن انجام شود دیوارهاتسطیح شدند.

شما نیاز خواهید داشت

• -رولت؛
• -نردبان

دستورالعمل ها

برای شمردن مربعدیوارها، باید ارتفاع دقیق سقف ها را بدانید و همچنین طول را در امتداد کف اندازه گیری کنید. این کار به صورت زیر انجام می شود: یک سانتی متر بردارید و آن را روی تخته پایه قرار دهید. معمولاً یک سانتی متر برای کل طول کافی نیست، بنابراین آن را در گوشه ای محکم کنید، سپس آن را باز کنید. حداکثر طول. در این مرحله، یک علامت با مداد بگذارید، نتیجه به دست آمده را یادداشت کنید و اندازه گیری های بعدی را به همین ترتیب، از آخرین نقطه اندازه گیری شروع کنید.

سقف های استاندارددر موارد معمولی - 2 متر 80 سانتی متر، 3 متر و 3 متر و 20 سانتی متر، بسته به خانه. اگر خانه قبل از دهه 50 ساخته شده باشد، به احتمال زیاد ارتفاع واقعی کمی کمتر از آنچه نشان داده شده است. اگر در حال محاسبه هستید مربعبرای کار تعمیر، پس از آن یک منبع کوچک ضرری نخواهد داشت - بر اساس استاندارد در نظر بگیرید. اگر هنوز نیاز به دانستن دارید ارتفاع واقعی- اندازه گیری کنید اصل مشابه اندازه گیری طول است، اما شما به یک پله نیاز دارید.

شاخص های حاصل را ضرب کنید - این است مربعمال شما دیوارها. درسته وقتی کارهای نقاشییا برای آن لازم است تفریق شود مربعدرب و بازشوهای پنجره. برای انجام این کار، یک سانتی متر در امتداد دهانه قرار دهید. اگر ما در مورددر مورد دری که متعاقباً می خواهید تغییر دهید، سپس آن را با حذف انجام دهید قاب درب، تنها با در نظر گرفتن مربعمستقیماً به خود دهانه. مساحت پنجره در امتداد محیط قاب آن محاسبه می شود. بعد از مربعپنجره و درگاه محاسبه شده، نتیجه را از کل مساحت اتاق کم کنید.

لطفا توجه داشته باشید که اندازه گیری طول و عرض اتاق توسط دو نفر انجام می شود، این امر باعث می شود که سانتی متر یا اندازه گیری نوار را آسان تر کنید و بر این اساس، نتیجه دقیق تری به دست آورید. چندین بار اندازه گیری را انجام دهید تا مطمئن شوید اعدادی که به دست می آورید دقیق هستند.

ویدئو در مورد موضوع

یافتن حجم یک مثلث واقعاً یک کار بی اهمیت است. واقعیت این است که یک مثلث یک شکل دو بعدی است، یعنی. به طور کامل در یک صفحه قرار دارد، به این معنی که به سادگی حجم ندارد. البته شما نمی توانید چیزی را پیدا کنید که وجود نداشته باشد. اما بیایید تسلیم نشویم! می توانیم فرض زیر را بپذیریم: حجم یک شکل دو بعدی مساحت آن است. ما به دنبال مساحت مثلث خواهیم بود.

شما نیاز خواهید داشت

• ورق کاغذ، مداد، خط کش، ماشین حساب

دستورالعمل ها

با استفاده از خط کش و مداد روی یک تکه کاغذ بکشید. با بررسی دقیق مثلث، می توانید مطمئن شوید که واقعاً مثلث ندارد، زیرا روی یک صفحه کشیده شده است. اضلاع مثلث را علامت بزنید: بگذارید یک ضلع ضلع "الف"، ضلع دیگر "ب" و ضلع سوم "ج" باشد. رئوس مثلث را با حروف "A" "B" و "C" برچسب بزنید.

هر ضلع مثلث را با خط کش اندازه بگیرید و نتیجه را یادداشت کنید. پس از این، یک عمود بر ضلع اندازه گیری شده را از راس مقابل آن بازگردانید، چنین عمودی ارتفاع مثلث خواهد بود. در حالتی که در شکل نشان داده شده است، عمود «h» به ضلع «c» از راس «A» بازگردانده شده است. ارتفاع حاصل را با خط کش اندازه بگیرید و نتیجه اندازه گیری را یادداشت کنید.

