برای تعیین مساحت یک مثلث، می توانید از فرمول های مختلفی استفاده کنید. از بین تمام روش ها، ساده ترین و پرکاربردترین روش ضرب ارتفاع در طول پایه و سپس تقسیم نتیجه بر دو است. با این حال، این روش به دور از تنها روش است. در زیر می توانید نحوه پیدا کردن مساحت مثلث را با استفاده از فرمول های مختلف بخوانید.

به طور جداگانه، ما به روش هایی برای محاسبه مساحت انواع خاص مثلث - مستطیل، متساوی الساقین و متساوی الاضلاع نگاه خواهیم کرد. ما هر فرمول را با توضیح کوتاهی همراه می کنیم که به شما در درک ماهیت آن کمک می کند.

روش های جهانی برای یافتن مساحت یک مثلث

فرمول های زیر از نشانه گذاری ویژه استفاده می کنند. ما هر یک از آنها را رمزگشایی می کنیم:

• a, b, c - طول سه ضلع شکل مورد نظر ما.
• r شعاع دایره ای است که می تواند در مثلث ما حک شود.
• R شعاع دایره ای است که می توان در اطراف آن توصیف کرد.
• α بزرگی زاویه تشکیل شده توسط ضلع b و c است.
• β قدر زاویه بین a و c است.
• γ بزرگی زاویه ای است که توسط اضلاع a و b تشکیل شده است.
• h ارتفاع مثلث ما است که از زاویه α به ضلع a پایین آمده است.
• p – نصف مجموع اضلاع a، b و c.

منطقاً واضح است که چرا می توانید مساحت یک مثلث را به این ترتیب پیدا کنید. مثلث را می توان به راحتی به یک متوازی الاضلاع کامل کرد که در آن یک ضلع مثلث به عنوان یک مورب عمل می کند. مساحت متوازی الاضلاع با ضرب طول یکی از اضلاع آن در مقدار ارتفاع کشیده شده به سمت آن به دست می آید. قطر این متوازی الاضلاع شرطی را به 2 مثلث یکسان تقسیم می کند. بنابراین، کاملاً واضح است که مساحت مثلث اصلی ما باید برابر با نصف مساحت این متوازی الاضلاع کمکی باشد.

S=½ a b sin γ

طبق این فرمول، مساحت یک مثلث با ضرب طول دو ضلع آن یعنی a و b در سینوس زاویه تشکیل شده توسط آنها به دست می آید. این فرمول به طور منطقی از فرمول قبلی گرفته شده است. اگر ارتفاع را از زاویه β به ضلع b کاهش دهیم، با توجه به خواص راست گوشه، وقتی طول ضلع a را در سینوس زاویه γ ضرب می کنیم، ارتفاع مثلث یعنی h را به دست می آوریم.

مساحت شکل مورد نظر با ضرب نصف شعاع دایره ای که می توان در آن حک کرد در محیط آن به دست می آید. به عبارت دیگر حاصل ضرب نیم محیط و شعاع دایره مذکور را می یابیم.

S= a b c/4R

با توجه به این فرمول، مقدار مورد نیاز ما را می توان با تقسیم حاصلضرب اضلاع شکل بر 4 شعاع دایره ای که در اطراف آن شرح داده شده است، پیدا کرد.

این فرمول ها جهانی هستند، زیرا تعیین مساحت هر مثلث (مقیاس، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع، مستطیل) را ممکن می سازند. این را می توان با استفاده از محاسبات پیچیده تری نیز انجام داد، که ما به جزئیات آن نمی پردازیم.

مساحت مثلث ها با ویژگی های خاص

چگونه مساحت مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم؟ ویژگی این شکل این است که دو ضلع آن به طور همزمان ارتفاعات آن است. اگر a و b پاها باشند و c تبدیل به هیپوتونوس شود، ناحیه را مانند زیر پیدا می کنیم:

چگونه مساحت مثلث متساوی الساقین را پیدا کنیم؟ دارای دو ضلع به طول a و یک ضلع به طول b است. در نتیجه، مساحت آن را می توان با تقسیم بر 2 حاصل ضرب مجذور ضلع a بر سینوس زاویه γ تعیین کرد.

چگونه مساحت مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنیم؟ در آن طول همه اضلاع برابر با a و قدر همه زوایا α است. ارتفاع آن برابر است با نصف حاصلضرب طول ضلع a و جذر 3. برای یافتن مساحت یک مثلث منظم باید مربع ضلع a را در جذر 3 ضرب کنید و بر آن تقسیم کنید. 4.

مفهوم منطقه

مفهوم مساحت هر شکل هندسی، به ویژه یک مثلث، با شکلی مانند مربع همراه خواهد بود. برای واحد مساحت هر شکل هندسی مساحت مربعی را می گیریم که ضلع آن برابر با یک است. برای کامل بودن، اجازه دهید دو ویژگی اساسی برای مفهوم مناطق را یادآوری کنیم شکل های هندسی.

خاصیت 1:اگر اشکال هندسی مساوی باشند، مساحت آنها نیز برابر است.

خاصیت 2:هر شکلی را می توان به چند شکل تقسیم کرد. علاوه بر این، مساحت شکل اصلی برابر است با مجموع مساحت تمام ارقام تشکیل دهنده آن.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1

بدیهی است که یکی از اضلاع مثلث مورب است مستطیل، که در آن یک طرف دارای طول $5$ است (از آنجایی که سلولهای $5$ وجود دارد) و طرف دوم $6$ است (از آنجایی که سلولهای $6$ وجود دارد). بنابراین مساحت این مثلث برابر با نصف چنین مستطیلی خواهد بود. مساحت مستطیل است

سپس مساحت مثلث برابر است با

پاسخ: 15 دلار

در ادامه چندین روش را برای یافتن مساحت مثلث ها در نظر خواهیم گرفت، یعنی با استفاده از ارتفاع و قاعده فرمول های هرونو مساحت مثلث متساوی الاضلاع.

چگونه مساحت یک مثلث را با استفاده از ارتفاع و قاعده آن پیدا کنیم

قضیه 1

مساحت یک مثلث را می توان نصف حاصلضرب طول یک ضلع و ارتفاع آن ضلع یافت.

از نظر ریاضی به این شکل است

$S=\frac(1)(2)αh$

که $a$ طول ضلع است، $h$ ارتفاع کشیده شده به آن است.

اثبات

مثلثی $ABC$ را در نظر بگیرید که در آن $AC=α$ است. ارتفاع $BH$ به این سمت کشیده شده است که برابر با $h$ است. بیایید آن را مانند شکل 2 تا مربع $AXYC$ بسازیم.

مساحت مستطیل $AXBH$ $h\cdot AH$ و مساحت مستطیل $HBYC$ $h\cdot HC$ است. سپس

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

بنابراین مساحت مورد نیاز مثلث با خاصیت 2 برابر است با

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

قضیه ثابت شده است.

مثال 2

اگر مساحت سلول برابر با یک باشد، مساحت مثلث را در شکل زیر بیابید

پایه این مثلث برابر با 9 دلار است (زیرا 9 دلار مربع 9 دلار است). ارتفاع آن نیز 9 دلار است. سپس، با قضیه 1، به دست می آوریم

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

پاسخ: 40.5 دلار.

فرمول هرون

قضیه 2

اگر سه ضلع مثلث $α$، $β$ و $γ$ به ما داده شود، مساحت آن را می توان به صورت زیر یافت.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

در اینجا $ρ$ به معنای نیم محیط این مثلث است.

اثبات

شکل زیر را در نظر بگیرید:

با قضیه فیثاغورث از مثلث $ABH$ بدست می آوریم

از مثلث $CBH$، طبق قضیه فیثاغورث، داریم

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

از این دو رابطه برابری را بدست می آوریم

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

از آنجایی که $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$، پس $α+β+γ=2ρ$، یعنی

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

با قضیه 1 دریافت می کنیم

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

همانطور که می توانید از آن به یاد داشته باشید برنامه آموزشی مدرسهبر اساس هندسه، مثلث شکلی است که از سه قسمت به هم متصل شده توسط سه نقطه که روی یک خط مستقیم قرار ندارند تشکیل شده است. یک مثلث سه زاویه را تشکیل می دهد، از این رو نام آن شکل است. ممکن است تعریف متفاوت باشد. مثلث را می توان چند ضلعی با سه زاویه نیز نامید، پاسخ نیز صحیح خواهد بود. مثلث ها بر اساس تعداد اضلاع مساوی و اندازه زوایا در شکل ها تقسیم می شوند. بنابراین، مثلث ها به ترتیب به عنوان متساوی الساقین، متساوی الاضلاع و مقیاسی، و همچنین مستطیل، حاد و منفرد متمایز می شوند.