ممکن است بازیابی عمود دقیق برای شما دشوار باشد. در این مورد، شما باید از فرمول متفاوتی استفاده کنید. تمام اضلاع مثلث را با خط کش اندازه بگیرید. پس از این، نیم محیط مثلث "p" را با جمع کردن طول های حاصل از اضلاع و تقسیم مجموع آنها به نصف محاسبه کنید. با در اختیار داشتن مقدار نیم محیط، می توانید از فرمول هرون استفاده کنید. برای این کار باید جذر عبارات زیر را بگیرید: p(p-a)(p-b)(p-c).

شما گرفتید مقدار مورد نیازمساحت مثلث مشکل یافتن حجم مثلث حل نشده است، اما همانطور که در بالا ذکر شد، حجم حل نشده است. شما می توانید حجمی را پیدا کنید که اساساً یک مثلث است در دنیای سه بعدی. اگر تصور کنیم که مثلث اصلی ما به یک هرم سه بعدی تبدیل شده است، حجم چنین هرمی حاصل ضرب طول قاعده آن و مساحت حاصل از مثلث خواهد بود.

لطفا توجه داشته باشید

هرچه با دقت بیشتری اندازه گیری کنید، محاسبات شما دقیق تر خواهد بود.

منابع:

• ماشین حساب "همه چیز برای همه چیز" - یک پورتال برای مقادیر مرجع
• حجم مثلث در سال 2019

سه نقطه ای که یک مثلث را در سیستم مختصات دکارتی به طور منحصر به فردی تعریف می کنند رئوس آن هستند. با دانستن موقعیت آنها نسبت به هر یک از محورهای مختصات، می توانید هر پارامتری را محاسبه کنید شکل تخت، شامل و محدود به محیط آن است مربع. این را می توان به چند روش انجام داد.

دستورالعمل ها

از فرمول هرون برای محاسبه مساحت استفاده کنید مثلث. این شامل ابعاد سه ضلع شکل است، بنابراین محاسبات خود را با . طول هر ضلع باید برابر با ریشه مجموع مربعات طول برآمدگی های آن بر روی آن باشد. محورهای مختصات. اگر مختصات A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) و C(X3,Y3,Z3) را نشان دهیم، طول اضلاع آنها را می توان به صورت زیر بیان کرد: AB = √((X1- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²)، BC = √(((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²)، AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

برای ساده کردن محاسبات، یک متغیر کمکی - نیم محیطی (P) معرفی کنید. از این واقعیت که این نصف مجموع طول همه ضلع است: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z₂)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

شما می توانید بیش از 10 فرمول برای محاسبه مساحت یک مثلث در اینترنت پیدا کنید. با این حال، تعدادی مثال پیچیده وجود دارد که با توجه به شرایط انتساب، فقط یک ضلع و زوایای یک مثلث مشخص است، یا شعاع یک دایره محصور یا محاط و یک مشخصه دیگر. در چنین مواردی نمی توان یک فرمول ساده را اعمال کرد.

فرمول های ارائه شده در زیر به شما امکان می دهد 95 درصد مسائلی را که در آنها باید مساحت یک مثلث را پیدا کنید، حل کنید.
بیایید به بررسی فرمول های منطقه مشترک بپردازیم.
مثلثی که در شکل زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید

در شکل و زیر در فرمول ها، عناوین کلاسیک تمام ویژگی های آن معرفی شده است.
a,b,c – اضلاع مثلث
R - شعاع دایره محدود شده،
r - شعاع دایره محاط شده،
h[b],h[a],h[c] – ارتفاعات ترسیم شده مطابق با اضلاع a,b,c.
آلفا، بتا، هاما - زوایای نزدیک به رئوس.

فرمول های اصلی برای مساحت مثلث

1. مساحت برابر است با نصف حاصلضرب ضلع مثلث و ارتفاع پایین آمده به این ضلع. در زبان فرمول ها این تعریف را می توان به صورت زیر نوشت

بنابراین، اگر ضلع و ارتفاع مشخص باشد، هر دانش آموز منطقه را پیدا می کند.
به هر حال، از این فرمول می توان یک رابطه مفید بین ارتفاعات بدست آورد

2. اگر در نظر بگیریم که ارتفاع مثلث از ضلع مجاور با وابستگی بیان می شود.