فرمول های زیادی برای محاسبه مساحت مثلث وجود دارد. نحوه پیدا کردن مساحت یک مثلث را انتخاب کنید. اینکه از کدام فرمول استفاده کنید به شما بستگی دارد. اما شایان ذکر است فقط برخی از نمادهایی که در بسیاری از فرمول ها برای محاسبه مساحت یک مثلث استفاده می شود. بنابراین، به یاد داشته باشید:

S مساحت مثلث است،

a، b، c اضلاع مثلث هستند،

h ارتفاع مثلث است،

R شعاع دایره محدود شده است،

p نیم محیط است.

در اینجا نمادهای اساسی وجود دارد که اگر درس هندسه خود را به طور کامل فراموش کرده اید ممکن است برای شما مفید باشد. در زیر قابل درک ترین و بی عارضه ترین گزینه ها برای محاسبه مساحت ناشناخته و مرموز یک مثلث است. کار سختی نیست و هم برای نیازهای خانه و هم برای کمک به فرزندانتان مفید خواهد بود. بیایید به یاد بیاوریم که چگونه مساحت یک مثلث را به آسانی محاسبه کنیم:

در مورد ما، مساحت مثلث است: S = ½ * 2.2 سانتی متر * 2.5 سانتی متر = 2.75 سانتی متر مربع. به یاد داشته باشید که مساحت در سانتی متر مربع (سانتی متر مربع) اندازه گیری می شود.

مثلث قائم الزاویه و مساحت آن

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یک زاویه آن برابر با 90 درجه باشد (از این رو به آن راست می گویند). یک زاویه قائمه توسط دو خط عمود بر هم تشکیل می شود (در مورد مثلث، دو بخش عمود بر هم). در یک مثلث قائم الزاویه فقط یک زاویه قائمه وجود دارد، زیرا ... مجموع زوایای هر مثلث برابر با 180 درجه است. معلوم می شود که 2 زاویه دیگر باید 90 درجه باقی مانده را تقسیم کنند، مثلاً 70 و 20، 45 و 45 و غیره. بنابراین، نکته اصلی را به خاطر می آورید، تنها چیزی که باقی می ماند این است که بدانید چگونه مساحت یک مثلث قائم الزاویه را پیدا کنید. بیایید تصور کنیم که یک مثلث قائم الزاویه در مقابل خود داریم و باید مساحت آن را S پیدا کنیم.

1. ساده ترین راه برای تعیین مساحت مثلث قائم الزاویه با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

در مورد ما، مساحت مثلث قائم الزاویه است: S = 2.5 سانتی متر * 3 سانتی متر / 2 = 3.75 سانتی متر مربع.

در اصل، دیگر نیازی به تأیید مساحت مثلث به روش های دیگر نیست، زیرا فقط این یکی مفید خواهد بود و در زندگی روزمره کمک خواهد کرد. اما گزینه هایی برای اندازه گیری مساحت یک مثلث از طریق زوایای حاد نیز وجود دارد.

2. برای سایر روش های محاسبه، باید جدول کسینوس، سینوس و مماس داشته باشید. خودتان قضاوت کنید، در اینجا چند گزینه برای محاسبه مساحت مثلث قائم الزاویه وجود دارد که هنوز هم می توان از آنها استفاده کرد:

ما تصمیم گرفتیم از فرمول اول و با مقداری لکه های جزئی استفاده کنیم (آن را در دفتری رسم کردیم و از خط کش و نقاله قدیمی استفاده کردیم) اما محاسبه صحیح را بدست آوردیم:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). ما نتایج زیر را دریافت کردیم: 3.6=3.7، اما با در نظر گرفتن تغییر سلول ها، می توانیم این تفاوت های ظریف را ببخشیم.

مثلث متساوی الساقین و مساحت آن.

اگر با وظیفه محاسبه فرمول یک مثلث متساوی الساقین روبرو هستید، ساده ترین راه این است که از فرمول اصلی و آنچه به عنوان فرمول کلاسیک برای مساحت مثلث در نظر گرفته می شود استفاده کنید.