سپس فرمول منطقه اول با فرمول دوم از همان نوع دنبال می شود

با دقت به فرمول ها نگاه کنید - به خاطر سپردن آنها آسان است، زیرا کار شامل دو طرف و زاویه بین آنها است. اگر اضلاع و زوایای مثلث را به درستی تعیین کنیم (مانند شکل بالا) دو عدد بدست می آید. اضلاع a،b و زاویه به سوم متصل استبا (هاما).

3. برای زوایای مثلث، رابطه صادق است

وابستگی به شما امکان می دهد از فرمول های زیر برای مساحت یک مثلث در محاسبات استفاده کنید:

نمونه هایی از این وابستگی بسیار نادر هستند، اما باید به یاد داشته باشید که چنین فرمولی وجود دارد.

4. اگر ضلع و دو زاویه مجاور شناخته شده باشند، مساحت با فرمول پیدا می شود

5. فرمول مساحت بر حسب ضلع و کتانژانت زوایای مجاور به شرح زیر است

با مرتب کردن مجدد ایندکس ها می توانید وابستگی هایی برای طرف های دیگر دریافت کنید.

6. از فرمول مساحت زیر در مسائلی استفاده می شود که رئوس یک مثلث بر روی صفحه با مختصات مشخص شده باشند. در این حالت، مساحت برابر با نصف مدول تعیین کننده گرفته شده است.

7. فرمول هروندر مثال هایی با اضلاع شناخته شده مثلث استفاده می شود.
ابتدا نیم محیط مثلث را پیدا کنید

و سپس با استفاده از فرمول مساحت را تعیین کنید

یا

اغلب در کد برنامه های ماشین حساب استفاده می شود.

8. اگر تمام ارتفاعات مثلث مشخص باشد، مساحت با فرمول تعیین می شود

محاسبه بر روی ماشین حساب دشوار است، اما در بسته های MathCad، Mathematica، Maple مساحت "زمان دو" است.

9. فرمول های زیر از شعاع شناخته شده دایره های محاطی و محاطی استفاده می کنند.

به ویژه، اگر شعاع و اضلاع مثلث یا محیط آن مشخص باشد، مساحت طبق فرمول محاسبه می شود.

10. در مثال هایی که اضلاع و شعاع یا قطر دایره محدود شده آورده شده است، مساحت با استفاده از فرمول پیدا می شود.

11. فرمول زیر مساحت یک مثلث را بر حسب ضلع و زوایای مثلث تعیین می کند.

و در نهایت - موارد خاص:
مربع مثلث قائم الزاویه با پاهای a و b برابر با نصف حاصلضرب آنها

فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع (منظم).=

= یک چهارم حاصل ضرب مربع ضلع و ریشه سه.

از راس مخالف) و محصول حاصل را بر دو تقسیم کنید. به نظر می رسد این است:

S = ½ * a * h،

کجا:
S - مساحت مثلث،
a طول ضلع آن است،
h ارتفاعی است که به این سمت پایین آمده است.

طول و ارتفاع ضلع باید در واحدهای اندازه گیری یکسان ارائه شود. در این حالت، مساحت مثلث در واحدهای " " مربوطه به دست می آید.

مثال.
در یک طرف مثلث اسکلن به طول 20 سانتی متر، یک عمود از راس مخالف به طول 10 سانتی متر پایین آمده است.
مساحت مثلث مورد نیاز است.
راه حل.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

اگر طول هر دو ضلع مثلث اسکلن و زاویه بین آنها مشخص باشد، از فرمول استفاده کنید:

S = ½ * a * b * sinγ,

که در آن: a، b طول دو ضلع دلخواه، و γ زاویه بین آنها است.

در عمل، به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری قطعات زمین، استفاده از فرمول های بالا گاهی اوقات دشوار است، زیرا نیاز به ساخت و ساز اضافی و اندازه گیری زاویه دارد.

اگر طول هر سه ضلع مثلث اسکلن را می دانید، از فرمول هرون استفاده کنید:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))،

a، b، c - طول اضلاع مثلث،
p – نیم محیط: p = (a+b+c)/2.

اگر علاوه بر طول تمام اضلاع، شعاع دایره محاط شده در مثلث نیز مشخص باشد، از فرمول فشرده زیر استفاده کنید:

جایی که: r – شعاع دایره محاطی شده (р – نیم محیط).