اما ابتدا، قبل از پیدا کردن مساحت یک مثلث متساوی الساقین، بیایید بفهمیم که چه شکلی است. مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع آن دارای طول یکسان باشند. این دو ضلع را جانبی، ضلع سوم را پایه می نامند. مثلث متساوی الساقین را با مثلث متساوی الاضلاع اشتباه نگیرید، یعنی. یک مثلث منتظم که هر سه ضلع آن برابر است. در چنین مثلثی تمایل خاصی به زاویه ها یا بهتر بگوییم اندازه آنها وجود ندارد. با این حال، زوایای قاعده در یک مثلث متساوی الساقین مساوی هستند، اما با زاویه بین اضلاع مساوی تفاوت دارند. بنابراین، شما از قبل فرمول اول و اصلی را می دانید، باید بدانید که چه فرمول های دیگری برای تعیین مساحت یک مثلث متساوی الساقین شناخته شده است:

مثلث یکی از رایج ترین اشکال هندسی است که قبلاً با آن آشنا شده ایم دبستان. هر دانش آموزی با این سوال مواجه است که چگونه مساحت مثلث را در درس هندسه پیدا کند. بنابراین، چه ویژگی هایی برای یافتن مساحت یک شکل مشخص می توان شناسایی کرد؟ در این مقاله به فرمول های اساسی لازم برای انجام چنین کاری و همچنین تجزیه و تحلیل انواع مثلث ها خواهیم پرداخت.

انواع مثلث

شما می توانید مساحت یک مثلث را کاملاً پیدا کنید راه های مختلف، زیرا در هندسه بیش از یک نوع شکل شامل سه زاویه وجود دارد. این انواع عبارتند از:

• دیر فهم.
• متساوی الاضلاع (صحیح).
• راست گوشه.
• متساوی الساقین.

بیایید نگاهی دقیق تر به هر یک از آنها بیندازیم انواع موجودمثلثها.

این شکل هندسی در هنگام حل مسائل هندسی رایج ترین در نظر گرفته می شود. هنگامی که نیاز به ترسیم یک مثلث دلخواه باشد، این گزینه به کمک می آید.

در مثلث حاد، همانطور که از نامش پیداست، تمام زوایا تند هستند و مجموع آنها تا 180 درجه می رسد.

این نوع مثلث نیز بسیار رایج است، اما تا حدودی کمتر از مثلث حاد رایج است. به عنوان مثال، هنگام حل مثلث (یعنی چندین ضلع و زاویه آن مشخص است و باید عناصر باقی مانده را پیدا کنید)، گاهی اوقات باید تعیین کنید که آیا زاویه مزاحم است یا خیر. کسینوس یک عدد منفی است.

ب، مقدار یکی از زاویه ها از 90 درجه بیشتر می شود، بنابراین دو زاویه باقی مانده می توانند مقادیر کوچکی داشته باشند (مثلاً 15 درجه یا حتی 3 درجه).

برای پیدا کردن مساحت یک مثلث از این نوع، باید نکات ظریفی را بدانید که بعداً در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

مثلث های منتظم و متساوی الساقین

چند ضلعی منتظم شکلی است که n زاویه را شامل می شود و همه ضلع ها و زوایا برابر هستند. مثلث منظم این است. از آنجایی که مجموع تمام زوایای یک مثلث 180 درجه است، پس هر یک از سه زاویه 60 درجه است.

به یک مثلث منتظم به دلیل خاصیتش، شکل متساوی الاضلاع نیز گفته می شود.

همچنین شایان ذکر است که فقط یک دایره را می توان در یک مثلث منظم حک کرد و فقط یک دایره را می توان در اطراف آن توصیف کرد و مراکز آنها در یک نقطه قرار دارند.

علاوه بر نوع متساوی الاضلاع، می توان یک مثلث متساوی الساقین را نیز تشخیص داد که کمی با آن متفاوت است. در چنین مثلثی دو ضلع و دو زاویه با هم برابرند و ضلع سوم (که مجاور آن زوایای مساوی) پایه است.

شکل یک مثلث متساوی الساقین DEF را نشان می دهد که زوایای آن D و F مساوی و DF قاعده است.

راست گوشه

یک مثلث قائم الزاویه به این دلیل نامیده می شود که یکی از زوایای آن قائم الزاویه است، یعنی برابر با 90 درجه. مجموع دو زاویه دیگر به 90 درجه می رسد.

بیشترین سمت بزرگاز چنین مثلثی، یکی که در مقابل زاویه 90 درجه قرار دارد، هیپوتنوز است، در حالی که دو ضلع باقیمانده پاها هستند. برای این نوع مثلث، قضیه فیثاغورث اعمال می شود:

مجموع مجذورهای طول پاها برابر است با مجذور طول هیپوتنوز.

شکل یک مثلث قائم الزاویه BAC با هیپوتنوز AC و پاهای AB و BC را نشان می دهد.

برای پیدا کردن مساحت یک مثلث با زاویه قائمه باید بدانید مقادیر عددیپاهای آن

بیایید به فرمول های پیدا کردن مساحت یک شکل داده شده برویم.

فرمول های اساسی برای یافتن مساحت

در هندسه، دو فرمول برای یافتن مساحت اکثر مثلث ها مناسب است، یعنی برای مثلث های حاد، منفرد، منظم و متساوی الساقین. بیایید به هر یک از آنها نگاه کنیم.

کنار و ارتفاع

این فرمول برای یافتن مساحت شکل مورد نظر ما جهانی است. برای این کار کافی است طول ضلع و طول ارتفاع کشیده شده به آن را بدانید. خود فرمول (نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع) به صورت زیر است:

که در آن A ضلع یک مثلث معین و H ارتفاع مثلث است.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن مساحت یک مثلث حاد ACB، باید ضلع AB آن را در ارتفاع CD ضرب کنید و مقدار حاصل را بر دو تقسیم کنید.

با این حال، پیدا کردن مساحت یک مثلث همیشه آسان نیست. به عنوان مثال، برای استفاده از این فرمول برای یک مثلث منفرد، باید یکی از اضلاع آن را گسترش دهید و تنها پس از آن ارتفاع را به سمت آن بکشید.

در عمل، این فرمول بیشتر از سایرین استفاده می شود.

در دو طرف و گوشه

این فرمول مانند فرمول قبلی برای اکثر مثلث ها مناسب است و در معنای خود نتیجه فرمول یافتن مساحت و ارتفاع یک مثلث است. یعنی فرمول مورد بحث را می توان به راحتی از فرمول قبلی استخراج کرد. فرمول آن به این شکل است:

S = ½*sinO*A*B،

که در آن A و B اضلاع مثلث و O زاویه بین ضلع A و B است.

به یاد بیاوریم که سینوس یک زاویه را می توان در جدول ویژه ای به نام ریاضیدان برجسته شوروی V. M. Bradis مشاهده کرد.

حالا بیایید به سراغ فرمول های دیگری برویم که فقط برای انواع استثنایی مثلث ها مناسب هستند.

مساحت مثلث قائم الزاویه

علاوه بر فرمول جهانی، که شامل نیاز به یافتن ارتفاع در یک مثلث است، مساحت یک مثلث حاوی زاویه قائمه را می توان از پاهای آن پیدا کرد.

بنابراین، مساحت مثلثی که دارای زاویه قائمه است، نصف حاصلضرب پاهای آن است، یا:

که در آن a و b پاهای یک مثلث قائم الزاویه هستند.

مثلث منظم

این نوعاشکال هندسی از این جهت متفاوت است که مساحت آن را فقط با مقدار مشخص شده یکی از اضلاع آن می توان یافت (زیرا همه اضلاع یک مثلث منظم برابر هستند). بنابراین، هنگامی که با وظیفه "یافتن مساحت یک مثلث زمانی که اضلاع برابر هستند" روبرو می شوید، باید از فرمول زیر استفاده کنید:

S = A 2 *√3 / 4،

که در آن A ضلع مثلث متساوی الاضلاع است.

فرمول هرون

آخرین گزینه برای یافتن مساحت مثلث، فرمول هرون است. برای استفاده از آن باید طول سه ضلع شکل را بدانید. فرمول هرون به شکل زیر است:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c)،

که در آن a، b و c اضلاع یک مثلث معین هستند.

گاهی اوقات این مشکل مطرح می شود: "مساحت یک مثلث منظم، یافتن طول ضلع آن است." که در در این موردما باید از فرمولی که قبلاً می‌دانیم برای یافتن مساحت یک مثلث منظم استفاده کنیم و مقدار ضلع (یا مربع آن) را از آن استخراج کنیم:

A 2 = 4S / √3.

وظایف امتحانی

فرمول های زیادی در مسائل GIA در ریاضیات وجود دارد. علاوه بر این، اغلب لازم است که مساحت یک مثلث را روی کاغذ شطرنجی پیدا کنید.

در این مورد، راحت‌تر است که ارتفاع را به یکی از دو طرف شکل بکشید، طول آن را از سلول‌ها تعیین کنید و از فرمول جهانی برای پیدا کردن مساحت استفاده کنید:

بنابراین، پس از مطالعه فرمول های ارائه شده در مقاله، برای یافتن مساحت یک مثلث از هر نوع مشکلی نخواهید داشت.