برای محاسبه مساحت مثلث اسکلن و طول اضلاع آن از فرمول استفاده کنید:

جایی که: R - شعاع دایره محدود شده.

اگر طول یکی از ضلع های مثلث و سه زاویه مشخص باشد (در اصل، دو زاویه کافی است - مقدار سوم از برابری مجموع سه زاویه مثلث محاسبه می شود - 180 درجه)، سپس از آن استفاده کنید. فرمول:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα،

که α مقدار زاویه مقابل ضلع a است.
β، γ - مقادیر دو زاویه باقی مانده از مثلث.

نیاز به پیدا کردن عناصر مختلف، از جمله مناطق مثلث، قرنها قبل از میلاد در میان ستاره شناسان دانشمند ظاهر شد یونان باستان. مربع مثلثقابل محاسبه است به طرق مختلفبا استفاده از فرمول های مختلف روش محاسبه بستگی به عناصر دارد مثلثشناخته شده است.

دستورالعمل ها

اگر از شرط، مقادیر دو ضلع b، c و زاویه تشکیل شده توسط آنها را بدانیم، آنگاه مساحت مثلث ABC با فرمول پیدا می شود:
S = (bcsin؟)/2.

اگر از شرط، مقادیر دو ضلع a، b و زاویه تشکیل نشده توسط آنها را بدانیم؟، پس مساحت مثلث ABC به صورت زیر یافت می شود:
پیدا کردن زاویه؟، گناه؟ = bsin?/a، سپس از جدول برای تعیین خود زاویه استفاده کنید.
پیدا کردن زاویه؟، ? = 180 درجه -?-?.
خود مساحت S = (absin?)/2 را پیدا می کنیم.

اگر از شرط فقط مقادیر سه ضلع را بدانیم مثلث a، b و c، سپس منطقه مثلث ABC با فرمول پیدا می شود:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) که p نیم محیط است p = (a+b+c)/2

اگر از شرایط مشکل ارتفاع را بدانیم مثلث h و سمتی که این ارتفاع به آن پایین آمده، سپس ناحیه مثلث ABC طبق فرمول:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

اگر معانی اضلاع را بدانیم مثلث a، b، c و شعاع توضیح داده شده در این مورد مثلث R، سپس مساحت این مثلث ABC با فرمول تعیین می شود:
S = abc/4R.
اگر سه ضلع a، b، c و شعاع حک شده در مشخص باشد، مساحت مثلث ABC با فرمول پیدا می شود:
S = pr، جایی که p نیمه محیط است، p = (a+b+c)/2.

اگر ABC متساوی الاضلاع باشد، مساحت با فرمول بدست می آید:
S = (a^2v3)/4.
اگر مثلث ABC متساوی الساقین باشد، مساحت با فرمول تعیین می شود:
S = (cv(4a^2-c^2))/4، که در آن c – مثلث.
اگر مثلث ABC قائم الزاویه باشد، مساحت با فرمول تعیین می شود:
S = ab/2، که در آن a و b پاها هستند مثلث.
اگر مثلث ABC یک مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه باشد، مساحت با فرمول تعیین می شود:
S = c^2/4 = a^2/2، که در آن c فرضیه است مثلث، a=b – ساق.

ویدئو در مورد موضوع

منابع:

• نحوه اندازه گیری مساحت مثلث

نکته 3: چگونه می توان مساحت یک مثلث را در صورت مشخص بودن زاویه پیدا کرد

دانستن تنها یک پارامتر (زاویه) برای یافتن ناحیه کافی نیست سه مربع . اگر ابعاد اضافی وجود دارد، برای تعیین مساحت می توانید یکی از فرمول هایی را انتخاب کنید که در آن مقدار زاویه نیز به عنوان یکی از متغیرهای شناخته شده استفاده می شود. چندین فرمول پرکاربرد در زیر آورده شده است.

دستورالعمل ها

اگر علاوه بر اندازه زاویه (γ) تشکیل شده توسط دو طرف سه مربع طول این اضلاع (A و B) نیز مشخص است، پس مربع(S) یک شکل را می توان به عنوان نصف حاصلضرب طول اضلاع و سینوس این زاویه شناخته شده تعریف کرد: S=½×A×B×sin(γ).